Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Фундаментальные решения и параболические потенциалы .•.

§ I.I. Свойства потенциалов Пуассона и Вейерштрасса в областях с негладкой границей

§ 1.2. Свойства объемных потенциалов

§ 1.3. Построение фундаментальных решений

§ 1.4. Потенциалы простого слоя, порожденные фундаментальными решениями

Глава П. Обобщенная задача Неймана в цилиндрических областях.

§ 2.1. Обобщенное решение. Сведение краевой задачи к интегральным уравнениям

§2.2. Существование обобщенного решения

§ 2.3. Теорема о слабой конормальной производной и единственность решения краевой задачи

§ 2.4. Внешняя задача Неймана .П

Глава Ш. Обобщенная задача Неймана в нецилиндрических областях

§3.1. Допустимые области и фундаментальные решения ИЗ

§ 3.2. Разрешимость и единственность решения краевой задачи

Пусть D - ограниченная область с границей S , ле

ПИ жащая в XI - мерном евклидовом пространстве к точек ОС — . -Хи } Рассмотрим в цилиндрической об

I j ласти JQ =: вторую краевую задачу

ZozOcIt+ t —. i

-M*C£t> ^^ (0Cjt) G S x(o9Tj ; -ъЖзс,1) где матрица равномерно положительно определена в » коэффициенты ограничены по модулю, О ,а ^Ц означает производную по направлению внутренней конормали, опреде -ляемой матрицей А СасД) .

Хорошо известно, что если о граница класса удовлетворяют равномерному условию Дини в "^«у » а и ^ - непрерывны, то задача (I) имеет единственное классическое решение (. [l7j , [ 29j , [зо] , [ 5з] , [бв]).

Если же отбросить требование гладкости границы S я допустить наличие точек, в которых отсутствует классическая нормаль, то, вообще говоря, неясно, что понимать под решением задачи (I). В настоящее время нам известно несколько подходов к пониманию решения указанной задачи. Первый из них, восходящий к работам И.Племеля ( [б?] ) и И.Радона ( [4l] , [бх]) ( см. также [42]) и относящийся к решению задачи Неймана для уравне -ния Лапласа в плоской области с негладкой границей. S .заключается в следующем: кривая S аппроксимируется изнутри последовательностью гладких кривых Q » при этом принятие граничного условия понимается в смысле

Km где

Sm ™ s

X - некоторая функция с ограниченным изменением. Показано, что кривая S должна быть кривой Радона.

Второй подход заключается в том, что точки S , в ко -торых отсутствует классическая нормаль, не являются носителями данных Неймана. В остальных же точках ненормальная производная понимается в обычном смысле [Ю] , [13] ,

О] , [27j , [46J , [47] ). При этом, если "количество плохих" точек невелико ( то есть соответствующая мера Хаусдорфа равна нулю), то решение задачи единственно [28] , [32] , [33J,

1з*3 ) •

И, наконец, третий подход основан на том, что на границе S задается некоторое непрерывное поле направлений, подчи -ненных ряду равномерных относительно S условий, заменяющее в формулировке задачи Неймана поле конормалей ( £ 36J , [37]). Естественно, что вблизи "плохих" точек указанное поле не может совпадать с полем конормалей, но при таком подходе, теорема единственности решения задачи имеет место при достаточно широких предположениях относительно границ и коэффициентов рассматриваемых уравнений.

Что касается смешанной задачи (задачи Зарембы), отметим работы [l4] , [l5] .

Более полный обзор результатов, касающихся краевых задач в областях с негладкими границами можно найти в монографиях [23 - 25] и статье [ 21J .

В настоящей диссертации предлагается иной подход к задаче Неймана в областях с негладкими границами. Его смысл заключается в том, что на границе S* [0,TJ задается поле так называемых слабых нормалей П и соответственно слабых конормалей , которые в точках существования классической конормали совпадают с последней. При этом каждой точке (зс, t)6 S«[o.T] ставится в соответствие вполне определенное множество такое, что <x.t)6 K<x>t)(S* [0,TJ)A (S«[o.TJ ) , и принятие граничного условия Неймана поншлается в смысле km (vu(a,6),v<*,t)) = где V = C^Tt« )■

В работе получены достаточные условия на границу S*C0,TJ при которых существует и единственно описанное выше обобщенное решение задачи Неймана, совпадающее в классе границ лл 1+СО с классическим. В вопросе существования решения основным инструментом исследования является изучение свойств параболических потенциалов в областях с негладкими границами, с помощью которых удалось выписать явный вид указанного обобщенного решения. В вопросе единственности предлагается два подхода: первый из них основан на получении аналога так называемой леммы о нормальной производной (см.например [37] , [бз]), а второй - на теоремах сравнения в пределах ограничений, при которых известна теорема существования (см.например [53J). Отметим, что полученные результаты удалось перенести на достаточно широкий класс нецилиндрических областей (глава Ш ), а также на задачу Пуанкаре.

Работа состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. В первой главе строится фундаментальное решение уравнения (зсД) =Q в областях с негладкой границей и проводится исследование параболических потенциалов,порожденных этим фундаментальным решением. На наш взгляд, результаты этой главы, помимо приложений к краевым задачам для параболических уравнений, имеют и автономное значение. Вторая глава посвящена вопросам существования и единственности обобщен -ного решения внутренней и внешней краевой задачи (I), а также задачи Пуанкаре. В третьей главе, как уже было отмечено, ана -логичные вопросы изучаются в нецилиндрических областях.

Прежде чем сформулировать основные результаты диссертации,выпишем ряд определений, обозначений и вспомогательных утверж -дений, используемых в дальнейшем.

Определение I. Континуум S П. - мерного евклир. п. дова пространства К. , И ^ Z , называется (И - I ) -мерным многообразием без кратных точек, если для любой точки

ОСчСа:^.,^)^ S найдется замкнутый п. -мерный шар радиуса Г(Х) с центром в этой точке, для которого существует взаимно однозначное непрерывное отображение (^(У) некоторого замкнутого ( П. - i ) - мерного шара К ^ R. на Sf\ £' причем если У0 - центр шара К- » то ос=г(],(У0),

Q (х) Pj S - является носителем параметрически г л заданной поверхности без кратных точек ( [7 J , стр. 206 ).

Пусть D CR - ограниченная область, граница кото рой = S является (И - I ) - мерным замкнутым многообразием без кратных точек. Будем считать, что mes S<00» n-i где JtteSp - к - мерная (к^-1 ) лебегова мера.

Определение 2. Скажем, что S является достигаемой границей, если для каждой ОС € S и любого SJSDOQ^ ^ существует путь Ц(У9Х) ^конечной длины, соединяю щий У с ОС. и лежащий строго в ^ ==• DOQ С^О.

Для X 6 S , Dx положим S(y,x)=3inf Jwesj&x} где точная нижняя грань берется по всем путям конечной длины, соединяющим У с ^ .

Определение 3. Скажем, что У^ G&z следует за если SCa^OC) < S(yitX) , х 6 S . ПРИ этом будем писать У^Ь» У± •

Утверждение I. Область (С , У ) частично упорядочена, х и строго определен предельный переход ([б2]), X зсбБ^УбЛ

5 ос

Определение 4. Скажем, что S удовлетворяет условию существования слабой нормали, если для произвольного X&S найдётся хотя-бы один И - мерный открытый шар В (х^) радиуса % £ (О, Г(Х)] , лежащий строго внутри D (или в R \D ), такой, что — X , и внешняя нормаль к границе которого в точке X направлена строго внутрь R^X D (или строго внутрь £) ). Пусть сначала множество шаров

С D непусто. Если множество нормалей к этим шарам в точке X (направленных строго внутрь R \D ) одноэлементно, то назовём слабой единичной внутренней нормалью к S в точке ос.

-*■ г вектор П (X) , совпадающий с единичной внутренней нормалью Г1(х) к ^B(acjS) в точке X . Если же указанное множество не одноэлементно, то Г1 С^) является единичным вектором, совпадающим с направлением внутренней оси максимального кругового конуса К , вложенного в конус, образуемый внутренними нормалями П(х) к в точке X (требуется, чтобы конус R был единственным). Если множество cD] пусто, но непусто множество шаров {B<*sS):B(XjS>C R \D } то в указанном определении надо заменить соответствующие внутренние нормали к "^B(x^S) на внешние. Отметим, что для гладких границ слабая нормаль совпадает с классической.

Определение 5. Пусть S - (Jl-l) - мерное замкнутое многообразие без кратных точек, являющееся достигаемой границей области D и удовлетворяющее условию существования слабой нормали. Многообразие S назовём допустимым для задачи Неймана ( I ), если для конормали clef- „П. г —

Ш) = C^i (*),., \ (ЗД), ^ == 2 ачсода, t*i9 п, связная часть которой, за исключением ОС , строго лежит в ^эс ' Gy4eGTBy[0T константы

HCS) 6 со, mind, inf г(х»J

X 6 ь и (bCS)&0 такие, что для произвольного X 6 S множество . CS)s [а: зеЭа , i*-s|«HCS), эс

СЖХ) Ы-зО > *b(S) 1 непусто. Многообразие S назовём строго допустимым для задачи Неймана ( I ) , если

SCS)>o.

Определение 6. Назовём внутренней по отношению к С слабой допредельной конормальной производной дифференцируе -мой функции JU в точке Ос б S функцию, определяемую равенством l^JHy) ^ у nQ (х) со£(ЦС(х) У Л Ду. где матрица А (эс.) =: (0.^ СаО) - положительно определенная матрица непрерывных на S функций, а 6

Определение .7.Пусть A Сзе,Ъ =з С^Л)) матрица, обратная к матрице А СЗ:>Ъ — , где Cpc,t) £ Rn+1 . Функция j^Cac-^t-x) з * называется параметриксом ( см [53 ] ) . Здесь tf!t(t-xr^expi; , t >Г .

6 Jtl L ^(t-r) tr* =: Ct-f/ A" ( сж-^ ^ - вектор столбец); * О, О э (Jet А С ;

МОЙ {J^ ^.«П,

В дальнейшем будем пользоваться тем, что для любой симметричной матрицы А ( У , 6* ) , DT непрерывных на функций существует ортогональная матрица Ь ( У ,

S* ) С В В" СУ&Х столбцы которой, образуют базис в ft"- , и справедливы следующие утверждения ( [ 2б] ); при фиксированном ( У , ) €Dt а) Оуществует система действительных чисел такая, что y>t(a,e>*o б R*\ А'^Уэ^СУ.б)

2,^(^0*=»2 , лей11,

J4 где Я4(а,S)s max IT Ср.

П. ^ • Иначе говоря, если ^ = , 7» gR, , то a^'A^e1) ^ , где

Я^б) О о б) Если VW^Vr^^"1» ^^ Ыг - — deA- . - , ts3 max 5 == mf

У,6) СУ,6) то из утверждения а) следует, что

Jet Асу,*)~ПХ(у>6> , л *si —.П.

12 aKl0/,6)Z U я"1 п.1'2 iz,i, x=i>tb ^sR,

Ksi K где матрица Д (У, Б) положительно определена, .--^/2 , -s-n.-Г- л/2 й (аЮ я1 , в) Если ввести матричную операцию (А') (У>6> = А (У»^ , и обозначить vs's«)=ъ'((СА„У CCA j 5»l tf

-i v «---J/

Jet A П I; 1 K и якобиан замены переменных ptt -г

Х-^ Ь J X 6R , | 6 D кратном интеграле с интегрированием по ^ равен

Jei .Ы -.JetA (at®s П X Vfl a sl9a(det B^tt^ss-i.

Определение 8. Для произвольного (x>t)6D,j, » введем функцию, называемую растоянием до границы S :

PC2c;S)= min, |х-у| . для любого ysS d(y;D)s max |y-z|,

U г 6DU d(a-,S) == max |y-*l, d(y,r;D )i max |(y/C)-£| s

D ) s sup max ( ix-yf + it-x|)4 y,T)6DT C*,i)8DT

Обозначим через d[(S) , cl(D) » диаметры границы S и областей D й соответственно.

Для фиксированного положим

AJVk*-:D) = D*(A(a ,eiSx) sD'WsD", 5*(х) = S* = 'bD* , X6D.

Утверждение2. а) Для произвольных X в R. и » справедливы неравенства б) Для произвольных хеЭ й £) в) Для произвольного X € D '

Определение 9. а) Для произвольного множества

Мо {Г1, V(ac,t> 6 RU+\ V £>0, t)tt{fl: б) Для произвольного (CC,t) £ R.*14,1, ex cS J S) a mes^ Ss Cx), V > О,

GC6-,S)B eaCe;S), 6eco,dCS)3 r . X6> S JpL

CM. [44] ). ^cijiOJsme^OijW. >Z>0>

Определение 10» Две функции класса | Ср» . (0,0.]-*$j равные на некотором всюду

5 S? 40 плотном в (о, a J множестве, содержащем точку а, называют су fcyu*,

Функции S) а? ьир [9:96C0,d(S)], GCajS) s § }, b eCo.QWCSiiS)] , ex($->D)= S.uf>{9: 96Co, dCtjD)],

1} , x € R"", "b eco> Q GltejDijD)],

ЭС " X

0№t)C6 ;D)! sup ia»У &(о,<М-Д>т\1, ) s & }, с*Д> 6 IT1, & « Co. Q^t/dd^il^V, DT )], называются обобщённо обратными функций Q S3, б (*■>!)), Q^^C* jDj.') соответственно, причём справедливо равенство $G»sS) = w£seeC*iS) (ОМ. Ы . [44] ).

Следующее утверждение принадлежит В.В.Салаеву ([4з] ,[44]). Для произвольной монотонной функции tR*-* R^* й

Ca?t) б R Ш а) Если d(*-,S>] , £'<£" то i Vdx-toJS,- ( 2 )

S£„(x)\S£, (x) £' й) Если e; £"6 (О, Л , 6'< £ " ■ TO i cie CfcD). (3) в) Если e'.E'sCo.dfXjD)], e'<g* • TO Ч'Ох^о^ = CfeiD) (4) ад \ D, сад V *

Утверждение 3. ([l8]). Для любого измеримого по Лебегу в =: [0,+оо] множества К и неубывающей функции f:+M-R.t справедлива формула: ^ $ fcx>«/<P = \ fCVCyUf, Mtp=j9: авБГ,<Р(х)=3,

М Y хбМ}. ■

Определение II. Пусть граница о области удовлетво -ряет условию существования слабой нормали. Определим на S функцию C(X',D)ttK+o( ©t^W/^A)

Я-в S ' ~ объем единичного П. -мерного (П) шара ^Г(р). С(Х$)*С(Х&\Ъ)

Определение 12. Неотрицательные функции эквивалентны ((£ X (3 CtJC^> О) » c^ft^VcSx^cpcS)' u

Утверждение 4. Если ^(1^)= ^ exp(-l^),

J.то Vreco.e), VS6Ce-lr,i),

VkGW", ([59])'

1-?)-КСЫ)/г <e0(u-i)V ■

- 15

Всюду ниже в целях простоты будем писать вместо константы ({-$)* ? константу S*

Обозначим через S , S , часть произвольной Crt -I)-мерной поверхности класса

С * ( [30] ,[32] ,[55] ), лежащей строго внутри шара Q Сх) (см. опр. I ), для которой нормаль в точке X совпадает со слабой нормалью ПС(Х) к многообразию S . Переобозначим GJ через СО^

Утверждение 5. Существует достаточно широкий класс негладких границ S , такой , что для функции 6 с/(5)] >

Фсц^ЗД = [Ч: >0.% 6 (o^CS)J. - о, выполняются следующие неравенства : V эс 6 S, Vy б S^, lcos(ftc(xC*-3L)lsc^ о5ОУ-xiy, Vz,^ eS\e , mesn.te = 0, hm 1CQ5(Hcg)>y-cos(Kc6p>-r)l ^ ^ . константа C^ > О определяется только многообразием S .

Определение 13. Для произвольных функций fвССО ) и — Т yueC(D) » ввеДём следующие характеристики : cjYf,S,)s max' " lfrxbt>-fC*I,t)l,t>0,S46<Q>J№)]. co*(fS max c I fcx.t^- ff*>t2)| , aeD,^ efo.TJ, cj0(ftf0) d= .in** Jfo^t,)- fc*«A>l,

G D- , , GCO CD-)],

I I 1 j t

CO «Со = £ ыу ?C/*>V £>(я;е>== max l г "S ' ix-ai^g ^

Для произвольной невырожденной матрицы С непрерывных функций ( аналогично для вектора ) обозначим со; tnax Ст., СЫ l>771 ЦП L cim, cin: DT- R\ «=од2) С C" = CO.

H К

Функции С*) , (fr) , О) принадлежат классу

Определение 14. Скажем, что граница S удовлетворяет условию (©, А ), если она является допустимой для задачи Неймана и

Л<00 с5>о, <5>

V*C f <шь)J. Ppc-Cs (6,.

0 о У г о u m где функция у* ОдСУ) ^ принадлежит классу •

Замечание, а) Если S граница класса

0CSiS)sc5nbt?'1"1, SeCo,i(S)] ( [43]) и с СО^СУ) I <со , тогда интегралы (5) и (6) сходятся, если о (Г^^дд^

J 0 ^ dx < 00. о t б) Примеры Куранта и Никодима, описанные в работах В.Г. Мазьи (см.например [27]), являются примерами недопустимых границ для задачи Неймана.

Приведем пример границы, которая является допустимой для задачи Неймана в смысле определения 5, но не является допустимой для этой задачи в постановке Племеля - Радона (см. [4l], [42] , [57]).

Кривая Г X , ЭС е[0, ),

3 - тСх) — ^ at-a.* , х е а.к > U

J , замкнутая гладким образом на de* - г Л i т концах X=sO и эс=2 , не является кривой ограниченного изменения или кривой Радона ( £l],[l2] ), и в то же время допустима в смысле определения 5.

Сформулируем теперь основные результаты диссертации. Пусть L равномерно параболический оператор с непрерывными в D-j. коэффициентами

С^О » где АС*эЪ я (й^цС*»^) - симметричная положительно определенная в D^. матрица, то есть для любого вещественного вектора ^ для всех (аг, £) б D^, (см.утве радение б ),следующее после определения 7).

Первая глава диссертации посвящена изучению внутренних и граничных свойств параболических потенциалов Пуассона и Вейер-штрасса, объемного и простого слоя, порожденных как параметри-ксом ^'^Cx-f, t-T) , так и построенным методом Леви фундаментальным решением уравнения

CZ>tOc*,t)=so . DT , (7) в цилиндрических областях, границей основания которых является замкнутое (П.-1) - мерное многообразие без кратных точек ( П. 2 ).

Данная глава не является простым перенесением из -вестных результатов теории потенциала на ситуацию областей с негладкой границей. Получен ряд качественно новых результатов (например, о предельных значениях слабой конормальной произ -водной потенциала простого слоя), которые в последующих главах применяются при построении явного вида обобщенного решения задач Неймана и Пуанкаре. В первом параграфе данной главы изучается потенциал Пуассона и Вейерштрасса

3»/0 (i,t,T;D)a SD J*V|,t-t)jWf)Jf, где JU - ограниченная на Q функция, £ -граница области D » являющаяся замкнутым (П- I ) - мерным многообразием без края и удовлетворяющая условию существования слабой нормали. Область D предполагается ограниченной или неог -раниченной. В последнем случае дополнение CD должно быть ог -раничено. Вначале доказана равномерная ограниченность на .D^ потенциала Пуассона и Вейерштрасса и показано, чтоО^Сж^тД) равномерно стремится к с) gC(D) при Z t на любом компакте К из JD . Затем исследованы предельные значения потенциала 3 в случае, когда ОС 6 S .На данный воп -рос отвечает следующая теорема.

Теорема I. Если /<€ CCD) , то V X 6 S

О/ООЛг; D) C(X\D) , где функция

ССэсзО]) введена в определении II.

Теорема 2. Если функция J4 непрерывна в неограниченной области D , km М(Э0«/ЧС«><оо f й 16 [О/Г]

Ixi-W J ~

W Q. (3Lt) = aj <oo . TO

Xl->oo ^ K 13CI-J-00

Далее доказывается непрерывность потенциала П в D Т и показывается, что если в некоторой окрестности границы S, то (30J4) C^jijT;D) равномерно стремится к ]Ч(Х) ,при X/ t , XeD .В заключение установлена теорема о значениях слабой допредельной конормальной производной (см. определение 6) потенциала 3 .

Теорема 3. Если fi - равномерно липшицева в D функция и JK =0 в некоторой окрестности границы S , то

V t £ [о^ГЗ справедливо равенство km ^О^Ь^Р) ^^(До^Саэ^гзР)

И кроме того ,п ч . N где C^(JU) зависит от константы Липшица функции JU. и от

D>n, Xi и** .

Во втором параграфе первой главы рассматриваются основные свойства объёмного параболического потенциала

V« f)С*Д•>Djs i ^'V-^t-t)f(|,T)tyv . где л Ц» ——»

Т - ограниченная в D функция . Т

В третьем параграфе первой главы методом Леви строится фундаментальное решение уравнения (7) , коэффициенты которого удовлетворяют равномерному условию Дини.

Фундаментальное решение ищется в виде

X cg^^Ca-^^-t^dy^ т ( 8 ) где функция является решением интегрального уравнения Вольтерра ^

Доказывается вспомогательная лемма, названная аналогом леммы С.Д.Эйдельмана и М.И. Матийчука, позволяющая утверждать, что для произвольных (x,t) , К и

С^-с)е(о,mia(о(.(зс-t-х),§S), §Сх;S))) , при

C<t справедлива оценка exp(-|.?(x-u,t-6)х( Jh + ^А )5 ' (10) где 4 Jiar-li^lt-tr . Далее используя оценку (10) при С СОд < оо , доказывается, что

Jo X. уравнение (9) имеет единственное решение где

0 mti D T

V^ 0 m при этом существует > О такое, что справедливы неравенства

19* V-l.t-т)- «P^Vfct-ial* С exP(H(t-r)-S n a ---— t-x—> in

Рде Oe,t>, <*h,t> 6 DT , 1:»V = 1Ы •< i

J4

CyOfiD , la:min-||= miti |ach-*D.

Теорема 4. Пусть выполнены условия

Г^А^сШ ^<вв> f| f^Jz (И) о Ъ о о

Тогда функция Q Cae-^'t-'c) » определенная равенством ( 8 ) при ^ DT 9 Сэе9Ь) € DT , £ >т является фундаментальным решением уравнения (7), непрерывным по сово -купности переменных ( XPt ), равномерно по отношению (f,7: ) (и наоборот) (■h-E^coftst>0) , имеющим непрерывные частные производные ^ , Э-, 1 , ±Гп-, ПРИ C*>t) £ D, (t,t) £ D.

Теорема 5. Если выполнены условия (II), то для произвольной непрерывной в D,p функции -f объемный потенциал и его производная Т ~b(W°fl(x>t> QT2

T^i непрерывны в Dq. ; 4 если функция f такова, что ^ , то функции ^CW°f)(x,t;DT) ' -at *" также будут непрерывными в области • этом справедливо равенство

L°(W°f)(*\D))с*,Ъ=-f(ф,<*,Ъ6 D . Т

Четвертый параграф главы поовящён изучению потенциала простого слоя, порожденного фундаментальным решением. Рассматри -вается потенциал

5 wn sro>TJ и 1 где Ц> - ограничена на э S*E,E с[0,Tj.

Теорема 6. Если функция Ц? ограничена на S

CO,TJ и выполнено условие (6) определения 14, то потенциал JJq непрерывен по совокупности переменных (эсД) 6 D^ и удовлетво -ряет неравенствам ^ mes^S *

Кроме того обращается в нуль при -fc » 0 и ста билизируется к нулю на бесконечности. Здесь ? > 05

С0,ТД

Следствие. Если Const £G(0,c{(S)]5 то C1S Wl.Ot.-t A Щ.-М in I )t

Далее изучаются гладкостные свойства потенциала Uq, . Затем вводится следующий интеграл в смысле главного зна -чения

- 23

Cv.R) J s(im( \ + \ ) , eCOjTniaCrcx^tjdcaijS))) (см.определения I, 9 и утверждение 5).

Показывается, что если ($ непрерывна и выполнено уело -вие (5) определения 14, то для произвольного (a^sS^j спра -ведливо неравенство me&n t S v v

I-S

Б заключение главы рассматривается вопрос о предельных значениях „, л %

0. -ъСО <g)C^>Sro.T.i2

WR -^усдг^з ,приводящии

К , (S )эСУ,^)->Са:5Ъбв(:

Оф [о,Т] er*t со,тз к одному из центральных результатов диссертации.

Теорема 7. Если выполнены условия (5) и (6) определения 14, функция Ц непрерывна на S^qtj » то справедливо равенст c*>to е s'^3 > ^^ 6 ^ Sro,Tj }

Во второй главе диссертации определяется обобщённое реше ние задачи Неймана (Пуанкаре). Рассматривается вопрос о достаточных условиях, при которых обобщённое решение существует и единственно.

Пусть D С R. (.П. ограниченная область,граница которой 3 является (R-i) -мерным замкнутым многообразием, допустимым для задачи Неймана (см.определение 5). Через (1 9 (DT) обозначим класс функций, имеющих в D,^ непрерывные производные до второго порядка по ЭС^ и первого порядка по t.

Под обобщенным решением задачи Неймана

С/,0<м)Сх,Ъ c*/b€DT> f е C(DT)i (12)

Б, /с бССО), jn*o (13) в некоторой окрестности границы S ; ^ SC0)TJ, tf eGCS^,); <"> понимается функция ц £ C^CD^fl C(D«j.) , в класси ческом смысле удовлетворяющая уравнению (12), начальному условию (13) и принимающая граничные значения в смысле гкзсЬ ^ p. ^jUMi в s tun VsWW

W W^'^ SCo,TJ>

Аналогично определяется обобщенное решение задачи Пуанкаре 4 на Со,Т]

По аналогии с (12) - (14), дается определение обобщенного решения задачи Неймана (Пуанкаре) в случае, когда CS ). i+ca 00 Со,тл

Если граница S принадлежит классу Q , то

К^^С S^^) s(D и обобщенное решение совпадает с классическим.

Решение задачи Неймана (Пуанкаре )

12) - (14) ищется в виде гих,Ъ -OGe/OCxAo5D)-(W'-/;c CUGe4')(9:»US|:0jTJ) , Са:,Ъвбт, (15) где плотность (р -неизвестная непрерывная на Sj-q^j функция. При таком подходе разрешимость задачи сводится к разрешшостя интегрального уравнения вида p(x5t)=2F(x,t)+2(QQ°(p)(x>t;SCo;rJ), tt.tjeS^,

7(x,t)=-4?(a;t)+ Г (3Go/0(*,t,Q;D) ~ (V°fXx,t ;Ртj ^ j JL. *

В первом параграфе доказывается следующая теорема. Теорема 8, (0 разрешимости интегрального уравнения).Если функция f непрерывна в ф , a JH - Липшицева в D Я равна нулю в некоторой окрестности границы £> , удовлетворяющей условию (0,А ) (см.определение 14), то и интегральное уравнение (16) имеет единственное непрерывное на S(orn решение

C*,t>=2F(«,t) *Е 2 Sf(VrJ ), (IV) гДе 11* Нц " норма пространства Липшица^

QscF)l(x,t;SCoTa)i(QGoP)(^;Sro>T1),

При этом существует достаточно большое |^>0 такое,что ДЛЯ C®>t) бБф.ТЛ 9

WI1C(S ^ Ci6 (llWc+l^llHi-,llfllc+l^llc)exp( KT). (18)

Второй параграф главы посвящен доказательству теоремы су -ществования обобщённого решения.

Окажем, что функция U(x9t) принадлежит классу Н0,l'U'iJ%;Q(S)), если для V^eD.Vt.e^T], R.i.», существуют константы И £>0 такие, что выполнены неравенства , lXt-X4l2 У J[T ^n-i ^ V иClXi-ay)*Ci? Coi +

It -t I 0 t i* *T О ltrtaD*C1?( \ J ^ЛЦЗЙЙЙЦ: 0 Г i

Если £ "эпл2, aeCO^CS)] , то указанный класс функций обозначается через при этом (1 v^OS С141х,-1г11Ьг Xjj, С8It-t2l^.

Отсюда, в частности следует, что 11(1, t) гёльдерова по t с показателем £ и по ОС с любым показателем od€(0,i) (cm.[I9J). 2

Скажем, что непрерывная в D^, функция fCz^t) удов -летворяет условию Дини по X (или принадлежит классуН (D)), т если её характеристика непрерывности UJf обладает своист foJfiPj^oо. о У ^ GD СУ)

Если же функция принадлежит классу °ф и интеграл

TV*J *(о/г 3 г -iM L^y Ь сходится, то говорят, что т у ° 12 1ДгГП N принадлежит классу Jtl v. Up J.

Теорема 9. Пусть граница S удовлетворяет условию (©, А") »Функции, С = принадлежат классу H*(Qp) » матрица А принадлежит классу H^CDy') . Пусть далее функция J4 — равномерно липшицева в D . Тогда функция 4U(X,t') , t)G,D ,определенная равенством (15), является непрерывно Т зависящим от правых частей обобщенным решением задачиНеймана (Пуанкаре) (12) - (14), принадлежащим классу Г

При этом функция

X^eSi , определенная равенст -СО,ТЛ вом (17), является единственным решением интегрального урав -нения (16) и существует достаточно большое К >0 такое, что выполняются неравенства (18),

Т О ь о ь Ciijuiic+iifilc)

И ^ }.

В заключении параграфа приводится теорема существования обобщенного решения задачи Неймана (Пуанкаре), когда > Leo

Третий параграф второй главы посвящен вопросу единствен -ности обобщенного решения.Предлагается два подхода. Первый подход основан на следующей теореме.

Теорема 10 (типа Н.С.Надирашвили). Пусть граница строго допустима для задачи Неймана, К -регулярная

И£ C8'iCDT') П CCDT"), € С С £CO(TJ » суперпараболическая (субпараболическая) функция,отличная от постоянной в DT . Пусть далее (se',t')6ScoTj и при всех

Cx,t) G SCOjTJ и К Сх', t') з?0 [ U(z',t') Ъ О J .

Тогда в любой окрестности Q с ^(о,ТД С Q -связная ком -понента границы ) точки (3c'?t' ) найдется точка a:"t*) eQ flSCo,Ta такая,что имеет место неравенство

0 Г <о1 .

Отметим, что при таком подходе не накладывается никаких ограничений на гладкость коэффициентов оператора L .

Теорема II» Если 1Г - регулярная суперпараболическая (субпараболическая) функция; ^Сот] допустима для задачи Неймана, *\Г>0 (1Г< О) на D J m3oT]Cj>*0) ; то (Us о) в DT *

Итак, если априори известно существование обобщённого решения (например, если выполнены условия теоремы 9), то справедливо утверждение.

Теорема 13. Пусть коэффициенты оператора и граница

Sj.0T-j удовлетворяют условиям существования регулярного обобщённого решения. Тогда обобщённое решение задачи Неймана (Пуанкаре) единственно.

Последний четвертый параграф второй главы посвящён внешней задаче Неймана (Пуанкаре). Показано, что основные результаты для решения задачи Неймана (Пуанкаре) в ограниченных областях справедливы и в данной ситуаций, если а) tim [Ч(эс) — Оу Vt&[05T] Elm CL.(a^t)=3a£<oo lxl-юо Л , ' 5 1X1-* оо Ч V и urn т(хл) = О . При этом функция U(X. t) определенная равенством (15) равномерно стабилизируется к нулю на бесконечности; или б) I/i(x)l^caexp(hlxla), |fcx,t)|^Cexp(hlxi2),

Ь<ЙХ1Т)"1, CX,t)eDT (то есть и f принадлежат классу ТихоноЕа-Теклунда). При этом iu*,t>| ^ с25 exp (сгч ixf).

Глава Ш диссертации посвящена задаче Неймана (Пуанкаре) в нецилиндрических областях. Б первом параграфе определяются до -пустимые области для задачи Неймана, а именно.

Пусть - (tl+i ) - мерная ( ) ограниченная об ласть с границей S (яли неограниченная, дополнение к которой ограничено и имеет границу S). Для любого Sc[OaT] ,

Bn^eSj.SsiSfHreSJ.

Условно через 50,-р будем обозначать ^(о ТЛ * Назовём область сот Л Д0ПУ°ТИМ0®» есЛй: а) граница S является допустимым R, - мерным многообразием для задачи Неймана; б) существует гомеоморфизм '

V СХ.О) 6 ?>0 , cxt,t)s такой, что не существует справляемой кривой соединяющей с ^ , t =* ЛГ , вдоль которой координата t не возрастает;

В) ¥ (X.,t) 6 SA , i е [09Т ] , функция t' t

ССХ^. ьЯ)^) (см.определение II) непрерывна по t .

Окажем, что граница S удовлетворяет условию С&' А) ,если: область ^j^j-p] является допустимой и кроме того S v ^ \*S2+aA(£&§» о C&bSJ)' где msn.tSt<~, S)= ££ S<fcSt); tit) функция f^U у принадлежит у классу ФСо/гЪд ;

- 30 iv) V <*t,t) e(£t)t <*t,t), cxt,t> 6 st, С/у^Се^с^Й mes,{ O^c^b

Центральным результатом параграфа является установление факта, что в классе границ, удовлетворяющих условию (б, ), справедливо утверждение, аналогичное теореме 7. Во втором параграфе главы исследуются вопросы существования и единственности обобщенного решения задачи Неймана (Пуанкаре).

Скажем, что Функция Ц принадлежит классу функций если существуют константы ^^ и %>0 такие, что выполнены неравенства:

Г * maxlxt-a:t|2 т о х

C0»<Mi0* С^ ( + ltl-t,| f ^ +

51

Справедливо утверждение, аналогичное теореме 9, если только граница Sj>0-j.j удовлетворяет условию (6, $ , А ), причём регулярное обобщённое решение задачи Неймана (Пуанкаре) aic*t>t)= (Э^ЯсэчЛ^оЬ + CUG^)C^tJivSCo,Tл с*t^ 6 ^т > где . D г v 0

Q^ix^OiXmW' CX-^bfe^, принадлежит классу °

В заключение доказывается справедливость теорем, аналогичных теоремам 10 - 13 в случае нецилиндрических областей.

Основное содержание диссертации опубликовано в [2 - б] . Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах акад.АН Азерб.ССР А.И.Гусейнова в Институте Кибернетики АН

Азерб.ССР, чл.корр. АН Азерб.ССР А.А.Бабаева и проф. В.В.Шалаева в Азербайджанском Государственном Университете им. С.М.Кирова, д.ф.-м.н. И.Т.Мамедова в институте Математики и Механики АН Азерб.ССР, профессоров Е.М. Ландиса и В.А.Кондратьева в Московском Государственном Университете им. М.ВЛомоносова, доцента Е.А.Бадерко в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, на общеинститутском семинаре ИММ АН Азерб.ССР, а также на республиканской научной конференции аспирантов.

Автор считает своим долгом почтить память своих учителей акад.АН Азерб.ССР А.И.Гусейнова и проф.

В.В.Салаева

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат.наук И.Т.Мамедову за постоянное внимание и помощь в работе и доценту Е.А.Бадерко за поддержку и полезное обсуждение результатов.

Пользуясь случаем, выражаю свою искреннюю признательность профессорам Е.М.Ландису, П.И.Лизоркину и А.А.Бабаеву за внима -ние к работе. В заключение автор благодарит кандидата ф.-м.н. Ю.А.Алхутова за полезные советы при обсуждении работы.

1. I . ВЬШОРНЫ P.O. О свойствах решений некоторыхграничных задач для уравнений параболического типа, -Доклады АН СССР, 1957, Т.П7, с.563-565.

2. ИЛЬИН В.А. О разрешимости смешанных задачдля гиперболического и т р а б о лического уравнений. - Успехи матем.наук, I960, т . 1 5 , вып.2, с.97-154.

3. КА1У1КЕ Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса.- М.:Наука, 1959,- с .320.

4. КМШИН Л.И. О гладкости тепловых потенциалов. I - Дифференц.уравнения, 1965, T . I , J^ 6, с.799-839.

5. ЛАНДИО Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического ти нов.- М.: Наука, I97I, - 288 с.

6. МОИОЕЕВ Е.И. Теория потенциала для областейЛяпунова-Дини.- Доклада АН GGGP, 1970, т.192, !k 5, с.990-992.

7. МОИСЕЕВ Е.И. О задаче Неймана в кусочно-гладких областях, - Д14ф1|}еренц.урав нения, I97I, т .7 , ;.« 9, с. 16551666.

8. НАДИРМВМИ H.J. Лемма о внутренней производной иединственность решения 2-й краевой задачи для эллиптических уравнений второго порддка.- Доклады АН CJGP, I98I, т .261, В 4, с.804-808.

9. Н/ШИРАШВШШ H.J. К вопросу о единственности решения второй краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка.- Штем.сборник, 1983, т.122 (164), Г&З, с.341-359.

10. HATMGOH И.П. Теория функций вещественнойпе ре ме иной.- М.: Hay ка, 1974.480с.

11. НИКОЛЬСКИЙ СМ. Линейные уравнения в линейныхнормированных пространствах.Известия АН OCGP, 1943, 7,}.б 3 , с.147-163.

12. ПРИВАЛОВ И.И. Интегральные уравнения.- Л.:Гостехйздат, 1937.- 248с.

13. РАДОН И. О краевых задачах для логарифмического потенциала.- Успехи математ.наук, 1946, 3-4 (13-14), с. 96-124. 42. РИСС Ф. СЁКЕФАЛЬВИ-НАДЬ Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979.- 587с. - 136

14. GMAEB В.В. Шогомерныи сингулярный интегралпо замкнутым негладким многообразиям в пространствах непрерывных функций. Деп.в ВШ1ИТИ, 1975, 1& 1843-74. - 17 с .

15. ТМРАЗОВ П.М. Гладаостй и поШ'Шошальные приближения.- Киев.: Наукова думка, 1975. - 271 с.

16. ТМОНОВ А.Н. Theoremes d'anUlti pourМате^лат.сборник, 1935, 42, с.199-226.

17. ТИХОНОВ А.Н. Об уравнении теплопроводностидля нескольких переменных.-Бюллетень 1',1ГУ, секция А., 1938, I, вып.9, с.1-45.

18. POGORZELSKI W. Problemes атдх limites pour1'equation parabolique normale. - Ann, Polon. Math., 1957, vol. 4 , 1, p. 110 - 126.

19. RADON J. Tiber die Randwertaufgaben beimlogarithmi-HSchen Potential .Sitzsber, Akad. Wiss, Wien , 1919, 128 , s. 1125 - 1167.