Обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса и описание пространственной структуры области рождения частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Солдатенко Ольга Николаевна

ОБОБЩЕНИЕ ЭЙКОНАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ АМПЛИТУДЫ УПРУГОГО ПРОЦЕССА И ОПИСАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОБЛАСТИ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ

01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

рге; ОД

2 е АВГ 2008

Иркутск - 2008

003445451

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Иркутского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Балл Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, Гинзбург Илья Файвильевич (Ин-т Математики им Соболева СО РАН, Новосибирск)

кандидат физико-математических наук, Ломов Владимир Павлович (ИрГТУ, Иркутск)

Ведущая организация: Международная Межправительственная

Организация Объединенный Институт Ядерных Исследований, ЛТФ, г Дубна

Защита диссертации состоится «До сентября 2008 г в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212 074 04 при Иркутском государственном университете по адресу 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Иркутского государственного университета

Автореферат разослан «09» августа 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент Б В Мангазеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблемы физики высоких энергий представляют собой важную часть современного естествознания и порождаются быстрым развитием экспериментальной базы Осенью 2008 года предполагается запуск ШС (Большой адронный коллайдер) при энергии ^ ~ 14 Теу и позже 11Х (международный линейный коллайдер)

Диссертация посвящена важным разделам этих проблем, связанных с исследованием энергетической зависимости сечений (упругих, неупругих и полных) при сверхвысоких энергиях, а также с описанием пространственной структуры области рождения частиц

Одной из важных проблем является асимптотическое поведение сечений при больших энергиях, выход полного сечения на фруассаровскии предел, а также поведение отношения о>(М0( при 5 —> оо [1]-[2] Эксперимент ШС должен в значительной степени внести ясность в этой проблеме

В настоящее время интенсивно изучаются процессы столкновения тяжелых ядер при очень высоких энергиях В этих процессах резко возрастает множественность рождения частиц На коллайдере 1Ш1С в Брукхевене при столкновении ядер золота с энергией ~ 200 йеу на 1 протон рождается порядка 1200 частиц [3] Особый интерес представляет пространственная структура области рождения этих частиц на малых расстояниях в связи с проблемой "деконфайнмента" кварков и глюочов Если существует деконфайнмент (высвобождение кварков и глюонов из адронов), то эта фаза рождения может представлять собой большую область кварк-глюонной плазмы, и можно ожидать, что функция распределения по параметру вылета должна быть гладкой функцией В противном случае, она должна иметь нетривиальную структуру, обусловленную возникающими при столкновении адронными сгустками

Целью работы является:

1 Обобщение эйконального приближения на случай малых прицельных параметров и больших углов рассеяния Это позволит корректно учесть условие унитарности в упругих процессах в области высоких энергий

2 Построение формализма, позволяющего описать пространственную структуру области рождения частиц Такой формализм предполагает введение в теорию параметра, характеризующего радиус области вылета частицы и соответствующей функции распределения по этому параметру Эту функцию распределения необходимо выразить через матричный элемент Б-матрицы и связать ее с дифференциальным сечением в интервале импульсов детектируемой частицы

Научные положения, выносимые на защиту

1 Получено интегральное представление амплитуды упругого процесса в терминах профильных функций В отличии от эйконального приближения это представление тождественно удовлетворяет условию унитарности во всей области изменения поперечного импульса Оно позволяет корректно описать область малых прицельных параметров и согласовано с квантово-механическим ограничением фазового объема двухчастичной системы

2 Построен вектор пространства Фока, описывающий одночастичное состояние с определенным параметром вылета Д Получено разложение этого вектора по одночастичным состояниям с определенным импульсом Это позволяет вычислить полное сечение любого эксклюзивного процесса, в котором одна из частиц рождается с определенным параметром вылета р.

3 Получено соотношение между дифференциальным сечением по импульсу детектируемой частицы С и функцией распределения по про-

странственному параметру вылета этой частицы из области взаимодействия в системе центра масс сталкивающихся частиц

Научная новизна

Все результаты, перечисленные в разделе "Научные положения, выносимые на защиту", а также основные выводы диссертации являются новыми

Научная и практическая ценность

Полученные результаты позволяют

1 В рамках конкретных динамических моделей на профильную функцию упругой амплитуды описать энергетическое поведение сге//<тг0, в области высоких энергий,

2 После систематической обработки экспериментальных данных по дифференциальным сечениям в широком интервале энергии сталкивающихся частиц сделать заключение о существовании или несуществовании кварк-глюоннои плазмы (фазы деконфайнмента)

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на Международной конференции по неэвклидовой геометрии (ВОЬ5, Минск, октябрь 2006), на научном семинаре Института Теоретической Физики II (Рур-Университет, Бо-хум, Германия, март 2007), на семинаре Лаборатории Теоретической Физики им Н Н Боголюбова (ОИЯИ, Дубна, октябрь 2007), на Международной Байкальской научной школе по фундаментальной физике (БШФФ-2007, ИГУ-ИСЗФ СО РАН, Иркутск), на семинарах кафедры теоретической физики ИГУ

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 6 печатных работ в отечественных и зарубежных изданиях

Личный вклад автора

Исследования, составляющие основу диссертационной работы, выполнены в соавторстве с Н И Бобровской, А Н Баллом, А А Владимировым, И А Переваловой и М В Поляковым Получение и интерпретация результатов и соответствующих защищаемых положений в существенной мере сделаны лично соискателем

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 66 наименований Общий объем диссертации - 105 страниц, включая 20 рисунков

Краткое содержание работы

Во Введении обсуждается современное состояние проблемы, отражена актуальность исследуемой темы, сформулированы цели и методы решения поставленных задач, излагается краткое содержание работы

В первой главе рассматривается обобщение эйконального приближения на случай малых прицельных параметров и больших углов рассеяния Под эйкональным представлением амплитуды понимается представление ее в виде следующего интеграла

00

(1)

О

где профильная функция Ь) связана с эйкональной фазой х(ч< Ь) соотношением

ь) _ 1

здесь Ь - прицельный параметр, а q - импульс в с ц м сталкивающихся частиц

Представление (1) есть квазиклассическое приближение известного разложения амплитуды на парциальные волны, а представление (2) есть следствие условия унитарности на парциальную волн^

Проблема, возникающая при использовании эйконального приближения, заключается в том, что эикональная амплитуда (1) с профильной функцией (2) перестает удовлетворять уравнению унитарности Причинои является то, что на физическом интервале значений поперечного импульса функции Бесселя ^ (Ыг_|_) не образуют ортогональной системы, т е

ч

//О к (Ы±) Ф бфх- Ьг) о

Эта проблема решается в рамках теоретико-группового обобщения прицельного параметра В этом подходе мы интерпретируем прицельный параметр как вектор максимального сближения между двумя бесспиновыми частицами в с ц м

Этот вектор выражается через относительный орбитальный момент ¿, = Ецк^Цк и относительный импульс в с ц м этих частиц

= ^цкЦ^к (3)

Компоненты могут служить определением прицельного параметра столкновения двух частиц в с ц м Для получения волновой функции состояния с определенным значением прицельного параметра необходимо прокван-товать компоненты й1 и сформулировать соответствующие уравнения на собственные функции и собственные значения

После стандартной процедуры квантования, получаем систему коммутационных соотношений между операторами й\ , <1% , Ц [4]

= —= -«¿г. = (4)

<г

Это алгебра группы БО(2 1) Ее свойства подробно исследованы и представлены в работах Н Я Виленкина [5], [6] Оператор Казимира такой алгебры равен

= , 4 = ^ + 4 , 0, (5)

Далее строим волновую функцию двух-частичного состояния с определенным прицельным параметром, рассматривая систему уравнений

= , £3Ф = тФ (6)

В этом уравнении Ь2 мы интерпретируем, как квадрат прицельного параметра, или как квадрат поперечной составляющей вектора максимального сближения сталкивающихся частиц

Анализ этой системы показывает, что необходимым условием существования однозначных, непрерывных и квадратично интегрируемых решений является условие

Ь2 > П2/4?2 (7)

где ц - импульс в с ц м , Ь - прицельный параметр, И - постоянная Планка, т е при фиксированной энергии существует минимальный прицельный параметр Ь2 — ?12/4д2 Это условие естественно рассматривать как соотношение неопределенности в фазовом пространстве Ьц

В результате для волновой функции двух-частичного состояния в импульсном представлении получается регулярное решение в виде

/

Фл(?х) = q -Р-иг+щ

Ч

\Vq2~rtj (8)

qx = q sin в , О < в < ir, ц = [q2b2 — 1/4)1/2 , q2b2 > 1/4

Я„(г) -сферическая функция Лежандра Совокупность функций (8) образует полный ортонормированный базис [7] - [9]

т/2

J ^.(qMq^sinOde = - (9)

О

оо

J ^мЙ(^)ФД^)Фм(^) = 5(|со5б|-|со5^|) (Ю)

о

Разложения амплитуды по базису функций j имеет вид

оо

/(с)(£ь q) = J(г>0"0) Р-1/2+.Ц {vu) и<Е)(д) f.ith(irfi)d[i (11) o

Здесь введены переменные конуса

Sü - И = (lío.u) = ,

(D u) = оо«о ~{vS), u2 = Uq — и 2 = 1

Первый аргумент в означает импульс рассеянной частицы, а вто-

рой - импульс частицы в начальном состоянии в сц м Символ е = ±1 соответствует знаку

Коэффициенты разложения ufifi) в (11) мы будем называть профиль-

ными функциями на группе БО^2 1) Они соответствуют парциальным волнам при разложении амплитуды по функциям Лежандра

Амплитуда упругого процесса А + В —> А + В должна удовлетворять уравнению унитарности, вытекающего из унитарности Б-матрицы

= /

Отсюда

£=±1 ^

+Е /П^ №>-Х>) < {*.}№-*>* <

5 "1-1 I

(12)

Рис 1 Графическое представление условия унитарности При выводе уравнения (12) мы использовали интегральное соотношение

[ Ф(Ф (1?= / м т = Е / Ч2^

€=±1

¿41

(13)

В уравнении (12)

ф =< к±! е^я* - к{, -к\А%-Ц >, е = ±1, |£| = |<7Ыр1=Р. матричный элемент от оператора А связан с матричным элементом от

оператора Р соотношением

< >= 64(Р1П - Р,) < /|Л|ш > , (14)

А(р) связана с относительной скоростью в с ц м выражением

Ед, Ев - энергии сталкивающихся частиц в системе центра масс

Подстановка разложения (11) в уравнение (12) приводит для профильной функции и^(/и) к следующему алгебраическому соотношению

1т и™ (и) = К ^^ К£)М2 + С%г(м,р) (16)

с=± 1

где

С^(Р.Р) = сЮ?Ф„Ы Ате!({д,, д2 = - дЦ.р) (17)

Выражение (16) есть условие унитарности для профильных функций Ыр'(д) на группе 50А(2 1) Оно отличается от условия унитарности для парциальных волн щ(р), реализующих представление группы 0(3), наличием сигнатуры (±), которое привело к появлению дополнительного слагаемого |ыр_)(^)|2, отвечающего за рассеяние в заднюю полусферу

Простейшая модель профильной функции и^^ц), согласованная с условием унитарности (16), соответствует предельным случаям полного поглощения и полного отражения на определенных участках по & в интервале Яо(р) < Ь < К(р) (рис 2)

• 0 < Ь < 7?о(р) = 1/2р - интервал запрещенных значений Ь в соответствии с условием Ь2р2 >1/4,

• Ш < Ь < Яге11(р) - интервал, на котором происходит полное отражение,

• Rrefiip) < b < R(p) - интервал, на котором происходит полное поглощение

тр)

А

ЖШ-1-н——г

О Up) Rreß(p) R(p) b

Рис 2 Структура области столкновения

Анализ сечений в рамках этой модели приводит для отношений сечений к выражению

V-R

f fj,th(nß)dß

&el/O'tot = 1 — Д , A = --<18)

J pth(?Tp.)dß

о

На рис 3 приведены результаты численного вычисления отношения сечении при значениях -y/s = 14 TeV, R = 1 F

Рис 3 Зависимость отношения сг^/аы от Ягф

Из рисунка видно, что отклонение (тег/<т,0< от значения 1/2 начинается в области, в которой Я,ец становится порядка /? В этой области значение

&eilQtot резко изменяется, стремясь к 1 Таким образом унитарное насыщение происходит на объекте с очень узкой, абсолютно поглощающей периферией AR(p)/R < 1, те обусловлено процессами рассеяния в заднюю полусферу (Reflective Scattering)

Более реалистичная модель должна давать возможность получать отношения aei/atot во всем интервале его значений В нашей модели это достигается путем введения ненулевого параметра неупругости T]mei (характеристики "серости" диска) В этом случае

>-> 4 (1+|F) -:т (• ■- R-fi• *«. -«о«

Q"el 0"м1

Рис 4 Зависимость отношения ое1 /<х1о1 от 11пц при разных значениях г]ше1

Из рисунка (4) видно, что увеличение значения параметра неупругости т?ше( ("серость" диска) эффективно уменьшает отношение сечений о^ом

Показано, что отношения сечений 0е/Лх(о/ определяется параметрами т)те1 и Ягец Изменение этих параметров позволяет получить всю область изменения значений <ге1/ам

Во второй главе получен полный базис одночастичных состояний в про-

странстве Фока, в которых роль квантовых динамических характеристик играют координаты пространственной области рождения детектируемой частицы Как уже отмечалось, функция распределения по этим координатам является важной физической характеристикой среды, где рождается частица Основой нашего рассмотрения является классификация состояний по группе движения импульсного пространства на поверхности q2 — const, где q - импульс детектируемой частицы

Кроме хорошо известных трех генераторов таких движений - компонент орбитального момента импульса £„ i = 1,2,3 существуют еще три, представляющих собой билинейную комбинацию, генераторов группы Пуанкаре В совокупности, эти шесть генераторов образуют алгебру SO(3 1) Оператор Казимира этой алгебры является вырожденным и равен просто числу Однако, эта алгебра имеет нетривиальную подалгебру 50(2 1) с простой физической интерпретацией на языке состояний с определенным значением некоторого пространственного параметра Ь Он характеризует траекторию свободной частицы и равен минимальному расстоянию частицы на траектории до начала координат (рис 5) Этот параметр мы называем пространственным параметром вылета частицы и исследуем функцию распределения рождаемых в процессе частиц по этому параметру В развитом формализме во всех соотношениях Ь входит через безразмерный параметр ц = \Jb2q2 — 1/4, поэтому для обозначения полученной алгебры мы используем по тексту работы символ 50д(2 1) Физический смысл параметра ц следует из соотношения.

где Й-постоянная Планка

Таким образом, в правой части этого соотношения стоит число квантовых ячеек в фазовом пространстве двухчастичной системы Этот факт и определяет физический смысл параметра ц

траектории от точки "О" и выражается через импульс и орбитальный мо-

Вектор 3 на рис 5 характеризует минимальное расстояние классической

Рис 5 Классическая траектория X(?) асимптотически свободной частицы с импульсом ц , продолженная в область реакции характеризуется минимальным расстоянием 3 от выбранной точки "О" Влек эта точка соответствует центру мишени, а в с ц м месту встречи пучков

мент частицы С относительно точки "О" следующим образом

^ = (20)

Формально это выражение (20) совпадает с выражением (3) для компонент вектора максимального сближения между двумя частицами, с той лишь разницей, что в (3) ц1 и ¿; являются компонентами относительного импульса и относительного момента Этот факт является существенным при построении одночастичного пространства Фока

С учетом этого замечания, процедура квантования компонент аналогична процедуре, изложенной в главе 1, и полученные там результаты были использованы в главе 2

Построение одночастичного состояния в пространстве Фока связано с

решением системы уравнений

К ФЯх) = Ь2 ФШ , (ЯЗл.) iiqL) = const ф(и), (21)

где оператор К является оператором Казимира алгебры SOM(2 1) и равен

/f = 4--U23 , d\ = d\ + 4 , К2Л"] = 0, (22)

<7

Решением этой системы уравнений являются двумерные функции Шапиро (плоские волны на группе SO^(2 1)) [10], [11]

i/'(9±) s =

f \

q-n qi

¿7x = (?i cos уз , </j_ Sln у) > п = (cos 0, sm 0), p = ft fi,

Эти функции представляют собой волновые функции одночастичного состояния в импульсном представлении с определенным значением параметра вылета р Они образуют полную ортонормированную систему Это позволяет выразить вектор одночастичного состояния пространства Фока с определенным пространственным параметром р в виде суперпозиции од-ночастичных состояний с определенным импульсом

I

in

Обратное преобразование имеет вид

< /X е| = /Ш.Р) < <7±. ^Ч2 ~ dfii (23)

< я±^\[я2-~яil = JШ±>Д) < Д.<?.е1

(24)

где

Шр — Щ-лр) ¿р

Разложения (23) и (24) позволяют вычислить матричный элемент Б-матрицы и получить выражение для полного числа событий N эксклюзив-

ного процесса 2 —► 1 где детектируемая частица находится в состоянии с определенным параметром вылета Д

N = (2тг)2 £ /(Дад | < {<?,}, д, £|($ -7)|ш > ¡2 (25)

с=±1 1=1

Полное сечение процесса 2 —► 1+5 получается из N выделением полного объема V и полного времени Т реакции [12], [13]

В третьей главе в рамках формализма алгебры 80^(2 1) получена и проанализирована связь между дифференциальным сечением рождения детектируемой частицы С по поперечному импульсу и дифференциальным распределением по пространственному параметру 5, характеризующему координаты области рождения частицы С Дифференциальное распределение по пространственному параметру у, связано с полным числом событий N соотношением

йа± _ 1 dN±

(1/Х П\П2Т]/\й\ йц Переход в матричных элементах в выражении (25) от состояний < {1к состояниям < {&}, е^д2 — приводит к соотношениям

= — (¿щтф) / — Р-1/2+ф 1-)

dfi 2тг " v J 2 \z) dz о

= 1 J (ji) | -1

(26)

где

-/

к0*)= / d«i =

2тг2 у?

12 4'

Таким образом, дифференциальное распределение по ц выражается через экспериментально наблюдаемое дифференциальное сечение по косинусу угла рассеяния частицы da/dz

25

ехр[/гЬ я] <3сг~

20

15

10

5

Ьч

05

25

-5

Рис б Функция распределения по Ь в модели одночастичного обмена Ьу < 1/2 - область запрещенная соотношением неопределенности, 1/2 < 6<? < -/2 - область рождения частиц С, Ьц > л/2 - область поглощения частиц С, <7 = 5 М , г0 = 1 02

Аналога таких соотношений в рамках эйконального приближения не существует Отметим важное нормировочное соотношение

В отличие от ёа^/йЩ, дифференциальное распределение йа^/дПр не является положительно определенным на всем интервале р. Вклад области отрицательных значений (1а±/й$1р эффективно приводит к уменьшению полного числа событий рождения частицы С Таким образом, эту пространственную область можно интерпретировать как область, где происходит поглощение частиц С При этом полное число асимптотических состояний с данным р, регулируется соотношением (27)

Распределение (26) тесно связано с пространственной структурой взаимодействующих частиц и допускает наглядную физическую интерпретацию (рис 6) В плоскости поперечного импульса для бесспиновых частиц С эта структура представляет собой набор дискретных аксиально-

ТУп\п?\й\

N

= а(АВ СО) (27)

Рис. 7: Зонная структура в плоскости b в модели одночастичного обмена. Зона / - область запрещенная соотношением неопределенности, зона II -область рождения частиц С, зона III - область поглощения частиц С.

симметричных зон (рис. 7).

На рисунке 7 условие Rg — tf/Aq1 определяет границу запрещенной области, в которой нарушается соотношение неопределенности Гейзенберга (фазовый объем частицы С меньше допустимого). Область Rq < b < R\ определяет пространственную область рождения частиц С. Наконец, область b > R\ - это область, в которой происходит поглощение части рожденных частиц С в соответствии с равенством (27).

Полученная связь между сечениями по q± и Ь является точной и не связана с определенной моделью, поэтому возникает возможность анализировать пространственную структуру мишени на основе экспериментальных данных по угловым распределения частицы С.

Четвертая глава является приложением и результаты ее используются при моделировании угловых распределений детектируемой частицы в с.ц.м. сталкивающихся частиц А и В по экспериментальным данным соответствующих распределений в л.с.к. частицы В. Необходимость перехода из л.с.к. в с.ц.м. связана с тем, что выражение (26) справедливо только в с.ц.м.. Это связано с тем, что в л.с.к.энергии частицы С зависит от угла рассеяния [14].

В заключении сформулированы основные результаты работы, полученные при работе над диссертацией:

1 Получено последовательное обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса на основе теоретико-группового определения прицельного параметра двух сталкивающихся частиц После стандартной процедуры квантования построена волновая функция квантово-механического состояния с определенным значением прицельного параметра Эта система функций образует класс функций конуса, полнота которых исследована ранее в работах Фока Это позволяет получить разложение упругой амплитуды как функции на группе прицельного параметра 80ц(2 1), и таким образом выразить амплитуду упругого процесса через профильную функцию аналог парциальной волны щ{р) Важной особенностью этого разложения является локализация условия унитарности по переменной р, Другой особенностью такого разложения является проявление сигнатуры, соответствующей рассеянию в переднюю или заднюю полусферы

2 Построен вектор пространства Фока, описывающий одночастичное состояние с определенным параметром вылета р, Получено разложение этого вектора по одночастичным состояниям с определенным импульсом Это позволяет вычислить полное сечение любого эксклюзивного процесса, в котором одна из частиц рождается с определенным параметром вылета р,

3 Получено точное соотношение между дифференциальным сечением по импульсу детектируемой частицы С и функцией распределения по пространственному параметру вылета этой частицы из области взаимодействия Эта функция описывает распределение вещества в мишени и позволяет понять природу ее составных частей на адронных масштабах В простой модели рассеяния на бесструктурной точечной мишени, в рамках одночастичного ^канального обмена показано, что область взаимодействия разделяется на зоны рождения и поглощения частиц С Аналогичный результат получается при обработке экспериментальных данных дифференциальных сечений по угловому распределению (реакция 7 4- р —»7г° + р)

Перспектива дальнейших исследований связана с анализом известных теоретических моделей амплитуд упругих и квазиупругих процессов и с последовательной обработкой экспериментальных данных конкретных реакций на широком интервале энергий сталкивающихся частиц

Публикации автора по теме диссертации

[1] М V Polyakov, О N Soldatenko, А N Vail, A A Vladimirov, Spatial image of hadrons from scattering I SOM(2 1) algebra formalism, arXiv 0708 2857vl [hep-ph] 21 aug 2007r

[2] О N Soldatenko, A N Vail, A A Vladimirov, linearization of elastic amplitude on SO^ 1) group, arXiv 0805 2296vl [hep-ph] 15 May 2008r

[3] Балл A H , Владимиров A A , Перевалова И A , Солдатенко О H Распределение по пространственному параметру вылета частицы С в процессе А+В—>C+D в системе мишени частицы В // Материалы X Конференции молодых ученых «Современные проблемы в астрофизике и физике космической плазмы», Иркутск, 17-22 сент 2007 г — Иркутск Изд-во ИСЗФ СО РАН, 2007 - С 291-293

[4] Yenkovsky L L , Soldatenko О N , Vail AN An off-mass-shall Regge-pole amplitude for deeply virtual Compton scattering and nucleon structure // Non-Euclidean Geometry In Modern Physics, Proceedings of the 5th internayional conference Bolyai-Gauss-Lobachevsky (BGL-5), Minsk, 10-13 oct 2006 -C 340-348

[5J Балл A H , Солдатенко О H , Владимиров А А Теоретико-групповое описание пространственной области столкновения частиц // Известия высших учебных заведений Физика 2008, т 51, № 3, с 92-96

[6] Балл А Н , Солдатенко О Н , Владимиров А А Пространственная структура области столкновения частиц и ее связь с угловым рас-

пределением детектируемой частицы // Известия высших учебных заведений Физика 2008, т 54, № 6, с 33-37

Список цитируемой литературы

[1] Балл А Н , Макеев Н А Группа прицельного параметра и ее реализация //Ядерная физика, 1978, Т 27, вып 2, С 558-564

[2] S М Troshin, Comment on the "extended eikonal'unitanzation, arXiv 0712 3359vl [hep-ph] 20 Dec 2007

[3] Sorensen PR , Kaon and Lambda Production at Intermediate pr Insights into the Hadronization of the Bulk Partomc Matter Created in Au+Au Collisions at RHIC, University of California Los Angeles, arXiv nucl-ex/0309003 v2 9 Sep 2003

[4] Балл A H , Макеев H А Группа прицельного параметра и ее реализация //Ядерная физика, 1978, Т 27, вып 2, С 558-564

[5] Виленкин Н Я Специальные функции и теория представления групп "Наука 1965

[6] Виленкин Н Я Смородинский Я А ЖЭТФ, 1964, Т 46, вып 5

[7] Бейтман Г Эрдейи А Высшие трансцендентные функции, "Наука 1973, т 1

[8] Лебедев Н Н Специальные функции и их приложения - М Гос Изд-во физико-мат. литературы, 1963

[9] Фок В А ДАН СССР, 1943, 39 N7, с 279-283

[10] В Г Кадышевский, Р.М Мир-Касимов, Н Б Скачков, ЭЧАЯ, 2,3, 1972

[11] И С Шапиро, ДАН СССР, 106, 647, 1956

[12] Боголюбов Н Н , Ширков Д В Введение в квантовую теорию полей, 4-е изд -М Наука, 1984

[13] Ландау Л Д, Лифшиц ЕМ Теория поля -тП - М Наука, 1988 -509с

[14] Гольданский В И , Никитин Ю П , Розенталь И Л Кинематические методы в физике высоких энергий - М Наука, 1987 - 199с

1 < г

Подписано в печать 05 08 2008 Бумага офисная белая. Печать RISO Тираж 150 экз Заказ № 65127

Отпечатано в ООО «Оперативная типография Вектор» 664025, г Иркутск, ул Степана Разина д 6, офис 106, т (3952) 33-63-26, 25-80-09 e-mail: dc@siline ru

Введение

Глава I. Обобщение эйконального разложения на случай малых прицельных параметров и больших углов рассеяния

1.1 Классическое описание прицельного параметра.

1.2 Квантование компонент вектора максимального сближения di

1.3 Реализация алгебры 50(2.1) в пространстве перпендикулярного импульса

1.4 Простейшие модели профильной функции

1.5 Унитарность амплитуды упругого рассеяния.

1.6 Простейшая феноменологическая модель профильной функции согласованная с условием унитарности.

1.6.1 Полное поглощение.

1.6.2 Полное отражение

1.6.3 Комбинированная модель абсолютного поглощения и отражения.

1.6.4 Комбинированная модель с учетом "серости" диска . . 40 Выводы.

Глава II. Одночастичные состояния с определенным пространственным параметром вылета в формализме алгебры 50м(2.1)

2.1 Алгебра 50м(2.1).

2.2 Плоские волны на группе 50м(2.1).

2.3 Пространство Фока на группе 50Д2.1).

2.4 Сечения процессов с рождением частицы в состоянии из 50м(2.1)

Выводы.

Глава Ш. Связь между дифференциальным сечением по поперечному импульсу и функцией распределения по параметру вылета детектируемой частицы

3.1 Дифференциальное сечение по поперечному импульсу частицы С.

3.2 Дифференциальное распределение по параметру вылета Д вц.м. частиц А и В.

Проблемы физики высоких энергий представляют собой важную часть современного естествознания и порождаются быстрым развитием экспериментальной базы. Осенью 2008 года предполагается запуск LHC (Большой адронный коллайдер) при энергии л/s ~ 14 Tev и позже ILC (международный линейный коллайдер).

Диссертация посвящена важным разделам этих проблем, связанных с исследованием энергетической зависимости сечений (упругих, неупругих и полных) при сверхвысоких энергиях, характеристик множественности рождения, а также с описанием пространственной структуры области рождения частиц.

Одним из основных методов изучения структуры и взаимодействия частиц высоких энергий является описание упругих процессов рассеяния ад-ронов на языке "эйкональной фазы" [1], [2]. Основой для понимания физики явлений в этой области энергий и передач является тот экспериментальный факт, что дифференциальное сечение имеет явно выраженный пик "вперед", т.е. da/dt ~ exp(R2t), где R2 ~ 10-т-17 (Gev//zc) Это означает, что характерные размеры пространственной области, где происходит взаимодействие имеют порядок R ~ 1 F. В то же время, длина волны Де-Бройля сталкивающихся адронов А ~ (ОАтт/рс) F при рс > 1 Gev становится малой по сравнению с размерами области взаимодействия. Поэтому можно ожидать, что в этой области передач и энергий могут быть эффективно использованы оптические методы, развитые в применении к проблемам ядерной физики

3].

Успешное применение эйконального подхода к упругим процессам основано на конструктивном использовании условия унитарности S-матрицы

4] - [6]. На рисунке (1) схематически изображено условие унитарности для упругого процесса.

Пунктирные вертикальные линии на рисунке означают "сечение" диаграммы, после чего промежуточные состояния соответствуют реальным ча

Рис. 1. Условие унитарности стицам на массовой поверхности. Соотношение, соответствующее диаграмме (рис.1) обладает одним замечательным свойством - оно диагонализиру-ется по относительному орбитальному моменту / сталкивающихся адронов и превращается в алгебраическое соотношение. После этого для амплитуды F(9) будем иметь:

F(q, в) = ^(2/ + 1 )ai(q)Pi(cose), (1)

1=0 где ai(q) - парциальная амплитуда, удовлетворяющая условию унитарности:

2)

Imal(q) = q\al(q)\2+l ^

Aq '

Решение этого уравнения дает выражение для ai{q): e2iSi(q) i aiiq) =

2 iq где 5[(q) - фаза рассеяния

Si(q) = 6i + -xi(q), xM) = 2Im 6i(q), связанная с коэффициентом неупругости r]i{q) соотношением: тц(д) = 0 < rji(q) < 1

3)

4)

5)

Границы области изменения rji(q) соответствуют абсолютно упругому рассеянию (r]t(q) = 1) и абсолютному поглощению (r)i(q) = 0). Случай rji(q) = 1 соответствует пренебрежению неупругими вкладами в мнимую часть амплитуды упругого процесса. Окончательно для ai(q) имеем: щет> - 1 a,(q) = "ИГ" (б)

Такое представление парциальной амплитуды щ(q) автоматически приводит к тому, что F(q,9) удовлетворяет условию унитарности. Учитывая, что упругое сечение оо

F(q,6)\2dQ = 4тг^(2/ + \)\щ{4)\2 (7) о а также соотношение унитарности (2) получим оптическую теорему: т F(q, 0 = 0) = -р- • atot,

4тг (8) atot = °ei{q) + сг inei(q) где

4-тг^ 1

9)

4 /=о

Это хорошо известная [7] квантово-механическая феноменология учета неупругих вкладов в амплитуду упругого процесса. Важным для нас является переход от представления (1) (9) к эйкональному представлению, т.е. переход от парциальной фазы 5i(q) к фазе 5(q, b), где b - прицельный параметр.

Эйкональная фаза x(Q> b) = 2ilm5(q, b) однозначно связана с неупругой функцией перекрытия Ginei{q, b):

Gineiiq, b) = i(l - e"W)) = q • {Ima^q, b) - q\aM, b)|2} (10)

Именно эта функция определяет пространственную структуру области столкновения. Она равна нулю в области энергий, меньших пороговой энергии открытия неупругих каналов. Изучению функции Ginei{q, b) посвящено много обзорных и оригинальных работ [8] - [21]. Одним из основных результатов является утверждение, что среднее число частиц, рожденных при прицельном параметре Ь, пропорционально неупругой функции перекрытия: n(q, b)) = const(q) • Ginel(q, b) (11)

Все вышеизложенное относительно эйконального представления основано на квазиклассическом приближении М ~ qb и асимптотическом соотношении:

Pi(cos9) ~ J0(bq±), q± = qsind, при в ~ 0, bq~> 1 (12)

При этом представление амплитуды (1) переходит в эйкональное представление [1]: оо

F(q, 9) = 2q2 J a(q, b)J0(bq±)bdb (13) о

Считается, что профильная функция a(q, b) удовлетворяет соотношению унитарности (2), и следовательно, имеет представление (3). Однако, проблема, возникающая при этом, заключается в том, что эйкональная амплитуда (13) с профильной функцией a(q, b) перестает удовлетворять уравнению унитарности. Причиной является то, что на физическом интервале значений поперечного импульса функции Бесселя /о (bk±) не образуют ортогональной системы, т.е. я

J J0 (М±) k (bik±) k±dk± ф б (b\ — b2) . о

Кроме того, как следует из (13), профильная функция a(q,b) определяется через амплитуду F(q, 9) обратным преобразованием оо a(q, = ^ J F(q, 9)J0(bq±)q±dq± (14) о

При этом интегрирование происходит как по физической области углов, так и по нефизической (—оо < cos9 < 1) [22]. Если предположить полиномиальную ограниченность F(q,9) при cos9 —> — сю, например, F(q,9) ~ taR{

Редже-поведение), то это автоматически приведет к сингулярности амплитуды a(q, b) при b —> 0, а именно: что противоречит условию унитарности. Эта сингулярность отмечалась многими авторами (например, в работах [23]-[27]), хотя последовательного решения этой проблемы в этих работах не проводится.

Эта проблема решается в рамках теоретико-группового обобщения прицельного параметра. В диссертации предложен формализм описания амплитуды упругого процесса в терминах профильной функции на группе 50(2.1), являющейся аналогом парциальной амплитуды щ(ц) [28]. При этом, формализм не предполагает перехода к квазиклассическому пределу больших прицельных параметров и малых углов рассеяния. Это позволяет корректно описать область малых прицельных параметров, определяющих в основном рассеяние в заднюю полусферу [29].

Другой важной проблемой физики высоких энергиях является изучение пространственной структуры области столкновения частиц (пучков). Например, в RHIC (коллайдер тяжелых релятивистских ионов, Брукхевен) при энергиях сталкивающихся ядер золота y/s ~ 200 Gev на 1 протон рождается порядка 1200 частиц [30]. Эволюция рождения этих частиц до асимптотически свободного состояния предположительно проходит от стадии кварк-глюонной плазмы (если реализуется механизм деконфайнемента) до стадии адронизации. Детектируемая частица, вылетающая из этой области, несет определенную информацию о физическом состоянии области ее рождения. С другой стороны, экспериментально измеряются лишь энергетические и угловые распределения этой частицы, и необходим определенный способ (метод) извлечения информации о пространственной структуре по данным эксперимента.

В диссертации, в рамках теоретико-группового подхода удается построить одно-частичное пространство Фока, в котором в роли динамической переменной, характеризующей частицу, выступает параметр "вылета". Он характеризует радиус рождения этой частицы, а функция распределения по этому параметру является естественной физической характеристикой пространственной структуры области столкновения [29], [31]-[34].

В диссертации получена точная связь между функцией распределения по параметру вылета и дифференциальным сечением по поперечному импульсу детектируемой частицы.

Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена обобщению эйконального разложения амплитуды упругого процесса в рамках группы 50(2.1).

Во второй главе построен одночастичный базис пространства Фока, соответствующий состоянию с определенным параметром вылета детектируемой частицы. Это позволяет получить сечения процесса, в котором одна из частиц рождается в состоянии с определенным параметром вылета.

В третьей главе получена связь углового распределения детектируемой частицы в упругих и квазиупругих процессах с распределением по параметру вылета.

В четвертой главе дано обобщение связи между сечениями в с.ц.м. и л.с.к. в секторах, соответствующих рассеянию частицы в переднюю и заднюю полусферы по отношению к направлению импульса падающей частицы. Эта глава носит характер приложения, позволяющего провести моделирование экспериментальных данных в с.ц.м. по соответствующим данным в л.с.к.

Выводы

Таким образом нами получено единое аналитическое выражение связывающее дифференциальные сечения в процессах А+В—>C+D в лабораторной системе частицы В с сечением этого процесса в системе центра масс частиц А и В.

Основная трудность получения такого соотношения связана с наличием сигнатуры, определяющей рассеяние в переднюю и заднюю полусферы. Эта сигнатура не является Лоренц-инвариантным квантовым числом и учет этого факта связан с определенными трудностями.

При этом мы учитываем, что рассеяние в л.с.к. и рассеяние в с.ц.м. частиц А и В с экспериментальной точки зрения представляют собой два различных процесса. Экспериментальные ошибки в этих системах могут иметь принципиально различную природу и не иметь между собой связей, диктуемых преобразованиями Лоренца. По этой причине переход между системами для сечений мы называем моделированием дифференциального сечения в с.ц.м. по экспериментальным данным соответствующего сечения в л.с.к.

Заключение

Диссертация посвящена последовательному анализу структуры области взаимодействия сталкивающихся частиц при высоких энергиях. Рассмотрены и проанализированы следующие проблемы.

В первой главе получено последовательное обобщение эйконального разложения амплитуды упругого процесса на основе теоретико-группового определения прицельного параметра двух сталкивающихся частиц. После стандартной процедуры квантования удается построить волновую функцию квантово-механического состояния с определенным значением прицельного параметра. Эта система функций оказывается функциями конуса, полнота которых исследована ранее в работах Фока. Это позволяет получить разложение упругой амплитуды как функции на группе прицельного параметра 50^(2.1), и таким образом выразить амплитуду упругого процесса через профильную функцию аналог парциальной волны ai(p). Важной особенностью этого разложения является диагонализация условия унитарности. Другой особенностью такого разложения является проявление сигнатуры, соответствующей рассеянию в переднюю или заднюю полусферы. В рамках простейшей модели на профильную функцию (р) дан анализ зависимости отношения сечений crei/&tot от соотношений радиуса области полного отражения Rre[i(p) и дифракционного радиуса R(p). Показано, что отношения сечений <Jei/atot эффективно определяется параметрами r}inei и Rrefi- Изменение этих параметров позволяет получить всю область изменения значений иei/(Jtot- Показано также, что предел унитарного насыщения, когда aei!аш -»• 1 наступает при Rrefi(p) R(p) и r)inei = 0.

Во второй главе показано, что алгебра генераторов группы Пуанкаре содержит подалгебру, которая при реализации ее на поверхности q2 = const представляет собой алгебру 50(2.1). Генераторы этой алгебры d\ , d2 , /3 имеют точную физическую интерпретацию. Квантовые числа состояний, построенных на этой алгебре, определяют координаты эффективной области рождения частицы. В соответствии с этим, построен вектор пространства Фока, описывающий одночастичиое состояние с определенным параметром вылета Д. Получено разложение этого вектора по одночастичным состояниям с определенным импульсом, что позволяет вычислить полное сечение любого эксклюзивного процесса, в котором одна из частиц рождается с определенным параметром вылета р.

В третьей главе получено соотношение между дифференциальным сечением по импульсу детектируемой частицы С и функцией распределения по пространственному параметру вылета этой частицы из области взаимодействия. Эта функция описывает распределение вещества в мишени и позволяет понять природу ее составных частей на адронных масштабах. Эта связь существенно различна в системе центра масс частиц А и В, и лабораторной системе частицы В. В простой модели рассеяния на бесструктурной точечной мишени, в рамках одночастичного t- канального обмена показано, что область взаимодействия разделяется на зоны рождения и поглощения частиц С. Аналогичный результат получается при обработке экспериментальных данных дифференциальных сечений по угловому распределению (реакция 7 + р —> 7г° + р).

Четвертая глава носит характер приложения. В ней получено единое аналитическое выражение связывающее дифференциальные сечения в процессах А+В—>C+D в лабораторной системе частицы В с сечением этого процесса в системе центра масс частиц А и В.

Перспектива дальнейших исследований связана с анализом известных теоретических моделей амплитуд упругих и квазиупругих процессов и с последовательной обработкой экспериментальных данных конкретных реакций на широком интервале энергий сталкивающихся частиц.

1. RJ. Glauber, Lectures in Teoretical Physics, v.l, New York, 1959, p.345

2. F.Zachariasen, Theoretical models of diffraction scattering, Phys.Reports, v.2C, 1, 1971

3. V.Barone, E.Predazzi,"High-Energy Particle Diffraction", Phys.Rept.359 1 (2002)

4. О. V. Selyugin, J.R. Cudell, E. Predazzi, Analytic properties of different unitarization schemes, arXiv:0712.0621vl hep-ph] 4 Dec 2007

5. О. V. Selyugin, J.R. Cudell, E. Predazzi, Analytic properties of different unitarization schemes, arXiv:0712.062lv2 hep-ph] 7 Jan 2008

6. S.M. Troshin, Comment on the "extended eikonal"unitarization, arXiv:0712.3359vl hep-ph] 20 Dec 2007

7. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. -664с.

8. Т.Т. Chou, C.N. Yang, Phys. Lett. 128B (1983) 457;

9. Т.Т. Chou, C.-N. Yang, International Journal of Modern Physics A, 6 (1987) 1727.

10. T.T. Chou, C.N. Yang, Adv. Ser.Direct. High Energy Phys. 2 (1988) 510

11. T.T. Chou, C.N. Yang, Phys. Rev., 1973, v.D8, p.2063

12. T.P. Cheng, L.-F. Li, Phys. Rev. Lett 80 (1998) 2789

13. L. Van Hove, Phys. Lett. B118 (1982) 138.

14. L. Van Hove, Rev.Mod.Phys., 1964,v.36, p.655

15. L. Van Hove, Nuovo Cimento, 1963,v.28, p.798

16. Harsen P.H., Krisch A.D. Phys.Rev., 1977, v.D15, p.3287

17. Alcoch J.W. et al. Nucl.Phys, 1973, v.B67, p.445

18. Pamplin T. et al. Phys.Rev., 1974, v.DIO, p.2918

19. Cappela A., Chen M.S., Phys.Rev., 1973, v.D8, p.2097

20. Кайдалов А.Б., ЯФ, 1972, т. 16, c.389

21. Amaldi U., Proc.Int.Conf. on Elementary Particles, Aix-en-Provence, 1973

22. P.Carruthers, F.Zachariasen, Rev.Mod.Phys.55, N1, (1983), 283

23. Hohler, H.P.Jakob. Zs.Phys., 261, 371, 1973

24. T.Adachi, T.Kotani. Progr.Theor.Phys.(Kyoto), 35, 576, 1966

25. M.M. Islam. Nucl.Phys., B104,511, 1976

26. F.Elvekjaer, J.L. Petersen. Preprint, TH, 1971-CERN, 3 February 1975

27. O.N.Soldatenko, A.N.Vall, A.A.Vladimirov, Unitarization of elastic amplitude on SOM(2.1) group, arXiv:0805.2296vl hep-ph] 15 May 2008r.

28. Балл A.H., Солдатенко O.H., Владимиров А.А. Теоретико-групповое описание пространственной области столкновения частиц. // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008, т. 51, № 3, с. 92-96.

29. Sorensen P.R., Kaon and Lambda Production at Intermediate рт'. Insights into the Hadronization of the Bulk Partonic Matter Created in Au+Au Collisions at RHIC, University of California Los Angeles, arXiv: nucl-ex/0309003 v2 9 Sep 2003.

30. M.V.Polyakov, O.N.Soldatenko, A.N.Vail, A.A.Vladimirov Spatial image of hadrons from scattering I: 50^(2.1) algebra formalism, arXiv:0708.2857vl hep-ph] 21 aug. 2007r.

31. Валл А.Н., Солдатенко О.Н., Владимиров А.А. Пространственная структура области столкновения частиц и ее связь с угловым распределением детектируемой частицы // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008, т. 54, № 6, с.33-37.

32. Фок В.А. ДАН СССР, 1943, 39 N7, c.279-283

33. Валл A.H., Макеев Н.А. Группа прицельного параметра и ее реализациям/Ядерная физика, 1978, Т.27, вып.2, С.558-564

34. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп Наука, 1965.

35. Виленкин Н.Я. Смородинский Я.А. ЖЭТФ, 1964, Т.46, вып.5.

36. Бейтман Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, Наука, 1973, т. 1

37. Bateman Н. and Erdelyi A. Higher Transcendental Functions 1953, vol.2 McGraw-Hill, New York

38. P.D.B.Collins, An Introduction to Regge Theory and High-Energy Physics //Cambridge University Press, 1977, Cambridge

39. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Гос. Изд-во физико-мат. литературы, 1963.

40. Hobson Е. W. //The theory of spherical and ellipsoidal harmonics, Cambridge at the University Press, 1931

41. V.A.Petrov, A.V.Prokudin, S.M.Troshin, N.E.Tyurin, J.Phys.G 27, 2225, 2001

42. J.B.Kogut and D.E.Soper,Phys.Rev.Dl 2901 (1970).

43. J.D. Bjorken, J.B. Kogut, D.E. Soper, Phys.Rev.D (1972)

44. Hofstadter R., McAllister R.W., Phys.Rev.98, 1955.-p.217-222.

45. Goeke K., Polyakov M.V., Vanderhaeghen M., Prog.Part. Nucl.Phys.47, 2001. -p.401 arXiv:hep-ph/0106012]

46. Diehl M., Phys.Rept.388, 2003. -p.41 arXiv:hep-ph/0307382]

47. M.Diehl, Eur.Phys.J.C25 223 (2002), hep ph/0205208, Erratum ibid.to appear.

48. Belitsky A.V., Radyushkin A.V., Phys.Rept.418, 2005. -p.l arXiv:hep-ph/0504030]

49. Burkardt M., Phys.Rev.D62, 071503, 2000, hep-ph/0005108

50. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский B.K., Квантовая теория углового момента, "Наука" 1975.

51. А.А.Андрианов, /Теоретическая и математическая физика-17,1973.-с.407-421

52. M.Huszar, Nuovo Gim., 31 А, 297, 1976.

53. Radyushkin A.V., Phys.Rev.D58, 114008, 1998

54. Diehl М, Feldmann Т., Jakob R., Kroll P. /Eur.Phys.J. C8, 409, 1999.

55. Балл A.H. Плоские волны на группе прицельного параметра 50(2.1) //Ядерная физика, 1978, Т.28, вып.4(10), С.1091-1097.

56. В.Г.Кадышевский, Р.М.Мир-Касимов, Н.Б.Скачков, ЭЧАЯ, 2,3, 1972.

57. И.С.Шапиро, ДАН СССР, 106, 647, 1956.

58. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в квантовую теорию полей, 4-е изд.-М.: Наука, 1984.

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. -Т.П. М.: Наука, 1988. -509с.

60. Е. Byckling , К. Kajantie Particle Kinematics, JOHN WILEY AND SONS , London New York-Sydney - Toronto , 1973

61. Gradshtein I. S. and Ryzhik I. M., Tables of Integrals, Series and Functions, Pergamon, New York, 1964.

62. Гольданский В.И., Никитин Ю.П., Розенталь И.Л. Кинематические методы в физике высоких энергий. М.: Наука, 1987 - 199с.