Об описании свойств отображений по их дифференциальным характеристикам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Игумнов Александр Юрьевич

ОБ ОПИСАНИИ СВОЙСТВ ОТОБРАЖЕНИЙ ПО ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград — 2005

Работа выполнена на кафедре "Математического анализа и теории функций" Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Журавлев Игорь Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Авхадиев Фарит Габидинович кандидат физико-математических наук Полковников Александр Александрович

Ведущая организация Институт математики Сибирского отделения Российской академии наук им С.Л. Соболева

Зашита состоится 2005 г. в на заседании дис-

сертационного совета К 212 029.05 при Волгоградском государственном университете по адресу 400062, Волгоград, пр-т Университетский, д. 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " иН)ЛЛ 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.029.05

1ооС-Ч

тгш

Настоящая работа выполнена на стыке теории отображений с ограниченным искажением, теории дифференциальных форм, теории неявных функций и посвящена описанию свойств отображений по их дифференциальным характеристикам при различных способах задания отображения Основными объектами исследования являются: семейства дифференциальных форм; отображения с ограниченным искажением, локально липшицевы отображения Рассматриваемый круг задач относится к теории отображений с ограниченным искажением, теории дифференциальных форм, теории неявных функций. Используемые методы базируются, в основном, на методах математического анализа и теории дифференциальных форм.

Актуальность темы. Под дифференциальными характеристиками отображения понимается набор числовых, векторных, матричных величии, определяющих локальное поведение отображения. Понятие характеристики отображения было введено М А. Лаврентьевым в рамках теории квазиконформных отображений в 1930-х гг. Характеристиками квазиконформного отображения / Г> —> И." назывались числовые параметры отображения, заданные в £> с Я", и определяющие почти в каждой точке х € В эллипсоид или параллелепипед, которые под действием дифференциала с1х/ переходят в сферу или, соответственно, куб со сторонами, сонаправленными векторам некоторого ортонормированного базиса в II".

Задание характеристик квазиконформности отображения определяет дифференциальные уравнения, описывающие квазиконформные отображения. В пространственном случае эти уравнения составляют нелинейную переопределенную систему. В случае задания характеристик первого типа уравнение описывающее отображение /, имеет вид

где Т означает транспонирование, .1{х, /) = йеЬ/'(х), С{х) — матрица, задающая некоторую риманову метрику на Я". При п = 2 уравнение (1), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами

где ц{г) — некоторая функция, определяемая характеристиками отображения / и называемая комплексной характеристикой. Уравнения вида (1) исследовались в работах Вейля, Схоутена. Уравнения работах

ГТ(х)Г(х) = Щх,Г)\3'пС(х),

(1)

(2)

М.А Лаврентьева, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, Л. Берса, Б В. Боярского и другими.

Характеристики второго типа возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений, и также рассматривались М.А. Лаврентьевым. Им была доказана основная теорема существования квазиконформных отображений нелинейных классов, получившая приложения в задачах механики сплошных сред.

Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Ряд задач, лежащих на стыке теории квазиконформных отображений и теории пространств Соболева изучен в работах Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, А.П. Ко-пылова, В.М. Миклюкова.

В работах И.В. Журавлева [17]—[20] представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением, основанного на использовании матричнозначной характеристики квазиконформных отображений нормированной матрицы Якоби. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее отображение, имеет вид

!\х) = ^(х,/)\^пК(х), (3)

где К{х) = (к®(я)), 1,3 = 1 ,...,п — матрица, называемая нормированной матрицей Якоби отображения /, К задана в некоторой односвязной области В С И", \йе1 К\ — 1. Там доказаны, в частности, теоремы, обеспечивающие необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (3) в случае С2-гладкости матрицы К и достаточные условия в случае, когда коэффициенты к1 принадлежат классу И^, (3 > п, дано описание свойств отображения / в терминах свойств матрицы К. В последующих работах ([21] [23]) изучаются достаточные условия локальной квазиконформности отображения с ограниченным искажением, описываемого соотношением (3), и вводятся в рассмотрение величины обс(К,В) = ш^} (эир^\К{.Х') ~ ^'(:Г")1)> ЩК.а) = Нтг-_о1п^ ~ Лг||оо,в(а,г)п£>> где К представляет собой матрицу Якоби исследуемого отображения, нормированную некоторым выражением (здесь В - шар с центром в точке а £ Б, в — множество нулевой п-меры Лебега, А пробегает -множества всех п х п-матриц, 1п — единичная п х п-

матрица), которые также можно считать дифференциальными характеристиками отображения. В терминах этих характеристик можно также доказать теорему об обратной функции для отображений класса ^^{¡а. (см. [23]). Отсюда, естественно рассмотреть задачу о существовании неявной функции, определяемой негладким отображением.

С другой стороны, уравнение (3), будучи записанным в покоординатной форме, принимает вид

<1Г(х) = Мх,/)\1'«КЧх), г = 1,... ,п,

где К%(х) = £ к\{т)в,х3 — дифференциальные формы первой степени, \йеЬ К\ = 1. Откуда видно, что условия его разрешимости могут быть интерпретированы как условия существования общего интегрирующего множителя форм К1,..., Кп.

Таким образом, от задачи о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби (т.е. решения уравнения (3)) приходим к задаче об общем интегрирующем множителе семейства 1-форм и задаче об условиях существования неявной функции малой гладкости.

Задача о нахождении интегрирующего множителя одной 1-формы является классической задачей теории дифференциальных уравнений1. Как известно, в случае двух переменных эта задача равносильна задаче об интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения и для нахождения интегрирующего множителя достаточно условия гладкости 1-формы. В случае, когда количество переменных больше двух, для существования интегрирующего множителя необходимо выполнение, кроме условий гладкости, некоторого дифференциально-алгебраического соотношения.

Задача об интегрирующем множителе естественным образом связана с задачей об интегрировании системы пфаффовых форм. Отметим, что наиболее сильные результаты в этом направлении получены Боровским2.

'см , например Степанов В В Курс дифференциальных уравнений -М ГИТТЛ, 1956. - 486 с.

2Боровский Ю Е Вполне интегрируемые системы Пфаффа//Изв вузов Математика - 1959 -N 2.- 0 28-40.

Боровский ЮЕ О вполне инте1 рируемых системах Пфаффа// Изв вузов Математика- 1960-N 1 - С.35-38.

Боровский Ю.Е Системы Пфаффа с коэффициентами из Ь„ и их геометрические приложения // Сиб мат журн. - 1988.- Т 29, N 2 - С 10-16

Общая формулировка задачи о неявной функции такова. Пусть .АГ, У, Z — топологические пространства; F — отображение, определенное на некоторой области D с X х У, и принимающее значения в Z. Требуется определить условия, при которых соотношение

F(x,y) = F(xo,yo), (хо, Уо) € D

обеспечивает существование функции у = д(х) такой, что = Уо и

F(x, д(х)) = F(xо, уо) Для всех г из некоторой окрестности точки zq в пространстве X Указанная окрестность является областью определения неявной функции g Если оценка величины этой области не приводится, то будем говорить о локальном варианте задачи о неявной функции. Если эта оценка в каком-либо виде имеет место, то будем говорить о задаче о неявной функции с оценкой области существования. В случае конечномерных пространств X, Y, Z и достаточно гладкого отображения F задача о неявной функции является классической и обычно излагается в локальном варианте (см., напр., [24]).

С различными вариантами задачи о неявной функции, при условии гладкости отображения F можно ознакомиться, например, в обзоре С.Г. Кранца [27]. Из недавних работ, в которых рассматривается локальный вариант задачи о неявной функции, укажем работы A.B. Арутюнова [15], Ф. Кларка [26], В.А Треногина [28], а также совместную работу И.В. Журавлева и автора [4] Вариант задачи о неявной функции с оценкой области существования рассматривается в работах В.А. Треногина [28]: случай, когда X, У, Z — банаховы пространства и отображение F удовлетворяет некоторым условиям повышенной гладкости; Н.П. Еругина [16]. случай конечномерных (вообще говоря, комплексных) пространств X, У, Z и голоморфного отображения F Смежные вопросы комплексного анализа рассматриваются в обзорной статье Ф.Г. Авхадиева и JI.A. Аксентьева [14].

Как задача об интегрирующем множителе, так и задача о неявной функции находят применение в разных областях математики и физики: математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, термодинамике.

Целью работы является исследование связей между задачами о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби, об интегрирующем множителе семейства дифференциальных форм, задачами об определении условий существования обратной и неявной функций (негладкий случай).

Методика исследования базируется на применении аппарата дифференциальных форм, методов теории отображений с ограниченным искажением, методов математического анализа.

Научная новизна и практическая значимость.

В работе получены новые результаты, связанные с задачей о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби. Дано описание необходимых и достаточных условий существования общего интегрирующего множителя семейств дифференциальных форм первого порядка. Найдены новые условия существования и даны новые оценки области существования функций малой гладкости, заданных неявно.

Результаты работы могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся изучением семейств отображений с ограниченным искажением, изучением свойств решений систем дифференциальных уравнений.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Получен критерий существования и явный вид общего интегрирующего множителя семейства 1-форм класса С2 вида Кр, р € Р, где Р — произвольное множество индексов.

2 Приведено интегральное представление отображения по нормированной матрице Якоби при условии пониженной гладкости (коэффициенты к® (х) матрицы К принадлежат классу где ¡3 > п — 1), Это представление дано для случая, когда область, в которой определена матрица К, является цилиндром в К", основание которого — п — 1-мерная область, звездная относительно некоторого шара.

3 Даны достаточные условия, обеспечивающие существование неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением и различные варианты оценок области ее существования (как радиуса шара, на котором неявная функция заведомо определена).

Структура и объем работы. Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения, содержащего один рисунок. Нумерация параграфов, уравнений, теорем и лемм подчинена нумерации глав. Библиография содержит 70 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных школах-конференциях- Молодежной науч-

ной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001 г.), 11-й Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2002 г.), Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2003 г.), международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004 г.), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ. Кроме того, основные результаты докладывались на научном семинаре "Геометрический анализ и его приложения" математического факультета ВолГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12]. Из работ, содержащих результаты диссертации в развернутом виде, работы [2, 8] являются совместными Основные результаты работы [2] получены автором самостоятельно. Участие автора в работе [8] равное наряду с соавторами.

Краткое содержание работы. В первом параграфе главы 1 приводятся основные обозначения, используемые в работе, даются основные сведения о дифференциальных формах. Дается определение общего интегрирующего множителя семейства 1-форм (нумерация определений и теорем по тексту диссертации).

Определение 1.2 Пусть Кр, р 6 Р, где Р — некоторое множество индексов, семейство 1-форм, определенных в области £> с И", где п >2. Знакопостоянная функция I : £> —+ Л" называется общим интегрирующим множителем форм Кр, р £ Р если для любого р 6 Р существует функция Р, для которой выполнено

йР(х) = 1(х)КГ(х),

где дифференцирование может пониматься как в классическом, так и в обобщенном смысле (в последнем случае полагаем, что равенство выполнено почти всюду в Б).

Далее, следуя [22] показано, что задача о нахождении общего интегрирующего множителя сводится к определению условий на формы Кр, р Е Р, обеспечивающих выполнение соотношения

¿К" = Кр Л А, р€Р, ¿Л = 0, 8

и что интегрирующий множитель при этом имеет вид 1{х) = ехр(/^Л(г/)) (здесь ¡а означает интеграл второго рода по кривой с началом в точке а € £> и концом в точке х).

Основным результатом главы 1 является критерий существования общего интегрирующего множителя, который сформулирован в следующем виде: Теорема 1.7 ([,5]) Пусть Б С И", п > 3, — односвязная область, Р — некоторое множество индексов; Кр,р ЕР — семейство 1-форм класса С2(£>), содержащее хотя бы три линейно независимых формы (класса С2 (О)). Формы Кр,р £ Р имеют общий интегрирующий множитель тогда и только тогда, когда

¿К* Л Кр" + ЛК*' Л К1* = 0 Ур', р" € Р.

Далее приводится явное выражение для формы Л и критерий существования общего интегрирующего множителя в случае п = 2 (* означает оператор Ходжа).

Теорема 1.8 Пусть О С И2 — односвязная область; К1, К2 — линейно независимые формы класса С2{Э). Формы К1, К2 имеют общий интегрирующий множитель тогда и только тогда, когда для формы

выполнено условие с?Л — 0.

В случае Р = {1,..., п} и |* (К1 Л ... Л Кп}\ = 1 заключения теорем 1.7, 1.8 совпадают с условиями разрешимости уравнения (3), полученными в [22].

Также показано, что в случае размерпости большей, либо равной трех, количество линейно независимых форм семейства должно быть больше двух. А именно, имеет место

Теорема 1.9 Пусть £> С И" — односвязная область, п > 2; К1, К2 — линейно независимые 1-формы класса (У2(О), имеющие общий интегрирующий множитель

Тогда существует 1-форма К3 класса С2(Б) такая, что: 1) семейство К1, К2, К3 линейно зависимо;

2) формы К1, К2, К3 удовлетворяют соотношению

йК1 Л К3 + ¿К3 Л К"1 — 0, г,з = 1,2,3;

3) формы К1, К2, К3 не имеют общего интегрирующего множителя.

В главе 2 рассматривается задача об интегральном представлении на области специального вида решения уравнения вида (3), где К(х) — матрица класса СНд(О), определяемого следующим образом

Определение 2.1 ([22]) Пусть О — область в 11". Будем говорить, что функция К : Б —> М" принадлежит классу СНр{В), (3 > 1, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) функции к® • Ю —> Я, г, з — 1,. , п — элементы матрицы К — измеримы в И;

2) \<1е1К{х)\ = 1 почти всюду в области Ю;

3) дифференциальные формы

принадлежат пространству Ь^Б) и обладают обобщенными дифференциалами (1К1 класса Ьд(О).

В §2.1 приводятся результаты работы [22], касающиеся решения уравнения (3), рассматривается конструкция интегрального оператора, посредством которого решается уравнение (3).

Для области О С 11", звездной относительно шара В, этот оператор имеет вид

где и — 1-форма, 2 6 В, х € Д ¡^^ означает криволинейный интеграл второго типа по отрезку с началом в точке г и концом в точке х. Оператор (4) является оператором соболевского типа. Свойства его таковы, что, вообще говоря, он применим только в том случае, когда К € СНр(П), где 0 > п.

Дальнейшее содержание §2 1 имеет целью показать, что в операторе (4) интегрирование по отрезку [г, х] можно, в определенном смысле, заменить инге! рированием по конечкозвенной ломаной, соединяющей точки г, х. В частности почти каждый из отрезков [г. х] в (4) можно заменить двузвенной ломаной [г, у, х] где для любого я отрезки [у, х] будут параллельны некоторой

п

К1 — £ кг3йх3, г = 1, ...,п

(4)

гиперплоскости. Это позволяет в том случае, когда матрица К определена на цилиндрической области Я, вида О. = О х (а, Ь), где В С И,"-1 — область, звездная относительно п — 1-мерного шара В', выделить в операторе вида (4) как слагаемое оператор того же вида где £ Е (а, Ь), который будет за-

дан для областей В[ меньшей размерности, а именно п — 1. (Здесь Д есть множество точек вида (:г',£), где х' € В, В[ — множество точек вида (а/, £), где х' £ В' С К™"1.) Это дает возможность решить уравнение (3) при условии К € СНр(В), где ¡3 > п — 1, и некоторых дополнительных условиях на матрицу К.

Для обоснования корректпости замены интегрирования по отрезкам в (4) интегрированием по ломаным в этом же параграфе приводятся некоторые сведения о семействах отрезков и излагаются некоторые построения, связанные с введением меры на семействах отрезков.

В §2 2 дается приложение конструкции оператора, изложенной в §2.1, к решению уравнения (3)

Для формулировки результата главы введем следующие обозначения. Если В область в И"-1, О = Б х (О,Я), где (О.Я) — числовой интервал и х € то обозначим

х = (х', £), где х' е В, г € (О, Я).

Представив форму ш(х) — Е"=1 шг(х)4хг в виде

п—1

ш(х', = <*>г(х', + и)п{х', £)<Й »=1

обозначим и/дж',= шг(х',{)<1хп — горизонтальная компонента формы ш, шь{х', £) = шп{х', — вертикальная компонента формы ш. Основным результатом §2 2 и главы 2 является следующая

Теорема 2.6 [10] Пусть В С И'1-1, п > 3 — ограниченная область, звездная относительно шара В, П = Б х (О, Я); Я', г = 1, ,гг — семейство 1-форм класса СНв(0), (3 > п — 1, линейно независимых в П и удовлетворяющих условиям:

1) ¿К* А К3 + йЮ Л Кг = 0, г, з = 1,... ,гг; 1-форма А, определенная выражением

Л = —¿(-1)г * (¡{К1 Л Л К1'1 А Л ... Л Кп) ■ К1, п - 1 г=1

имеет обобщенный дифференциал; 3) Функция

r(t) = /Аехр

принадлежит классу Lp{Q, H) (здесь 1//3 + 1//3' = lj. Тогда отображение

Г = 5«,с (exp(Sn,cA)iT) , г = 1,..., п

является решением уравнения

f'(x) = \J(x,f)\^K(x).

При этом, если 0 > п—1, то при почти ecext 6 (О, H) функция f непрерывна на Dt.

В главе 3 доказываются различные варианты теорем о неявной функции с оценкой области ее существования При этом неявная функция у = д(х) задается соотношением вида F(x,y) = F(xo,yo), где F - локально лишницево отображение.

Поясним некоторые обозначения, употребляемые в этой главе. Если Р С Rffl — некоторое множество и К — их n-матричная функция, определенная на множестве Р, то полагаем

osc(iir, Р) = ess sup \К{х') - К{ х")\.

Если, кроме того, С — постоянная п х n-матрица, к > О — некоторое число, то полагаем

Пк{К,Р)=Ш\\СК-1п\\р.

\С\<к

(Здесь /„ — единичная матрица, \\СК — In\\p = esssup |СК(х) — /„j, символ

хеР

|... j означает обычную операторную норму матрицы, обозначенной многоточием.) Если А С Rd — некоторое множество, то обозначим clos А — замыкание множества A, conv А — выпуклую оболочку множества А. Если / — липшицева функция, определенная на области U С R", то обозначим U' множество точек дифференцируемости функции /

Основным результатом §3.1 являются следующие теоремы, доказательство которых основано на теореме Картана об обратимости гладкого отображения. Это

Теорема 3.1 ([7]) Пусть Л = Вп(х0,г') х Вт(у0,г"), где г1,г" < ос, ^ И —> Я"1 — локально липшицево отображение, которое для некоторого к > 0 удовлетворяет неравенству

Тогда существует единственная функция О, определенная на шаре Вп(х0,р), где

такая, что

С(ж0) = 2/0, ^(ж,<3(®)) = Р'Саго,¡а,) Ух£Вп(х0,р). При этом, функция С? является липшицевой и

и ее следствие

Теорема 3.2 ([8]) Пусть £> = Вп(х0,г') х Вт{у0,г"), г', г" < ос, Р : И И1" - локально липшицево отображение, которое удовлетворяет неравен-ству

Тогда существует единственная функция С, определенная на шаре Вп(х0,р), где

■ ( , ^ 1 г 1 + Ив

такая, что

в{хо) = F(т,G(x)) = Р(аг0.»)) V* € В>0,р)-При этом функция О является липшицевой и

1лр(С, Вп(хо,р)) < \/12 - 1.

Доказательство теоремы 3.2 приведено в совместной работе И.В. Журавлева, В.М Миклюкова и автора [8] (независимо от теоремы 3.1). Теорема 3 1

дана в совместной работе И В. Журавлева и автора [7]. Теоремы 3.1 и 3.2 эквивалентны (каждая из них выводится из другой). Однако, поскольку теорема 3.1 охватывает несколько более широкий класс отображений, чем теорема 3.2 (при одинаковой точности оценки области существования), то в рамках данной работы представляется более предпочтительным в качестве основной из этих двух теорем объявить теорему 3.1, а теорему 3 2 получать как следствие.

В §3.2 приведены комплексные варианты теорем 3.1 и 3 2 В §3 3 доказываются теоремы о неявной функции, основывающиеся на понятии производной Кларка, определяемой для липшицевой функции / : U —> Rm, где U — окрестность точки х Е R".

Определение 3.1 ([25], §2.6, п.2.6.1) Пусть хг —> х, где хг € U' — последовательность точек такая, что существует lim f'(xt).

г—>оо

Производной Кларка функции / в точке х называется множество пхт-матриц

д fix) = conv i lim fix,), где хг —> x при г —► оо[.

U—*оо )

Основным результатом §3.3 являются теоремы 3.8 и 3.9.

Теорема 3.8 ([11]) Пусть D = Вп(х0, г') x Вт{у0, г"), F : D R" — лип-шицева функция; D' — множество точек дифференцируемости функции F; множество матриц M(F, D) = clos conv {F'(x, у), (x,y) € D'} является множеством максимального ранга;

М\ = closconv{F'x(x,y), (х,у) € D'}, а = max \С\;

С£М 1

М2 = сlosconv{F'(x, у), (х,у) € D'}, ß = max |С_1|. Тогда на шаре Вп(хо,р), где

Т = 1 + /3(1 + а),

определена функция G ■ В" (xq. р) —> Rm. для которой выполнено

G(x0) = у0, F(x, G(x)) = F(x0, у0) Чх е Вп(х0, р).

В формулировке теоремы 3.9 используется обозначение irvdF(x, у), которое означает множество матриц, получаемое следующим образом Матрицу С €

dF(x,y) запишем в виде С = (Ас Вс), где Ас — п х т-матрица, Вс т х m-матрица, и положим irydF(x, у) = Uce№(z,!/)-®c-

Теорема 3.9 ([12]) Пусть В = В"{х0У) х Bm(2/0,r"), F : В Rm локально Липшицев а функция; В' — множество точек дифференцируемости функции F. Пусть, далее, для любой точки (х,у) € В множество матриц irydF(x, у) является множеством максимального ранга; к : В' R — функция, определенная соотношением

k{x,y) = \{F'y{x,y))-1 ■ F'x{x,y)\-

величина L = esssupD k(x. у) < oo.

Тогда существует единственная (и при этом липшицева) функция д, определенная на шаре Вп(хо, р), где р = min {г1, r"/L}, для которой выполнено:

д(хо) = г/о, Vz € Вп(х0,р) F(x,g(x)) = F(x0,yü).

При этом

дд{х) С convl lim (F^\xuyt) ■ F^x^y,)) 1, Lip(g, Вп(х0,р)) < L.

Яри этом константа L является точной (совпадает с таковой в случае гладкого отображения F).

В последнем, четвертом параграфе главы 3 приводятся примеры, поясняющие соотношение между теоремами §3 1 и теоремами §3.3 в смысле применимости и точности оценок.

Автор выражает благодарность научному руководителю И.В Журавлеву; выражает благодарность профессору В.М Миклюкову за постановку отдельных задач и полезные обсуждения по теме диссертации.

Авторские и совместные работы

[1] Игумнов А.Ю. Оператор гомотопии для 1-форм с суммируемыми коэффициентами в области класса 3. Сборник трудов молодых ученых и студентов Волгоградского государственного университета. Волгоград- Издательство Волгоградского государственного университета, 1997.

[2] Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Интегрирующий множитель для семейства дифференциальных форм первого порядка. Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. Выпуск б с 41-46 2001: Издательство Волгоградского государственного университета.

[3] Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. О свойствах отображений с ограниченным в среднем искажением. Тезисы докладов молодежной школы-конференции "Лобачевские чтения" НИИ математики и механики Казанского государственного университета. Казань: 2001 г Издательство Казанского государственного университета

[4] Игумнов А Ю . Журавлев И В. О неявной функции. Сборник трудов кафедры математического анализа и теории функций. — Волгоград- Изд-во Волгоградского государственного университета, 2002 с.41-46.

[5] Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Общий интегрирующий множитель семейства пфаффовых форм.// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. — Саратов- Издательство ГосУНЦ "Колледж", 2002. — с. 77-78.

[6] Игумнов А.Ю , Журавлев И.В. Достаточные условия гомеоморфности отображений класса Липшица. Ученые записки (выпуск третий). Волгоград- Издательство Волгоградского института экономики, социологии и права. 2003. с.380-381.

[7] Игумнов А.Ю., Журавлев И В. К теореме о неявной функции. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. —

Казань- Издательство Казанского математического общества, 2003 с. 106-107.

[8] Игумнов А.Ю. (I.V. Zhuravlev, A.Yu. Igumnov, V.M. Miklukov.) On an implicit function theorem. Preprint 346, February 2003, Univesity of Helsinki, department of mathematics. Finland.

[9] Игумнов А Ю К оценке области существования неявной функции. Геометрический анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции, г.Волгоград, 24-30 мая 2004 г. / ВолГУ. — Волгоград- Издательство Волгоградского государственного университета, 2004.

[10] Игумнов А.Ю. К задачам об интегрирующем множителе и восстановлению отображения по нормированной матрице Якоби. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2004 г. N 1695-В2004.

[11] Игумнов А.Ю. К задаче об оценке области существования неявной функции. 10 с Деп в ВИНИТИ 28.10.2004 г N 1694-В2004

[12] Игумнов А.Ю Оценка области существования неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 24.12.2004 г. N 1694-В2004.

Список литературы

[13] Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи, Монографии по математике, N2, Казанский фонд "Математика", 1996.

[14] Авхадиев Ф Г., Аксентьев Л А Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи математических наук. - 1975 - т 30, N 4 - С.3-60.

[15] Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки // Матем сб. 2000 — т.191, N 1 — с 3-26.

[16] Еругин Н.П. Неявные функции. Издательство Ленинградского университета. 1956. 60 с.

[17] Журавлев И.В. О существовании решений для многомерного аналога уравнения Бельтрами. // Сиб. мат. журн. - 1989. - Т. 30, N 1 - С. 103 -ИЗ.

[18] Журавлев И В. Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби.// Докл. АН СССР. 1991. Т.317 N 3. с. 546-549.

[19] Журавлев И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби.// Сиб. мат. журн. 1992. Т.ЗЗ N 5. с. 53-61.

[20] Журавлев И.В. К задаче о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби. Сиб. мат. журн. - 1993. - Т. 34, N 2. - С. 77-87.

[21] Журавлев И.В. Достаточные условия локальной квазиконформности для отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. 1993. Т.184. N 4. с.51-60

[22] Журавлев И В Вопросы существования в теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. На правах рукописи. Волгоград, 1993

[23] Журавлев И.В. Теорема об обратной функции для отображений с обобщенными производными // Новосибирск: ИМ СО РАН. Труды межд. Конф. по анализу и геометрии. 2000. с. 537-541.

[24] Зорич В.А Математический анализ. ч.1,Н. М: 1998. Изд-во МЦНМО

[25] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Пер. с франц. М. Мир, 1971, 392 с.

[26] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ: Пер. с англ — М.: Наука Гл.ред. физ.-мат.лит , 1988. — 280 с.

[27] Кранц С.Г. (S.G. Krantz): The implicit function theorem. History, theory, and applications. Printed on acid-free paper. 2002. Birkhauser Boston.

[28] Треногин В.А Функциональный анализ. M.: Наука, 1980, 496 с

»

«

г

'i

»13 037

РНБ Русский фонд

2006-4 9153

Подписано в печать 21.06.2005 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 183.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, просп. Университетский, 100.

Введение

1 Общий интегрирующий множитель семейства дифференциальных 1-форм

1.1 Определения и обозначения. Краткие сведения о дифференциальных формах. Связь с задачей о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби.

1.2 Нахождение интегрирующего множителя.

2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях

2.1 Специальный вид интегрального оператора.

2.2 Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби на гиперплоскостях.

3 Теоремы о неявной функции

3.1 Теоремы о неявной функции, основывающиеся на теореме Кар-тана.

3.2 Комплексный вариант теорем о неявной функции.

3.3 Варианты теорем о неявной функции с производной Кларка

3.4 Примеры.

Настоящая работа посвящена описанию свойств отображений по их дифференциальным характеристикам при различных способах задания отображения.

Понятие характеристики отображения было введено М. А. Лаврентьевым в рамках теории квазиконформных отображений ([53] - [58]). Характеристиками отображения /:£)—► Rn называются числовые параметры отображения, заданные в D С Rn, и определяющие почти в каждой точке х £ D эллипсоид или параллелепипед, которые под действием дифференциала dxf переходят в сферу или, соответственно, куб со сторонами, сонаправленными векторам некоторого ортонормированного базиса в Rn.

Задание характеристик квазиконформности отображения определяет дифференциальные уравнения, описывающие квазиконформные отображения. В пространственном случае эти уравнения составляют нелинейную переопределенную систему.

В случае задания характеристик первого типа уравнение, описывающее отображение /, имеет вид fT{x)f(x) = \J(xJ)\VnG(x), (1) где Т означает транспонирование, J(x, /) = det f'{x), G{x) — матрица, задающая некоторую риманову метрику на Rn.

При п = 2 уравнение (1), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами

Ш = (2) где ц(г) — некоторая функция, определяемая характеристиками отображения / и называемая комплексной характеристикой.

Уравнения вида (1) исследовались в работах Вейля, Схоутена [14, 65, 66]. Уравнения вида (2) исследовались в работах М.А. Лаврентьева, Л. Альфорса, И.Н. Векуа, Л. Берса, Б.В. Боярского и другими ([3, 5, 7, 11, 15]).

Характеристики второго типа рассматривались М.А. Лаврентьевым в работах [53, 55, 56, 57]. Такие характеристики возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений. М.А. Лаврентьев доказал основную теорему существования квазиконформных отображений нелинейных классов, получившую приложения в задачах механики сплошных сред [50, 58].

Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Ряд задач, лежащих на стыке теории квазиконформных отображений и теории пространств Соболева изучен в работах Ю.Г. Решетняка, С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, А.П. Ко-пылова, В.М. Миклюкова [16] -[19], [44, 51].

В работах И.В. Журавлева [21]-[27] представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением, основанного на использовании матричнозначной характеристики квазиконформных отображений — нормированной матрицы Якоби. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее отображение имеет вид f(x) = \J(xJ)\1/nK(x), (3) где К(х) = (к®-(х)), г,j = 1,.,п — матрица, называемая нормированной матрицей Якоби отображения /, К задана в некоторой односвязной области D С Rn, \detK\ = 1.

В [26] доказаны, в частности, теоремы, обеспечивающие необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (3) в случае С2-гладкости матрицы К и достаточные условия в случае, когда коэффициенты принадлежат классу Wp, /3 > п, дано описание свойств отображения / в терминах свойств матрицы К.

Далее, в работе [27] приведены достаточные условия локальной квазиконформности отображения с ограниченным искажением, описываемого соотношением (3). При этом используются следующие величины: осцилляция матричной функции К класса Loo(D) osc (К, В) = inf { sup I К(х') - (4) здесь В — шар с центром в точке а G D, S — множество нулевой п-меры Лебега) и

С{х)К(х) - 1п\ (5) здесь С(х) — непрерывная матричнозначная функция, значения которой — невырожденные п х п-матрицы, х G В, /„ — единичная п х n-матрица). Дальнейшее развитие идей и методов, разработанных в [21]-[27] позволило получить аналог теоремы об обратной функции для отображений класса W{loc(D)^ где D С Rn, п > 3. Эта теорема доказана в работе [28]. Для доказательства применяется функционал, определенный на матричнозначных функциях К (размера п X п), элементы которых являются функциями класса L00(D):

П{К, а) = Urn inf \\АК - Щ^вмпи, (6) где А пробегает множество всех п х тг-матриц.

Далее величины вида (4), (6) также будем называть характеристиками отображения.

В настоящей работе методы и результаты цикла работ [21]-[27] обобщаются и развиваются в следующих направлениях.

В первой части работы (Главы 1,2) рассматривается задача об общем интегрирующем ножителе семейства 1-форм. Система (3), будучи записанной в покоординатной форме, принимает вид df= |J(:r,/)|1/n-irOr), i = l,.,n,

TL где Кг{х) = £ Klj(x)dxJ — дифференциальные формы первой степени, г=1 detK\ = 1. Откуда видно, что условия ее разрешимости могут быть интерпретированы как условия существования общего интегрирующего множителя семейства 1-форм.

Задача о нахождении интегрирующего множителя одной 1-формы является классической задачей теории дифференциальных уравнений (см., например [64]). Как известно, в случае двух переменных эта задача равносильна задаче об интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения и для нахождения интегрирующего множителя достаточно условия гладкости 1-формы. В случае, когда количество переменных больше двух, для существования интегрирующего множителя необходимо выполнение, кроме условий гладкости, некоторого дифференциально-алгебраического соотношения. Задача об интегрирующем множителе естественным образом связана с задачей об интегрировании системы пфаффовых форм. Отметим, что наиболее сильные результаты в этом направлении получены Боровским ([8, 9, 10]).

В данной работе показано, что идеи и методы, разработанные в [26], позволяют решить похожую задачу, а именно, задачу об условиях существования и нахождении общего интегрирующего множителя семейства 1-форм вида Кр, р G Р, где Р — произвольное множество индексов. Показана связь этих условий с условиями разрешимости системы (3), полученными в работе [26]. В частности показано, что условия существования общего интегрирующего множителя не обязательно включают в себя условия вида \detK\ = 1. Кроме того, получено интегральное представление отображения по нормированной матрице Якоби при условии пониженной гладкости (коэффициенты /с*-(ж) матрицы К принадлежат классу Wj, где (3 > п — 1). Это представление дано для случая, когда область, в которой определена матрица К, является цилиндром в Rn, основание которого — п—1-мерная область, звездная относительно некоторого шара. Указанные результаты являются новыми.

Во второй части работы (Глава 3) рассматривается задача о неявной функции. Общая формулировка задачи такова. Пусть X, У, Z — топологические пространства; F — отображение, определенное на некоторой области D С X х У, и принимающее значения в Z. Требуется определить условия, при которых соотношение

F{x,y) = F(x0,y0)y (xq, уо) G D обеспечивает существование функции у = д(х) такой, что д(хо) = уо и F(x, д(х)) = F(xq, уо) для всех х из некоторой окрестности точки xq в пространстве X. Указанная окрестность является областью определения неявной функции д. Если оценка величины этой области не приводится, то будем говорить о локальном варианте задачи о неявной функции. Если эта оценка в каком-либо виде имеет место, то будем говорить о задаче о неявной функции с оценкой области существования. В случае конечномерных пространств X, У, Z и достаточно гладкого отображения F задача о неявной функции является классической (см., например, [29]) и обычно излагается в следующем виде: отображение F определено на декартовом произведении шаров Bu(xq,г'), Вт(уа, г") пространств X = Rn, У = Rm принимает значения в пространстве Rm и принадлежит классу С1. При этом оценка области существования неявной функции не приводится.

С различными вариантами задачи о неявной функции, при условии гладкости отображения F можно ознакомиться в обзоре С.Г. Кранца [47]. Из недавних работ, в которых рассматривается локальный вариант задачи о неявной функции, укажем работы А.В. Арутюнова [6], Ф. Кларка [43], В.А. Тре-ногина [68], а также совместную работу И.В. Журавлева и автора [34].

В то же время во многих вопросах представляет интерес оценка области существования неявной функции, например, в виде шара Вп(хо, г'), заведомо содержащегося в области определения функции д. Такой вариант задачи о неявной функции рассматривается в работах В.А. Треногина [68]: случай, когда X, У, Z — банаховы пространства и отображение F удовлетворяет некоторым условиям повышенной гладкости; Н.П. Еругина [20]: случай конечномерных (вообще говоря, комплексных) пространств X, У, Z и голоморфного отображения F. Смежные вопросы комплексного анализа рассматриваются в обзорной статье Ф.Г. Авхадиева и JI.A. Аксентьева [2]. Оценка области существования неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением F, заданным на декартовом произведении шаров пространств Rn и Rm, и принимающим значения в пространстве Rm приводится в совместной работе И.В. Журавлева, В.М. Миклюкова и автора [37]. В работе [41] приводится решение той же задачи с использованием понятия производной Кларка.

Задача о неявной функции естественным образом связана с задачей об обратной функции. Из недавних работ, где рассматривается негладкий вариант задачи об обратной функции укажем работы И.В. Журавлева, Ф. Кларка, М. Кристи, Б. Паршиа [28, 43, 48, 60], а также в совместную работу И.В. Журавлева и автора [36].

Следующие результаты являются новыми. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением; даны выражения для вычисления радиуса шара, содержащегося в области определения неявной функции.

Как задача об интегрирующем множителе, так и задача о неявной функции находят применение в разных областях математики и физики: математическом анализе, теории дифференциальных уравнений, термодинамике (см.,напр., [64, 67]).

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных школах-конференциях: Молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001 г.), 11-й Саратовской зимней школе-конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения"

Саратов, 2002 г.), Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2003 г.), международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004 г.), а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ. Кроме того, основные результаты докладывались на научном семинаре "Геометрический анализ и его приложения" математического факультета ВолГУ.

Диссертация содержит 101 страниц и состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения, содержащего один рисунок. Нумерация параграфов, уравнений, теорем и лемм подчинена нумерации глав. Библиография содержит 70 наименований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [30]—[41].

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи, Монографии по математике, N2, Казанский фонд "Математика", 1996.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи математических наук. 1975 - т.ЗО, N 4 - С.3-60.

3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969. - 132 с.

4. Альфорс Л. Преобразования Мебиуса в многомерном пространстве. М.: Мир, 1986. - 112 с.

5. Альфорс Л., Берс Л. (Ahlfors L.V.,.Bers L.) Riemann's mapping theorem for variable metrics // Ann. of Math.- I960.- V.72, N 2. P.385 - 401.

6. Арутюнов A.B. Теорема о неявной функции как реализация принципа Лагранжа. Анормальные точки.// Матем.сб. — 2000. — т.191, N 1. — с. 3-26.

7. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. - 98 с.

8. Боровский Ю.Е. Вполне интегрируемые системы Пфаффа.// Изв. вузов. Математика.- 1959.- N 2 . С. 28-40.

9. Боровский Ю.Е. О вполне интегрируемых системах Пфаффа.// Изв. вузов. Математика.- I960.- N 1. С.35-38.

10. Боровский Ю.Е. Системы Пфаффа с коэффициентами из Ln и их геометрические приложения.// Сиб. мат. журн. 1988.- Т. 29, N 2. - С. 10-16.

11. Боярский Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами. Мат. сб. 1957. - Т.43 (85) - С.451 - 503.

12. Ж. Варга (J. Warga): Fat homeomorphisms and unbounded derivate containers. — J. Math. Anal. Appl. 81, 545-560, 1981.

13. Вейль Г. (Weyl H.) Reine Infinitesimal geometrie // Math. Zeitschr.- 1918.-Bd.2. S. 384-411.

14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.- 628 с.

15. Водопьянов С.К. Квазиэллиптическая теория потенциала и ее приложения.// Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, N 4, - С. 780-784.

16. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М-., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными.// Успехи мат. наук. 1979.- Т. 34, N 1. - С. 17-62.

17. Гольдштейн В.М., Кузьминов В.И., Шведов И.А. Дифференциальные формы на липшицевом многообразии. Сиб. мат.журн. 1982.- Т. 23, N 2.- С. 16 30.

18. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

19. Еругин Н.П. Неявные функции. Издательство Ленинградского университета. 1956. 60 с.

20. Журавлев И.В. Квазиконформные отображения, близкие к тождественному. Всесоюзн. конфер. по геометрии и анализу, Тез. докл., Новосибирск, 1989.

21. Журавлев И.В. О существовании решений для многомерного аналога уравнения Бельтрами. // Сиб. мат. журн. 1989. - Т. 30, N 1. - С. 103 -ИЗ.

22. Журавлев И.В. Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби.// Докл. АН СССР. 1991. Т.317 N 3. с. 546-549.

23. Журавлев И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби.// Сиб. мат. журн. 1992. Т.ЗЗ N 5. с. 53-61.

24. Журавлев И.В. К задаче о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби. Сиб. мат. журн. 1993. - Т. 34, N 2. - С. 77-87.

25. Журавлев И.В. Вопросы существования в теории пространственных отображений с ограниченным искажением. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. На правах рукописи. Волгоград, 1993.

26. Журавлев И.В. Достаточные условия локальной квазиконформности для отображений с ограниченным искажением // Мат.сб. 1993. Т.184. N 4. с.51-60.

27. Журавлев И.В. Теорема об обратной функции для отображений с обобщенными производными // Новосибирск: ИМ СО РАН. Труды межд. Конф. по анализу и геометрии. 2000. с. 537-541.

28. Зорич В.А. Математический анализ. ч.1,Н. М: 1998, Изд-во МЦНМО.

29. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Общий интегрирующий множитель семейства пфаффовых форм.// Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Издательство ГосУНЦ "Колледж", 2002. — с. 77-78.

30. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. О неявной функции. Сборник трудов кафедры математического анализа и теории функций. — Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 2002. с.41-46.

31. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. Достаточные условия гомеоморфности отображений класса Липшица. Ученые записки (выпуск третий). Волгоград: Издательство Волгоградского института экономики, социологии и права. 2003. с.380-381.

32. Игумнов А.Ю., Журавлев И.В. К теореме о неявной функции. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. — Казань: Издательство Казанского математического общества, 2003. с. 106-107.

33. Игумнов АЛО. (I.V. Zhuravlev, A.Yu. Igumnov, V.M. Miklukov.) On an implicit function theorem. Preprint 346, February 2003, Univesity of Helsinki, department of mathematics. Finland.

34. Игумнов А.Ю. К задачам об интегрирующем множителе и восстановлению отображения по нормированной матрице Якоби. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2004 г. N 1695-В2004.

35. Игумнов А.Ю. К задаче об оценке области существования неявной функции. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 28.10.2004 г. N 1694-В2004.

36. Игумнов А.Ю. Оценка области существования неявной функции, определяемой локально липшицевым отображением. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 24.12.2004 г. N 1694-В2004.

37. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. Пер. с франц. М. Мир, 1971, 392 с.

38. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ: Пер. с англ. — М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат.лит., 1988. — 280 с.

39. Копылов А.П. Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука, 1990.

40. Копылов А.П. Об аппроксимации пространственных квазиконформных отображений, близких к конформным, гладкими квазиконформными отображениями// Сиб. мат. журн. 1972. т.ХШ. N 1, с. 94-106.

41. Копылов А.П. Интегральные усреднения и квазиконформные отображения// Докл. АН СССР. 1976. Т.231 N 2. с. 289-291.

42. Кранц С.Г. (S.G. Krantz): The implicit function theorem. History, theory, and applications. Printed on acid-free paper. 2002. Birkhauser Boston.

43. Кристи M. (M. Cristea): Local inversion theorems and implicit function theorems without assuming continuous differentiability. — Bull. Math. Soc. Sci. Roumaine, 36, N 3-4, 227-236, 1992.

44. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — 2-е изд. — М.: Политиздат, 1977, 407 с.

45. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977, 424 с.

46. Миклюков В.М. Асимптотические свойства субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением.// Мат.сб., 1981, Т.39, N 1, С. 37-59.

47. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. Наука. — 1974, 480 с.

48. Лаврентьев М.А. Sur une classe de representations continues.// Мат. сб. , 1935, Т. 42, N 4, с. 407 424.

49. Лаврентьев М.А. Квазиконформные отображения и их производные системы. Докл. АН СССР. 1946. - Т. 52, N 4. - С. 287-289.

50. Лаврентьев М.А. Теория квазиконформных отображений плоских областей. В кн.: Юбилейный сборник АН СССР.Т. 1, М.- Я. - 1947. - С. 96113.

51. Лаврентьев М.А. Основная теорема теории квазиконформных отображений. //Известия АН СССР, серия матем. 1948. N 12.- С. 513-554.

52. Лаврентьев М.А. Краевые задачи и квазиконформные отображения. В кн.: Современные проблемы теории аналитических функций. М.: Наука, 1966.

53. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд. АН СССР 1962.

54. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М. Наука. - 1979. - 312 с.

55. Б. Паршиа (B.H.Pourciau): Analysis and optimization of Lipschitz continuous mappings. — J. — Optim. Theory Appl., 22, No. 3, 311-351,1997.

56. Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск. Наука, 1982. 278 с.

57. Смирнов В.И. Курс высшей математики. t.V. М: 1959. Государственное издательство физико-математической литературы, 655 с.

58. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

59. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: ГИТТЛ, 1956. -486 с.

60. Схоутен И.A. (Schouten J.A.) Uber die Konforme Abbildung n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Ma/3bestimmung aufeine Mannigfaltigkeit mit euklidischer Ma/?bestimmung // Math. Zeitschr. -Bd.ll. S. 58-88.

61. Схоутен И.А., Стройк Д.Я. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. И. М.: ИЛ, 1948, 348 с.

62. Сычев В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики. М.: Наука, 1981. 195 с.

63. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 496 с.

64. Федерер Г. Геометрическая теория меры. Пер. с англ. — М. Наука. — 1987. — 760 с.

65. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. ч.1,Н. М.: Наука. 1985.