Устойчивость разностных схем с параметром в нелокальных граничных условиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова ф-т Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

■м

УДК 519.63

Удовиченко Нелля Сергеевна

Устойчивость разностных схем с параметром в нелокальных граничных условиях

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003468028

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гулин Алексей Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кулешов Андрей Александрович;

кандидат физико-математических наук, доцент Тихомиров Василий Васильевич.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН.

Защита диссертации состоится " 20 " ЛЯД 2009 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " {7 " ПпрелЯ 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.43,

доктор физико-математических наук, .3 /

профессор

Е.В. Захаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При численном решении задач математической физики важным аспектом является построение разностной схемы. Одним из главных факторов выбора схемы является ее устойчивость. Теория устойчивости разностных схем стала отдельной областью исследования в середине прошлого столетия. Исследованиям посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов, а также на использовании метода энергетических неравенств.

Одним из наиболее перспективных направлений стала теория, разработанная A.A. Самарским, которая легла в основу настоящей диссертации. В его работах1' 2 поставлена и во многом решена задача построения общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем как операторно-разностных уравнений в гильберторовом пространстве.

При рассмотрении схем с несамосопряженными операторами такая теория дает только необходимые условия устойчивости, хотя основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Таким образом, исследование устойчивости несамосопряженных разностных схем сталкивается с принципиальными трудностями, поэтому приходится выделять более узкие классы схем по сравнению с общими схемами.

В настоящей работе рассматриваются системы дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными граничными условиями из класса несамосопряженных задач. К изучению нелокальных разностных схем приводят математические модели для ряда прикладных задач в области биологии, физики, моделирования процессов переноса химически активных элементов, загрязнений рек, геттерирования. Нелокальные задачи возникают в квазистатической теории термоэластики и для систем терморезисторов. Примером нелокальной задачи является процесс распространения тепла в стержне при задании соотношения потоков тепла на обоих концах стержня или процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц. Применение метода разделения переменных к таким нелокальным задачам приводит к необходимости изучения спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных и разностных операторов, особенностью которых является неполнота систем их собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, ко-

1 Самарский A.A. О регуляризации разностных схем. ЖВМиМФ. 1967. 7, ЛЧ. С. 62-93.

2Самарский A.A. Классы устойчивых разностных схем. ЖВМиМФ. 1967. 7, №5. С. 1096-1133.

торых может быть как конечное, так и бесконечное число.

Общая постановка нелокальных задач для уравнений в частных производных была сформулирована в известной работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского3. В работах Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина изучалась задача для уравнения теплопроводности

ди сРи „ ,„.

flTft?' Q<X<1' i>0' (1)

и(х, 0) = uo{x), 0 < х < 1 с нелокальными граничными условиями вида du ди

ди ди

Cldx^' t) + dlg^(1>t)+ c°u(0, ь) + ^i1'*) = Первые исследования нелокальной задачи для однородного уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием были проведены J.R. Cannon4.

В настоящей диссертации рассмотрим частный случай задачи (1)-(2): ди д2и

- = 0 < х < 1, t>0, (3)

и(х,0) = щ(х), 0 < х < 1, «(0,4) = 0, 7g(0,i) = g(l,i). (4)

Здесь 7 - заданный числовой параметр. Известно, что определяющий указанную задачу дифференциальный оператор не является самосопряженным и при 7 = 1 не обладает базисной системой собственных функций.

Свойства пространственного оператора задачи (3)-(4) при 7 = 1 изучались в работах В.А. Ильина, Е.И. Моисеева и их учеников. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В.А. Ильиным5, 6. Было показано, что для несамосопряженных операторов существует базис, состоящий из собственных и присоединенных функций. Опираясь

3Бицадее A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР. 1969.185, №4. С. 739-740.

4J.R. Cannon. The solution of the heat equation subject to the specification of energy. Quart. Appl. Math. 21(1963). Pp. 155-160.

"Ильин B.A. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. Докл. АН СССР. 1976. 227, №4. С. 28-31.

'Ильин В. А. Об абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. Докл. АН СССР. 1984. 274, №1. С. 19-22.

на разложение по такому базису, было доказано существование и единственность многих задач с нелокальными граничными условиями - найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.

Впервые разностные схемы для задачи (3)-(4), когда 7 = 1, были рассмотрены Н.И. Ионкиным7 в 1977 году. Опираясь на концепции работ В.А. Ильина, Н.И. Ионкин построил базис из собственных и присоединенных функций разностного оператора в явном виде, и на этой основе методом разделения переменных получил достаточные условия устойчивости разностных схем с весами. В другой работе Н.И. Ионкин и В.А. Морозова8 вложили исследование разностных схем с нелокальными граничными условиями в общую теорию устойчивости разностных схем, предложенную A.A. Самарским. Такое вложение позволило получить необходимые и достаточные условия устойчивости в различных нормах.

Разностные схемы для задачи (3)-(4) при —1 < 7 < 1 изучались A.B. Гу-линым и В.А. Морозовой - был приведен пример9, в определенном смысле имитирующий задачу с переменными коэффициентами и допускающий построение точного решения в аналитическом виде. Было замечено, что спектр рассматриваемого разностного оператора является простым и только в случае 7 = 1 переходит в кратный. Также показано, что при |7| < 1 схема (3)-(4) является симметризуемой, что позволило получить критерий устойчивости в терминах параметров схемы и построить норму, в которой имеет место устойчивость по начальным данным. В работе10 A.B. Гулиным, Н.И. Ионкиным и В.А. Морозовой были получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным в некоторой специальным образом построенной энергетической норме для двух случаев: 7 = 1и0<7<1.

Различные аспекты теории разностных схем с нелокальными граничными условиями также рассматривались в работах В.Л. Макарова, Д.Г. Гордезиа-ни, М.П. Сапаговаса, Р.Ю. Чегиса , Sun Zhi-Zhong, Y. Lin и других авторов.

7Иогашн Н.И. Разностные схемы доя одной неклассической задачи. Вестник Московского университета, серия 15, Вычислительная математика и кибернетика. 1977. Л*2. С. 20-32.

8Ионкин H.H., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями. Вестник Московского университета, серия 15, Вычислительная математика и кибернетика. 2000. JV3. С. 19-23.

°Гулин A.B., Морозова В.А. Об одной нелокальной разностной краевой задаче. Прикладная математика и информатика: Труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: МАКС Пресс. 2002. С.80-88.

10Гулин А. В., Ионкин Н. И., Морозова В. А. Критерий устойчивости разностной схемы для нелокальной задачи теплопроводности. Известия Вузов, Математика, 2007. № 6 (541). С. 21-28.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению устойчивости разностной нелокальной задачи для уравнения теплопроводности с параметром 7 в граничных условиях, исследованию свойств спектра основного разностного оператора, выяснению базисности системы собственных функций, если граничный параметр 7 ^ (—1,1] и для комплексного 7.

Научная новизна работы. В диссертационной работе впервые исследуется разностная задача для уравнения теплопроводности с параметром 7 в нелокальных граничных условиях в такой общей постановке, когда 7 - любое действительное число или 7 - комплексное.

Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости разностной задачи. Определена специальная норма в энергетическом пространстве. Доказана ее эквивалентность сеточной L2-норме.

Выделен особый случай 7 = — 1. В этом случае построен базис из собственных и присоединенных функций.

Теоретическая и практическая ценность работы. Данная работа носит в основном теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться для изучения несамосопряженных операторов второго порядка, а также для дальнейшего изучения класса нелокальных задач для уравнений параболического типа.

Результаты по исследованию устойчивости разностной задачи могут быть применены при расчетах физических задач, описывающих диффузию частиц в плазме или определяющих процесс распространения тепла в тонком нагретом стержне при заданном общем изменении количества тепла.

Методы исследования. В основу работы легла теория разностных схем, разработанная A.A. Самарским. При доказательстве некоторых утверждений настоящей диссертации были использованы результаты из последних работ A.B. Гулина, Н.И. Ионкина и В.А. Морозовой.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены в виде докладов на:

• на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005";

• на Международной конференции "Тихонов и современная математика", 2006 г.;

• на научных конференциях "Тихоновские чтения"в 2007, 2008 гг.;

• на научно-исследовательских семинарах кафедры вычислительных методов ф-та ВМиК МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии. Объем работы 120 страниц. Библиография включает 39 наименований.

Основное содержание работы. Приведем краткое изложение основных частей диссертации. Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении подчеркивается актуальность задачи, дается обзор работ, непосредственно относящихся к предмету диссертации, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе проводится исследование спектра основного оператора схемы с весами для задачи теплопроводности (3)-(4):

•/»+1 _ уп

Уг т Уг = <п£1 + (1 - < = 1,2.....Л" - 1,

^^ = I - да + (1 - - 2/Ы].

!/? = «<,(«,■), » = = п = 0, 1, ...

(5)

при вещественных параметрах с и 7, причем рассматриваются случаи 7 < — 1 и 7 > 1. Схема (5) имеет второй порядок аппроксимации по пространству и первый - по времени. Показано, что случай 7 = — 1 является особым, как и 7=1, поскольку, как у дифференциального, так и у разностного операторов система собственных функций не образует базис при | 'у | = 1 — ее необходимо пополнять присоединенными функциями. В первой главе также подробно изучается случай 7 = — 1.

Вводится Лг-мерное линейное пространство Н комплекснозначных векторов у, = у(х,), заданных на равномерной сетке с шагом к и удовлетворяющих условию уо = 0, со скалярным произведением и нормой лг-1

(У>«] = + 1М1 = \/(У> У]- (6)

¿=1

Схема (5), как и любая линейная двуслойная разностная схема, записывается в канонической форме

вУп+1 - Уп + _ п = 0|1)_( уо задаН1

где уп = е Я-функция дискретного аргумента ¿п = пт со значениями в конечномерном линейном пространстве Н и А, В - линейные операторы, действующие в Н. Считается, что операторы А и В не зависят от п, оператор В имеет обратный. Здесь оператор В = Е + атА, а оператор А определяется равенствами

[Ау){ = -ухх,ь г = 1,2,...,Аг-1, (7)

2

2/0 = 0, {Ay)N = -^{1Ух,0 - Ух,ы)-

Рассмотрим подробнее содержание первой главы по параграфам.

В первом параграфе получено решение спектральной задачи для основного разностного оператора схемы в общем виде:

А, = |шп2 , УТ = вш ((2«к Т ф)х,),

где 'ф = ахссо87, к = 0,1,2,...(IV — 1)/2 - в случае нечетного N, к = 0,1,2, ...N/2 — 1 - в случае четного N. Замечено, что в дифференциальном, как и в разностном случаях собственное значение, равное нулю, появляется только в случае 7=1. Из вида выражений для собственных функций очевидно, что дифференциальное и разностное решения совпадают в точках сетки. Однако собственные значения в дифференциальном и разностном случаях не равны. При небольших номерах к они будут близки, но с ростом индекса к собственные значения (при |'у[ > 1 и 7-комплексном вещественные части собственных значений) разностной задачи существенно отличаются от собственных значений дифференциальной задачи.

Во втором параграфе первой главы рассмотрены частные случаи решения спектральной задачи для различных значений параметра 7 для всей вещественной оси. Результаты этого параграфа используются далее для исследования спектра основного разностного оператора. Получили, что при |7| = 1, собственные функции не образуют базис. Случай 7 = 1 уже был рассмотрен11. В следующих параграфах подробно изучается случай 7 = -1.

В третьем параграфе первой главы для особого случая 7 = — 1 составлен базис из собственных и присоединенных функций в Н. Доказаны леммы о виде собственных и присоединенных функций в случае нечетного и четного N. Показано, что в случае 7 = — 1 в отличие от 7 = 1 не существует

"Ионкин Н.И. Задача для уравнения теплопроводности с неклассическим (нелокальным) краевым условием. Будапешт, Кшоепкив МосЬегек, №14.1979. 70 с.

собственного значения, равного нулю. При четном N все собственные значения являются кратными с алгебраической кратностью 2. При нечетном N имеется одно простое собственное значение, остальные кратные.

Далее, предполагается, что TV-нечетное число, так как утверждения в случае iV-четного аналогичные.

Лемма 1. Собственные значения оператора (7) при 7 = — 1 в случае нечетного N имеют вид

4 . 2 /27Tfc - 7Г\ , , „

A2fe-i = psiir I 2N 1, к = 1, 2, ..., т,

Мк = Sin I 2N 1 , А == 0, 1, ..., 771-1, =

Число Ajv-i является простым собственным значением, ему отвечает собственная функция Xj) = (-1 Yxj. Остальные собственные значения А2 k = ^2k+i = А к, к = 0, 1, ..., т — 1 имеют кратность 2. Для к = 0, 1, ..., ттг — 1 каждому собственному значению Afc отвечает одна собственная функция fi^2k\xj) = sin((2fc + 1)7ГXj) и одна присоединенная функция = £jCOs((2fc + 1)л-Xj), так что выполнены равенства

V2*+1)N = A k^M+Pk^Kxt),

= A

2 _ (2 k + lW/i

где к = 0, 1, ..., т — 1, = sin((2fc + 1)7xh) = 2\/Хк cos-^—,

N- 1 m = 2 '

Определено расположение собственных значений оператора А. Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2. Пусть N-нечетное число. Собственные значения оператора А расположены в следующем порядке

О < Ао = Ai < А2 = A3 < ... < Ajv-З = AJV-2 < AJV-I-

Лемма 3. Справедливы оценки

Ло^ТТ7bf' Am_1< 1-V1-/12'

Также в третьем параграфе первой главы получено решение задачи на собственные значения для сопряженного оператора А*. Доказана

Лемма 4■ Пусть N-нечетное число. Оператор А* при 7 = — 1 умеет те же собственные значения, что и оператор А. Собственные и присоединенные функции оператора А* имеют вид, соответственно,

= 4со8(тг(2 к + 1)®4), »^(а*) = 4(1 - ц) вш(?г(2 к + 1)ц), ЛГ-1

А; = 0,1, ...,т — 1, т= ■ , 1^-1 (жО = 2(-1)\ так что выполнены равенства

А*^2Ш\х{) = А^^СгО,

Показано, что системы собственных и присоединенных функций операторов А и А* биортонормированы. Из свойства биортормированности систем следует их базисность в пространстве Я.

В четвертом параграфе первой главы исследована устойчивость по начальным данным разностной схемы при 7 = — 1.

Задается самосопряженный положительный оператор Б : Я —> Я. Норму |М|о = у/{Ву, у) называют энергетической нормой, а сам оператор £> оператором нормы. Под пространством Яд понимается множество всех элементов у 6 Я с нормой ||у||д. Разностная схема называется устойчивой в пространстве Но, если при любых начальных данных уо£ Н для ее решения выполняются неравенства

{РУп+иУпп) < {Оуп,Уп), п = 0,1,...

В параграфе проведен анализ собственных значений оператора А, который приводит к выводу о том, что из устойчивости схемы в каком-либо пространстве Но при достаточно малых Л следует неравенство

«8,

Нетривиальным является тот факт, что условие устойчивости (8) является и достаточным в энергетическом пространстве Яд. Справедлива

Теорема 1. Пусть 7 = —1. Если выполнено неравенство (8), то схема устойчива в пространстве Но, где О = (НММ*)~\ аМ - матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы оператора А.

Далее, доказана эквивалентность нормы, порожденной оператором D, сеточной Z/2-норме.

Теорема 2. Пусть М — матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы основного оператора А с 7 = —1. Определим оператор нормы как D — (hMM*)-1, Тогда для любого у € Я спра.-ведливы неравенства

к1|МГ<(Лу.»]<к2|М12.

где Ki = 3/(5 + h2), к2 = 16.

Во второй главе исследована устойчивость схемы (5), когда ¡"y| > 1. В первом параграфе подробно рассмотрен спектр основного разностного оператора. Справедливы Леммы 5 и 6.

Лемма 5. Собственные значения оператора А при 7 > 1 имеют вид

4 . 2 fnk ф \ . 4 . , /я* ф \

Ao==^Sin = (¥-2ÍvJ'A2i = FSm U + 2ÍvJ'

гдеф = tina, a — 7+ i/y2 — 1, k = 1,2, ...m, m — (N—1)/2 - в случае нечетного N,m — N/2 — 1-е случае четного N. Соответствующие собственные функции имеют вид

(о) . СФ Д (2fc-i) ■ f2nk-ip.\ (2к) • {2пк + ф.\ иУ = вт {jj3),H) ~sin —дР—J тП{~1Г~3)'

к — 0,l,2,...m, j = l,2,...,JV.

При четном N имеется собственное значение Адг/г — ^cos2 (^j^J и с°б~

ственная функция = (—1)J sin (^j^j ■

Лемма 6. В случае 7 < — 1 собственные значения оператора А равны 4.2 Ф , _ 4 . 2 (2жк-ф\ _ 4 . 2 /2я"к + ф^

Xo = h^n'2N

4 . 2 /2тгк-ф\ , 4 . 2 (2-кк + ф\

= V~2F~J'A2i = P8in ГиГ7'

где ф = 7Г - ¿lna, а = |7| + 1/72 - 1> А: = 1,2, ...m, т = (N - 1)/2 - е случае нечетного N, т = JV/2 — 1-е случае четного N, собственные функции имеют вид

„г _ * (*,), „?«>. sin (5£íj) _sin («+г,),

н

k = í,2,...m,j = 1,2,...,JV.

ответствующая ему

Отсюда видно, что при > 1 появляются комплексносопряженные собственные значения. Также в первом параграфе второй главы исследованы интервалы значений параметра 7, при которых вещественные части собственных значений положительны. Доказаны следующие леммы.

Лемма 7. При 7 > 1 в случае нечетного N существует одно вещественное собственное значение До, при четном N- два вещественных собственных значения Ао и А^уг- Остальные собственные значения комплексносопряженные X'2k-i = -ReA-ifc-i + ilmXik-i, X2k — ReX'ik + iImX2k, аде ReX2k-i = ReAu, ImXik-i = —ImXik- Вещественные части собственных значений образуют неубывающую последовательность

Re Ао < ReX\ = Re Х2 < Re A3 < ... < ReX2k-i — RcX2k < ReX^+i < — < Re Ajv_i, причем для всех 7 > 1 выполняются неравенства ReXq < 0 и ReАдг-i > 0.

Лемма 8. При 7 < — 1 в случае четного N не существует вещественных собственных значений, при нечетном N существует одно вещественное собственное значение А(#-1)/2- Остальные собственные значения комплексносопряженные: ReX2k+i — RzXik, ImXik+i = —ImX2k, k = 0,1, ...,m— 1. Последовательность вещественных частей собственных значений является неубывающей

ReXо = ReXi < ReX2 = ReX3 < ... < ReX2k~i < ReX2k — ReX2k+i < ■■■ < ReX^-i. Система собственных функций образует базис в пространстве Н.

Лемма 9. При 7 < — 1 вещественные части собственных значений положительны при любых к, если выполнено условие

Рассмотрены отличия случая 7 > 1 от случая 7 < — 1. Проведены аналогии с решением дифференциальной спектральной задачи.

7>-ch --arceos

i

1

—(ch7r + 0(h2)).

h

cosfi7l

Во втором параграфе второй главы, опираясь на свойства спектра, определенные ранее, найдено необходимое условие устойчивости схемы при |7| > 1. Доказана теорема, приведенная ниже, и ряд следствий из нее.

Теорема 3. Пусть 7 ф ±1. Для устойчивости разностной схемы с весами (5) необходимо, чтобы было выполнено условие

(2«7-1)т + 2пнп^|>0, (9)

где ^-собственные значения оператора А, к = 0,1, ...т.

7 < — ch

Следствие 1. При а < 0.5 схема является неустойчивой в любом пространстве Но, если выполнено неравенство 7 > 1 или неравенство

' i ( 1 - -

-7-arceos -,

ll \COS7i7l,

Следствие 2. При |7| < 1 условие (9) эквивалентно требованию

1 h>

а >---.

~ 2 4г

Следствие 3. При 7 > 1 минимум ^ jl по к достигается, если к = 0, а

I А* Г

при 7 < — 1, если к — т. Необходимое условие устойчивости принимает вид в случае 7 > 1:

а при 7 < — 1 б случае N- четного:

1 h2(l + ch (/ilna) eos 7г/г) ° ~ 2 ~ 2r(ch(ftlno) +costt/i)2'

в случае N- нечетного:

1 h2

a >

2 2r(ch (h ln a) 4-1) '

Аналогичные результаты получены для дифференциальной задачи. Таким образом, Следствие 1 означает, что достаточное условие устойчивости схемы (5) при любых а имеет смысл изучать только на отрезке

-ch

—- arceos

< 7 < 1, поскольку в остальных случаях не вы-

h \cos i:h, полнено условие (9).

Далее, доказывается достаточное условие устойчивости для 7 < — 1 в специальной норме. Задан эрмитовый и положительный в Я оператор

D = (hMM*)~\ (10)

где М-матрица порядка N, столбцами которой являются нормированные собственные векторы основного разностного оператора. Справедлива

г ( 1 "

Теорема 4■ Пусть — ch

—т arceos

< 7 < —1. Для того чтобы

h \c0s7r h;

разностная схема с весами (5) была устойчивой в пространстве Но необходимо и достаточно, чтобы

11. Re\k

v > ^--П11П 1, ,- ■

2 Т0<к<т\Хк I2

В третьем параграфе второй главы показано, что условие устойчивости схемы в пространстве Но при 7 < — 1 будет являться необходимым и достаточным и в сеточном Ьг-пространстве. Здесь изучены спектральные свойства сопряженного оператора, которые понадобятся для доказательства теоремы об оценках суммы квадратов модулей коэффициентов биортогонального разложения. Доказано свойство биортонормированности собственных функций основного разностного оператора и сопряженного ему оператора.

Опираясь на спектральные свойства операторов А и А*, получена теорема об оценках границ спектра оператора нормы (10) при 7 < —1.

г ( 1 '

Теорема 5. Пусть — ch

—- arceos

< 7 < —1, аМ — матрица,

К \COS7rZl, _

столбцами которой являются собственные векторы оператора А. Определим оператор нормы как Б = (/гММ*)-1. Тогда для любого у £ Н справедливы неравенства

ХМ\2<(0У,У]^Х2\Ы\2, , 1 4(272 -1)

гдеХ1==Щ^1у =

В третьей главе изучается разностная задача (5) в случае комплексных значений граничного параметра 7. В первом параграфе изучены и сформулированы спектральные свойства основного разностного оператора. Определены вещественные и мнимые части собственных значений основного разностного оператора. Имеет место

Лемма 10. Справедливы равенства

2_ h2

27Г к -фо^фг N

А^-! = ^ (1 - cos^^ch^ ) ,л:

N

(1) 2к-\

2 / . 2тrfc - ф0 ф1

-Tñ 1 - sm-—— sh —

h? \ NN

к = 1,2, ...,771,

д«>) _ 2 Л _ cos 27rfc + ^° ch Л(1) - -2 Л - sin 27rfc + ^° Sh ^ C0S TV Chjv/'A2*- h2 У1 Ñ iV

fc = 0,1,2, ...,m.

Комплексное число ф = axccos 7 представлено в виде ф — фо + гфь где вещественная и мнимая части параметра ф равны:

фо — R еф = arceos

То

_ 1

vT+T а ~ 2

1тГ-1+^/(|72|-1)2 + 4712

(И)

rln (VI + а - sgn(7i)Vä), 71 ф 0,

ф, = Iтф = 0, 7) = 0, ¡то! < 1,

In (ITOI + VTF7!). 7i=0, |7о|> 1.

Полученные собственные значения являются комплексными, но не образуют комплексносопряженных пар.

В первом параграфе третьей главы изучен вопрос о расположении собственных значений \к = Л[°' + оператора А на комплексной плоскости в зависимости от параметра 7 = 70 + г'71. Доказана

Теорема 6. Справедливы следующие свойства собственных значений:

1) если 7 = ±1, то все собственные значения вещественные, причем

0 = Ао < Ai = Л2 < A3 = A4 < ... < Адг-2 — Адг_1

для 7 = 1 и

0 < Ао = Ai < А2 = A3 < A4 < ... < Адг_з = Адг_2 < для 7 = —1;

2) если 7 S (—1;1), то все собственные значения вещественные и различные, причем

0 < Ао < Ai < А2 < ... < Алг-2 < Ajv_i;

3) если 7i = 0 и |7о| > 1, то одно из собственных значений, а именно Ао при 7о > 1 или Ajv_i при 7о < —1 является простым вещественным собственным значением. Остальные собственные значения - попарно комплексно-сопряженные числа с отличными от нуля мнимыми частями. При этом выполнены соотношения:

^о ^ = ^ < А2' = A3 ^ < ... < А^'_з = < Адг-1,

Aq ' = —А^ ^ > О, А2' = —A3' > 0, ..., Ад,'_3 = —АУ_2 > О для 7 < — 1 и

Ао < 0 < Л«0) = Af < Af = А<°> < ... < 2 = XN-lt

А[ ' = —А2 ^ < О, A3' = —A4' < 0, ..., А^2 = —A^j < О для 7 > 1;

4) при всех комплексных 7 = 70 +171 с 71 ф 0 собственные значения оператора А - комплексные числа, вещественные части которых удовлетворяют строгим неравенствам

\(°) л(0),, л(0) л(0) л(о)

Из Теоремы 6 получено важное следствие.

Следствие 1. Если 7 ф ±1, то все собственные значения оператора А различные и, следовательно, собственные функции составляют базис в Н.

Таким образом, показано, что на комплексной плоскости существуют только две особые точки 7 = ±1, в которых собственные функции основного разностного оператора не образуют базис.

Во втором параграфе третьей главы получен интервал устойчивости разностной задачи (5), то есть область, в которой имеет смысл рассматривать достаточное условие устойчивости схемы. Имеет место следующая лемма и следствие из нее.

Лемма 11. Пусть 7 ф ±1. Для устойчивости разностной схемы с весами в случае комплексных 7 и а необходимо выполнение неравенства

(2<т0 - 1)г + 2 min ^ >0, а0 = Ree. (12)

il<fc<m А.. И

Следствие 1.

1) Если выполнена система неравенств

71=0,

а < 0.5,

7о > 1 или 70 < - сЬ

—— arccos h \ cos

U

зтг/i /

то схема (5) неустойчива. 2) Если выполнены условия: | { > бЬ

"1 n+sin(0.5nh)\

h п v cos(0.5tt/i) / 7o — 0) & < 0.5, то схема (5) неустойчива.

Показано, что дифференциальная задача (3)-(4) неустойчива, при 71 = 0, если 70 > 1 или 70 < — сЬтг, и при 70 = 0, если |7х| > вЪ(тг/2). Следовательно, область устойчивости схемы (5) заключена в прямоугольной области с границей, определеной неравенствами выше (Следствие 1). Точно граница области определяется кривой

R{7о, 7i) = ReAo = ^ (l - cos ^ ch ^

= 0.

(13)

Тем самым, именно в области, определенной кривой (13), имеет смысл рассматривать достаточное условие схемы при любых <?.

Обозначим М - матрицу порядка Ы, столбцами которой являются собственные векторы оператора А при 7 ^ ±1. Рассмотрим матрицу М как линейный оператор, действующий из Я в Я. Зададим в Я оператор Б:

D = (hMM*)~\

(14)

В пространстве Яд доказано достаточное условие устойчивости схемы (5), которое совпадает с необходимым.

Теорема 7. Пусть 7 ф ±1. Если выполнено условие (12), то разностная задача (5) является устойчивой в пространстве в Но, где Б- оператор

т

В третьем параграфе третьей главы исследуется спектр и собственные функции оператора, сопряженного к оператору А. Справедлива Лемма 12. Оператор А*, определенный равенствами

(A*v)j ~ -vSxj,j = l,N-l,

(Л*г;)лг = —г;г>Лг, = 7ОД-

является сопряженным к оператору А в смысле скалярного произведения (6).

Доказана биортормированность систем собственных функций операторов А и А* при 7 ±1. Следствием биортонормированности систем является их базисность в пространстве Я.

Далее, получаем оценки сумм квадратов модулей коэффициентов биорто-гонального разложения по системе собственных векторов оператора А и по системе собственных векторов оператора А*.

Отсюда в третьем параграфе доказываем утверждение об эквивалентности сеточной ¿2-нормы и энергетической нормы, порожденной оператором (14). Справедлива

Теорема 8. Пусть 7 Ф ±1 и М — матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора А. Определим оператор нормы как В — (НММ*)'1. Тогда для любого у 6 Я справедливы неравенства

где

1 р _ 4(2а +1) 4(2а+1) " 2(2о +1)' |1 — 72| 2о + 1-|7|2'

константа а определена равенством (11).

Тем самым, получили, что условие (12) является достаточным условием устойчивости не только в определенном Яд-пространстве, но и в сеточных пространствах с 1,2-нормой.

Основные результаты работы.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Проведено исследование спектральных свойств несамосопряженных разностных операторов второго порядка с параметром 7, входящим в нелокальные граничные условия. Показано, что лишь в двух точках 7 = ±1 комплексной плоскости 7 система собственных функций разностного оператора не является базисной.

2. Получены критерии устойчивости разностных схем с весами, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с параметром 7 в нелокальных граничных условиях.

3. Построена энергетическая норма, не возрастающая на решении разностной задачи и эквивалентная среднеквадратичной норме.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Н.С.Удовиченко. Влияние параметра в граничном условии на устойчивость разностных схем. // Вестник Московского Университета. Вычислительная математика и кибернетика. 2007. Л"а 3. С. 9-16.

[2] A.B. Гулин, Н.С.Удовиченко. Нелокальный разностный оператор с комплексным параметром в граничном условии. // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 44. № 7. С. 1-8.

[3] A.B. Гулин, Н.С.Удовиченко. Разностная схема для задачи Самарского-Ионкина с параметром. // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44. Ш 7. С. 963-969.

[4] Н.С. Удовиченко. Влияние параметра в граничном условии на устойчивость нелокальных разностных схем. // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2005". Секция "Вычислительная математика и кибернетика". С. 72-73.

[5] Н.С. Удовиченко. Устойчивость нелокальных разностных схем. // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2005 года. МГУ им. М.В. Ломоносова. Ф-т ВМиК. Москва - 2005. С. 19-20.

[6] Н.С. Удовиченко. Влияние параметра в граничном условии на устойчивость разностных схем. // Тезисы докладов. Международная конференция "Тихонов и современная математика". Москва. Июнь 19-25 2006.

Секция № 3. С. 122-123.

!о

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от01.12.99 г. Подписано к печати 15.04.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 190. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

0.1 Введение.

1 Нелокальная разностная схема с параметром 7 = — 1.

1.1 Спектр и собственные функции основного разностного оператора в случае вещественного 7.

1.1.1 Решение спектральной задачи в разностном случае.

1.1.2 Решение спектральной задачи в дифференциальном случае.

1.2 Примеры решения спектральной задачи для различных значений граничного параметра 7.

1.2.1 Случай 7 = 0.

1.2.2 Случай 0 <7 <1.

1.2.3 Случай 7 = 1.

1.2.4 Случай 7 > 1.

1.2.5 Случай -1 < 7 < 0.

1.2.6 Случай 7 = -1.

1.2.7 Случай 7 < -1.

1.3 Собственные и присоединенные функции в случае 7 = — 1.

1.3.1 Сопряженный оператор при 7 = — 1.

1.3.2 Биортонормированность и базисность систем собственных и присоединенных функций.

1.4 Устойчивость схемы в случае 7 = — 1.

1.4.1 Критерий устойчивости схемы при 7= -1 в Hq.

1.4.2 Представление собственных и присоединенных функций через орто-нормированный базис.

1.4.3 Теоремы об оценках оператора нормы.

2 Разностная схема с произвольным параметром 7.

2.1 Свойства спектра в случае |7| > 1.

2.1.1 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 > 1.

2.1.2 Свойства спектра основного разностного оператора в случае 7 < —1.

2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в Hd при I7I > 1.

2.2.1 Необходимое условие устойчивости в случае |7| > 1.

2.2.2 Критерий устойчивости разностной схемы в случае 7 < —1.

2.2.3 Устойчивость дифференциальной задачи в случае |7| > 1.

2.3 Оценки оператора нормы в случае 7 < —1.

2.3.1 Сопряженный оператор в случае [7I > 1.

2.3.2 Разложение собственных функций по ортонормированному базису.

2.3.3 Теорема об оценках оператора нормы.

3 Устойчивость схемы в случае комплексного граничного параметра.

3.1 Спектр основного разностного оператора в случае комплексного 7.

3.1.1 Вычисление чр = arccos 7, когда 7-комплексное число.

3.1.2 Спектр основного разностного оператора.

3.1.3 Спектр пространственного оператора в дифференциальном случае.

3.2 Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы в случае комплексного 7.

3.2.1 Необходимое условие устойчивости схемы.

3.2.2 Устойчивость дифференциальной задачи, когда 7- чисто мнимое число.

3.2.3 Достаточное условие устойчивости схемы.

3.3 Сопряженный оператор и оценки энергетической нормы в случае комплексного 7.

3.3.1 Задача на собственные значения для сопряженного оператора.

3.3.2 Связь собственных функций с решением задачи с условиями периодичности.

3.3.3 Оценки оператора энергетической нормы.

Список публикаций по теме диссертации.

1. При численном решении задач математической физики важным аспектом является построение разностной схемы. Одним из главных факторов выбора схемы является ее устойчивость. Теория устойчивости разностных схем стала отдельной областью исследования в середине прошлого столетия. Исследованиям посвящено огромное количество работ, значительная часть которых основана на применении спектральных методов, а также на использовании метода энергетических неравенств.

Одним из наиболее перспективных направлений стала теория, разработанная А.А. Самарским, которая легла в основу настоящей диссертации. В его работах [1], [2] поставлена и во многом решена задача построения общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем как операторно-разностных уравнений в гильберторовом пространстве.

А.А. Самарский вводит систему разностных уравнений как самостоятельный объект, не зависящий от исходной дифференциальной задачи. В общем случае, разностная схема понимается как операторное уравнение, может быть нелинейное, с операторами, действующими в функциональном пространстве. Вводится единая каноническая форма записи двуслойных и трехслойных разностных схем и общие для данного класса схем условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств, связывающих операторы схемы. При этом исследование устойчивости каждой определенной разностной схемы сводится к приведению ее к канонической форме и затем к проверке выполнения соответствующих операторных неравенств. Подробное изложение теории можно найти в монографии [3] и в обзорной статье [4].

В работах [5]-[7] развита теория так называемых симметризуемых разностных схем, где исследование устойчивости сводится к проверке критериев в терминах операторных неравенств. В основу положено исследование соответствующих самосопряженных разностных задач. При рассмотрении схем с несамосопряженными операторами такая теория дает только необходимые условия устойчивости, хотя основной интерес представляют достаточные условия и априорные оценки. Таким образом, исследование устойчивости несамосопряженных разностных схем сталкивается с принципиальными трудностями, поэтому приходится выделять более узкие классы схем по сравнению с общими схемами, рассмотренными в [2].

В настоящей работе будут рассмотрены системы дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными граничными условиями из класса несамосопряженных задач. К изучению нелокальных разностных схем приводят математические модели для ряда прикладных задач в области биологии, физики, моделирования процессов переноса химически активных элементов [8], загрязнений рек [9], генерирования [10]. Нелокальные задачи возникают в квазистатической теории термоэластики [11] и для систем терморезисторов [12], [13]. Примером нелокальной задачи является процесс распространения тепла в стержне при задании соотношения потоков тепла на обоих концах стержня или процесс диффузии частиц в плазме, когда для функции распределения частиц задано условие нормировки числа частиц. Применение метода разделения переменных к таким нелокальным задачам приводит к необходимости изучения спектральных свойств несамосопряженных дифференциальных и разностных операторов, особенностью которых является неполнота систем их собственных функций. Эти функции пополняются присоединенными функциями, которых может быть как конечное, так и бесконечное число.

Общая постановка нелокальных задач для уравнений в частных производных была сформулирована в известной работе А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [14]. В работе Е.И. Моисеева и Н.И. Ионкина [15] изучалась задача для уравнения теплопроводности ди д2и „ ,

0<I<1' t>0' (°л> и[х, 0) = «о(а0) 0 < ж < 1 с нелокальными граничными условиями вида ди ди a1—(0,t) + b1—(ht) + aou(0,t) + bou(l,t) = 0, (0.2) ди Он

Cl ^ + ^ + ^ + ^ =

Первые исследования нелокальной задачи для однородного уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием были проведены J.R. Cannon [16].

В настоящей диссертации рассмотрим частный случай задачи (0.1)-(0.2): ди д2и „ ,

-w 0<x<h t>0' (аз) и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(0,*) = 0, 7g(0,i) = g(M). (0.4)

Здесь 7 — заданный числовой параметр. Известно, что определяющий указанную задачу дифференциальный оператор

Lu(x) = -u"(х), 0<®<1, и(0) = 0, 7«'(0) = w'(l) (0.5) не является самосопряженным и при 7 = 1 не обладает базисной системой собственных функций.

Свойства пространственного оператора задачи (0.3)-(0.4) при 7 = 1 изучалась в работах В.А. Ильина, Е.Р1. Моисеева и их учеников [17]-[20]. Вопрос о базисности совокупности собственных и присоединенных функций был решен В.А. Ильиным [17], [18]. Было показано, что для операторов вида (0.5) (7 = 1) существует базис Рисса, состоящий из собственных и присоединенных функций. Опираясь на разложение по такому базису, в упомянутых работах доказано существование и единственность ряда задач с нелокальными граничными условиями — найдены точные условия, гарантирующие разрешимость нелокальных краевых задач и устойчивость их решения, построены и исследованы разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи.

0.6)

0.7) сопряженная задача) были рассмотрены Н.И. Ионкиным [21] в 1977 году. Опираясь на концепции работ В.А. Ильина, Н.И. Ионкин построил базис из собственных и присоединенных функций разностного оператора в явном виде, и на этой основе методом разделения переменных получил достаточные условия устойчивости разностных схем с весами. В другой работе Н.И. Ионкин и В.А. Морозова [22] вложили исследование разностных схем с нелокальными граничными условиями в общую теорию устойчивости разностных схем, предложенную А.А. Самарским. Такое вложение позволило получить необходимые и достаточные условия устойчивости в различных нормах.

В работе Н.И. Ионкина [23] проведено подробное изучение устойчивости и сходимости разностных схем с весами для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями (0.6)-(0.7). Здесь предложен также вычислительный алгоритм нахождения численного решения, основанный на модификации метода прогонки. Используя разложение искомого решения в биортогональную сумму по собственным и присоединенным функциям разностного оператора, а также двусторонние неравенства для коэффициентов биортогонального разложения, Н.И. Ионкин получил (при определенных условиях на шаги сетки) априорные оценки решения разностной задачи через начальные условия и правую часть уравнения. Из этих априорных оценок следует устойчивость разностной схемы и сходимость ее к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью 0(r+h2).

Разностные схемы для задачи (0.3)-(0.4) при — 1 < 7 < 1 изучались А.В. Гулиным и В.А. Морозовой - в [24] был приведен пример, в определенном смысле имитирующий задачу с переменными коэффициентами и допускающий построение точного решения в аналитическом виде. Было замечено, что спектр рассматриваемого разностного оператора является простым и только в случае 7=1 переходит в кратный. Также показано, что при при (7] < 1 схема (0.3)-(0.4) является симметризуемой, что позволило получить критерий устойчивости в терминах параметров схемы и построить норму, в которой имеет место устойчивость по начальным данным. В работе А.В. Гулина, Н.И. Ионкина, В.А. Морозовой [25] исследовалась устойчивость разностных схем с весами, аппроксимирующих уравнение теплопроводности с нелокальными граничными условиями двух типов. В случае краевых условий первого типа система собственных функций основного разностного оператора не образует базиса в пространстве сеточных функций (7 = 1). Показано, что в этом случае не существует нормы, в которой явная схема была бы устойчивой при обычном условии т < 0.5/г2. Найдено близкое к указанному условие, необходимое и достаточное для устойчивости в специально построенной норме. В случае краевых условий второго типа ([7I < 1) система собственных функций является базисной и найдены достаточные условия устойчивости на шаги сетки.

Двумерный вариант задачи (0.3)-(0.4) был рассмотрен А.В. Гулиным, Н.И. Ионкиным, В.А. Морозовой в [26]. Исследование устойчивости разностных схем проведено методом разделения переменных. С помощью него был получен критерий устойчивости и построены оценки, выражающие устойчивость разностных схем по начальным данным.

До последнего времени не был исследован вопрос о том, что получится, если параметр 7 задачи (0.3)-(0.4) окажется за пределами интервала (—1,1]. Настоящая работа посвящена изучению устойчивости разностной задачи (0.3)-(0.4), исследованию свойств спектра основного разностного оператора, выяснению базисности системы собственных функций, если граничный параметр 7 ^ (—1,1] и для комплексного 7.

2. Остановимся подробнее на результатах А.В. Гулина, Н.И. Ионкина и В.А. Морозовой, которые имеют прямое отношение к настоящей диссертации. Итак, исследуется разностная схема с весами для задачи теплопроводности (0.3)-(0.4):

Л т Jl = оуШ + (1 - i = 1, 2, ., N - 1, = I Нп& ~ У^) + (1 - сг) (ТУ™,о - ?ДлО] , (°-8) yf = u0(xi), г = О, 1, ., N, у%+1= О, п = 0,1,.

Схема (0.8), как и любая линейная двуслойная разностная схема, записывается в канонической форме вУп+1 ~ Уп + А = 0) п = о,1,.м Уо задан, (0.9) г где уп = y(tn) е Я-функция дискретного аргумента tn — пт со значениями в конечномерном линейном пространстве Н и А, В — линейные операторы, действующие в Н. Считается, что операторы А и В не зависят от п, оператор В имеет обратный. Возможность перехода к переменным операторам описана, например, в [28], [29].

В [25] получены необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным в некоторой специальным образом построеной энергетической норме. В Н задано скалярное произведение (y,v) и определена норма ||у|| = у {у, у). Задан самосопряженный положительный оператор D : Н —> Я. Норму \\у\\о — y/{Dy,y) называют энергетической нормой, а сам оператор D - оператором нормы. Под пространством Но понимается множество всех элементов у е Я с нормой НуЦт?. Разностная схема называется устойчивой в пространстве Hp, если при любых начальных данных у0 & II для ее решения выполняются неравенства

Dyn+i,yn+1) < (Dyn,yn), п = 0,1,. Разностная схема (0.8) записывается в операторном виде

Уп+г ~Уп + aAyn+i + ^ а^Ауп = 0> п = 0,1,. уо задан. (0.10)

Схема (0.10) является частным случаем схемы (0.9), когда В — Е + иг А, а оператор А определяется равенствами

Ay)i =-y^i, г = 1,2,., N — 1, (0.11) 2

Уо = 0, (Ay)N = - jinVx,о - Vx,n)-В работе [25] доказаны следующие две теоремы

Теорема 1. Для устойчивости разностной схемы (0.10) в пространстве Но необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство

DA + A*D + (2cr - 1 )tA*DA > 0.

Далее авторами предположено, что оператор (0.11) подобен некоторому оператору J : Н —► Н, то есть существует обратимый оператор М, для которого А = MJM~l и доказана

Теорема 2. Пусть операторы А и J связаны равенством А — MJM"1 и пусть задан оператор D = D* > 0. Для устойчивости разностной схемы (0.10) в Hp необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство

DJ + J*D + (2сг - 1 )tJ*DJ > 0, где D = M*DM.

Вводится Н как JV-мерное линейное вещественное пространство, состоящее из векторов у — (У1У2---Уы)т и снабженное скалярным произведением и нормой n-1 f> v\ = л hViyi + 0.5hyNvN, [|?/|] = у/(у, у]. (0.12) t=i

Исследуется схема (0.10) при 7 = 1, когда оператор А определяется как

Ay)i = -узх,и г = 1,2,., N — 1, 2

Уо = 0, [Ay)N = о - Ух,м)

Показано, что случай 7 = 1 является особым, так как система собственных функций основного разностного оператора А не составляет базиса в II и ее приходится дополнять присоединенными функциями. В работе [23] доказаны леммы о виде собственных значений, собственных и присоединенных функций. Показано, что только числа Ао = 0 и Ajv/2 = 4//i2 (при четном N) являются простыми собственными значениеми, остальные -имеют алгебраическую кратность 2. Доказано, что система собственных и присоединенных функций составляет базис в Н.

В работе [23] сформулирован критерий устойчивости схемы (0.10) при j = 1 в пространствах Дд, где

D = (hMM*)'1. (0.13)

Доказана

Теорема 8. Пусть 7 = 1 и матрица М определена как матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы оператора А. Пусть оператор нормы D опреден согласно (0.13). Для устойчивости разностной схемы (0.10) в пространстве Но необходимо и достаточно выполнения неравенств

Неравенство Теоремы 3 позже уточнено [25].

Теорема 4- Если схема (0.8) с 7 = 1 устойчива в каком-либо пространстве Hd, пго справедливо неравенство

1 h2

0.14)

Обратно, если выполнено (0.14), то схема (0.10) с 7 = 1 устойчива в пространстве Hp, где D - оператор (0.13), а матрица М — матрица, столбцами которой являются собственные и присоединенные векторы оператора А.

В случае 7 € (0,1) принципиальным отличием от случая 7 = 1 является базисность системы собственных функций пространственного оператора. В статье [24] найден явный вид спектра и собственных функций оператора (0.11). Доказано, что все собственные значения являются простыми и собственные функции образуют базис в Н. Определена матрица М как матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора А. Для исследования устойчивости схемы (0.10) использована теория симметризуемых разностных схем. Доказана лемма о том, что разностная схема (0.10) симметризуема.

Обозначим через S = Е — тВ~1А оператор перехода схемы (0.9). Разностная схема называется симметризуемой, если существует обратимый оператор К : Н —» Н такой, что оператор S = KSK~l является самосопряженным.

В работе [27] доказана теорема об устойчивости схемы (0.8)

Теорема 5. Если схема (0.8) с 7 е (0,1) устойчива в каком-либо пространстве Пр, то справедливо неравенство (0.14). Обратно, если выполнено (0.14), то схема (0.8) с 7 € (0,1) устойчива в пространстве Hp, где D — оператор (0.13), а М — матрица, столбцами которой являются собственные векторы оператора (0.11).

Также доказана эквивалентность построенных норм сеточной Ьг-норме. Исследованы спектры сопряженных операторов А* к оператору А при 7 = 1 и 7 G (0,1). Доказана биор-тонормированность систем собственных (собственных и присоединенных в случае 7 = 1) функций операторов А а А*. Сформулирована лемма, справедливая для любых биорто-нормированных систем векторов.

Лепима 1. Пусть в Н задано скалярное произведение (y,v) и определена норма ||?/|| = у/(у,у).Пусть заданы две системы векторов, {иЩ^^биортонормированные в смысле скалярного произведения {y,v). Предположим, что для некоторого у е Н справедливы разложения у = сфЫ + с2/х(2) + • • • + cNfi(N\ (0.15) у = dlVV + d2v{2) + ■ • • + dNv^\ (0.16)

Тогда n i) IMI2 = X>4, k=i

2) Ы\2 < (Х^Ы^ \k=1

3) Если ]T|dfe|2<<%||2, d> 0, то $>*|2 > (ГЧМ!2. fc=i fc=i n n

4) Если 5>*|2<с||у||2, О 0, то £ \dk\2 > eT^MI2. k=1 / n n к=1 к=1

Опираясь на Лемму 1, в [27] доказана теорема об оценках сумм коэффициентов биор-тогонального разложения для 7 = 1.

Теорема 6. Пусть векторы 11 {^^/Ис/ определены как = Х{, /л^2к\х{) = sin(27rfc®i), ^N/2\xi) = (-l)^i и vWfa) = 2, гД2*-а)(ж;) = 4cos(27rfcxi), v^k\xi) = 4(1 — Xi) sm(27rkxi) и справедливы разложения (0.15) и (0.16). Тогда выполнены неравенства

Из Теоремы 6 следует теорема об эквивалентности норм || ■ | [д и сеточной Ьг-нормы.

Теорема 7. Пусть 7 = 1, матрица М — матрица, составленная из собственных и присоединенных векторов оператора А, и D = (hMM*)~l. Тогда для любого у £ Н справедливы неравенства y]\2<(Dy,y}<K2\\y}\2, где «1 = 3/(8 + h2), к2 = 16.

В [27] доказаны аналогичные теоремы для случая 7 £ (0,1).

Теорема 8. Пусть 0 < 7 < 1. Векторы [/№ и v® заданы как fx^0\xi) — sin(фх{), fjPk~^ (х;) = sin((27rfc - rf))xi), ii{2k){xi) = sin((27rk + и vWfa) = <zcos(V>(l - 2*)), г/2^1^) = acos((27rfc—ip)xi+ifj), v^2k\xi) = a cos((2k к+ф)х^ф), где к = 1,2,., m, a = 2/y/l — 72, ф — avccosj. Справедливы разложения (0.15) и (0.16). Тогда выполнены неравенства

А=0 а~2Ы\2 <Y,dl<\\y)\\ fc=о г<9еа = 2/ч/1-72

Теорема 9. Пусть О < 7 < 1, матрица М — матрица, составленная из собственных векторов оператора А, и D = (hMM*)~l. Тогда для любого у £ Н справедливы неравенства

0.5||?/]|2 < (Dy,y] < а2||у]|2, где а = 2/у/1 — 72.

Кроме того, А.В. Гулиным, Н.И. Ионкиным и В.А. Морозовой построены оценки, выражающие устойчивость по правой части при условиях, которые совпадают с найденными ранее критериями устойчивости по начальным данным.

Различные аспекты теории разностных схем с нелокальными граничными условиями также рассматривались в работах B.JI. Макарова [30], Д.Г. Гордезиани [31], М.П. Сапаго-васа и Р.Ю. Чегиса [32], Sun Zhi-Zhong [33], [34]. В частности, в [31] исследуются одномерные уравнения колебания среды нелокальных с интегральными нелокальными условиями и строятся их решения с применением итерационного метода. Поставленные нелокальные задачи сводятся к интегральным уравнениям специального вида. В работе B.JI. Макарова [30] изучаются разностные схемы для квазилинейного уравнения теплопроводности с нелокальным условием Бизадзе-Самарского и(0,£) = 0, u((,t) = u(l,t), 0 < С 1-Получены теоремы существования и единственности обобщенных решений, построены и исследованы чисто неявные разностные схемы, получены оценки их скорости сходимости. В работе Sun Zhi-Zhong [33] разностное решение для одномерной нелокальной задачи теплопроводности выражается через конечную сумму синусов, что позволяет автору доказать устойчивость по начальным данным построенной им разностной схемы четвертого порядка точности.

3. Приведем краткое изложение основных частей диссертации. Настоящая работа состоит из введения и трех глав. Во введении подчеркивается актуальность задачи, дается обзор работ, непосредственно относящихся к предмету диссертации, приводится краткое содержание диссертации.

1. Сал^арский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.:Наука,1973.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.:Научный мир,2000.

3. Макаров В.Л. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. В сборнике "Численные методы и приложения'84", София. 1985. 82-90.

4. Гордезиани Д.Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Ро- топринт ИПМ им. ак. Векуа, ТГУ, 1981.

5. Сапаговас М.П., Чегис Р. Ю. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием. Дифференциальные уравнения. 1987. 23, JY^ 7. 1268-1274.

6. Sun Zhi-Zhong. А high order difference scheme for a nonlocal boundary value problem for the heat equaion. Computational methods in applied mathematics. 2001. Vol. 1. №7. Pp. 1-15.

7. Sun Zhi-Zhong. A second-order accurate finite difference scheme for a class of nonlocal parabolic equations with natural boundary conditions, Journal of Computational and Applied Mathematics, v.76 n.1-2. Pp.137-146, Dec. 17, 1996.

8. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука. 1978.

9. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва. 1961 г. 405.

10. И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука. 1971.

11. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. М., Наука. 1971.

12. Г.Стренг. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир. 1980.