Обобщение метода якобиевых матриц в теории твердого тела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ5 ОД

"11а правах рукописи

- 1 Ы1Р й-э

Красовсхий Игорь Витальевич

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЯКОБИЕВЫХ МАТРИЦ В ТЕОРИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.04.02 - "Теоретическая физика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков - 1996

Диссертация является рукописью.

Робота выполнена в Харьковском госуниверситете.

Научный руководитель: доктор физ. -мат. наук, профессор В.И.Пересада

Официальные оппоненты: доктор физ. -ыат. наук, профессор В.В.Ульянов

доктор физ. -мат. наук А.А.Звягин Ведущая организация: Национальный научный центр ХФТИ

iü

" В » 4 1996 г. в /6

Защита состоится -> " _I_ 1996 г. в / и часов на

заседании Специализированного совета Д 02.35.02 при Фи-зико-техннчесхом институте низких температур им. Б.И.Всркина HAH Украини ( 310164, г.Харьков - 164, пр. Ленина, 47 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температур им. Б.Н.Веркина HAH Украины.

Автореферат разослан " "Г " марта 1996 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, с подписью, заверенной Гербовой печатью, просим направлять по адресу: 310164, г.Харьков - 164, пр. Ленина, 47, ФТИНТ HAH Украины, ученому секретарю Специализированного совета Д 02.35.02

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ. -мат. наук

А.С.Ковалев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и степень ее исследования. В настоящее время наблюдается контраст между высоким уровнем развития теории ортогональных многочленов и слабым применением этой теории в физике. В диссертации показано, что использование некоторых моментов этой теории приводит к упрощению решения ряда важных задач физики твердого тела. Важный шаг в исследовании этой тематики был сделан 25 лет назад В.И.Пересадой [1-6] с разработкой метода якобиевых матриц или рекурсивного метода [7]. Метод сразу же нашел многие применения как в физике твердого тела, так и в других областях науки [8]. Дальнейший прогресс в методологическом плане был ограничен исследованиями асимптотического поведения элементов якобиевых матриц (т.е. бесконечномерных матриц вида Ь = (£,,), = 2/,;, где = 0, если |* - ¿| > 1) [9].

Основные задачи исследования. Основной целью работы является обобщение метода якобиевых матриц на блочно-трехдиаго-нальпые, что позволит точно решить некоторые задачи о лилейной цепочке со взаимодействием нескольких "сфер" ближайших соседей а также некоторые двух- и трехмерные задачи. В ходе работы выясняется, что мы можем привести решения ряда задач, в которых гамильтониан есть функция от якобиевых матриц с добавкой конечномерного возмущения. В этом смысле предлагаемый в диссертации подход развивает теорию возмущений в случае, когда возмущение не обязательно мало.

Методы исследований. Исследования опираются на теорию трех- и блочно-трехдиагональных матриц, и теорию ортогональных многочленов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней разработано и использовано при решении конкретных задач новое обобщение метода якобиевых матриц.

Впервые метод якобиевых матриц применен для численного решения задачи о двухмагнонных связанных состояниях ферромагнетика Гайзенберга.

Впервые доказано утверждение об отсутствии связанных двухмагнонных состояний с энергиями выше зоны непрерывного

спектра для широкого класса гамильтонианов Гайэенберга, описывающих простую ферромагнитную решетку.

Основные положения, которые выносятся на защиту:

1. Метод, позволяющий точно находить величины Бр {/(Н + Ш] —/(/?)} (в частности в этом виде представляются изменения термодинамических функций, обусловленные возмущением И^) п спектры гамильтонианов Н в случае, когда Н п Н + 1ЯГ — (2га + 1)-диагональные матрицы, представимые в виде Тп{Ь) + V, где Ь — якобиева матрица с известной спектральной плотностью, Тп(х) — полином степени п, а V — конечномерная матрица. Полученный метод также обобщен на случай, когда оператор Тп(Ь) заменен более общей функцией якобиевых матриц.

2. Применение указанного в предыдущем пункте метода к исследованию спиновых систем, которые описываются гамильтонианом Гайэенберга. Рассмотрены следующие две задачи:

© Дела ферромагнитная решетка с точечным спиновым дефектом. Задача состоит в том, чтобы найти: а) обусловленные дефектом изменения термодинамических фуикции в приближении невзаимодействующих магно-ноз; б) дискретные уровни энергии в пространстве од-номагнонпых состоянии.

Решение этой задачи выполнено в случаях лилейной цепочки сшшов со взаимодействием между ближайшими и следующими за ближайшими соседями, простой кубической решетки со взаимодействием ближайших соседей, а также в случае линейной цепочки с бесконечным радиусом взаимодействия мегкду спинами, в Вторая задача состоит в нахождении энергии связанных двухмагнонных состояний идеального ферромагнитного кристалла.

Решение этой задачи дано в случае линейной цепочки со взаимодействием между ближайшими и следующими за ближайшими соседями.

3. Численное рассмотрение задачи (методой якобиевых матриц) о нахождении энергий связанных двухмагнонных состояний Ю, 2О и 31? ферромагнетиков (или аяти-ферро(ферри)магнетиков в сильном магнитном поле), описываемых моделью Гайэенберга со взаимодействием ближайших соседей. Рассмотрены случаи: а) простой решетки одинаковых спинов; б) кристалла из двух простых подрешеток двух различных спинов. Сходимость результатов численной процедуры к энергиям оптически активных связанных состояний. в системах б) оказывается особенно быстрой.

4. Теорема об отсутствии связанных двухмагнонных состояний с энергиями выше зоны непрерывного спектра одноосно-аниэотрогпгого гамильтониана Гайзенберга, который описывает простую ферромагнитную решетку, при условии что каждый атом взаимодействует с несколькими (т) сферами ближайших соседей и /¿а,- > 0, » = 1,...,т, где и сщ — соответственно постоянные обмена и анизотропии для »-й сферы соседей. В частном случае а,- = 0, * = 1 , ...,т связанные двухмагнонные состояния отсутствуют вообще.

Теоретическая значимость работы состоит в дальнейшей развитии приложений теории ортогональных многочленов к физическим задачам и развитии теории возмущений в случае произвольных конечномерных возмущений. В работе даны новые строгие доказательства некоторых формул метода якобиевых матриц, в частности, важной формулы для функций сдвига. Практически, предлагаемый метод позволяет упростить точное решение ряда важных задач современной физики твердого тела и дать более общую, чем в обычном методе якобиевых матриц, процедуру приближенного решения более широкого класса задач.

Личный вклад соискателя. Автор диссертации предложил и разработал обобщение известного метода якобиевых матриц н применил это обобщение к решению задач о ферромагнетике Гайзенберга с точечным спиновым дефектом и о двухмагнонных связанных состояниях идеальной ферромагнитной решетки. Также автором диссертации с помощью метода якобиевых матриц

прозеден чксзсвный расчет энергий двужмагаогшых св-ез&еных состояний ферромагнетика зз доказана теореиа с5 отсутствия тшшх состояний с' эн-грхтнши выше зона непрерызного спеетра для шарового класса гаштьтогшаиоз Гайззнберга.

Ащзобання .рабсил. Результаты работы докладывались па "Мегздунгродоой конференции по магаеттиу" (Варшава, август 1S94), "Ме^здукароднол школе но, иагаетнзыу" (Харьков, сентябрь 1994) конференции "Физические явления в твердых тел as" (Харьков, февраль 1995), сехшнарах в Фпзжсотехшга&скои институте таких температур вы. Б.И.Верыша НАН Украшш.

Структура н объеп диссертации. Диссертация состоит ш Вве-Д82212, i-pez. глаз, Заключений п слисш цптпруеиой литературы. Она содергшт 111 стралзщ текста, включая библиографию из 53 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дала краткая характеристика предлагаемого метода, приведены примеры задач, которые этим методом решаются, указана близкая по тематике литература.

В адовой гдгде с поиопц.» обычного метода якобпевых матриц рассматривается задача о приближением вычислении характеристик двухмагаонного спектра ферромагнетиков Гайзенберга на примере расчета анергий связанных двухыагнонных состояний. Ташке в этой главе доказывается теорезма об отсутствии таких состояний над зоной непрерывного спектра дал пигрогсого класса ГЕ&пзльтоныаяов Гайзевберга, описывающих простую ферроы&г-шгхную. решетку.

Во второй главе развивается обобщение метода якобиевых матриц.

Ряд задач для линейной цепочки частиц со взаимодействиями хаахдой частицы с несколькими (я) "сферами" соседей могут быть сфорыулпровашл следующим образом: известна матрица Н гамильтониана, которая имеет (2п 4-1)-диагопальпый вид (// =

(Н]ь), где Н]к = 0 если — > га), и чьи строки одшгаковы (т.е. Нц = ао; Ни+1 = = 01} ...; = Я^_я — ая),

начиная с г'й строки. Задача состоит в нахождении спектра матрицы II и изменений термодинамических функций (вызванных конечномерным возмущением \¥, таким что матрица Н + Ш остается (2т» + 1)-диагональной). Два важнейших обстоятельства, которые дают возможность получить нижеследующее общее решение этой задачи, состоят в том, что:

1. Как нетрудно проиерить, матрица Н представила в ппдв II = Тп(Ь) -Ь V. Здесь Ь — якобиева матрица с одинаггозьши глемептзмп па каждой кз дпги-окалей {Ьц — а, = Ь, 2 — 0,1,...). Токая натр яда связала с шгогочлспэгзх Чебышева, она имеет только непрерывный спектр, п ее спектральная плотность известна. Тп(х) — пачлпом степени п. Матрица V конечиомерна.

2. Матрица Я имеет блочно-трехдпагопальную структуру с блоками п X п, т.е.

/ Яда Hoi О ч

Я10 Ни Н12 ~ Ни Нгг Я23 '

\ о '•• •••/ '

где блоки Нгк — п X п матрицы.

В диссертации рассмотрен общий случай, когда Ь — некоторая якобиева матрица со спектральной плотностью р(р). Пусть Я = Тп{Ь) + V (Ягу = 0, если \г - э\ > п) — матрица самосопряженного оператора в ортонормированием базисе {<?«}^о гильбертова пространства, Тп(х) — полином степени п, а V — ((2га + 1)-диагональный) оператор, такой что Уе,- = 0, если г > г. Предположим, что матричные элементы Я^ и коэффициенты полинома Тп{х) вещественные.

Для дальнейшего понадобятся матричные полиномы 1-го н 2-го рода — Р/1 (г) и соответственно, связанные с блочно-

трехдиагональной матрицей А (размерность каждого ее блока — т X тп), которые, как известно, определены формулами:

Р0А = Г\

= ~ + Ац-гР^У, » = 1,2,...

где Агь — блоки матрицы А (причем блоки А;¿+1, i = 0,1,... невырождены), а I — единичная т Хтп матрица.

В диссертации установлено, что для построения решения сформулированной выше задачи важное значение имеет следующий определитель:

[./.].-! ( ( ?£(*) \\ + Г р"{г)

с—О к=0

*n+kj

Rir

lm=0 )

n—1

PMPH»)

oo ТьМ-Z

Pit*)*1/*,

где R(z) = (Tn(L) — zl)~l, a V умножается на вектор, составленный из матричных полиномов P{B(z), по обычным правилам вычисления произведения матриц.

Как показано в диссертации, дискретный спектр {ejdiic} оператора Я находится из условия Д(е) = 0.

Обусловленные оператором V изменения термодинамических функций вычисляются по формуле Лифишца [10]:

SP {f(Tn(L) + V)-j(T*{L))} =

= Г + £№dbc) - /(Abound)),

J oo

где sj bound — ближайшая к с; disc граница спектра оператора Tn(L) (для определенности здесь предполагается, что спектр

оператора Tn{L) состоит из одного интервала) и в нашем случае, как показано в диссертации,

¿(х) = -limarg Д(® + iy), IT »10

( = 0 вне спектра оператора Tn(L).

Иногда в таких задачах как, например, о нахождении рамановского спектра, важно знать спектральные функции ("локальные" плотности состояний), т.е.

(dExCj,ei)

dA '

гяз Е_\ — разложение единицы оператора Н. В тершшах метода для ттах получается следующее выражение:

т,1

где

Рт1(х) = -ЭИтД,„1(з: +1у), 0 < т,1 < п - I,

1Г 1/10

и матричные элементы резольвенты щз) = (Н — г1)~х определяются следующим образом:

ßmlOO = д^у Е

<№) \\

{e^W^+^W}"

где А]тп(г) — алгебраическое дополнение элемента матрицы, от которой берется определитель Д(г). Суммирование по индексам 1,3, к ограничено п слагаемыми.

Во второй главе также получено обобщение всех приведенных выше результатов на случай, когда полином Тга(х) заменяется интегрируемой функцией д(гх,..., г^). Это, в частности, позволяет

рассматривать двух- и трехмерные задачи в рамках разработанного метода, так как некоторые из соответствующих ггишяьтохшс.-нов могут быть представлены в виде Н = Но + V, где возкущенпе V конечномерно, а Но — функция от нескольких якобпегзых матриц. Например, пространство одномагнопных возбузздеяпй ферромагнетиков Гайзенберга с точечным спиновым дефектом раскладывается в ортогональную сумму подпространств, в которых

© дня (двумерной) квадратной решетки со взаимодействиями мемсду блнясайпшми п следующими за ближайшими соседями Н = + 1®Тг(Ь2) + V, о для (трехмерной) простой кубической решетки со взаимодействиями между ближайшими соседями Н = Ь\®1®1 + + 1®1®Ь$ + V, где Ь{ — якобпевы матрицы.

Соответствующие функции д{х\,..., га), <1 = 2,3 в этом случае являются полиномами по своим переменным. С другой стороны, функция д(х) = —е® 4- Тп(х) например, связана с моделью линейной цепочки с бесконечным радиусом взаимодействий.

Два очевидных преимущества предлагаемого метода по сравнению с методом функций Грина [11] состоят в том, что:

— размерность определителя А(г) не зависит от размерности г х г матрицы возмущения, тогда как в методе функций Грина размерность соответствующего определителя равна г х г;

— для нахождения матричных элементов Яш! (г) требуется знать спектральную плотность р(/г), тогда как в методе функций Грина при вычислении величин Игп!(2) используется больший набор спектральных характеристик — спектр и собственные функции невозмущенного гамильтониана.

В третьей главе рассмотрены примеры приложений метода, а именно:

(Для определенности в работе рассматриваются ферромагнитные спиновые системы, описываемые гамильтонианом Гайзен-берга, однако соответствующие задачи для систем колеблющихся частиц, например, решаются совершенно аналогично.)

1. Линейная цепочка спинов со взаимодействиями ближайших и следующих за ближайшими соседей.

(a) Рассмотрена задача о дискретных уровнях эяеркз д локальных плотностях cocrosinñ пенрершгшшэ сгтек-тра тамлльтонкака ГаЗзгиберга в одпожглонпем пространстве этой ценочкл с точечным спгпизгъп дефектом, а такйге задача о вызванных дефектов тнеигяизх термодинамических функций в хгряблнгзеяЕИ пезгзгего-дгйствующпх матноноз. В предела когда учитывается взаимодействие только ближайших соседей воспрогете-депы ранее известные результата [12].

(b) Рассмотрела задача об эпергааз дзухмагноппых езя-¡жпяах состоэапй з идеальной дпсеОкоЗ цшочзе. Спять-такл в прэдеяс взетиодеистаня толкко башкап-

шаз ссседей полулежи рапсе иззеетпвге результата [13].

2. Лилейная цепочка с бесконечным радиусом взаимодействия тззйду спинами (/,-, i = 1,2,... — соответствующие константы взаимодействий) при наличия з пей точечного спл-позого дефекта. Здесь предполагается определенный закон убывания взаимодействия, который позволяет регулировать скорость убывания. Константы взаимодействия дефекта с соседшшн атомами J¡, полагаются такими, что J% = Ji i > г, где г — некоторое число. Сгпш атома дефекта предполагг^ ется совпадающим со спанамн атомов идеальной рстеткп. Для такой системы ищутся те же величины, что н в пункте 1(а).

3. Рассмотрена та :ке задача, что и з пункте 1(а), по длл

простой кубической решетка со шалш>де5стзгаг1 меггду блхизойпшмн соседают при палпчпн в xicfi точечного еннпояого дефекта.

Основные результаты работы озрешсеиы в публшиитяя;;

1. LV.Krasovsky, V.I.Peresada. A new method in the many-body problem. // J.Phys.A: Math.Gen—1S95.—V.28.—Р.1493-1Б05.

2. LV.Krasovsky, V.I.Peresada. A new method in the many-body problem: II. // J.Phys.A: Math.Gen.—1996.—V.29.—P. 133-142.

3.I.V.Krasovsky, V.I.Peresada. J-matrix method in the theory of Heisenberg ferromagnets. // ФНТ.—1994.—T.20.—C.433-440.

4. I.V.Krasovsky. On spectral properties of the uniaxialiy anisotropic Heisenberg Hamiltonian. // ФНТ.—1995.—T.21.— C.331-332.

5. И.В.Красовский, В.И.Пересада. Новый метод в задаче итогах тел // Материалы 2-й конференции "Физические явлении в твердых телах" (Харьков, февраль 1995), с.25

6. I.V.Krasovsky, VJ.Peresada. J-matrix method in the problem of two-magnon bound states in Heisenberg ferromagnets. // International Conference on Magnetism (Warsaw, August 1994), p.346

7. I.V.Krasovsky, V.l.Peresada. A new method in the many-body problem. // International Conference on Statistical Physics (Xiamen, August 1995), p.16

ЛИТЕРАТУРА

1. Пересада В.й. // Физика конденсированного состояния.— 1968.—вып. 2.—С.172-210.

2. Пересада В.И., Афанасьев В.Н. // ЖЭТФ.—1970.—Т.58 — С.135-143.

3.. Пересада В.И. // ЖЭТФ.—1967.—Т.53—С.605-614.

4. Пересада В.И., Сыркин Е.С. // Surface Science.—1976.— V.54.—Р.293-302.

5. Пересада В.И., Толстолужский В.П. // ФНТ.—1977.— Т.З.—С.788-800.

6. Пересада В.И., Афанасьев В.Н., Боровиков B.C. // ФНТ.— 1975.—Т.1.— С.461-472.

7. Haydock R., Heine V. and Kelly M. J. // J.Pbys.C:Solid State Phys.—1972.—V.5-P.2845-2858.

8. Solid State Physics— N.Y.:Academic, 1980, V.35, ed. H. Ehrenreich, F. Seitz, D. Turnbull (and references therein).

9. The Recursion Method and Its Applications.— Berlin: Springer, 1985, ed. D.G.Pettifor and D.L.Weaire.

10. Лифшиц И.М. // УМН.—1952.—Т.7.—С.171-180.

11. Иэюмов Ю.А., Медведев М.В. Теория магнитоупорядочен-иых кристаллов с примесями.—М.:Наука, 1970.

12. Oguchi Т. and Ono I. // J.fhys.Soc.Jpn—1969.—V.26.— Р.32-42.

13. Оно I., Mikado S. and Oguchi T. // J.Phys.Soc.Jpn.—1971.— V.30—P.358—366.

Krasovsky I.V. "A generalization of the J-matrix method in the theory of condensed matter".

The thesis is submitted for a Ph.D. Degree in Physics and Mathematics, speciality 01.04.02. (Theoretical Physics).

B.LYerkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the Ula-ainian National Academy of Sciences, Kharkov, Штате, 1936

A new method is proposed for exact calculation of the energy levels, spectral functions of Hamilton!апз H and the quantities Sp {f(H-\-W)—f(H)}, where W is a finite-dimensional perturbation, in the case when both H and H + W are (2n + l)-diagonal and may be represented in the form Tn(L) + V, where Tn{x) is a polynomial of degree n, i is a J-matrix with a known spectral density, and V is finite-dimensional. The method also allows a generalization when Tn(L) is replaced by a more general function of J-matrices. As one of the examples, an impurity problem is considered in a simple cubic lattice and a linear chain with short-range and in a linear chain with long-range interactions. Abo in the work, the problem of calculation of the energies of two-magnon bound states in Hcisenberg ferromagnets is considered by the J-matrix method, and the statement is proved about the absence of two-magnon bound states above the band of the continuous spectrum for a certain class of ferromagnetic systems.

Красовськпй I.B. "Узагалыгення методу якоСнсвих матрйць в Teopi'i твердого ила".

Дисертащя у форм! рукопису на здобуття наукового ступеня кандидата фЬико-математичшгх наук за спепдальшстю 01.04.02. (теоретична ф1зика).

ФЬико-техшчшш шститут низьких температур ¡м. Б.1.Верюна HAH Укралш, Хармв, Украша, 1996

Пропонуеться новий метод для точного знаходження енерге-тичних pißHeii, спектральних функцш гамшьтоташв Я та величин Sp{/(H -f W) — /(Я)}, де W — кшечновтпрне збудження, у випадку коли гамшьтошани Н \ II + W — (2п + 1)-ддагональт та можуть бути зображеш у вигляда Tn(L) + V, де Тя(х) — ncwii-ном стедеш п, L — якоблева матрица з вадомою спектральном густиною, а матрищс V — кшечновширна. Метод також уэагаль-нюеться на випадок, коли Tn(L) замшювться на б1льш з&гальну функцпо якоб!евих матриць. Як один i3 прикладов, розглянуто проблему дефекту у простой куб^чшй рецптпд та лшйному лан-цюжку з мал им i в лшйшому ланцюжку з великим радаусом взае-модо. У робот! також розглянуто за допомогою метода яко&евнх матриць проблему знаходження елергш двохмагнонних зв'язаних сташв у феромагнетику Гайзенберга та доведено ствердження про вщсутшсть двохмагнонних зв'язаних сташв над зоною неперерв-ного спектру для певного класу феромагштних систем.

Ключов1 слова: якоб1ева матрица, ортогональш полшони, феромагнетик Гайзенберга, двохмагношп зв'язат стани.

Ответственный за выпуск — канд. физ. -мат. наук Рубин Ю.В.

Подписало к печати Ц,03.96

Уч.-изд. л. Заказ ¿j Тираж i00 экз.

Ротапринт ФТИНТ HAH Украины 310164, Харьков - 164, пр.Ленина, 47.