Об устойчивости движения неконсервативных систем со связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Федотов Александр Викторович

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

Специальность 01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатрони-ки механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук С. Д. Фурта

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

В.М. Морозов

С.Я. Степанов

Ведущая организация:

Московский авиационный институт

Защита состоится 20 мая 2005 года в 16.00 на заседании Диссертационного совета Д 501.001.22 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119922, Москва, Ленинские горы, МГУ, Главный корпус, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГУ на механико-математическом факультете.

Автореферат разослан 19 апреля 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент В.А. Прошкин

№05-4

MiS0i3

Актуальность темы. Существует целый ряд практических задач о движении цепочек твердых тел в среде с сопротивлением или же на шероховатой поверхности. Этот класс задач механики относится к разделу динамики систем многих тел (multibody dynamics). Актуальность исследования динамики многозвенных систем обусловлена большим прикладным значением в таких отраслях как робототехника, транспортные системы, физика полимеров [1-6]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросам устойчивости движения цепочек тел.

В диссертации расматривается задача о транспортировке многозвенной системы. При надлежащих ограничениях относительно формы тел, входящих в цепочку, а также на характер действующих сил, система может допускать прямолинейное движение цепочки как твердого тела. Вместе с тем, в реальных технических системах очень часто приходится сталкиваться с таким негативным явлением как неустойчивость такого движения. Подобные явления наблюдаются также при движении тросовых систем, которые можно рассматривать как предельный случай цепочек твердых тел при п —> оо, где п количество звеньев. Одна из задач данной диссертационной работы — показать, что механизм неустойчивости лежит в характере взаимодействия тел со средой (в соответствующей модели силы трения). Так, например, в [7] неустойчивость объяснялась непостоянством коэффициента трения в зависимости от точки плоскости, по которой двигался трос. Между тем, возможны другие механизмы потери устойчивости. Например, если рассмотреть элементарный твердый сегмент, движущийся в среде с сопротивлением, то с физической точки зрения совершенно очевидно, что для того чтобы совершить виртуальное перемещение параллельно его плоскости, нужно затратить работу меньшую, чем в перпендикулярном направлении. Предельная ситуация приводит к наложению на систему дополнительной неинтегрируемой связи, запрещающей перемещение сегмента в перпендикулярном направлении. Связи такого типа рассматривались прежде и для систем с бесконечным числом степеней свободы.

Известно, что влияние неинтегрируемых связей может приводить

PCX I'Vm'OMV'MlS'l ЬИЬ ! Ич I I !• \ { Пгчр0)р1

к потери устойчивости в реальных системах: шимми ведущего колеса самолета, потеря устойчивости буксируемой длинной емкости заполненной нефтью [8] и т.п. Так что вопрос о стабилизации прямолинейного движения в таких механических системах представляет большое практическое значение.

Другие задачи, рассмотренные в работе, связаны с проблемой обращения теоремы Лагранжа-Дирихле. Было предложено развитие обобщенного метода Ляпунова [9]. Исследовалась устойчивость равновесий неголономных механических систем, на которые действуют потенциальные и диссипативные силы. Получены асимптотические разложения для решений, "выходящих" из положения равновесия.

На основании асимптотики частных решений дифференциальных уравнений движения исследуется также устойчивость положения равновесия механических систем с частичной диссипацией. Таким образом получено обобщение результатов работы В.В. Козлова [11].

Цель работы.

1. Построение механической модели движения для цепочки транспортируемых тел.

2. Исследование устойчивости прямолинейного движения данной многозвенной системы и возможностей его стабилизации.

3. Изучение устойчивости равновесия неголономной механической системы, на которую действуют потенциальные и диссипативные силы.

4. Исследование условий устойчивости равновесия голономной механической системы, на которую действуют потенциальные силы и силы частичной диссипации.

Научная новизна. В работе предложены различные модели для описания движения цепочки транспортируемых тел. Впервые было получено доказательство неустойчивости равномерного прямолинейного движения данной цепочки. Исследована возможность стабилизации этого движения посредством установки демпферов в шарнирах, соединяющих тела в цепочке, а также влияние сопротивления среды на устойчивость. Получены асимптотические решения к положению равновесия

для систем с диссипацией. Найденные главные члены асимптотик отличаются от полученных ранее в работах [11,12].

Апробация работы. Основные результаты докладывались в ВЦ РАН им. A.A. Дородницина и на спецсеминарах механико-

р математического факультета МГУ им М.В. Ломоносова.

)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.

г

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (64 наименования). Общий объем работы — 93 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, проводится анализ литературы и кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе дается описание основной механической модели для цепочки тел. Для моделирования движения связки п тел выбирается система п последовательно соединенных коньков, прикрепленных к материальной точке, перемещающейся с постоянной скоростью и . Приводится постановка задачи об устойчивости п последовательно соединенных коньков. Подробно разбираются случаи п = 1, п = 2. В этом разделе изучаются различные модели для описания влияния среды на движение тел в цепочке. Рассматриваются системы, на которые наложены неинтегрируемые связи, системы на которые воздействует анизотропная сила трения, а также исследуется эффект присоединенных масс на устойчивость движения. Так, в п. 1.3 исследуется движения

одного транспортируемого конька, на который действует анизотропная pfr

сила трения -gp = — е 1 и диссипативныи момент, пропорциональный

угловой скорости конька МpiVOt = —сш. Здесь — проекция силы трения на направление нормали к лезвию конька, F/r — проекция си-

лы трения на направление лезвия конька, ш — угловая скорость конька, а е, с — постоянные величины. Область устойчивости имеет вид

Рис. 1: Граница области устойчивости для случая анизотропного трения на плоскости (//, е).

Сформулированы следующие два утверждения. Во-первых, движение неголономного конька можно стабилизировать диссипативным моментом. Более точно, если е = 0, то прямолинейное движение устойчиво при

2а ,1Ч

^ЩТТ- (1)

В неравенстве (1) безразмерный параметр а определяет момент инерции, а ¡3 = у, где Ь — длина стержня, посредством которого конек крепится к материальной точке, I — длина лезвия конька .

Во-вторых, когда диссипативный момент отсутствует, тривиальное решение устойчиво, если

Условие (2) означает, что нормальная компонента должна быть не очень большой. Безразмерный параметр /4 определяется из соотношения и =

В п. 1.5 определяется область устойчивости для двух транспортируемых тел на плоскости параметров (//, у), где 7 = а В — коэффициент трения. Она имеет вид, приведенный на рис. 2.

Рис. 2: Область устойчивости на плоскости параметров /х, 7 (а = 10, /3 = 0.01).

Глава 2 посвящена обобщению полученных результатов на системы с произвольным числом звеньев. Основной результат заключается в том, что вне зависимости от значений безразмерных параметров, характеризующих систему, движение п транспортируемых коньков неустойчиво. Причем в системе, на которую наложена неголономная связь, неустойчивость будет типа флаттера. Показало также, что если рассматривать дифференциальные уравнения, получающиеся из вариационного принципа Гамильтона, то можно прийти к тому же выводу о неустойчивости движения, но неустойчивость будет другого типа (неустойчивость обусловлена наличием вещественного положительного корня характеристического уравнения).

В заключении этой части диссертационной работы рассмотрен случай п —> оо. Исследовано расположение корней характеристического многчлена на комплексной плоскости при увеличении числа звеньев п.

В главе 3 основное внимание уделяется стабилизации прямолиней-

ного движения цепочки твердых тел. В первом параграфе описывается влияние свойств среды на устойчивость. Показано, что при наличии достаточно большого диссипативного момента и силы трения рассматриваемое движение может быть стабилизировано. В других двух параграфах этой главы рассмотрены различные механические устройства соединения тел в цепочке. Дается обоснование того, что при дополнительном соединении тел пружинами движение остается неустойчивым; влияние же демпферов достаточной жесткости способно застабилизи-ровать прямолинейное движение п транспортируемых коньков.

Устойчивости положения равновесия в механических системах с диссипацией посвящена глава 4. Исследование проводится с помощью обобщенного первого метода Ляпунова, развитого в работах В.В. Козлова и С.Д. Фурты [10-13]. Для неголономной системы с полной диссипацией доказывается неустойчивость положения равновесия в том случае, когда потенциальная энергия V (я) в критической точке не имеет минимума, и отсутствие минимума можно опредилить по первой нетривиальной однородной форме в разложении V (я) в ряд Маклорена. Неустойчивость выводится из существования асимптотического решения к положению равновесия. Асимптотическое решение ищется в виде формального ряда

„м - V* «»(Щ-*)) (Ъ

где коэффициенты Яг(1п(—£)) являются вектор-функциями, полиномиально зависящими от 1п(—¿), а а ~ т — порядок первой ненулевой формы в разложении V (я) в ряд Маклорена. Также с помощью первого метода Ляпунова исследуются равновесие голономной системы с частичной диссипацией.

Заключение. Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Прямолинейное движение транспортируемой цепочки тел неустойчиво. Неустойчивость имеет место для любых значений безразмерных параметров, характеризующих систему. Эти выводы одинаково спра-

ведливы как для неголономной, так и для вакономной системы.

2. Найдены достаточные условия стабилизации прямолинейного движения цепочки тел. Показано, что при достаточно большом диссипа-тивном моменте и большой по модулю силе трения движение будет устойчивым. Также обоснована возможность стабилизации при наличии демпферов достаточной жесткости, установленных в шарнирах.

3. Показано, что у неголономной системы, на которую действуют потенциальные и диссипативные силы, положение равновесия неустойчиво, если первая нетривиальная форма в разложении потенциальной энергии в ряд Маклорена не имеет минимума в равновесии.

4. Исследованы условия, при которых из отсутствия минимума у потенциальной энергии у голономной системы с частичной диссипацией следует неустойчивость равновесия.

Литература

[1] Черноусько Ф.Л. О движение трехзвенника по плоскости. ПММ, 1999, т. 63, вып. 1, с. 5-15.

[2] Черноусько Ф.Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости. ПММ, т. 64, вып. 4, с. 518-531, 2000.

[3] Литвинцев А.И., Пятницкий Б.С. Динамика и управление многозвенным транспортным механизмом. Автоматика и телемеханика, 1993, N 1, с. 141-153.

[4] Doyle P.S., Ladoux В., Viovy J.-L. Dynamics of a Tethered Polymer in Shear Flow. Phys. Rev. Let., vol. 84, No. 20, p. 4769-4773.

[5] Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-like Locomotors and Manipulators.Oxford: Univ.Pres., 1993, 220 p.

[6] Ostrowski J.P., Burdick J.W. Gait kinematics for a serpantine robot. Proc. 1996 IEEE Intern. Conf. on Robot, and Automat. Minneapolis. N.Y.-.IEEE, 1996, v. 2, p. 1294-1299.

[7] Furta S.D. On the motion of a rope on a rough surface. Archive of Applied Mechanics, 1994, vol. 64, p.357-364.

[8] Bishop R.E.D. Vibrations. Cambridge University Press, 1979.

[9] Козлов В.В., Фурта С.Д. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой. Матем. заметки, 1995, т. 58, вып. 12, 851-861.

[10] Козлов В.В., Фурта С.Д. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем. ПММ, 1996, т. 60, вып. 1, 10-22.

[11] Козлов В.В. Об асимптотических решениях систем с диссипацией. ПММ, 1994, т. 58, вып 5, 31-36.

[12] Козлов В.В. Об устойчивости равновесия неголономных систем. ДАН СССР, 1986, т. 288, 2, 289-291.

[13] Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа-Дирихле. ПММ, 1986, т. 50, вып. 6, 928-937.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Fedotov A.V., Furta S.D. On stability of motion of a chain of n driven bodies. Quaderni del Dipartimento di matematica dell'Universita di Torino, 2002, No 12.

[2] Fedotov A., Furta S.D. On stability of motion of a chain of n driven bodies. Reg. and Chaot. dyn., 2002, vol. 7, No. 3, p. 249-268.

[3] Федотов А.В. О равновесиях механических систем с диссипацией. Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах, 2(14), 2001.

Подписано в печать 06.04.2005 Объем 1.0 печл. Тираж 50 экз. Заказ № 55 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992, г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

ош- м té

РНБ Русский фонд

2005i4 41953

/ \ : X \ 1 9 МАИ 2005

Введение

Глава 1. Постановка задачи. Простейшие механические модели

1.1 Описание основной механической системы и постановка задачи.

1.2 Неустойчивость движения одного конька.

1.3 Реализация связей и диссипативный момент.

1.4 Движение двух последовательно соединенных коньков

1.5 Влияние диссипативного момента на устойчивость движения.

Глава 2. Неустойчивость движения п транспортируемых коньков

2.1 Движение п последовательно соединенных коньков

2.2 Предельный переход при п —У оо

Глава 3. Стабилизация движения п транспортируемых коньков

3.1 Влияние диссипативного момента на устойчивость движения.

3.2 Влияние сил упругости на устойчивость движения

3.3 Влияние демпферов в шарнирах на устойчивость движения.

Глава 4. Устойчивость положений равновесия систем с диссипацией

4.1 Обращение теоремы Лагранжа-Дирихле и асимптотические движения.

4.2 Постановка задачи

4.3 Неголономные системы с диссипацией.

• 4.4 Голономные системы с частичной диссипацией

Существует целый ряд практических задач о движении цепочек твердых тел в среде с сопротивлением или же на шероховатой поверхности. Этот класс задач механики относится к разделу динамики систем многих тел (multibody dynamics [1,2]). Актуальность исследования динамики многозвенных систем обусловлена большим прикладным значением в таких отраслях как робототехника, транспортные системы, физика полимеров [3-10]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросам устойчивости движения цепочек тел.

При некоторых ограничениях относительно формы тел, входящих в цепочку, а также на характер действующих сил, рассматриваемая система может допускать прямолинейное движение цепочки как твердого тела. Вместе с тем, в реальных технических системах очень часто данное движение оказывается неустойчивым. Похожие явления наблюдаются также при движении тросовых систем (Рис. 0.1), которые можно рассматривать как предельный случай движения цепочек твердых тел при п —> оо, где п количество звеньев.

Пример потери устойчивости прямолинейного движения тросовой системы, созданной для исследования атмосферы Марса учеными Московского авиационного института, приводится в работе

Рис. 0.1: Отклонение нити от прямолинейной формы под действием набегающего потока жидкости. Эксперимент проводился в Курантовском институте прикладной математики [11].

С.Д. Фурты [12]. Система состояла из переносимого ветром аэростата и цепочки твердых тел конической формы, прикрепленной к гондоле аэростата с помощью троса. На практических испытаниях, проводимых на Земле, оказывалось, что когда аэростат двигался с достаточно большой скоростью, цепочка тел совершала значительные поперечные колебания, что приводило к неустойчивости движения всей системы. В статье [12] неустойчивость объяснялась непостоянством коэффициента трения в зависимости от точки плоскости, по которой двигалась связка последовательно соединенных твердых тел.

Другой пример подобной системы содержится в книге Р. Бишопа [13], где описывается явление потери устойчивости длинной эластичной емкости, заполненной нефтью. Здесь также оказывалось, что при определенных скоростях буксира транспортируемая емкость совершала поперечные колебания с большой амплитудой, препятствуй ющие движению, однако потерю устойчивости в данной системе нельзя объяснить влиянием неоднородной силы трения.

Между тем, возможны другие механизмы потери устойчивости. Например, если рассмотреть элементарный твердый сегмент, движущийся в среде с сопротивлением, то с физической точки зрения совершенно очевидно, что для того чтобы совершить виртуальное перемещение параллельно его плоскости нужно затратить работу меньшую, чем в перпендикулярном направлении. Предельная ситуация приводит к наложению на систему дополнительной неинтегриру-емой связи, запрещающей перемещение сегмента в перпендикулярном направлении. Связи такого типа рассматривались ранее и для систем с бесконечным числом степеней свободы. В частности, в работах [14-18] авторы пытались таким образом объяснить механизм движения рыб и змей в воде.

Известно, что влияние неинтегрируемых связей может приводить к потери устойчивости в реальных системах. Прежде всего речь идет о шимми ведущего колеса самолета [19]. Другой пример — неустойчивость движения игрушечной собаки на колесах, которую тянут за веревку, содержится в книге [13]. В статье [20] рассмотрены системы с бесконечным числом степеней свободы (тросы) с позиции влияния связи на устойчивость. Эта работа имела своей целью объяснить явление потери устойчивости буксируемой длинной емкости, заполненной нефтью [13].

Как уже отмечалось, распределенную систему можно считать предельным случаем цепочки твердых тел. В настоящей работе рассматривается задача о механизме потери устойчивости прямолинейного движения простейшей цепочки твердых тел с произвольным количеством звеньев, на которую наложены дополнительные неин-тегрируемые связи.

Классической общепризнанной моделью неинтегрируемой связи является неголономная связь. С другой стороны, существует другая модель, предложенная В.В. Козловым [21,22] — модель ваконом-ной связи, которая основана на вариационном Лагранжевом подходе. Сравнению этих двух моделей с точки зрения корректности математической постановки посвящена статья [25].

Тем не менее, у исследователей, более ориентированных на приложения, предложенный формализм вакономной механики вызывает некоторые возражения (см. статью Г. Дзампьери [26], показывающую, что классическая система (конек Чаплыгина), рассматриваемая, как вакономная, ведет себя странным образом). Между тем надо иметь в виду, что любая неинтегрируемая связь является идеализацией и появляется как результат некоторых больших по модулю сил. Так, например, в работе М.В. Дерябина и В.В. Козлова [27] дается объяснение "парадоксальным" частным движениям вакономного конька [26] на основании эффекта "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости.

Известно, что большие силы трения специального вида приводят в пределе к появлению неголономной связи. Первая работа относительно возможной реализации связи принадлежит К. Каратеодори [28]. Аккуратное доказательство этих утверждений содержится в работах

А.В. Карапетяна и В.Н. Бренделева [29,30]. Проблема реализации неголономных связей была рассмотрена также И. Баумгарте [31]. В своей статье он рассмотрел ее методами численного анализа, не доказывая теорем о предельном переходе.

Вакономная связь может быть реализована с помощью действия больших инерционных сил, возникающих за счет действия присоединенных масс (эффект хорошо известный в гидродинамике). Поэтому вакономная модель может оказаться более предпочтительной для описания предельного движения цепочки тел в жидкости.

Одна из задач данной диссертации — показать, что механизм неустойчивости лежит в характере взаимодействия тел со средой, т. е. в соответствующей модели силы трения.

Другая задача, рассмотренная в диссертационной работе, является продолжением исследования асимптотических свойств движений механических систем, начатых В.В. Козловым [32-35]. Как известно [36], сущность первого метода Ляпунова состоит в нахождении общего или частного решения уравнений возмущенного движения механической системы, позволяющего сделать вывод о том, устойчиво ли ее нулевое решение или нет. В случае, когда кинетическая энергия Т (q, q) и потенциальная энергия V (q) натуральной голономной системы представляют собой аналитические функции, a q = 0 является невырожденной критической точкой потенциальной энергии, эта задача полностью решена A.M. Ляпуновым. При отсутствии минимума в точке q = 0 асимптотическое решение находится в виде сходящегося ряда qW=£q k(t)ekX^ А>0, к=1

Ситуация, когда отсутствие минимума нельзя определить по квадратичной форме разложения потенциальной энергии подробно рассматривалась в работах [32,34]. Неустойчивость выводилась из теоремы о существовании асимптотического решения, которое было представлено рядом с обобщенно-степенной асимптотикой. Позже В.В. Козловым рассматривались возможные построения асимптотических решений и для неголономных систем.

Хорошо известно, что если q = 0 — точка строгого локального минимума потенциальной энергии V (q), то невозмущенное движение q(£) = 0 неголономной системы устойчиво по Ляпунову на инвариантном многообразии, задаваемом уравнениями связей [37], как при действии диссипативных сил так и при их отсутствии. Обратное утверждение при некоторых дополнительных предположениях было доказано в [33] для консервативных систем. В настоящей диссертации применяется обобщенный первый метод Ляпунова для неголономных систем с полной диссипацией и для голономных систем с частичной диссипацией.

Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе дается постановка задачи об устойчивости п последовательно соединенных коньков. Подробно разбираются случаи п = 1, п = 2. В этом разделе приводятся различные модели для описания влияния среды на движение тел в цепочке. Рассматриваются системы, на которые наложены неинтегрируемые связи и системы, на которые воздействует анизотропная сила трения, а также исследуется эффект присоединенных масс на устойчивость движения. ® Глава 2 посвящена обобщению полученных результатов на системы с произвольным числом звеньев. Основной результат заключается в том, что вне зависимости от того, какие значения выбраны для безразмерных параметров, характеризующих систему, движение п транспортируемых коньков неустойчиво. Причем в системе, на которую наложена неголономная связь, неустойчивость будет типа флаттера. Показано также, что если рассматривать дифференциальные уравнения, получающиеся из вариационного принципа Гамильтона, то можно придти к тому же выводу о неустойчивости движения, только неустойчивость будет иметь другой тип. В заключении этой части диссертационной работы рассмотрен случай п —> оо. Путем формального предельного перехода устанавливается взаимосвязь между уравнениями движения длинной транспортируемой емкости [20] и уравнениями движения цепочки тел.

В главе 3 основное внимание уделяется стабилизации прямолинейного движения цепочки твердых тел. В первом параграфе описывается влияние свойств среды на устойчивость. Показано, что при наличии достаточно большого диссипативного момента и силы трения рассматриваемое движение может быть стабилизировано. В других двух параграфах этой главы рассмотрены различные механические устройства соединения тел в цепочке. Дается обоснование того, что • при дополнительном соединении тел пружинами движение остается неустойчивым; влияние же демпферов достаточной жесткости способно застабилизировать прямолинейное движение тг транспортируемых коньков.

Устойчивости положения равновесия в механических системах с диссипацией посвящена глава 4. Исследование проводится с помощью обобщенного первого метода Ляпунова, развитого в работах В.В. Козлова и С.Д. Фурты [32,33,35,38]. Для неголономной системы с полной диссипацией доказывается неустойчивость положения равновесия в том случае, когда потенциальная энергия V (q) в критической точке не имеет минимума, и отсутствие минимума можно определить по первой нетривиальной однородной форме в разложении V (q) в ряд Маклорена. Неустойчивость выводится из существования асимптотического решения к положению равновесия. Также с помощью первого метода Ляпунова исследуются равновесие голоном-ной системы с частичной диссипацией. Отметим, что существование полученных асимптотических решений не следует из опубликованных ранее работ [32,33,35,38]. Также новыми являются результаты относительно неустойчивости положений равновесия (ср. [39-42]).

Заключение

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Прямолинейное движение транспортируемой цепочки тел неустойчиво. Неустойчивость имеет место для любых значений безразмерных параметров, характеризующих систему. Эти выводы одинаково справедливы как для неголономной, так и для вакономной системы. Но если у неголономной системы неустойчивость будет типа флаттера, то у вакономной системы она будет иметь другой тип.

2. Найдены достаточные условия стабилизации прямолинейного движения цепочки тел. Показано, что при достаточно большом дис-сипативном моменте и большой по модулю силы трения движение будет устойчивым. Также обоснована возможность стабилизации при наличии демпферов достаточной жесткости, установленных в шарнирах.

3. Показано, что у неголономной системы, на которую действуют потенциальные и диссипативные силы, положение равновесия неустойчиво, если первая нетривиальная форма в разложении потенциальной энергии в ряд Маклорена не имеет минимума в равновесии.

4. Исследованы условия, при которых из отсутствия минимума у потенциальной энергии у голономной системы с частичной диссипацией следует неустойчивость равновесия.

1. Wittenburg J. Dynamics of systemes of rigid bodies. Stuttgart, Teubner, 1977.

2. Schiehlen W. Multibody system dynamics: roots and perspectives. Mult. Syst.Dyn., 1997, No. 2, p. 149-188.

3. Черноусько Ф.Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости. ПММ, т. 64, вып. 4, с. 518-531, 2000.

4. Черноусько Ф.Л. Движение трехзвенника по плоскости. ПММ, 2001, т. 65, вып. 1, с. 15-20.

5. Литвинцев А.И., Пятницкий Е.С. Динамика и управление многозвенным транспортным механизмом. Автоматика и телемеханика, 1993, N 1, с. 141-153.

6. Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-like Locomotors and Manipulators. Oxford: Univ.Pres., 1993, 220 p.

7. Ostrowski J.P., Burdick J.W. Gait kinematics for a serpantine robot. Proc. 1996 IEEE Intern. Conf. on Robot, and Automat. Minneapolis. N.Y.:IEEE, 1996, v.2, p. 1294-1299.

8. Burdick J., Radford J., Chirikjian G. A "sidewinding" locomotion gait for hyper-redundant robots, Advanced Robotics, 1995, Vol. 9, No. 3, p. 195-216.

9. Doyle P.S., Ladoux В., Viovy J.-L. Dynamics of a Tethered Polymer in Shear Flow. Phys. Rev. Let., vol. 84, No. 20, p. 47694773.

10. Ladoux В., Quivy J.-P., Doyle P.S., Almouzni G., Viovy J.-L. Direct imaging of single molecules: from dynamics of a single DNA chain to the study of complex DNA-protein interactions. Sci. Prog., 2001, vol. 84, No. 4, 267-290.

11. Zhang J., Childress S., Libchaber A., Shelley M., 2000, Nature, Vol. 408, p. 835-839

12. Furta S.D. On the motion of a rope on a rough surface. Archive of Applied Mechanics, 1994, vol. 64, p. 357-364.

13. Bishop R.E.D. Vibrations. Cambridge University Press, 1979.

14. Журавлев В.Ф. Об одной модели механизма движения змеи. ПММ, 2002, т.66, вып. 4, с. 534-538.

15. Kuznetsov V.M., Lugovtsov В.A., Sher V.N. On the motive mechanism of snakes and fish. Arch, for Rat. Mech. and Anal., 1967, vol. 25, p. 367-387.

16. Лаврентьев M.A., Лаврентьев M.M. Об одном принципе создания тягловой силы для движения. ПМТФ, 1962, вып. 4, с. 3-9.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.:Наука, 1973.

18. Шер Е.Н. О механизме движения рыб и ужей. Некоторые проблемы математики. Л.: Наука, 1970, с. 267-276.

19. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. ЦАГИ, 1945, вып. 564.

20. Furta S.D. On loss of stability rectilinear shape of a rope moving in a resisting medium. Quaderni del Dipartimento di matematica delPUniversita di Torino, 2000, No 13.

21. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Современные проблемы математики. Т. 3, М.: ВИНИТИ, 1985.

22. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями I. Вестник МГУ, Сер. Мат., Мех., 1982, вып. 3, с. 92-100.

23. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями II. Вестник МГУ, Сер. Мат., Мех., 1982, вып. 4, с. 70-76.

24. Козлов В.В. Динамика систем с неинтегрируемыми связями III. Вестник МГУ, Сер. Мат., Мех., 1983, вып. 3, с. 102-111.

25. Kupka I., Oliva W.M. The non-holonomic mechanics, J. of Differential Equations. 2001, vol. 169, No. 1, p. 169-189.

26. Zampieri G. Nonholonomic versus Vakonomic Dynamics. J. of Differential Equations., 2000, Vol. 163, p. 335-347.

27. Дерябин М.В., Козлов В.В. Об эффекте "выныривания" тяжелого твердого тела в жидкости. Изв. РАН. МТТ, 2002, вып. 1, с. 68-74.

28. Caratheodori С. Der Schlitten. Z. angew. Math, und Mech., 1933, 13, p. 71-76.

29. Карапетян А.В. О реализации неголономных связей и об устойчивости кельтских камней. ПММ, 1981, т. 44, вып. 1, с. 42-51.

30. Бренделев В.Н. О реализации связей в неголономной механике. ПММ, 1981, т. 45, вып. 3, с. 481-487.

31. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems. Сотр. methods in applied mechanics and engineering, 1972, No. 1, p. 1-16.

32. Козлов В.В. Об асимптотических решениях систем с диссипацией. ПММ, 1994, т. 58, вып. 5, с. 31-36.

33. Козлов В.В. Об устойчивости равновесия неголономных систем. ДАН СССР, 1986, т. 288, 2, с. 289-291.

34. Козлов В.В., Паламодов В.П. Об асимптотических решениях уравнений классической механики. ДАН СССР, 1982, т. 263, 2, с. 285-289.

35. Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа-Дирихле. ПММ, 1986, т. 50, вып. 6,с. 928-937.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Москва; Л.: Гостехиздат, 1950, 471 с.

37. Румянцев В.В. Об устойчивости движения неголономных систем. ПММ, 1967, т. 31, вып. 2, с. 260-271.

38. Козлов В.В., Фурта С.Д. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем. ПММ, 1996, т. 60, вып. 1, с. 10-22.

39. Карапетян А.В. О распространении теоремы Лагранжа на не-голономные системы Чаплыгина. Теор. и прикл. мех., 1979, 10, вып. 2, с. 11-16.

40. Карапетян А.В. Об устойчивости равновесий неголономных систем. ПММ, 1975, т. 4, с. 109-113.

41. Хагендорн П. О неустойчивости равновесия голономных ссис-тем с частичной диссипацией. ПММ, 1973, т. 37, вып. 4,с. 640-646.

42. Laloy М. On equilibrium instability for conservative and partially dissipative systems. Int. J. Non-Lin Mech., vol. 11, p. 295-301.

43. Козлов В.В., Фурта С.Д. Асимптотика решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. Москва; издательство МГУ, 1996, 243 с.

44. Румянцев В.В. О принципе Гамильтона для неголономных систем. ПММ, 1978, т. 42, вып. 3, с. 387-399.

45. Рокар Н. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолеты. Висячие мосты. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1959.

46. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Итоги науки и техники. Общая механика. М., ВИНИТИ, т. 6, 1983.

47. Peifer К. An example of поп isolated equilibrium with maximum potential, stabilized by dissipative forces. J. of Appl. Math, and Phys., vol. 30, 1979.

48. Виннер Г.М. Асимптотические движения механических систем с неголономными связями. ПММ, 1989, т. 53, вып 4, с. 549-555.

49. Кузнецов А.Н. О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей формальным решением. Функц. анализ и его прилож., 1972, т. 6, вып. 2, с. 41-51.

50. Козлов В.В. Асимптотические решения уравнений классической механики. ПММ, 1982, т. 46, вып. 4, с. 573-577.

51. Козлов В.В., Фурта С.Д. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой. Матем. заметки, 1995, т. 58, вып. 12, с. 851-861.

52. Болотин С.В., Негрини П. Асимптотические траектории гироскопических систем. Вестн. МГУ, сер. I. Математика. Механика, 1993, вып. 6, с. 66-75.

53. Bolotin S., Negrini P. Asymptotic solutions of Lagrangian systems with gyroscopic forces. Nonlnear Diff. Eq. and Appl., 1995, vol. 2, p. 417-444.

54. Painlave P. Sur la stabilite l'equilibre. C.r. Acad. sci. Paris, 1904, vol. 138, p. 1555-1557.

55. Wintner A. The analitical foundations of celestial mechanics. Prinston: Univ. Press. 1941, 448 p.

56. Фурта С.Д. Об асимптотических решениях уравнений механики. ПММ, 1986, т. 50, вып. 6, с. 938-943.

57. Фурта С.Д. Асимптотические траектории механических систем, находящихся под действием сил вязкого трения. В сб. "Аналитические и численные методы исследования механических систем", М., изд. МАИ, 1989, с. 35-38.

58. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. Москва; Наука, 1998, 288 с.

59. Брюно А.Д. Первые приближения дифференциальных уравнений. ДАН, сер. Мат., 1994, т. 335, с. 413-416.

60. Брюно А.Д. Многогранник Ньютона в нелинейном анализе. Встник МГУ; сер. I. Математика. Механика, 1995, вып. 6,с. 45-51.

61. Румянцев В.В., Сосницкий С.П. О неустойчивости равновесия голономных консервативных систем. ПММ, 1993, т. 57, вып. 6, с. 144-166.

62. Fedotov A.V., Furta S.D. On stability of motion of a chain of n driven bodies. Quaderni del Dipartimento di matematica deH'Universita di Torino, 2002, No 12.

63. Fedotov A., Furta S.D On stability of motion of a chain of n driven bodies. Reg. and Chaot. dyn., 2002, vol. 7, No. 3, p. 249-268.

64. Федотов А.В. О равновесиях механических систем с диссипацией. Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах, 2(14), 2001.