Об ограниченности одного класса интегральных операторов в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске фукнций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРУТЮНЯН АНАИТ ВАГИНАКОВНА

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ В ПОЛИДИСКЕ ФУНКЦИИ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН — 1992 г.

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Армении.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ф. А. Шамоян

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. АН Армении В. С. Захарян кандидат физико-математических наук, доцент Е. С. Мкртчян.

Ведущая организация: Ереванский государственный университет.

Защита состоится . % ' ЩрИлЯ- 1992 г. в час. на заседании специализированного совета К 055.01.12 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван-49, Мравяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан . * 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физ.-мат. наук V ^ г ' АРУТ10НЯН Т.Н.

~ /1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В теории классов Харди и их многочисленных шложениях существенную роль играет внешне-внутренняя факториза-я, построенная еще в начале нашего столетия в классических рабо-х Г.Сегз, М.Рисса, Р.Неванлинны, В.И.Смирнова. В работах Б.И.Ко-нблюма (1971), В.П.Хавина (1971), Ф.А.Шамояна (1971), было уставлено, что указанная факторизация может быть успецко применена я изучения классов голоморфных в круге функций и гладких вплоть его границы.

Эти результаты основаны на том, что многие классы указанного па инвариантны относительно тёплицевых операторов вида / к.({,: = Р+С^- , при всех ограниченных аналитических в круге ч)ункп;м , . Здесь Р+ - известный проектор М.Рисса. Операторы последнего па играют существенную роль не только при изучении вопросов фак-ризации, но и при исследованиях замкнутых идеалов в алгебрах ана-;тических функций, при изучении метрических проекций, при исследо-нии вопросов наилучшего приближения рациональными функциями и д. Эти исследования в дальнейшем были продолжены в одномерном учае в работах Ж.П.Кахана, Ф.А.Шамояна, Е.М.Дынькина, В.Пмтера, В.Хрущева, В.А.Толоконникова и др., в многомерном случае в клас-х голоморфных в шаре функций в работах А.Б.Александрова, П.Р.Ахе-:а и Р.Шнейдера. Поэтому представляется актуальным исследование :алогичных вопросов в пространствах голоморфных в поликруговых об-стях функций, особенно в полидиске.

Цель работы. I) Изучить поведение -операторов Та в анизотро-:ых пространствах Н (<*<»••• > и Нк (¿<>~<, <<*■) при

- (сКо—, ои), -{¿^'с+^о, Кг Оп, & 2+,

2) В связи с представлением линейных непрерывных функционалов пространствах Н^о-оЛ«-^ о ^ р ^ / исследовать классы

Л — и «¿О . Изучить поведение кратных интег-

ралов типа Коши в указанных классах.

3) В терминах смешанных производных получить полную характеристику классов + с .

Общая методика исследования.В диссертации используются метод классического комплексного и гармонического анализа, теории классов Харди. В работе существенную роль играют многомерные ядра ( ^ . впервые введенные М.М.Джрбашяном (1945).

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти "применение в задачах теории функций одной и нескольга комплексных переменных в теории операторов, в гармоническом анал! зе и т.д.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва^ лись на семинаре комплексного анализа Института математики АН Ре> публики Армении (руководитель - акад. М.М.Джрбашян), на Саратове' кой школе по теории функций.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и-списка литературы. Общий объем работы - 125 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 28 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем некоторые обозначения. Пусть [г = (2,2.*-) <= С |гЦ1 ^ 1- , У 4 ¿£ п.] - - единичный полидиск 71 -мерного комплекса го пространства С* ,Т= Ш * }

его остов, Ни/^ - множество всех голоморфных в и* функций. Символом Б обозначим множество измеримых неотрицательных на (0,1) функций и? , для которых существуют положительные числг

1иО , М-чЭ , ^ , причем т^ , С= (0,1 ) , такие, что

* - 6 ли из ', при всех Ъ & (.0, 1) [ ^ и .

илг.)

зть и;.; <& ) ^ .. Обозначим через Ь

асс измеримых по Лебегу в I/*" функций / , для которых

эсь Мх^СЬ) - ¿и -мерная мера Лебега на I/ . Далее, через Н^'»— »

обозначим класс голоморфных в ^ функций £ , для которых , в которых

эдится аналогичная норма. Отметим, что при (г-! , иЛ-Ь) - , эти пространства впервые были введены и изучены в рабо-¡с М.М.Джрбашяна (1945, 1948). В этих же работах М.М.Днрбашяка но получено интегральное представление этих классов, а именно: доказал, что если , / < р «с г оо , то каждая функция

<= Нрдопускает представление:

f т.

эгомерное ядро М.М.Джрбашяна

1J • гдо

: , -< <i /¿j ^ п. , 2, 5 <s U играют суще-

зенную роль при изучении результатов первой и третьей главы дис-ртации.

Приведем теперь определение интегродифференциального операто-дробного порядка: Пусть - - > , * ,

Ü <V , fe HC ISV , f(2J = CU , положим

• ltl-ьо -

4i 2) Y^ rWfr+O-•• ГСдС^-i-+ i)

Uu-о

При целых к - /¿-О "2 определим обратный" оператор О'""

по формуле:

о

2- г-; ^ и"

Очевидно, что если , то О*/ <5 Н (, а

- $ • Обозначим через Л*,—**. , ) ^

с<} - I класс функций ^ <г Н С и V , для

которых при Д > , ^ М- выполняется оценка

ЛР = ^Р

л * гв-г/4- с

В первой главе мы исследуем ограниченность тёплицевых операторов в пространствах типа НР(<0 . Напомним, что оператором Тёп-лица с символом <= называется следующий интегральный

оператор: гр о , Г V) <¿1*. (Т),

Исследуя 'б. на пространствах ,- мы, естественно,

рассматриваем их сначала на всюду плотном подмножестве Н^-', ска-нем, в подмпжестве ССЦ*) П — С/\{1)У и найдем полное описа-

ние тех символов , при которых соответствующий оператор тоет ограниченное расширение всюду на этих пространствах. Часть приведенных результатов в одномерном случае ранее была получена О.А.Шамояном. Подчеркнем, однако, что поведение операторов вида

существенно отличается от одномерного случая и от случая сферы Так, например, классическая теорема И.И.Привалова о гладкости интеграла типа Коши от гладкой функции в случае тора не имеет места, хотя в случае сферы хорошо известен прямой аналог этой теоремы.

о

|—п

Определение 1.1. Скажем, что суммируемая на I функция >инадлежит классу Р Р , если коэффициенты Фурье функции рав-[ нулю вне множества 2 + + ).

Символом Нр( СГ-)

обозначим класс Харди в

В первом параграфе главы I доказана следующая теорема:

Теорема 1.1. Пусть 0 р ^

. Тогда следующие ут-

рждения равносильны:

1) действует в ; ^

2) функция ^ представима в виде + , где

Во втором параграфе главы I изучается условие ограниченности ератора Тёплица при Р ^ ^ . Для формулировки доказанных орем, введем в. рассмотрение также классы

Теорема 1.2. Пусть И ¿НЧиУ, = Р+({ - V

гда если Тс ) является ограниченным оператором в НР("<-) , то н^) и Н , Я/^. И обратно, й-

ЛзКР и .где - мулъти-

икатор пространства С<) то

действует

пространстве Нр(<<-).

При различных соотношениях мезду Я и . получаются

зличные ограничения на функции Л .

Теорема 1.3. Предположим, что £ И Р ,

гда если НР(О , при любой то

и этом: К.= + , где ЪьН'СиУ, О "Чкв НН*), : , Ркр-1). Обратно: если А.= + где

<й , ¿2. - мультипликатор пространства Н^м . то

действует в

Отметим также, что имеет место аналог этой теоремы, когда при

некоторых = р; "< ^ ^П..

Третий параграф главы I посвящен изучению ограниченности оп< ратора 1еЛ£) в пространствах Нр(с , при 1 }

К = б 2"+ .

Теорема 1.4. Пусть , Е- £ Я Р , при этом

+2. . ^ о - • Тогда следущие утверждения равносильны:

1) Ть, (р <2 («О > ДЛЯ любой Нр^и ) > = М<

2) = ^ + , где - мультипликатор пространства

В нижеприведенных теоремах предполагается, что функция я ляется граничным значением аналитической в ^ функции.

В следущей теореме необходимое условие .близко к достаточно ' Теорема 1.5. Пусть Тхф = Р* (/. £ ) ,

Р - I при этом: - 1 ^ И- . тогда если 7£/.

действует в пространстве НР1с. , то удовлетворяет условию

о Е( •• .1) г*.

^ _

^ С^оЦУтг-,.--(2

о Л

-11*1

при = £ .

Обратно. Если и удовлетворяет оценке (2)

при , то 7%. ({) действует в Н£ («О, * = <е 2 + .

• Теорема* 1.6. Пусть ин'Ш4^ = Р+0<.р * 1

ск +2. +1 -ь^ ^ и. . Тогда действует в НРк. С л

к- (.Кг.--, 2^+ тогда и только тогда, когда К. £ И V^

I I Р

Случай пространств Н* при 1 Р * рассматривав!

в § 4 этой главы. Кроме того, здесь же приведены приложения рез]

льтатов, полученных в § I - § 4.

Теорема 1.7. Пусть ЫНЧс/У, 7р?*

при этом: р ? + < , и- . Тогда если Tz(fiJ дей<

вует в Н^М. ¥■- С)с,,.., 2 + , то Ш'У.Иобр!

о: если (L<s Н°°( U*) , то .Ц) Ч " при любой £ <£• ИР1С (л) •

Теорема 1.8. Пусть £_<sR.P , p?-f , Kj р £ ¿j И , 'огда если Il(£) действует в НРк(°0 , = ( io>-v к-О <£-2-t ¿= , TO H-&I + , где R-t&H^iUV, с

£ Н £ + £ J ; M = т..'? ^ - 4 •

Обратно: если Lz (t, + С2. , где £-< , - мультипликаторы оответственно пространств И П Mj-<-fc + , то

ТХ. J действует в Н i << ) .

Наконец, приведем приложения доказанных теорем к вопросам де-[ения на внутреннюю функцию в пространствах НР><- .

Определение 1.2. Функция ^sH^l называется внутрен-

[ей, если ее радиальные предельные значения почти всюду на ' гдовлетворяют условию I -=■ £.

Определение 1.3. Внутреннюю функцию ^ в ^ будем казы-¡ать хорошей, если Hi <¡1 ~ С-

Напомним, что UL^l - это наименьшая % -гармоническая мэ-юранта функции в

V.

Теорема 1.9. Пусть означает один из классов H^^J при

l^p^i и с (К)+Ор , i-ij^"- или Hit. ioi-J при

icKJ+icKjp , i j 6 и- , J - хорошая внутренняя функция и Р- , где Fe Н1(иУ. Тогда F Нрк (¿}.

В заключение отметим, что из получанных теорем нетрудно вывести 'ограниченность операторов вида

{%)■ ; -¿eU^ie HW Jft ИЦ

з указанных пространствах. Для этого нужно заметить, что имеет ме-зто равенство , • я -п-.—-—г- , . г„

fimlHLii _ L. (olMMbL^it), 2c- о.

При получении результатов глав I и П применяется описание сопряженных пространств (Нр(1Лп—, иМ) ПрИ о^р^^-сяо ^ получен них Ф.А.Шамояном.

Глава П посвящена некоторым анизотропным пространствам голоморфных в полидиске функций. Отметим, что при , исход-т из ' теоремы Харди-Литллвуда, нетрудно видеть,-что определенные выше классы совпадают с классами функции

= 1] , при нецелой

^ и иРИ, В) , Где ПрИ целой ^ ,

при этом 1ч р Н> и ) понимается как класс А.Зигмунда, где Однако, при такое утвервдение неверно: из оценок смешан-

ных производных не следует гладкость функции в С"".

Наша цель - привести новые классы голоморфных■в V функций, гладких в , которые в определенном смысле более близки одномерным лшпдицевым классам, чем многомерные липшицевые классы. Здесь мы исследуем мультипликативные свойства .этих классов, кроме того, мы доказываем, что как и в одномерном случае в терминах этих классов можно получить полное описание сопряженного пространства

¿О)* при 0р 4 -( . Указанное обобщение нас привело к другому вопросу, на первый взгляд отдаленного от первого. Хорошо известно, что по теореме Привалова интеграл типа Коши по окружности от липшкцевой функции сама литиицева в и . В случае тора аналог этого результата не имеет места. Отсюда возникает вопрос: как можно обобщить одномерные липшицевые классы на многомерные, чтобы полученные классы остались инвариантными относительно'оператора типа Коши. Введенные на торе классы в известном смысле отвечают на указанный вопрос.

Перейдем теперь к формулировке основных результатов главы П. Сначала приведем определения классов А (<*/»■•'<¿0 и А*(<*■<>•■' при дробных мультииндексах. Пусть г (<*•'> ) > Г -Ь

p>j - t^j'-mj ( f^j ^ n- . Будем предполагать, что ^

-j - ^ . Предположим, что S = 6,a,JeT t а (* J - измери-

1ая, ограниченная функция на ' такая, что

—(3)

ри всех 0^je<me , i к , а при J'c-Mc , £ ^ функ_ ;ия

F^V, = Т'^^е'У.е^ (4)

Q9,"'— де^-

ринадлежит классу

Определение 2.1. Скажем, что функция / принадлежит классу , если Г Ь ( I ) , при этом:

Лdj - = Fie-1'0;... е.е^'-е'0*;- Pfe'^-i е'0-;

Дс^к-Ri = А£к(ЛКм--- , f определяется по (4).

эгко убедиться, что наименьшее определяется

г. _ sup lAe-.-i, q"= [-M3*-x[-F^CJ.

Зозначим через

. Вводим нор-

Г. Ct + l\fl„.

"В диссертации всегда предполагается, что

а Р

феделяется следущим образом:

- - - i> г^

:метим, что классы A •■■> впервые были введены С.М.Николь-сим (1961).

Определение 2.2. Скажем, что £ & Л(Ли <<«■) , если F<= и этом:

при любых векторах (¿u--i ¡-О ^ 2 - >c £ и- . Здесь I- onpt деляется по (4).

Пусть далее: Л^С^м — — Л (¿м —М*) П f-|00 ( ,

определяются по (6). В § I главы П устанавливается, что классы /^^"--••'А'не выдерживают умножения на мономы 2/ — Нц. . Если же / и 2с--одновременно принадлежат классу Л ot^J , то / принад-

лежит более узкому классу

Следующая теорема дает эквивалентное определение класса Л (<<<>---^J в терминах производных.

Теорема 2.1. Пусть | <£ и Pj - , C^jJ-ii.

'[■ij ёиП. , то ^ в тогда и только тогда, когда

* с-&--•.. W __, itii:

(ыг^п'-^Ч. а-гги!)*-^*- i ±

Здесь Р определяется по (5) •

Имеет место аналог этой теоремы и для классов Л Относительно Л^^-г,---, ) справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. Если $ & Н 00 С С/") и г,-2Ч/ «= (*<.-. 4-А £>¿.¿¿¿-1 , , то

Замечание. Для произвольного - (¿1, ■■, ) , О ^ , п. и фиксированного ^ , 4 ^ ^ можно построить фун кцию -IД^оСо—/ вО такую, что / 4 А о---, "О-

В отличие от класса /У?«^ ) , для классов /1 ""^о--;

справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3. Пусть & H£K5Ci/'V и ^ £ принад-

южат Л^Жч»--; ¿».J , Oc<<J < -L , izjizH. . Тогда /¡"'Cd;»-;

Теорема 2.4. Пусть H°°(UV. Тогда )

:co(j -i 4 j i. К- тогда и только тогда, когда 2i--- ¿^--¡tt-

Отметим, что имеет место аналог этой теоремы и при oCj&ffj'^,}, I ^ j 6 п..

Теорема 2.5. Если то f и 2,w,t'

( Wj-i^jJ) ^¿J^h-, ö ; n- ) принадлежат /IVtrfo-.,

эдновременно.

Второй параграф главы П посвящен изучению классов Лл(<<1>-' л i^Ui,-, при целых мультиивдексах.

Пусть ^ удовлетворяет условию (3), где ^J-Kj, 1 три этом функция

п, ¿q, р io^ ) Г (<?<.&> pi<М - J _d_ .

принадлежит классу

Определение 2.-3. Скажем, что

* --•/если I (7)

где

, /Г определяется по (4)'

при I ^ j -

Легко видеть, что

q, _ suf (А^-е,

it'tt^ l^.l - ■ • • где наи"

меньшее число, удовлетворяющее (7).

Введем обозначения: At ~ Л *(£<>■■-Н

Определим норму: Ц-рНлХСЬ — Q + '

Определение 2.4.Скажем, что f^ Л * (Ко -, если Р<£С(ТЧЛ при этом:

sup I Q-^p ^ ^,

где 1 п. , i ^ S -ь n , {■¿¿■an. ,a F определяется no

(4) при mj icj , < j ^ n..

Пусть далее J = ?{+(*<>•■ ■

llfllfrie = ^ .CC<~"W+HHoo.

Снова в дальнейшем мы предположим, что -ft- £ Н ^(UV, a F определяется по следующему:

Сформулируем аналог теоремы 2.1.

Теорема 2.6. Если F Н °°(U "V • , то fit At & J тог-

да и только тогда, когда

< C.g-^cf/J

< __—--с т - , 1 ik S < и.

Qt-l-'-Dlit ' «-I2i<i) ■■ ■ <■<- iiiid,

Имеет место также аналогичная теорема и для классов — jJ^J

Л 4 2 х

________ * не выдерживают умножения на 2j , но тем

не менее, имеет место следующее утверздение.

Теорема 2.7. Если и 2,-/I * , то/¿-Л*.

Замечание. Для предзаданного »/> i j -6. к. ■ можно построить функцию / /\* такую, что 4 Л *)

Теорема 2.8. Пусть /бН"^, / и ¿f-tff е-Л Ъ . '

огда

Теорема 2.9. Функция И Сипринадлежит /1* тог-;а и только тогда, когда 2,г- - ■ е~ А\ •

Следующая теорема показывает, что имеет место аналог теоремы .9 и для классов Л* (£*>■■> Iе* )>

Теорема 2.10. Функции 1 и 2,1с'*-г- "2 £ принадлежат

сг,я,

/\ * [!Си одновременно. ^

Отметим, что классы и /)# (1с1>-~; А (¿и—А*)

Л% (&>-», можно рассматривать также в смешанном виде, т.е. огда некоторые <Ц .целые, некоторые - нецелые. Для этих классов ы тоже сохраним, обозначения А^СЛп ■■ > и Л^С^-!.

В § 3 главы П доказывается, что операторы типа Коши не дейст-уют в пространствах ) , но действуют в пространствах

\Uii-, > О ^ п-

Теорема 2. II. Пусть С Ли — / , 0 г. сС , ! б- Л.«.) . Тогда функция

ринадлежит классу Л (<*<> -■■, ы.^) , при этом:

. Теорема 2.12. Существует функция ^ £ Л Ы<> , такая,

то 4- Л^иъ-.,^,), <>¿<^¿4

В § 4 главы П дается описание сопряженного пространства

* при ^ í в терминах /\а'(.Т\)--> Т^) Предполо-

ш, что (^ + 2.)/ Р целые при / 5

г - Го> ¿в

. . (8) (оУег) /р -1 г Я )

гседующая теорема связывает классы Л л и Л (Т1 >■■■■> 7<'»-)• Теорема 2.13. Функция принадлежит ЛЪ,

тогда и только тогда, когда $ е А^С То -•> ЗО (здесь Т^ определяются по (8)).

Теперь сформулируем основную теорему этого параграфа.

Теорема 2.14. Пусть ^ - линейный непрерывный функционал на Нри..-, , и , где ег =

= 1<-\Х/2)'* , \Х/, 2 , . Тогда:

Г/ГЦ.Г

1) а) функция ^ /1 ( Гп-', где у"; определяются

по (8);

б) функционал ^Р представляется в виде при этом существуют константы С/(р) и С-т-(р) такие, что

с,1р)1<РНШ^(Гг-г^ * си»

2) Обратно: каждая функция % <=

> по формуле (10)

порождает линейный непрерывный функционал на Н ,' для которого справедливы оценки (10).

Цель главы Ш - дать полную характеристику класса ^■

в терминах смешанных производных. В работе Кхе-Шу (1988) установлена следующая теорема.

Теорема В. Пусть + ж . Тогда £ «&• Н^*/ *) тогда и

только тогда, когда функции

(1-12х1г) ^ £(0/ Ът.) ' принадлежат //

Мы обобщаем эту теорему по следующим направлениям: во-первых, докажем, что теорема верна для любого р, V р * ею и любого числа переменных; во-вторых, берем производные любого порядка и рассматриваем анизотропные пространства Нр(и)ц

Основным результатом главы является

^^^^PPKiyCTb ' HWV , О^р^Л) , ic-ir-Js-, i-j . Тогда следущие утверждения.равно-

яльны:

1) функция ^ принадлежит H^t^n-j l^j-sn:

2) каждая функция из последовательности

ринадлежит L^du . При этом, норма кавдой функции из

) в пространстве Lp(u5i,--, ) оценивается сверху нормой

11 {II

Из этой георемы следует

Следствие. Пусть р со , tOj & S , (<iS ± ^ , = [l^i. • - ) t 2 ч • Тогда следущие утверждения равносильны:

а) 1&Ир{и3,,.., lо*.)

б) функция ^"^l^-Cii,-- Ьх)- ---¿и принадлежит

<7)2,*'----Q2J'1

пассу Нр(5.UM, &lt)= tICj'-u?j lt), i^j^n,

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руково-лтелю профессору Ф.А.Шамояну за постоянное внимание и интерес к аботе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих зботах:

1. Шамоян Ф.А., Арутюнян A.B. Теплицевы операторы в анизотро-ных пространствах голоморфных в полидиске функций. ДАН Армении, Э90, т.91, JS 4, I47-I5I.

2. Шамоян Ф.А., Арутюнян A.B. О некоторых анизотропных прост-

ранствах голоморфных в полидиске функций. Деп. в Армл f 1992, с.36.

3. Арутюнян A.B. О характеристике анизотропных пространств • голоморфных в полидиске функций. ДАН Армении, 1991, т.92, № I,

16-23.

4. Арутюнян A.B. Точные оценки производных в анизотропных классах голоморфных в полидиске функций. Деп. в Арм.НИИНТИ, № 5v 1991, с.15.