Об устойчивости трехмерных упруго-пластических тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕЭРИИ

УСТОЙЧИВОСТИ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТШОВКЕ

§ IJ.Общие уравнения устойчивости, граничные условия.Общая постановка задачи

§ 1.2. Замыкание задачи устойчивости в напряжениях по неклассическому варианту Сопоставление вариантов.

§ 1.3.Задача сжатия-растяжения полосы в различных вариантах. Решение плоской задачи по неклассическому варианту

ГЛАВА П. ОБ ОБРАЗОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ШЕЙКИ И

ИЗГИБНОЙ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ В УПРУГО

ПЛАСТИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНКЕ ПРИ ОСЕВЫХ НАГРУЗКАХ.

§ 2.1. Общие соотношения устойчивости в напряжениях.

§ 2.2. Устойчивость пластинки при осевых нагрузках. Случай упругости.

§ 2.3. Устойчивость пластинки при двухосной нагрузки.

§ 2.4. Устойчивость пластинки при одноосной нагрузки.Слабое упрочнение.

ГЛАВА Ш. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ, СТЕКАЮЩЕГО ПО НАКЛОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

§ 3.1. Устойчивость полосы,лежащей на горизонтальной плоскости.

§ 3.2. Задача устойчивости слоя,стекающего по наклонной поверхности.ЮО

В механике деформируемых сред теория устойчивости представляется одной из важных частей, которая в настоящее время превратилась в весьма разветвленную отрасль со своими многочисленными приложениями, методами и подходами. Результаты этой теории практически применяются в любой отрасли промышленности и строительства. Вопросам устойчивости деформируемых тел посвящены многие работы. Однако большинство исследователей с целью упрощения решения задач, связывая явление потери устойчивости лишь с тонкостенными конструкциями, пользовались двумерными и одномерными прикладными теориями.

С другой стороны, бурный рост техники, связанный с задачами механики конструкционных материалов и задачами устойчивости толстостенных элементов конструкции, требует разработки трехмерной теории устойчивости и развития прогрессивных подходов.

Основы теории устойчивости трехмерных деформируемых тел изложены во многих отдельных монографиях и многочисленных статьях советских и зарубежных авторов.

Первые работы по устойчивости упруго-пластических систем (Ф.Энгессер, Т.Карман) основывались, как и в упругости, на критерии Эйлера, состоящем в том, что неустойчивость трактовалась как возможность равновесного перехода из основного состояния в побочное при неизменных внешних нагрузках. Однако в этих ранних исследованиях была рассмотрена устойчивость только в отдельных случаях, решение которых не основывалось на общей теории. Позже, из этих частных примеров Ж.Х.Брайон / 53 / в 1888 году попытался делать обобщение и показал, что равновесие данного положения будет зависеть от того, достигает ли минимального значения потенциальная энергия в данном положении.

Построение линеаризированной теории устойчивости привлекало внимание многих ученых. Известно, что Коши в свое время пытался построить теорию устойчивости для тел с начальными напряжениями, что в определенном смысле по современной терминологии соответствует линеаризированной теории устойчивости. В дальнейшем, проблеме построения теории устойчивости, описывающей процесс деформирования тела от естественного (ненапряженного) до данного состояния, посвящена обширная литература. Обусловлено это тем, что уравнение устойчивости допускает множество форм представления в связи как с различным выбором систем отсчета, так и с различной трактовкой (определением) понятий дополнительных деформации и напряжений, что приводит к различным, внешне отличающимся формулировкам критерия устойчивости. Отражая происходящие явления, эти формы представления обладают неодинаковой ценностью в приложении к решению конкретной проблемы как в отношении компактности постановки краевой задачи, так и в плане максимальной естественности упрощающих предположений. Анализ вышесказанных представлений, их взаимосвязи и эквивалентности дается в статье з. П.Ба-занта / 2 /.

Можно показать, что основой для записи уравнений устойчивости является выражение для так называемого "обобщенного тензора напряжения" через компоненты тензора где - начальные напряжения, - тензор дополнительного напряжения, а тензор ЗС^&С - тензор соответствующего варианта.

На основе соотношения (I) будут рассмотрены некоторые более известные варианты зашей уравнений устойчивости, причем анализ их постановок проводится в историко-хронологической последовательности.

Будем использовать прямоугольные декартовые координаты, эс^ -координаты частицы в начальном напряженном состоянии, а после деформации • Будут рассматриваться только нагрузки типа "мертвой" во избежании сложности:

Уравнения трехмерной устойчивости и граничные условия при мертвой нагрузке можно представить в общем виде: О (2)

- О (3)

Впервые уравнения трехмерной устойчивости для малых докри-тических деформаций получил Р.В.С&усвелл / 65 / в 1913 г. При однородном начальном состоянии, по Р.В.Саусвеллу, имеют место (2),(3), где^Е^-^в выражении для в (I) имеет вид:

4) со следующими обозначениями:

4) выписывается в системе координат, оси которой в рассматриваемом состоянии совпадают с главными осями напряжений.

Не прибегая к линеаризации нелинейных соотношений, и также исходя из соображений физического характера, в 1928 году С.Б.Еи-Цено и Г .Генки / 53 / получили дифференциальные уравнения в об и i)

H-k-C щем случае, когда присутствуют силы, т.е. (2), (3) , где: dC^A^ =z д^ ЛО^^ - ^ ^ (5)

В / 53 / были написаны уравнения устойчивости и граничные условия (2) и (3) в цилиндрических координатах.

Напомним, что в (4) и (5) разные и выражаются через линеаризированные тензоры деформации с помощью разных упругих постоянных Eu&t в следующей форме: о S . ^

С+) СО *** (6)

Далее, в 1933 году Е.Трефтц / 66 / получил основные линеаризированные соотношения устойчивости, исходя из принципа виртуальных перемещений, представимого в следующей форме: ^ ^-о о(7)

В этом случае, тензор в (I) имеет вид:

Идеи Е.Трефтца были развиты в работе Р.Каппуса / 62 /, где впервые получены строго линеаризированные уравнения движения деформируемого тела при конечных докритических деформациях.

Запись (8) является удобной, так как связана с тензором деформации Грина-Лагранжа: = О)

Путем линеаризации основных соотношений нелинейной теории упругости, М.А.Еио / 54 / и / 56 / в 1939 году вывел основные уравнения устойчивости (2) и (3), отбрасывая члены 2-го порядка малости, которые не влияют на форму линеаризированной теории,

В работе М.А.Био / 54 / введены два представления напряжения: "дополнительного напряжения", относящегося к начальной пло

Г (5) щади, обозначенного - и "альтернативного напряжения

Био" - относящегося к элементарной площади после дефор мации. В связи с этими представлениями, допускаются две записи уравнений устойчивости (2) и граничных условий имеют следующий вид:

Щи, - % % Ъь ^ fy (П)

В дальнейшем, Х.Нойбер / 64 / (1952) составил уравнения в криволинейной системе координат, используя тензорный анализ. Результаты / 64 / в случае прямоугольных координат, в определенном смысле, соответствуют результатам работ М.А.Био / 54 /, / 56 /• Нетрудно проверить, что при = О эти уравнения могут быть представлены в виде (2) и (3) с ЗС^р&с вида:

J^jM = 00^ + fy aj.fr . (13) частным случаем полученных уравнений являются уравнения Р.В.Саус-велла (4).

В отличие от предыдущих работ, в работе А.Е.Грина, Р.С.Рив-лина и Р.Г.Шилда / 59 /, опубликованной в 1952 году, рассмотрена наиболее общая форма уравнений устойчивости, написанных в координатах деформируемого тела, при конечных деформациях. При однородных начальных деформациях, когда координаты деформируемого тела совпадают с декартовыми, уравнения устойчивости будут иметь вид (2) с вида : i/jbf/ ~ ""«-z -fV ' vvf>

ЗС1ш = % + (14)

Таблица I

Сопоставление различных вариантов трехмерных соотношений устойчивости. Основа записи для записи вариантов У

I) ;

Уравнения устойчивости и граничные условия:

2) ; i 7 ~ 0

Ъц Mj О (М.Н.) (3) ;

Работа

Дополнит.дефор: w=

Критерий устойчивости:

W ^ А

А работа внешних сил

Трефтц, Каппус, 4) = - Ц- / Некл.вр./ Новожилов, Гузь/

2) Щи = fy + ± ^ 5) 3CvM - fy - ^ ^ I

00 I Еио / Виценко - Генки/

Био,Нойбер'/ ij = о — - 4* ^ -f fy ^ частный <г" „, ьМ = ЬОу /Саусвелл/ 7) случай d /) в главных осях)

Продолжение таблицы I

Грин, Ривлин ,Шилд/ (В координатах дефор.тела)

Приблж. подход/ •З^у&С = - гран.условиях) I со I где ^ - компоненты тензора напряжений измеряемого на единицу деформированного тела и являются истинными. Все составляющие в уравнениях и граничных условиях, а также в соответствующих геометрических соотношениях, приведенных в / 59 /, заданы в базисе деформируемого тела.

Нужно отметить, что по различным представлениям для г? матрица Ry&b не всегда является симметричной, например, для р в случае (12) . В случае (12) это неудобство исчезает только при = О или начальное напряженное состояние имеет гидростатический характер = •

Таким образом, все вышеуказанные записи (2), (3) с соответствующими (4), (5), (8), (II) и (12) , в общем случае корректны и эквивалентны.

В теоретической литературе сейчас предпочтение отдается подходам, связанным с использованием тензора деформации Коши-Грина. Соотношения, выведенные у Е.Трефтца, Р.Каппуса, нашли свое развитие и совершенствование в работах В.В.Новожилова / 39 /, В.В.Болотина / 3 /, А.Н.Гузя / 6-II /, А.Н.Спорыхина / 12 / и др.

Линеаризированные уравнения по этому традиционному подходу в лагранжевых координатах для недеформированного тела в случае, когда начальные деформации большие, имеют вид (I.I) в обзоре А.Н.Гузя и А.Н.Спорыхина. При переходе от произвольных начальных деформаций к теории малых деформаций, в силу некоторых допущений, получены три варианта теории малых деформаций. Указанная классификация этих постановок конкретно проведена в работе / 7 / и обзоре / 12 /.

Заметим, что кроме вышеобоснованного традиционного подхода, существует другой подход, предложенный Л.С.Лейбензоном / 34 / и А.Ю.Ишлинснйм' / 21 /, называемый приближенным подходом. Он заключается в том, что уравнения трехмерной теории устойчивости заменяются уравнениями Ламе из классической теории, а параметр на-гружения вводится лишь в граничные условия, исходя из определенных соображений физического характера. Условие "мертвой нагрузки" по этому подходу принимает следующие выражение;

SyjlSr=° (17) В силу этого положения, исследования задач допускают значительные упрощения. Рассматриваемый подход является сугубо приближенным и не следует из строгой трехмерной линеаризированной теории устойчивости ни при какой системе обоснованных упрощений в случае применения лагранжевых координат.

Существуют некоторые работы / 13 / и / 15 /, выполненные при объединении традиционного и приближенного подходов.

В работах зарубежных авторов / 47-50; 51, 57,58,61 и 63 / рассмотрена устойчивость деформирования пластин и оболочек при конечных однородных пластических деформациях. После формального дифференцирования по времени задача о бидуркации сформирована не в приращениях, как обычно делается, а в скоростях. Скорости упругих деформаций и скорости компонент напряжений подчиняются обобщенному закону Гука, а связь между тензорами скоростей пластических деформаций и скоростей изменения напряжения принята как в работе Р.Хилла / 47-50 /.

Во многих задачах техники часто встречаются конструкции из жестких материалов (металл) и малыми деформациями. Нелинейность задачи, следовательно, приводится к чисто геометрическим. С другой стороны, как было отмечено в работе В.В.Новожилова / 39 /, для задач на потерю устойчивости обычно характерно превращение форм равновесия с малыми углами в формы равновесия с углами поворота , существенно превосходящими компоненты деформации Иначе говоря, при переходе тела из данного состояния в смежное, существенными являются лишь углы поворота элементов, а не их длины. В силу предложений у |<< I И «и « <| (18)

Клюшников В.Д. / 33 / вывел линеаризированные уравнения и граничные условия (2) и (3), где

5Ci}U = fy ли (19)

Ввиду малости деформации при потере устойчивости (2) и (3) с соответствующими позволяют получить два варианта записи соотношений устойчивости, основанные на следующем выражении: <Ч" £ - - (20)

Первый вариант, где член -^v, со знаком +, соответствующий традиционному подходу, носит название "классического варианта". Второй вариант называется, таким образом, неклассическим и представляется в форме: сг- (8) г—

Оказывается, в некоторых задачах использование второго варианта является более целесообразным и даже допускает решение, когда применение классического варианта невозможно, например, в задаче о "шейке", которая будет рассматриваться ниже.

В общей постановке задачи устойчивости при конечных деформациях удобно в качестве исходной брать не начальную (т.е. естественную) , а конечную (достигнутую к рассматриваемому моменту) конфигурацию. В этом случае, (22) сохраняется,так как невозмущенное состояние приближенно определяется по геометрически линейной теории. Вообще нужно заметить, что в реальной расчетной практике задачи о больших деформациях довольно редки.

В силу того, что уравнения устойчивости и граничные условия имеют геометрический смысл, не связанный со свойствами тела,(2) и (3) с представлением (22) являются общими для любой модели тела (любого уравнения состояния тела) и кошеретизируются рамками деформаций. Замыкание систем уравнений линеаризированной механики деформируемого тела проводится путем присоединения соответствующих им линеаризированных уравнений состояния рассматриваемой модели.

Сравним результаты задачи сжатия упругой полосы по некоторым подходам

Р = (Р.В.Саусвелл)

Р = У? J (М.А.Био)

22)

Р = Р^ (d- j,42c(Z) (классический вариант)

Р— (l + 0,2о(г) (неклассический вариант и приближенный подход) В результате, 1-й член асимптотического разложения для Р совпадает с Т^ .подсчитанной с применением гипотехы Кирхгофа- Лява.

Целью диссертации является исследование различных подходов, в том числе и нововведенного,так называемого неклассического,к решению проблемы устойчивости пространственных тел и их применения к решению ряда задач.

В первой главе диссертации ставится задача обоснования нового варианта. Рассмотрены общие уравнения, граничные условия и определяющие соотношения, сформулирована общая постановка задачи.

Анализируется также эквивалентность между граничными условиями по различным вариантам в случае "следящей нагрузки".В диссертации подчеркивается, что в этом случае задачу устойчивости можно сформулировать в напряжениях,причем процесс решения существенно упрощается в неклассическом варианте,

В первой главе также рассматриваются общие вопросы устойчивости в рамках нового варианта; исследована самосопряженность краевой задачи, т.е. найдено достаточное условие применимости статического метода при исследовании устойчивости. На основе функционального представления изучаются приближенные методы решения. Показано, что из записи уравнений устойчивости непосредственно может быть выведена и доказана устойчивость несжимаемого тела,подвергающегося действию гидростатического давления.

В теоретической части диссертации показаны методы решения плоской задачи в напряжениях и перемещениях в неклассическом варианте. Эти методы иллюстрируются в задаче сжатия-растяжения полосы, на примере которой проведено сравнение неклассического варианта с классическим вариантом и приближенным подходом Лейбен-зона-Ишлинского. На конкретной модели этого классического объекта для сравнения различных вариантов показывается, что при сжатии полосы для изшбной формы потери устойчивости первые члены разложения критической нагрузки во всех сравниваемых вариантах совпадают. Отмечен особо важный факт, заключающийся в том, что только неклассический вариант и приближенный подход в случае растяжения не противоречат'физическим представлениям.

Делается вывод о том, что по неклассическому варианту достигается наиболее простое решение в напряжениях и в перемещениях (оказывается, решение задачи в напряжениях возможно только по неклассическому варианту) в общем случае задания нагрузки на границах полосы.

Во второй главе исследовано образование пространственной шейки и выпучивания при осевых нагрузках в рамках неклассического варианта. Задача рассмотрены в трехмерной постановке. Выведены общие соотношения для формулировки задачи в напряжениях при действии осевых нагрузок общего вида. Объектом исследования здесь является улругопластическая пластинка. В задачах устойчивости при двухосной и одноосной нагрузках выведено достаточное условие устойчивости, отвечающее моменту бифуркации состояния в пластинке и определяющее значение критических усилий порядка секущего модуля. В первом случае, полученный результат качественно анализируется при использовании уравнения состояния частного вида. Во втором случае показано, что эту задачу можно свести к плоскому цилиндрическому изгибу балки при упругости.

Эта задача исследована многими советскими и зарубежными авторами / 8,13, 15, 18,21, 57 , 58 , 61 и 63 /. Шейкообразование в материалах, описываемых уравнениями Прандтля-Рейса, рассмотрено в / 51 /, / 57 / и / 61 /. Случай пластинки, подвергающейся двухосной нагрузке, разобран в / 58/ и / 61 /.

В последней главе диссертации приводится решение задачи устойчивости упруго-пластического слоя, стекающего по наклонной плоскости. Эта задача решалась ранее для жидкости в работах / 52,67 / и для вязкой жидкости в / 16,35,36 /. В данной главе задача решается в постановке классического варианта.

Также рассматриваются задачи устойчивости упруго-пластического слоя, лежащего на горизонтальной плоскости под действием касательной нагрузки и при наличии массовых сил. С помощью вариационного метода Ритца, найдено критическое условие , заданное в виде зависимости между критическим параметром (параметром нагружения в двух первых задачах или углом наклонной плоскости в последней), плотностью слоя и длиной волны возмущения перемещений. Численная реализация полученных результатов трех вышеуказанных задач выполнена с помощью ЭВМ PDP — 44/70. Часть основных результатов диссертации содержится в статьях/ 68 /,/69/, сданнш: в печать.

В диссертации используется система двойной нумерации, где первый индекс соответствует номеру параграфа, второй индекс -порядковому номеру формулы параграфа. В введении к кавдой главе используется обычная нумерация.

Г I А В А I

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ В НЕКЛАССШЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

§ I. Общие уравнения устойчивости и граничные условия.

Общая постановка задачи

Задачи об устойчивости состояния или процесса обычно сводятся к некоторым бифуркационным проблемам - нахождению момента, при котором возможна неединственность решения для тех или других параметров. В качестве таких параметров могут выступать напряжения , деформации , перемещения или некоторые их производные по времени Ж . Все известные бифуркационные проблемы для деформируемых тел решаются в лагранжевых переменных при сравнении двух бесконечно близких состояний или процессов. При этом,явно или неявно, предполагается, что существенными являются лишь углы поворота элементов, а не их длины. Это положение объясняется тем, что для задач на потерю устойчивости обычно характерно превращение форм равновесия с малыми углами поворота в формы равновесия с углами поворота, существенно превосходящими компоненты ^ . Использование этого положения заметно упрощает вывод известных уравнений бифуркации,как показано ниже, в некоторых конкретных задачах.

Ниже постановка задачи устойчивости рассматривается в лагранжевых переменных. Пусть в момент исследования на неединственность состояния в тело вморожена прямоугольная декартовая система координат

Из вышесказанных физических соображений будем предполагать, что е со t л/ & со, со. « / V ои, W . <<. и4 (I.I)

Ф i) т.е. при переходе из рассматриваемого состояния в смежное, возникающие дополнительные перемещения, создают лишь повороты, а деформации пренебрежительно малы. Вследствие этого, орты Ц-криволинейной в смежном возмущенном состоянии вмороженной в тело системы координаты выражаются через орты ^ декартовой системы координат DOv в исходном состоянии следующим образом \ —о 00j )9h

1.2) так, что метрический тензор системы Ь

Н = Щ = (Ъ + ч = у- + 0(ш*) = О (of)

1.3) в силу того, что СО « ± t будет совпадать с метрическим тензором недеформированной декартовой системы (с точностью до to* ).

Выпишем выражение дня тензора Кристоффеля в деформированном смежном состоянии. Этот тензор является важной геометрической характеристикой криволинейной системы

QH, К ъ

1.4)

Внося в обе части (1*4) представление (1.2), имеем wL

V5*

- Г тУ си т/

1.5) откуда заметим, что имеют порядок и) , а символ

Кристоффеля в случае ^ ~ j имеет вид:

С = - rj = O(uf) (1>6) П * ибо Б СШУ антисимметричности тензора

Представим условия равновесия произвольного объема тела в следующем виде:

TYdS + \ FdV = О

1.7) Ь- (V) где Г - вектор массовых, а / - поверхностных сил, заданный на поверхности Дг с внешней нормалью У • Вектор =ру можно выразить известными формулами: f = f'^ = (1.8) где , с обозначениями: ^ - ковариантные компоненты вектора единичной внешней нормали; 6 У - контравариантные компоненты напряжения. ^

В случае "мертвой нагрузки", Т , заданная на поверхности тела, будет сохранять свое направление и величину в процессе деформирования. у

В случае "следящей нагрузки", когда Т направлена к граничной поверхности и сохраняет при деформировании свое направление относительно ST и величину, эта нагрузка может быть представлена в виде:

- 20

Т= тУ = т^ц = тЦ-} ri тр Н.9) где 7~= oorutJ? п0 вышеизложенному определению.

Используя интегральную теорему Гаусса-Остроградского /44/, после подстановки (1.9) в (1.7) , в силу произвольности объема У , выводим следующее соотношение:

VjT' + F = 0 ало) или + ' Uv + Г = О (I.II) следовательно, принимая во внимание соотношение (1.5) с точностью до СО* ,имеем

Ф + f = о эр ал 2)

Заметим, что в силу совпадения компонент метрических тензоров 4и в невозмущенном и возмущенном состояниях с точ * Л/ ностью до 60 и с помощью (I.I), в дальнейшем мы сможем отождествлять ковариантные и контравариантные составляющие тензоров. В связи с тем, что лагранжевые координаты J и Я? материальных точек совпадают, (I.I2) приобретает следующий вид:

• + Г = О (Т ТЯЧ dxs I (I.I3) на основании вышеизложенных соотношений получаем уравнение равновесия для компонент напряжений в форме / 39 /: у + ()>/ = 0 (1.14) и граничные условия:

12* (I«I5) где запятая в (1,14) означает дифференцирование по исходной декартовой системе координат.

Поскольку данный вывод проделан в предположении, что ООЖ = СО& (1Д6) то вместо в (I.I4) может быть внесен градиент f который может рассматриваться также с обратным знаком, т.к. из (I.I6) вытекает: - (I-I7)

Как показано в / 33 / и в дальнейшем, во многих случаях использование второго варианта

ПЩ = - (I.I8) оказывается гораздо удобнее. Будем условно называть этот вариант, который допускает нетрадиционную запись, неклассическим вариантом:

- (t Fc = 0 CI.I9) и . / и*,,») К- Ъ у ~ ; у = и (1.20)

В исходном состоянии тела, напряжения удовлетворяют следующим уравнениям = о, = т;'у «.я)

Обозначая разницу между ^ ж б^- через б^ , а также переобозначая . через ^ (это дополнительные к исходным градиенты) и напоминая, что для лагранжевых координат компоненты нормали ^ в исходном и смежном состояниях совпадают, после линеаризации уравнений для возмущенного состояния, окончательно получим линеаризированные уравнения устойчивости и граничные условия в приращениях для неклассического варианта:

- +£Ft = О «-22)

I У

- & =S% (1.23) и

В исследовании на устойчивость известно, что бифуркация состояния отвечает переходу в смежные состояния при неизменности внешних параметров . Поэтому SFp должно быть приравнено к нулю, а на То будут наложены разные условия в зависимости от вида внешней нагрузки.

Как было определено выше, для "мертвой нагрузки", на той части поверхности тела ог , где задана нагрузка постоянного направления, должно быть - О и, следовательно, - ) У/ =0 (1.24)

На части поверхности Sr , где заданы "следящие" на

1— у грузки должны равняться нулю некоторые комбинации 4- , что эквивалентно условию:

• $ = 0 (1.25)

В самом деле, по вышеизложенному определению

V=Ty/ ' Т/= (1.25а)

Поскольку лагранжевые координаты компонент внешней нормали в исходном и возмущенном состояниях совпадают: = ^ , то следует, что

С другой стороны, последнее равенство немедленно вытекает еще из того факта, что в лагранжевой системе координат постоянная "следящая" нагрузка вблизи своей площади не может изменить контактных напряжений.

Аналогично и в случае постоянной нормальной составляющей / . Поскольку т„ = Т' Y= т/у} = т/^ + 0(»у= ъ'ъ = К К* v у v / то отсюда в силу условия S"= О внтекает: К- У/ = о (1.26)

Граничные условия в перемещениях на закрепленной части поверхности Su можно представить в виде:

L = 0 (1.27)

Если запрещено перемещение в направлении А : ll- I j = О (1.28)

Нужно особо напомнить, что эти уравнения и граничные условия были написаны в общем случае - при конечных и малых деформациях они сохраняют свою структуру в бифуркационной проблеме, если выписываются в декартовой системе координат, выбранной в данном рассматриваемом состоянии.

Действительно, рассмотрим три состояния тела. Первое - естественное (недеформированное) , когда в теле отсутствуют напряжения и деформации, обозначим через В .в процессе деформирования, из состояния В тело переходит во второе состояние 3 - начальное или невозмущенное (основное). Третье состояние будем 3 считать возмущенным. Все величины, относящиеся к нему,получены в виде суммы величин второго состояния и возмущений. В связи с этим, возможны две записи соотношений устойчивости в базисе недефоршрованного тела или в деформированных координатах , как было упомянуто в введении.

В этом смысле все вышенаписанные уравнения устойчивости и граничные условия являются общими для малых и конечных деформаций, если они выписываются в базисе , т.е. базисе деформированного тела. В общем случае, когда система координат в 3 является произвольной криволинейной, уравнения устойчивости и граничные условия получены путем замены обычных производных по координатам на ковариантные производные V^

С помощью естественных рассуждений, также можно записать соотношения устойчивости относительно недефоршрованной системы координат в , т.е. в естественном состоянии. В силу сделанного выше предположения о малости дополнительной деформации будет получено подобное выражение для уравнения устойчивости: У где а р v ^ - есть метрический тензор в недеформированном состоянии, - контравариантные компоненты перемещения в 3 * V ковариантные производные относительно базиса в & •

В отличии от вышеизложенной записи, в (1.29) напряжения б j являются не исти-иными, а обобщенными, измеряемыми на единицу площади недеформированного тела.

Естественно, определяющие соотношения напряжений и деформаций должны быть заданы в соответствии с вышеупомянутыми записями. В частном случае, для нелинейно-упругих тел, по первой записи (т.е. относительно базиса в д ) определяющее соотношение представлено с помощью упругого потенциала ^ и тензора Грина , отнесенного к ненапряженному состоянию как в /2 / или в / 8 /.

А по записи в деформированной системе координат можно найти вид для определяющего соотношения, как показано в / 59 /.

Используя последнюю запись , примем определяющее соотношение для деформированного состояния в виде / 31 /: е- - Г s (1-31) *

Су W = £ + ^ ^ тл/называется матрицей упругого "эквивалента". Связь (I.3I) является общим представлением для многих теорий упруго-пластич-ности. Например, по теории изотропного упрочнения:

В деформационной теории: = , =.Аf± (1.34)

I (г Ь

Также можно определить напряжения через деформации в девиа-торной форме:

S*J ~~ ^trun/ (1.35) где = А ^ ^ - A.S'j (1.36)

По формационной теории и теории изотропного тела

А - Сг* А- - ^ (1-37> п0 - w , 7П = -9ггтЪ г* г 4/о Г* Г в первом случае ч = Ks » в последнем Сг - ч

Сг , (k и (zs в формулах (I.3I) - (1.37) - модуль сдата, касательный модуль и секущий модуль, соответственно.

Таким образом, бифуркационная проблема полностью решается на основе уравнений устойчивости (I.I8) с условиями на границе и определяющимися соотношениями, задаваемыми в виде (1.24) -(1.28) и (I.3I) или (1.35).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты и краткие выводы:

1. Проведены анализ и взаимосвязь вариантов трехмерных соотношений устойчивости на основе предложенной общей формы для их представления.

2. Исследовано сопоставление вариантов по условию самосопряженности краевой задачи, выводу граничных условий при следящей нагрузке и функциональному представлению.

3. Проведено сравнение распространенных вариантов на примере задачи сжатия-растяжения двухмерной бесконечной полосы,при этом:

- получено совпадение первых членов разложений критической нагрузки при сжатии во всех сравниваемых вариантах; отмечено, что наименьшее значение для критической нагрузки достигается в решении по классическому варианту;

- показано, что только неклассический вариант и приближенный подход могут описать явление образования шейки в образце при растяжении.

4. Использованием неклассического варианта, допускающего постановку задачи в напряжениях решены задачи устойчивости упруго-пластической пластинки при одноосной и двухосной нагрузках. Выведено достаточное условие неустойчивости, определяющее значение для критических сжимающихг : и растягивающих^ ' напряжений порядка секущего модуля, что является достижимым на практике.

5. На основе применения вариационного метода в рамках классического варианта решен ряд задач устойчивости упруго-пластического слоя, лежащего на горизонтальной и наклонной плоскости при различных видах заданных нагрузок. Найдены критические параметры нагружения в двух модельных задачах, установлено критическое условие для нахождения критического наклона в последней задаче. Показано, что чем меньше соотношения касательного модуля к секущему тем больше длина меньше волн возмущения назначение критической нагрузки. Решение доведено до численных результатов и проведено без ограничения на волновое число.

1. Ариаратнам, Дюби. Устойчивость упруго-пластической цилиндрической оболочки при осевом сжатии. - Тр.Амер. о-ва инженеров-механиков. Сер.Е, 1969, J£ 1. с. 47-51.

2. Базант З.П. Взаимосвязь между различными деформациями и устойчивость сплошных тел. ~ ASME f сер.Е, прикладная механика, 1971, 4, с.203-214.

3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961,339с.

4. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем.- М.:Физматгиз, 1963 879 с.

5. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформащи и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. - 455 с.

6. Гузь А.Н. Об устойчивости полосы. Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1969, В 6, c.III-113.

7. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел.Киев: Наукова Думка, 1971. 276 с.

8. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук.думка, 1973. - 270 с.

9. Гузь А.Н. Об устойчивости упруго-вязко-пластических тел при неоднородном докритическом состоянии Доклады АН УСССР. Сер.А, 1976, Л» 5, с.410-416.

10. Ю.Гузь А.Н. Основы теории устойчивости горных выработок.-Киев; Наук.думка, 1977. 204с.

11. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наук.думка, 1979. - 143с.

12. Гузь А.Н., А.Н.Спорыхин. Трехмерная теория неупругой устойчивости. Прикладная механика. 1982, том ХУШ,^ 7,с.3-22.-11313, Ершов Л.В. Об образовании шейки в плоском образце при растяжении. Журн. приклад, механики и техн.<|изики, 1961, Jfe I, с.135-137.

13. Ершов Л.В., Калужин А. А. Об устойчивости полосы при сжатии. Изв.АН СССР, Механика, 1965, № 4, с.152-153.

14. Жуков А.М. К вопросу возникновения шейки в образце при растяжении. Инж.сб., 1949, 5, № 2, о.103-107.

15. Иванилов Ю.П. Об устойчивости плоскопараллельного течения вязкой жидкости под наклонным дном. ПММ. I960, т.24,№ 2, с.380-381.

16. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.- М.: Наука, 1966-231с.

17. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела. Учен. зап.Моск.ун-та,1940, Jfe 39, с.3-47.

18. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948,376с.

19. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271с.

20. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и кругового прута.- Прикл.математика и механика, 1943, 7, 2, с.413-421.

21. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязко-пластического течения круглой пластины.Прикл.математика и механика, 1943,7, № 6, с.701-715.

22. Ишлинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости Укр.мат.-журн.- 1954, 6, $ 2, с.140-146.

23. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.:Наука,1969,420с.

24. Коллатп Л. Задачи на собственные значения.- М.Наука,1968,504с.

25. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В,П. Прикладная ма-ханика деформируемого твердого тела,- М. :Высшая школа, 1983, 351с.

26. Клюшников В.Д. Устойчивость процесса сжатия идеализированного упруго-пластического стержня.- Изв.АН СССР,механикаи машиностроение, 1964, № 6, с.59-68.

27. Клюшников В.Д. Проблемы неупругой устойчивости.- В кн.: Нерешенные задачи механики и прикладной математики. Изд-во1. МГУ; 1977, с.89-91.

28. Клюшников В.Д. Неустойчивость пластических конструкций. В кн.: Механика. Новое в зарубежной науке, № 7, Проблемы теории пластичности. Мир, 1976, с.148-177.

29. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности.- Изд-во МГУ, 1979, 207с.

30. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем.-М., Наука, 1980, 240с.

31. Клюшников В.Д. К вопросу об устойчивости течения сложных сред. В кн.: Нелинейные проблемы механики деформируемого твердого тела. М., Наука, 1984.

32. Клюшников В.Д.К вопросу об устойчивости пространственных тел. Докл.АН СССР (в печати).

33. Лейбензон Л.С. О применении гармонический функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Собр.соч. М., Мзд.АН СССР,I951.

34. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической рзике. 476с.

35. Мусхелипшили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Изд-во АН СССР, 1964, 647с.

36. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1948.- 212с.

37. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во Иностр.лит.,1963.- 171с.

38. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкции.М.,Наука, 1966, 752с.

39. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М. f Наука, 1979, 744с.

40. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды.- М. :Физмат-гиз, 1962. 284с.

41. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1,2- М.:Наука,1973.

42. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.- М. :Гостехиздат, 1955.- 568с.

43. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Изд. АН СССР, 1963, 367с.

44. Хилл Р. О проблеме единственности в теории жестко-пластического тела.- В кн.:Механика.Сборн.переводов,1958,1(47),с.77-86.

45. Хилл Р. Устойчивость жестко-пластических тел.- В кн.:Механика,сбор.перев.,1958,ЖЗ (49) с. 53-65.

46. Хилл Р.О единственности и устойчивости в теории конечныхупругих деформаций.В кн.: Механика, сборник перев. ,1958,3(49), с.67-86.

47. Хилл Р. Общая теория единственности и устойчивости для упруго-пластических тел.- В кн.: Механика, сборник перев., 1958, № 6(52),с.81-96.

48. Ariaratnam S.Т.,Dubey R.N. Some cases of bifurcation in elastic-plastic solids in plane strain, Q.appl.Math.,1969, 27,p.349-358.

49. Benjamin B. Wave formation in laminar flow down and inclined plane. Journ.fluid.mech., 1957,K= 2,p.554-574.

50. Bieaeno C.B.,Hencky H. On the general theory of elastic stability.Koninklijke Akademic van Watten schappen te Amsterdam. Proc.soc.Sci.,1928,31 ;32,1929,p.569-578.

51. Biot M.A. Nonlinear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress.Phil.Mag.,vol.27, sec.7,1939,p.89-115.

52. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations. N.Y., Wiley,1965,504 p.

53. Bryan G.H. On the stability of elastic systems. Proc. of Gamb.Phil.Soc,,1888,vol.6,P27,p.199.

54. Dubey R.N.,Ariaratnam S.T. Bifurcation in elastic-plastic solids in plane stress. Q.appl.Math.,1969,27,p.381-390.

55. Dubey R.N.,Ariaratnam S.T.Necking instabilities in elastic plastic planes. Int.J.Eng.Sci.,1972,10,p.145-154.

56. Green A.E.,Rivlin R.S.,Shield R.T. General theory of small elastic deforroations superposed on finite elastic deformations. Proc.Roy.Soc.Ser.A,211,P1104,1952.

57. Green A.B.,Zerna W. Theoretical Elasticity,Clarendon,Press., Oxford,1954.-11761. Hutchinson J.W.Bifurcation analysis of the onset of necking in an elastic/plastic cylinder under uniaxial tension. J.Mech.Phys.Solids,1974,22,p.61-71.

58. Kappus R. Zur Elastizitats theorie emjllicher Verschicbun-gen ZAMM, 1939,vol. 19,®5, p. 27-31.

59. Southwell R.V. On the general theory of elastic stability. Phil.Trans.Roy.Soc.,Ser,A,1913,213,^2,p.15-20.

60. Trefftz E. Zur Theorie der Stabilitat des elastischen Go-eichgewichts ZAMM, 19 33,12, bs2, p. 17- 30.

61. Yih Chia-Shun. Stability of liquid flow down and inclined plane.Phys.Fluids,19 63,vol.6,КЗ.

62. Нгуен Хиен Лыонг. Об образований"■пространственной шейки вупруго-пластической пластинке при растяжении.-ВИНИТИ,IS85, № ,деп., Пс.

63. Нгуен Хиен Лыоиг.Устойчивость упруго-пластического слоя, стекающего по наклонной плоскости.-ВИНИТИД985деп. ,13 с.