Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ООЬО'іи01''

На правах рукописи УДК 517.983.35

Сафонова Татьяна Анатольевна

СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 ОЕЗ Ш

Москва 2012

005010675

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики и компьютерных наук Северного (Арктического) Федерального Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико - математических наук,

профессор Мирзоев Карахан Агахан оглы

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Шкаликов Андрей Андреевич

кандидат физико - математических наук, доцент Артамонов Никита Вячеславович

Ведущая организация — Владимирский Государственный

Университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита диссертации состоится 17 февраля 2012 года в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механикоматематический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 января 2012 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических паук, профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и, впоследствии, нашло своё отражение в монографиях многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша1, Б.М. Левитана2, Н.И.Ахиезера и И.М.Глазмана3, Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца4, М.А.Наймарка5. Отметим, что в указанных монографиях в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в том числе, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением

Ы = -У" + q(x)y (1)

в гильбертовом пространстве С2(а,Ь), где —оо < а < b < +оо. При этом стандартным условием на потенциал q(x) по существу является условие

?(») 6 LLM)-

В литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа ¿-функции). К изучению таких операторов приводят, например, некоторые задачи квантовой физики. Математическое исследование таких операторов было начато в 60-ые годы прошлого столетия в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддее-ва6 и Р. А. Минлоса, Л. Д. Фадцеева 7. Современное состояние и новые направления развития теории таких операторов изложено в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона, Г. Хольдена 8 и С. Альбеве-

1 Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть I: Пер. с анг. -М.¡Издательство иностранной литературы, I960.— 276с.

2Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.—М.-Л.:ГЬстехиздат, 1950.-159 с.

3 Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве,— 2-е изд., псрераб. и доп.— М.: Наука, 1966.— 544 с.

4Данфорд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с ¡шт.— М.: Мир,

1966,- 1063 с.

6Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. п доп.—М.:Наука, 1969 - 526 с.

“Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом//' ДАН СССР- 1961- Т. 137 - .V 7.- С. 1011-1014.

тМивлос P.A., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике // ДАН СССР.- 1961,- Т. 141- Л» 6.- С. 1335-1338.

8Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics Springer-Verlag, 1988— 452 p.

рио, П. Курасова 9. Корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порождённого квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами (точное определение см. ниже, п. 2.2), впервые, по-видимому, было дано А.М. Савчуком и A.A. Шпаликовым 10’п. Ими же обстоятельно были изучены спектральные свойства такого оператора, особенно в случае, когда интервал (а, Ъ) конечен.

В 2010 году появились работы A.C. Костенко и М.М. Маламуда 12,13, в которых проведён довольно подробный спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением

+00

Q(x) = YlakS(x~Xk')> (2)

к=1

где Хк - строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim Xk = +оо, аар некоторая вещественная последователь-

fc->+ос

ность (к = 1,2,...). В этих работах методом граничных троек и соответствующих им функций Вейля установлено, что некоторые спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом (2) эквивалентны соответствующим свойствам разностного оператора, порождённого якобиевой матрицей вида

^ (ai + Î+ 0 ■

J = r-LTldb rf (а2 (¡2 (¿з) Г2Г3Й3 ' ‘ '

0 + i +

V i ; : '•■/

в гильбертовом пространстве I2, где г* := y/dk + dk+i и dk = Xk - Хк-i (к = 1,2,...). В частности, показано, что индекс дефекта минимального оператора, порождённого дифференциальным выражейием (1) с потенциалом (2) в пространстве L2(R+), равен (2,2) в том и только том случае,

“Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbation of differential operators London Math. Society Lecture Rems Series. Cambridge Univ. Press, 2001.— 271 p.

10Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциала,-ми,//Математические заметки.— 1999,— Т. 66,— вып. 6,— С. 897-912.

11 Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потепциалами-распределеииями//Труды ММО.— 2003.— Т. 64.— С. 159-212.

12КосгенкоА. С, МаламудМ. М. Об одномерном операторе Шрёдингера с 5-взаимодействиями//Функциональный анализ и его приложения.— 2010 — Т. 44 — вып. 2.—С. 87-91.

13KostenboA.S, MalamudM. М. 1-D Schrödinger operators with local point interactions on a discrete set//Journal of Differential Equations.— 2010,— 249.— P.P. 253-304.

когда индекс дефекта минимального оператора, порождённого матрицей J п пространстве ¿2, рапен (1,1).

Цель работы. Исследование минимального замкнутого симметрического оператора L%, порождённого в гильбертовом пространстве ££(Я+) дифференциаьным выражением вида

1Лу\ = -(г/ “ °у)' - °(у’ - °у) ~ °2У

и эквивалентным ему выражением

Цу] = ~У" + сг'{х)у, (3)

где х G R+, у(х) — {yi[x),y2{x),..., Уп{х))г {t - символ транспонирования), о(х) = (р^) - вещественнозначная симметрическая матрица порядка п такая, что p-j € L]0C(R+) (i,j = 1,2,..., п), а ', в случае выражения (3), есть производная в смысле теории распределений.

Методы исследования. В диссертации используются методы вещественного и функционального анализа, методы и результаты спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве, а так же асимптотические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми. Из них выделим следующие.

1. Получены формулы асимптотической близости на бесконечности решений двух дифференциальных уравнений 1а\у\ = 0 и lai[у] = 0, где lai [у] - векторное симметрическое квазидифференциальное выражение второго порядка, порождённое при помощи матрицы <п, удовлетворяющей тем же условиям, что и матрица а.

2. Получены достаточные условия минимальности, не максимальности и максимальности дефектных чисел минимального замкнутого симметрического оператора Lq, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве C2n(R+), в терминах элементов матрицы ст.

3. Установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора Lq (в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел разностного оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве I*.

4. Построены примеры сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями в пространстве вектор-функций с минимальными, не максимальными и максимальным дефектными числами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы специалистами, работающими в области спектральной теории дифференциальных и разностных операторов и математической физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах и конференциях: семинар "Спектральная теория дифференциальных операторов"кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В.В.Власова, проф. К.А.Мирзоева (2010-2011 гг., неоднократно); семинар "Операторные модели в задачах математической физики "кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А.А.Шкаликова (2010 г.); Крымская осенняя математическая школа-симпозиум КРОМШ-2009, 2011 (Симферополь, 2009 г., 2011 г.); Международная научно-практическая конференция "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика"(Архангельск, 2010 г.); научно-практическая конференция "Научные исследования аспирантов и молодых учёных: возможности, перспективы" (Архангельск. 2010 г.); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая памяти И.Г. Петровского (Москва, 2011 г.); Международная конференция "Спектральная теория операторов и её приложения" посвящённая памяти А.Г. Костюченко (Уфа, 2011 г.); Международная научная конференция "Спектральный анализ симметрических квазидиффе-ренциальных и разностных операторов"(Архангельск, 2011 г.); а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Поморского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова (2008-2011 гг., неоднократно).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[11], 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделённых в общей сложности на 8 параграфов, и списка литературы из 46 наименований, включая работы автора. Общий объём диссертации составляет 104 страницы машинописного текста. Нумерация

теорем, лемм и тл. сплошная, трёхиндексная.

, Содержание работы

Работа состоит из введения и двух глав, связанных между собой исследованием спектральных характеристик сингулярного оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением в пространстве вектор-функций.

Во введении проводится обзор исследований по тематике диссертации и даётся общая характеристика полученных результатов.

В первой главе исследуется вопрос об асимптотической близости на бесконечности решений двух векторных симметрических квазидифферен-циальмых уравнений второго порядка 1а{у\ — 0 и 1а1 [у] = 0. Полученные результаты применяются для построения примеров минимальных замкнутых симметрических операторов, порождённых векторными квазидиффе-ренциальными выражениями второго порядка с негладкими коэффициентами, с максимальными дефектными числами.

В параграфе 1.1 мы вводим понятия квазипроизводной и симметрического (формально-самосопряжённого) векторного квазидифференциально-го выражения; определяем минимальный и максимальный операторы, порождённые этим квазидифференциальным выражением в гильбертовом пространстве £2(Я+), и вводим понятия дефектного числа и индекса дефекта минимального оператора, следующим образом:

Пусть действительнозначные функции ру (г. j = 1,2,..., гг) - элементы симметрической матриц-функции а := (ру) определены и измеримы на полуоси Л+ [0; +оо), а квадраты этих функций суммируемы на каждом её замкнутом конечном интервале (р?- € Ь}0С(Я+)). Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные уИ, уМ и у'№ заданной локально абсолютно непрерывной вектор-функции у = {У1{х),У2{х), ...,уп(х)У посредством матрицы а, полагая

:= У, У?1 '•= У' ~ сгу, у® := {у^У + <ту$] + а2у, и квазидифференциальное выражение, полагая

Цу]{х) ■= -у!?1 О), жед+.

При определении у$ мы предполагаем, что у$ локально абсолютно непрерывна на Я+.

Выражение 1а известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор с областью определения 0% в гильбертовом пространстве С\{Я+).

Известно, что при любом невещественном А уравнение

имеет решения из £2(Л+), причём максимальное число п+(п-) линейно независимых решений из С?п{Л+) при 9Л > О (ЙЛ < 0) не зависит от Л и называется верхним (нижним) дефектным числом оператора Ьай. А пара чисел (п+,п_), называемая индексом дефекта оператора Щ, может принимать одно из значений: (п.п) (случай предельной точки), (гг + 1,п + 1),..., (2п, 2п) (случай предельного круга). Известно также, что п+ = п- — 2п в том и только том случае, когда все решения уравнения (4) при любом значении Л (следовательно, при каком-либо фиксированном значении А = Ао, в частности, при А = 0) принадлежат пространству £^(#+).

Параграф 1.2 является основным в первой главе. Перейдём к изложению его содержания.

Пусть матрица ст\ удовлетворяет тем же условиям, что и матрица а. Аналогично тому, как это было сделано в случае матрицы а, определим квазипроизводные уа}, Уа} и квазидифференциальное выражение 1а1\у}, порождённые посредством матрицы Пусть далее, Ь^1 - минимальный замкнутый симметрический оператор, порождённый выражением 1а1[у] в пространстве С2п{Е+), а / и О - единичная и нулевая матрицы порядка п соответственно.

Рассмотрим квазидифференциальные уравнения

Отметим, что каждое из них эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Ш = *у

(4)

Ш = о

(5)

И

ЪАу\ = о.

(6)

где 2п-мерный вектор-столбец У := (у, Уд )г, а матрица = а (в случае

уравнения (5)) или (? = 01 (в случае уравнения (6)).

Далее введём фундаментальную матрицу Т с 2п-мерными столбцами (uj, (Uj)ajy (j = 1,2,..., 2п), где uj - линейно независимые векторные решения уравнения (6).

Данный параграф посвящён установлению достаточных условий на коэффициенты матриц а, 0\ и Т, обеспечивающих асимптотическую близость на бесконечности решений уравнений (5) и (б). А именно, справедливы следующая теорема и следствие из неё.

Теорема 1.2.1 Пусть матрицы о, 0\ иТ тпаковы, что

+сс

_! I (J — <71 О

/

О

-о1 -5- crf -а + cri

1 < 4-00. (7)

Тогда для любых комплексных чисел а\,а2,...,а2п уравнение (5) имеет решение ф{х), удовлетворяющее условиям:

2п

ф(х) = +аЛа')]%-

j=1

2п

ф[Я*) = ¿to+аЛхЖизШх)’

J=1

где щ(х) —» 0 при х -> +оо (¿ = 1,2,..., 2п).

Следствие 1.2.1 Пусть справедливы условия теоремы 1.2.1. Индекс дефекта оператора L% равен (2п,2п) в том и только том случае, когда индекс дефекта оператора Lq1 равен (2п,2п), т.е. для операторов и Lq1 случай предельного круга реализуется одновременно.

Параграф 1.3 данной работы носит в основном вспомогательный характер. Наша цель здесь - получение асимптотических формул па бесконечности решений дифференциального уравнения

-у" + Q(x)y = 0, (8)

где у(х) = (г/i(ж), У2{х)У, х € R+, Q{x) = ^ ^ (а > 2, 0 < /3 < а).

Справедлива следующая теорема.

1 j|.|| означает сумму абсолютных величин всех элементов матрицы

Теорема 1.3.1 Уравнение (&) имеет четыре линейно независимых решений уЗ(х) (] = 1,2,3,4) таких, что при х -> +оо

В данном параграфе мы приводим два различных способа доказательства теоремы 1.3.1. Первый из них основан на применении известной теоремы Левинсона. При этом в ходе доказательства возникают хотя и несложные, но довольно громоздкие вычисления. В основе второго способа лежит возможность применения известных асимптотических формул типа Лиувилля-Грина, позволяющих избежать технических сложностей (теорема Левинсона и асимптотические формулы типа Лиувилля-Грина хорошо известны и прекрасно изложены, например, в книге М.Б.Р. ЕаэЛат14).

В заключительном параграфе 1.4 главы 1 полученные результаты мы применяем для построения примеров сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями вида

где ' означает производную в смысле теории распределений, а ак,0к,1к-некоторые вещественные постоянные, в пространстве вектор-функций с максимальным дефектным числом.

Пусть п = 2ио>2,0<|8<а. Определим матрицу сть полагая

14Eastham M.S.P. The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theoreme.— Oxford: Clarendon Press, 1989.— 241 p.

x

(9)

X

у3(х),у4(х) ~ ф2(х)ехр J ±i(sa - s®)l^ds,

Xo

где xo > 1, а вектор-столбцы i)\(x) и ^г(я) имеют вид:

(10)

Тогда квазидифференциальное уравнение (6) совпадёт с уравнением (8).

При этом асимптотические формулы (9) позволяют сделать вывод о том,

что индекс дефекта оператора L^1 равен (4,4), т.е. является максимальным.

Рассмотрим возрастающую последовательность положительных чисел

Xk (к = 0,1,...) такую, что lim Xk = +оо, xq — 0. Определим элементы

<!-»+00

pij(x) матрицы о{х), полагая

1/а+1 u^+l

Pli И =Р22{х) = -—Г, Рп{х) =P2l{x) = - при X <Е [xjfc,SCjfc+i),

Û! + 1 р + I

где Vk - произвольная точка [xk\Xk+1). Справедлива следующая теорема. Теорема 1.4.1 Пусть выполнены перечисленные выше, условия и

+0S

- ж*)2 < +ос,

к- 1

+оо _2а+1

-хк)2<+°°-

к=1 хк

Тогда матрицы а(х) и &i(x) удовлетворяют условию (7).

Поэтому для матриц ст(х) и о\ (я) справедливы утверждения теоремы

1.2.1 и следствия 1.2.1. Следовательно, индекс дефекта оператора Щ с матрицей а{х) такой, что & удовлетворяет (10), а вещественные постоянны а/с, (3k) Jk определяются равенствами

i/“+1 — ua+1 ,/+l — i/+1

а, = 'y* = ^^ Ru = ^ к 7* а + 1 >Рк р + 1 ,

равен (4,4), т.е. является максимальным.

Отметим также, что в качестве подходящей последовательности точек Хк (к = 1,2,...) можно взять, например, последовательность с общим членом Хк = 1п к.

Во второй главе рассматриваются сингулярные операторы Штурма-Лиувилля, порождённые выражением (3) в пространстве C2n{R+), и их дискретные аналоги - разностные операторы второго порядка с матричными элементами; приводятся достаточные условия реализации минимальности дефектных чисел дифференциальных операторов в терминах элементов матрицы а и доказывается, что условие максимальности дефектных чисел таких операторов (в случае, когда элементы матрицы и являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию

максимальности дефектных чисел векторных разностных операторов второго порядка, порождённых некоторыми обобщёнными якобиевыми матрицами в пространстве 1%.

В параграфе 2.1 мы приводим основные определения и факты спектральной теории разностных операторов второго порядка с матричными коэффициентами на полуоси, которые используются в дальнейшем, в частности, вводим понятия обобщённой якобиевой матрицы и связанной с ней векторного разностного оператора второго порядка, матричной степенной проблемы моментов; рассматриваем некоторые вопросы, связанные с понятиями дефектного числа и индекса дефекта минимального замкнутого симметрического оператора, порождённого трёхчленным разностным выражением второго порядка в гильбертовом пространстве I2, а также приводим условия самосопряжённости и вполне неопределённого случая такого оператора. Перейдём к более точным определениям и фактам:

Пусть А], В] = 0,1,...) - квадратные матрицы порядка п, причём

-'у '-\.т ‘

В,•1 существуют, а - самосопряжены. Бесконечную матрицу

/ =

^ Ац Во 0 0

Во Аг В1 0

0 В{ Ач В2

1 ;

\

••у

(11)

назовём обобщённой якобиевой матрицей с матричными элементами. Рассмотрим разностное выражение

{lu)j — В^+1 + А¿4] + $ = 0,1,...,

где и-1 = 0, щ, щ,... € Сп.

Выражение I известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ь в гильбертовом пространстве /^.

Аналогично тому, как это было сделано для дифференциального оператора, вводятся понятия верхнего (п+) и нижнего (п_) дефектного числа и индекса дефекта (п+,п_) разностного оператора Ь.

Известно, что числа п+ и п_ удовлетворяют следующим неравенствам:

О < п+ — п_ < п.

В параграфе 2.2 мы описываем процедуру, позволяющую корректно определить оператор Штурма-Лиувилля на полуоси, при условии, что мат-

ричный потенциал является сингулярным распределением первого порядка, т.е. (}{х) - а'(х) {а{х) = (рц)^=1, рц € Ц0С(Я+)), а производная понимается в смысле обобщённых функций. При этом получено достаточное условие минимальности дефектных чисел такого оператора. А именно, пусть ' означает обобщённую производную, т.е. производную в смысле теории распределений. Определим произведение производной р1 от скалярной функции р € Ц0С(И+) на локально абсолютно непрерывную скалярную функцию ф, полагая как обычно

для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +оо) функции ф. Определим также произведение матрицы а' = (Ру)у=1і элементами которой являются обобщённые функции, па вектор-функцию у € £>о, пола_ гая, что координата с номером і произведения а'у равна р'цУ\ +р[чУ2 + • • • + Р'іпУп {і — 1,2,... ,п). Из этих определений следует, что в смысле теории распределений справедливо равенство

Тогда оператор Щ можно трактовать как оператор, порождённый выражением (3) в пространстве C^(R+). Справедлива следующая теорема и следствие из неё.

Теорема 2.2.2 Пусть существует последовательность попарно непе-ресекающихся интервалов (a*, bk) С R+ (к = 1,2,...) такая, что

1. элементы Pij (i,j = 1,2,... ,п) матрицы а абсолютно непрерывны на

[ал А];

2. существует вещественно значная функция Д Є Ll[ak,bk\ такая, что (?'{%) > fk(x)I п.в. при х Є [a,k,bk[ и при всех bub' таких, что а* < b < Ь' < bk, выполняется неравенство

о

{ау)' = а'у + ау'.

У

(h ~ ак) fk{x)dx > -с,

ь

где с > 0 - некоторое постоянное число;

Тогда система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка

У" = о'У

имеет ровно п линейно независимых решений, принадлежащих C\(R+).

Следствие 2.2.1 Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (ak,bk) С R+ (к — 1,2,...) такая, что элементы Pij матрицы а абсолютно непрерывны на [а*, bk] и а'(х) > О п.в. при х € [ak,bk], и пусть выполнено условие (12). Тогда индекс дефекта оператора Щ равен (п, п). .

Изложим содержание параграфа 2.3. Пусть возрастающая последовательность положительных чисел Хк такая, что lim хк = +оо, Хо = 0; Ск-

А-Н-ос

вещественная симметрическая числовая матрица порядка п (к — 1,2,...), <т{х) = Ск при х 6 [xk-i,xk), а Лк = (<*у)&=1 :=:= Ск+\~Ск. В это ситуации выражение (3) принимает вид

+00

ы = -у"+Y1 ~ х^у- (13)

&=1

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.4 Минимальный замкнутый симметрический оператор Ц, пороо/сдённый выражением (13) в пространстве C^(R+), имеет индекс дефекта (2п, 2п) в том и только в том случае, когда все решения векторного разностного уравнения

------^±V- + ^[A + (x + ^№--^V = °, * = 1,2,...

rk+in+idk+i r|+1l dk dk+i гкп+\ак

где dk ~ Xk — Xk-\, Tk+i '■= Vdk+i + dk, принадлежат пространству l„.

Эта теорема утверждает, что дефектные числа оператора Щ, порождённого выражением (13) в гильбертовом пространстве Cfl(R+), максимальны в том и только том случае, когда максимальны дефектные числа разностного оператора, порождённого обобщённой якобиевой матрицы J, определённой в (11), где Ао, Во - произвольные квадратные вещественные симметрические матрицы порядка n, Bq1 существует, а

Ак - 4-[А + (т + т~)1] и Вк =----Ц—/ (к = 1,2,.

dk 4+1 rMrk+2dk+i

Отметим, что обобщённые якобиевы матрицы вида 3 возникают в связи с матричной степенной проблемой моментов, предложенной и развитой М.Г. Крейном 15, и достаточно обстоятельно изучены 1е’17,13. Справедливы следующие следствия теоремы 2.3.4.

Следствие 2.3.1 Пусть <ік, Тк и Ак (к = 1,2,...) таковы, что справедливы следующие условия:

1 ^ или « ^ для всех к =

+00

II Е 4 < +00>

&=і

+ 3° , ч

III /С 4+1ІІЛ- + (5 + ¿7) ЛІ < +00'

Тогда индекс дефекта оператора Щ является максимальным.

Следствие 2.3.3 Пусть выполняется какое-либо из следующих условий:

+00

Л“* к=1

¿1 = +00

или

Е^1^+з4+14+2||Л+1 + /|| = +00.

Тогда индекс дефекта оператора не является максимальным.

Стоит отметить, что из результатов диссертации, не вошедших в автореферат, следует, что первое из перечисленных условий следствия 2.3.3 обеспечивает не только не максимальность, по и, более того, минимальность дефектных чисел оператора

В параграфе 2.4 на основе результатов следствий 2.2.1 и 2.3.1-2.3.3 строятся примеры векторных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями на полуоси, для которых реализуется случай предельной точки или случай предельного круга.

16КрейпМ.Г. Бесконечные ./-матрицы и матричная проблема момептов//ДАН СССР,— 1949,— Т. 69 - № 2.~ С. 125-128.

1вКостюченко А.Г., Мирзоев К.А. Трёхчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределённый случай// Математические заметки.— 1998.—Т. 63.— вып. 5.— С. 709-716.

17Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Обобщённые якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения.— 1999.— Т. 33.— вып. 1.— С, 30- 45.

18Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Признаки вполне неопределенности якобиевых матриц с матричными элементами// Функциональный анализ и его приложения.— 2001.— Т. 35,— вып. 4.— С. 32—37.

Пример 2.4.1 Пусть Хк, С'/; и dk удовлетворяют условиям, перечислен-+00

ным в параграфе 2.3, и +°о. Тогда индекс дефекта оператора L%

fc=i

равен (n, п).

Пример 2.4.2 Пусть вещественные последовательности ctk и Х)г таковы, что ak = —2k + 1 + р (с = const, е > 0), Xk = In к, а матрица Ак = Otkl (к = 2,3,...). Тогда индекс дефекта оператора максимален и равен (2п, 2п).

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Карахану Агахановичу Мирзоеву за постановку задач, руководство и постоянное внимание к работе, многочисленные обсуждения и денные рекомендации.

Публикации автора по теме диссертации

Работы 1-3 опубликованы в журналах из официального перечня ВАК.

[1] Сафонова Т. А. Асимптотическое интегрирование систем квазидиффе-ренциальных уравнений второго порядка // Математические заметки-2011.- Т. 89.—вып. 6.- С. 951-953.

[2] Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиу-вилля с потен-циалом -распределением в пространстве вектор-функций //Доклады РАН - 2011,- Т. 441- № 2 - С. 165-168.

(В данной работе введение принадлежит К.А. Мирзоеву, доказательства теоремы 2 и следствий 2 и 3 получены совместно с К.А. Мирзое-вым, остальные результаты принадлежат Т.А. Сафоновой.)

[3] Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиу-вилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций// Уфимский математический журнал.— 2011,— Т.З.—№ 3,— С. 105—119.

(В данной работе введение принадлежит К.А. Мирзоеву, доказательства теоремы 3 и следствий 2 и 3 получены совместно с К.А. Мирзое-вым, остальные результаты принадлежат Т.А. Сафоновой.)

[4] Сафонова Т.А. Асимптотическая близость решений систем квазидиф-ференциальных уравнений второго порядка//Веетник Поморского университета,— 2010.— серия EH.— вып. 4.— С. 94 — 96.

[5] Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиу-вилля в пространстве вектор-функций и обобщенные якобиевы матрицы// Spectral and Evolution problems: Proceedings of tlie Twenty First Crimean Autumn Mathematical School-Symposium.— 2011. — T. 21. — № 2 - C. 51-59.

(В данной работе введение принадлежит К.А. Мирзоеву, доказательство теоремы 4 получено совместно с К.А. Мирзоевым, остальные результаты принадлежат Т.А. Сафоновой.)

[6] Долгих И.H., Стрелкова Т.А. Асимптотические формулы решений класса дифференциальных уравнений произвольного порядка// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Международная научн. конф. 26 июня - 2 июля 2008 г. — Суздаль, 2008. —

* С. 95.

[7] Стрелкова Т. А. Асимптотические формулы решений сингулярного дифференциального уравнения второго порядка в пространстве вектор-функций // Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика. Тез. докл. Междунар. научно-практ. конф. 1-5 февраля 2010 г.— Архангельск, 2010.— С. 164—165.

[8] Стрелкова Т.А. Асимптотическое интегрирование симметрических систем дифференциальных уравнений второго порядка,// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Междунар. научн. конф. 2-7 июля 2010 г.— Суздаль, 2010.— С. 178.

[9] Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением в пространстве вектор-функций// Дифференциальные уравнения и смежные вопросы. Тез. докл. Междунар. научн. конф., посвящённая памяти И. Г. Петровского, 29 мая -4 июня 2011 г.- Москва, 2011- С. 297-298.

|10] Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Квазирегулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением в пространстве вектор-функций и обобщённые якобиевы матрицы// Спектральная теория операторов и её приложения. Тез. докл. Междунар. научн. конф., посвя-

щенная памяти А. Г. Костюченко, 13-15 июня 2011 г.— Уфа, 2011. —

С. 58-59.

[11] Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций// КРОМШ-2011. Тез. докл. Междунар. конф. 17-29 сентября 2011 г.— Симферополь, 2011.— С. 48.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж (2 0 экз. Заказ № 3

Введение

1 Асимптотическое интегрирование симметрических систем квазидифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Основные понятия и факты.

1.1.1 Квазипроизводные и симметрические квазидиффереи-циальпые выражения

1.1.2 Операторы и Индексы дефекта оператора Щ

1.2 Теорема об асимптотической близости решений.

1.2.1 Формулировка и доказательство основной теоремы

1.2.2 Следствие.

1.3 Асимптотические формулы решений одного класса однородных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве вектор-функций.

1.3.1 Формулировка теоремы.

1.3.2 Доказательство 1.

1.3.3 Доказательство 2.

1.4 Примеры

2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля в пространстве вектор-функций и обобщённые якобиевы матрицы

2.1 Разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами на полуоси.

2.1.1 Основные понятия и факты.

2.1.2 Матричная проблема моментов.

2.2 Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами

- распределениями в пространстве вектор - функций.

2.2.1 Корректное определение оператора Щ.

2.2.2 Условия минимальности дефектных чисел оператора

2.3 Связь между спектральными свойствами дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и порождённого им разностного оператора.

2.3.1 Скалярный случай.

2.3.2 Векторный случай.

2.4 Примеры

В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и нашло своё отражение в работах многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша [38], Б.М. Левитана[18], Н.И. Ахиезера и И.М. Глазмана [1], М.А. Наймарка [26], Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [6]. Стоит отметить, что в указанных работах в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в частности, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением

1[У] = ~У" + Ч{х)у (1) в гильбертовом пространстве £2(а, 6), где —оо < а < Ь < +оо. При этом стандартным условием на потенциал q{x) по существу является условие я(х) е Ь}0С{а,Ь).

В научной литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа ¿-функции). К изучению таких операторов приводят некоторые задачи квантовой физики, задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре, задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле. Математическое исследование подобных операторов было начато в 60-ые годы прошлого столетия в работах Ф.А. Березина, Л.Д. Фаддеева [4] и P.A. Минлоса, Л.Д. Фаддеева[21]. Современное состояние и новые направления развития теории таких операторов изложено в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона, Г. Хольдеиа [40] и С. Альбеверио, П. Курасова [41]. Корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порождённого квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами (точное определение см. ниже гл. II, п. 2.2.1), впервые, по-видимому, было дано A.M. Савчуком и A.A. Шкаликовым в работах [28], [29]. Ими же довольно обстоятельно были изучены спектральные свойства таких операторов, особенно в случае конечного интервала.

В 2010 году появились работы A.C. Костенко и М.М. Маламуда [11] и [46], в которых проведён довольно подробный спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением

00 q{x) = - Хп), (2) п=1 где хп (п = 1, 2,.) - строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хп = +оо, а а„ (п = 1,2,.) - некотоn—t+oo рая вещественная последовательность. В этих работах методом граничных троек и соответствующих им функций Вейля установлено, что некоторые спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом (2) эквивалентны соответствующим свойствам разностного оператора, порождённого трёхдиагональной якобиевой матрицей вида J i + -та 0

4(<» + ± + ±) rir2d2 r\ \ 1 d2 d3 J r2r3d3

0 -та ¡H^ + i + i)

V •/ в гильбертовом пространстве ¿2, где rn := y/dn + dn+\ и dn = хп — хп-\ (п = 1,2,.). В частности, показано, что дефектное число дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, порождённого выражением (1) с потенциалом (2) в пространстве L2(R+), максимально и равно 2 в том и только том случае, когда дефектное число разностного оператора, порождённого матрицей J в пространстве 12, максимально и равно 1.

Цель работы. Исследование минимального замкнутого симметрического оператора Lg, порождённого в гильбертовом пространстве £2(i?+) дифференциаьным выражением вида

1ЛУ\ =-Ь/ - °УУ - °{У' - ау) - °2У и эквивалентным ему выражением

Цу} = -у" + а'{х)у, (3) где х е R+, у(х) = (yi(x),y2{x),. ,уп(х))п, а(х) = {рц) - веществен-нозначная симметрическая матрица порядка п такая, что pfj Е Ljoc(R+) (i,j = 1,2,., 77,), а в случае выражения (3), есть производная в смысле теории распределений.

Основные результаты диссертации являются новыми. Из них выделим следующие.

1 Здесь и везде далее, t - символ транспонирования

1. Получены формулы асимптотической близости на бесконечности решений двух дифференциальных уравнений 1а[у) = 0 и ^[у] = 0, где 1а1[у}- векторное симметрическое квазидифференциальное выражение второго порядка, порождённое при помощи матрицы удовлетворяющей тем же условиям, что и матрица <т.

2. Получены достаточные условия минимальности, не максимальности и максимальности дефектных чисел минимального замкнутого симметрического оператора Щ, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве в терминах элементов матрицы о.

3. Установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора 1/д (в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел разностного оператора, порождённого некоторой обобщенной якобиевой матрицей в пространстве

4. Построены примеры сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями в пространстве вектор-функций с минимальными, не максимальными и максимальным дефектными числами.

Перейдём теперь к изложению определений и фактов. Пусть действительнозначные функции ру (г, ^ = 1,2,., гг) - элементы симметрической матриц-функции а := (р^) определены и измеримы на полуоси Я+ := [0; +оо), а квадраты этих функций суммируемы на каждом её замкнутом конечном интервале (р^ € Ь]0С{Я+)). Перечисленные условия позволяют определить квазипроизводные у'^ (г = 0,1, 2) заданной локально абсолютно непрерывной вектор-функции у = (у\(х), г/2 (ж), ■ • •, Уп{х)У посредством матрицы <т, полагая г/'01 := у, г/11' := у' - <"/, У? := (й11)' + + а'у, и векторное симметрическое (формалыю-самосопряжёиное) квазидифференциальное выражение, полагая

1а[у]{х) := -У[а\х), х € #+.

Выражение 1а известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Щ с областью определения в гильбертовом пространстве (более подробно см. гл. 1, п. 1.1.2).

Известно, что вообще говоря при любом невещественном Л уравнение

Ш = Ау (4) имеет решения из причём максимальное число п+(п-) линейно независимых решений из при ^Л > О (^Л < 0) не зависит от Л и называется верхним (нижним) дефектным числом оператора Щ. А пара чисел (п+, п-), называемая индексом дефекта оператора Щ, может принимать значения: (п, п) (случай предельной точки), (п+1, п+1),., (2п, 2п) (случай предельного круга). Известно также, что п+ = п- = 2п в том и только том случае, когда все решения уравнения (5) при любом значении Л (следовательно, при каком-либо фиксированном значении А = Ао, в частности, при Л = 0) принадлежат пространству

В первой главе данной работы исследуется вопрос об асимптотической близости на бесконечности решений двух векторных симметрических квазидифференциальных уравнений второго порядка 1а[у] = 0 и 1а1\у) = О, где матрица и\ удовлетворяет тем же условиям, что и матрица а. Полученные результаты применяются для построения примеров минимальных замкнутых симметрических операторов, порождённых векторными квазидифференциальными выражениями с негладкими коэффициентами, имеющих максимальные дефектные числа. При этом получены асимптотические формулы решений на бесконечности одного класса дифференциальных уравнений в пространстве вектор-функций.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем: в частности, вводятся понятие квазипроизводной и симметрического (формально-самосопряжённого) векторного квазидифференциального выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями дефектного числа и индекса дефекта минимального замкнутого симметрического оператора.

Параграф 1.2 является основным в первой главе. Перейдём к изложению его содержания.

Пусть матрица сг\ удовлетворяет тем же условиям, что и матрица а. Аналогично тому, как это было сделано выше, определим квазипроизводные у]?}, уа'}, у а} и квазидифференциальное выражение 1а1[у], порождённые посредством матрицы сг\. Выражение 1а1 известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ьц1 в пространстве (более подробно см. гл.1, п. 1.2.1).

Рассмотрим квазидифференциальные уравнения ш =0 и

Ш = о.

6)

Введём следующие обозначения. Через О и 1п обозначим пулевую и единичную матрицы порядка га соответственно, а через Т - матрицу с 2гасимые векторные решения уравнения (6).

Далее отметим, что каждое из уравнений (5) и (6) эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка где 2га-мерный вектор-столбец У := а матрица = а (в случае уравнения (5)) или С} = сг\ (в случае уравнения (6)).

Данный параграф посвящён установлению достаточных условий на коэффициенты матриц сг, сг 1 и Т, обеспечивающих асимптотическую близость решений уравнений (5) и (6) при х —> +оо. Справедлива следующая

Теорема 1.2.1 Пусть матрицы сг, <7\ и Т таковы, что

Тогда для любых комплексных чисел а\, с*2, • • ■, а.2п уравнение (5) имеет

1||.|| означает сумму абсолютных величии всех элементов матрицы мерными столбцами {иэ, (г^)!^)* {] — 1,2,., 2га), где и3 - линейно незави решение ф(х), удовлетворяющее условиям:

2 п

Ф{х) = +

2п

3=1 где щ(х) —>• 0 при ж —»• +оо (г = 1,2,., 2п).

Отметим, что в случае общих скалярных дифференциальных уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами задача об условиях асимптотической близости их решений хорошо известна и интенсивно обсуждалась в начале 50-х годов прошлого века. Некоторые результаты, полученные в то время, вошли позднее в книгу Ф. Хартмана [39]. В частности, справедлива следующая

Теорема. Пусть в дифференциальных уравнениях функции <?(£), <?о(£) непрерывны на полуоси Я+. принимают комплексные значения и таковы, что для каждого решения и;(£) втпорого уравнения. Пусть ио(Ь), г>о(£) — линейно независимые решения второго уравнения. Тогда као/сдому решению первого уравнения соответствует по крайней мере одна пара таких и" + д(г)и = 0 и ш" + дофи) = 0

00 постоянных а, ß, что u(t) = [а + o(l)]u0(t) + [ß + o(l)b(i), u'(t) = {a + o(l)}u'0(t) + [ß + o(l)}v'0(t) при t —> +00; обратно, для каждой пары постоянных а, ß найдётся по крайней мере одно решение u{t) первого уравнения, удовлетворяющее (9). (см. [39, гл. XI, § 8, стр. 437, теорема 8.1])

Новизна теоремы 1.2.1 по сравнению с этой теоремой заключается в том, что непрерывность от коэффициентов-матриц дифференциальных уравнений не требуется, достаточно лишь, чтобы они были локально суммируемыми на R+.

Также стоит отметить, что в недавней работе H.H. Конечной (см. [10]) рассматривался вопрос об асимптотической близости решений двух скалярных квазидифферепциальпых уравнений второго порядка с комплекс-позначными локально суммируемыми коэффициентами. В частности, была сформулирована и доказана следующая Теорема. Пусть в дифференциальных уравнениях р{у' ~ ry))' - r{p(y' - ry)) + qy = О и

Р(у' - Ry))' - R(P(y' - Ry)) + Qy = 0. вещественнозначпые функции 1/р, q, 1/Р, Q и комплекснозначные функции г, R измеримы на полуоси R+, суммируемы па каэюдом её замкнутом конечном подынтервале и таковы, что при некотором а > О оо

1) J \(Q-q) + 2PRKz{R-r) + (^-j)P2R2\\w\2<+oo, а

00

2) / i - ?|PV|2 < +00> а

00

3) j I(r - r)p - (i - j)P2R\\ww[\ < +оо, а оо

4) / |(f-^)P-(i-4)-P2^lk4|<+oo,

J p p a где w,w\ £ {u, v}, a u,v - линейно независимые региения второго уравнения. Тогда для любой пары комплексных чисе,л а и ¡3 первое уравнение имеет, причём единственное, решение f(x), удовлетворяющее условиям

О) = [с* + а{х)]и{х) + [P + b(x)]v(x),

P(f ~ rf)(x) = [а + а(х)][Р(и' - Ru){x)] + [/3 + b(x)][P{v' - Rv){x)}, где a(x) = o(l) и b(x) = o(l) при x —> +oo.

Формулы асимптотической близости (8) позволяют получить следующую информацию относительно дефектных чисел операторов Lq и Lq1. А именно, справедливо следуютцее

Следствие 1.2.1 Пусть справедливы условия теоремы 1.2.1. Индекс дефекта оператора Lq равен (2п,2п) (т.е. максимален) в том и только том случае, когда индекс дефекта оператора Lq1 равен (2п,2п), т.е. для операторов Lq и Lq1 случай предельного круга реализуется одновременно.

Параграф 1.3 данной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящён получению асимптотических формул на бесконечности решений дифференциального уравнения вида

-у" + Q(x)y = 0, (10) syOt rpft л/ iXj гдеу(ж) = {у\{х),у2{х))\х е Д+, (¿{х) = [ ^ | (а > 2, 0 < ¡3 < а).

Справедлива следующая

Теорема 1.3.1 Уравнение (10) имеет четыре линейно независимых решений у3(х) (] = 1,2,3,4,) таких, что при х —> +оо у1{х),у2{х) ~ фг(х)ехр / ±i{sa + sp)l/2ds, х0 X

И) у3(х),у4{х) ~ ф2{х)ехр / ±i(sa - sp)1/2ds,

Xq где Xq > 1, а вектор-столбцы ф\(х) и ф2{х) имеют вид

В данном параграфе приведено два различных способа доказательства теоремы 1.3.1. Первый из них основан на применении известной теоремы Jle-винсона (см. теорема 1.3.2) При этом в ходе доказательства возникают хотя и несложные, но довольно громоздкие вычисления. В основе второго способа лежит возможность применения известных асимптотических формул типа Лиувилля-Грина (см. теорема 1.3.3), позволяющих избежать технических сложностей. Теорема Левинсона и асимптотические формулы типа Лиувилля-Грина хорошо известны и прекрасно изложены, например, в книге M.S.P. Eastham [43].

В заключительном параграфе 1.4 главы 1 полученные результаты применяются для построения примеров векторных сингулярных операторов

Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями вида k

00 /. Е x-Xk), (12) к—0 \Рк 1к/ где ' означает производную в смысле теории распределений, а <Ук,Рк,1к-некоторые вещественные постоянные, с максимальным дефектным числом. Пример 1.4.1 Пусть п = 2 и а > 2,0 < ¡3 < а. Определим матрицу а\. полагая

Л = ' 0+1 ß+1 xß+l xa+l

3+1 а+1

Тогда квазидифферепциалыюе уравнение (6) совпадёт с уравнением (10). При этом асимптотические формулы (11) позволяют сделать вывод о том, что индекс дефекта оператора Lq1 равен (4,4), т.е. является максимальным.

Рассмотрим возрастающую последовательность положительных чисел Хк (к = 0,1,.) такую, что lim Хк = +оо, жо = 0. Определим элементы к->+оо

Pij(x) матрицы сг(ж), полагая иа+1 uß+l

Рп(х) =Р22(х) =--, Ри{х) =Р2\{х) = при X 6 [xfc,xfe+i),

OL + 1 Р + 1 где Рк - произвольная точка [хк',Хк+1). Справедлива следующая

Теорема 1.4.1 Пусть выполнены перечисленные выше условия и

00

- Хк)2 < +оо, к=1 оо 2а+1

•ь i к=1 Хк

Тогда матрицы а{х) и сг\(х) удовлетворяют условию (7).

Поэтому для матриц а(х) и сг\{х) справедливы утверждения теоремы 1.2.1 и следствия 1.2.1. Следовательно, индекс дефекта оператора Щ с матрицей сг(х) такой, что а' удовлетворяет (12), а вещественные постоянны ак,(3к,7к определяются равенствами а+1 а+1 /3+1 /3+1 ик ик+1 О ик+1 ик к = 1к = -—;-, Рк о ■ 1 ' /3+1 равен (4,4), т.е. является максимальным.

Отметим также, что в качестве подходящей последовательности точек Хк (к = 1,2,.) можно взять, например, последовательность с общим членом хь — 1п к,

Во второй главе рассматриваются дифференциальные операторы Шту-рма-Лиувилля, порождённые выражением (3) в пространстве и их дискретные аналоги - разностные операторы второго порядка с матричными коэффициентами; для дифференциального оператора приводятся достаточные условия реализации минимальности дефектных чисел в терминах элементов матричного потенциала а' и доказывается, что условие максимальности дефектных чисел таких операторов (в случае, когда элементы матрицы и являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел векторных разностных операторов второго порядка, порождённых некоторыми обобщёнными якобиевыми матрицами.

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты спектральной теории разностных операторов второго порядка с матричными коэффициентами па полуоси, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятие обобщённой якобиевой матрицы и связанной с ней векторного разностного оператора второго порядка, матричной степенной проблемы моментов; рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями дефектного числа и индекса дефекта минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного трехчленным разностным выражением второго порядка в гильбертовом пространстве а также приводятся условия самосопряжённости и вполне неопределённого случая такого оператора. Перейдём к более точным определениям и фактам.

Пусть А^, Bj = 0,1,.) - квадратные матрицы порядка п, причём

В,1 существуют, а А^ - самосопряжены. Бесконечную матрицу 3

А0 В0 О О

13)

В*0 А\ В\ 0 .

О В{ А2 В2 . у! ! ; ; •./ назовём обобщённой якобиевой матрицей с матричными элементами. Рассмотрим разностное выражение

1и)5 = 1 + А^щ + ] = 0,1,., где и~ 1 = 0, щ, г¿l,. е Сп.

Выражение I известным образом определяет минимальный замкнутый симметрический оператор Ь в гильбертовом пространстве (более подробно см. п. 2.1.1).

Аналогично тому, как это было сделано для дифференциального оператора, вводятся понятия верхнего (п+) и нижнего (п) дефектного числа и индекса дефекта (п+,п) разностного оператора Ь.

Известно, что числа п+ и п- удовлетворяют следующим неравенствам:

О < п+ — п < п.

В параграфе 2.2 описана процедура, позволяющая корректно определить векторный оператор Штурма-Лиувилля на полуоси, при условии, что матричный потенциал является сингулярным распределением первого порядка, т.е. <Э(х) = а'(х) (ст(ж) = (рц)1з=ъ Ргз € а производная понимается в смысле обобщённых функций. При этом получено достаточное условие минимальности дефектных чисел такого оператора. Процедура состоит в следующем.

Пусть ' означает обобщённую производную, т.е. производную в смысле теории распределений. Определим произведение производной р' от скалярной функции р £ Ь10С{Я+) на локально абсолютно непрерывную скалярную функцию ф, полагая как обычно

00 р'ф)(ф) = -1 р(фф)' О для любой бесконечно дифференцируемой финитной на (0, +оо) функции ф. Определим также произведение матрицы а' = элементами которой являются обобщённые функции, на вектор-функцию у Е полагая, что координата с номером г [г — 1,2,. ,п) произведения а'у равна Р'пУ\ +Р'г2^2 + ■ • ■ +р'тУп■ Из этих определений следует, что в смысле теории распределений справедливо равенство ау)' = а'у + ау'.

Тогда оператор можно трактовать как оператор, порождённый выражением (3) в пространстве С^1(Я+).

Справедлива следующая теорема и очевидное следствие из неё. Теорема 2.2.2 Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (а к, Ь^) С Я.+ (к =1,2,.) такая, что 1. элементы р^ = 1, 2,. ,п) матрицы а абсолютно непрерывны на к,Ьк];

2. существует веществениозначпая функция fk € Ll[ak-,bk\ такая, что ^(х) > fk(x)In п.в. при х € [ajfc, 6/с] w при всех bub' таких, что сц. < b < b' < bk, выполняется неравенство b' bk ~ ak) J fk{x)dx > -c, ь где О 0 - некоторое постоянное число;

3. оо

- akf = +00. (14) 1

Тогда система п линейных дифференциальных уравнений второго порядка у" = (а' - Л/„)у, ÖA^O имеет ровно п линейно независимых решений, припадлеоюащих £2(.R+). Следствие 2.2.1 Пусть существует последовательность попарно непересекающихся интервалов (a&, bk) С -R+ {к — 1,2,.) такая, что элементы Pij матрицы о абсолютно непрерывны на bk] и сг'(х) > О п. в. при х Е [dk,bk]) и пусть выполнено условие (Ц)- Тогда индекс дефекта оператора Lq равен (п,п).

В параграфе 2.3 устанавливается связь между спектральными свойствами оператора Штурма-Лиувилля, порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве C2n(R+), и разностного оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве /2, в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков. Изложим его содержание.

Пусть Хк (к = 0,1,.) - возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хк = +оо и £о = 0; dk = хк — %к-\\ к—>+оо г к — ск - вещественная симметрическая числовая матрица; а(:г) = Ск при х е [хк-\,хк)\ Лк = := Сш - Ск. В это ситуации выражение (3) принимает вид

00

1[у} = -у" + ^Ак5{х-хк)у. (15) к=1

Справедлива следующая

Теорема 2.3.4 Минималытй замкнутый симметрический оператор Щ, пороэ/сдёнпый выраэ/сепием (15) в пространстве имеет индекс дефекта (2п, 2п) в том и только в том случае, когда все решения векторного разностного уравнения

1^+2^+1 г%+1 ак йк+1 ГкГк+1йк принадлежат пространству I

Эта теорема утверждает, что дефектные числа оператора 1/д, порождённого выражением (15) в гильбертовом пространстве максимальны в том и только том случае, когда максимальны дефектные числа разностного оператора, порождённого обобщённой якобиевой матрицей ./, определённой в (13), где Ао, -Во - произвольные квадратные вещественные симметрические матрицы порядка п, В^1 существует, а

Ак = -^-[Ак + {^- + -^—)1п] и Вк =--Ц-—/„ {к= 1,2,.). гк+1 ак ак+1 гк+1Гк+2ак+1

Отметим, что обобщённые якобиевы матрицы вида 7 возникают в связи с матричной степенной проблемой моментов, предложенной и развитой М.Г. Крейном (см. [17]), и достаточно обстоятельно изучены (см., например, [12]-[14]). Так, например, получены критерии максимальности дефектных чисел соответствующих разностных операторов, а также различные достаточные условия реализации и не реализации максимальности дефектных чисел указанных операторов в терминах элементов матрицы J. Применяя эти признаки и теорему 2.3.4 в данной ситуации, можно получить условия максимальности и не максимальности дефектных чисел оператора порождённого выражением (15), в терминах Лк и dk• Для случая п = 1 это частично и сделано в работах [11], [46]. А именно, справедливы следующие

Следствие 2.3.1 Пусть dk, Гк и Лк (к — 1,2,.) таковы, что справедливы следующие условия: ГкГк+З44+2 — Гк+1Гк+2сС1+1 иЛи ГкГк+зйк<1к+2 — Гк+1Гк+2(Рк+1 0СеХ к — 1,2, ., +00

II Е 4 < +00, к=1 оо , ч

III Е4+1||Л+(^ + ¿7)411 <+оо. — 1

Тогда индекс дефекта оператора 1*д является максимальным.

Следствие 2.3.2 Пусть ||ЛЛ|| < С и к = 0,1,.), пгк+3<4+2 Гк+1^к+1 где постоянный С и # таковы, что С>0«0<д<1. Тогда индекс дефекта оператора является максимальным.

Следствие 2.3.3 Пус7пъ выполняется какое-либо из следующих условий: оо

4 = +оо k=1 или оо / 1 1 \ y^rk+irk+3dk+idk+2\\Ak+i + (¿¡—^ + ¿¡T^J = +00' и —1

Тогда индекс дефекта оператора Щ не является максимальным. Стоит отметить, что первое из перечисленных условий следствия 2.3.3 обеспечивает минимальность дефектных чисел оператора Lq (более подробно см. замечание 2.3.1).

В параграфе 2.4 на основе результатов следствий 2.2.1 и 2.3.1-2.3.3 строятся примеры векторных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями pía полуоси, для которых реализуется случай предельной точки или случай предельного круга.

Пример 2.4.1 Пусть x¡~, Сд. и dk удовлетворяют условиям, персчислсиоо ным в параграфе 2.3, и ^ = +00. Тогда индекс дефекта оператора Lq k=1 равен (п, п).

Пример 2.4.2 Пусть вещественные последовате,льпости ak и Xk таковы, что аь = — 2к + 1 + ^ (с = const, е > 0), х^ = In к (к — 2,3,.), а матрица Ли — otkin- Тогда индекс дефекта оператора Lq максимален и равен (2п, 2п).

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966. — 544 с.

2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.— М.:Физматлит, 1961.— 311 с.

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов: Пер. с англ. — М.: Издательство иностранной литературы, 1958. — 475 с.

4. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом// ДАН СССР. -1961. — Т. 137. № 7. -С. 1011-1014.

5. Биргер Е.С., Калябин Г.А. Теория кругов Вейля в случае несамосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения.- 1976.—'Т. 12.-№ 9,— С. 1531-1540.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с анг— М.: Мир, 1966 — 1063 с.

7. Долгих И.Н., Стрелкова ТА. Асимптотические формулы решений класса дифференциальных уравнений произвольного порядка// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Между нар. научн. конф. 27 июня 2 июля 2008 г.— Суздаль, 2008.—С. 95.

8. Калябин Г.А. О числе решений из 1^2(0, +оо) самосопряжённой системы дифференциальных уравнений второго порядка// Функциональный анализ и его приложения.— 1972.—Т. 6.—вып. 3.— С. 74-76.

9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с анг. — М.: ЛКИ, 2007. — 474 с.

10. Конечная H.H. Об асимптотическом интегрировании симметрических квазидифференциальных уравнений второго порядка// Математические заметки.- 2011.-Т. 90.-вып. 6,- с. 875-884.

11. Костенко A.C., Маламуд М.М. Об одномерном операторе Шрёдингера с ¿-взаимодействиями// Функциональный анализ и его приложения.— 2010.—Т. 44.—вып. 2.-С. 87-91.

12. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Трёхчленные рекуррентные соотношения с матричными коэффициентами. Вполне неопределённый случай// Математические заметки.— 1998.—Т. 63.—вып. 5.— С. 709-716.

13. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Обобщённые якобиевы матрицы и индексы дефекта обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами// Функциональный анализ и его приложения.— 1999.—Т. 33.—вып. 1.— С. 30-45.

14. Костюченко А.Г., Мирзоев К.А. Признаки вполне неопределённости якобиевых матриц с матричными элементами// Функциональный анализ и его приложения.— 2001.—Т. 35.—вып. 4.— С. 32-37.

15. Кошманенко В.Д. Возмущения самосопряженных операторов сингулярными билинейными формами// Украинский математический журнал—1989.-Т. 41 1- С. 3-19.

16. Крейн М.Г. Основные положения теории представления эрмитовых операторов с индексом дефекта (ш, т)// Украинский математический журнал.- 1949.-2,- С. 3-66.

17. Крейн М.Г. Бесконечные J-матрицы и матричная проблема моментов// ДАН СССР.- 1949.—Т. 69.-ДО 2.- С. 125-128.

18. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.—М.-Л.:Гостехиздат, 1950.—159 с.

19. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.— М.:Наука, 1970.-672 с.

20. Лидский В.Б. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений —у" + P(t)y = А у// ДАН СССР.— 1954.—Т. XCV.-№ 2,- С. 217-220.

21. Минлос P.A., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике// ДАН СССР.—1961,—Т. 141,— № 6.-С. 1335-1338.

22. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением в пространстве вектор-функций// Доклады РАН.- 2011.- Т. 441,- № 2,- С. 165-168.

23. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами в пространстве вектор-функций// Уфимский математический журнал. — 2011.— Т.З.—№ 3.— С. 105-119.

24. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.—М.:Наука, 1969.— 526 с.

25. Орлов С.А. Об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов// ДАН СССР. —1953.—Т. 92.—№ 3,- С. 483-486.

26. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами// Математические заметки.—1999.—Т. 66.— вып. 6.-С. 897-912.

27. Савчук A.M., Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями// Труды ММО. — 2003. — Т. 64. — С. 159-212.

28. Сафонова Т.А. Асимптотическая близость решений систем квазидифференциальных уравнений второго порядка// Вестник Поморского университета.— 2010.—серия EH.—вып. 4.— С. 94-96.

29. Сафонова Т.А. Асимптотическое интегрирование систем квазидифференциальных уравнений второго порядка// Математические заметки 2011- Т. 89- вып.6.- С. 951-953.

30. Сафонова Т.А. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентами в пространстве вектор-функций// КРОМШ-2011. Тез. докл. Междунар. конф. 17-29 сентября 2011 г.— Симферополь, 2011.- С. 48.

31. Серебряков В.П. Об индексе дефекта матричных дифференциальных операторов второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами// Известия высших учебных заведений. Математика.— 2000. — № 3(454).-С. 48-53.

32. Серебряков В.П. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля// Дифференциальные уравнения.— 1988.—24(10).—С. 1732-1738.

33. Стрелкова Т.А. Асимптотическое интегрирование симметрических систем дифференциальных уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения и динамические системы. Тез. докл. Между нар. научи. копф. 2-7 июля 2010 г.— Суздаль, 2010.—С. 178.

34. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть I: Пер. с анг. —М.:Издательство иностранной литературы, I960.—276 с.

35. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ. —М.:Мир, 1970.-720 с.

36. Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics.—Springer-Verlag, 1988.—452 p.

37. Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbation of differential operators.— London Math. Society Lecture Rems Series: Cambridge Univ. Press, 2001.-271 p.

38. Anderson R.L. Limit-point and limit-circle criteria for a class of singular symmetric differential operators// Canad. J. Math.— 1976 —28 —№ 5.— P.P. 905-914.

39. Eastham M.S.P. The Asymptotic Solution of Linear Differential Systems. Applications of the Levinson Theoreme.—Oxford: Clarendon Press, 1989.— 241 p.

40. Eastham M.S.P., Gould K.J. Square-Integrable Solutions of a Matrix Differential Expression// Journal of Mathematical Analysis and Applications.- 1983.-91.- P.P. 424-433.

41. Frentzen H. Equivalence, adjoints and symmetry of quasi-differential expressions with matrix-valued coefficients and polynomials in them// Proc. of the Royal Society of Edinburgh.- 1982.-92A- P.P. 123-146.

42. Kostenko A.S., Malamud M.M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set// Journal of Differential Equations.—2010.—249.—P.P. 253-304.