Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

I Го 00

1 5 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

УДК 532.5+621.9.047

ЖИТНИКОВ Владимир Павлович

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЛЕВИ-ЧИВИТЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА НЕИЗВЕСТНЫХ ГРАНИЦАХ

01.02.05.— механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казани — 1993

Работа выполнена в Уфимском авиационном институте.

Научный консультант: заслуженный деятель науки

Чувашской республики, академик АН ЧР А. Г. Тереитьев Официальные оппоненты: член-корреспондент

академии наук России М. А. Ильгамов

доктор физико-математических наук, профессор В. В. Клоков доктор физико-математических наук, профессор Л. М. Котляр

Ведущая организация: Институт механики МГУ,

г. Москва

Защита диссертации состоится «____»_ _____ 1993 г.

в_час.__мин. в ауд__на заседании специализированного совета Д 053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете но адресу: 420008. Казань, ул. Ленина, 18, КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГУ.

Автореферат разослан «_»_________1993 г.

Ученый секретари специализированного совета, кандидат фнз.-мат. наук

А. И. Голопамов

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ •

Актуальность те?,та. Математические модели теории струй идеальной жидкости с успехом используются для решения различных задач механики сплошных сред. Этоглу способствует возросший в последнее время интерес к исследованию взаимодействия оболочек с потока?™ жидкости и газа, теории взрыва, движения фракций в грунтовых пластах,' а также близким по математической постановке и физической интерпретации задачам электрохимической обработки (ЭХО) материалов.

В настоящее время при решении многих задач математической физики'в различных областях теоретических и прикладных научных исследования широкое применение находят численно-пнодитические методы. Разработка математических моделей слоеных объектов, физических и технологических процессов требует обширного математического исследования и анализа проблем, связанных с изучением и классификацией различных видов решений. Численно-, аналитические методы позволяют расширить возможности математического • анализа и распространить их на более сложные задачи, не разрешимые чисто аналитическими средствами. С другой стороны, эти методы являются более точными и быстрый!, хотя и менее универсальными по сравнении с чисто численными, к которым можно отнести методы конечных разностей и конечных элементов. Тагом образом, численно-аналитические методы заштают вайноэ промежуточное место, устраняющее разрыв мезду математическими и численными результатами и позволяют получить большой объем достоверной информации о задаче с меньшими 'затратами.

В теории струй идеальной жидкости решение широкого класса плоских задач получено методами теории функций комплексного переменного. Сравнительно недавно разработаны интегральные преобразования (Полокий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. -Киев: Киев. ун-т. 1965), позволяющие свести осесимметричные и некоторые пространственные задачи к решению вспомогательных плоских задач. Этот подход притенялся ранее для решения осесимметричных задач П.Ф.Попковичем, А.Я.Александровым, К.Вебером в теории упругости, А.В.Рубнновским в теории взрыва, 0. Г. Гомоном, В .'В. Поповым, А.А.Хамидовпм, Е.Б.Коковгашм, с.Л.Впль-ховченко, А.В.Яниным и др. в задачах гидродинамики.

При решении ососдачвтрячиых задач с помощью готтогрэлышх преобразовать краевые условия вспомогательной плоской задачи имеют сложный вид (сллгулярпнх интегральных уравнений), в свя?п с чем стпилрптся актуальной проблема разработки :>(Ф?К1РР1т <тс\лпшшт

методов решения задач, что требует изучения свойств интегральных преобразований, проведения дополнительных исследований для анализа ■'особенностей решения, нетипичных для плоских задач.

Целью данной работы является исследование плоских и осесиммет-ричных задач о взаимодействии потока с оболочками, течений капиллярной и весомой жидкости, задач ЭХО ^профилированными электродами, а также разработка методов решения этих задач.

Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим:

- разработан метод решения плоских и осесимметричных задач гидродинамики и электрохимического формообразования с произвольным числом неизвестных границ, включающий обобщение метода Леви-Чивиты, сглаживание искомых функций путем выделения особенностей, интегральные преобразования (в осесимметричном случае);

- на основе этого метода и его модификаций решены ноЕые плоские и осесимметричше задачи гидродинамики и ЭХО, а также получены решения нового вида для известных задач;

- исследован новый класс'решений задач об обтекании мягких, упругих и тяжелых оболочек с волнообразной формой границы, показана их аналогия с задачами о течении капиллярной и тяжелой жидкости с ограниченным участком- свободной поверхности, установлено наличие счетного множества решений с возрастающим.количеством волн, получена асимптотическая оценка соответствующих последовательностей дискретных значений чисел Вебера и Фруда;

- создана многорежимная теория струйных завес аппаратов на воздушной подушке (ABU), образованных " сопловыми устройствами с жесткими и гибкими стенками различной конфигурации; на основе этой теории разработана математическая модель движения АВП, с помощью которой проведены расчеты характеристик ABII, показавшие хорошее совпадение с экспериментом;

- решен класс плоских и осесимметричных задач об электрохимической обработке непрофилированным электродом-инструментом, рассчитаны формы стационарной поверхности и распределение напряженности, разработаны принципы линейного приближения, позволяющего использовать эти решения для практических расчетов трехмерного нестационарного формообразования.

Методика исследований. Основой примоняешх методов численного решения задач является метод Леви-Чивиты и ого обобщения на более о.помшо задачи. Для решения осесимметричЕШК задач применяются

• интегральные. преобразования Г .II. По ложе го, Позволяющие свести эту задачу к поиску аналитической функции.

Обоснованность п достоверность полученных результатов обеспечиваются 'в рамках общепринятых математических моделей механики жидкости и газа применением строгих методов при выборе вида искомых функций, учета их особенностей и асимптотического поведения, а также комплексом мер контроля численных результатов, системностью и последовательностью исследований.

Практическая значимость. Разработанные численно-аналитические метода .-решения плоских и осесимметричных краевых задач расширяют возможности численного моделирования струйных течений с границами различного вида. Автором разработаны алгоритмы и пакеты программ решония таких задач, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы как непосредственно, так и в виде аппроксимирующих зависимостей. Эти методы и численные результаты использованы в предпроектных и проектных исследованиях по созданию аппаратов на воздушной подушке, а также при создании математического обеспечения систем подготовки управлявших программ (УП) для электрохимических станков с ЧПУ. Совместно с ЦЛГИ разработан блок ЭХО, включенный в состав промышленной системы подготовки УП Gemma 3D. Работа проводилась по хоздоговорной тематике согласно тематическим планам Уфимского авиационного института и Уфимской лаборатории Саратовского научно-исследовательского технологического института.

"Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере получения докладывались на пятом и седьмом Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981; Москва, 1991), на всесоюзной научно-технической конференции по повышению маневренных качеств судов (Крыловские чтения, Ленинград, 1979), на всесоюзных школах по гидродинамике больших скоростей (Чебоксары, 1980, 1984, 1989, 1992; Красноярск, 1987), на XYI-x чтениях К.Э.Циолковского (Калуга, 1981), на YI-IX-ой Дальневосточной конференциях по мягким оболочкам (Владивосток, 1979, 1983, 1991);на всесоюзной школе-семинаре по динамике механических систем (Томск, 198G), на УП-ом всесоюзном семинаре по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (Кемерово, 1988), на межотраслевой республиканской конференции по теории и практике электрохимической размерной обработки (Казань, 1988), на 1-й Всесоюзной конференции по электрохимической анодной обработке металлов (Иваново, 1938), т

Всесоюзной научно-технической конференции по гибким производственным системам в электротехнологии (Уфа, 1988), на региональной конференции то , динамическим задачам механики сплошной среда (Краснодар, 1988), на 1У-й Уральской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Уфа, 1989), на семинарах профессора Я.М.Котляра (Москва, МАИ, 1983, 1988), а также на семинарах и итоговых научных конференциях Чувашского государственного университета (1978-1991) и Уфимского авиационного института (1976-1992).

Публикации. Основные результат работы опубликованы в статьях Г!-32], тезисах и аннотациях докладов [33-43). Из совместных публикаций в диссертацию включены, как правило, результат, полученные автором. Совместные результаты вынесены в обзорную часть глав и параграфов или сопровождаются ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, сами глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 321 страница машинописного текста. Список литературы содершт 205 наименований. • •

ОСНОВНОЕ С0ДЕР5КАШЕ РАБОТЫ

Во сведении обоснованы цель и актуальность работы, дано обоснование методических принципов численного решения задач, иоло-Гизно содерзаше рабош и сформулированы основные результаты, внно-сюгдэся на защиту:

1. год рэагешя задач с нелишйшв-ш гршшчшаш условиям, за-д:«пш/.м па нескольких участках границы, (обобщенна метода Леви-Ч.шихц) 5! его даде^жадяя для р-гызеш осесишэтрпчних задач с пошцыв теки, осноеэнная нз кшогралыих преобразованиях аналитической функции в потенциал ц функцию тока осе симметричного потока; определение вида функции вблизи особых точек, расположенных не на пен симметрии,и вида решения деоякосшдлзтричшх задач.

2. Часлешюс исследовании течений с граница;.!«, схлзчшшиа ьлгг.ие, упругие и тл:;:олие оболочки, для садпч безотрывного оотека-нвя оболочка с одно»"» п дьупя ¡гакрэплешшш точками; нсодоознзч-нэс1Ь [.ос едай при (рксяроьаннкх дадемиях, роднен с гхшюойрсзкш д^урмуцл^д оболочки.

3. из решения л'-тнрллгнх с.-.¡дач п с;:^{.г.<)кт'-:рой^;11^о {.и,ишуг.:; д-лскгегнне з^а-к-япя ч!:сел Во'.^ра п О руда, 1л).)1ье'1С.'1'г:у>".уие р;'.зла"п:г.:.1.у числу ох'^г{¿ачэн!'"; ■ тк п-нсстг: !'>М;..) ЯК'ЧОП к ТЯ.ЛЛО'.! едкости. ' "

л. К 'С:'аи.)!;:;н п численно-¡.'¡ал.и'.'>'¡00.1.:'. • р-:..:т

обтекании осесимметричных пузырей и. кавитацйонного обтекания сферы по схеме Рябушинского; сопоставление результатов решения плоских и осесимметричных задач.

Б. Исследование отрывного обтекания мягкой оболочки при произвольных соотношениях давлений и половениях точки отрыва; наличие двух типов решений.

6. Метод и результаты решения задачи о кавитационном обтекании пластины капиллярной жидкостью; дискретность изменения числа Вебера.

7/ Исследование комплекса задач о струйном истечении из сопел и обтекании оболочек вблизи экрана, являющихся основой многореким-ной тоории течений в гибких ограждениях АВП..

8. Метода решения плоских и осесимметричных задач ЭХО электродом-инструментом с рабочей частью круглой формы.

Э. Методика линейного приближения в нестационарных пространственных задачах ЭХО непрофилированным электродом-инструментом.

В первой главе изложены методы решения плоских и осесимметричных задач со сложными граничными условиями.

В §1 .дано обобщение метода Леви-Чивиты для решения гндро-динамических и электрохимических задач с различными условиями на грающах. Граница области течения в общем случав состоит из конечного числа участков, на которых задана либо действительная часть функции, либо ее мнимая честь, либо удовлетворяются некоторые нелинейные функциональные уравнения. Обобщение метода Леви-Чивиты заключается в представлении искомой функции (f(t)-z(t) , 17(t) или в виде суммы

fCt^fJtHlfjjft) (1)

'J

функция f0(t) определяется по известным формулам, и ее действительная или мнимая части принимают на границах области заданные кусочно-постоянные значения; функция ftJ удовлетворяет нелинейному функциональному уравнении на J-u интервале, но не изменяет граничные условия на остальной части границы области течения. В диссертации дано представление функции fjj(t) в виде степенного ряда и показана возможность улучшения сходимости ряда путем введения дополнительной функции F , учитывающей характер особенностей искомой функции f(t).

При численных расчетах ряда в фушсциях /; ( ' ограничивались конечным числом слагаемых, а неизвестные коэффициенты определялись методом коллокацйя.

В §2 проводится разработка численно-аналитических .методов решения осесимметричных задач с помощью ТФКП.

Основой для. применения методов ТФКП к решению осесимметричных задач служат интегральные преобразования Г.Н.Полоаего аналитической функции к функции, . удовлетворяющей осесимметричному уравнению Лапласа:

X +(г

0 ш

фгх0,г;= - |.хш Щ - - + «д,

хяНо *z-z0)(z-z0)

"А X +1г ° (Z-X ) dz

(2)

п От1*/ (> ^

fflfi„.r> g.Im J^' -+ Vg

ХАПо S(z-zo)(z-zo)

о'

где z=x+ly , z =х +ir , z =х -ir ; v -скорость на бесконечности

о о о о "со1

(направленная вдоль оси симметрии х); а-лекоторый коэффициент.Для точек, расположенных на оси симметрии Еыше и ниже по потоку от обтекаемого тела, ¿шеют место равенства

• W - (3)

- i - aTl '

(Предполагается, что при £-«> gg = J + ОС í/z2J ),

Значения продольной и-радиальной составляющей скорости определяется дифферонцировашгем (2).

В силу аналитичности подынтегральных функций по. перемешой интегрирования. 2 становится возмозсныы использовать конформные отображения .

Численное решение задач производится следующим способом. Одновременно с осесш.гметрнчнш рассматривается плоское течение, имеющее в сечении такие же очертания жестких грашщ. Однако, для вспомогательной плоской задачи все границы (кроме участков, совпадающих с отрескала оси X) являются, вообще говоря, проницаемыми п не эквипотенциальными. Закон проницаемости и иггланеняя потенциала определяется условшаш непротеканая №=conat) и сктютевцдашюс-га (í-co;wí > г, сювоаштричкэй задаче, при втсм в и Ф епрвд&аясгся по формулам (2).

В §2 проведено таю» ксследсьшшз вида функции кекговксиого потенциала \¡¡z) вспомогательной плоской задачи в точках, соответствующих различным особенностям потока (источникам, ктодш, иало-i.'.'M границ, точкам схода свободной поверхности и т.д.).

1Ысосшю. что для особых, точек, расположенных ну оси ск&ют-

• рии и на бесконечности, сохраняется соответбтвиэ типов особенностей функций, выраженных отрицательными степеням! в осесимметричной, плоской и вспомогательной плоской задаче. Для -особенностей вида и г2 соответствие сохраняется, если интегрировать в (2),(3) не сАУ/Ш, а В точках, не леващих на оси симметрии, характер

особенностей функции плоской и вспомогательной плоской задач существенно различен. Гак, например, кольцевому источнику, находящемуся в точке и точке схода свободной поверхности с твердой границы соответствуют особенности вида

§| '((г-г^Сг-г"))'*'2 , Ц = (г-г^ХгЦг-а^ . (6)

В §2 показано твгсже, что во вспомогательной плоской задаче нечетность функции 57(2,) не обеспечивает автоматически симметрию относительно плоскости соответствующего осесимметричного течения. Если можно представить в виде суммы ЯМ^+П^, где IV1 имеет

особенности только на оси симметрии (и интегрируема на бесконечности), Шг наоборот, тлеет особенности только вне оси, то 171 должна быть нечетной, а (Г - четной по 2. При невозможности представления IУС г) в виде такой суммы она должна содержать ряды с полным набором четных "и нечетных слагоетмх. Более эффективным с вычислительной точки зрения в этом случае является видоизменение формул (2)

Щхо,Г)=|1т

■г -г

•» ^ сгг.г ; ' •» 02 )

^А °

Г*

Глава 2 посвящена исследованию обтекания мягких, упругих и тяжелых оболочек потоком идеальной жидкости.

В §1 исслэдуеФся задача о безотрывном обтекании мягкой оболочки бесконечным потоком. Течение обладает симметрия относительно вертикальной и горизонтальной прямых. На .поверхности оболочки выполняется условие Лапласа

Т*К(Рб-Р)=сагиИ (8)

(Л,Г- радиус кривизны и натяжение оболочки, Р<Р$- давление вне и внутри оболочки). В случае двух закрепленных точек задается хд -абсцисса точки В и длина оболочки I. При одной закрепленной точке выполняется условие ВА=-%/2, где 8^- угол наклона касательной к оболочке в точке А.

Область течения отображается на внутренность единичного круга С..при этом оболочка отображается на округлость ^с1''.

В соответствии с §1 гл.1 решение икется в гиде суммы функций

<to=u «Jj+tl , o=tlni ^ (9)

CO

Вид функций uo и совпадает с представлением (Киселев О.М. К задаче о газовом пузыре в плоском потоке идеальной кидкости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. Л 4.):

t?(2-ßK(K2rß/2. 1 J, гт %

Функция Г), которая отсутствует в методе Левд-ЧиЕиты, введена для того, чтобы учесть поведение производной dB/äcг вблизи точки а=%/2 и тем самым регуляризировать функцию :

tei^felfl B2[^lfß] , ß/O; (11)

С помощью функций (11)-(12) методом коллокаций были рассчитаны параметры течения и формы оболочки при различных отношениях 1Ухв и ix=2(P6-PM)/pv^. Основные качественные результаты расчетов при различных числах ц сводятся к следующему. В интервале Щкгсо влияние числа jj незначительно. Однако," 'с уменьшением ц решение перестает быть однозначным, появляются неоднолистные решения , зависимости T(\i), с fpj и др.' приобретают сложный колебательный характер. На поверхности оболочки' возникают волны, причем при движении вдоль кривых, соответствующих этим зависимостям, число волн неограниченно растет. Численные исследования показывают, что имеются две изолированные вэтви решений (с полокитвльныы и отрицательным значением кривизны ' в средней точке оболочки), мевду которыми невозможен непрерывный по ц переход. 'При ц->0 обе ветви имеют предал, который соответствует решению задачи о капиллярных волнах на поверхности кидкости, рассмотренной в гл.З.

Для того, чтобы избегать решений с самопересечением оболочки в §2 был рассмотрен ряд задач об обтекании оболочек с одним, двумя и тремя прямолинейными участками соприкосновения.

В §3 рэшеш задачи о безотрывном обтекании замкнутой упругой оболочки с одной и двумя закрепленными точками.Принята линейная зависимость момента от кривизны L!=I)(0' -&' ) (е^(а) -зависимость кривизны оболочки от дуговой абсциссы з в иедефорипрсвашюм состоянии). При O^const уравнения равновесия оболочки сводятся к иитагро- дифференциальному уравнению

p(Ö'2-0;2) = rD[booS(e-eo;] - но^(в-во) -

ю -

а

а

вт9Г("Р-Рг ,)совв(Зз f оов9|ГР-Рг;з1п9(Зз ,

(13)

а

о

где во,Го,/^-значения переменных в некоторой фиксированной точке зо-Задачв решается по формулам (9),(10). Условиями закрепления оболочки в точке А и симметричной ей точке является заданная величина угла 04=-| и равенство нули перерезывагацей силы (подвижные копцц): П(0)=-И' (0)=-т"(0)=0. ■ (14)

Заметим,что при !)->0 в качестве предельных решений данной задачи получаются решешш задачи сб обтекании безмоментной оболочки (1>=0) .В §1 было показано,что для 00 при задашгом числе коэффициента давлений р,<1 существует счетное множество решений, каждое из которых соответствует опрвдедешюку числу волн на оболочке. Для П>0 с каждым предельным решением (£-0) связана своя ветвь реяений, имеющая определенные свойства. Напри,тар, решение с одной полуволной существует при . Второй вид решения (с одной ■ впадиной

на оболочке) имеет место при -<»41 < 1,Офф(и).При этом для каждого О существуют два решения.

Кроме рассмотренных выше конфигураций при Р=0 существуют также решения с отрицательным натяжением Т<0,которые для упругой оболочки имеют физический смысл.К этому виду при 1>>0 относится счетное множество изолированных ветвей решений б разным количеством волн на оболочке.

. В задаче обтекания оболочки с. закрепленными (защемленными) концами задаются значения угла 9д=-и:/2 и геометрические параметры -длина оболочки Ъ и длина хорды х =2а, соединяющей стороны оболочки. При этом перерезывающая сила N(0)^0. Нетрудно убедиться, что с помощью функции (10) при 0=0 невозможно получить такие решения. Поэтому принимается

Сравнительный анализ решений задач для оболочки с одной и двумя точками закрепления показывает, что во втором случае оболочка деформируется значительно мэньне. При этом значение изгибающего момента также меньше, однако вблизи двух точек закрепления Л и В кривизна оболочи! с уменьшением жесткости резко возрастает.

В §4 рассматривается плоская стяционартя задача о бпзотрывном обтекании потоком идеальной песптмпомой невесомой кпдкостл тяжелой безмомептной оболочки. Оболочка закреплена в концевых точках на горизонтальной поверхности, под оболочкой поядеркипаетсп избыточное

давление.

Как и при решении рассмотренных выше задач,область течения от-'обракается на полукруг Тогда уравнения равновесия оболочки сводятся к краевому условию при £=е<а

ГЦ-7-V ooeSbf + g- -

d8 _v „ояП %<п<3%

= -- cosa ,

"" se + 2УУ ■ Здесь й=Го/рvmQ , y-yvyQ , v^Pv/pv2 .

Функция Нуковского ищется в виде суммы (9).

Результаты решения показывают, что при появлении тяжести (D>0) форма оболочки в ео средней точке меняется незначительно. Участки оболочки, находящиеся вблизи ее кондов, под действием силы тяжести приближаются к опорной поверхности.. При этом значение угла В& в концевой точке А уменьшается, при некотором значении D сравнивается с нулем и далее меняет знак. На оболочке при этом возникает волнообразная деформация, аналогично тому, как это происходит при уменьшении натякэния в задачах обтекания мягкой невесомой оболочки.

Глава з посвящена исследованию течений капиллярной и тяжелой зшдкссти.

В §1 подробно'цсслодоваыы решения с большим числом волн на ограниченном участке свободной поверхности капиллярной жидкости. При решении нелинейной задачи в гл.2 были получены решения' с 1-6 волно-еыыи горбами. Для сравнения было найдено решение задачи в линейном приближении. За осноьу. было пршяю решение Л.М.Котляра- (Истечение капиллярной жидкости из-под прямолинейного шита.//Тр.сем.по краевым задачам.-Казань.-(96Э:Вап.6) задачи с полуограничешгай свободной поьерхкостыо. Реконие с ограниченной свободной поверхностью определялось методом сращивания решения со своим зеркальным отражением, произведенным по вертикальной прямой, проходящей через точки локальных экстремумов поверхности. В результата получен ряд дискретных значений числа Ve , соответствующий таким решениям,

\7еп= |Ггп-иг^)-^- ,

п—

%

где А,- длина волны, Lx~ длине соответствующей одной волне свободной поверхности, л- номер рывения (число волн), у~ фаза волны в точке отрыва. В линейном решении 7=§ , из ресения нелинейной задачи найдена эмпирическая оценка

£ - В +0-45 /5 - 1 .

Отмечено хорошее соответствие .линейного и нелинейного решений при 1 и п>2.

В §2 рассмотрена задача о' течении полуограниченного' потока идеальной невязкой несжимаемой тяжелой жидкости вдоль стенки, состоящей из двух частей БЛ и ВО', расположениях под углом друг к другу, со щелью ЛВ ширины 21 между ниш На свободной поверхности жидкости ЛОВ выполняется уравнение Бернулли,которое при постоянном давлении над поверхностью принимает вид

£ Т = 00ш* ' Ч? ' (14)

где и-модуль Еектора скорости жидкости,и - ого значение«например,в точке А ^-ускорение свободного падения,у-ордината точки свободной поверхности, ^г-число Фруда* функция Цуковсного для. данной задачи может быть представлена формулой

09 т 9

п-1

Функция и ("{^используется для шло лети особенностей решения в различных предельных случаях.' В основном случае (при гладкой свободной границе) и СС^О. Константа выбирается из условия равенства нулю функции тССз условленной точке (здесь - в.

о

тощее А).

Численное решение показало,что для решений с Гг>0 сущаструет некоторое предельное решение, при приОлижэнпя к которому высота п кривизна свободной поверхности в средней точке растут. В продоле на свободной поверхности образуется излом со • скачком угла А8=- | (аналогично -волне Стоков). Для расчета таких конфигураций полагается . »

{ С2**'

0) 5- (16)

° 3 2Сг

Численное исследование показало,что существует послэдоввтель-нооть решений с возраставшим числом горбов и впадин. Каждое решение определено в некотором интервала значений чпела Рг.Грашгпше значения этих интервалов для решений о двумя и более горбата соответствует предельным решениям.

Для проверки численных результатов Сию проведено их сравнение с аналитическими решениями, получетошт-я на основе известных асимптотических зависимостей, найдэятшх для задачи с полубзеконочной свободной поверхностью при 0-0. Перейти к задаче с коночной длиной свободной погерлюсти мспго путем геркалнгого

отражения части .потока со щитом относительно вертикальной прямой.проходящей через любую точку свободной поверхности, где ■'&(х)=0. Таким образом, перемещая вертикальную ось симметрии в разные точки xt с в(х{)=0, можно получить конфигурации с различным количеством волн на свободной поверхности. При этом, учитывая сдвиг фаз на -%/8, нетрудно найти дискретный ряд чисел Фруда, соответствующих разным п

Fr.

_L

n %(n-jj)

которые с точностью до 4-го знака совпадают с результатами решения нелинейной задачи.

При решении нелинейной задачи было также показано, что точки свободной поверхности для Fr>0 при увеличении числа волн (Fr->0) приближаются к отрезку прямой AB, но крутизна фронта волны в общем случае не убывает. В частности, существует последовательность решений типа волн Стокса. Для Fr<0 в пределе при Fr->0 свободная поверхность также превращается в отрезок горизонтальной прямой. Однако, при Fr<0 не возникает волн.

В §3 рассмотрено обтекание осесимметричных пузырей. Пусть один или два одинаковых .пузыря, расположенные друг за другом, обтекаются потоком идеальной несжимаемой жидкости. . Течение считается потенциальным и симметричным относительно некоторой плоскости, перпендикулярной оси (рис.1а). На бесконечности скорость равна vw и направлена вдоль оси симметрии. На поверхности пузырей выполняется условие Лапласа

+ П = • (17)

где Г-поверхностное натяжение, r-расстояние от точки поверхности до оси X, //Д=-с29/с2з-меридиональная кривизна поверхности, а -дуговая абсцисса, изменяющаяся вдоль поверхности , Рп и Р -давления внутри и снаружи пузыря.

В случав одного пузыря задачу можно решать на внешности единичного круга. Формулы преобразований при этом представляются в виде

Щ, W(U<+1 -fff .

га=о » m=o *

где a>c2mfJ,d2mJ -вещественные коэффициенты.

Для задачи обтекания двух пузырей в качестве канонической области на плоскости С выбирается кольцо Тогда

оо а .

m=í ia=i

Коэффициенты cm находятся из уравнения (17)."

Результата решения задачи для одного пузыря приведены на рис. 1а, б. На рис.1а слева показаны формы сечения пузыря при двух значениях коэффициента давления \i=1 и 0.6814 .Справа даны формы пузыря, полученные при решении плоской задачи для (i=í и \х=0.5463 .

На рис.16 приведены зависимости геометрических размеров пузыря от ц при постоянном объема пузыря 7 (постоянной плозади сечения для плоского).Параметры осест,матричного пузыря обозначены сплошной линией,плоского - пунктирной.Цифрой 1 обозначена зависимость продольного размера 1=\АЗ\/2 , 2 - поперечного полуразмера, 3 -длины образующей L в отношения к тс, 4 - числа Вебера

2?

При численном исследовании обтекания двух тел выяснено, что сила взаимодействия мэзкду ними не равна нулю. Однако, при обтекании пузырей выполняется уравнение Лапласа, откуда следует,что какдый пузырь должен находиться в равновесии. Противоречие устраняется, если мезду пузырями расположить диполь определенной интенсивности. Из сравнения решений плоской и осесимметричной задачи следует, что в осесимметричном случае взаимовлияние пузырей на их форму менее заметно,.

•В §4 проЕвдено исследование обтекания тел в трубе. Пусть форма меридионального сечения поверхности тела задается функцией •

r=f(3): , (19)

где г-расстояние от точки границы до оси, э-дуговая абсцисса,отсчитываемая от точки границы тела, находящейся на оси. Считая поверхность тала и трубы непроницаема, потребуем выполнения условия

<H(X,r)=conat иг, ■ ' (20)

здесь 3-фушсщш тока,номера 1,2 относятся,соответственно,к поверхности трубы (г=Л) и тела (r*f(a) ). Решение вспомогательной плоской задачи заклшеэтся з кснформнсп отображения области, соотвзтству-той тэчошда, на полукольцо* . Оо тон,что отрезки

действительной осп остаются отрезка;"! действительной ссл, а поверхности труби (кокоса) и теле переходят в скругггестн с радяусаил, ртсннка, соотвзтстглнко. единиц» и р. Тоглч связь Физической п пзрачэтричзскеД плоскостей можно зпдать в виде функции

со

т-Ч

о действительными коэффициентами <Зт, которые определяются по зависимости (19).С учетом требования нечетности слагаемых функции д?.не имеющих особенностей на оси,

Краевые условия (20) выполняются в N точках (в соответствии с" числом сохраняемых членов).. В-задача об обтекании пузыря, в. трубе, коэффициенты определяющие форму пузыря', находятся до

уравнению Лапласа (17).

Зависимости поперечного размера' пузыря 3=^ (I- длина образующей) от коэффициента давления р. приведены на рис.1в (кривые 1-6 отвечают ^=ш;/.75;7.6;7.5В5,-р; 1.5).

Проведенные расчеты показывают, что пузырь может существовать при -анф.«» только при ^ ^ При р существуют две ветви решений - одна при ц<0 (на рис,3.8 она не показана),другая - при |х>|/ф. При каждом значении возможны два решения. При

решение с меньшим й переходит в решение задачи об обтекании сферы (цилиндра).В решении с большим й в пределе при приходим к конфигурации^ которой граница пузыря в сечении состоит из двух дуг окружностей, имеющих общую точку, находящуюся на стенке трубы.

В главе 4 решен. ряд задач отрывного обтекания оболочек и твердых тел.

В §1 с помощью видоизмененного ' метода Леви-Чивиты были рассчитаны параметры течения й формы оболочки при различных длинах смоченной поверхности 1>с- Числешше исследования показали, что минимальное натяжантга ооолочки, а такие локалыю-экстромалыше значения других параметров, например, коэффициента сопротивления ах .достигаются при выполнении условия конечности кривизны свободной гршшцы струи в точке отрыва (условия Бриллуэна).

Было таюле ноказино, что качественные вывода, сделанные ранее ь §1 гл.2 но задаче о безотрывном обтекании оболочки, остается справедливыми и для данной задачи.

В §2 рассчитано кавитацпонное обтекание пластины с учетом поверхностного натяненкя. Пусть пластина длинен I обтекается потоком идеальной жидкости. Ь области замыкании кьворны рьг.лолагявтея другая симметричная ей пластина. На свободной

(22)

•поверхности AGB выполняется условие Лапласа '(8). Функция Жуковского ш представляется в виде суммы (9), где: г г ш

'Аьдф&Г, ■ ■

. С помощью функции О можно получить решенио с произвольной кривизной в точке схода струи с кромки пластины А. При отсутствии втого слагаемого в (Э) кривизна в точке А равна бесконечности, либо нулю. Численное исследование показало,что при заданных Ъс-(0,1) и числе кавитацииQs(- (0=-ц) решение задачи.неоднозначно, то есть существует счетное множество решений, которые отличаются числом полуволн на свободной поверхности. На рис.2а представлены формы каверны для Q=1 с несколькими полуволнами (номера кривых соответствуют числу полуволн, параметр Ь выбирается равным величине

b*=1/t/hq , рассчитанной для точного решения задачи при !Г=0). Видно,что при увеличении числа полуволн течение становится всюду однолистным, амплитуда колебаний свободной поверхности уменьшается.

Численное исследование показало, что кавитациогаюе течение по выбранной схеме возможно для дискретных значешй 'гасла Вэберэ

We=We (Q) (соответствующих b=b*=1/Sl+Q и различному числу полупоя! К), а также в некоторых диапазонах параметра Ь (п, соответственно, включающих значение Ъ=ь'. Граница диапазонов для каждого К обусловлены возникновением неоднолистности как ¡три увеличении, так и при уменьшегаш числа Ъ. Предельный переход 17е-«о осуществляется прй неограниченном увеличении числа полуволн на границе каверны, т.е. граница вырождается в овободнуп границу с капиллярными волнами бесконечно малой длины и амплитуда.

На рис.26 точками показаны дискретные значения G (1/Wq) и длины каверны d'(1/We), соответствующие полученным решениям при b=b*,Q=/.

Решение задачи при Т<0 существует в диапазона b*4ö<i, прячем граница каверны всюду выпукла в сторону потока.

В §3 рассмотрено осесимметричное кавиташгонноэ обтекшше сфери по схеме Рябушинского. При атом замыкатель каверны представляет собой в сечении дугу окружности, симметричную копитятсру. На свободных поверхностях BFG и AF'E в освсидаотркчпом течении, кпк и

в плоском, считается постоянной скорость жидкости v ,>v .

n (0

Функция Z(t ) строится а ПОМОЩЬЮ функции ЯуКОИНСОГО W-Ün-f'1,

где № - комплексный потенциал плоского течения. Для данной задачи мс2+р2 лр2с2+ 1)-(ирг)«, 2+1) ° 1 2 (1-рГ(С-1)

ю Гр—-я »

* 3 «^Г• (24)

Связь переменных выражается формулами

с- ^ [ута - . с,- 1 + ^ . .

Функция Т1 вспомогательной' плоской задачи выражается суммой

ю _

I «^Г' ' ^^

Ш=1

Функция тока осесимметричного течения, в соответствии с (6) и (7), ищется в виде

ф (х , г,-г* М*{> (хо, г, -г 1) ] -2а (V* 2*-га 1) +

2

н

х1

(г-г)Ог . . „2

ОТ '^о^ : , г ш +

У(г-г )(г~г )

* Ч»т <25)

Здесь г1 - координаты точки В, функция <\>(хо,г,г1) получается подстановкой (6) в (2), множитель ■ехр[1(%/2-9в)/2], &в~ угол

наклона касательной к границе в точке В, х1 - абсцисса точки О.

Результаты численного решения задачи представлены на рис. 2г, где сплозной линией, обозначеш кривые, соответствующие осесиммет-ричному течению,пунктиром- плоскому; Т^Х^Я -относительная длина смоченной поверхности сферы. Номерами 1-7 на рис.2г обозначены кривые, соответствующие различным числам кавитации: 1- Я=0.01, 20-0.5, 3- £?=/, 4- 0.-1.25, 5- <¿=2, 6- 5=3, 7- Я=4. Штрихпунктирной линией отмечены значения, имеющие место при выполнении условия Бриллуэна.Видно,что вти значения являются экстремальными на кривых. Из сравнения кривых следует, что длина и ширина каверны осесимметричного течения существенно меньше, чем плоского.

Исследования показывают, что при Тд->%/2 свободная поверхность сжимается в точку, так' что предельное течение представляет собой безотрывное обтекшшэ сферы (цилиндра). Пределыше значешш параметра с при 1в->тУ2 определяются по известному распределению скорости при безотрывном обтекании сферы и цилиндра сх= 0-0.125 для сферы, 3 - з для цилиндра.

Б гл^ве Б рассмотрен ряд задач,относящихся к теории аппаратов

на воздушной подушке (АВП).

Целью §1 является краткое описание характеристик АВП такил, как затраты мощности, остойчивость, ходовые и динамический характеристики и обоснование возможности расчета этих характеристик с помощью решения гидродинамических задач об истечении струй из сопел с жесткими и гибкими стенками вблизи экрана.

В §2 рассмотрено истечение жидкости из сопел различной конфигурации вблизи экрана. Решены следующие задачи.

1) Истечение из соплового устройства с изломом стенок. Геометрия стенок сопла характеризуется размерами: 1-ширина канала, ^-ширина минимального сечения сопла, Н-длина сужающегося участка сопла, 6л.8а и вд-углы, которые составляет вектор скорости жидкости с осью X в соответствующих точках. На свободных границах труп давления постоянны и равны Р1 и Р0.

2) Течения в ограждениях с навесными элементами. Для описания таких течений рассматривается следующая модель течения. Струя идеальной несжимаемой невесомой жидкости вытекает из области с давлением • Р* через щель в область с давлениями Р и Р,., соответственно, справа и слева от потока. Затем струя в точке Е ка сается стенки навесного элемента, течет вдоль нее до кромки В,и да лее образует струйную завесу, разделяя области с давлениями Раи Р..

3)Истечвние из щелевого сопла при наличии струи в ресиЕеро. Предполагалось, что воздух поступает в ресивер через некоторый канал и образует струю, направленную в сторону щелеЕсго сопла, которая может оказать существенное влияние на аэродинамические характеристики струйной завесы.

В §3 решена задача об отрывном обтекании гиокой оболочки вблизи экрана, имеющая место в АВП с гибкими ограждениями, работающим по камерной схеме. Решение этой задачи,как и при обтекании без граничным потоком, проводилось е .доизменешшм методом Леви-Чивити.

Были рассчитаны формы оболочки и параметры струи ео ьс.зм диапазоне давлений и зазоров, включая предельные режимы течения.

В §4 решена задача об определении формы гибких стенок сопла н характеристик истекающих из него струй при их взаимодействии. Рассмотрим истечение идеальной зддкости из канала, заканчиваю цегося гибюи ограждением, вблизи экрана. Оболочка закреплен« концами Ли В к вертикальным стенкам канала, а концы А и В связаны мекду собой тонксй нитью, не препятствующей движению потека.

Но участках границы,соответствующих гибкой оболочке.мнимая и действительная чести функции ш связаны условием Лапласа

(Ю Р1'о

71а"

т { (У"] на дуГе М> Ш- ДУге ВВ< (26)

Функция Жуковского ыа) ищется в виде суммы (1).

При решении задачи задаются геометрические размеры: длины оболочек 1гЪг, координаты точек закрепления 1,1, зазор 1г, ширина

сопла р. Поэтому должны выполнятВся следующие уравнения:

А' В' В'

ЛйгК^, Jdz-.I-.tl' ,

д с 8

1т ехр(~1&А)$(1г=р+10, (27)

А А

в(А)=В(В)-Ъ

Условия (26),заданные в конечном числе точек коллокаций, совместно с уравнениями (27) образуют замкнутую систему уравнений.

Расчеты показали, что отличие формы частей оболочки от дуг окружностей незначительно (порядка 1...3%) даже для размеров щели р, сравнимых с длинами Ь1 и £2.Параметры струйной завесы для сопла с гибкими стенками получены в виде зависимостей относительных величин: зазора /г'=?1/0 и расхода Я'=0/(№ ) от коэффициента расщепления струи К-Я^Ц ((^-расход в струе,текущей в область ВП). Согласно расчетам, при |3'=0.3 величина расхода уменьшается на 10.. .20%,зазора - на 20...303.

Таким образом,в данной главе -были рассмотрены различные гидродинамические задачи теории АВП,связанные с течением 'струй воздуха через элементы гибких ограждений.Наиболее важные результаты расчетов, полученные при численном исследовании задач,были представлены в удобном для практического использования виде - упрощенных аппроксимирующих зависимостей.Набор этих зависимостей использован для построения математической модели ЛВП,с помощью которой могут быть проведены проектные исследования реальных схем аппаратов.

§ главе 6 на основе методов и подходов, разработанных для решения гидродинамических задач, проведено численное исследование параметров электрохимической обработки (ЭХО) непрофялированшм электрод-инструментом (Эй).(Имеется в виду обработка типа электрохимического фрезерования, когда ЭК движется г ноль поверхности заготовки, о требуемая форма детали получается за счет изменения толщи-га снимаемого слоя, в основном, путем управления скоростью подачи.

В §1 проводится анализ видов задач, возникающих при расчете технологических процессов ЭХО и имеющихся методик их решения.

Скорость растворения материала заготовки, согласно закону

Фарадея, пропорциональна плотности тока, которая, в свою очередь, при однородных свойствах электролита в межэлектродном пространстве (МЗП) пропорциональна напряженности электрического поля. Такт» образом, задачи ЭХО при допущениях об идеальности процесса сводится к нахождению аналитической функции комплексного потенциала IV с заданной действительной частью на участках, соответствующих границам проводников, и мнимой частью на изолированных границах.

Плоские и осесимметричные задачи такого вида с криволинейными границами можно эффективно решать разработанными численно-аналитическими методами.

В §2 с помощью видоизмененного метода Леви- Чивиты исследован ряд плоских задач ЭХО (преимущественно круглыми ЭИ), имеющих важное практическое значение. Решены следующие задачи.

1) Формообразование проволочным ЭИ.

Расматривается плоская задача ЭХО,в которой катод С (точечный источник тока) движется паралельно оси X на растсяшш Н от нее из бесконечности с постоянной скоростью ^..Предполагается, что анод «В до начала обработки представляет собой плоскость. При этих допущениях- форма анода является стационарной. Условие стационарности границы анода ЛВ запишется в виде (Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казан, ун-т. 1984):

сйУ йг

-к в1п0

К

где 6 - угол наклона к оси X касательной к поверхности анода.

Форма стационарной поверхности получена в аналитическом ы№:

г АН ^ 'ку А/г

- 7г * — --— 1п

1 ? ] № Й

М А?1

1 + оЬб-— т — 1п2 . Ы\ 1С

где 1г - расстояние от источшша до поверхности заготовки, ¡V. толщина снятого слоя.

2) охзрмооСразование стержневым ЭИ.

Рассматривается плоская задача об определении напряженно.; г., электрического поля и формы стационарной поверхности при дьикськи ЗИ, представляющего 'собой стержень с сечением круглой форм», пвраллэлыю поверхности анода, которая в исходном (ноодрабэгшнеи) состогшш считается плоскостью. решение зудэти э»-кль>,»ава ся i. опроделетгл фушнпгл Чуковского п виде суммн (1) ы = Ип~. = = ш

" ^ 'о '

где £ - ",одуль ьвпряжетеюстп в некоторой (калибровочнс-й) кчке,» угол ;-.е-и;у векгерем шшряЕеньости л осью .Т,и (О сЧ;1ь 'К'Нкния ксвского для еадв'га 3X0 точечном (проволочгадл) католо:л,и (г ¡- {«,.,.

1првна с комплексными коэффициентами:

2 ™ 0)о(С-tln(a-ia-D). шо(С)- J СпСт (29)

ITt-—со

Связь параметров h,&h,r и {Г можно представить в виде

зависимости отношения ti-(h+t\W2 )/г от безразмерной величины-{)-?т1'оК/(\'г&П) при различных Lh/r. В пределе- при Ш/г - О

справедлива зависимость S=ohß. Было показано, что зависимости о bh/r<1 близки к предельной, в особенности, при h>r.

3) Формообразование стержневым ЭИ с изолированной державкой. Отличие данной задачи от предыдущей проявляется при малых Я. В

этом случае «происходит соприкосновение поверхности анода и изолированной пластины.

4) Обработка пластинчатыми ЭИ с полукруглым рабочим торцем. При этом толщина пластины (державка) равна 2г. Выло проведено

усовершенствование алгоритма расчета. В результате -при решении задачи условие (28) выполняется точно,а форма торцевой части ЭИ определяется подбором коэффициентов. ■ Решение задачи ищется в виде

где Р(С) - аналитическая функция,имеющая на участках граница A3,А'С и B'D действительные значения.

Численные исследования показали, что длина дуги рабочей части ЭИ является одним из наиболее существенных 'факторов.влияющих на характеристики. Однако, кроме длины рабочей поверхности ЭИ при больших зазорах S на характеристика влияет форма рабочей части ЭИ.

В §3 решены осесиккэтричные задачи ЭХО начальной электрохимической обработка электродам! различной формы (в основном с рабочей частью в виде сегмента сферы) плоской поверхности детали. Поверхность тела таккэ считается эквипотенциальной ),а контур сечения представляется гладкой кривой. В этом . случае можно расположив за плоскостью тело, с потенциалом поверхности равным -ф , сшалэтрпчноэ'данному (рис. 2о ).

В качэствэ области изменения параметрического поремзпного С удобно выбрать кольцо Тогда функцию Гг'(С) можно искать в

вида cyt/ет:

со

. n(U*Bo(Ü+nti(V= -lnC+ l ca(C-Ca) . (3!)

rt=i

гг

где коэффициенты ст определяются из условий эквипотенциальнойш границ в осесимметричной задаче. Функция, отоораиаюцая плоскость С на физическую, ищется в виде

оо

т= 1

На рис.2д результаты решения представлены в виде зависимости

В (г),где Е=Ех/Ео,г=г/а. Здесь ^-напряженность от точечного источника, расположенного на расстоянии а от плоскости. Кривая 2 соответствует ^ -0.5,кривая 3 - 0.1), кривая 1- функции Ё-< Пг2)~э/е

кривая 4 -зависимости I-(1 + 1 .Бг2)'1.

Результаты решения .задачи для двух эллипсоидов вращения с отношением горизонтальной и вертикальной полуосей равным 0.5 (кривая 5) и 2 (кривая 6) такке представлены на рис,2д.

В §3 рассмотрена также задача об обработке Э1Д, у которого рабочей (эквипотенциальной) является только часть поверхности-/!.?' (рис.2е). Другая часть поверхности ЭИ изолирована,на ней функция тока Ф постоянна и равна своему значению на частях оси х>х и х<хв. Функция 2(С) определяется по формула (32),а функция тока ищется в виде суммы

®(xo,r)-®Jxo,r)_+$í(xo,r)=la^yty(xo,r,S^RttR)-v"ф(xa,r,S^-R-iR)-

-у'Щх ,г,-3-В.+ т)+Щ(х ,r,-S-R-lR)] + Ш, (2 2,

о .1 Л и* А., * I

где I'/ определяется в соответствии с (31), у--|г>|е' ^(хо,г,г1) берется в виде

<К хо, г, г 1) =г 1 +-/(г 1 -го) (г 1 -г*)- х1 ~/(х1 -хо )г+гг

В отличив от поля, создаваемого проводящими сферами, в данном случае максимальное значение Ё(Г) при относительном зазоре заметно меньше единицы (рис.2д). При уменьшении § напряженности на детали от полусферы и сферы совпадают.

В главе 7 применяется метод возмущений и разрабатываются принципы линейного приближения в задачах ЭХО непрофзлированшм ЭИ.

В §1 решена задача о расчете изменения формы детали, обусловленной малой неровностью электрода-инструмента при пряма,, копировшши.Пусть форма сечения выемки задается некоторой функцией:

О ,\х\Ш ,

А у (х)-- (;:•;;'.

" {/(х), |.т| <Я ,

- гз -

где й=Я/й ,8-воличина зазора,Л-ширина выемки,х.у-Оезразмерше (в отношешш к Б) координаты..

Если величина |/(х.)|«? ,то задача может быть решена методом

возмущений.Решение плоской задачи при малых Й получается в виде зависимости

К

у(х)=----в

где F -площадь сечения выемки.Используя интегральные преобразования (2), получил решение аналогичной ооеоимметричной задачи

У(г)

= vn f ch¥ я*

В случае больших Tí форма неровности задается функцией v(x,z) на произвольной области определения G.Возмущения, вызвашше наличием этой неровности, мокно считать наложением микровозмущений от неровностей с объемами v(x,z)da, находящихся в точке (x,z) (cîo-эломентарная площадка). Тогда форма возмущенной поверхности получается интегрированием

05

y(X,S)* ¡ljv(XotZJdXodZo¡^.-^,r^fX-Xo;£HZ-Zo)2 (34) G ^ r 1Г YÇ -r

В §2 для расчета фор,*л- следа при движении ЭИ вдоль детали предлагается способ, основанный на использования результатов решения нелинейной задачи с нэдефорюфовашшм;: грашщами (задачи о начальном электрохимическом формообразовании). Это ■ упрощение, основывается на том факте, что в реальных- процессах величина съема металла весьма мала по сравнению с размерами ЭИ. Возможность обычного суммирования влияния нескольких полокений ЭИ на величину съема материала дэтала в данном месте позволяет назвать этот способ лшойшм приближением расчэта форма следа. О помощью этого способа решаются как плоские, так и пространственные задачи.

Форму обработанной поверхности анода при дакании инструмента вдоль оси X можно определить в соответствии с законом Фарадея

ds(х,у-у)=~ЩЕ(х-хо,у-уо)d%=- §-т]Щх-хо,у yc)âxo , (35)

к

где т-врэмя,У -скорость двикэяия инструмента ,£(х-хо)-ияпряг.:зн-ность шля в точке с абсциссой х от электрода, находящегося в точке (х м), К -электрохимическая постоянная, т)~шход по току. Подставляя рассчитанные значения напряженности Е(х,у) в (35) и

интегрируя, считая,' что вид зависимости Е(х,у) не меняется, получим форму следа.

Проведенные оцешга позволяют сделать еыеод о том, что при положительной величине зазора между ЭИ и исходной поверхностью заготовки (S20) погрешность, вызванная линейным приОлижешгем, не превышает 2-2.Ь% во всем диапазоне значений Дh/r .

Решение пространстве1шых и нестационарных задач ЭХО с помощью линейного приближения проведено в §3.

Форма выемки при движении ЭИ со скоростью Ук вдоль поверхности детали при переметом выходе по току т]( J )■■=!]( яЕ) получался интегрированием (35).

Электрохикичесхое построчное фрезерование непрофилированным ЗН осуществляется путем дзипеня ЭИ по некоторой траектории произвольного вида. При решении' прямой задачи ЭХО заданными являются значения z(xx,yx) в точках траектории (xl,yl), l=TJi , а искомыми -значения скоростей У t в тех точках. В этом случае с помошьк. (35) формируется и решается система лпнэЛшх алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров i/1/,t.

Для оценки влияния неравномерности скорости подачи У на форму обрабатываемой поверхности в §3 решена нестационарная задача. Пуеп разложение функции Í/V = ?/>'Ко+ Ц1/Ун) в ряд Фурье имеет вид

(1 —i

1т в1гАа:

К Я=1

Тогда, как найдено в §3, погрешность форды выражается формулой

a:h(xJ = - AVKo I Ш в1шг ^

n-i 1-е ooecúx

Результаты донной главы явились основой .¡утя разработки

алгоритмов создания управляющих программ для электрохимических стеков с числсьым программным у-равлением.

в

д \ s \ X V Ч / ■ S \ ** л

N4 \> г ^ V

Ь)

Рис. 1

Рис Л

-27-

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Гуревич И.Л., Китнюсов В.П. Обтекание весомой оболочки плоским потоком// Тр. семи». по краевым задачам. - Казань: Казанск. ун-т. - 1991. - Вып. 26. - С.109-114.

2. Житников В.П. К численному методу решения смешанной краевой задачи для ограниченных функций// Динамика сплошной среды со свободными поверхностями.- Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1930. - С. 61-69.

3. Житников В.П, Численные методы решения задач обтекания гибких оболочек// Динамика сплошной среды с границами раздела. - Чебоксары: Чуваш, ун-т. - 1982. - 0. 76-87.

4. Еитников В.П. Видоизменение метода Леви-Чивиты для численного исследования осесимметричных потенциальных течений// Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. - Чебоксары:Чуваш. ун-т. - 1987. - С. 48-56.

б. Житников В.П. О различных решениях задачи о безотравном об-текатш упругой оболочки// Динамика механических систем. - Томск: Томск, ун-т. - 1987. - С. 67-62.

6. Житников В.П. О капиллярных волнах' на ограниченном участке поверхности жидкости// Гидродинамика больших скоростей. -Чебоксары: Чуваш, ун-т. - 1990 -. - С. 24-31.

7. Яитников В.П. Численно-аналитический метод решения плоских и осесимметричных задач теории потенциала// Принятие решений в условиях неопределенности. - Уфа: УАЙ. - 19Э0. •- 0. 12-16.

8. Китников В.П. Истечение плоской струи жидкости из резервуара с гибкими стенками вблизи экрана// Прикл. матем. и мех. - 1990.

- Т.54. - Вып.1. - С. 34-39.

9. Житников В.П. Применение линейного приближения в задачах расчета формы следа при электрохимической обработке иепрофилирован-ным электрод-инструментом// Технология авиац. приборо и агрегато-строения: Научно-произв. сб. - Саратов: Научн. кссл. технол. ин-т.

- 1991. - JÎ3. - С. 66-71.

10. Еитников В.П., Терентьев А.Г. Струйное обтекание гибкой оболочки потоком идеальной жидкости// Изв. АН СССР. К2КГ. - 1982. -

- ÄS. - С. 43-48.

11. Кнтншов В.П., Терентьев А.Г. Безотрывное обтекание гибкой оболочки// Изв. АН СССР. IST. - 1934. - m - С. 15-20.

12. Житников В.П., Терентьев А.Г. Нелинейная задача о кавитационном обтекашш пластины с учетом поверхностного натяжения// Гидродинамика ограниченных потоков. - Чебоксары: Чуваш.

ун-т. -1938. - С. 51-58.

13. Житников В.П., Терентьев А.Г. Симметричное обтекание двух оболочек// Проектирование и расчет пнеЕмоконструкций. - Владивосток: ДВБКМУ. - 1991.- С. 41-44.

14. Житников В.П., Зайцев А.И. Исследование формообразования при электрохимической обработке о помощью стержневого катода-инструмента// Электрохимические и электрофизические методи обработки материалов в авиастроении. - Казань: КАИ. - 1990. - С. 31-36.

15. Житников В.П., Зайцев Л.И., Краснобабцеп Г.П. Исследовании стационарного электрохимического формообразования проволочным като дом// Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. - Уфо: УАИ. - 1986. - С. 49-55.

1В. Житников В.П., Зайцев А.Н., Фпйфор Н.Л. Алгоритм параметрического синтеза операций последовательно-строчной ЭХО ¡»профилированными электрод-инструментами с полусферической рабочей частью// Электронная обработка материалов. - Кишинев: Штиинца. -1991. - С. 14-1?.

17. Житников В.П., Файфер Н.Л. Исследование электрохимической обработки криволинейных поверхностей с помощью линейной модели/Оптимизация технологических .процессов по критериям прочности. - Уфа: УАИ. - 1939. - С. 171-177.

18. /¡Ситников В.П., Файфер Н.Л. Решение плоской краевой задачи о стационарном электрохимическом формообразовании стерздевш электрод-инструментом// Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Чуеэл. ун-т. - 1969. - С. 45-53.

19. Зйиииков В.П., Файфер Н.Л. Влияние кривизны поверхности детали на распределение напряженности электрического поля при построчной электрохимической обработке// Изв. ВУЗов. Машиностроение. -1990. - Л 9. С. 127-131.

20. Н'лтников В.П., Koi.it ров G.G. Истечение из гибкого ограждения с нпЕ-есв'ш элементом// Динамика сплошной среда с нестационарными границы,«. - Чебокссри: Чув&ш. ун-т. - 1534. - С. 59 t'S.

21. Зйгавасов В.П.. Номеров С.С. Обтоканно гвоксК г,белочки nj.« нагатил учестксв' сокгкосповвкня// Взоикодейстг-из ни с грчн-.ч^лл раздела сплс:гнсй средг• -Чебсксега: Ч/вм. ун-т. -- 1Т|£5. - C.5Ö-G5.

22. Ситников П.П., Ксшзрсв с.е., Иеааенэва Н.Ю. Нссллдозшше сбтг1::;ы;л гпСксй оболочка г-близи экране// Ксотясвигал по судоьы иягкш Ii конструктам. - Вл^«:ш.">стск: Дш&ис-всст. эдее. ::ir-. морск. уч-що. - 19S2. - 0. I02-103.

23. лшгакрр В.Н., Itewem-Ba Н.Ю. К задаче г.б'ккс-кип тлл..-.

- -

оболочки вблизи экрана// Сообщения ДВВИМУ по судовым мягким оболочкам. - Владивосток: Дальневост. высш. инзк. морск. уч-ще, - 1980. -

- 0. 102-126.

24. Зайцев А.Н.. Житников В.П. Автоматическая подготовка управ- ляющих программ для электрохимических станков с ЧПУ// Оптимизация технологических процессов по критериям прочности. -Уфа: УАИ. - 1988. - С. 105-114.

25. Зайцев А.Н./Житников В.П. Моделирование процесса электрохимической размерной обработки непрофилированными трубчатыми ЭИ// Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов. - Тула: ТПЙ. - 1989. - С. 12-19.

26. Зайцев А.Н., Житников В.П. Расчет параметров защиты от ко-ротгаис замыканий на станках для электрохимической обработки вибрирующим электрод-инструментом// Электронная обработка материалов. -Кишинев: Штшшца. - 1990. - ЯЗ. - С. 13-19.

27. Зайцев А.Н., Житников В.П., Левинтович Л.В. Математическое моделирование процессов ЭХО скульптурных поверхностей в системах автоматизированного програшрования станков с ЧПУ// Электрохим. и электрсфиз. методы обработки материалов. - 'Тула: ТПИ. - 1987. - С. 61-59.

28. Зайцев А.Н., Житников В.П., Левинтович Л.В. К вопросу создания систем автоматизированного _ программирования для многокоорди-натшх электрохимических станков с ЧПУ// Оптимизация- технологических процессов по критериям прочности. - Уфа: УАИ. - 1987. - С. 113-122.

29. Зайцев А.Н., Житников В.П.,Файфер Н.Л. К вопросу о расчете параметров влектрохимического формообразования слокнофасонных деталей непрофщщрованными электрод-инструментами// Электронная обработка материалов. - Кишинев: Штиинца. - 1989. - JS. - 0. 3-G.

30. Комаров O.G., Житников В.П., Житникоеэ ШИ. Истечение щд-кости через дроссель сопло-заслонка// Вопр. теория и расчета рабочих процессов тепл. двигат. - Уфа: УАИ. - 1935. - Я9. - 0. 120-127.

31. Комаров С.С., Китникова Н.И;, Житников В.П. Об истечении из соплового устройства с изломом стенок вблизи экрана// Вопр. теории и расчета раб. процессов тепл. двигат. - Уфа: УАИ. - 1S84. -Вып.8. - С. 148-163.

32. Терентьев А.Г., Житников В.П. Обтекание гибкой оболочки с фиксированной точкой отрыва// Совершенствование конструкций,изготавливаемых с применением мягких оболочек. - Владивосток: ДВВИМУ. -

- 1S86. - 0. 24-3).

33. Гуревич И.Л., Житников В.П. О безотрывном обтекании гибкий тяжелой оболочки// Динамические задачи механики сплошной среды: Сб. тез. докл. регион, конф. Часть 2. - Краснодар: Кубанск. ун-т. -1986. - С. 191-192.

34. Житников В.П. Плоские и осесимметричные течения капиллярной жидкости// VII Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. мех.:Сб.тез.докл.- М.: Iffy. - 1991. - 155 с.

35. Житников В.П., Комаров С.С. Некоторые задачи гидродинамики аппаратов на воздушной подушке'// V съезд но теор. и прикл. мох.// Сб. тез. докл. - Алма-Ата: Казах, ун-т. - 1981. - С. 153.

35. Житников В.П., Комаров С.С., Цвиленева Н.Ю. Истечение ¡падкости из сопловых устройств с гибкими стенками вблизи экрана// VII дальневосточная конференция по мягким оболочкам: Тез. докл.- Владивосток: Дальневост. еысш. инж. морск. уч-ще. - 1983. - С. 91-94.

■ 37. Китншсов В.П. Решение задачи о безотрывном обтекании упругой оболочки// Динамика мох. систем: Сб. тез. докл. всос. школы -сем. -Томск. -1986. -С. 23.

38. Еитяшюв В.П., Зайцев А.Н., Файфер Н.Л. Расчет параметров процесса 3X0 непрофнлировЕшшми стержневыми ЭЙ// Теория и практика ЭХО в машиностроении: Сб. тез. докл. ре сп. конф. -if аз ань. -1983. - С. 33- 34.

39. Фиников В.П., Зайцев А.Н... íeíiiep Н.Л. Уточнение математической модели 3X0 нрпрофгшгровашшмл ЗИ// Эдектрошятскал ыютвя обработка готаллов: Сб. теп. докл. 1-й всзс. ко>'|).-Кбанонс;. -1988.-С. 111.

40. Шишков В.П., Слйфор Н.Л., Исаев В.К. 3X0 стор:.-:наБЬ»л ЭП со сфдраческкм торцом// Гябкиа производственные системы ь эдзитротехподогаи: Сб. тез. докл. ьсес. кснф.-"Ьа. -1988.-0. 88-89.

41 . "Китншсов В.П. Ч^слзпно--аналитический метод решения плоских и ооеси' гозтрогншх задач определения потенциала// Тгорзтнческлш оспой!! п кокструирокрюта численных алгоритмов рс-ае>нин задал »:ате:.'з?||Чоской фчскки : Сб. тез. докл. 'ill всзо. с*м. -Кг-гвроео. -I:-ü8.-C. -!

Л2. "/'iTH'.iKOB D.Ü., Epo'O'íTeí-M Е.П. О -fopv.s.j сболочт// чуьчцио-налыго -'фэрсчг'ислы-ип псг-лекти и ■ np:i;:ox:r!i:i: i'". кжл.

IY-:': Уральск. рег.осч. когЛ).f.a. -1Г0Л-С. !3.

:3. Г'отооксч г..'Л. оеес ОЛСЕ-ЦО- ПОС-ОЮ1:; И GC-OO:: o;[:iir;¡., кг.пил"™'i'J"'?;o-:V''/ rí'/i^.-Oii'^'orcr! С'-.11;.:" . : tM, if,;. дс;:;л. IY о-уч. то'г:, 'Мгоссслг;:, -IíOO. •'!. 13-13. - ..... ^

- Л i -

¡'¡шпгк.ов Владимир Павлович

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЛЕВИ-ЧИВИТЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТгаЧШХ ТЕЧЕНИИ О НЕЛИПЕ ИНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА НЕИЗВЕСТНЫХ

ГРАНИЦАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 09.02.93 Формат 60X84 1/16

Бумага оберточная. Начать плоская. ' Усл. печ. л. 2,0

Усл.кр.-отт. 1,8 Уч.-изд. л. 1,8 Тираж 100 экз.

Заказ Í60 Бесплатно.

УФИМСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАШОШШй ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Уфимская типография Jé2 460000, Уфа-центр, К.Маркса, 12