Объемы некоторых полуалгебраических множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. Асимптотика функции объема множества меньших значений полинома в Е"

§1. Общие формулы

§2. Функция объема для эллиптических полиномов

2.1. Случай однородного полинома.

2.2. Случай общего эллиптического полинома.

§3. Функция объема для некоторых гиперболических полиномов в!2.

§4. Функция объема для эллиптических ростков аналитических функций

ГЛАВА 2. Объемы трубок вокруг аналитических подмножеств

§1. Обобщенные трубки и вариация формулы Вейля.

§2. Трубки вокруг комплексных аналитических множеств

В диссертационной работе речь идет о вычислении объемов некоторых полуалгебраических множеств, зависящих от вещественного параметра р. Основное внимание уделяется типичной ситуации, когда полуалгебраическое множество задано в виде

Фр = {хЕШп: f{x) < р}.

В частности, когда f(x) = \h{z)\* + --. + \fp(z)\2t где /1(2),., fp(z) - многочлены из (С [z\,., Фр представляет собой трубку в Cn ~ R2n над нулевым множеством, определяемым системой уравнений:

ЛМ = •■• = /*(*) =0.

Такие трубки играют важную роль в теории многомерных вычетных потоков [19], [32], [30], [33]. Кроме того, асимптотика функции объема множества Фр тесно связана с числом целых точек в нем (формулы Пика, полином Гильберта-Эрхарта, проблема Гаусса о числе целых точек в круге [12]).

Видимо, исторически первый результат по объемам трубок был получен Г. Вейлем [34]. Он рассматривал несколько иную ситуацию, а именно, брал подмногообразие М С М.^ и в каждом нормальном подпространстве NX(M) к подмногообразию М в точке х выбирал евклидов шар Вр(х) с центром в точке х и радиуса р. Под трубкой тр(М) понимается совокупность Вр(х) для всех х Е М.

Теорема (Г.ВеЙЛЬ, 1939). Если М С IR^ - многообразие размерности п, то функция объема V{rp(M)) является полиномом по р вида:

У{гР{М)) = fc=0 где коэффициенты ц^ выражаются через инварианты, построенные по тензору кривизны Римана.

Тем самым функция объема не зависит от вложения М в BL^, а зависит только от внутренней геометрии М.

Основная цель диссертации состоит в обобщении теоремы Вейля на случай трубок над аналитическими множествами в или CN, при этом вместо евклидовых шаров в нормальном расслоении берутся множества вида {/(ж) < р}, где / - полином, или росток аналитической функции со свойством

ДО) = о.

Таким образом, эталонной ситуацией является трубка вокруг точки, имеющая вид:

Фр = {х Е М71 : fix) < р}, или Фр = {х е U0 : f{x) < р}, где Uq - некоторая окрестность начала координат в Iй, а / - полином в первом случае, и росток аналитической функции с единственным нулем в точке 0 G К" - во втором случае. При этом в первом случае нас интересует поведение функции объема при р —> оо, а во втором - при р —>■ 0.

В первой главе изучается указанная эталонная ситуация, а во второй главе исследованы трубки над алгебраическими подмножествами в Сп.

Напомним, что полином / называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая обращается в нуль лишь при х = 0. Основной результат первой главы составляет

Теорема 1.4. Пусть f(x) = Р(х) + Q(x) - эллиптический многочлен, где Q(x) - неотрицательный однородный многочлен старшей степени q, а Р{х) - многочлен, степень которого меньше q, тогда при р —> оо у(фр)=л/>« +о(/и), (1) где q r (j^g^ а бесконечно малая величина о (/>«) представляет собой ряд Лорана, сходящийся при достаточно больших р; в формуле (%){},[]- знаки дробной и целой части числа, а В - бетта-функция Эйлера.

Здесь уместно отметить следующие моменты.

• Функция объема эталонной трубки (то есть обобщенного шара) аналитически зависит от р и раскладывается в степенной ряд.

• Главный коэффициент к асимптотической формулы (1) выражен через интеграл noln, и в этом смысле формула (2) для этого коэффициента может рассматриваться как обобщение леммы Ватсона на многомерный случай.

• Согласно результату А.А.Алякринского и А.К.Циха [2], коэффициент к является функцией гипергеометрического типа от коэффициентов многочлена Q(x).

Случай неэллиптических многочленов исследован только в двумерной ситуации, то есть для площади плоской фигуры

Фр = {{х)У) еж2 :f{x,y) <р}, где / - многочлен с вещественными коэффициентами. Выделяя у главной однородной составляющей / гиперболическую часть, то есть произведение всех линейных над полем М множителей, запишем / в виде: s f{x,y) = П {cijX + fay)21* ■ g(x, у) + Р{х,у), a^fa <Е М, (3)

3=1 где д(х, у) - неотрицательный однородный эллиптический многочлен степени 2d (ввиду эллиптичности, д имеет четную степень), а Р(х,у) - произвольный s многочлен степени меньше q := deg/ = 2d+Yl Теперь, в отличие от эллипз=1 тического случая, площадь У(Фр) может быть бесконечной (в частности, это происходит, если в (3) хотя бы один линейный множитель ajX + fyy входит в нечетной степени: в этом случае / отрицательный в некотором секторе по одну сторону от прямой ajX + Pjy = 0 ). Для конечности У(Ф/9) необходимо наложить условие на соотношение степеней Ц в определении многочлена f{x, у), а именно, имеет место следующее

Предложение 1.2. Пусть f(x,y) - многочлен вида (3) степени q. Тогда площадь У{Фр) конечна для каждого р > 0, если lj < q/4: для всех j = 1,., s. (4)

Оказывается, как и в случае эллиптического полинома, площадь фигуры Фр как функция параметра р разлагается при достаточно больших р в ряд Лорана-Пюизо по дробным степеням р, а коэффициент при главном члене ряда, определяющий асимптотику V = V(p) на бесконечности, выражается таким же интегралом по пространству М2, как и в эллиптическом случае (см. формулу (6) ниже).

Теорема 1.5. Если для многочлена f(x:y) вида (3) выполняются условия (4), то площадь фигуры Фр при р —> оо допускает представление

У{ФР) = кря+о(ря) (5) с коэффициентом

Q f dxdy 2 где величина o{pi) является рядом Лорана, сходящимся при достаточно больших р, a Q - старшая однородная составляющая для f.

Важно отметить то обстоятельство, что Теоремы 1.4 и 1.5 относятся к ситуации "общего положения", когда функция объема У{Фр) раскладывается в степенной ряд. В замечании к Теореме 1.5 приводится пример гиперболического многочлена, для которого асимптотическая формула объема содержит логарифмическую функцию.

В случае, когда / является ростком аналитической функции с единственным нулем в точке О G Iй, исследовано асимптотическое поведение функции объема множества Фр при р —>■ 0.

Определение 1. Порядком аналитической функции f в точке х = 0 называется наименьший порядок производных f, отличных от нуля в этой точке.

Если порядок нуля функции / в точке х = 0 равен д, то ряд Тейлора для / имеет вид f{x) = Q(x) + J] а]><7 здесь ха = ж"1 . х\а\ = а.\ + - • • + а„), где Q{x) - ненулевой однородный многочлен, который будем называть начальным многочленом ряда Тейлора для /■

Определение 2. Росток аналитической функции f(x) в точке х = 0 называется "эллиптическим" (или вещественно невырожденным [4]), если начальный многочлен Q(x) эллиптический.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.6. Пусть f(x) = Q{x) + cax0t ~ эллиптический росток поa\>q рядка q в точке х = 0. Тогда при р —>■ 0

У(ф„) = «р«+о (/>«), (Г) где к = Q f dx ^ п-в(*1-{*})1 (Q(x) + ' а бесконечно малая величина о (р«) представляет собой степенной ряд, сходящийся при малых р.

Перейдем к изложению результатов второй главы. Речь пойдет о трубках над подмногообразиями вида

Z={h(z) = --- = fm(z)=Q>] в С".

Трубка над Z определена как re(Z) = {z е Сп : \f(z)\<s}, где |/|2 = |/i|2H-----h |fm|2• В случае, когда |/[2 - эллиптический, это фактически ситуация главы первой, здесь множество Z - дискретное и, следовательно, конечное. Если же Z не изолированное множество, то оно неограниченное, и поэтому реальный объем трубки бесконечен. По этой причине для изучения объема трубки целесообразно использовать потоковый подход и вычислять интеграл вида

1(e) = Ц(е) = J <р = J <$>(z)dzkd~z, (9)

1/Ке |/|<Е где <р = (j)(z)dz f\dz - гладкая дифференциальная форма степени 2п с компактным носителем в Сп.

Теор ема 2.2. Пусть 0 > Ai > Л2 > . - последовательность всех полюсов функции f \f\Xtp и jk - кратность полюса А&. Тогда для любого натурального сп

N интеграл 1(e) при малых е допускает следующее асимптотическое разложение n h Е Е a^e~Xk £+(ю) к=1 i=1 с произвольной величиной 6 > 0.

В случае, когда Z - неприводимое алгебраическое множество, аналогичный результат был доказан М.Мео (2001 г.) [30].

Замечание. В отличие от эталонной ситуации в формуле (10) для функции объема кроме степенных функций участвует логарифмическая.

Однако справедливо следующее

Следствие 2.1. Если Z подмногообразие в Сп; то функция 1(e) алгебро-идная, то есть в разложении (10) не участвует логарифмическая функция.

Таким образом, логарифмическая функция появляется в разложении 1(e) только для трубок над сингулярными алгебраическими множествами.

Наконец, в §1 второй главы на одном примере показано, как можно получать обобщения формулы Вейля, рассматривая обобщенные трубки {/</>} в нормальном расслоении, когда / - неотрицательный однородный эллиптический многочлен га переменных степени q. Именно, рассматривается (п — 1)-мерная единичная сфера S71'1 := {xl + xl~\-----Yx\ = = • • • = xN = 0}, вложенная в пространство И^. Обозначим через т = N — п + 1 коразмерность сферы.

Теорема 2.1. Объем обобщенной трубки rp(Sn~1) радиуса р вокруг сферы Sпредставляется в виде п-1 vol r^S"-1) = X] nc:zlr-—''-—j— ■ x{dx1. dxm ш±± р « , (И)

И + где р - объем сферы S71-1, a C™z\~l - биномиальные коэффициенты.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, Красноярский госуниверситет, 1999 г.), 3-ем Европейском конгрессе математиков (Барселона, 2000 г.), 1-ом Всесибирском конгрессе женщин-математиков 10 — к 150-летию С.В. Ковалевской) (Красноярск, ИВМ СО РАН, 2000 г.), Международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск, Красноярский госуниверситет, 2002 г.); также полученные результаты неоднократно докладывались на городском семинаре по многомерному комплексному анализу в Красноярском государственном университете (1999 - 2001 гг.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Циху за постановку задачи и внимание к работе.

Основные результаты диссертации состоят в следующем: получена асимптотическая формула для объема полуалгебраических множеств вида

Ф, = {хеМп: j{x) < />}, или Фр = {хеи0: f{x) < р}, где U0 - некоторая окрестность начала координат в Мп, а / - полином в первом случае, и росток аналитической функции с единственным нулем в точке О € - во втором случае; найден асимптотический вид потока интегрирования по трубке вокруг алгебраического множества в пространстве Сп; получено обобщение формулы Г.Вейля объема трубки вокруг подмногообразий в Мп.

Все результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в теории многомерных вычетных потоков, геометрической теории чисел об асимптотике числа целых точек в области, а также в других областях, связанных с асимптотическими исследованиями.

Заключение

1. Айзенберг JI.A., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1979.- 366с.

2. Алякринский А.А., Цих А.К. Интегрирование некоторых рациональных функций по М™ // Сборник "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения",- Красноярск, 1996. С.3-15.

3. Арнольд В.И., Варяенко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромия и асимптотики интегралов М.: Наука, 1989.- 334 с.

4. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов.- М.: Наука, 1982,- 333с.

5. Васильев В. А. Асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек минимума// Функц. анализ,- 1977.- Т.Н., вып.З. С.1-11.

6. Васильев В.А. Асимптотика экспоненциальных интегралов в комплексной области // Функц. анализ 1979,- Т.13., вып.4. С.1-12.

7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. 1-ый выпуск,- М.: Физматгиз, 1958.— 439 с.

8. Градштейн И.С.,,Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд. М.: Наука, 1962,- 464 с.

9. Евграфов М.А. Аналитические функции. 2-е изд.- М.: Наука, 1968.- 472 с.

10. Ермолаева Т.О., Цих А.К. Интегрирование рациональных функций по Мп с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов // Матем. сб.- 1996.- Т.187, №9. С. 45-64.

11. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения.- М.: Мир, 1975348 с.

12. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел.- М: Наука, 1983,- 232 с.

13. Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М: Наука, 1981.

14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции.- М: Наука, 1981.- 432 с.

15. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного М: Наука, 1989.- 477 с.

16. Стенберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.- М: Мир, 1970.

17. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 3-е изд. Т.З.-М: Физматгиз, I960.- 656 с.

18. Цих А.К. Интегралы рациональных функций по пространству М™ //Докл. АН СССР. 1989,- Т.307, №6. С.1325-1329.

19. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.- 236 с.

20. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций,- M-JI: Гос. изд. технико-теорет. литературы, 1948.- 369 с.

21. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества,- М: Наука, 1985.- 262 с.

22. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. ч.2.- М.: Наука, 1985,- 462 с.23. шевалле К. Теория групп JIu. Т.1.- М.: Наука, 1948.

23. Berenstein С., Gay R., Vidras A., Yger A. Residue currents and Bezout identities.-Berlin: Academie-Verlag, 1993. 158 p.

24. В jork J.E. Rings of differential operators.- Amsterdam: North-Holland Publishing company, 1979.- 373 p.

25. Flaherty F.J. The volume of a tube in complex projective spase //111. Jour. Math.- 1972.-Yol. 16. P. 627-638.

26. Griffiths P.A. Complex differential and integral geometry and curvature integrals associated to singularities of complex analytic varieties //Duke Math. J.- 1978 Vol. 45, №3. P. 427-512.

27. Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces.- N.Y.- San Fr. L., 1978.

28. Hironaka H. Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero // Ann.Math 1964,- Vol. 79, №1-2. P. 427-512.

29. Мео M. Residus dans le cas поп necessairement intersection comlete //C.R.Acad. Sci.Paris.-2001,- t.333, serie 1. P. 33-38.

30. Passare M. Amoebas, convexity and the volume of integer poly topes //to appear in Advanced Studies in Pure Mathematics/ Complex Analysis in Several Variables.

31. Passare M., Tsikh A., Yger A. Residue currents of the Bochner-Martinelli type // Publicacions Mathematiques 44 2000 - P. 85-117.

32. Tsikh A., Yger A. Residue currents. Encyclopedia of Mathematics (to appear), 2002.57 —

33. Weyl H. On the volume of tubes // Amer. J. of Math.- 1939,- Vol. 61. P. 440-460.

34. Работы автора по теме диссертации

35. Путилина А.В. О формулах объема множества меньших значений полинома el" // Сборник "Комплексный анализ и математическая физика".- Красноярск, 1998. С.170-174.

36. Путилина А.В. Асимптотика функции объема множества меньших значений полинома в Жп / / Изв. вузов. Математика,-2000.- №6. С.64-74.

37. Путилина А.В. Площадь фигуры в Ж2, ограниченной алгебраической кривой гиперболического munalI Сб. науч. трудов "Комплексный анализ и дифференциальные операторы (к 150-летию С.В. Ковалевской)".- Красноярск, 2000.- С.103-108.

38. Путилина А.В. Об асимптотических формулах объема некоторых полуалгебраических множеств eW1 // Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы",- ИМ ВЦ РАН, Уфа, 2000,- С.40-45.