Обобщенная проблема Варинга с простыми числами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

" "'п и Ъ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИ!! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пменп В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

АЛУТИН Петр Петрович

ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА ВА^ИНГА С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМ!»

01.01.06 — математическая лог. алгебра н теория чисел *

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой стенснн кандидата фганко-математпчеекпх наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Ленина п ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Д. А. МИТЬКИН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент В. Н. ЧУБАРИКОВ

кандидат физико-математических наук, О. В. ТЫРИНА

Ведущая организация: Самарский государственный педагогический институт.

Защита состоится «..*?......1992 года в час.

на заседании Специализированного'совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краспопруд-нан, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина по адресу: 119882, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

Автореферат разослан «. ......Ш............1992 г.

Ученый шроваиного совета

Г. А. КАРАСЕВ

.'«■•гг-";; 1 •

.т:. < ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

а

Актуальность темы. Диссертационная работа'посвящена исследованиям по одной иэ аддитивных проблем теории чисел - обоб-. щенной проблеме Варннга в простых числах. Проблема Варинга,. которую выдвинул анлийский математик Э. Варит в 1770 году,, заключается' в следующем: для любого целого числа Уи > сосуществует такое натуральное = £ ). , что всякое натуральное число можно представить в виде:.

//==. ... + 32^ , 32; >0 - целые, .

Первое обшее доказательство дал Д."Гильберт в 1909 году,. по значение верхней границы для Ъ(и-), как было позже пока--, зано, излишне велико. Пусть -^(ж) -целозначныЯ многочлен с положительным старшим коэффициентом. Через обозначим

наименьшее натуральное число с условием, что всякое достаточно большое натуральное число, удовлетворяющее необходимым, арифметическим ограничениям, представляется; в виде, + ... + • ГД0 - В 1921 году

Камса перенес метод Гильберта, на .проблему.. Варинга с таким> многочленом, установив существование.- £ .

В начале 20-х годов Харди и Литтлвуд разрайатали анали-, тическпЯ матоя с помощью которого па только:-доказали разрвч. шимость, но и получили для числа - (V/) натуральных реша*. иий уравнения

+ - . . + ^Г* -

при

асимптотическую формулу.

В 1934 году И.М. Виноградов, усовершенствовав метод. Харди и Литтлвуда,доказал, что О (^ ^

В дальнейшем оценка С-(сс.н) неоднократно улучшалась по величине как И.М.Виноградовым, так и другими ;математиками.•■ Лучшие результаты для больших И- принадлежат А.А.Карацуба и Вону. Для небольших- И- имеется результат Давенпорта.

0-(ос^) ~ . И.М.Виноградов получил при границу /

для числа переменных, начиная с которой действует асимптотик, ческая формула в проблеме- Варинга ~ 4И?" /г- . При л- <И Хуа получил асимптотическую формулу .для £4 (/V) при 5 Х,*'-*-1 . В 1986 году Вон установил такую формулу.-при

Ъ ^ Х,^ , я- £ Ц , а в 1988 году Хиз-Браун при;

-Ь ^ т 4- . . Сравнительно недавно достаточно -

полные исследования асимптотических формул проделаны в работах Г.И. Архипова, В.Н. Чубарикова и Л.А. Митькина..

I

Для того чтобы избежать формулировки арифивтичоских уст? ловий,-необходимых для представимости натурального. числа.

суммой значений ПРИ натуральных ЗС , пред до-,

лагают, что ^ (о)^ О и по существует такого ..целого что сравненио (тос( ^ удовлетворяется-

тождественно для всех целих • ¿С-.

Обозначим (у-^ =. Гпах , где 5 пробегает

целоэначныв многочлены степени' /г- , указанного выше вида. В> 1986 году Д.А. Ытькин получил формулу •

^ - & Ш при

Перейдем теперь к проблеме Барппга для цалозначних мши-гочлешов в простых числах. Пусть (эс) - многочлен о целтая; значениями п. -й степени-о поло^нтольни,^ старшей поэффлшюц^-том А ■ Допустзм, что ко суцзстсуот-тга;огог цапиго • , что.-

сравнение ^ (о) (тх>о! удовлетворяется тож-

дественно для всех целых X . .Пусть означает

число решений уравнения ;

ИМ + ■■■ + (I)

в простых Д , ,, .

Хуа показал, что если

, при ±0

то имеет место асимптотическая формула: Т /л/) дЛ

, ; ^ + 0 Т^г71

где особый ряд О^(^) определяется равенствами:

-к

огпл-л/.

А.

Z £

x-i

MJT'

. Lite)

где М - наименьший общий знаменатель коэффициентов многочлена 5" С13)-

Пусть Ж- целое,' , Я= % ,

& 1 в других случаях,,

Г =]

к^пр

гр-'JAJ Пусть

Г

„ (сI П.** (л +з)

для Н. > dA. для s

Г>1

Г ^

L

= Ъо(Н.) - + -Z /-УХ -t .

Тогда Бсжсое натуральное f/ С ) f <S $ 3t> , //г 6 (moot k) ость сукна 6 Л. стопспай.-простил v;:ce;i.

Поль работы. Целью настояшэЙ работа пьлкотся пелучззшэ 1Л--«лучшей оценки для числа слагао:.:их, up a которой cdегг.очна--ется эффективность асшптотичаскои фор^лв D обоОцгшю«.

проблеме Варинга с простыми числами.

НаучЬая новизна. Особый ряд был исследован Хуа для

случая Для произвольного целозначного многочлена

^(•эс) вопрос остался открытым.

Методика исследования основывается на сведении вопроса о положительности особого ряда к разрешимости сравнения

^ (за4) + . .. $ ) = <я/ ("-иэо/уО*)

для произвольного простого р> и натурального в целых

.....ЭС4 с условием ••• .

Исследование разрешимости последнего сравнения основывается на применении разностных аналогов леммы Гензеля.

Практическая значимость. Результаты диссертации вносят вклад в решение классической проблемы теории чисел.

Апробация работы. Результаты исследования- докладывались на республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения" (Ташкент, сентябрь 1990), на научно-методическом семинаре кафедры теории-чисел МПГ-У им. В.И.Ленина.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, приложения и списка использованной литературы. Она содержит 90 страниц основного текста, 26 наименований иснопьэоваиной литературу.

- б -

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОШ.

Во введении кратко изложена история рассматриваемого вопроса, обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель и научная новизна работы, раскрыто краткое содержание диссертации, сформулированы полученные результаты.

Первая глава является вспомогательной, вторая глава содержит основные результаты.

Пусть - многочлен с целыми значениями П. -й сте-

пени с положительным старшим коэффициентом Допустим, что не существует такого целого ^ , что сравнение-= 0(пхх><^ ^) удовлетворяется тоадественно. Назовем. такой многочлен целоэначно-примитивным.

Введем обозначения необходимые для формулировки результатов: Рассмотрим сравнение ' .

^ (ос>)+... + = (2)

где £ - натуральное, р - простое, в целых , с

Р Р

условием р / х л ,,. се4 . Пусть ^/Ц , - первые

натуралышх чисел взаимно простых с р . Полоши при </ = 4 .....

£

ГМ'),

при целом J $ С> положим ^ [ж] - О.

В §1 показано, что многочлен (эч) стопени >г_ вила

^(Ьа) — ¡2 $¡('1 ) , где 0-1 - целые, ¿ = 4 ,... , Н. однозначно можно представить для любого простого р как = 2 ёс фаь), где с Ор> , ¿ = ¿> ,. -. , ^ ,

Пусть = ^р , , . Сравнение

у, <,е.(>~»1 р*"--*'*)

является необходимым арифметическим условием для разрешимос-тн сравнения (2) при всех натуральных А . Так как при р > п. •+А имеем -t- V , то достаточно ограничиться Р4 - Обозначил чероз ¿) наименьшее нату-

ральное число такоо, что сравнение (2) разрешило в целых р - адичоских zx^ ,, .. взаимно простых с р для любых иатурального d Н* ($ > р > &) и натурального д/, удовлет-ворлкшх необходимому арифметическому условию. Положим

где пробегает все многочлены степени >t- указанного

млвв вида. Обозначим через £ Ci) - наименьшее натуральное число тшсое, что при особы!! ряд ((rf) положтто-

лен при любых <//, удовлетворяющих необходимым арифметическим условиям при всех /Н 1>1. Положил = maoz , гдо ^"(Ьк) пробегает все многочлены степени К указанного выше вида.

Далао пригодится, полученная Хуа асимптотическая форм;/-

е -

ла для числа решений уравнения (I) в простых числах. Эта формула позволяет свести вопрос о разрешимости уравнения (I). в простых числах к вопросу о положительности особого ряда СТа, (м). Для особого ряда (у^ (л^) дано его представление в виде бесконечного произведения и показано, что при з (У^(<Ы) сходится. Там же с помощью оценки тригонометрической суммы с^ особый ряд оценивается снизу

неотрицательной величиной, а именно, П, ^(Р) . где

А.

число решений сравнения (2) и произведение берется по простым не превосходящим некоторой константы, зависящей от п. и 5 •

В §2 вводятся р - целоэначные многочлены. Многочлен ^ ) , принимающий целыо р - адические значения при взаимно простых с р назовем р~ целоэначным многочленом. Р - целоэначные многочлены однозначно представляются в виде

¿■(Ье-) = СЦ £/?; (х.) ^ где «.,-6 Ор , с = О.....^ .

Многочлен вида

■ ' ■ , назовем р - целозначно-примитивным.

Обозначим чорез - наибольшее неотрицательное,

целое с условием, что для всех целых р - адических ос. ,

где Лр - коночная разность с шгом р .

Пусть

Для величины ^(Ъ (р) получены оценки: ^ , оС„_ и

при 3< /М * +

Доказательство положительности особого ряда ^Сл^) основано на получении оценки снизу величины ^ (Р^ / ■ Стандартный путь к выводу оценок для ) <, /¡Р , - использование ле№Ш Гензеля, т.е. определенно таких целого и натурального , что сравнение ^ (ос) 2 ,4 (>ггОс(р ') разрешимо при любом к , если только

В §1 главы 2 доказываются лемки 8.2, 10.2, 12.2 - варианты леммы Гензеля, основанные на тождество

При р~Ъ выбор зависит от показателя наибольшей степени 3, делящей &^(эъ) , где >п выбирается близким

к [вн. ^ ] . Леммы 8.2, 10.2, 12.2 обеспечивают

выбор в случае, когда п. четное с условием

л ■¿^н.с.з4*1, т ,

Я- -<И -3 ' - , 4 3 ' *. гдо • А ^ X соо-ветсппшо.

ЛЕША 8.2 Пусть Л. -чотно'о натуральное число с условием Л ^ Н- <С . где к^Л натуралыгоо, 3-не-

лозначно-примитивный многочлен стопени , принимающий по только два различных значения. Пусть

^ , Гп - /Р-н. з] , целые Яо и Л таковы,

что выполняются сравнения 3 ^ (ъюЫ 3й*) при

= ± и О(ъор/ .Тогда

сравнение ^ = /А (>нос4 разрешимо при любом на-

туральном ^ в целых ее с условием , 3_) = 1 .

лат 10.2 Пусть -¿ -Ь , 1 ^ (з^/л,

& ^ Л - натуральное, - 3-целозначно-примитивный мю-

гочлен степени И, принимающий при сс. с условном ("л, 3) = 4_ только два различных значения по модул» Пусть целые а« и А таковы,

что выполняются сравнения

Тогда сравнение {\ (ь^ос^ разрешимо при лю-

бом натуральном 1 в целых х с условием (эс,3> .

ЛЕММА 12.2 Пусть Н. -¿-А -¿Л, •£ « 3 , ^ -натуральное, ^К01-} - З-цолоэначно-пркмитивныЯ мюгочлен степени Ь, , принимающий при -зг с условием (х, л) = 1 , только два различных значения по модулю -5'*"1' . Пусть (б |2>) ~ . т = [^ Щг /¿^-З] , целоо З-адичоскоо и целое А таковы, что выполняются сравнения

■ Тогда сравнение рагроишмо.при

любом натуральном J в целых 3-адических ^ с-условием

В других случаях получение оценки снизу Т^ (р '^ лу основано на сведении разрошимости сравнения

... +

в целых ЗЦ , взаимно простых с р к разрешимости,-

сравнения

в целых , ... , ^ . ГД0 ~ целозначный многочлен,

/VI - произвольное целое.

В §2 второй главы выводятся оценки* сверху и снизу для ' величины /-/„ (2>) . Оценка сверху разбивается на следующие.,-случаи = /Э = 3 , 5</Э£Л-Ц , /»-+4 где П 5 9 .

• Если р = , то И * (&) $ ~ & { а) •

если ? то $ ,

если /1 + 1 < то ^ ' 1 "

Пусть 3. ЕСлИ З-цолозначно-примятивныЙ многочлен степени Л по модули приишаот но менее трех различных. эиачсиий, то 4

Пуст!, З-цолозначно-примгшгоиыЯ тогочлен ^(Ц) степени по модуля принимает только яса различных эиачоя:тя.

Если И. - НОЧ971ЮО, то ' 'И

'(3)

^ . Пусть - четное. Здось вагна величина . Поэтому получаем

три случал:

если

если

- 12 -

А-314П< З^1, . то А

то

Для все* натуральных ^ £ 9 оказывается, что многочлен .

Ос-х —

указанный Д.А.Митькиным позволяет получить-оценку.

И» »

Для случая Я = -З^-сИ > гдо 4 $ 3>** *г строится 3-целозначно-примитивный многочлен степени Л-, дающий оценку (ъ) ¡} 3 i . Все оценки величины (р) собираются в теореме I §3 второй главы:

ТЕОРКМЛ I. Пусть - целозначно-примитив-

ный многочлен степени /и . Тогда для величины . /7Ц имеем 3*" , если (гуъоо/л)

, если п О (»соЛл), где & ■ 3

¿г л

V

, если /г- Гдо 3 ^ ^ 1 « ^

и 3*" Н " $ »X . если Л. • з 4 , где

■1 < % Ь4'4 , к г А .

Окончательная оценка для величины ¿V приводится'в теореме 2, в которой доказывается, что &„ = Н, . Из теоремы 2 вытекает

СЛЕДСТВИЕ. Пусть - натуральное, - целоэ-

начно-примитивный многочлен степени н. , 3 О ,

f^rj + ^ !//£] ) • наибольшая степень-

делящая все значения ^(Ьс) ~ при sc.- взаимно простых •

с р. Существует положительная константа С - С^,i) такая, что любое натуральное > С , удовлетворяющее для каждого-, простого -Si ft +1 при -i> ^ 3°^ -)- сравнению

представляется в виде

^(эСд) +. -f

где ЗСд,.,, - простые числа.

ОСНОЕШВ РЕЗУЛЬТАТЫ.ДИССЕРТАЦИИ .

Пусть ^ ^ 9 - натуральное, - цолозкачно-примитив-.

ик.1 г.шогочлен стопопл п, О, - i^-ji] л \) [ Jb-\ ,

tip) 1 J \ 1/3:1 '

р - касбояьсая стяпопь, долг^ая.все значения- -jj 0*0

сря г с с:: rs? Есапмто простиз о р, гдо р - простое. Пусть fJ

3 5 для ttsrsero простого удовлетворяет сравнеюгэ •

<!>-$ (с- tVh^od чарсз ? (b) - пакизньшоо-

ттуумьпэз тйгэ пто г;ч' оеобиЗ ряд -СГ^ (а/)

пог.стта-гз чЯ/, упзгапяого э'л-д. Пологим.

Sh ~ ♦ jfe^ п?сбэгаот всэ гисгочлоин,

утгаггпого г.:тп Torn r^rr-i^r п'псм

b^-i, если

, если н^О(жоЛа) f Гдв «¿'3 « < 3 t

А

, если где 3^4 fcVUt ,

А »Л .

и ¿^-tis^^^+X .если л-^З^-А^ , где

4 ^ ± « , .

СЛЕДСТВИЕ. Пусть Ъ^+Л, . Существует положительная' константа С = 0(4,$) такая, что любое натуральное Ы^С, удовлетворяющее для каждого простого р ^ 4 при

■Ь 2 i"*" + ¿L сравнению ^ = р J, пред-

ставляется в виде

где ссI,.., простые числа.

Основное содержание диссертации отражено в работах:.

1. Алутин П.П. Об обобщенной проблеме Варинга с просты^ ми числами. //Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Рес--публик^ конф., Ташкент, сентябрь 1990.

2. Алутин П.П. О разрешимости сравнений, . связанных ■ о ■обобщенной проблемой Варинга в прости* числах. //Деп. ВИНИТИ.:

JfB-676, 1991.

3. Алутин П.П. О границе положительности-особого ряда-.в, обобщенной проблеме Варинга в простых числах. // Деп. ВИНИТИ-#4502 - B9I, 1991: