Обратная задача для некоторых классов разностных операторов высокого порядка и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г Б ОА

1 о ДПР №

ШМЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени и. В. Ломоносова

МЕХАНИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ЕЕ ПРЙЛСЯЕНИЯ 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ОСИПОВ АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

УДК 517.984 + 530.1

МОСКВА 1994

4

Работа выполнена на кафедре теории функций и функцио-----------нального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А. Г. Косточенко. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, ---- профессор В. Л- Юрко..

кандидат физико-математических наук, доцент A.C. Печенцов. Ведущая организация - Московский физико-технический

институт.

Защита диссертации состоится " 2*1 " _

1995 г. в 16 ч. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д. 053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-

математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ? "j " cAlCLfr/rtö._ 1995 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.053.05.04 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы,после решения Г.Гарднером, Дж. Грином, М.Крускаллом и Р.Миурой задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) методом обратной задачи теории рассеяния [1] в математической физике значительно возрос интерес к поиску и исследованию точно решаемых нелинейных эволюционных уравнений.Появление новых способов интегрирования этих уравнений стимулировало развитие ряда областей математики.

Наряду с развитиём методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных активно исследовались дискретные системы нелинейных эволюционных уравнений - нелинейные цепочки. Среди дискретных систем наиболее известными являются цепочка Тода, описывающая эволюцию системы частиц с экспоненциальным взаимодействием между соседями и цепочка Ленгмюра (модель Вольтерра) .фазовое пространство которой образуют переменные .удовлетворяющие уравнениям

¿9-п.Ю = аа.-1 т.

сиЬ

Эти модели имеют многочисленные естественнонаучные приложения. Сущность большинства предложенных методов интегрирования данных цепочек заключается в их представлении в виде матричного уравнения Лакса

и исследовании эволюции данных обратной задачи для разностного оператора , соответствующего матрице , в силу этого уравнения. При интегрировании цепочек Ленгмюра и Тода методом обрат-

1. Gardner G..Green J.,Kruskal M.,Miura R. A method for solving the Korteveg- -de Yries equation//Phys.Rev.Lett. -1967. Vol.19, N. 19. -P. 1095-1098.

... - -2-

ной задачи теории, рассеяния рассматривается разностный оператор, который является, дискретным аналогом дифференциального^_____

оператора Штурма-Лиувилля,использующегося при.решении уравнения Кдф (см. С23).Как . в случае классической цепочки Тода,так и в случае цепочки Лелгмюра при условии данный разностный

оператор является самосопряжённым и ему соответствует бесконечная якобиева матрица, юнеющая-три ненулевые диагонали (трёх-диагопальная матрица) .Чю касаохсл - других . цетодов. "лтсгрирсг;:;-ния цепочки Тода.то следует отметить работы И.М.Кричевера [3], где было получено её общее решение в периодическом случае и А.Ю.Далецкого.Г.Б.Подколзина Ш,где была изложена процедура построения решения цепочки в случае,когда соответствующий ей разностный оператор - компактный.

Диссертация посвящена изучению таких вопросов как интегрирование ряда нелинейных цепочек, обобщающих цепочки Ленгмюра и Тода в классе ограниченных решений и развитие метода обратной задачи для их интегрирования.Цепочки будут рассматриваться как в полубесконечном (т.е. когда дискретная переменная пробегает целые неотрицательные ■ значения), так и в бесконечном (целая дискретная переменная) случаях.Классическая, цепочка Тода в полубесконечном случае впервые была проинтегрирована Ю. М.Березан-ским методом обратной спектральной задачи для якобиевых матриц в [5].Данный метод,в отличие от метода обратной задачи теории

2. Захаров В.Е.,Манаков С.В..Новиков С.П.,Пигаевский Л.П. Теория солитонов. - М.: Наука,1980. - 320с.

3. Кричевер И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения//Успехи мат.наук.-1978. Т.ЗЗ,К 4.-С.215-216.

4. Далецкий А.Ю. Подколзин Г.Б. Групповой подход к интегрированию бесконечной цепочки Тоды//Укр.мат.журн.-1988. Т.40,И 4.-С. 518-521.

рассеяния , : позволяет строить решения для произвольных ограниченных начальных данных,не Удовлетворяю!^' никаким асимптотическим условиям на бесконечности.Чтобы применить метод к нелинейным цепочкам с операторными коэффициентами необходим аналог прямой и обратной спектральной задачи для разностных операторов,соответствующих матрицам L представления Лакса,элементы которых - ограниченные операторы,действующие в некотором банаховом или гильбертовом пространстве. В случае полубесконечных якобиевых матриц с матричными и операторными элементами подобная теория была развита М.Г. Крейном и Ю.М.Бе-резанским.Однако,при изучении нелинейных систем,допускающих представление Лакса,часто возникает ситуация,когда соответствующая матрица L(t) не является симметрической.Следуя работе [63,где для дифференциальных операторов второго порядка была введена обобщенная спектральная функция,Ю.Л.Кишакевич в [7] ввел обобщенную спектральную функцию для полубесконечных трех-

диагональных L(i) .коэффициенты которых - операторы в банахо-

\

вом пространстве.Следует отметить также работу Г.Ш. Гусейнова

5. Березанский Ю.М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи//ДАН СССР -1985. Т. 281,N 1.-С.16-19.

6. Марченко В.А. Разложение по собственным функциям несамосоп-ряженнх сингулярных 'дифференциальных операторов второго порнд-ка//Мат.сборник.-1960. Т.52,К 2.-С.739-788.,

7. Кишакевич Ю.Л. Спектральная функция типа Марченко разностного оператора четного порядка//Мат.заметки:-1972. Т.116,-С.661-668.

[8],где была рассмотрена обратная задача по обобщенной спектральной функции для якобиевых матриц с комплексными элементами. Методика восстановления несамосопряженного разностного опе-

по обобщенной спектральной функции была использована М.И.Гехт-маном в [91 для интегрирования полубесконечных нелинейных систем, коэффициенты которых - ограниченные операторы в банаховом пространстве - т.н. неабелевы цепочки Тода и Ленгмпра.

В диссертации в основном рассматриваются системы нелинейных уравнений,матрицы Iпредставления Лакса которых содержат больше чем три ненулевые диагонали. Данным матрицам соответствуют разностные операторы,который можно интерпретировать как дискретный аналог дифференциальных операторов высокого (т. е. более второго) порядка.При исследовании обратной задачи для разностных операторов высокого порядка будет использована методика восстановления дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля,изложенная в [103.Применительно к исследованию рассматриваемых разностных операторов данная методика позволяет восстанавливать коэффициенты оператора без предположения об их асимптотическом поведении на бесконечности и структуре его спектра;кроме того,частным случаем матрицы Вейля является обобщенная спектральная функция,введенная в [7-8].

8. Гусейнов Г.Ш. Определение бесконечной несамосопряженной матрицы Якоби по ее обобщенной спектральной функции//Мат. заметки.-1978. Т.23,Ы 2.-С.237-241.

9. Гехтман М.И. Интегрирование неабелевых цепочек типа Тоды //Функц.анализ и его прилож.-1990. Т.24,Ы З.-С.68-69.

10. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун.-та,1989. - 176с.

ратора,которому соответствует трехдиагональная

Дедь работы. Провести обобщение метода обратной спектральной задачи на некоторые виды разностных операторов высокого порядка и проинтегрировать в классе ограниченных решении ряд нелинейных цепочек данным методом обратной задачи.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем (подробнее - см. содержание диссертации).

1. Для рассматриваемого класса бесконечных матриц (матриц ) сформулирован критерии разрешимости обратной задачи в

терминах моментнои последовательности матрицы ВейляЗ(ЖЩк установлена характеристика подкласса матриц М ("разреженные" матрицы) по данной последовательности.

2. Для конечных матриц М доказан аналогичный критерии и установлено соответствие между ними и рациональными функциями.

3. В случае бесконечных /А с операторными элементами найден явный алгоритм восстановления их коэффициентов и доказан критерий разрешимости обратной задачи по$(Ш(х)).

4. В различных ситуациях доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дискретного аналога уравнения Кортевега-де Фриза и приведены процедуры их построения. Указан метод построения иерархии нелинейных динамических систем, порожденных данным дискретным КдФ.

5. Приведено решение задачи Коши для ряда нелинейных цепочек, являющихся обобщениями модели Вояьтерра изложенным методом обратной задачи. Кроме того, выполнено интегрирование дискретного аналога модели главного кирального поля (неабелевой цепочки Тода).

Методы исследования. Использованы методы линейной алгебры, спектральной теории разностных операторов и формализм "пар Лакса" для нелинейных дифференциально-разностных выражений.

-б-

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в_______________

математической физике,теории несамосопряженных операторов,теории функций и при решении некоторых биологических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов механико-математического факультета МГУ и на 4-й Крымской осенней ызхёмй'хичииил! шидц чи ииишрилышм и аиишоционным задачам.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах,список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав,включающих в себя 5 параграфов и списка литературы, содержащего 59 наименований. Обь ем диссертации - 110 листов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор результатов по исследуемым проблемам и кратко формулируются основные результаты диссертации.

В первом параграфе первой главы излагается общая схема метода обратной задачи, используемая в дальнейшем.Именно,рассматриваются матрицу М-»нетривиальные элементы которых имеют вид:

(1)

т.е.

м

_/г

о о о

ООО

о 1

о

о а

о о

•Л

гл*1

У

Данным матрица« соответствуют разностные выражения,действующие на последовательности по формулам

4.

Матрицы такого вида будут названы матрицами М ив дальнейшем не делается различия между матрицами М и соответствующими им разностными выражениями.Затем предполагается,что коэффициенты М ограничены в совокупности.Вводятся функции

удовлетворяющие уравнению

начальным условиям _ . „ Л ..

и допускающие представление ^

Я^-0 прис>Л. Функции Ф (а) называются решениями Вейля для М , числа моментами ф?(а) .Кроме того,вводятся многочлены РР1)'^^))^;

о »представляющие собой аналог многочленов первого и второго рода для якобиевых матриц. Определяется следующий обьект: матрица (строка) Вейля 272(л) для М •

УП(>У~^(Х>у~; (2)

Затем излагается процедура определения элементов М (завершающаяся краткой формулировкой алгоритма) при помощи многочленов Р^(>.) .коэффициенты которых определяются

поЩ

.Данный алгоритм

для более сложного случая матриц,чем М изложен в [103,стр.155. Далее Ф^ обозначаются к и определяется

моментная последовательность матрицу Вейля:

Формулируется критерий разрешимости обратной задачи по $ ("№.(*)).

Теорема 1.1.1. Для того, чтобы последовательность

была моментной последовательностью для матрицы Вейля бесконечной матрицу (разностного выражения) М необходимо и достаточно выполнение условий

1) 5*=...= фо,

2) при любом й. ^ 0 определители

= при +

отличны от нуля.

В случае Я= 1 формулы для вычисления элементов М при помощи моментных определителей совпадают с формулами вычисления элементов якобиевых матриц и определители из (3) являются определителями ганкелевых матриц.Далее матрицы типа тех,которые получаются в (3), будут называться квазиганке левыми. Затем доказывается "критерий разреженности" для М .важный в приложениях, связанных с интегрированием нелинейных цепочек.

Теорема 1.1.2. Для матриц Д\ выполнение условий -О

О равносильно справедливости равенств

Параграф 1.2 посвящен исследованию конечных матрицМ

.удовлетворяющих (1).Для таких матриц аналогично предыдущему параграфу вводятся решение Вейля .матрица Вейля по формуле (2) и ее моментная последовательность^???^). Далее доказывается теорема 1.2.1,дающая критерий разрешимости обратной задачи для М по9(77?(Л)),где к условиям теоремы 1.1.1 1) и 2).справедливого при %.~0у..}У-<1 .добавляется условие:

3) выполняются равенства

при некоторых константах С& .

Затем рассматриваются бесконечные квазиганкелевы матрицы

конечного ранга.Теоремы 1.2.2 и 1.2.3,обобщающие известные теоремы о свойстве бесконечных ганкелевых матриц конечного ранга и их сеязи с рациональными дробями приводят к следующей теореме.

Теорема 1.2.4. Существует взаимно-однозначное соответствие между матрицами удовлетворяющими (1),и рациональными

функциями ,, „ и«,,

удовлетворяющими условиям

1) ~ несократимые дроби,

2) отличны от нуля.квазиганкелевы определители

.заданные формулами (3),где элементы определяются в результате приравнивания дробей D¿(Ф и их представлений в виде рядов

... г (условия Д0 ивыполняются автоматически) .По функциям

(?) строится бесконечная квазиганкелева матрица конечного ранга N-<¡,+ 1 .элементы которой удовлетворяют условиям теоремы 1.2.1 и, следовательно,составляют моментную последовательность Для некоторой матрицы М »однозначно ее определяющей. Обратно,по М строится бесконечная квазиганкелева

матрица конечного ранга Л/-1+1 ,по которой однозначно определяются функции 0.

Б параграфе 1.3 рассматриваются бесконечные матрицы М , элементы которых - ограниченные операторы в банаховом пространстве (ср. с (1)):

А1,1-1 = Е] Д^ " обратимы.

К данным матрицам применима схема восстановления их элементов по 5 (*)Т1(>\)) , изложенная в параграфе 1.1. Доказывается теорема

-101.3.1 .являющаяся аналогом теоремы 1.1.1 для рассматриваемого случая.Однако,схема параграфа171 не дает детального способа восстановления элементов операторной матрицы М .Для определения данной процедуры рассматривается "сдвинутая" матрица со следующими ненулевыми элементами

£ и; г>л; m^(Mí0>--M).

Для матриц Mín9 можно ¿вести моментную последовательность

.Тогда для вычисления элементов справедливы следующие формулы д . • ;--о --г

' > У V*v ' Awm = S¿m, ^m^rtiH-Sf'-S^S'i"1, т^^ W при ч-i a1+m,t4rjl = sl^; ацт^т^-^)* Таким образом.дальнейшая задача заключается в том,чтобы получить исходя из S(í]?(A)J.B итоге доказывается теорема.

Теорема 1.3.2. Элементы матриц М с операторными элементами восстанавливаются следующим образом :

1) По моментной последовательности матрицы Вейля S(^!(aV) строим5т(711 (>)) .пользуясь рекуррентными формулами

ГДе .С*,™

>, -i (суммирование ведется по всем наборам ин-

дексов i*,..., .удовлетворяющих указанным услолвиям).

В частном случае Ц,={

2) По формулам (4) определяем элементы М .

Далее, на примереЯдоказывается, что в случае .когда элементы/Ч -комплексные числа,алгоритм их восстановления по теореме 1.3.2 совпадает с алгоритмом параграфа 1.1. ' Вторая глава диссертации посвящена интегрированию нелинейных разностных уравнении рассмотренным методом обратной задачи.В параграфе 2.1 изучается в различных ситуациях задача Коши для системы уравнений

к--кЫкн-к-д-сАкн k-i¿-Dk-i))

При разных комбинациях коэффициентов C¿ и С4 система является дискретным аналогом первого и .соответственно, "второго" [23 уравнения КдФ. Первоначально рассматривается полубесконечный случай,т.е. )-8~-t--О .Далее на искомое решение налагаются дополнительные условия : (é>¿(í))itoe¿iCtftO, Ci,Cae /R .Тогда (5) можно проинтегрировать методом обратной спектральной задачи 151 и справедлива следующая теорема. Теорема 2.1.1 Система (5),в

ситуации éiíi)>0, Ul+)i*CO,T) при любых начальных данных (¿¿(О^^^имеет единственное решение ^со -Данное решение получается при помощи еле-дующей процедуры: полагаем £¡(0)-CL-l(о)} Cli(0)>0 и строим бесконечную якобиеву матрицу L(Ó) (с нулевой главной диагональю) представления Лакса для (5) .Пусть ^ -спектральная функция соответствующего самосопряжённого оператора (0) S,глеЕд -разложение единицы оператора/^ PQ - . Затем, для ¿ é С 0} Т) вычисляем по формуле

Ортогонализуя степени i,^^--. по .получаем после-

довательность многочленов P0(\±)-i) P-i••• с положительными старшими коэффициентами и находим €¿ (i) по формулам:

Рассуждения, проведённое при доказательстве существования решения системы,дают возможность построить счётное множество нелинейных систем, связанных с (5):

Утверждение 2-1.1. Существует счётное множество нелинейных цепочек,имеющих в представлении Лакса ту же матрицу/.^) , что и (5) приI} С^-0..' (система,порождающая иерархию).

Рпои'Фпа пт. ииа Атшиптн IV лилтп»! «гплп «лт^лппуми »»»"»•>пмл»н»п» »

-гладкие функции, положительные при £ £ ГО, Т). В силу совпадения матриц (_ для всех систем иерархии,её собственные значения являются для них интегралами движения.

Далее изучается случай С .Здесь для (5)

справедливо несимметрическое представление Лакса со следующими

ОО

ненулевыми элементами матриц I- -о }

I-1,1+1 ~ J

3

Матрица L представляет собой частный случай матриц/Л .рассмотренных в параграфе 1.1,и для справедливы результаты данного параграфа.Изучение эволюции ее моментной последовательности в силу уравнения Лакса приводит к следующей теореме. Теорема 2.1.2. При любых начальных данных (С))--0 ~ Ьао (с)О существует с у0 .такое,что е интервале С (^<5") решение задачи Коти для (5) (Р; € ¿^ существует и единственно и

определяется формулами ^/{)--(О/ЛI ¡¿) , I £ ,где элементы моментных определителей составленных по

формулам (3) задаются следующим образом

о))!,";

(о) -моменты матрицы ¿(0) .Кроме того,если при любом £ из интервала СО, Т*) элементы построенной последовательности £¿(4) отличны от нуля,то данное решение существует и единственно на С 0у) .причём ({) при всех ^ отличны от нуля.

Далее система (5) рассматривается в бесконечном случае, т.е. .когда } ^; €¿(^^0. Вначале изуча-

ется самосопряжённый случай.Используется подход,связанный с аппроксимацией системы (5) решениями подходящих конечных систем,связанных с (5) .В результате доказывается теорема:

Теорема 2.1.4. Пусть начальные данные (в[(0))1--для (5) ограничены в совокупности константой К .Тогда решение системы существует и единственно,причём для некоторого <У*~(к) на интервале [ 0$ оно может быть представлено в виде ряда

Ш^ё- ЬЪЬ* ;

1--о г1

а Ь-ч('1 определяются как

Элементы 5 р здесь определяются как моменты спектральной функции разностного оператораЪр~

.соответствующего конечной матрице

/о а^-(о) с о... о о\

<*1-и(0) 0 О£.м«10) о .. . о (И 0 ' •.

: (7.^^(0) о а1+ы10)

V о о /

Числа а-(о) определятся из соотношений ¿¿М-Й^о), (/¿(о)~>0.

~X4t~

Наконец, рассматривается бесконечный случай системы (5) в ситуации, когда -¿¿б^С^С^еС.Аналогично бесконечному самосопряжён____ному случаю, здесь также можно получить решение (5) в виде сте-----------

пенного ряда,коэффициенты которого составлены при помощи соответствующих конечных матриц М .Существенное различие между теоремами 2.1.3 и 2.1.4 заключается в том,что в силу изоспек-тральности оператора е самосопряжённом случае можно, последовательно применяя процедуру теоремы 2.1.3,построить глобальное решение (Ь) наС0;Т) что,вообще говоря,не справедливо для теоремы 2.1.4.

В начале параграфа 2.2 рассматривается система

(а^Опри £<о);

teCO/Г); ^Ш^-О^оо^ Предполагается,чтоО при всех & .Доказана теорема,дающая локальное решение задачи Коши в рассматривемом случае.

Теорема 2.2.1.Пусть для системы (6) коэффициенты е Í оо и отличны от НУЛЯ ПРИ всех & • Тогда найдётся сГ >0 такое,что при £е['0)£)решение задачи Коши для (6) существует,при-teil. .единственно и находится по схеме:

1)Строится матрица начальных условий представления Лакса для (6) L(o) .ненулевые элементы которой имеют вид:

2) Для ¿(0) находится моментная последовательность 11 (л)).

3)Строится последовательность S^Tñ^tj) =

4)Восстанавливаются коэффициенты Q-feíí/

ftfetó-Аы (*) A w/д | ^

гдеД^(0-состоящие из элементов?^1(Л/)) квазиганкелевы определители, составленные при помощи (3).

Если построенная последовательность отлична от нуля при всех & иЬе[0,Т),то указанная процедура даёт глобальное решение системы.

Далее система (6) рассматривается в случае Оказывается,что (6) можно решить методом аппроксимации конечными системами и справедлива теорема 2.2.2, аналогичная теоремам 2.1.3-2.1.4. Затем изучается система:

к= Ч ^ - ¿4 > **= *6 (7:

Как и модель Вольтерра, (7) используется при описании эволюции популяции системы конкурирующих особей и в физике плазмы; а цепочка (6) при любом является дискретным аналогом уравнения КдФ [113.В предположении ЯбЦ -1 системы (6) и (7) оказываются эквивалентными, что позволяет доказать теорему 2.2.3,дающую решение (7).

Завершает параграф 2.2 рассмотрение дискретного анаяога модели главного кирального поля,которая сводится к неабелевой цепочке Тода,элементы которой - матрицы размера А/*Л/

An.Lt) =АГ1(.0Ва+1(^-Вл(4)Ала; Аа-1

Изучение данной цепочки приводит к теореме 2.2.5,аналогичной теоремам 2.1.3-2.1.4 , 2.2.2 и дающей решение цепочки в бесконечном случае;при этом элементы моментных последовательностей конечных матриц,аппроксимирующих решения системы,определяются при помощи алгоритма параграфа 1.3.

Автор признателен своему научному руководителю А.Г.Костю-ченко за постановку задач,консультации и внимание к работе.

11. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. -М.: Наука, 1991.-320с.

Работы автора по теме диссертации.

1. Осипов A.C. Интегрирование одной нелинейной цепочки методом обратной задачи. Проблемы математики в физико-технических и экономических задачах.Междуведомств. сборник.М.: МФТИ.1993.- С.-128-134.

2. Осипов A.C. Интегрирование нелинейных цепочек типа Воль-терра методом обратной задачи. Мое ква.1993,20с. Яеп. в. ВИНИТИ от 18.08.94,Н 2096-Б94.

3. Осипов A.C. Дискретный аналог уравнения Кортевега-де Фриза: Интегрирование методом обратной задачи//Мат. заметки. -1994. T.56,N 6. С.141-143.

Подписано к печати 25.02.95 г. Зак. 598. Тир. 100. НИИСИ РАН