Об универсальных элементах в топологических пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЗВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА Г .Г

ГЛАВА II

ПОПОЛНЕНИЕ

Различные авторы изучали и изучают в настоящее время функции, которые в том или ином смысле являются универсальными.

В 1929 г. Дж.Д.Биркхоф (С«*3) доказал существование такой целой функции (ц.ф.) Н*) , что множеетво|квсюду плотно (в.п.) в , где А» - пространство ц.ф. с топологией равномерной сходимости на каждом компакте ice с. Такие функции мы будем называть Tt - универсальными. 1J - универсальные функции также изучаются в работе [481 (1984) Ш.Блейра и Л.Рубеля. В 1941 г. В.Сайдел и Дж.Л.Уолш (£s51) рассмотрели аналогичное понятие универсальности для функций, аналитических в ограниченных односвяз-ных областях. Аналог теоремы Дж.Д.Биркхофа для гармонических функций в л» - мерном евклидовом цространстве был получен О.П.Дзагнидзе в 1969 г. (1з43).

Результат С.М.Воронина (tail (1975)) о свойстве универсальности дзета-функции Римана, ^О), дал некоторый новый толчок изучению универсальных функций. Свойство универсальности ^(г) состоит в том, что для любой функции $Сг.)<= o<.v<.V4, такой, что ,\г\<.г , существует такая последовательность \Тп. У°\ Т*, е % , что Vrvex* \ *и + \ w 1 12Л&г к ->оо . Свойству универсальности Ш и близким к нему вопросам посвящена обширная литература, среди которой отметим frs^siX^IsO. Впоследствии В.И.Гаврилов и А.Н.Канатников (Esfcl (1982)) привели пример функции, множество сдвигов которой в.п. в А0?Л<г), o<v<V^ •

Пусть (г\ - область в <£ . Через AC<W)(MC<sO), как обычно, обозначается пространство аналитических (мероморфных) функций в Q .

- Я"

Другое направление в изучении универсальных функций состоит в следующем. Пусть <5 - область в с , к. - компакт, tcс и 1 e-sGj -Множеству ( Хд(|с, 7) ) принадлежат все функции s-UJeMCO ACgO ) такие, что для любой рациональной функции (многочлена) "ф"Сг) существуют такие последовательности , ;

OiktWe&ftoelN , что <ХухК *-4п. с G| 3 п. е \Ы • SuJ£ у С 0^2: + Ъъ^^-ЬО , п-»ео и su^ jd { $Cou,2* W^^CiV) k-^oo , где J. - хордальная метрика на сфере Римана. Функции из X (£,"0 изучаются в работах -I^ol В.Люха. В ЦзО -Л 3*1 А

А.Н.Канатников рассматривает, в частности, функции из X^vc^l) и

• ^се упомянутые выше понятия универсальности были связаны с некоторым преобразованием переменной универсальной функции.

В 1952 г. Дж.Мак Лейн (CeQ) доказал, что существует такая ц.ф. Gi(z-) , что множество (<ч в.п. в А» . Эти функции называются Ф - универсальными. В этой работе тоже изучается вопрос о скорости роста $ - универсальных функций. Напомним, что через обозначается класс ц.ф., у которых порадок роста меньше $ , или равен 5 , но в этом случае тип не больше (меньше) с. BCsQ показано, что в классе[1,1) нет Ф - универсальных функций, но уже в классе

Cl.il они существуют. Работы и 1л Ш.БлеЙра и Л.Рубеля (1984) являются цродолжением изучения универсальных функций в А», В L^bI авторы также рассматривают следующее понятие универсальности. Пусть , ъ*. ь & , .Ц.ф. является Х - универсальной (£ ), если множество а ь j S S . SsCtt^duxW,.^* L л ^-З5*,.} в.п. в А». Авторы показали, что существует такая последовательность

С, , что В этой же работе доказано, что найдется ц.ф., с. являющаяся одновременно \ , © и It- универсальной. В конце золучен результат отрицательного характера. Для любой ц.ф. множество , ^С^Сго),."^ не полно в А«,.

Действительные универсальные функции изучаются в работе И.Марцинкевича, опубликованной в 1935 г. Пусть даны отрезок tajfel сfit и последовательность, V to , neibl ; Ячс* о ,н-*со. Функция j-WeCLo^fel - И - универсальна, если для любой функции ^СзО , измеримой на tayfcl, существует такая подс. , оо fK*) .t»fv\ i/ последовательность , что ------ >,*-*«».> п.в. на Lcx.^1. В 1ъг] доказано, что М - универсальные функции образуют множество второй категории в CLa,tl и дополнение этого множества-первой категории в Хоанг Туй ([4*1(1960)) продолжил изучение М - универсальных функций.

Из приведенного выше обзора видно, что в настоящее время имеется много различных понятий универсальных функций, и их исследованиям посвящено большое количество публикаций.

Однако, они имеют разрозненный характер и до сих пор не рассматривалось явление универсальности с общих позиций.

Поэтому цредставляет интерес изучение этого воцроса с общей точки зрения, что позволит понять суть явления универсальности, осмыслить и обобщить имеющуюся информацию об универсальных функциях.

Цель работы состоит в построении общей теории универсальных элементов в топологических пространствах для выявления общих свойств не только этих элементов, но также и цространств, в которых они существуют.

Диссертация состоит из введения, двух глав и дополнения; в заключительной части цриведена библиография.