Об спектре оператора Паули с периодическими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5 ОД

^ АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи МЕХРАБОВ ВУГАР АБДУЛЛА оглы

УДК 517.98

ОБ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ПАУЛИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 01.01.01 — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Баку — 1996

Работа выполнена на кафедре теория функции и функционального анализа Бакинского Государственного Университета им . М. Э. Расулзаде Министерства Образования Азербайджанской Республики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор О. А. ВЕЛИЕВ.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор А. Б. АЛИЕВ (Азербайджанский Технический Университет)

2. Кандидат физико-математических наук, в. н. с. Э. С. ПА-НАХОВ (ИММ АН Азербайджанской Республики)

Ведущая организация: Азербайджанская Государственная Нефтяная Академия.

Защита диссертации состоится « » . . . 1996 г. в . . . часов на заседание Специализированного Совета Д. 004. 01. 01 по присуждению ученой степени кандидата фи?и-ко-математических наук в Институте Математики и Механики АН Азербайджанской Республики по адресу: 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9, кв. 553.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ АН Азербайджанской Республики.

Автореферат разослан « »..... 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совёта

к. ф-м. н., с. с. с. , БАЙРАМОВ Р. А.

- з -

ШЩ ХАРШЕШОТЖА РАБОТЫ

•Актуальность теш. Периодические дифференциальные операторы сосг'ззлягт один из вагнеизиге классов операторов, изучаемых в спектральной текиш. Исследование спектра одномерного периодического одетатора И'ргсгл^ера с веществ екнозначшм потенциалом было кг^аго езе. в классических работах Пуднгаре, Лепунова,Хилла в свтаи с Бробдеиами об устойчивости в небесной механике, поскольку заыыка-ш;е зон устойчивости уравнения Хкяяа совпадает со спектром соот-ззетствутего оператора.

Известно, что спектральная теория многомерного оператора Шредингера

Н ®- А.ч^Сж.у , Хб^ /у

с периодически /относительно произвольной реветки / .потен-

циалом . С^(х-), составляет математическую основу квантовой теории гведного тела. Как выяснело, в осиозопологаших работах физиков, исследование спектра трехмерного.периодического' оператора 1£редак-' гера Н позволяет объяснить природу шопе: физических свойств реал-ыплс кристаллов. Однако, несмотря на то, что шеются ыного-.. численные работы лосвященные денной npo6.iei.ie на физическом уровне строгости, но к исследованда денной проблемы на одето математическом уровне поезяпены очень уало работы. В этих работав в основном били исследованы .миогомзрныи периодический оператор Ередкнге-ра. 2 реботгх И.Гедьфагша получены спектральные разложения для. саиосойрязвеннк: дафферещвшгъшх операторов^с периодическими по-тездиалаыи и доказано, что спектр ¿(н) оператора.Щредингера М совпадает с обьедкнепиеы спектров оператора Н*

яоаояяешш»!' /I/ в фундаментальной области /параллелепи-

педе/ рйает:о1;иПа с даагдазериадическиыи грвнкчныки условиям

с свазиимпульсом "Ь €. ЯГ"

и ¿(.Н^) . , /г/

Зта свя^ь между спекграш вериодическнх'операторов и регул-Д裏ере;Ш,сальных операторов ответа¿7 щцдоаук возможность для прш&кения асшптоютееяшс борцуя, шлучешьтх для собственную чисел регулярных операторов к каучеишо асййдтотциесккх сзоиста периодических операторов.

В даяний работе использован метод О.А.Зелиеза, где подучевд аашлточкческие форыулу двд Есех собственных значешш оператора ¡Дредккгера в ограниченной областк. ■ - ■ ■

Отметим, что оператор Науди один из основополагатадих операторов каантозои ыеханики. Он описывает дзивеше частот со спкноы 3 электромагнитной поле. Известно, что помимо механического и магнитного ыоыента, создаза&ынх двигенйеы центра тяхести электрона, электрону необходимо вриоискзагь собстзчзнннй ыеханигескии и магнитили моменту. Этот механическим и магнитики моменты нэзнэаят собстэендаш /спшопгшк/, а сана явление - слинда зленгрона.

3 связи с этим исследование двухмерный и трехиерния оператор Пауд1Г Н^Ссх^Уи")) пороздешши з вътракенкеи

и гсашгчиьам! ^слозиши" . ,1

Иш .

{ е. . /4/

где - периодическая относительно решетки

.Д, »¡_е2._ >Г>\ ; Г^ДЧЛ ид*: \

даокстоеаная к. решетка т т.е.

- ызгштное-поле, пораженное сектор потенциалом. а_ , Р -фун-дг^ен?а£шая область ресзяхи . XI- ? ■

- а -

где

В- < Ь,, Ь,, Ъ4">,

-г -г | *> •ъ

"»3 "ье а

> Чь* .

1 <4 а4

Б даууерноы случае

|

•Ъ I

с,

является аггуслвно» задачей математического акадиза.

Лель ,дабогн загсязуеетс?г в получении асймзто-ягчвепвс -1ср&!уд длр сабствешуг значении оператора Паули в пз>алл:злогрг;ие к а пераглелелнпеде.

Нау^нэн нопизка. Следуя работал (ХА.Веляеза об агимдгртикэ• собственных ангсстя операторе Ер®ивд?ерз влерзие полвека эсная— тоткческке форьчулк дл*? сосгвешшх .эяачгнаи' оператора Паудн з пзрал лелогроммз у к для некоторой серии србетзеяккх значении б гаргдле-лепкпеде.

Общая ы5Годт:а кгследовзкш-:. При обсоноэаккЕ получениях е дкссертазж результатов исяольз-овеку методы теорк^ возг^азкия от-кеикмс операторов и спектральная теория урэзнеш: с.уа'сткмк про-ИЗРОДНКД1К.

Т'&орегаче^скау и гозутантсская аекнузть. В роботе Ьперные получены аскм»'Логи«еские фиряуды длУ собственник внеюеггии оператора Пеули в варалаглсгрзша и в озрэгаепезжиеае, Пссучвню« рс-эу-льта-

ты косйт в основном теоретически*! характер.

Апробация работы. Основные результат "работа докладызалксь к. обсуждались на следующих конференциях и семинарах: конференция за лучшие работы студентов /ЕГУ, 1991/,-научная конференция для аспирантов к молодых мсследователей /ЕГ/, 1995/; на научных семинарах: кафедта теория функции и фуншионзльного анализа БГУ и на официальном тематическом семинаре Института Математики л Механики АН Азербайджанской Республики.

Публикации Основные результаты диссертации опубликовав в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 93 страницах машинописного текста, состоит из введения» двух глав и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕЕИШЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор работ, щзшккаших к теме -диссертации, приводится список обозначении и определении, обсугда-ется актуальность, новизна, теоретическая и практическая ценность получешзле результатов, после чего формулируйте* основные результата диссертации. : ■

3 первом параграфе первой главы данной работы используя метод Ы.Рвда - Б.Саш,юна. разлагаем периодически оператора Паули по слоив и доказываем формулу /2/ для этого оператора. При этом пользуемся следужеи известной теоремой.

Теорема. Пусть А= $ АС.**) о( , где АО) изме-

рима и АС**) са^осопряжешаи оператор для каждого уп. . Д£€Г(А") тогда и только тогда, когда для лвбого £>О

В НЕпен случае вместо оператора А мы березы оператор й (а, V(»0) паро.тдс;шья я вкрзггз-

'шеи/3/, я бмзсто сперЕтср h^a.vfct)) ' пороя-

. дещщи в Ljj, (F) - (F) выражением /3/ и граничили ус.гошхяил /4/, I4«'! г? Ç"'" фувдм;сягал£кая область решетки Г ;

дзодстаешши к резззтке «.XL

(V

Используя аналитичность типа СД) оператора Нд и вьиескяззнгую '¿■зорся'у доказываем слеяуотуо теорему:

ito-SL-ЬЬ. = Ц6Ч Ht(*,vc*£> /5/

где V ry - означает спектр onepsTopa Ц

Находя аск-ятотипу для собственных значении оператора

с-*,

НА {с\7 \]С~)) , в принципа находим асимптотические форели дл< обобщенных собственных значении оператора V4 . В езя

зк с oTî-.i дальнейшей анализированы только оператор 0х, VO^t))

Во втором параграфа перзои главы получены асишптотическиз формулы для собстесЕНьк значении двумерного оператора в параллелограмме.

■ Обозначим через Нв (tx) оператора порожденный в ка С О51Ь-»» С F) выражением /3/ с соответствующая гранич-

ны;^ условиями. Неслоипля! вычислениями доказано, что собственные

л-> J ,

значения и функция оператора н„ \Си) являются

Лу - i.+ a1- Lï+t,a"l ^ А/

/о

= ] /8/

jiS 1 r^tr- ¿Ы t, а) + сх +1 а} ,

U> (œW I

S V ° / * /Ю/

Сперта,ярадпопояш, что потенциал V(?0 является -грагдао-

/9/

«етзуг-зсх:".; многочленом

УМ-ЦЧ,«. /п/

где

4=5у(х)еиь=с>ьс«, ач^^ч+р^.; /*/

Пусть

£ ^

/13/

где

' ¥ Если

е<Г , ¿^-{гг^^-^р, Пеа, /IV

»-♦•Ъ 4 Ц- СУг С«4)) 2 » собстзан-

нов значение и Д. оператора - (а.") назовем т. -

® О

кратно нерезкзакскыу. А множество (ос") назовем резонансным ыкожестзоы. Очевидно, что нерезонансше собственные значения сос-тавллвт основкуо часть всех собственных значении оператора

Все собстзешще значения оператора Н^Са.Ч/Сх^ нумеруем через точки решетка Г* , обозначим собственные значекил через Д (Я,") влл Л (О?) /где уеГ /. Множество

•' составляет весь спектр оператора УЧ С^си, • Доказаны следующие теоремы.

Теорема -1.3. а/ Если собственное значение , ,Я? • уп~ кратно нерезснансное/т.з. ^'"(«О /» то соответстзуюшее соб-

стзекнсе значение Д (Д.^ оператора Н^ (.О-^Сх^ удовлетворяет асюлтотаку /15/.

+0(1^1^) , /15/

где - IV \

*

л

и/) . о (л^Г") .

б/ ."-.'бого т, - кратно нерезонзксного собственного зка-ченкя А-- существует собственное знзчеше Лы оператора С»-? удовлетворявшее асиштотику /15/.

Тесдема 1.&. а/ Пусть собственное значение Д^ (Д) опе-рлтооа Нд. такое, что

о ?

IА, /16/

где

И ^ 211.1V; | > ъи? У(сс) ,

если Ж, - 1'п- - хгргтко нсрозснзг-гсное, то А . удовлетворяет & ы

асиип то тику'' - ^

, Л„ - л, - Г^ о С и.«"""01*) . /17/

б/ Собственное значение Л^ , дая которого выполняется равенство

« мл (^«^.«¡Л' >

удовлетворяет асимптотику /17/ о У

V Ч - целая часть -р^ » V-® К.-Л.» .

Л™ л , ®

Теорема Х.&, а/ Если собственное значение -Лу резонансное, т.е. & (=0 , то соответствующее соб-

стзенное значение оператора Н^ Со., ^(^У) удовлетворяет асимптотику - '

Ли-5,н- О (' |ЗС,Г*) , /хз/-

гдз Д, . - собственное значение матриш С = С С ^ _

с^ - 1 -^и, 1 V .

С.. = V

б/ Для любого однократно резонансного созктзенксго значения /где | е (ы.") ./ существует собственное значение

Дм осеоатооа ЬцСс^Х/С^У)

■'дезлетзергг^еа асиыптотаку /18/.

Тегарь досустаа, что У(з0 , -а-

П1чГ<-> - м ,

*<гГ ЦСг-)

где

ОРсэкскк!.: чзсзз \/г> нерваokshchos унсгзггзо для гисго-

V

члена V (zzj , где

i. «.?,.%>

vex) = 2_„ v

е

fMilin, '

\ и ТЬС?) .

г.. Г J

Здесь

Доказана tscvsiss 1.5. Если o^t & , то в -~L

~ Me

окрестности числа кмеетсг хотя бы одно собственное зна"с:г:е

A„(i) оператора Ht(c.,V(x)) •

Зо тзторок главе диссертация ргпсистрнваетсл трехмерных оператор Дзулн И,j. (a.Vi^V) лсрсязйкныи е l* Cr)* L. (р) вотаглкяе:/ /3/ v. с тггпгчЕзш услсзхипж /4,', где

двскстввкнел к вететка.

геслаякыин вичис-та-жямн кгхедси:

/ -ii^i-lh.'S^ a1"- ^Ч/^ Г \3alt-ib,a} / * <§

\ L^X.^M^alg {л, ty-risS h, n^

Едвсь даккж cstpsrpp изучается so сжии. В

U

|(a,-Vf«>) 'аг еяззуяакв ЧЗСГЙ

И(сО/(*))=

Г (о У£сУ 9

А зо второй схеме

где з первой и второй схеые первая часть рассматривается как не- -вэз!лупекпыи оператор, а вторая ^асть кап возкушенае. Первая схема ш'еет более простои вид, но она пршеньиа только в случае когда й»Сонч£ , а вторая схеиа более обшаг и ыояет быть применима ■ когда а. есть функция от ее. .

. 3 пераоы параграфа второй главы получены асимптотические бор-.мулы йорядка ф для собственник значения трехмерного оператора

Сначала рассмотри по аэрвои схема, Н0 Со) невозмупакнни оператор порожденный в х ^(Г) пнралеииеы

/20/

-Сх^Ц О^ф+гГ- о].

и с граничили условиями /4/.

Удается вычислить собственные значения отого оператора

4

Н (о.) » это шеет вудг

. У /21/

- l^tf-+ /22/

Отсюда непосредственно вытекает, -что собственноэ значение аератора Н^(сЦ VOO} удовлетворяет следующую фор^-улу ■

А(л > л. +о(0 /23/

5 J ч . J - а

.иш г.е •

Л 1 2Г+ fc| (г- U)+a - U зч fc^l + c{i) 1

V./24/

Лир= if-UX+t^)^\Lavb,aj\ + 0(0 3

Теперь по агорой схеме обозначил через Ь^(сС) оператор порожденный в L>x(F) X'L^QF) Ьыраженйем

/о Л

\ , ) /25/

\ О a - L^al^y

и а граничными условиями /4/, а через обозначда следуо-

шез выражение' • - , . , г

мы- I Р _ • * J М. /26/

\ - vc*) /

Неслогшлги вычислениями получаем, что собстзекныз значен: irr

и

векторн оператора следупкмз:

дз = IA(*++ a-- , /27/

- у /С8/

Kar s дгуиеркш адупзе vss датавюи: Vía) zz-

слсдуд^ие обозначения: С - , /31/

b-t t,а^ +Î ¡¿--Л. O.Z« ,

ЬкгОК, что ьгхк ?

т.е. к v-t ф V*4«0 5

где

V4-0- и (Ч>>) ,

здесь

V»-. СО - -f * е f>M \ 1 * \ .

то тогда дд.- .TíCsro {j^j соСотвенкого зиечеккл опговторг-Mj (а) соотзетзтБ^юиее собстге:Гг;к£ значения A^ÍA^ С /\h,(jJ)) слгэзтсоз Hj. ( Cwj удовдетзсдает сдедудауя готыугп

+ -\t*+i,o3\ + 0(1} /23/

и ZL.1." люйсгс собственного J-x cnraaTQDE M,icx.J¡ уво:—

летнс-ргп^ие Е^оизлснекгХ'ге у сдавят сряеств'-'З? собственное зночс-

/ i- i / 1 ЛПЯПЯ-" ~

» ^ »Je- i v»/c

H^ (с..; удовлегесргшеи гсшгсо-

гттс-хю:; пз.^-rpsirg ¿гггак гяаввг снова Jccaaswyr визекзяо-

í tín.'t высокого парддкь

И, Ca,VC~)) .

I/ Лгльзулсь фссмулзми /21/ и /22/ на:сслим сосстзе:-пше ф/нк-слесатсса H Ç_cC)

-— € \

4 -

\

1

rX

X

A

Ш Г-4)- í • -,

\ --^—--;

4

A

/35/

* « ' «j

Пусть

C6öäH3<iHM

uQ

?

Дселлслсяим. что

- j- ! /37-

лли its

- АО ~

t¿-

< с,-

j

^ = ( y-tt , a ) .

ЛСЛИ

v+Ь e " VU) и выполняется условия /27/, tro

тогда^по определению собственные значения Jt^ к Д. опереíw-

ва Н будут И1 - кваткл нерезонанс

о

Доказана сдедушая теорема /аналог теоремы 1.5/. Теорема I.gL а/ Если собственнее значение Л „ (Л-*)

кратно нерезонапсное /т.е. F^Vc V^G-O- а аносгняегся условия /37//, то соогветстаушзе собственное шачгнда

оператора V(sO) удовлетворяет асимптотику

AU^-i.^^^-^u^r") * . /ээ/

© У

г**

где .явно выражается чзрез Д^ .Д- ií , и

имеет порядок О С \ Tf-ft I '

б/ Для любого va. - кратно нерззонансного еобственпогоо значения. Д.. существует 1 собственное значение Д оператора И^С®-« удовлетворяющее асимптотику /39/.

В первом параграфе мы доказали» что собственные значения к векторы оператора удовлетворяют фор;.:улы /27/ - /30/.

Для получен:« асишгатическях формул высокого порядка хзо зток схеке будем ставить следующие улосзкя:

I/ a&XOY • •

2/ é а" i

Здесь /3/ является аналогом условия /3$/28/ .

Доказана следившие гесреет:

Теорема I.?. 2сли выполняется условия /1-3/, &\/,.СяО

1 достаточно большое, то тогда соотБетстзукп;ая собст-

генкал значен:^ А (Я-*) оператора удов-

летворяет слелупщ'н асиздтотику

'А^-Л + К+ОСи+Ьр^'^) , /40/

здесь - явно пыоагается через ХГ}% и 'УСО имеет

юрадок о

Теоре:.:а Х.8. Если выполняется услоэия теореэд Г.?". то, тогда хля любого Д-у существует соответствующие собстзекккз значения оператора удовлетворяющее асжпто-

гику /40/. -

*

Замечание. По первой и второй с::е:.:я удается тэк-.е показать, ^то зсли Ан (А/) такое, что

го А л удовлетворяет асимптотическую форъ'улу получизппшся от /АО/ заменой ООт^Г^") на О .

Аналогична.-: формула имеет место и для А 0ХТ) .

В третье--: параграфе второй главы полученные результаты обоб-пены для оператора теша Паула И ь (&)\/('зч) посождешти а выражением

'НЧа^С^- ОТ- & /43/

я граничными услоаигаи /4/.

^ с

Невозиупешпли оператор обозначим через М^Ся) » гае НI - -гЫ^-Яь . /42/

Собственные значения к функция этого оператора следушие ^ - -оУ"- Ьи-с.о^ 1

X* - ("I \г*1\-аУс + 1гЛу аЗ. j т[

и остаются прекшЕЖ.

Введен следу:зшие обозначения:

V №

Доказана следугаззг теорема.

Теорелгз Г. 8 . Если £ V ^('О » то тогда соотвстстзу-

шее собственное значение оператора типа Паули, т. е. УС-Д)4

удовлетворяет следушую формулу

/45/

здесь: - явно выраяаегся чер&з Ду , Д4 и имеет

поргдок .

В работе использованы следушиз обозначения: Через С.1гСх,... обозначены постоянные числа. Они в разных главах имеет разине значения. Обозначение ^ сзна~

чает, что сушестъуют положительные постоянные а», такие,что

Исследуемые собственные значения Ак , Л - * Д 5 Д-с-, »Л ^ ЫЦ^... Е спектральные параметры всегда предпола-

гаются достаточно большими. Обозначение озна-

чает, что

о(е^) (и о) > ¿1 ^ *

¡с, - мерная лебегозая ыера мнохеотза

В заключение считай своим пригтнш .долгой внразить глубокую благодарность своего научному руководители проф.О.А.Зелиеву за постановку задач и ценные созеты.

Основные результата диссертации опубликована в следуших работах автора.

1. МЕХРАБОВ В.А. Асимптотические формула для собственных чисел оператора Паули в параллелограммах. ЕГ7 им.Ы.Расул-заде, Деп. з Лз.НИИПИ, 30.12.92г., * 19Э8-АЗ., 12 с.

2. МЕХРАБОВ З.Л. Асимптотические формулы для собственных значеки оператора типа Паули в параллёлепипеде. БГУ игл.И.Расул-заде, Деп. в Аз.НИИНТЙ, К.05.93р., 5 2012-АЗ., II с.

3. 1ЕХРАЕ0Б З.А. Асимптотические формулы для собственных значении оператора Паули в параллелепипеде. Материалы научной конференции аспирантов и молодых ученых ЕГУ, Баку - 1995, с.12.

кенлдвот тс g ai авгощщ от1г ■ olí ïhe spsctkjli от the t>jsu1t4s oseraiou wlte hckloeîc

coïîTiciircrs s ii ü 11 h i

bn thi éise^rtstion perturbation of ?auly*e operstor ta 5>8Г£.11*-ÎBprsK enè j)sreli(îl»!jTp^f! hen bftss inveBtipafiri.

In first chepter obtEiunri RFtnrptiptic forKöles for sil «sagen velue thir- орътг*-.от ir. pareil»«!ogrsir.

in su conti Chí^t- cbrei-n«^ tí« -nBjx.r^ottс foruralee fer- the вот !'*n5R «nr«ri'VBlu<íB of Pauláis oj^rstor гг. pBrelle-lepipsc'.

ЬСЛРАБОБ BYTAP АЕДША ому "Ш2ВДК ЭИСАДЛЫ ПАУЛИ ШЕРАТОРКНУЛ СЫГСРИ

Ьятшдг X у л а с а

£иссертаси,1адо сарадлелсгоам нз параллелепгдедде Пауян орераго-

ir'HV;-: К53ôpjîjjSCK ejpSHÎIJIMKuffKP.

E;:piiHVK кдк Дйфз Деуда ооергторунук паргллкограэдс бг~

ко?:руск эдгдсэри учта асимптота» дгстурлао адышдгиыр. liripira фзскдгг ::c¿ Лзудк слерагорунун псрвяяедкпшеддё махсус:: — ¿д-ержик б5г-вк серк^лары гчтк гскмдтотяи Д'/отурлас £Ш.»гг.