Критерии устойчивости нелокальных разностных схем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

г

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи. УДК 519.63

(А

Мокин Андрей Юрьевич

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛОКАЛЬНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Специальность: 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003474665

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор,физико-математических наук профессор Гулин Алексей Владимирович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Ломов Игорь Сергеевич; доктор физико-математических наук Змитренко Николай Васильевич

Ведущая организация:

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН.

Защита диссертации состоится " 2009 года в I¿'"" часов

3 О минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан " " 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.43

доктор физико-математических наук

профессор

Б.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время внимание как отечественных, так и зарубежных учёных привлекают задачи математической физики с нелокальными (неклассическими) дополнительными условиями. К ним относятся краевые задачи с условием Бицадзе-Самарского, с условиями интегрального типа, а также задачи с многоточечными граничными условиями общего вида. Актуальность изучения этих задач обусловлена наличием ряда физических приложений в области электростатики, электродинамики, теории упругости, физики плазмы. Не менее актуальным является исследование численных методов решения задач с нелокальными дополнительными условиями, к числу которых относятся конечно-разностные схемы.

Следует отметить отсутствие каких-либо универсальных методов исследования как дифференциальных задач с неклассическими условиями, так и разностных схем, их аппроксимирующих. Существуют принципиальные трудности для применения традиционных методов, таких как метод потенциалов, метод разделения переменных, принцип максимума и метод энергетических неравенств. Это свойство неклассических задач связано, в первую очередь, с большой свободой выбора и существующим чрезвычайным многообразием дополнительных условий. Имеет смысл выделить для изучения некоторый класс нелокальных задач математической физики и соответствующих разностных схем.

Естественным обобщением классических постановок для одномерных по пространству начально-краевых задач является класс задач с двухточечными граничными условиями. Задачи данного типа многократно изучались ранее. В частности, в работах Моисеева Е.И., Ионкина Н.И. рассмотрена начально-краевая задача с двухточечными граничными условиями общего вида для уравнения параболического типа с переменным потенциалом. В предположении усиленной регулярности граничных условий доказана корректность постановки.

Наименее изученными являются те задачи, граничные условия которых не обладают свойством усиленной регулярности. Одна из первых задач такого типа, известная как задача Самарского-Ионкина, была исследована в 70-х годах 20 века. В диссертации рассматривается её обобщение, которое представляет собой начально-краевую задачу для одномерного по пространству уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями, содержащими параметр а. Параметр предполагается вещественным числом. Нулевое значение параметра соответствует задаче Самарского-

Ионкина. Особенность обобщения заключается в том, что краевые условия задачи не являются усиленно регулярными ни при каком значении а £ R, однако в пределе при а —► со становятся условиями первого рода.

При каждом вещественном а ф 0 в работе рассматривается вопрос существования регулярного решения дифференциальной задачи, его единственность и устойчивость по начальным данным.

Центральное место в диссертации отведено изучению корректности разностных схем, аппроксимирующих дифференциальную задачу, обобщающую задачу Самарского-Ионкина. Ключевым моментом исследований является выбор сеточной нормы, в которой изучается устойчивость, доказательство необходимых и достаточных условий устойчивости, а также анализ свойств норм, гарантирующих устойчивость. Особенность разностных схем заключается в их несамосопряжённости, что делает невозможным использование существующих методов изучения устойчивости самосопряжённых разностных задач и требует разработки новых методов.

Рассмотренное в диссертации семейство схем с весами при нулевом значении параметра а совпадает с разностными схемами, исследованными ранее в работах Гулина A.B., Ионкина Н.И., Морозовой В.А., где доказано существование, единственность разностного решения и его устойчивость как в специальных нормах пространства сеточных функций, так и в сеточной среднеквадратической норме.

Диссертация представляет собой дальнейшее развитие тех идей и методов исследования нелокальных краевых задач и несамосопряжённых разностных схем, аппроксимирующих их, которые были предложены и хорошо себя зарекомендовали в случае а = 0.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является нелокальная начально-краевая задача для уравнения теплопроводности, а также семейство разностных схем, аппроксимирующих данную задачу. Предметом исследования является корректность рассмотренных в диссертации задач.

Цель работы. Доказать существование, единственность и исследовать условия устойчивости по начальным данным дифференциальной задачи и аппроксимирующих её разностных схем.

Методы исследования. Корректность постановки начально-краевой задачи изучается методом разделения переменных, адаптированным для применения к задачам, краевые условия которых не являются усиленно регулярными. Изучение условий устойчивости решения осуществляется с использованием свойств координат базиса Рисса (базиса безусловной сходимости).

Разностные схемы, аппроксимирующие дифференциальную задачу, исследуются с позиций общей теории устойчивости операторно-разностных схем, разработанной в работах Самарского A.A. и Гулина A.B. Изучение свойств норм, в которых исследуется устойчивость схем, основано на разностном аналоге принципа квадратичной близости систем функций.

Научная новизна. Научной новизной обладают методы исследования рассмотренных в диссертации задач. Трудности, возникшие при попытке применить метод разделения переменных для решения нелокальной краевой задачи, привели к необходимости его модернизации. Существенную модификацию претерпел метод операторных неравенств исследования устойчивости разностных схем. Особое внимание заслуживает способ изучения свойств сеточных норм, в которых исследуется устойчивость разностных схем. В частности, обладает научной новизной способ вычисления констант эквивалентности норм, основанный на разностном аналоге принципа квадратичной близости систем функций.

Теоретическая значимость. В диссертации реализован новый метод исследования свойств нелокальных краевых задач как в дифференциальной, так и в разностной трактовке, который был получен в результате модернизации уже существующих методов. Разработанный метод может быть использован при изучении корректности задач математической физики с неклассическими дополнительными условиями и аппроксимирующих их разностных схем.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Практической значимостью обладают аналитические методы исследования корректности, разработанные в диссертации. Основной сферой применения методов являются начально-краевые задачи для одномерных по пространству уравнений с частными производными вида

~ = Lxu, u = u(x,t) dt

с неклассическими дополнительными условиями, а также аппроксимирующие их конечно-разностные схемы. Возможность использования разработанных методов и качество результата определяется, во многом, объёмом известной информации о спектральных свойствах дифференциального оператора Lx и его разностного аналога.

Достоверность научных результатов обеспечена математической строгостью доказательства теорем, которые содержат основные результаты работы, В диссертации не использованы факты, полученные эмпирическим путём или же с помощью компьютерных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод исследования существования и единственности, а также устойчивости начально-краевых задач для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями;

2. Аналитический метод изучения устойчивости несамосопряжённых двухслойных разностных схем;

3. Метод вычисления констант эквивалентности сеточных норм, основанный на разностном аналоге принципа квадратичной близости.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации доложены на конференциях "Тихоновские чтения" в 2006, 2007, 2008 годах, на 15 и 16 конференциях "Математика.Компьютер.Образование", а также на научных семинарах кафедры Вычислительных методов, кафедры Общей математики факультета ВМиК МГУ и кафедры Вычислительной математики механико-математического факультета МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. В главах работы использована сквозная двойная нумерация лемм, теорем, определений и формул, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на порядковый номер в главе. Каждый раздел диссертации обладает уникальной системой обозначения. Список литературы состоит из 69 наименований. Общий объём работы равен 108 страницам.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность исследований и излагаются основные результаты.

В первой главе "Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина" изучается вопрос равномерной устойчивости задачи

ди д^и

с}и Зи ^^

«(0,4) =0, = О,*), 0< Ь^Т

в смысле следующего определения.

Определение 1. Задача (1) называется равномерно устойчивой в линейном нормированном пространстве С, если её регулярное решение и(х, £) при каждом 4 ^ 0 принадлежит С, и удовлетворяет неравенству

IIи(х, ¿2)||£ < ||«(аг, ¿1)||£, О < ¿1 < ¿2 < +<*>•

Там же рассматривается проблема согласованности сеточной нормы || • ||о^, которая возникает при исследовании устойчивости разностной схемы

УЬ = + (1 - г = 1,2,..., Л- - 1,

0.5%*„ = <г(£+1 - у2+1) + (1 - <т)(у»0 -п =0,1,2,..., М - 1,

Уо = 0, у? = ¥>(»Л), п = 0,1,2.....АГ, » = 1,2.....¿V,

(2)

аппроксимирующей задачу (1) на равномерной сетке.

В главе I определена гильбертова норма || ■ ||х> в линейном пространстве функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], эквивалентная среднеквад-ратической норме ¿2(0, !]• Сформулированы и доказаны теоремы:

Теорема 1. Решение задачи (1) при любых 0 ^ < ¿2 < +оо удовлетворяет неравенству

1К*,*2)||л<1К*,*1)||о. (3)

Теорема 2. Нормы || ■ ||о, || • Цд,,, обеспечивающие устойчивость задачи (1) и аппроксимирующей её схемы (2) соответстветю, являются согласованными в классе функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

Вторая глава диссертации называется "Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности" и посвящена изучению корректности задачи

он 3 и

— = —0 < х < 1, £ > 0, и(х, 0) = ф),0<х<1, (4)

от ох

суп (У и

аи( 1^) + _(1,4) = _(0,4), «(0,4) = 0, ¿>0 (5)

при каждом вещественном а ф 0. Существование и единственность решения доказано модернизированным методом разделения переменных. Предварительно рассмотрена задача на собственные значения

и"(х) + \и(х) = 0, 0 < х < 1, , .

«(0) = 0, и'(0) = и'(1) + сш(1).

Показано, что если а ф 0, то все собственные значения Л = Л^, к = 1,2,... вещественные и простые. Собственные функции ик, к — 1,2,... при любом отличном от нуля а образуют полную и линейно независимую систему. Особенность системы собственных функций заключается в том, что она не является базисом Рисса пространства ¿2 [0,1] (то есть базисом безусловной сходимости) ни при каком значении параметра а.

Проблема базисности (отсутствие безусловной базисности) системы собственных функций задачи (6) существенно осложняет построение и исследование регулярного решения задачи (4), (5). Необходимо отметить, что эта проблема характерна не только для задачи с постоянными коэффициентами (6), но и в случае аналогичных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля общего вида.

Во второй главе предложен и реализован модернизированный метод разделения переменных для поиска решения задачи (4), (5). Метод заключается в представлении решения в виде функционального ряда по вспомогательной системе функций {ык(х), Л: ~ 1,2,..,} с коэффициентами, зависящими от переменной t. Каждая из вспомогательных функций представляет собой линейную комбинацию не более, чем двух собственных функций задачи (6), отвечающих различным собственным значениям. Система {■Шк[х), к = 1,2,...} построена таким образом, что является базисом Рисса при любом а^Ои допускает применение метода разделения переменных.

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 3. Если существует регулярное решение задачи (4), (5), то оно единственно и представимо в виде ряда

и{х,г) = г«! (я)?1! (г) + и/2(®)т2(0 + • ■ •,

в котором коэффициенты ?)(£), ] = 1,2,... однозначно определяются функцией <р(х).

Теорема 4. Если функция <-р(х) 6 С2[0,1] и удовлетворяет граничным условиям <р(0) = 0, <р'(0) = <//(1) + аУ(1)> то задача (4), (5) имеет регулярное решение.

Там же рассмотрен вопрос устойчивости решения задачи (4), (5) в смысле определения 1. На классе функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], определена энергетическая норма ||у||о = уДРУчУ)^ о 1]' гДе -С = -С* - положительно определённый оператор, действующий в пространстве ¿2[0,1], и доказана теорема устойчивости.

Теорема 5. Пусть а > 0. Если регулярное решение задачи (4), (5) существует, то оно удовлетворяет неравенству

1Ня, t2)\\d ^ ||и(ж, t-i)\\d, 0 < ti < t2 < +00.

Следствием теоремы 5 и эквивалентности норм || • ||о, || • ||x,2[o,i]> заданных на классе функций [0,1], является

Теорема 6. Решение задачи (4), (5) при положительных а является устойчивым по начальным данным в норме пространства Ь2[0,1], то есть удовлетворяет неравенству

IKs.OIUalo.i] <C|b(z)IU2[0Al> (7)

при всех t > 0 с константой С > 0, не зависящей от выбора <р(х).

В случае а < 0 в спектре задачи (6) присутствует отрицательное собственное значение. Отсюда вытекает неустойчивость задачи (4), (5) в смысле определения 1. Единственность отрицательного собственного значения позволяет доказать ограниченный рост регулярного решения в норме ¿2 [0,1] на конечном отрезке времени. Справедлива

Теорема 7. Пусть а < О, Т > 0 - фиксированное число. Регулярное решение задачи (4), (5) при 0 < t ^ Т удовлетворяет неравенству (7) с константой С — С(Т), имеющей экспоненциальный рост по Т.

В третьей главе " Разностные схемы для нелокальной краевой задачи" изучается корректность семейства разностных схем

уЬ = + (1 - i = 1,2, • • •, N ~ 1,

0.5hylN = а(У:У - у- aynN+1) + (1-а) (у» 0 - y?N - ay%), (g)

n = 0,1,2,..., М — 1,

$ = 0, ¡fi = y{ih), п = 0,1,2,...,М, г = 1,2, ...,лг,

аппроксимирующих задачу (4), (5) на равномерной сетке. Особое внимание уделяется доказательству необходимых и достаточных условий устойчивости схем.

Поскольку исходная дифференциальная задача (4), (5) не является корректной при а < 0, то схемы (8) рассматриваются только для положительных а.

В основе исследований свойств схемы (8) находится общая теория устойчивости операторно-разностных схем. Пусть Н - линейное пространство функций, заданных на сетке — {xi = ih, i = 1,2,..., N, h = I/N}, снабжённое скалярным произведением и нормой

__n-1

ы\щ = у = Y1 hu(xi)v(xi) + 0.5hu(xN)v(xN). (9)

t=i

Разностную схему (8) удобно представить и изучать в операторном виде

уП+1 _ уТ1

у т у + аАуп+1 + (1-а)Ауп = 0, п = 0,1,2,..., М ~ 1, (1Q) yk=y{x,tk), x£coh, к = 0,1,2,... ,М, у° = <р{х),

где оператор А : Н —> Н определён равенствами

UyMxj) = ~{y{xHi) - 2yixj) + y(xj-i))/h2, j = 1,2,... - 1,

(Ay){xN) = 2h~1((y(xN) -y(xN-i))/h - {y{xx) - y(x0))/h +cty{xN)),

в которых y(xо) = 0.

Основная особенность семейства схем (10) заключается в том, что оператор А не является самосопряжённым ни при каком а > 0, что существенно осложняет исследование свойств схем.

Операторно-разностный подход к изучению свойств схем (8) основан на спектральных характеристиках оператора А. В главе рассмотрена задача на собственные значения для оператора А. Доказано, что при любом а > 0 все собственные числа вещественные и положительные, каждому из них отвечает единственная с точностью до ненулевого множителя собственная функция, Совокупность собственных функций образует базис пространства Я. При нечётных N и а > 2, а также при чётных N и любых а > 0 максимальное по величине собственное значение Л оператора А больше, чем 4/7i2.

Из положительности спектра оператора А следует существование и единственность решения разностной схемы (10) при г, h > 0, а > 0 и любой сеточной функции у0 — <р{х).

Рассматривается вопрос равномерной устойчивости семейства схем с весами (10) в пространствах Но, каждое из которых представляет собой пространство Н, снабжённое евклидовой нормой

\\y\\D = ^(Dy,y)LH, D = D*> 0.

Определение 2. Разностная схема (10) называется равномерно устойчивой в норме || • ||о пространства Но, если её решение уп = у{х,1п), п = 1,2,..., М, отвечающее любому значению у0 = <р(х), удовлетворяет неравенству

||уп+1|Ь < ||уп||£>, п = 0,1,2,...,М-1.

Актуальность изучения равномерной устойчивости разностных схем объясняется тем, что из определения 2 вытекает устойчивость по начальным данным, по правой части и, следовательно, сходимость схем. С другой стороны, известно, что устойчивая по начальным данным разностная схема является равномерно устойчивой в некотором пространстве Но-

Следствием существования базиса из собственных функций оператора А является симметризуемость схемы (10).

Определение 3. Разностная схема (10) называется симметризуемой, если её оператор перехода Б = Е — т(Е + таА)~хА подобен самосопряжённому, то есть существует невырожденный оператор К : Н —> Н такой, что {К^БКУ = К-1БК.

В результате исследования схемы (10) как симметризуемой схемы с весами, доказана

Теорема 8. Необходимым условием равномерной устойчивости схемы (10) в пространствах Но является неравенство

<т ^ 0.5 — 1/(гЛ), (11)

где через Л обозначено наибольшее по величине собственное число оператора А. Неравенство (11) совпадает с достаточным условием устойчивости при О = (ККгде К - любой невырожденный оператор, удовлетворяющий условию (К~1АК)* = К~1АК.

В теореме утверждается, что условие равномерной устойчивости (11) не может быть ослаблено за счёт выбора оператора энергетической нормы В, а также гарантируется существование непустого множества энергетических норм, в которых условие устойчивости имеет вид (11).

Разностные схемы (10) обладают одним из отрицательных качеств задачи (4), (5), которым является проблема базисности системы собственных функций. В разностном случае проблема базисности заключается в том, что собственные функции оператора А становятся линейно зависимыми и

теряют свойство базисности как при а —» +0 (к - фиксировано), так и при Л —> 0 (а - фиксировано). Следствием этого свойства собственных функций является дефект сеточных норм || • равномерная устойчивость в которых гарантируется теоремой 8. Справедлива

Теорема 9. Пусть норма || ■ определена равенством

|\уЬ = ^{Оу,у)ц, = (КК*)~г,

где К - любой невырожденный оператор, удовлетворяющий условию (.К~1АК)* = К~1АК. Тогда дробь М{К]/т{К), где

V*0 112/11 уф о 1М1Ь$' -

является бесконечно большой величиной при К —> 0 (а - фиксировано), а также при а —» +0 (К - фиксировано).

При каждом положительном а определена энергетическая норма || • ||а пространства Н, удовлетворяющей требованиям:

1. Её константы эквивалентности с нормой не зависят от выбора к > 0 и не имеют особенности при а —> +0;

2. Семейство схем (10) равномерно устойчиво в данной норме при выполнении условий, близких к необходимому условию (11).

В результате исследования равномерной устойчивости разностных схем (10) в норме || • ||а доказана

Теорема 10. Семейство схем (10) является равномерно устойчивым в норме || • || а, если его параметры удовлетворяют неравенству

а > 0.5 - Ь2/{Ат) (12)

при нечётном N и 0 < а < 2, или же неравенству (И) в противном случае (то есть при N = 2т + 1, а ^ 2, а также при N = 2т, а > 0).

Следствие. Для равномерной устойчивости семейства схем (10) в норме || • || с достаточно, чтобы выполнялось условие

а ^ 0.5 - Ь2/(4т), N = 2т + 1, 0 < а < 2, а^0.5-~(1-Л2(/1тах[а,уЯ))> Я" = 2т +1, а > 2, (13)

N - 2т, а > 0.

В главе рассмотрена задача вычисления констант эквивалентности норм || • ||с и || • || Справедлива

Теорема 11. Пусть ао - любое положительное число. Существуют константы щ > О, К2 > 0, не зависящие от выбора h > О, такие, что неравенства

«iIMILJ < IMIa < «2||у||^

выполняются для любой у(х) £ Н и при всех а £ (0,ао). Следствием теорем 10, 11 является

Теорема 12. Пусть а £ (0,ао); где ао - любое положительное число. Если параметры разностной схемы (10) удовлетворяют условиям

о > 0.5 - /i2/(4t), N = 2т + 1, 0 < а < 2, сг ^ 0.5 — 1/(тА), N = 2т + 1, а ^ 2, (14)

N = 2т, а > О,

где Л - максимальное по величине собственное число оператора А, то схема является устойчивой по начальным данным в пространстве Нм, а именно, её решение уп = y(xi,tn), п = 0,1,2,...,М при любом выборе у0 £ Н, удовлетворяет неравенству ||уп||^ ^ С\\у°\\ь%> п= 1>2,...,М с константой С > 0, не зависящей от выбора /г, г > 0 и параметра а.

Теорема 12 остаётся справедливой в том случае, если условия устойчивости (14) заменить на неравенство

а > 0.5 - ~ th2 (ftmax [ао,\/5о ]))•

Основные результаты работы:

1. Установлена согласованность сеточной нормы, возникающей ири исследовании устойчивости разностной схемы для задачи Самарского-Ионкина, с эквивалентной нормой в пространстве ¿2[0,1]. Свойство согласованности доказано на классе функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

2. Исследовано однопараметрическое семейство нелокальных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, граничные условия которых не являются усиленно регулярными. Доказано существование, единственность и устойчивость классического решения.

3. Найдены условия устойчивости разностных схем, аппроксимирующих однопараметрическое семейство нелокальных задач для уравнения теплопроводности. Получено семейство евклидовых сеточных норм, в которых необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным. Исследована зависимость констант эквивалентности данных норм с сеточной средне-квадратической нормой от выбора шага сетки по пространственной переменной.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мокин А.Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. Дифференциальные уравнения, Т.42, №7, 2006, с. 969-978.

2. Мокин А.Ю. О неустойчивости схем с весами для задачи Самарского-Ионкина. Сборник статей молодых учёных факультета ВМиК МГУ, выпуск 3. М., 2006, с. 103-110.

3. Мокин А.Ю. Неустойчивость в Hg разностных схем с нелокальными граничными условиями. Тезисы 14 международной конференции Математика.Компьютер.Образование. Изд. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Москва-Ижевск, 2007, с. 14.

4. Мокин А.Ю. Неустойчивость в Не разностных схем с нелокальными граничными условиями. Труды 14 международной конференции "Математика. Компьютер. Оборазование."Сб. научных трудов,том 2. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2007, с. 68-73.

5. Мокин А.Ю. Метод разделения переменных для задач с нелокальными граничными условиями. Труды 15 международной конференции "Математика.Компьютер.Образование". Изд. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Ижевск 2008, Т.2, с. 46-54.

6. Гулин A.B. Мокин А.Ю. Об устойчивости семейства разностных схем с весами. Прикладная математика и информатика: труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. №29, 2008, с.64-87.

7. Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Дифференциальные уравнения. Т.45, №1, 2009, с.123-137.

8. Мокин А.Ю. Об устойчивости разностных схем с нелокальными граничными условиями. Тезисы 16 международной конференции "Математика.Компьютер.Образование". Изд. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Ижевск 2009, с.156.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 03.06.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 308.

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к. Тел. 939-3890,939-3891. Тел./факс 939-3891.

Введение

1 Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина

1.1 Равномерная устойчивость начально-краевой задачи.

1.2 Согласованность норм.

2 Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности

2.1 Задача на собственные значения.

2.2 Базисность систем собственных функций.

2.3 Существование и единственность решения.

2.4 Устойчивость по начальным данным.

3 Разностные схемы для нелокальной краевой задачи

3.1 Построение разностной схемы.

3.2 Спектральная задача для разностного оператора.

3.3 Критерий равномерной устойчивости разностных схем.

3.4 Устойчивость в среднеквадратической норме

В работе рассматривается однопараметрическое семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, а также разностные схемы, аппроксимирующие эти задачи. Особенность начально-краевых задач заключается в специальном выборе граничных условий, которые не являются усиленно регулярными. Соответствующие разностные схемы не обладают свойством самосопряжённости. Основное внимание уделяется изучению устойчивости схем по начальным данным, а также выбору сеточных норм, в которых исследуется устойчивость.

Возникший в последнее время интерес к задачам с нелокальными дополнительными условиями объясняется наличием ряда приложений, обладающих существенной практической значимостью. Например, при изучении явления диффузии химических веществ возникает задача определения концентрации в каждый момент времени в рассматриваемом объёме. При этом известной величиной является лишь концентрация на поверхности сосуда. Для выделения единственного решения используются данные измерения общего количества вещества в заданной области. С технологической точки зрения эта величина удобна для измерения, так как может быть получена с помощью эффекта абсорбции света химическим веществом в растворе.

Другим приложением задач с нелокальными дополнительными условиями является изучение процесса нагрева проводника за счёт джоулева тепла, выделяемого под действием электрического тока. Предполагая, что один конец проводника недоступен для измерений, необходимо вычислить значение температуры в любой момент времени. Отсутствующее граничное условие заменяется нелокальным дополнительным условием, которое может быть получено, исходя из результатов измерения силы тока в цепи и напряжения на концах проводника.

Существует ряд задач управления, а также тесно связанный с ними ряд обратных задач математической физики, подчинённых нелокальным дополнительным условиям. К ним относится задача вычисления концентрации вещества на границе области с использованием дополнительной информации о полном количестве вещества внутри рассматриваемого объёма, а также задача о поддержании постоянным общего количества тепла в нагревающем элементе за счёт управления параметрами электрической цепи.

Прикладной характер задач с нелокальными условиями стимулировал их исследования специалистами в области дифференциальных уравнений. В результате сформировалось направление исследований, в рамках которого рассматривается вопрос корректности задач с неклассическими дополнительными условиями. Далее приводится краткий обзор некоторых работ, посвящённых изучению задач данного типа, а также численных методов их решения.

Работа [1] является одной из первых, где изучается задача теплопроводности с нелокальным дополнительным условием интегрального типа а({)

J и{х, г)йх = Е(ь), о < г < т, о < а(г) ^ 1. (1) о

Методом редукции к уравнению Вольтерра второго рода автор работы получил условия существования и единственности регулярного решения. Этот же метод исследования задачи теплопроводности с интегральным дополнительным условием спецификации масс использован в работе [2].

В работе [3] рассмотрена одномерная задача с нелокальным интегральным условием вида (1) для уравнения параболического типа в области с переменной границей. С помощью тепловых потенциалов двойного слоя данная задача редуцирована к системе интегральных уравнений с ядрами, имеющими слабую особенность. Воспользовавшись методом последовательных приближений для решения системы уравнений, автор работы доказал существование и единственность регулярного решения.

В работах [4], [5] исследована задача Стефана с нелокальным дополнительным условием спецификации энергии.

Некоторые задачи математической физики содержат нелокальные условия, которые связывают значение решения и, быть может, его производных не в какой-нибудь одной точке границы области, где решается задача, а в нескольких точках. Причём задействованные в нелокальном условии точки могут принадлежать не только границе, как в случае краевых условий, но и лежать внутри области. Интерес к задачам такого рода возникает, например, при изучении физических задач на самопересекающихся или составных многообразиях. В работе [7] сформулирована общая постановка нелокальной многоточечной задачи для уравнения эллиптического типа, которая известна как задача Бицадзе-Самарского. Там же в частном случае доказано существование и единственность регулярного решения. Данная задача рассматривалась также в [8], [36]. Стационарный вариант одномерной задачи теплопроводности с условиями Бицадзе-Самарского первого и второго рода тп и{0) = 0, «(1) = 0 < £1 < 6 < • • ■ < < 1, кИ (2) и{ 0) = 0, и'( 1) = &*.«'(%)> 0 ^ щ <Т)2<.< Т]п < 1. к=1 изучен в работах [9], [10] соответственно, где доказана единственность решения, а также получены условия существования решения.

Работа [11] содержит исследования нелокальных параболических задач с дополнительными условиями интегрального типа, а также типа Бицадзе-Самарского. Рассмотрен как стационарный, так и нестационарный случай. Там же обсуждается нелокальная задача для нелинейного стационарного уравнения теплопроводности.

Существуют обобщённые постановки нелокальных задач. В работе [12] рассмотрена обобщённая задача для волнового уравнения с краевыми условиями Бицадзе

Самарского. Доказана единственность решения. В работах [13], [14] в обобщённом виде изучается задача оптимального граничного управления для уравнения колебания струны с различными нелокальными двухточечными условиями. Получены условия существования единственного обобщённого решения. В работе [15] исследуется обобщённая постановка задачи для многомерного эллиптического уравнения с дополнительным условием интегрального типа.

Метод разделения переменных является одним из наиболее эффективных способов решения задач математической физики как в случае локальных (классических) условий, так и в случае нелокальных дополнительных условий. В результате применения метода возникает задача на собственные значения для обыкновенного дифференциального оператора, подчинённого дополнительным условиям, заимствованным из исходной задачи. Этот факт объясняет большой интерес как отечественных, так и зарубежных специалистов к задачам на собственные значения с неклассическими дополнительными условиями.

Двухточечные краевые задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов многократно изучались ранее. В работах [16], [18] и монографиях [19], [20] рассматривается вопрос существования собственных чисел, доказана асимптотика для них, исследуется полнота и базисность системы корневых функций оператора. Особый интерес представляют собой работы [21], [22], [23], в которых получены условия базисности системы корневых функций линейных дифференциальных операторов с совершенно произвольными дополнительными условиями.

Задачи на собственные значения с многоточечными условиями Бицадзе-Самарского рассмотрены в работах [26], [27]. Исследование некоторых задач на собственные значения с дополнительными условиями интегрального типа опубликованы в [15], [28]. Результаты численного исследования спектра линейного дифференциального оператора второго порядка с переменными коэффициентами и нелокальными краевыми условиями приводятся в работе [25].

В работе [29] изучается задача Лавреньтьева-Бицадзе со спектральным параметром и нелокальным граничным условием чётности. Результаты данной работы позволили исследовать существование и единственность регулярного решения задачи Геллерстед-та для уравнения Лавреньтьева-Бицадзе с соответствующим нелокальным условием (см. [30], [31]).

Ряд работ в области вычислительной математики посвящен численному решению дифференциальных задач с нелокальными дополнительными условиями различного типа. В работе [2] рассматривается метод решения задач теплопроводности с нелокальным интегральным условием спецификации масс. Численный метод представляет собой объединение метода решения уравнения Вольтерра второго рода и конечноразностного метода вычисления решения задачи теплопроводности с краевыми условиями первого рода. Приведены результаты расчётов.

В работе [32] исследованы условия сходимости явной и неявной схем Эйлера, а также симметрической схемы (Crank-Nicolson scheme) для задачи теплопроводности с условиями 1 u(l, t) = J ai(s)u(s, t)ds + gi(t), 0 ^ t ^ T, I = 0,1. (3) о

Автор работы доказал, что при выполнении неравенства т/к2 ^ 0.5 (где т, К > 0 -шаг по времени и по пространству соответственно) явная схема сходится со вторым порядком по К и первым по т. Неявная схема Эйлера имеет тот же порядок точности без каких-либо ограничений на выбор её параметров. В работе также доказано, что С норма погрешности решения симметрической схемы является величиной 0(т2 + к2) при любых г, к > 0. Интегралы в условиях (3) аппроксимировались с помощью формулы трапеций.

В работе [33] изучается двухслойная неявная схема повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности с дополнительными условиями (3). Схема аппроксимирует дифференциальную задачу, рассмотренную в работе [6], которая возникает в приложениях в связи с исследованием задач термоупругости в квазилинейном приближении. Интеграл в условиях (3) заменяется интегральной суммой Симпсона. Автор работы получил условия разрешимости разностной схемы, а также с помощью метода энергетических неравенств доказал абсолютную устойчивость и сходимость схемы со вторым порядком по шагу тис четвёртым по шагу ¡г > 0.

Монотонные схемы для стационарных и нестационарных задач параболического типа с нелокальным условием 1 и(1, г) = тI Ь1(ь)и(х1(г),г) + J щ(8, ь)и(з, +&(*), о ^ г ^ т, / = о, 1 (4) о рассмотрены в работе [34]. Для схем доказывается принцип максимума, теорема сравнения и строятся фундаментальные решения. В результате авторы выводят оценки решений разностных задач, из которых вытекает устойчивость и сходимость.

В работе [35] сравниваются две схемы, аппроксимирующие двухмерную задачу параболического типа с дополнительным условием

1 а(х х)

JJ р(хих2)и(х1,х2,£)с1х2 = М(£), 0 < г ^ Т. (5) о о

Первая из схем является явной и, как следствие, обладает условной сходимостью. Её основное преимущество заключается в простоте реализации и малой алгоритмической сложности выполнения расчётов. Другая схема построена в результате расщепления исходной двухмерной задачи на последовательность одномерных. Являясь неявной, она обладает безусловной устойчивостью, что позволяет выбирать параметры схемы, ориентируясь только на точность вычислений. Свойство локальной однородности обеспечивает экономичность схемы с вычислительной точки зрения. Автор работы считает, что многомерные задачи с условиями вида (5) следует решать локально однородными неявными схемами.

Численные методы решения двухмерных задач с интегральными нелокальными условиями рассмотрены также в работе [37].

Разностные схемы, предназначенные для решения задач с дополнительными условиями типа Бицадзе-Самарского, исследуются в работах [11], [36], а также в [9], [10].

В работе [11] рассмотрена схема, аппроксимирующая со вторым порядком одномерную стационарную задачу теплопроводности с условиями и(О) = ц, и(1) = си{а) + (I, 0 ^ а ^ 1.

Методом редукции исходной разностной задачи к аналогичной с граничными условиями первого рода получены условия существования и единственности численного решения, доказаны оценки погрешности решения в сеточной С норме.

Численные методы решения нелокальных задач для оператора Штурма-Лиувилля с дополнительными условиями (2) изучены в работах [9], [10]. Авторами работы предложены разностные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации и сходящиеся к точному решению с тем же порядком как в равномерной метрике, так и в каждой из разностных метрик И^1, Представляет интерес список публикаций, посвящённых задачам с нелокальным условием Бицадзе-Самарского, который содержится в работе [9].

Наконец, в работе [36] предложена и исследована разностная схема, аппроксимирующая со вторым порядком двухмерную задачу для оператора Пуассона с дополнительным условием Бицадзе-Самарского первого рода (см. (2)). Сформулированы и доказаны условия сходимости схемы в сеточных метриках С и 1'722. В доказательстве используется дискретное преобразование Фурье и разностная функция Грина первой краевой задачи для уравнения Пуассона (см. [56]).

Схема с весами для одномерного уравнения параболического типа, подчинённого нелокальным граничным условиям рассмотрена в работе [38], где при некоторых условиях на коэффициенты уравнения получены условия устойчивости и сходимости численного решения в равномерной метрике. Основным инструментом исследования является алгоритм вычисления решения разностной схемы, а также алгебраические свойства матрицы, обратной к матрице, порождённой разностной аппроксимацией дифференциальной задачи. Использование нестационарной функции Грина, определённой и изученной в работе [39], позволило авторам данной работы получить аналогичный результат, накладывая менее жёсткие ограничения на выбор коэффициентов дифференциального уравнения. Дальнейшее развитие этих методов исследования разностных схем представлено в работе [40], где при изучении схем, аппроксимирующих одномерную задачу параболического типа с нелокальными условиями, сопряжёнными к условиям (6), авторы отказались от предполагаемых ранее в [38], [39] требований к выбору коэффициентов уравнения.

Разностные схемы для двухмерного уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями рассмотрены в работе [41]. С помощью принципа максимума исследована их устойчивость и сходимость в сеточной С норме. Результаты исследования в энергетических и{ 0,£)=0, их( 0,*)=7(*)и*(М),

6) и(х, 0, Ь) = и(х, 1, £) = 0, и{0, у, г) = и{ 1, у, £),

7) нормах пространства сеточных функций опубликованы в [44], [45], где, воспользовавшись общей теорией устойчивости операторно-разностных схем (см. [58]), авторы работ доказали необходимое условие устойчивости и получили норму, в которой данное условие совпадает с достаточным. В дифференциальном виде двухмерная задача теплопроводности с граничными условиями (7) рассмотрена в работе [42].

Рассмотрим подробнее результаты, полученные в работе [46], где изучается нелокальная задача для неоднородного- уравнения теплопроводности ди д^и аг ох г (8) и(0, Ь) = г/(£), / и(х, Ь)(1х - //(¿), 0 < £ ^ Т. о

Автор работы отмечает, что данная задача возникает при исследовании диффузии заряженных частиц в нестационарной турбулентной плазме. В работе доказана единственность регулярного решения, получены достаточные условия его существования, а также доказаны априорные оценки для решения, означающие устойчивость задачи по начальным данным и по правой части.

Изучение свойств задачи (8) основано на её редукции к нелокальной краевой задаче Самарского-Ионкина и(х, 0) = Ых), 0 ^ х < 1,

9)

0 < £ ^ Т и последующем применении метода разделения переменных. Особенность задачи (9) заключается в нелокальном граничном условии равенства потоков.

Трудность применения метода разделения переменных при решении задачи (9) обусловлена тем, что оператор второй производной Ь = —и" с краевыми условиями и(0) = 0, и'(0) = и'(1) (10) не является самосопряжённым в смысле скалярного произведения ¿2 [0,1], а его собственные функции не образуют базиса в Ь^ [0,1]. Решение задачи (9) ищется в виде ряда по системе собственных функций, пополненной счётным количеством присоединённых функций оператора Ь. Доказательство базисности совокупности собственных и присоединённых функций опирается на результаты работы [21]. В работе [46] доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Если регулярное решение задачи (9) существует, то оно единственно и удоветворяет неравенству

1К;М)1и2[о,1] ^ с\\ф)\\Ь2[од], о < ь ^ т.

Для существования регулярного решения достаточно, чтобы функция (р(х) принадлежала классу С1 [0,1] и удовлетворяла граничным условиям (10). ди дь дх

2>

0 < ж < 1, 0 < £ ^ Т,

0,0 = 0, |«М) = |(М),

Численный метод решения задачи (8) получен в [47]. Работа посвящена построению и исследованию свойств разностных схем, аппроксимирующих нелокальную краевую задачу (9) на равномерной сетке и;/1)Г = сиь х шт, где шк = {хг = г/г, г = 1,2 . N. НИ = 1}, шт = = зт, з = 0,1,. М, тМ = Т}.

0.5 = ^ (уЙ1 " + (!-") (У",о -Я,*), п = 0,1,2,., М - 1, (11) Уо — 0, = п = 0,1,2,. ,М, г = 1,2,., ЛГ.

Здесь у" = у(жг-, ¿п) - функция, заданная на сетке ш^т, весовой множитель а ^ 0. Воспользовавшись разностным аналогом метода разделения переменных, автор работы [47] получил решение схемы (11) в явном виде и доказал устойчивость по начальным данным в среднеквадратической сеточной норме

Линейное пространство функций, заданных на сетке а^, в котором определена норма и скалярное произведение согласно (12), обозначим через Н^.

Теорема 2. Пусть е - любое положительное число. Если параметры схемы (11) удовлетворяют условиям где уп = у(хг^п) Е Ндт, п = 0,1,2,., М - решение разностной схемы на п-ом слое по времени.

Замечание. Из доказательства теоремы 2 следует, что константа С£ стремится к бесконечности при е —» 0 так, что 1 /Се = <Э(е), 0 < е ^ 1.

В работах [47], [43] для неоднородной схемы (11) получены условия устойчивости по правой части в среднеквадратической норме || • \\ьн.

Дальнейшее исследование свойств схемы (11) показало, что требования на параметры разностной схемы, сформулированные в теореме 2, а также требования, гарантирующие устойчивость по правой части, существенно завышены. В работе [49] схема

Если ввести обозначения а^О, а^ 0.5(1 + г) -/¿2/(4т), то существует константа Се > 0, обеспечивающая неравенство уп\\ь^С£\\у°\\Й, п — 1,2,., М,

11) изучается в операторно-разностном виде с позиций общей теории устойчивости двухслойных схем. В результате найдена евклидова норма || • Ц^ пространства Н^, в которой решение уп = у(хг^п) однородной задачи (11) равномерно устойчиво, то есть удовлетворяет неравенству

Там же доказаны необходимые и достаточные условия равномерной устойчивости в норме || • || В работе [51] эти условия устойчивости преобразованы к виду

В работе [50] вычислены константы эквивалентности норм || • Ц^ и || ■ ||ьл. Показано, что отношение констант ограничено относительно выбора шага сетки к > 0.

Следствием эквивалентности норм и равномерной устойчивости является устойчивость схемы (11) по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме при выполнении неравенства (13). Справедлива

Теорема 3. Если выполнено условие (13), то решение уп = у(хг,1п) разностной схемы (11), отвечающее любому выбору начальных данных у0, удовлетворяет неравенству с константой С, не зависящей от г, к > 0.

В заключение обзора литературы отметим монографию [53], которая объединяет в себе ряд публикаций, посвященных изучению задачи (11), а также её некоторых обобщений. В частности, в монографии рассматривается вопрос устойчивости неоднородной схемы (11) по правой части как в специальных евклидовых нормах, так и в норме || • Там же содержится обширный список публикаций, представляющих интерес для специалистов в области задач с нелокальными дополнительными условиями. В настоящей работе изучается нелокальная краевая задача а также разностные схемы, аппроксимирующие её. Здесь а - вещественный параметр, <р(х) - непрерывная на отрезке [0,1] функция.

Задача (14), (15) является обобщением рассмотренной ранее в работе [46] задачи (9). Её основная особенность заключается в нелокальном граничном условии (15).

Регулярным решением задачи (14), (15) называется функция и(х,Ь), определённая и непрерывная по совокупности переменных на множестве П = [0,1] х [0, +оо) и удовлетворяющая требованиям:

1. функция и(х,Ь) обладает первой производной по £ и второй производной по х, которые непрерывны в П = (0,1) х (0, +оо);

1!г/п+11к ^ ИЛк, п = 1,2,.,м-1.

7 ^ 0.5 - к2/(Аг).

13)

С\\у°\\ьн, п = 1,2,., М

14)

15)

2. существует частная производная их(х^), непрерывная на множестве [0,1] х (0, +оо);

3. выполняются равенства (14), (15).

В работе при каждом вещественном а рассматривается вопрос существования и единственности регулярного решения задачи (14), (15), а также её устойчивости по начальным данным. Устойчивость изучается в пространстве 1*2 [0,1] и понимается в смысле следующего определения.

Определение 1. Задача (14), (15) называется устойчивой по начальным данным в пространстве 0,1], если её регулярное решение и{х,Ь) удовлетворяет неравенству

1КМ)|и2[од] < СМяОНърд,, I > о с константой С > 0, не зависящей от выбора функции (р(х) = и(х, 0).

В работе рассматривается также проблема равномерной устойчивости задачи (14), (15), которая заключается в поиске линейного нормированного пространства удовлетворяющего требованиям определения 2.

Определение 2. Задача (14), (15) называется равномерно устойчивой в пространстве С,, если её регулярное решение и(х, £) при каждом £ ^ 0 принадлежит С и удовлетворяет неравенству

Ци(ж, ¿2)|\с < Ых, 0 ^ ¿1 < ¿2 < +оо.

Задача теплопроводности с двухточечными краевыми условиями общего вида ди д^и = —з Жх)и + /0е, 0) 0 < а; < 1, Ь > 0, и(х, 0) = <р(х), 0 < х ^ 1, оЬ дх <•-. агих(0,г) + 6x^(1, + а0и(0,£) + Ь0и(1,Ь) = 0, ¿>0, 1 '

С1«1(0, £) + ¿1^(1, £) + с0и(0, ¿) + (¿ог1(1, £) = 0, £ > 0 исследована в работе [48]. Там же рассмотрена задача на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля Ьу = —у" + С^{х)у с граничными условиями агу'(0) + Ь1У'(1) + оог/(0) + Ь0у{ 1) = 0, . . сиУ(0) + ¿17/(1) + соу(0) + ¿ог/(1) - 0.

В предположении усиленной регулярности условий (17) (см. [19]) регулярное решение задачи (16) представлено в виде функционального ряда по корневым функциям оператора Ь с зависящими от t коэффициентами. В результате доказана единственность решения, получены достаточные условия существования, а также исследована устойчивость решения по начальным данным и правой части в пространстве Ь2[0,1].

Следует отметить, что краевые условия (15) не являются усиленно регулярными ни при каком вещественном а, и задача (14), (15) представляет интерес для исследования.

Особое внимание в настоящей работе уделяется изучению численных методов решения задачи (14), (15). Рассматривается разностная схема + г = 1,2,.,ЛГ-1, п = 0,1,2,., М - 1,

0.5%> = - у^ - ауп+1) + (1 - *)(у«0 - у^ - аупы), (18)

Уо — 0, г/? = ¥»(гЛ), п = 0,1,2,., М, г - 1,2,., И, аппроксимирующая дифференциальную задачу на,равномерной сетке и)н,т со вторым порядком по /г и первым порядком по т при любом значении весового множителя а. При сг = 0.5 порядок аппроксимации по г равен двум. В дальнейшем предполагается, что а - вещественное неотрицательное число.

В работе исследуется вопрос существования решения схемы (18) и его единственности. Изучаются условия устойчивости схемы по начальным данным в сеточной средне-квадратической норме, а также равномерной устойчивости в евклидовых нормах пространства Н^. Устойчивость понимается в смысле следующих определений.

Определение 3. Разностная схема (18) называется устойчивой по начальным данным в норме || • \\ьи, если её решение уп = у(х1, ¿п), п — 1,2,., М, отвечающее любому значению у0 = <^(жг); удовлетворяет неравенству уп\\ь^С\\у°\\Й, п = 1,2,., м с константой С, не зависящей от выбора /г, г > 0.

Определение 4. Разностная схема (18) называется равномерно устойчивой в норме || • || пространства Нм, если её решение уп = у(х{,1п), п = 1,2,. ,М, отвечающее любому значению у0 = (р(х{), удовлетворяет неравенству

1ЬП+1И ИЛ гс = 0,1,2,., М — 1.

Нетрудно видеть, что из равномерной устойчивости схемы вытекает её устойчивость по начальным данным. В [58] доказано, что свойство равномерной устойчивости позволяет изучать устойчивость по правой части неоднородных схем и, следовательно, их сходимость. В [54] сформулирована и доказана лемма Крайса, в которой утверждается, что из определения 3 следует равномерная устойчивость в специальной евклидовой сеточной норме. Заметим, что норма, гарантированная леммой Крайса, определена неоднозначно.

Известно также (см. [56],[58]), что свойство равномерной устойчивости схем находится в прямой зависимости от выбора нормы пространства Н^, в которой исследуется-устойчивость. Не только конкретный вид условия устойчивости, но и сам факт равномерной устойчивости определяется выбором нормы. В частности, в работе [43] показано, что схема (11) при.сг = 0, равномерно устойчивая в специальной норме пространства Ядг, не является равномерно устойчивой в сеточной средноквадратической норме ни при каком выборе параметров Н,т > 0. В работе [62] аналогичный результат был получен для всех а е [0,1]. В связи с этим является актуальной задача поиска норм, гарантирующих равномерную устойчивость схемы (18), а также задача выбора среди них нормы, условия устойчивости в которой накладывают наименее жёсткие требования-на выбор параметров схемы.

В настоящей работе с помощью различных методов построено семейство сеточных норм пространства Нм, в каждой из которых решение задачи (18) удовлетворяет определению равномерной устойчивости, получены соответствующие необходимые и достаточные условия устойчивости. Изучены свойства построенных норм. В частном случае рассмотрен вопрос согласованности сеточных норм при /г —> 0 с нормами линейных пространств функций вещественного переменного.

Обзор содержания работы.

Данная работа состоит из введения и трёх глав. В каждом разделе используется уникальная система обозначений. Нумерация формул, определений и утверждений в главах работы является сплошной. При этом каждый номер состоит из двух частей: первая часть указывает на номер главы, вторая - на порядковый номер в главе. Каждая из трёх глав содержит изложенные в сжатом виде результаты, которые получены ранее в других работах и необходимы для текущих исследований.

Первая глава диссертации называется "Согласованность норм при исследовании устойчивости задачи Самарского-Ионкина". В ней изучается вопрос равномерной устойчивости задачи (9), а также связанный с ним вопрос согласованности сеточных норм, которые использованы в работе [49] при исследовании равномерной устойчивости разностной схемы (11).

Как было отмечено в обзорной части введения, существует сеточная норма || • ¡¡¿^ пространства Ядг, в которой схема (11) является равномерно устойчивой при выполнении условия (13). Схема (11) аппроксимирует задачу (9). В связи с этим рассматривается задача поиска линейного пространства £ функций вещественного переменного и соответствующей нормы-1| • Ц^, в которой регулярное решение задачи (9) удовлетворяет определению 2, то есть также является равномерно устойчивым.

Заметим, что задача теплопроводности с граничными условиями первого, второго, смешанного типа обладает свойством равномерной устойчивости в норме пространства 1/2 [0,1]. Однако существуют регулярные решения задачи (9), отвечающие специальному выбору функции (р(х), которые монотонно возрастают по норме 0,1] при £ > 0.

В первой главе работы определена гильбертова норма || • ||о в линейном пространстве функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], эквивалентная среднеквадратической норме в смысле неравенств

С1\иим<\\1Ь<с2\\пЬф,гЪ в которых Сх, Сг > 0 - константы, не зависящие от выбора /(х) из класса Ь2[0,1]. Доказано, что величина ||«(а;, ¿)||д, где и(х, ¿) - регулярное решение задачи (9), не возрастает при t>0. Иначе говоря, справедлива

Теорема 4. Решение задачи (9) при любых 0 ^ ¿1 < ¿2 < +°о удовлетворяет неравенству

ИМг)1Ь < НМОЬ- (19)

Замечание. Поскольку функция /(¿) = ||и(ж, ¿)||д непрерывна при £ > 0 и дифференцируема на множестве I > 0, то неравенство (19) можно представить в виде

0.

С равномерной устойчивостью задачи (9) тесно связана проблема согласованности при /г —0 сеточной нормы || • определённой в работе [49], то есть проблема поиска нормы пространства функций вещественного аргумента, разностным аналогом которой является норма || • ||оЛ.

Определение 5. Сеточная норма || ■ Ц^ называется согласованной с нормой || • ||£ пространства С функций вещественного аргумента, если для любой / из С существует предел ни\\WWh = \\fWc, где Рн - заранее определённый оператор проекции на сетку а^.

Здесь и далее в работе предполагается, что оператор проекции определён равенством

ЪД = /(*,), ¿ = 1,2,.,^.

Согласованность сеточной нормы || • \\0н обеспечивает единственность предела сеточных функций при к —* 0 (см. [57]) и позволяет исследовать сходимость разностных схем с весами (11) непосредственно в норме || • В первой главе доказана

Теорема 5. Нормы || • || • Ц^, обеспечиваюил,ие равномерную устойчивость задачи (9) и аппроксимирующей её схемы (11) соответственно, являются согласованными на множестве функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

Результаты, полученные в первой главе диссертации, опубликованы в работе [63] и докладывались на конференции "Тихоновские чтения" в 2006 году, а также на семинаре кафедры Вычислительных методов факультета ВМиК МГУ.

Вторая глава диссертации называется "Семейство начально-краевых задач для уравнения теплопроводности" и посвящена изучению корректности задачи (14), (15) при каждом вещественном а ф 0. Существование и единственность решения доказано методом разделения переменных. Предварительно рассмотрена задача на собственные значения и"{х) + Хи(х) = 0, 0 < а; < 1, , , и(0) = 0, и'(0) = и'{ 1) + сш(1). 1

Показано, что если а ^ 0, то все собственные значения Л = А^, к = 1,2,. вещественные и простые. При а < 0 существует единственное отрицательное собственное число. При а > 0 собственные значения положительны. Собственные функции ик, к = 1,2,. при любом отличном от нуля а образуют полную и линейно независимую систему. Биортонормированная к ней система в смысле скалярного произведения £г[0,1] состоит из функций Ук, к = 1,2,., которые являются решением сопряжённой к (20) задачи на собственные значения у"(х) + Хкь(х) = 0, 0 к = 1,2,., . . у(0) = ^(1), г/(1) + аи(1) = 0. КЧ

Особенность системы собственных функций к = 1,2,.} заключается в том, что она не является базисом Рисса пространства ¿2[0,1] (то есть базисом безусловной сходимости (см. [17])) ни при каком значении параметра а. Не обладает свойством базисности сопряжённая система {ьь(х), к = 1,2,.}.

Необходимо отметить, что проблема базисности характерна не только для задач с постоянными коэффициентами (20), (21), но и в случае аналогичных краевых задач для оператора Штурма-Лиувилля общего вида. Этот факт, установленный в работе [24], придаёт изучению задач с постоянными коэффициентами особый смысл.

Отсутствие безусловной базисности у системы собственных функций задачи (20) существенно осложняет построение и исследование регулярного решения задачи (14), (15).

Во второй главе работы предложен и реализован модернизированный метод разделения переменных для поиска решения задачи (14), (15). Метод заключается в представлении решения в виде функционального ряда по вспомогательной системе функций к = 1,2,.} с коэффициентами, зависящими от переменной t. Каждая из вспомогательных функций представляет собой линейную комбинацию« не более, чем двух собственных функций задачи (20), отвечающих различным собственным значениям. Система {т^х), к = 1,2,.} построена таким образом, что является базисом Рисса при любом а Ф 0 и допускает применение метода разделения переменных. Биорто-нормированная к ней система функций {ги£(ж), к = 1,2,.} получена в явном виде с использованием собственных функций задачи (21).

В результате разделения переменных по вспомогательной системе {-ш^х), к = 1,2,.} в работе доказана теорема единственности решения задачи (14), (15).

Теорема 6. Если существует регулярное решение задачи (14), (15), то оно единственно и представимо в виде ряда и(х, ¿) = т^х)^^) + ю2(х)Т2(Ь) + ., (22) в котором коэффициенты Т3{€), у = 1,2,. однозначно определяются функцией <р(х).

Изучение характера сходимости и, как следствие, гладкости ряда (22) позволило получить достаточные условия существования решения.

Теорема 7. Если функция ц>(х) 6 С2[0,1] и удовлетворяет граничным условиям <^(0) = 0, 1р'(0) = <¿/(1) + а</?(1), то задача' (14), (15) имеет регулярное решение.

Свойства координат базисов Рисса, доказанные в работе [17], используются, при исследовании устойчивости задачи (14), (15). В разделе 2.4 настоящей работы доказано, что линейный оператор И, определённый в пространстве Ь2[0,1] на базисных функциях Wj(x) равенствами ¿ = 1,2,". (23) является самосопряжённым и положительно определённым. Соответствующая энергетическая норма ||у||о = \AJtyiy)ь2[о у гарантирует равномерную устойчивость задачи (14), (15) при а > 0.

Теорема 8. Пусть а > 0. Если регулярное решение задачи (14), (15) существует, то оно удовлетворяет неравенству и(х,г2)\\о ^ НМОИя, 0 < ¿1 < ¿2 < +оо.

Следствием теоремы 8 и эквивалентности норм || • || • ||^2[од], заданных на множестве функций, интегрируемых с квадратом по [0,1], является

Теорема 9. Задача (14), (15) при положительных а является устойчивой по начальным данным в норме пространства 1/2 [0,1].

В случае а < 0 в спектре задачи (20) присутствует отрицательное собственное значение. Отсюда вытекает неустойчивость задачи (14), (15) как в смысле определения 2, так и в смысле определения 1. Единственность отрицательного собственного значения позволяет доказать ограниченный рост регулярного решения в норме Ь2 [0,1] на конечном отрезке времени. Справедлива

Теорема 10. Регулярное решение задачи (14), (15) удовлетворяет неравенству

1КМ)1к[0,1] < с||и(ж, 0)||¿2(0,1], о < I ^ Т с константой С > 0, зависящей только от выбора Т > 0.

Замечание. При а < 0 константа С = С(Т), указанная в теореме 10, имеет экспоненциальный рост.

Результаты, полученные во второй главе диссертации, опубликованы в работах [64], [65] и докладывались на конференции "Тихоновские чтения "в 2007 году, а также на семинаре кафедры Общей математики факультета ВМиК МГУ.

Особое внимание в настоящей работе уделяется изучению корректности разностных схем (18), аппроксимирующих задачу (14), (15), в частности, их устойчивости в смысле определений 3, 4. Исследованию свойств схем с весами (18) посвящена третья глава диссертации, которая называется "Разностные схемы для нелокальной краевой задачи".

Поскольку исходная дифференциальная задача (14), (15) не является корректной при а < 0, то схемы, аппроксимирующие данную задачу, рассматриваются только для положительных а.

В основе исследований свойств схемы (18) находится общая теория устойчивости оиераторно-разностных схем, разработанная в [56], [58]. Пусть, как и ранее, Н^ - линейное пространство функций, заданных на сетке снабжённое скалярным произведением и нормой (12). Разностную схему (18) удобно представить в операторном виде

7,п+1 ,.п т + °АУП+1 + (1 - °)АУП = 0. П = 0,1,2,., М - 1, (24) ук = у(х,гк), хешн, к = 0,1, 2,., М, у0 = р(х), где оператор А : Н^ —> Ядг определён равенствами

Лу)(х3) = -(у{х3+0 - 2у{х3) + у(х3-г))/И2, з = 1,2,., N - 1, Ау) = 2/1-1 ((У(хлг) - у{?и-{))/к - {у{хх) - у(х„))/Л + ау(хи)), в которых у(хо) = 0.

Двухслойная схема (24) имеет канонический вид (см. [56]) уП+1 уП

В--— + Ауп = 0, п = 0,1, 2,., М — 1, г

У = ¥>(а0> х е где оператор В = Е + га А.

Операторно-разностный подход к изучению свойств схемы (18) основан на спектральных характеристиках оператора А. В разделе 3.2 настоящей работы рассмотрена задача на собственные значения для оператора А. Доказано, что при любом а > 0 все собственные числа вещественные и положительные, каждому из них отвечает единственная с точностью до ненулевого множителя собственная функция. Совокупность собственных функций образует базис пространства НN. Биортонормированный к нему базис состоит из собственных функций оператора, сопряжённого к А в смысле скалярного произведения (12), который определяется равенствами

А*у) (:г3) = -{у{х3+г) - 2у(х3) + у{х3^))/Н2, j = 1,2,., N — 1, А*у)(хи) =2Ь~1((у(хм) -у{хм^))/П + (ху{хм)), у(х0) =у(хк).

Изк положительности спектра оператора А следует невырожденность оператора В канонического представления схемы (24) при любом выборе параметров т, К > 0 и о ^ 0. Отсюда вытекает существование и единственность решения разностной схемы (18) при данных т,1г,а, отвечающего любому выбору сеточной функции ц>(х).

Менее тривиален вопрос устойчивости схемы (18). В работе изучается устойчивость по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме, а также равномерная устойчивость в энергетических нормах || • ||о пространства Н^, которые определяются равенством у\\Ъ = {Оу,у)ьн, 1? = £>*>0.

Осуществлён выбор среди энергетических норм той, условия устойчивости в которой являются наименее жесткими.

Пространство Н^ с определённой в нём энергетической нормой || ■ ||д, обозначим через Но

Приступая к исследованию устойчивости, следует отметить, что при нечётных N и а > 2, а также при чётных N и любых а > 0 максимальное по величине собственное значение Л оператора А больше, чем 4/Л2. Это свойство, не характерное для операторов второй разностной производной, оказывает существенное влияние на вид условия устойчивости разностных схем.

Другой характерной особенностью оператора А является его несамосопряжённость. Однако, как было указано ранее, все его собственные значения вещественные, а система собственных функций образует базис в пространстве Н^. Линейные операторы, обладающие данными спектральными свойствами, являются симметризуемыми в смысле следующего определения (см. [52])

Определение 6. Оператор А, действующий в евклидовом пространстве Нм, называется симметризуемым, если он подобен самосопряэюённому оператору, то есть существует невырожденный оператор К : НN Ндг такой, что (К~1АК)* = К~1АК.

Симметризуемость оператора А разностной схемы с весами (24) означает симмет-ризуемость оператора перехода 5 = Е — тВ~гА её канонического представления. Двухслойные схемы с симметризуемым оператором перехода называются симметризуемы-ми.

Полученные в [52] необходимые и достаточные условия устойчивости симметризуе-мых схем позволяют сформулировать критерий равномерной устойчивости схем с весами (18).

Теорема 11. Необходимым условием равномерной устойчивости схемы (18) в пространствах Но является неравенство где через Л обозначено наибольшее по величине собственное число оператора А. Неравенство (25) совпадает с достаточным условием устойчивости при И = (КК*)-1, где К - любой невырооюденный оператор, удовлетворяющий условию (К~1АК)* =

Замечание. В теореме утверждается, что условие равномерной устойчивости (25) не может быть ослаблено за счёт выбора оператора энергетической нормы И, а также гарантируется существование непустого множества энергетических норм, в которых условие устойчивости имеет вид (25). Разностные схемы (18) наследуют от задачи (14), (15) одно из отрицательных качеств, которым является проблема базисности системы собственных функций. В разностном случае проблема базисности заключается в том, что собственные функции оператора А становятся линейно зависимыми и теряют свойство базисности как при а —> +0 (Д - фиксировано), так и при /г —> 0 {а - фиксировано).

Свойство базисности собственных функций разностных операторов используется в теории симметризуемых схем. Поэтому энергетические нормы || • полученные в результате исследования равномерной устойчивости схемы (18) как симметризуемой схемы с весами, обладают существенным недостатком. Дефект сеточных норм || ■ равномерная устойчивость в которых гарантируется теоремой 11, проявляется при попытке вывода из устойчивости в смысле определения 4 устойчивость по начальным данным в сеточной среднеквадратической норме и заключается в том, что отношение констант эквивалентности норм || • ||г> и || • Ц^ стремится к бесконечности при /г —> 0. Более того, справедлива

Теорема 12. Пусть норма || • ||д определена равенством где К - любой невырожденный оператор, удовлетворяющий условию (К 1АК)* = К~1АК. Тогда дробь М(1г)/т{к), где а ^ 0.5 — 1/(тЛ)

25)

К~1АК.

IIу\\п = у/(руЩ, В = {КК*)~Х является бесконечно большой величиной при Н —» 0 (а - фиксировано), а также при а —» +0 (к - фиксировано).

Таким образом, ни одна из энергетических норм || ■ равномерная устойчивость в которой обеспечена теоремой 11, не является эквивалентной сеточной среднеквадра-тической норме с константами, не зависящими от выбора к > 0. Также наблюдается зависимость констант эквивалентности от выборам > 0, в частности, их сингулярное поведение при малых а. В то же время разностные схемы (18) в пределе при а —» +0 переходят в изученное ранее семейство схем (11), которые являются равномерно устойчивыми в некоторой специальной энергетической норме, имеющей не зависящие от к константы эквивалентности с нормой || • ||ьн. В связи с этим в разделе 3.4 диссертации осуществлена попытка определить при каждом положительном а энергетическую норму в пространстве Ддг, такую что

1. её константы эквивалентности с нормой Ь2 не зависят от выбора к > 0 и не имеют особенности при а —» +0;

2. схемы (18) равномерно устойчивы в данной норме при выполнении условий, близких к неулучшаемому условию (25).

Решением поставленной задачи является энергетическая норма || • ||а, равная квадратному корню из суммы квадратов координат разложения сеточной функции по вспомогательному базису \У}1. По аналогии со вспомогательной системой функций {гик(х), к = 1,2,.}, построенной для изучения свойств задачи (14), (15), каждая сеточная функция базиса определена как линейная комбинация не более, чем двух собственных функций оператора А. Заметим, что величина ||т/||а зависит от значения параметра а > 0.

Благодаря специальному выбору базисных функций, семейство схем (18) в базисе И^ принимает вид

71+1 п.П

-+ а№+1 + (1-а)№ = 0, п = 0,1,2,., М — 1, (26) г где V0 - задано, а матрица 3 имеет блочно-диагональную структуру с блоками размера не более, чем 2x2. Условие равномерной устойчивости схемы (18) в норме || • ||а эквивалентно равномерной^ устойчивости схемы (26) в сеточной среднеквадратической норме Ь\. В результате исследования свойств схемы (26) доказано следующее утверждение.

Теорема 13. Разностная схема (18) является равномерно устойчивой в норме || • ||а, если её параметры удовлетворяют неравенству а ^ 0.5 - к2/(4т) (27) при нечётном N и 0 < а < 2, или же неравенству (25) в противном случае (то есть при N = 2т + 1, а ^ 2, а также при N — 2т, а > 0).

Замечание. Неравенство (25) является необходимым условием равномерной устойчивости в энергетических нормах пространства Ядг. Неравенство (27) накладывает слегка более жёсткие требования, чем необходимое условие при соответствующих значениях И, а.

Оценивая сверху максимальное по величине собственное значение Л оператора А, приходим к достаточным условиям устойчивости.

Теорема 14. Для равномерной устойчивости разностной схемы (18) в норме || • ||а достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Л2 а ^0.5- — (1-Ш2(/1шах[а,^])). (28)

Замечание. Величина в правой части неравенства (28) имеет вид 0.5 - (1 + 0{к2)) /г2/(4т) при каждом а > 0.

Опираясь на результаты, полученные в работе [50], в настоящей работе исследованы константы эквивалентности сеточных норм || • ||а и || • \\ьн. Справедлива

Теорема 15. Пусть ао - любое полоо/сителъное число. Существуют константы К\ > 0, > 0, не зависящие от выбора к > 0, такие, что неравенства выполняются для любой у(х) Е Нм и при всех а 6 (0, ао).

Следствием теорем 13, 15 является

Теорема 16. Пусть а € (0, с*0), где ао - любое положительное число. Если параметры разностной схемы (18) удовлетворяют условиям т ^ 0.5 — /г2/(4г), Ы = 2т+1, 0 < а < 2, а ^ 0.5 - 1/(тЛ), N = 2171+1, а 2, (29)

N = 2т, а > 0, где Л - максимальное по величине собственное число оператора А, то схема является устойчивой по начальным данным в пространстве Ндт, а именно, её решение уп = у{х{,1п), п = 0,1, 2,., М при любом выборе у0 £ Ду, удовлетворяет неравенству уп\\ь^С\\у°\\Й, п=1,2,.,М с константой С > 0, не зависящей от выбора к, г > 0 и а.

Замечание. В теореме 16 условия устойчивости (29) можно заменить на неравенство (28).

Результаты исследования разностной схемы (18), полученные в третьей главе диссертации, опубликованы в работе [66] и докладывались на семинаре кафедры Вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, на конференции "Тихоновские чтения"в 2008 году, а также на 16 конференции "Математика. Компьютер. Образование."

Завершая обзор диссертации, сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Установлена согласованность сеточной нормы, возникающей при исследовании устойчивости разностной схемы для задачи Самарского-Ионкина, с эквивалентной нормой в пространстве L2 [0,1]. Свойство согласованности доказано на классе функций, интегрируемых по Риману на [0,1].

2. Исследовано однопараметрическое семейство нелокальных начально-краевых задач для уравнения теплопроводности, граничные условия которых не являются усиленно регулярными. Доказано существование, единственность и устойчивость классического решения.

3. Найдены условия устойчивости разностных схем, аппроксимирующих однопараметрическое семейство нелокальных задач для уравнения теплопроводности. Получено семейство евклидовых сеточных норм, в которых необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным. Исследована зависимость констант эквивалентности данных норм с сеточной срсднеквадратической нормой от выбора шага сетки по пространственной переменной.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Гулину A.B. за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные замечания.

1. Ильин В.А. Аналитический вид оптимального граничного управления смещением на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырёх типов. ДАН, 2008. Т.420, №3, с.309-313.

2. Ильин В.А. Оптимизация граничного управления упругой силой на одном конце струны с модельным нелокальным граничным условием одного из четырёх типов. ДАН, 2008. Т.420, №4, с.442-446.

3. Yu.Wang. Solutions to nonlinear elliptic equations with a nonlocal boundary condition. Electronic Journal of Differential Equations. 2002. Vol.2002, №5, pp. 1-16.

4. Келдыш M.B. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых линейных операторов. Успехи математических наук. 1971. Т.26, №4(160), с.15-41.

5. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве. Учёные записки МГУ, №4, вып. 148, 1951, с.69-107.

6. Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь20,1. ДАН СССР. 1962. Т.144, №5, с. 981-984.

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

8. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. Линейные операторы, часть 3. Спектральные операторы. М, Наука, 1974.

9. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединённых функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. // ДАН СССР. Т. 227, №4, 1976, с. 796-799.

10. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединённых функций дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР. 1983. Т.273, №5, с. 1048-1053. Г

11. Ионкин Н.И., Валикова Е.А. О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической краевой задачи. Математическое моделирование. 1996. Т.8, т, с.53-63.

12. Сапаговас М.П. О проблеме собственных значений для некоторых задач с нелокальным условием. Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, №7, с. 961-967.

13. Сапаговас М.П., Штиконас А.Д. О структуре спектра дифференциального оператора с нелокальным условием. 2005. Т.41, №7, с.961-969.

14. S.Peciulyte, O.Stikoniene, A.Stikonas. Sturm-Liouville problem for stationary differential operator with nonlocal integral boundary condition. Mathematical Modelingand Analysis. 2005. Vol.10, issue 4, pp. 377-392.

15. Моисеев Т.Е. О полноте собственных функций одной нелокальной краевой задачи Геллерстедта. Дифференциальные уравнения. 2003. Т.39, №11, с. 1568-1570.

16. Ионкин Н.И., Моисеев Т.Е. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями. ДАН. 2005. Т.400, №5, с.592-595.

17. Zhi-Zhong Sun. A high-order diference scheme for a nonlocal boundary value problem for the heat equation. CMAM. 2001. Vol.1, №4, pp. 398-414.

18. Р.Чегис, А. Штиконас, О. Штиконене, О. Субоч. Монотонная разностная схема для параболической задачи с нелокальными краевыми условиями. Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, №, с.968-975.

19. Р.Чегис. Экономичные разностные схемы для решения двумерной параболической задачи с интегральным условием. Дифференциальные уравнения. Т.41, №7, с.1-5.

20. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Двумерная нелокальная задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках. Математическое моделирование. 1990. Т.2, №8, с. 139-156.

21. J.R. Cannon, Y. Lin, L. Matheson. The solution of the diffusion equation in two-space variables subject to the specification of mass. Applicable Analysis. 1993. Vol.50, issue 1&2, pp.1-15.

22. ИонкинiН.И., Фрулетов Д.Г. Равномерная устойчивость разностных схем для одной нелокальной несамосопряжённой краевой задачи с переменными коэффициентами. Дифференциальные уравнения. 1991. Т.27, №7, с.1170-1177.

23. Ионкин Н.И., Макаров В.Л., Фрулетов Г.Д. Устойчивость и сходимость в С-норме разностных схем для параболического уравнения с нелокальным краевым условием. Математическое моделирование. 1992. Т.4, №4, с.63-73.

24. Ионкин Н.И., Валикова Е.А. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряжённой краевой задачи. Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, №7, с. 1220-1227.

25. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями для двухмерного уравнения теплопроводности. Вестник Моск. ун-та. Сер.15, вычислительная математика и кибернетика. 1999. №4, с. 15-18.

26. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, №7, с. 884888.

27. Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость разностных схем с нелокальными граничными условиями. Вестник Моск. ун-та. Сер. 15, вычислительная математика и кибернетика. 2000. №3, с.19-23.

28. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи. Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, №7, с.926-932.

29. Гулин A.B., Ионкин И.PI., Морозова В.А. Об одной нелокальной двумерной разностной задаче. Вестник Моск. ун-та. Сер.15, вычислительная математика и кибернетика. 2004. N"1, с.5-9.

30. Ионкин И.PI. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. // Дифференциальные уравнения. Т. 13, №2, 1977, с.294-304.

31. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи. // Вестник Московского университета. Серия вычислительная математика и кибернетика. №2, 1977, с.20-32.

32. Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. // Дифференциальные уравнения. Т. 15, №7, 1979, с.1284-1295.

33. Гулин A.B., Ионкин H.PI., Морозова В.А. Разностные схемы для нелокальных задач. //Известия Вузов. Математика. 2005. №1 (512). С.40-51.

34. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Исследование нормы в задачах об устойчивости нелокальных разностных схем. // Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42. т. С.914-923.

35. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Критерий устойчивости разностной схемы для нелокальной задачи теплопроводности. // Известия Вузов. Математика. 2007. №6 (541). С.21-28.

36. Гулин A.B. Симметризуемые разностные схемы. Р1зд. ф-та ВМиК МГУ. М.2004. 117 с.

37. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М. Изд-во ЛКИ, 2008. 320 с.

38. Р.Рихтмайер, К.Мортон. Разностные методы решения краевых задач. Изд-во "Мир". М.,1972. 418 с.

39. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. 6-е издание. М. Изд-во Московского университета, 1999, 798 с.

40. Самарский A.A. Теория разностных схем. 3-е изд. М., Наука, 1989.

41. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М. Наука, 1989, 430 с.

42. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. 2-е изд. М., УРСС,

43. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.,Наука, 1978, 592 с.

44. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М. Изд-во Московского университета, 2002, 319 с.

45. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть I. 7-е издание. М. Физматлит, 2004, 648 с.

46. Мокин АЛО. О неустойчивости схем с весами для задачи Самарского-Ионкина. Сб. статей молодых учёных ф-та ВМиК МГУ. 2006, №3, с.103-110.

47. Мокин А.Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, jT°7, с. 969-978.

48. Мокин А.Ю. Об одном семействе начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Дифференциальные уравнения. Т.45, №1, 2009, с.123-137.

49. Мокин А.Ю. Метод разделения переменных для задач с нелокальными граничными условиями. Труды 15 международной конференции "Математи-ка.Компьютер.Образование". Изд. НИЦ ''Регулярная и хаотическая динамика". Ижевск 2008, Т.2, с. 46-54.

50. Гулин A.B., Мокин А.Ю. Об устойчивости семейства разностных схем с весами. Прикладная математика и информатика: труды ф-та ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. jY»29, 2008, с.64-87.

51. Мокин А.Ю. Неустойчивость в Не разностных схем с нелокальными граничными условиями. Тезисы 14 международной конференции Математи-ка.Компыотер.Образование. Изд. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Москва-Ижевск, 2007, с. 14.