Об одном классе квазилинейных эволюционных уравнений и их приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Кучакшоев, Холикназар Соибназарович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Душанбе
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
4о
005014684
На правах рукопи
Кучакшоев Холикназар Соибназарович
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 5 2072
Д У Ш А Н Б Е - 2 0 1 2
005014684
Работа выполнена в Российско-Таджикском(Славянском) университете
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
академик АН РТ, профессор Илолов Мамадшо Илолович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, .
Исхоков Сулаймон Абунасрович
кандидат физико-математических наук, Джураев Хайрулло Шарофович
Ведущая организация: Таджикский государственный
педагогический университет имени С.Айни
Защита состоится 14 марта 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан (734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4).
Автореферат разослан 13 февраля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Халилов Ш.Б.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными ак- -кретивными операторами и её приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Эволюционные уравнения с аккретивиыми операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.
В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.
Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах М.А.Красносельского, М.И.Вишика, Ф.Е.БрауДера, Г.Танабе, П.Е.Соболевского, Х.Брезиса, Ж.Л.Лионса, А.Яги, А.Г.Карсатоса, И.Г.Лаптева, М.Илолова, А.М.Самойленко, М.Крендалла и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Т.Като .
В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений обобщающее уравнений изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новых приложений. Для простейшей модели хемотаксиса найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений. В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (Ыому-ир). Отдельно изучается явление коллапса решений для модели хемотаксиса. Для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.
1 Каю Т. 1^ои1шеаг вепицгоирв аш! еуоЫюп ециа^опя // Л.МагЬ.Ь'ос.Лараи, 1976, 19, р.508-520.
Цель работы
1. Исследование существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами в банаховом пространстве.
2. Исследование автомодельных решений и решения типа бегущей волны простейшей модели хемотаксиса - системы дифференциальных уравнений в частных производных Келлера-Сиджела.
3. Исследование монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы уравнений Келлера-Сиджела в одномерном случае.
Метод исследования
Основными методами являются метод нелинейных полугрупп операторов Т.Като, метод М.И.Вишика разрешимости краевых задач для квазилинейных парболических уравнений высших порядков и систем таких уравнений. При доказательстве устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем применяется принцип максимума для разностных схем.
' Научная новизна исследований
1. Доказаны теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решений квазилинейных эволюционных уравнений й аккретивными операторами в банаховом пространстбе.
2. Установлены условия возникновения автомодельных решений и решений типа бегущей волны системы уравнений КеллерагСиджела. Найдены условия при выполнении которых решения системы Келера-Сиджела уходят на бесконечность за конечное время. Доказаны теоремы о хемотаксическом коллапсе.
3. Доказаны теоремы устойчивости, монотонности и единственности решений разностных схем для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае.
Практическая ценность
Результаты полученные в диссертационой работе носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований а теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, в теории краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков.
Практическая ценность работы оперделяется практической значимостью системы уравнений КеллерагСиджела в решений задач биологии н астрофизики.
Апробация работы
Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции, посвященной 70-летию академика В.А.Садовничий (Москва, МГУ, 30 марта - 02 апреля 2010г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений посвященной СО-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения посвященной 70-летию чл.корр. АН РТ Э.М.Мухаммадиева (Душанбе, 28-30 июня 2011г.), на научно - исследовательских семинарах отдела прикладной математики и механики ИМ АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Илолов М.) в 2008-2012 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2011 г. '
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7|. В совместных работах [1-3], ¡5], М.Илолову принадлежат постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 70 наименований, занимает 110 страниц Машинописного текста и набрана на ЬАТЕХ'е. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, п которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении приводится краткий исторический обзор по исследуемой проблеме и даётся обоснование актуальности темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.
Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений с ак-кретивными операторами в банаховом пространстве и её приложений к конкретным начальным и начально-краевым задачам.
В первом параграфе первой главы приводятся определения нелинейного аккретивного оператора в банаховом пространстве, нелинейной полугруппы операторов и отображения двойственности.
Во втором параграфе первой главы приводятся различные утверждения об отображениях двойственности и аккретивности.
В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны основные теоремы о решениях абстрактной начальной задачи Коши.
Рассмотрим в банаховом пространстве X начальную задачу вида
^ + = (1)
ос
х(0) = Жц.Хо € X, (2)
где неизвестная функция х(() некоторая Х- значная функция, а семейство нелинейных операторов задано на множестве £>(Ж0) С Л", принимает
значения из множества Я(А(<)) С X и удовлетворяет следующим предположениям:
А1. Область определения О .оператора Л(<) не зависит от
б
А2. Существует постоянная L, такая что для всех у € D и s, t 6 [О, Т] 1И(')У ~ ^(s)y|| < L\t - s|(l + ||у|| + ||Л(з)у||);
A3. Для каждого t оператор A(t) m - аккретивный.
Имеют места следующие основные утверждения.
Теорема 1.3.1. Предположим, что X' равномерно выпуклое и условия Л1, Л2, A3 выполнены. Тогда для каждого х0 е D существует Х-значная функция x(t) на [0,Т], которая удовлетворяет уравнение (1) с начальным условием (2) .в следующем смысле:
a) x(t) равномерно непрерывно в смысле Липшица и а*(0) = х0;
b) x(t) € D для каждого t 6 [0,TJ;
c) слабая производная х(i) существует для всех t 6 [0,Т] и равна
A(t)x(t);
d) x(t) является неопределённым интегралом от интегрируемой по Бохнеру функции A(t)x(t), так что сильная производная от x(t) существует почти везде и равна —A(t)x(t).
Теорема 1.3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.3.1. И пусть x(t) uy(t) удовлетворяют условиям а),Ь),с) с начальными условиями х(0) = х0 и 5/(0) = уо, где х0,у0 в D(A(t)).
Тогда ||i(t) - y(t)|| < ||i0 - у0|| для всех t € [0,Г].
Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и пусть дополнительно, пространство X равномерно выпуклое. Тогда сильная производная — = -/l(t)r(t) существует и сильно непрерывна за исключением счётного числа значений I.
Замечание 1.3.1. В случае когда А(1) = А, приведённые выше теоремы представляют собой частичное обобщение теоремы Хилле-Филлипса-Иосида на нелинейный случай. В этом случае I > 0 произвольное число и подставляя x(t) = T(t)xо, находим семейство {T(<),0 < t < оо} нелинейных операторов {T(t)} действующих из D(A) в П(А).
Очевидно, что {T(t)} образует полугруппу генерируемой посредством оператора А. Эта нерастягивающая полугруппа на D(A) и она удовлетворяет условию
||Г(0ю - T(t)yo|| < ||хо - уи||.
Полугруппа T{t) может быть расширена по непрерывности до нерастя-гивающей полугруппы на затыкание [D(A)\.
Однако, необходимо заметить, что нельзя при этом доказать сильную дифференцируемое» T{t)xa при t = 0 для всех х0 € D(A).
В четвертом параграфе первой главы приведены примеры нелинейных аккретивных операторов.
В пятом параграфе первой главы исследуется модифицированная система Келлера-Сиджела.
Рассматривается задача нахождения функций (и, г/) - решений системы уравнений хемотаксиса с нелинейной диффузией концентрации хеморецепто-ров вида -
= д« - xV{«Vw),-x € п, е > о, (з)
di
= V(|Vv|"-2Vv) + и, х € П,t > 0, (4)
di
с граничными условиями типа Неймана
— — — = 0,х € 0,t > 0, (5)
ch) от)
где п - единичная внешняя нормаль к 8Q - граница области П С Я", и начальными условиями
tí(x,0) = 0) = I>o(X),:E € > 0, (б)
где u0(x),vQ{x) € L2(ST|.
В задаче (3)-(6) заданное число р > 2.
Замечание 1.5.1. В случае р = 2 система (3)-(6) является системой Келлера-Сиджела.
Имеет место утверждение. ди
Теорема 1.5.1. Предположимчто и,—, у/Ф^г е Ь2(П),ь0{х) = 0, где тр удовлетворяет условию
(ф € дп,ф(х) > 0 при х 6 П, \х(, = 0 на дП и = 0 па ЭП.
Тогда существует, и притом единственная функция v, обладающ следующими свойствами
и удовлетворяющая уравнению (4)-
Вторая глава диссертации посвящена автомодельным решениям простейшей модели хемотаксиса системы Келлера-Сиджела.
В первом параграфе второй главы рассматривается п- мерный случай системы Келлера-Сиджела .
^ = Ди - xV • (uVv),x € Rn,t > О,
at (7)
Av — —и, х 6 Я", i > О, и(0,х) = щ(х) > 0,1 € Я".
Автомодельные решения системы (Т) рассматриваются для случаев глобального решения по времени и решение с обострением. Сначала устанавливается утверждение леммы 2.1.1 об инвариантности системы (7) относительно преобразований
«-»рг. x€R"'fc>0, meR■
Затем устанавливается следующая теорема.
Теорема 2.1.1. Система (7) допускает автомодельные решения вида
\ф,0 = Р(О.
где х 6 Rn,t > 0,Т„ > = + Т0, и 0(£)>р(О " дваоюды непре-
i=l
рывно дифференцируемые неотрицательные функции.
В случае решения с обострением или явления "blow-up" в п- .мерном случае для системы Келлера-Сиджела (7) доказана следующая теорема. Теорема 2.1.2. Система (7)' допускает автомодельные решения вида
fu(x,t) = l£i®(0.
[u(®,t) = P(i).
П _
где х 6 Я", t < То, Т0 = const,£ = - t.
В третьем параграфе второй глапы рассматривается одномерный случай простейшей системы хемотаксиса
vXx = -и, а: € R,t > 0.
Вначале рассматриваем только систему (8), не формулируя для неё конкретную задачу. Начальные и начально-краевые задачи рассматриваются отдельно. Из системы (8), в частности, получим следующее уравнение
где ^(^-произвольная функция аргумента t. Имеет место следующая лемма.
Лемма 2.3.1. Уравнение (9) можно полунить из линейного уравнения теплопроводности
wt = wxx, (10)
преобразованием Хопфа-Коула где f'(t) = g(t).
Теорема 2.3.1. Eaiuw{x,t) > 0 любое, неотрицательное решение уравнения (10), то
v(x,t) = f(t) --lnw(x,t),
где f'{t) = g{t), является решением уравнения (9).
Основным результатом третьего параграфа второй главы является следующая теорема.
Теорема 2.3.2. Пусть f(t) - дифференцируемая функция, w{x,t) > 0 -решение уравнения (10),-тогда
7wxx(x,t)w(x,t) -w*(x,t) w2{x,t)
v(x,t) = f(t)-l]nw(x,t),
является решением системы (8).
В третьем параграфе второй главы также выписаны в явном виде частные ограниченные решения типа бегущей волны для системы (8).
10
Третья глава состоит из трех параграфов, и в ней рассматриваются разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы уравнений КеллерагСиджела в одномерном случае. Исследованы устойчивость, монотонность и единственность решения разностных схем, аппроксимирующие соответствующих дифференциальных задач и приведены алгоритмы решения разностных задач.
В первом параграфе третьей главы приведены основные понятия и вспомогательные леммы теории разностных схем.
Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача Дирихле для системы Келлера-Сиджела
^^ = -«(«,х),х€(0,1уе(0,Т], (12)
11(0,1) = ио(х),и(«,0) = <р(0.и(М) е (0,11,4 € (0,71, (13)
*М) = /»(0,«(М) = "(0,«6(0,Т]| (14)
где начальная функция ио(х) и функции ср(<), ^(¿),г/({), неотрицательны.
Чтобы построить разностную схему для задачи (11)-(14), предположим, что функции и(4,х) и и(£,х) достаточно гладкие.
Введём на [0,1] х [0, Т] равномерную сетку с шагом Л по переменной х и с шагом т по переменной то есть
| ьзк = {х, = = 0,..., ДГ, кЫ = 1}, |шт = {¿„ = пг, п = 0,..., К, Кг = Т}.
Будем обозначать через
Г у; = у{пт, з = 0,..., ЛГ.п = 0,..., К, [г? = г(пт, ]к),з = 0,.... Ы, п = 0,..., К,
приближённое решение задачи (11)-(14).
Для оценки сеточной функций г" = у" — и" на сетке го/,т используем следующую норму
112"1и...,= _____
0<7<ЛГ
1г"11сы = тах|г;|.
Введем следующие обозначения
уп .^УГ-У? я _У1- 1-Щ + &1 П6)
Т ' --р . С1«;
г"., — г" г" — г" _ ■)»" х гх,] ,А ^ > --/¡г-• (1?)
Используя обозначения (16), (17) заменим задачу Дирихле (11)-(14) разностной схемой
„п+1 , .п+1 „п _ „П4-1 _ + 1 ^ У] „пц-1 - - X -г*о +
■' 2/1 = 1,п = о, -1, (18)
¡/Г1 = р(«п+0, = ^(Сн), п = 0,К - 1, (19)
~ ио(х>),7 = 0,..., ./V, (20)
.п+1
гГ1 = м(«п+1),г^+1 = 1/(«п+1),п = 0,...,Л:-1. (22)
Имеет место следующая теорема.
= + = 1,п = 0,...,/<--!, (21)
Теорема 3.2.1. Яри достаточно гладких функций и(Ь,х) и раз-
ностная схема (18)-(22) аппроксимирует задачу (11)-(Ц) с первым порядком пот и вторым порядком по И в норме (15).
Основным результатом второго параграфа третьей главы является следующая теорема.
Теорема 3.2.2. Разностная схема (18)-(22), монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условий
ПИс^,) <
I
Разностную задачу (18)-(22) можно решить методом прогонки на каждом
{
слое.
Теорема 3.2.3. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (18)-(22) при условии '
Третий параграф третьей главы посвящен разностной схеме для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае.
' Рассмотрим задачу Неймана для системы Келлера-Сиджела
Зф£ = 8ММ) _ д_ /( N ^ (0,1), ¿6 (0, Г], (23)
д( дх2 дх\ дх >
= Эи(х.0| =0,(е(0,Т] (24)
дх 1х=о дх 1х=1
и(х,0) = щ(х) > 0,х 6 [0,1], (25)
),1),«.€(0>Т|, (26)
дх1
дг>(хЛ\ = :Мх,т =01<е(0)Т!1 (27)
дх 1х=п дх 1х=1 где функции и(х,0, ф,*) и начальная функция и0(х) достаточно гладкие.
Чтобы построить разностную схему для задачи (23)-(27) введём на [0,1] х [0, Т] равномерную сетку с шагом к по переменной х и шагом
г по переменной 4.
Разностные уравнения аппроксимирующие соответствующие дифференциальные уравнения в задаче Неймана во всех внутренних узлах сетки шнг будут такими же как в случае задачи Дирихле (11)-(14). И как известно из теоремы 3.2.1., эти разностные уравнения аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения с порядком 0(т + /г2). Чтобы сохранить такой же порядок аппроксимации при замене условий Неймана соответствующими разностными выражениями используем метод фиктивных точек. . Введём вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку= х0-к и будем считать исходное уравнение справедливым при ам < х. Тогда при х = 0, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при з = 0, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + /г2).
Чтобы сохранить порядок аппроксимации 0(т + к.2) при замене условий Неймана в точке х = 1, соответствующими разностными выражениями введем вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку хК+х = хдт + к и будем считать
исходное уравнение справедливым при хлг+1 > х. Тогда при х = 1, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = IV, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + к2).
Разностная схема аппроксимирующая задачу Неймана (23)-(27) с порядком 0{т + Л2) имеет следующий вид
(28)
У'»1 ~ У? = 2,(..П+1 _ „п+ь , т Уы ) +
„"+1 4. „п+1 ,,п _ „.п-И .п+1 ■
У>1 - Уг^ X 2Л- ^ +
+Х3 2/, '"Ч'У.З = 1.....ЛГ - 1,п = О, ...,К - 1,
УТ1-Уо" _ 2(уГ' -аГ1)
г Л2
-§(У5+1 + г/"+1)(г?+1 - гЦ+1),п = 0,..., К - 1, (29)
Л2
+ = (30)
■ гГ+1-гГ1 = -уг/?,п = 0,...,ЛГ-1, (32)
глг-\ ~ глгИ = —^Улт-1>п = 0,..., А" — 1. (33)
Теорема 3.2.7. Разностная схема (28)-(33) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии
[Мск,) <
В третьем параграфе третьей главы рассматривается также и схема с направленной разностью для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела,
В выражение ь1(1,х)их(1,х), функцию ьх(1,х) представим в виде суммы vx(tyx)=v;{t,x) + v+(t,x),
«£(*.*) = ¿(»«С«,®) - lv.Ce,®)!) <о,
, *) = ^Ы*. ®) +Ы*. ®)1) > о-
Вследствие этого в точке (£„+!> заменим дифференциальное выражение г>х(1,х)их(1,х), разностным выражением
2 Ухо "г 2 '
В этом случае разностная схема аппроксимирующая задачу Дирихле (11)-(14) с первым порядком по г и вторым порядком по Л имеет следующий вид
(1 + 27 + 7Х{,Г1)уГ1 ' (7 + у^н "
- (7 - ^^ + уСГ1)^' = = 1.....^ - " = -- ~ (34)
= = = (35)
= = 0,...,^, (36)
= = 1. = Л"-1- (3?)
= = (38)
Для задачи Неймана (23)-(27) получим следующую разностную схему с порядком аппроксимации 0(т + А2)
(1 + 27 + ~ (У + - у^Г1)^-
- (7 " + = У],3 = 1,.... N - 1,п = 0,Я" - 1, (39)
(1 + 27+-27ХПГ+1)УГ1 - 27г/Г1 = й> = 0.....Я - 1, (40)
(1 + 27 - - 27Улг-\ = п = О,..., К - 1, (41)
= = (42)
^Г1-^1-^1 = = 1.....Л--1.П = (43)
= = (44)
Л2 к лг"1 ~ ~2~ ~ 1, (45)
т
„п+1 _ п+1 „п+1
Ь ~
гп+1 _ ,п+1 о-п+1 , „п+1
Условия монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем (34)-(38) и (39)-(45) одни и те же. Поэтому сформулируем только одну теорему.
Теорема 3.2.11.Разностная схема (34)-(38) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии
(Ысм < Ь
Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Илолову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.
Список работ опубликованных по теме диссертации
1. Илолов М., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Параболические уравнения с аккретнвными операторами // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №12, с.795-«01.
2. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Об абстрактных уравнений с неограниченными нелииейностями и их приложений // ДАН РФ, 2009, т.486, №3, с.1-3.
3. Илолов М., Кучакшоев Х.'С. Уравнения с аккретнвными операторами // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы межд.науч.копф., поев. 70 - летию академика В.А.Садовничего. -Москва, 2009г., с. 152.
4. Кучакшоев Х.С. Разностные схемы для задачи Дирихле системы хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №11, с.838-847.
5. Илолов М., Кучакшоев Х.С. О модифицированных системах уравнений хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №3, с.165-172.
6. Кучакшоев Х.С. Автомодельные решения системы уравнений Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.424-431.
7. Кучакшоев Х.С. Ограниченные решения типа "бегущей волны" и некоторые частные решения системы Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан' 2011, т.54, №8, с.610-617.
Разрешено к печати 09.02.2012. Сдано в печать 10.02.2012. Бумага офсетная. Формат 60x841/16. Печать офсетная. Заказ 12. Тираж 100 экз.
Издательство "Дониш":734029, г. Душанбе, ул. С.Айпи, 121, корп. 2
Введение
1 Нелинейные эволюционные уравнения с аккретивными операторами
1.1 Основные определения и предварительные результаты
1.2 Аккретивность и двойственность.
1.3 Основные теоремы.
1.4 Возмущения т - аккретивных операторов.
1.5 О модифицированных системах хемотаксиса.
2 Автомодельные решения системы Келлера-Сиджела
2.1 Глобальное решение по времени в п-мерном случае
2.2 Решение с обострением в п-мерном случае
2.3 Ограниченные решения типа бегущей волны системы хемотаксиса в одномерном случае.
3 Разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела
3.1 Основные понятия и утверждения.
3.2 Разностная схема для задачи Дирихле системы Келлера-Сиджела.
3.3 Разностная схема для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела.
Работа посвящена теории эволюционных уравнений с нелинейными аккретивными операторами и ее приложений к разрешимости начальных и начально - краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Эволюционные уравнения с аккретивными операторами составляют раздел современного нелинейного функционального анализа и естественным образом возникают в процессе изучения разрешимости абстрактной начальной задачи Коши. Основным методом исследования является метод нелинейных полугрупп операторов. Указанный метод позволяет расширить класс рассматриваемых монотонных нелинейных уравнений на случай банаховых пространств.
В качестве приложения абстрактных результатов рассматриваются начальные и начально - краевые задачи для системы уравнений модели хемотаксиса.
Нелинейные абстрактные эволюционные уравнения и их приложений к конкретным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались в работах Красносельского М.А., Соболевского П.Е.[10], Вишика М.И.[1], Браудера Ф.Е.[39], Танабе Г.[68], Соболевского П.Е.[27], Брезиса Х.[37], Крендалла М.[44], Лионса Ж.-Л.[18], Яги А.[70], Карсатоса А.Г.[52], Лаптева И.Г.[3], Самойленко A.M., Илолова М.[25] и др. Метод нелинейных полугрупп операторов для эволюционных уравнений в банаховом пространстве впервые рассматривается в работе Като Т.
В настоящей работе вводятся новые классы эволюционных уравнений, обобщающие уравнения изученные ранее вышеназванными авторами и позволяет найти качественно новые приложения. Для простейшей модели хемотаксиса в работах Пертоме Б. [67] и других исследователей найдены глобальные решения соответствующей системы уравнений. В случае нелинейной диффузии установлены условия существования решений с обострением (blow-up). Отдельно изучается явление коллапса решений для модели хемотаксиса. Построены автомодельные решения системы Келлера-Сиджела. Автомодельные (инвариантные) решения являются не просто частными решениями, появляющимися по счастливому стечению обстоятельств. Во многих случаях они служат своеобразными "центрами притяжения" широкого множества решений этих уравнений, а также большого класса других параболических уравнений, полученных за счет "нелинейных возмущений" исходного (Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П.[23]). Для задач Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае построены разностные схемы и найдены условия монотонности, устойчивости и единственности решений.
Приводим краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.
Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений с аккретивными операторами в банаховом пространстве и её приложений к конкретным начальным и начально-краевым задачам.
В первом параграфе первой главы приводятся определения нелинейного аккретивного оператора в банаховом пространстве, нелинейной полугруппы операторов и отображения двойственности.
Во втором параграфе первой главы приводятся различные утверждения об отображениях двойственности и аккретивности.
В третьем параграфе первой главы сформулированы и доказаны основные теоремы о решениях абстрактной начальной задачи Коши.
Рассмотрим в банаховом пространстве X начальную задачу вида где неизвестная функция х({) некоторая Х- значная функция, а семейство нелинейных операторов задано на множестве В{А(1)) с
X, принимает значения из множества Я(А(1)) С X и удовлетворяет следующим предположениям:
А1. Область определения Б оператора А({) не зависит от
А2. Существует постоянная Ь, такая что для всех у е -О и 5 , £ е [О, Т] + A(t)x — 0,0 < i < Т, dt я(о) = х0, х0 е х, dt
1) (2)
Теорема 1.3.1. Предположим, что X* равномерно выпуклое и условия АЗ выполнены. Тогда для каждого xq 6 D существует
Х-значная функция x(t) на [О, Т], которая удовлетворяет уравнению (1) с начальным условием (2) в следующем смысле: a) x(t) равномерно непрерывно в смысле Липшица и х(0) = b) x(t) Е D для каждого t е [0,Т]; c) слабая производная x(t) существует для всех t £ [О, Т] и равна A{t)x(ty, d) x(t) является неопределённым интегралом от интегрируемой по Бохнеру функции A(t)x(t), так что сильная производная от x(t) существует почти везде и равна —A{t)x{t).
Теорема 1.3.2. Пусть выполнены предположения теоремы 1.3.1. И пусть x(t) и y(t) удовлетворяют условиям а),Ь),с) с начальными условиями :г(0) = хо и у{0) = ?/о, где яо, yo G D(A(t)).
Тогда ||z(¿) - y(t)\\ < \\xQ - у0|| для всех t 6 [О,Т].
Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1 и пусть дополнительно, пространство X равномерно выпуклое. Тогда сильная производная — = — A(t)x(t) существует и сильно непрерывна за исключением счётного числа значений t.
Замечание 1.3.1. В случае когда A{t) = А, приведённые выше теоремы представляют собой частичное обобщение теоремы Хилле-Филлипса-Иосида на нелинейный случай. В этом случае Т > 0 произвольное число и подставляя x(t) = T(t)xо, находим семейство {T(t),0 < t < оо} нелинейных операторов (T(í)}, действующих из D{A) в D(A).
Очевидно, что (T(í)} образует полугруппу генерируемой посредством оператора А. Эта нерастягивающая полугруппа на D(A) и она удовлетворяет условию
T(t)x0 - T(t)y0\\ < \\х0~у0\\.
Полугруппа T(t) может быть расширена по непрерывности до нерастяги-вающей полугруппы на замыкание [D(A)).
Однако, необходимо заметить, что нельзя при этом доказать сильную дифференцируемость T(t)xо при t = 0 для всех Е D(A).
В четвертом параграфе первой главы приведены примеры нелинейных аккретивных операторов.
В пятом параграфе первой главы исследуется модифицированная система Келлера-Сиджела.
Рассматривается задача нахождения функций (и, у) - решений системы уравнений хемотаксиса с нелинейной диффузией концентрации хеморецеп-торов вида ди(х, ¿) дЬ ду{х^) т Аи- xV(г¿Vг^),:г вП^>0, = V(^Vv^p-2Vv) + и, х е П,г > о, с граничными условиями типа Неймана ди дь ОТ] ОТ]
3)
4)
5) где 7] - единичная внешняя нормаль к дО, - граница области Г2 С Яп, и начальными условиями и(х, 0) = щ(х),у(х, 0) = Уо(х), а; е О, £ > 0,
6) где щ(х),уо(х) е ь2(п).
В задаче (3)-(6) заданное число р > 2.
Замечание 1.5.1. В случае р = 2 система (3)-(6) является системой Келлера- Сиджела.
Имеет место утверждение. ди ди
Теорема 1.5.1. Предположим, что и,—,
С/ С где 1р удовлетворяет условию дх;
Ф е и(П),-ф(х) > о при х е П, ф = 0 па и = 0 на дП.
Тогда существует, и притом единственная функция у, обладающая следующими свойствами у е 2/(о, Г; у е Ь2(П), о / оу 2 0у\ ^ ^ дх^ V ¿Ь^ / ' ' '
Л еЬ2(П),У»,
1 /
9х и удовлетворяющая уравнению (4).
Вторая глава диссертации посвящена автомодельным решениям простейшей модели хемотаксиса системы Келлера-Сиджела.
В первом параграфе второй главы рассматривается п— мерный случай системы Келлера-Сиджела ди = Аи - xV • {uVv),x € Rn,t> О,
Av =-и, хе Rn, t > 0, (7) ií(0,ar) = щ(х) >0,xe Rn.
Автомодельные решения системы (7) рассматриваются для случаев глобального решения по времени и решение с обострением. Сначала устанавливается утверждение леммы 2.1.1 об инвариантности системы (7) относительно преобразований t х и t —, х -—Tz, и —-—, V-+V, xeRn,k> 0, т G R.
Затем устанавливается следующая теорема.
Теорема 2.1.1. Система (7) допускает автомодельные решения вида v(x,t) =p(f), п где х в Rn, t > О, Т0 > 0, £ = (^x^/y/t + ТЪ, и 0(£), /?(£) - дважды i=i непрерывно дифференцируемые неотрицательные функции.
В случае решения с обострением или явления "blow-up" в п— мерном случае для системы Келлера-Сиджела (7) доказана следующая теорема. Теорема 2.1.2. Система (7) допускает автомодельные решения вида v(x,t) =р(£), п где х G Rn, t < Tq, Tq = const, £ = i
В третьем параграфе второй главы рассматривается одномерный случай простейшей системы хемотаксиса
Ц = ихх- x(uvx)x, X в R,t> 0, Vxx = —и, х G R, t > 0.
Сначала рассматриваем только систему (8), не формулируя для неё конкретную задачу. Из системы (8), в частности, получим следующее уравнение = У2х + д{1), (9) где -произвольная функция аргумента I. Имеет место следующая лемма.
Лемма 2.3.1. Уравнение (9) можно получить из линейного уравнения теплопроводности
Щ = ыхх, (10) преобразованием Хопфа-Коула w(x,t) = е 2 v(x,t)-f(t)) где f'(t) = g(t).
Теорема 2.3.1. Если w(x,t) > 0 любое неотрицательное решение уравнения (10), то 2 v(x,t) — f(t)--In w(x,t),
УС где f'{t) = g(t), является решением уравнения (9).
Основным результатом третьего параграфа второй главы является следующая теорема.
Теорема 2.3.2. Пусть f(t) - дифференцируемая функция, w(x, t) > 0 - решение уравнения (10), тогда +\ 2 wxx(x, t)w{x, t) - W2X(X, t) UL (ОС j t J — x w2(x,t)
In v(x,t) = f(t) - Jinw(x,t), является решением системы (8).
В третьем параграфе второй главы также выписаны в явном виде частные ограниченные решения типа бегущей волны для системы (8).
Третья глава состоит из трех параграфов, и в ней рассматриваются разностные схемы для задачи Дирихле и Неймана системы уравнений Келлера-Сиджела в одномерном случае. Исследованы устойчивость, монотонность и единственность решения разностных схем, аппроксимирующие соответствующие дифференциальные задачи и приведены алгоритмы решения разностных задач.
В первом параграфе третьей главы приведены основные понятия и вспомогательные леммы теории разностных схем.
Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача Дирихле для системы Келлера-Сиджела и) = -u(t,x),x е (0,1 ),t е (0,Т], (12) и(0,ж) = u0{x),u{t,0) = <p{t),u{t,l) =ф{г),х е [0,l],i 6 (О,Т], (13) v{t,0)=fi(t),v(t,l) = i/(t),t G (0,Т], (14) где начальная функция ио(ж) и функции tp(t), /¿(t), неотрицательны.
Чтобы построить разностную схему для задачи (11)-(14) предположим, что функции u(t,x) и v(t,x) достаточно гладкие.
Введём на [0,1] х [О, Т] равномерную сетку с шагом h по переменной а; и с шагом г по переменной t, то есть wa = {xj = jh,j = 0,N, hN = 1}, ojy = {tn = пт, n — О,., К, ifr = Г}.
Будем обозначать через у] = y(nr,jh),j = 0,N, п = 0,К, $ = ¿(пт, jTi), j = 0,iV,n = 0,., К, приближённое решение задачи (11)-(14).
Для оценки сеточной функций zj = у1- — и7- на сетке WhT используем следующую норму
Нем = \\zn\\cM (15) где zn\\c(wh) = max ^ ; о<j<Ni 3
Введём следующие обозначения h2 п ЧZL ■ »3+1 ,1бч > yxx,j ~~ ' V '
Используя обозначения (16), (17), заменим задачу Дирихле (11)-(14) разностной схемой п+1 , п+1 ?.П п+1 У3+1 ^ у3 п+1 , у и - Ухх,э X х>3
Х = 1,-,АГ- = 1, (18)
Уо+1 = = ^(¿п+1),« = 0,А- - 1, (19) = (20) У^),= 1, АГ - 1, п = 0,., X - 1, (21) К*п+1), п = 0,., К- 1. (22)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.2.1. При достаточно гладких функциях г) и г>(£,ж) разностная схема (18)-(22) аппроксимирует задачу (11)-(Ц) с первым порядком по т и вторым порядком по к в норме (15).
Основным результатом второго параграфа третьей главы является следующая теорема.
Теорема 3.2.2. Разностная схема (18)-(22) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии
А\см < ^
Разностную задачу (18)-(22) можно решить методом прогонки на каждом слое.
Теорема 3.2.3. Метод прогонки устойчив для разностной схемы (18)-(22) при условии
А\с{шНг) < ^
7 - т
Третий параграф третьей главы посвящён разностной схеме для задачи Неймана системы Келлера-Сиджела в одномерном случае. Рассмотрим задачу Неймана для системы Келлера-Сиджела ди{р, х) х) дх ж=о дх 0,«€(0 ,Т] (24) х=\ и{х, 0) = щ{х) > 0, х е [0,1], (25) = -и(^х),х е (0,1),* е (о, т], (26) дх 0,*е(0 ,Т], (27)
Х=1 где функции ж), и начальная функция мо(:с) достаточно гладкие.
Чтобы построить разностную схему для задачи (23)-(27) введём на [0,1] х [0, Т] равномерную сетку Ш}1Т с шагом к по переменной х и шагом т по переменной
Разностные уравнения, аппроксимирующие соответствующие дифференциальные уравнения в задаче Неймана, во всех внутренних узлах сетки Шкг будут такими же, как в случае задачи Дирихле (11)-(14). И как известно из теоремы 3.2.1 эти разностные уравнения аппроксимируют соответствующие дифференциальные уравнения с порядком 0(т + К2). Чтобы сохранить такой же порядок аппроксимации при замене условий Неймана соответствующими разностными выражениями, используем метод фиктивных точек.
Введём вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку х\ = хо — /г и будем считать исходное уравнение справедливым при Х-\ < х. Тогда при х =
0, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = 0, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + к2).
Чтобы сохранить порядок аппроксимации 0(т+/г2) при замене условий Неймана в точке х = 1, соответствующими разностными выражениями введем вне отрезка 0 < х < 1 фиктивную точку $N+1 = ждг + /г и будем считать исходное уравнение справедливым при хм+1 > Тогда при х —
1, заменяя в условиях Неймана производные симметричной разностью, из разностных уравнений (18),(21) при j = N, получим соответствующие разностные уравнения с порядком аппроксимации 0(т + К2).
Разностная схема, аппроксимирующая задачу Неймана (23)-(27) с порядком 0(т + /г2), имеет следующий вид уП+1 + уП+1
П+1 I п+1
Х = 1.= 0.1С-1, (28)
2/0п+1 - Уо 2(У1+1 - Уо+1) т
Н2
Уоп+1 + - п = 0} .,К — 1, (29) у^1)- п = о,А' - 1, (30)
-\{Уи + у^х),.7 = 1, АГ - 1, п = 0,К - 1, (31) гп+1 ¿п+1 = п = о,^ 1, (32)
- = = О, .,К- 1. (33)
Теорема 3.3.2. Разностная схема (28)-(33) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии г. п+1 xx,]
Ыс(шНт) < \|М1с(ЫЛт) < Ту тх
В третьем параграфе третьей главы рассматривается также и схема с направленной разностью для задачи Дирихле и Неймана системы Келлера-Сиджела.
В выражение ух(^,х)их{Ь,х) функцию их^,х) представим в виде суммы их(Ь,х) = у~(Ь,х) + я), где ^ у~(Ь,х) = ~{ух{г,х) - К(М)|) < о, \ух(Ь,х)\) > 0.
Вследствие этого в точке (£п+1, заменим дифференциальное выражение ух(Ь,х)их{Ь,х), разностным выражением п+1 , |~п+1| п+1 |~п+1| х,з ' п+1 , '¿-,3 ' 1 п+1
2 У 2 ^ '
В этом случае разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле (11)-(14) с первым порядком по г и вторым порядком по И, имеет следующий вид
1 + 27 + ТХЗГ1)У?" - (т+ fтЩ1 ~
- (7 - ^ + = у?,з = 1, - N - 1, п - 0,К - 1, (34) у%+1 = = ф(гп+1 ),п = 0,А- - 1, (35)
36)
37) М^тн-0,= ^п+х), П = 0,., ЯГ - 1. (38)
Для задачи Неймана (23)-(27) получим следующую разностную схему с порядком аппроксимации 0(т + /г2)
1 + 27 + 1ХИТ1)уТ1 - (7 + ^ЦИ
- (7 - + ^Т1)У1Х1 = У?, 1 = -> ^ - 1.« = 0,. к - 1, (39)
1 + 27 + 27Х^+1)у£+1 - 27^+1 = $,п = 0,А" - 1, (40)
1 + 27 - 27Х^+1)^+1 - 2- п = 0,X - 1, (41) 0, (42)
43)
1 1 ип (44)
- = = 0, * - 1, (45) где г
Л*' п+1 з - гз гз-1 ' £П+1 „П+1 О „п+1 I -П+1
Условий монотонности, устойчивости и единственности решений разностных схем (34)-(38) и (39)-(45) одни и те же. Поэтому сформулируем только одну теорему.
Теорема 3.3.9. Разностная схема (34)-(38) монотонна, устойчива и имеет единственное решение при условии
1. Вишик М.А. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков // Матем. сб., 1962, 50(доп.), с.289-325.
2. Забрейко П.П., Короц Ю.В. Об одной модификации теоремы Минти -Браудера // Докл. HAH Беларуси, 2011, т.55, №5, с.22-28.
3. Лаптев И. Г. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве // Математичекие заметки, 2002, т.71, №5, с.214-227.
4. Илолов М. Динамические системы для нелинейных эволюционных уравнений. Современные проблемы математики и её приложения. Материалы межд. науч. конф., поев. 70-летию чл.корр. АН РТ Мухаммадиева Э.М., Душанбе, 2011г., с.47-50.
5. Илолов М., Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Параболические уравнения с аккретивными операторами // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №12, с.795-801.
6. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Об абстрактных уравнениях с неограниченными нелинейностями и их приложениях / / Доклады Академии наук, 2009, т.428, №3, с.310-312.
7. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Уравнения с аккретивными операторами. Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы межд. науч. конф., поев. 70 летию академика В.А.Садовничего. - Москва, 2009г., с.152.
8. Илолов М., Кучакшоев Х.С. О модифицированных системах уравнений хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №3, с. 165-172.
9. Илолов М., Кучакшоев Х.С. Нелинейная диффузия и хемотаксический коллапс // ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №11, с.873-879.
10. Красносельский М.А., Соболевский П.Е. Дробные степени операторов, действующих в банаховых пространствах // ДАН СССР, 1959, т.129, с.499-502.
11. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.:Наука, 1966, 499 с.
12. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.:Наука, 1967, 464 с.
13. Кучакшоев Х.С. Разностные схемы для задачи Дирихле системы хемотаксиса // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №11, с.838-847.
14. Кучакшоев Х.С. Автомодельные решения системы уравнений Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.424-431.
15. Кучакшоев Х.С. Ограниченные решения типа "бегущей волны" и некоторые частные решения системы Келлера-Сиджела // ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №8, с.610-617.
16. Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Разностные схемы для задачи Неймана системы хемотаксиса. Современные проблемы математического анализа и их приложений. Материалы межд. науч. конф., поев. 60-летию академика Бойматова К.Х., Душанбе, 2010г., с.59-60. г
17. Кучакшоев Х.С., Гулджонов Д.Н. Автомодельные решения системы уравнений хемотаксиса. Современные проблемы математики и её приложения. Материалы межд. науч. конф., поев. 70-летию чл.корр. АН РТ Мухаммадиева Э.М., Душанбе, 2011г., с.59-60.
18. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972, 587 с.
19. Мамедов Я.Д. Односторонние оценки в условиях исследования решений дифференциальных уравнений в Банаховых пространствах. -Элм, 1971, 117 с.
20. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Абстрактная задача Коши // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Дифференц.уравнения М.: ВИНИТИ, 1999, 100 с.
21. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. -М.:Мир, 1977, 232 с.
22. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.:Наука, 1989, 430 с.
23. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.:Наука, 1987, 480 с.
24. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, 656 с.
25. Самойленко A.M., Илолов М. К теории неоднородных по времени эволюционных уравнений с импульсным воздействием // Докл АН СССР, 1991, т.316, №4, с.822-825.
26. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.:Высшая школа, 1989, 383 с.
27. Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных схем // Докл.АН.СССР, 1971, т.205, №5, с.1063-1066.
28. Тупчиев В.А, Фомина Н.А. О корректности двумерной краевой задачи для системы уравнений хемотаксиса / / Математическое моделирование, 2001, 13, 2, с.95-106.
29. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.:Наука, 1990, 536 с.
30. Хилле Э., Филлипс П. С. Функциональный анализ и полугруппы. -М.:ИЛ, 1962.
31. Adler J., Chemotaxis in Bacteria // Ann.Rev.Biochem., 1975, 44, p.341-356.
32. Alt W., Hoffmann G. Biological motion // Lecture Notes in Biomath. -Springer-Verlag, 1989, 89.
33. Balakrishnan V. Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them // Pacific.J.Math. 1960, 10, p.419-437.
34. Berg H.C. Random Walks in Biology // Princeton University Press, 1993, p.164.
35. Biler P., Nadzieja T. Global and exploding solutions in a model of self-gravitating systems. Preprint 2002.
36. Biler P., Nadzieja T. A class of nonlocal parabolic problems occurring in statistical mechanics // Collor.Math., 1993, 66, p.131-145.
37. Brezis H., Nirenberg L. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm.Pure Appl.Math., 1988, 36, p.437-477.
38. Brenner M.P., Levitov L., Budrene E. V. Physical mechanisms for chemo-tactic pattern formation by bacteria // Biophys.J.,1995, 74, p.1677-1693.
39. Browder F.E. Semicontractive and nonlinear mappings in Banach spaces // Bull.Am.Math. Soc.,1968, 74, p:660-665.
40. Childress S. Chemotactic collapse in two dimensions // Lecture Notes in Biomath. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1984, 55, p.61-66.
41. Cohen M.A., Robertson A. Chemotaxis and the early stages of aggregation in cellular slime mould's // J.Teor.Biol 1971, 31, p.119-130.
42. Cole, J. D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quart. Appl.Math., 1951, v.9, №3, p.225-236.
43. Corrias L., Perthame B., Zaag H. A Chemotaxis model motivated by angiogenesis // C.R.Acad.Sci.Paris, 2003, Ser. I, 336, p.141-146.
44. Crandell M. G., Evans L. C. On the relation of the operator ^ + ^ to evolution governed by accretive operators // Israel J.Math., 1975, 21, p.640-665.
45. Dolbeault J., Perthame B. Optimal critical mass in two dimensional Keller-Segel model in R2 // C.R.Math.Acad.Sci.Paris, 2004, 339, p.611-616.
46. Fitzgibbon W.E., Proc.Amer.Math. Soc., 1974, 44(2), p.359-364.
47. Forsythe G.E., Wasow W.R. Finite-Difference Methods for Partial Differential Equations., Yohn Wiley and Sons, Inc., New-York-London, 1960.
48. Herrero M.A., Medina E., Velázquez J.J.L. Finite time aggregation into a single point in a reaction-diffusion system // Nonlinearity, 1970,10, p. 17391754.
49. Hillen T., Potapov A. The one-dimensional Chemotaxis model: global existence and asymptotic profile // Math. Meth. Appl. Sei, 2004, 27, p. 1783-1801.
50. Hortsmannn D. From 1970 until present: the Keller-Segel model in Chemotaxis and its consequences. Max-Planc-Institute Preprint,2003.
51. Jager W., Luckhaus S. On explosion of solutions to a system of partial differential equations modeling Chemotaxis // Trans. Amer. Math. Soc., 1992, 329, p.819-824.
52. Karsatos A.G. Perturbations of M-accretive operators and quasi-linear equations // J.Math.Soc.Japan 1978, v.30, №1, p.75-84.
53. Kato T. Nonlinear semigroups and evolution equations // J.Math.Soc.Japan, 1967, 19, p.503-520.
54. Kenmochi N. Accretive mappings in Banach spaces // Hiroshima Math. J., 1972, 2, p.163-177. J.Math.Soc. Japan, 1978, v.30, №1, p.163-177.
55. Keller E.F., Segel L.A. Initiation of slime mold aggregation viewed as instability // J.Theor.Biol.,1970, 26, p.399-415.
56. Keller E.F., Segel L. J.Theor. Biol., 1971, 30, pp.235-248.
57. Kobayashi Y. Product formula for nonlinear contraction semigroups in Banach spaces // Hiroshima Math.J., 1987, 17, p. 129-140.
58. Komura Y. Nonlinear semi-groups in Hilbert space // J.Math.Soc. Japan, 1967, 19, p.493-507.
59. Nagai T., Senba T., Yoshida K. Application of the Trudinger-Moser inequality to a parabolic system of Chemotaxis // Funk. Ekvacioj. 1997, 40, p.411-433.
60. Nagai T. Blow-up of radially symmetric solutions to a Chemotaxis system // Adv.Math.Sci.Appl., 1995, 5, p.581-601.
61. Nagai T., Senba T., Yoshida K. Punk.Ekvacioj, 1997, 40, p.411-433.
62. Nagai T., Senba T. Global existence and blow-up of radial solutions to a parabolic-elliptic system of Chemotaxis // Adv.Math.Sci.,Appl., 1998, 8, p.145-156.
63. Nanjundiah V. Chemotaxis, signal relaying, and aggregation morphology //J. Theor. Biol., 1973, 42, p.63-105.
64. Okazawa N., Yokoma T. Perturbation theory for m-accretive operators and generalized complex Ginzburg-Landau equations // J.Math.Soc. Japan, 2002, v.54, №1, p.2-19.
65. Pasquet M. at all. Hospicells (ascites-derived stormal cells)promote tu-morigenicity and angiogenesis // Jnt. J. Cancer, 2010, 126, p.2090-2101.
66. Patlak C.S. Random walk with persistence and external bias // Bull.Math.Biophys., 1953, 15, p.311-338.
67. Perthame B. PDE models for chemotactic movements. Parabolic, hyperbolic and kinetic // Appl.Math., 2004, №6, p.1-28.
68. Tanabe H. Evolution equations of parabolic type // Proc.Japan Acad., 1961, 37, p.365-413.
69. Yagi A. Abstract Parabolic Equations and their Applications -Berlin: Springer Verlag., 2010, p.581.
70. Yagi A. Norm behavior of solutions to the parabolic system of Chemotaxis // Math. Japonica, 1997, 45, p.241-265.
