Об одном семействе экстремальных задач и свойствах соответствующего класса нелинейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Изопериметрическая задача при наличии интеграль ных ограничений

1.1. Постановка основной экстремальной задачи

1.2. Необходимые условия и редукция уравнения Эйлера-Лагранжа к интегралу.

1.3. Исследование нулей функции Р(р, д, г, ¡л)

1.4. Достаточные условия экстремума.

1.5. Наилучшие приближения и поперечники

2. Экстремальные задачи в пространствах с весом

2.1. Корректность основной задачи.

2.2. Существование экстремальной функции.

2.3. Необходимые условия экстремума

2.4. Поперечники по Колмогорову.

2.5. Качественные свойства нелинейного уравнения (2.19)

2.6. Случай р = д = г = 2 задачи (2.1)-(2.3) и функции Лежандра.

2.7. Вычислительная схема поиска симметричного решения задачи (2.1)-(2.3) при р —

2.8. Основная теорема при р = 2.

2.9. Явное решение задачи (2.1)-(2.3) при д = оо, г —

2.10. Решение задачи (2.1)-(2.3) в случае р = г — 2, д =

у"(х) + Х2у{х) = О, лежающему в основе многих построений в математике, физике, технике. Однако теоретический и практический интерес исследований в последнее время смещается в сторону нелинейных дифференциальных уравнений.

В диссертации исследуются семейства экстремальных задач для вещественнозначных, абсолютно - непрерывных функций , у (ж), определенных на отрезке [-1, 1], р,> 1

-1 \у{х)\9(Их -> вир, Д |У (ж)Г-1 Sgn (у (х)) =

0-1) и

-1 IУ (х)\яс1х -> вир, Иг {1-х2) \у'(х)\Чх< 1,

1-11 У 8ёп (У (х)) ¿х = о

0.2) и классы нелинейных дифференциальных уравнений yiP-1sgn (у'(х))У + A'IyWl^sgn (у(х)) = с\у(х)Г2 (0.3)

1 - х2)\у'{х)Г1щп{у'{х)))' + A^Mr^gn (</(*)) = с\у(х)Г2 (0.4) с дополнительными ограничениями.

К нелинейным уравнениям степенного типа приводят задачи, часто встречающиеся в приложениях. Одна из постановок известна как задача Лагранжа или задача о наиболее прочной колонне заданного объема. История этой задачи такова.

В 1773 году, развивая работы JI. Эйлера [75] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [21] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р: найти форму колонны (упругого тонкого тела вращения), максимизирующую критерий << прочности >> (solidité) где Рс - критическая сила потери устойчивости, а V - объём колонны.

Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли - Эйлера (гравитационные силы не учитываются) 7 и

Pc

0-5) тах—,

Е1у")н + Ру" = 0,0 <x<L,

0.6) где у(х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, Цх) = nR'l[x)/4 -момент инерции стержня круглого сечения радиуса R{x), штрихи обазначают дифференцирование по ж.

Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирания колонны на обоих концах у (0) = (Е1у")х=о = 0, у{Ь) = (Е1у")х=ь = 0. (0.7) Объем колонны описывается интегралом

А(х)с1х, . (0.8) где Л (ж) = тг112(х) - площадь поперечного сечения. Для удобства введем безразмерные переменные х° = х/Цу° = у/Ь, а{х°) = А(Ьх°)1/У1\ = 4ттРЬ4/{ЕУ2). (0.9)

Тогда соотношения (0.6)-(0.8) примут вид (нолики над символами х°, у() здесь и ниже опускаем) а2(х)у")" + Ху" = 0,0 < х < 1, (0.10) 6 у(0) = (аУ)г=о = 0, у( 1) = (аУ)»=1 = 0, (0.11) а{х)(1х — 1. (0.12)

Соотношения (0.10), (0.11) определяют задачу на собственные значения. Таким образом, задача Лагранжа сводится к максимизации первого собственного значения А при изопериметрическом ограничении (0.12). Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж [21] пришел к выводу, что оптимальное решение задачи - колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя членом - корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [76]. Оптимальное решение имеет вид ао(х) = 4/3 бш2 в(х), уо{х) = зт30(ж), в — 1/2 эт 29 — ттх, 0 < 9 < < х < 1, (0.13)

А0 = 4/Зтг2.

Собственная функция уо{х) (форма потери устойчивости) определена с точностью до произвольного множителя. Критическая сила Ао для решения (0.13) в 4/3 раза превосходит соответствующее значение для колонны постоянного сечения а(х) = 1 и одинакового объема V = 1.

Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описаны в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [77], опубликованной в

1907 г. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов отметим статью Н.Г. Ченцова [78], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (193.5 г.).

В последние годы задача Лагранжа стала популярной в США. Хотя эта задача и решение Клаузена упоминаются в книге С.П. Тимошенко [79] по истории механики, Клиффорд и Трусделл [80], не зная о Т. Клаузене и его российских последователях, предложили задачу Лагранжа американским ученым Дж. Келлеру и Г. Вайнбергу. Оба ученых с этой задачей успешно исправились. Однако работа Г. Вайнбергера осталось неопубликованной, а Дж. Келлер [58] не только повторил решение Клаузена, но и показал, что для выпуклых поперечных сечений оптимальная колонна имеет форму равностороннего треугольника.

Однако в 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Рас-муссен [81] обнаружили, что решение, приведенное в работе Tad-jbakhsh I. и Keller J. В. [56] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). В работах А.П. Сейраняна [24], [82] были приведены условия оптимальности бимодального решения, указаны условия его возникновения и найдено аналитическое решение для случая жесткой заделки с обоих концов. Почти одновременно аналогичные результаты опубликовал американский ученый Е. Мейзур [83]. Оказалось, что бимодальные решения для жесткой заделки, полученные разными методами в [24, 81-83], хорошо согласуются друг с другом.

Задача Лагранжа продолжает вызывать интерес исследователей. Отметим работы С. Кокса и М. Овертона [36], С. Кокса [35], критику этих статей Ф. Кирмсером и К. Ху [84] с ответом С. Кокса [85], а также работу Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева [86]. В работе [90], следуя публикациям А.П. Сейраняна [87], А.П. Сейраняна и О.Г. Приваловой [88, 89], задача Лагранжа рассматривается для случая упругой заделки колонны с обоих концов.

Задача Лагранжа эквивалентна следующей экстремальной задаче д(х))рс1х ехЬг, и" + д{х)и — 0, и(0) =и(1) = 0, д(-) > о,

0.14) где и = Е1(х)у"(х) и V - прогиб стойки. Действительно, д(х) = РЕ-1{1(х))~1 = РЕ-1{САа{х))~1 = РА~а(х)/(ЕС),

1 1 Р1/0 Г1

У(х) = /0 А(Х)с1Х = /0 (ЕСд(х)/РГ11"с1Х /0 9'"' т.е. Р = -а-1, где Р - сжимающая сила, 1(х) - момент инерции относительно плоскости, перпендикулярной направлению прогиба, Е - модуль Юнга, А(х) - площадь сечения стержня.

Задача (0.14) оказалась связана также с проблемой устойчивости решений уравнения Штурма-Лиувилля. Этой теме впоследствии были посвящены работы Ляпунова [43], Борга, Жуковского [44], М. Крейна [18], Левина [45], Егоров и Кондратьев [29], [46] и много другие. Преведем следующий результат

Теорема 1. ([45]) Пусть у + сиу = 0, ш имеет период Т, ^ си(£)<й > 0 и для некоторого г, 0 < г < 1,

Тогда у ограничена по модулю константой, которая не зависит от у.

При г = 1 этот результат получен Ляпуновым в 1892 г., г = 0 -Жуковским в 1892 г., г = 1/2 - Боргом в 1944 г., в общем случае -Левиным в 1962 г. В работах [3, 45] доказано, что при р е [1/2,1] оптимальная в (0.14) функция д(-) выражается через решение уравнения вида где ¡1 однозначно определяется тем, что у из (0.15) не имеет нулей на (0, 1): при р > 1 extr в (0.14) означает min, при р < 1/2 - тах. При р е [1/2,1] задача (0.14) неограничена ни сверху, ни снизу.

IKIli/r < С{г)Тг-2,ш+ = тах(а>,0),

С (г) = 7Г(1 - Г)1+'Г2(Ц^)( 2 - г)-Т-2(1

2У' где Г - гамма-функция и определена таким образом у(х) + M^^H^sgnfe^)) - 0,у(0) = у(1) - 0, (0.15)

Уравнение (0.15) - это уравнение Эйлера-Лагранжа [48-49] изопери-метрической задачи о у2{%)(1х —У ехЬг, < /о \у{х)\р^¿X — 1, у( 0) = у( 1) = 0. ч

Таким образом имеет место связь задачи Лагранжа с а) задачей об устойчивости решений дифференциальных уравнений; б) решением нелинейных уравнений Штурма-Лиувиллевского типа; в) изопериметрической задачей.

Эта связь также иллюстрируется в работе [55]. Там рассматривается следующая задача Лагранжа, которая представляет собой исследование экстремальных значений функционала д(х)у"2{х)ёх

Ь[Я,у] = °—1-, (0.16) у'(х)2(1х при условиях 1

I С1{х)а(1х = 0, (2(х) > 0, а Ф 0; (0.17) о у(0)=з/'(0) = у(1)=у/(1) = 0. (0.18)

Легко видеть, что задача (0.16)-(0.18) эквивалентна вариационной задаче на экстремум функционала Q{x)y'2(x)dx ! -, (0-19) y(x)2dx при условиях (0.17) и i у(0) = у(1) = 0, f y(x)dx = 0. (0.20) о

Уравнение Эйлера-Лагранжа функционала F имеет вид

ЯШ)' + М = С (0.21) при условии i/(0) = у( 1) = 0. Справедливы следующие:

Теорема 2. ([55], с. 904) Пусть а £ R—0, К - множество функций Q удовлетворяющих (0.17) и Н = И^^О,1). Пусть та = inf. inf. HQ, у],Ма = sup inf L[Q, у]. QzK yeH уен

Тогда

1. Ma < оо при а > Ма = оо при а < —

2. та > 0 при а < — 1 и та = 0 при а > —1.

Теорема 3. ([55], с. 905) Если а < —1, то существуют функция у £ Н и функция Q, удовлетворяющая (0.17), такие, что у" Цх) = 0(x)rt1 и —— (aiTTlJ . \2' 2 2а/ где В - функция Эйлера, B(m,n) = ^fol+ff и Г - гамма функция

12

Если а > — ф 0, то существуют функция у е Н и функция <5 удовлетворяющая (0.17), такие, что у"2(х) = 0(х)а~1 и

Ц01У} = ма.

Далее, если а > 0, то а \2а; + 1/ 42 2 2а,

Если — ^ < а < 0, то

Мв = 16(-1/а-2) (^з) ^ а + 1 У1-1/0 ( °г ¿1 ^

1+¿2)1/2-1/2^

Другом важным случаем рассматриваемого семейства экстремальных задач (0.1) и (0.2) является работа [57]. Здесь исследуется следующая экстремальная задача: у"\\ьр{О,1} . ({х 00ч . —тт (0.22)

Н?/1к[о,1] при условии

2/(0) = г/(1) = 0,уЧ0) = - 0. (0.23)

Ее решение дает точные оценки для собственных значений дифференциальных операторов в задаче Лагранжа об устойчивости колоны [3, 42, 55, 58, 59].

Стандартные рассуждения позволяют установить, что рещение задачи (0.22)-(0.23) существует, причем экстремаль можно искать среди функций у с одной переменой в [0,1] знака производной у'.

Замена у'{Ь) = х{Ь) приводит к задаче

Ум^шш (0.24) 1Ик[од] при условии

1х^)(И,х( 0) = х{1) = 0. (0.25) о

В силу однородности функционала (0.24) можно считать, что х нормирована в Ьд{0,1]:

1Ык[од] = 1. (0-26)

Необходимые условия экстремума в (0.24)-(0.25) (см. [48]) приводят к нелинейной краевой задаче

Иг)Г^п (*'(*)))' + А-^МГ^П (*(*)) = сь € [0,1], ж(0) = ж(1) = 0 при условии

У'1 х(г)(И = 0, (0.28) о причем значение функционала (0.24) на решении задачи (0.27)-(0.28) равно

Исследование уравнения (0.27) при ограничениях (0.28) и (0.26) приводит к алгебраическому уравнению Е Г 7ГТ—~ТШПр = (°'29>

1 + цх — \х\ч)1'Р 14 где = хгМ < *2. = ' вещественные нули функции 1 +

Поскольку „ 0) - 0, то вопрос о ненулевых решениях уравнения

0.29) приводит к задаче бифуркации нулевого решения [61]. Справедлива следующая

Теорема 4. ([57]) Пусть 1 < р, я < оо. ! а) При д > Зр уравнение (0.29) имеет положительное решение. б) Существует такое г > 0, что при д < 2р + е уравнение (0.29) не имеет ненулевых решений.

Задача подобная (0.24) возникает также в математической статистике при исследовании условий локальной асимптотической оптимальности непараметрических статистических критериев [60].

Нелинейные уравнения (3) возникали, начиная с 17 века, в различных задачах механики и математики. Исследование их спектров было начато Люстерником, который использовал топологическую теорию Люстерника-Шнирельмана. Они естественным образом появляются в задачах теории аппроксимации, связанных с наилучшими методами приближения (т.е. поперечниками) соболевских классов.

В 1936 году в работе [5] Колмогоровым было введено понятие поперечника установлено, что п—поперечники соболевского класса И^'(/) (где I - отрезок вещественной оси) в'пространстве. ¿2(7) совпадают с величинами А"1— спектральными числами уравнения (3) при р = <7 = 2 и некоторых граничных условиях. После исследований Тихомирова 60-х годов по поперечникам функциональных классов [6] им была выдвинута гипотеза о связи п— поперечников соболевских классов ИГр{1) в метрике Ьд(1) при р > д со спектром нелинейного дифференциального уравнения (3) [7]. Эта гипотеза исследовалась во многих работах [8-12] и была доказана А.П. Буслаевым и В.М.

Тихомировым [13-15].

В 1974 Тихомиров В. М. посмотрел задачу о пеперечниках по Колмогорову классов Wrv в метрике Lq[-1,1] ([73]). Напомним, что пространством W£([-1,1]) называется совокупность функций у(х), у которых - абсолютно непрерывная функция такая, что у^(х) е Lp[—1,1]. Под классом мы понимаем совокупность функций у(х) G Wp([-1,1]), для которых < 1- Поперечником называется следующая величина dn(W;,Lq[-l,l])=mf sup inf ||2/(-)-^-))ki-u]- (0-30)

Общий ответ в поставленной задаче о пеперечниках при р > q выписывается в терминах экстремалей изопериметрической задачи jl \y\qdx sup (0.31) при условии

Iy[r)\pdx < 1. (0.32)

В работе [73] получено значение dn(Wp, Lq[—1,1]) для нескольких важнейших частных случаев.

Нелинейные уравнения типа (3) возникают в классической механике в задаче о колебаниях системы с неквадратичной функцией Лагранжа [16]. Рассмотрим конкретный пример механической системы, малые колебания которой описываются нелинейной моделью

Лагранжа [17-19], а уравнением вида (3), [20]. Груз массы ш, который может перемещаться без трения по горизонтальной плоскости, упруго закреплен с помощью вертикальной пружины с коэффициентом жесткости Со. Требуется найти частоту малых свободных колебаний системы, если в положении равновесия натяжение пружины отсутствует, а ее длина равна ¿о-Имеем

С0х4 Т х'

10 и для малых колебаний получаем

Со ч г, тх + = 0.

2 Ц

0.33)

Уравнение (0.33) является частным случаем (3) и явно не зависит от поэтому допускает первый интеграл, откуда несложно определить частоту колебаний.

------------------

XXX XXX

Рис.2 Малые нелинейные колебания

В 1937 г. Люстерник исследовал класс нелинейных уравнений [26]

2к {Гу (1хРу\

А у

0.34) где F(x,y,y>) есть функция однородная четной степени 2к относительно у и у'. Уравнение (0.34) есть обобщение уравнения Штурма-Лиувилля, в которое оно превращается при F = Ry'2 + Ру2■ Именно, оно пишется следующим образом

Р(х)у(х) - ±ЩхШх)] = Ау2*-1. Рассмотрим решения этого уравнения при начальных условиях у (а) = у(Ь) = 0.

Заметим, что уравнение (0.34) возникает при исследовании изопе-риметрической задачи

Sl{R(x)y'2{x) + P(x)y2(x))dx extr,

Ihay2k{x)dx = 1, y(a) = y(b) = 0.

Если при некотором значении А это уравнение имеет нетривиальное решение у(х) ф 0, то у(х) будем называть собственной функцией, а А - собственным значением. Мы предполагаем, что Fyiy> > 0 при любых у та у' для случая, когда F есть однородная функция порядка 2, и Fy'yi > 0 при у2 + у'2 ф 0, если порядок однородности 2к > 2.

На уравнения типа (0.34) распространяются основные теоремы теории уравнения Штурма-Лиувилля. Именно:

Теорема 5. ([26]) 1) Существует счетная последовательность Ат < А2 < . < Хп < . вещественных собственных значений.

2) Числа Ап растут, как п2к, где 2к - порядок однородности F.

3) Нули двух различных решений уравнения (0.34) перемешаются (теорема Штурма).

4) Собственная функция уп(х), отвечающая п—му по величине соб-ственому значению Ап, обращается внутри интервала (a, b) (n — 1) раз в нуль.

5) Расстояние между двумя смежными нулями собственной функции уп{х) заключено между ^ и где с\ и С2 > с\ - положительные константы.

6) Назовем сопряженными два нуля любого нетривиального решения уравнения Fy — ^Fy> = 0 [которое для уравнения (0.34) играет роль уравнения Якоби].

Для того, чтобы функционал был существенно положителен, т.е. чтобы ^у] > 0 при у(х) ф 0, необходимо и достаточно, чтобы закрытый справа интервал (а, Ь] не содержал значений, сопряженных к о.

7) Для того, чтобы уравнение (0.34) имело ровно к отрицательных собственных значений, необходимо и достаточно, чтобы интервал (а, Ь) заключал ровно к значений, сопряженных к а.

Заметим, что в [1], [4] а также в [28] изложены другие результаты класса уравнений (0.34). Качественный анализ спектра линейного уравнения Штурма-Лиувилля далеко продвинут [50, 1, 18, 19, 51, 43,

52, 53].

Рассматриваемые экстремальные задачи (0.1)-(0.2) и уравнения

0.3)-(0.4) также встречаются в исследовании некоторых точных неравенств. Например, в работе БЬаупе \¥аЫгоп [62] требуется найти наилучшую константу в неравенстве Виртингера ьч\а,Ь] < Сд>р,в(Ь - а)1 + * *\\/'\\ьч[а,Ь), где ¡(9) = 0 и 9Е [а, Ь], которая эквивалентна отысканию нормы отображения А : Ьр[а,Ь] —у Lq[a,b],Af(x) := ¡д f(t)dt.

Пусть := И7'™ [а, Ь} - соболевское пространство функций / таких, что /(п-1) абсолютно непрерывные в [а, 6] и Lq := Ьр[а,Ь]. Для решения изопериметрических экстремальных задач вида m III/ 1км J sup {||/|U,M : f(9) = 0, |)/'|UpM ■= 1, / e И/]} , (0.35) стандартный вариационный подход дает условия, чтобы / была стационарной точкой функционала Релея

J ■' / 1—► / 6 /(0) - 0, Wf'W^b] = 1.

II/ lUpM

Уравнение Эйлера-Лагранжа задачи (0.35) имеет вид

1/Т (Лу + А-^/Г^п (/) - 0, (0.36) в [а, 6] \ {(9} и при П/'Нх, [а,ь] = 1 и условиях трансверсальности. Заметим, что уравнение (0.36) есть уравнение (0.3) при с = 0. Некоторые результаты этих задач получены в работах [6, 14, 27, 29, 47, 63, 64]. Итак справедлива следующая

Теорема 6. ([62]) Пусть 0<д<оо,1<р<ооиа<6><6. Тогда, для любой у £ УУр[а,Ь] такой, что у{0) = О, справедливо следующее неравенство

1Ык,М < У " С(ч,р)(Ь - а)1+М|№,М|, где 1/2 <У<1иО<С<1 определены таким образом

М)

1/2 + |1/2-#|)1+',-1 <t<0 + (1 — 0)1+«У , 0 < £ < оо , <?(») (1Г}(1)^г(1 + 1)Г(1 + 1)

Р 1 + '(р')-1 = и ™ считается 0.

В первой главе диссертации исследуется экстремальная задача (0.1). Имеет место

Теорема 7. Пусть р > 1. Тогда а) Значение задачи (0.1) ограничено сверху. б) Экстремальная функция задачи (0.1) существует. в) Экстремальная функция задачи (0.1) имеет ровно одну перемену знака.

Необходимые условия экстремума для задачи (0.1) имеют вид (\У'Г~18ёП (у'(х)))' + Л'|у(х)|'-188П (у(х)) = с\у(х)Г2,

11|у(Ж)Г18ёп(?/(х))^-0, ' у'{-1) - у>(1) = 0.

Исследование задачи (0.37) приводит к уравнению где ух = г/](^) < 0 < г/2 = Уг(^) - вещественные соседние нули функции 1 + |л\y\r~1sgrl(y) — \у\д. Итак имеем

Теорема 8. Для любых ¡л € Я, 1 < р, д, г < оо, д > г — 1 - ~ (2г - 1)) Л - (г - 1)(</ - (г - 1))^/2, (0.39) гс^е

Л = = у[\у?{г-1^у

I (1 + М'-^ЫУ) - ШЩя +(ч-{г- 1))уи|2/|'-1зёп(у))' к = /2(р,д,г,д) =

У-2

3(Г 1)^

2/1

1 + [1\у\г-^п(у) - \у^Р(д + (д-(г- l)){J,^y¡r~1sgn(y))

2 '

Теорема 9. Пусть 1 < р, д, г < оо, д > г — 1. а,) Яр« д > р(2г - 1) уравнение (0.38) имеет положительное решение. б) Существует такое е > 0, что при д <рг + е уравнение (0.38) не имеет ненулевых решений.

Отсюда следуют следующие достаточные условия экстремума задачи (0.1):

Теорема 10. Пусть 1 < р, д, г < оо, д > г — 1. а) При д < рг экстремальная функция задачи (0.1) - симметрична относительно начала координат и является решением ураву\х)Г1^у\х))) + АМяОГ^пМ*)) = 0 (0.40) с минимально возможным положительном числом А и соответствующими ограничениями. б) При q > р(2г — 1) экстремальная функция задачи (0.1) несимметричная и описывается уравнением (0.3) с числом с ф 0.

Теоремы 8-10 обобщают соответствующие утверждения работы [57].

Во второй главе исследуется задача (0.2). Она является аналогом задачи (0.1) для норм функции и ее производной с тем отличием, что в первом ограничении норма с весом (1 — ж2).

Сначала выясним, при каких соотношениях на параметры р, д, г, 1 < р, д, г < оо все функционалы в (0.2) определены и когда значение этой задачи конечно. Имеет место

Теорема 11. Пусть 1 < р, д,г < оо, | - ^ < 1, -р - ~ < 1. Тогда значение задачи (2.1) - (2.2) ограничено.

Необходимые условия экстремума для задачи (0.2) имеют вид

1 - а^И^врт (у'))' + А^ГЧп (у) = с\уГ2,

11(1-х2)\у'(х)\Рс1х = 1, 1-1 \y{x)\r-1sgn(y(x))dx = О,

1тО г-2

0.41)

Уравнение Эйлера задачи (0.2) не может быть исследовано тем же методами, что аналог для задачи (0.1). Для уравнения Эйлера (0.41) задачи (0.2) симметричное решение в условиях теоремы 11 существует и оно равно функции у2, где

При некоторых значениях р, д, г это симметричное решение является экстремальной функцией задачи (0.2). Но имеет ли всегда место это наблюдение?

В этой главе мы докажем, что при некоторых значениях р, г симметричное решение уравнения Эйлера задачи (0.2) не является ее экстремальной функцией. Иначе говоря, мы докажем, что при этом экстремальная функция несимметрична. Кроме того, исследуется явное решение задачи (0.2) при некоторых значениях р, с/, г. Имеем

Теорема 12. Пусть в задаче (0.2) р = 2иоо>г>2. Тогда существует такое до — до (г) > 2, что для любого д > до экс

У2{х) = {у*+(х),х > 0-,-уК~х),х < 0} и у*+(х) - экстремальная функция задачи о \у(х)\чдх)1/ч тах, 1о1(1-х2)\у'(х)\Чх<1 2/(0) = 0. тремалъная функция задачи (0.2) несимметрична и удовлетворяет уравнению Эйлера

1 - Х2)у'{х))' + А^ОгОГ^пЫ*)) = С\у(х) г—2 с числом С ф- О.

Далее рассматриваются некоторые частные точные решения. Теорема 13. Пусть в задаче (0.2) р = 2,6/ = 1,г = 2. Тогда решение задачи (0.2) существует, имеет одну перемену знака на [-1, 1], и с точностью до нормировки является единственным решением уравнения

1-х2)у'(х)У + \8£п((у(х))) = 0, ¡11у(х)ах = 01Р{у) = 1, (1 - *М*)|±1=Ро = 0.

Точное решение в этом случае есть функция у(х) = с\ 1п(1 + ж), х > О ~с\ 1п(1 — ж),х < О, где с\ = (2(21п2 — I))"1/2, и является одновременно и решением урав-"Н/СНИЛ Эйлера и экстремальной функцией.

Этот результат можно обобшить по р, т.е. при оо > р > 1, д = 1, г — 2, а именно справедлива

Теорема 14. Пусть в задаче (0.2) оо > р > 1, д — 1, г = 2. тогда решение задачи (0.2) существует, имеет одну перемену знака на ■{-!, 1], и с точностью до нормировки является единственным решением уравнения

1 - х2)\у'(х)Г^п(у(х)))> + AsgniM*))) - О, (l-x2)\y'(x)rhgn(y(x))\±iTQ = 0.

0.42)

Рассматривается также (0.2) при q = oo,r = 2, т.е. экстремальная задача

Il2/(s)llc[-u] max, l-x^y'ix^dxKl, (0.43) fi1y(x)dx = 0.

Исследование задачи (0.43) проводится с помощью вспомогательной задачи у( 1) тах,

0.44)

-1 у(яг)Лс = 0. Таким образом имеем

Теорема 15. Значение задачи (0.44) ограничено тогда и только тогда, когда р > 2 и равно

Л Sl^l +

1 (1-х2)¥=Г

- max -----i—.

2 u^L^y

V (l-z2)^ J

При этом решения задач (0-43) и (0-44) эквивалентны. Экстремальная функция монотонная, имеет одну перемену знака и задается соотношением

1. Данфорд H., Шварц Дж. Нелинейные операторы. Спектральная теория. М.:Мир. 1996.

2. Sturm С. Sur les équations à différences partielles // Journ. des Math. 1836. p.1-72.

3. Егоров Ю.В., Кондратьев В.A. Об оценках первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля // УМН. 1984. т.39. N.2(236). с.151-152.

4. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М:ГТТИ. т.1. 1933.

5. Колмогоров А.Н. О наилучшем приближениии функций заданного функционального класса, в кн. Избранные труды. Математика и механика. М:Наука. 1985 (N.28. с.186-189).

6. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:Изд. Моск. Ун-та.1976.

7. Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач и теория приближений // Banach Center Publications. 1979. v.4. p.273-285.

8. Тихомиров В.М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференциальных функций в пространстве // Матем. сб. 1969. т.80. N.2. с.290-304.

9. Miccheli С.A., Pinkus A. On a widths in L°° // Trans.Amer. Soc. 1977. v.234. p.139-174.

10. Miccheli C.A., Pinkus A. Total positivity and the exact n-width of certain sets in Lx // Pacific J.Math. 1977. v.71. p.499-515.

11. Pinkus A. n-widths of Sobolev spaces in LP. // Constructive Approx. 1985. v. 1. N.l. p.15-62.

12. Vallée Poussin. Sur la fonction de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux Arts de Belgique. 59(1899). 1-74.

13. Буслаев A.П., Тихомиров В.M. Некоторые вопросы нелинейного анализа и теория приближений // ДАН СССР. 1985. т.283. N.1. с.13-18.

14. Буслаев А.П. Экстремальные задачи теории приближений и нелинейные колебания // ДАН СССР. 1989. т.305. N.6. с.1289-1289.

15. Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Спектры нелинейных уравнений и поперечники соболевских классов // Матем.сб. 1990. т.181. N.12. с.1587-1606.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.:ГИФМЛ. 1958.

17. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика, т.1-2. М-Л.: Гостехиз-дат. 1950.

18. Крейн М.Г. Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специального вида//Матем.сб. 1934. т.41. с.339-348.

19. Гантмахер Ф.Р., Крейн М.Г. Осциляционые матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.Л.:Гостехиздат, 1950.20. .Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.:Наука. 1987.

20. Lagrange J.L. Œuvres. Paris:Gauthier-Villars. 1868. v.2.

21. Троицкий В.А., Петухов JI.В. Оптимизация формы упругих тел. М.:Наука. 1982.

22. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.:Мир. 1971.

23. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа // Изв.АН СССР. сер.МТТ. 1984. N.2. с.101-111.

24. Сейранян А.П. Оптимальное проектирование балок с ограничением на чистоту собственных колебаний и критическую силу устойчивости // Изд.АН СССР. МТТ. 1976. N.1. с.147-152.

25. Люстерник Л.A. Sur une classe d'équations différentielles nonlinéaires // Матем.сб. 1937. т.2(44). c.1143-1168.

26. Тихомиров В.M. Некоторые задачи в теории приближений. Диссертация. МГУ. Москва. 1970.

27. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. ГИФМЛ. Москва. 1961.

28. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем.заметки. 1977. т.22. в.2. с.231-234.

29. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А.Об оценках главного собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Вестник Моск. Унта. сер.1. Матем. Мех.1991. N.6. с.5-11.

30. Рапопорт И.М. Об одной вариационной задаче в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями // ДАН СССР. 1950. т.73. N.5. с.889-890.

31. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения х^ + pi(t)x^v' + . + Pn{t)x = 0 // Успехи матем.наук. 1969. т.24. N.2. с.43-96.

32. Братусь А.С. Кратные собственные значения в задачах оптимизации. Спектральные свойства систем с конечным числом степеней свободы. // Журнал Вычисл. Матем. и Мат. Физики. 1986. с.1-7.

33. Братусь А.С., Сейранян А.П. Биномиальные решения в задачах оптимизации собственного значения // Прикл. Мат. Мех. 1983. т.47. с.451-457.

34. Сох S.J. The shape of ideal column // The Mathematical Intelligencer. 1992. v.14. p.16-24.

35. Cox S.J., Overton M.L. On optimal design of columns against buckling. // SIAM J. Math. Anal. 1992. v.23. p.287-325.

36. Ramm A.G. Question 5 (Part 2) // Notices Amer. Math. Soc. 29. 1982. p.328-329.

37. Talenti G. Estimates for eigenvalues of Sturm-Liouville problems // General inequalities, 4, in W. Walter ed.,Birkhauser, Boston. 1984 p.341-350.

38. Essen M. On estimating eigenvalues of a second order linear differential operator // ISNM. 80. Birkhauser. 1987. p.347-366.

39. Egorov J.V., Karaa S. Optimization of the first eigenvalue of Sturm-Liouville operator // C.R. Acad. Sci. Paris, t.319. serie.I. 1994. p.793-798.

40. Karaa S. Extremal eigenvalues in some Sturm-Liouville problems // C.R. Acad. Sci. Paris, t.321. serie I. 1995. p.265-270.

41. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об одной оценке первого собственного значения оператора Штурма-Лиувилля // Вестник Моск.Ун-та. сер. 1 Матем. Мех. 1990. Т.6. с.75-78.

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движениа. М.:Наука. 1950.

43. Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения // Матем.сб. 1892. т.16. в.З.

44. Левин А.Ю. Об одном критерии устойчивости // УМН. 1962. т.17 N.3. с.211.

45. Алексеев В.M.,Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука. 1979.

46. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.M. Сборник задач по оптимизации. М.:Наука. 1984.

47. Васильев Д.Г. Асимптотическая спектра краевой задачи // Тр. Моск. Матем. Общ. 1986. т.49. с.167-237.

48. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функццй комплексного переменного. М.:Наука. 1965.

49. Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.:Мир. 1981.

50. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.:Наука. 1970.

51. Тихомиров В.М. А.Н.Колмогоров и теории приближений // УМН.т.44. в.1(265). с.83-122.

52. Egorov Y.V., Kondratiev V.A. On a Lagrange problem // C.R. Acad.Sci. Paris, t.317. série I. p.903-908.

53. Tadjbakhsh L, Keller J.B. Strongset columns and isoperimetric inequalities for eigenvalues //J.Appl.Mech. 1962. v.29. p.159-164.

54. Буслаев A.П., Кондратьев В.A., Назаров A.И. Об одном семействе экстремальных задач и связанных с ним свойствах одного интеграла // Матемематические заметки, т.64. в.6. 1998.

55. Keller J.B. The shape of the strongest column // Arch.Rat.Mech. and Anal. 1960. N.5. p.275-285.

56. Daracogna В., Gambo., Subi'a N. Sur une généralisation de l'inégalité de Wirtinger // Ann.Inst.Henri Poincarré. 1992. v.9. N.l. p.29-50.

57. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.:Наука. 1995.

58. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу. A4.: Мир. 1977.

59. Waldron S. Schmidt's inequality // Technical report Department of mathematics. Technion. Israel Institute of Technology. 1996.

60. Buslaev A.P. Some properties of the spectrum of nonlinear equations of Sturm-Liouville type// Russian Acad. Sci. Sb. Math. 80(1). 1995. p.1-14.

61. Буслаев А.П. О точных константах и экстремальных функциях в неравенствах для производных // Матем.заметки. 1987. т.41. в.2. с.159-174.

62. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. ГИФМЛ. М. 1958.

63. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. ИЛ. 1956.67: Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. ИЛ. Москва. 1962.

64. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи и теории приближения.М.: Наука. 1976.

65. Буслаев А.П., Селезнев О.В. Об одном классе экстремальных задач, связанных с асимптотической эффективностью непараметрических критериев // Рукопись. 2001. 11с.

66. Anderson T.W., Darling D.A. Asymptotic theory of certain "goodness-of-fit" criteria, based on stochastic processes // Ann.Math.Statist. 1952. v.23. n.2. p.193-212.

67. Могульский. Замечания о больших уклонениях статистики со2 // Теория вероятностей и математическая статистика. 1977. т.22. в.1. с. 170-175.

68. Ляпунов А*М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр.соченений. т.2. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1956.

69. Тихомиров В.M. Теория экстремальных задач и теория приближений. Киев. 1974.

70. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ. 1948.

71. Эйлер Л. Об упругих кривых. В кн.: Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. М.-Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1934. с. 447-572.

72. Clausen T. Uber die form architektonischer Sàulen // Bull. cl. physico-math. Acad. St.-Petersbourg. 1851. Tome IX. P. 371-380.

73. Николаи E.JI. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Изв. С.-Петрсбургского политех, института. 1907. Том VIII. Вып. 1. С. 255-288. См. также в кн.: Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1955. С. 9-44.

74. Ченцов Н.Г. Стройки наименьшего веса /•/ Тр. ЦАГИ. 1936. Вып. 265. 48 с.

75. Timoshenko S.P. History of the Strength of Materials. New York: McGraw-Hill. 1953.

76. Truesdell C. Essays in the history of Mechanics. Berlin: SpringerVerlag. 1968.

77. Olhoff N. Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns. Internat. J. Solids Struct. 1977. V. 13. N. 7. P. 605-614. См. также в кн.: Ольхофф Н. Оптимальное проектирование конструкций. М.: Мир. 1981. С. 138-154.

78. Сейранян А.П. Об одной задаче Лагранжа // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. N. 2. С. 101-111.

79. Masur E.F. Optimal structural design under multiple eigenvalue contracts // Intern. J. Solids Structy. 1984. V. 20. N. 3. P. 211-231.

80. Kirmser P.G., Ни K.-K. The shape of the ideal column reconsidered // The Mathemat. Intelligencer. 1993. V. 15. N. 1. P. 62-67.

81. Steven Cox responds. The Mathemat. Intelligencer. 1993. V. 15. N. 1. P. 68.

82. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об оптимальной форме.колонны // Доклады АН. 1996. Т. 350. N. 6. С.727-729.

83. Сейранян А.П. Новые решения задачи Лагранжа // Доклады АН. 1995. Т. 342. N. 2. С. 182-184.

84. Привалова О.Г., Сейранян А.П. Закритическое поведение бимодальных оптимальных стержней // Изв. АН. Механика твердого тела. 1999. N. 2. С. 168-177.

85. Сейранян А.П., Привалова О.Г. Закритическое поведение оптимальных стержней с двумя формами потери устойчивости // Доклады АН. 1999.Т. 366. N. 4. С. 486-489. '

86. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны. Препринт N. 60-2000. Институт Механики МГУ. Москва. 2000.

87. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука. Москва. 1977

88. Абессоло Ж.М., Буслаев А.П. Об одной экстремальной задаче Виртингера // Современные методы в теории краевых задач: док. школы конф. - Воронеж ВГУ. 1999. 8 с.

89. Абессоло Ж.М., Буслаев А.П. Одно семейство экстремальных задач // Тез. докл. школы конф. по теории функции, её приложения и смежные вопросы. Казань КГУ: Изд-во Казан.ун-та. сент. 1999. с.6-7.

90. Абессоло Ж.М., Буслаев А.П. Об экстремальной задаче Виртингера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. док. школы конф. - Саратов СГУ: Изд-во Сарат.ун-та. янв.-вевр. 2000. с.4. >

91. Абессоло Ж.М., Буслаев А.П. Об одном семейсте экстремальных задач // Москва. МГАДИ(ТУ). 2000. 16 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 12.05.00. N.1382-600).

92. Абессоло Ж.М., Буслаев А.П. Экстремальная задача Лежандра-Виртингера и свойства нелинейных уравнений // Матем.заметки. 2002. сдана в печать.