Обобщенные алгебры Вейля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

рга ОД

Ц ДЕК 13Є

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Нд правах рукопису

Бавула Володимир Володимирович

УЗАГАЛЬНЕНІ АЛГЕБРИ ВЕЙЛЯ

(01.01.06 - алгебра і теорія чисел)

А втореферат дисертації на ¡здобуття вченого ступеня доктора фіоико*математичних наук

Київ * 1996

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри і математичної"¡логіки Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти: '

доктор фіоико-математичних наук,

. професор В.А.АРТАМОНОВ,

доктор фіоико-математичних наук, професор В.В.КИРЙЧЕНКО,

доктор фіоико-математичних наук, професор А.В.ЯКОВЛЄВ

Провідна організація: Ужгородський державний університет

Захист відбудеться “ 18 ” листопада 1996 р. о 14 год. на (засіданні Спеціалізованої Ради Д 01.01.01 при Київському університет ім. Тараса Шевченка оа адресою: 252127, Київ, пр. Академіка Пчушкова, б, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка. .

Автореферат розіслано “...”......... 1996 р.

Вчений секретар Спеціалізованої Ради

Актуальність теми. Останні 20-30 років активно впинаються нескінченовимірні алгебри. І одпісю п першочергових і важких задач е класифікація простих алгебр, На підміну-яід скінченовимірного випадку, де, як відомо, простих алгебр мало

- це матричні алгебри Мп{К), К - а.о. йоле, існує багато класі» простих нескінченовимірних алгебр і ноші значно рівняться им своєю будовою. '•

Історично одними о перших простих нескінченовимірних алгебр, що вивчалися (і інтенсивно вивчаються) є алгебри Вейля Ati, char К = 0. їм присв’ячені роботи Аміцура, Бернштейна, Блока, Бйорка, Діксм’е, Габріеля, Макконела, Райнхарта, Ренчлера, Робсона, Руса, Стаффорда та ін.

За останні десять років з’явилося багато нових класів алгебр, які умовно можна об’єднати під назвою “квантові групи”. До них відносяться в першу чергу деформації класичних іиг-гебр.

Виявляється, що багато о цих алгебр (та їх тензорні добутки) є узагальненими алгебрами Вейля.

Мета роботи. Класифікація простих модулів деяких Z-градуйованих алгебр та узагальнених алгебр Вейля. Обчислення гомологічної розмірності та розмірності Крулля узагальнених алгебр Вейля. Побудова теорії фільтрованої розмірності алгебр та модулів і доведення аналої а нерівності Бернштейна для простих афінних алгебр. Доведення гіпотези Стаффорда для широкого класу простих алгебр. Класифікація (простих) модулів над алгеброю Вейля Ап{К), К - а.з. поле, с har К —

0, що мають мінімально можливу рсьмірність Гельфанда-Кнрил-лова п і мінімальну кратність L Доведення нєкомутативного аналога теореми Гільберта про сизигії. Вивчення взаємозв'язків функцій Гільберта і рядів Пуанкаре градуйованих та фільтрованих модулів.

З

_ Методика дослідження. В роботі використовуються сучасні методи гомологічної алгебри, теорії зображень, теорії розмірності кілець та модулів, теорії кілець та комутативної алгебри. .

Наукова новина. В дисертаційній роботі отримані наступні нові результати для узагальнених ялгебр Вейля:

1. Встановлено критерій простоти узагальнених алгебр Вейля.

2. Введена нова розмірність - фільтрована розмірність -алгебр та модулів та аналог кратності для цієї розмірності, Доведено аналог нерівності Бернштейна для простих афінних алгебр. Для широкого класу простих афінних алгебр доведено, що голономні модулі мають скінчену довжину .

3. Показано, що колена Шурівська алгебра є тензорнопростою.

4. Класифіковано (прості) модулі над алгеброю Всі:ля Ап, що мають розмірність Гельфанда-Кириллова п і кратність 1.

5. Доведено аналог теореми Гільберта-Серра для більш загальної ситуації, встановлено існування поліномів (які були названі поліномами Гільберта), що узагальнюють класичний поліном Гільберта. Встановлено канонічний ізоморфізм алгебр функцій Гільберта і рядів Пуанкаре при якої ту інтегральна функція Гільберта відображається в ряд Пуанкаре. Для простих афінних алгебр встановлено нерівність, що пов’язує розмірності Крулля, Гельфанда-Ккриляова та фільтровану розмірність.

6. Класифіковані прості модулі „ля деякого класу ¿/-градуйо-

ваних кілець, що включає багато відомих алгебр (напр., алгебру Вейля А\, квантову алгебру Вейля Аі(д), квантову площину, £/¿/(2), £/,5/(2), деформації ВІттена, Вороновича, Сміта та ін.). ■

7. Введений та вивчається новий клас алгебр - тензорно гомологічно мінімальні алгебри. Встановлено цю властивість для в'-домих класів алгебр (напр., алгебр Вейля та деяких узагальнених алгебр Вейля і ін.). Узагальнено теорему Руса та

наведено некому гативні аналоги теореми Гільберта про сизигії.

8. Обчислено гомологічну розмірність та розмірніс/гь Крулля узагальнених алгебр Вейля.

9. Для широкого класу простих алгебр доведено гіпотезу

Стаффорда про 2-породженість лівих і прншіх ідеалів. Внвчасть ся модульна структура таких алгебр. *

Теоретична та практична цінність. В роботі ро зроблено новий підхід до віпги аня структури простих афінних алгебр та їх модулів, введена нова, розмірність алгебр та ми дулів, розроблені методи для обчислення гомологічної розмірності алгебр і як наслідок отримано вичерпну підповідь у випадку узагальнених алгебр Вейля.

Робота мая теоретичний характер. Результати можуть бути використані в теорії зображень нескінченовішірних алгебр та алгебр Лі, гомологічній алгебрі та теорії розмірності.

Апробація роботи.

Результати дисертації доповідалися на наступних Міжнародних конференціях: Оттава (Канада, 1992), Мехіко (Мексіка, 1994), Антверпен-Брюсель (Бельгія, 1994, 1996), Білефельд (Німеччина, 1994, 199G), Констанца (Румунія, 1995), Варшава (Польща, 1995), Гкиренгер (Норвегія, 1996), Мішкольц (Угорщина,1996), Москва (1990), Новосибірськ (1989), Казань (1990), Львів (1990), Барнаул (1991), Н.Новгород (1991), Ужгород (1993),

а також на наступних наукових семінарах університетів: Антверпен, Білефельд, Гамбург, Казань, Київ, Москва, Паден-борн, Ъ жгород, Хассеяьт та ін.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [Bav 1-23], приведених в кінці автореферату.

Структура і об’єм дисертації. Дисертаційна робота набрана у Latex і містить 311 сторінку. Вона складарты-я з 9 частин та списка літератури з 100 найменувань.

Зауваження. Нумерація теорем, лем, ... в кожній частині диссертації своя.

Частина 1. Введено новий клас алгебрузагальнені алгебри Вейля.

Узагальнена алгебра Вейля А = D(cr,a) ( УАВ ) рангу п о базисним кільцем D - це кільце, породжене D і 2п твірними

які підпорядковані наступним визначальним співвідношенням:

Х~ Xf = a,-, Xf Xf = <7,(ai) •

Xf a = crf1 (си)Х* У а Є D .

[Xf,Xr] = [X?tX+] = [XÏ,Xr] = 0

де [x,y] = xy - î/z.

Вивчаються основні властивості узагальнених алгебр Вейля. Наведено критерій Нетеровості (Твердження 1.1). В рооділі 1.3 показано, що Жорданові алгебри е УАВ спеціального виду і як наслідок багато відомих класичних алгебр є УАВ. В р.1.4 дається критерій простоти УАВ рангу 1 (Теорема 4.2) і рангу п (Теорема 4.5).

• Теорема 4.2. Нехай А = 2?(<т, а) - узагальнена алгебра Вейля рангу 1. Тоді А - проста тоді і тільки трді коли ь іступні умови мають місце:

(i) D не має власних а—стабільних ідеалів;

(ii) жоден автоморфізм сгп, тг > 1, кільця D не є внутрішнім;

(iii) для кожного натурального числа п € N элемента a, (т"(а) є твірними D як лівого ( або правого ) D—модуля;

(iv) а - не дільник нуля в D.

Частина 2. В р.2.1 введено нову розмірність алгебр та модулів - фільтровану розмірність (fil.dira) і доведено

нагтупнші аналог нерівності Бернштейна для простих афінних алгебр.

Теорема 1.2. Нехай А - проста афінна алгебра, тоді

СК(А) < вК (М)(Ш.<1іш А + ішіх{Ш.сІіт А, 1}) (1)

для довільного неиульового скінченопородженого А—модуля М, де ШС - розмірність Гельфанда-Кнрилова.

Для алгебри Вейля Л„ над полем характеристики нуль обчислено 1і1.<1іш Л„ = 1 (Теорема 1.10 ). Оскільки СК(А„) = 2п, то п (1) отрішуодо нерівність Бернштейна: СК(Л/) > гї для довільного с.п. Л„-модуля Л/ ф 0. З;- класичним означенням Л-модуль М - голономшш, якщо СК(Л/) = СК(Л)/2, де А - проста алгебра. В р.2.2 побудовані приклади простих афінних алгебр як ¡завгодно великої фільтрованої розмірності,і а це оначить, що класично означення голономного модуля має • вузьку сферу застосування ( коли /іІ.Літ А < 1). Нерівність (1) дас змогу дати більш коректне опначення голономного модуля, а саме, коли (1) перетворюються на рівність.

Аналогічно теорії кратності в алгебраїчній геометрії в р.2.3 розробляється тго]>ія “кратності” фільтрованої розмірності і розмірності Гсльфанда-Киршшова. Для широкого класу простих афінних алгебр, що включає алгебри Вейля Та деякі УАВ, доведено обмеженість знизу кратності довільного голономного модуля (Теорема 3.3). Це дало пмогу покпплти, Що кожен го-лономнии модуль мас скінчену довжину (Теорема 3.5).

Введено наступний клас алгебр. .

в (Э) Л - проста афінна нескінченовимірна алгебра.

* (N1 Існує стандартна гкінченовимірн» фільтрація F ~ {Л,} така, ш» ассоціиована градуйована алгебра А — 'Ріхі Л,/Л,-і, Л_і =а 0. е Нетерипок».

« (Б) СК(Л) < оо, Ш.сІітЛ < то, існують /(Л) = ¡¡.-(А) и Ь(А) = МА).

9 (Н) Для кожного голономного Л-модуля М існує 1(М) =

З точністю до фіксованої константи 1{М) і £(М) - це кратності розмірностей Гельфаида-Кириллова та фільтрованої розмірності відповідно.

Більш слабка форма умови (Б).

в (О') ОК(Л) < оо, сі — Ш.сІітЛ < оо, існує І(Л) = Іг{А) і число с > 0: Р(і) < сі* для і » 0, де ї> - функцій повернення ирвр°г,і А ® Л0р-модуля А.

Теорема 3.3, Нехай алгебра А задовольняє умовам (З), (II), (В) відп. (О’). Тоді для кожного голономного Л—модуля ЦГ:

ЦА) < /2(л/)(ДЛ)І/(А)}СК(л)/(Г,І-ЛтЛ+тпх{ГіІ-,іі'п/'’!ї),

¡(А) < і2(М)(с(с 4- 1))ак<л>/(мл«л+ш«іга.лта.і'»# Теорема 3.5. Нехай алгебра А оадовольияе умовам Теореми

3.3. Тоді голономніш Л-модуль М має скінчену довжину < 1{М)/сд ( відп. 1(М)/с'л), де сд і Сд - фіксовані і явно обчислювані по Л константи.

Частина 3. Алгебра - Щурівська, коли кожний її простий модуль - Шурівськпй ( тобто його кільце ендоморфізмш

- основне поле). .

/ИМ).

відп.

А В С (А Й В)" для довільної, алгебри Л,

тобто тензорний добуток М о N простих /1— і В- модулів М і Лг, відповідно, Є простим А СО В- модулем ( для довільної алгебри В і довільного простого В- модуля ).

Теорема 3.1. Кожна Шурівська алгебра є теїіпорно-простою.

Наслідок 3.2. Кожна афінна алгебра над а.з. незліченним полем с тензорно-простою.

Частина 4. В р.4.2 класифіковано (прості) модулі М над алгеброю Вейля Л,м що мають розмірність Гельфанда-Кпрпллова СК(Л/) = п і к]»атність е(М) = 1 (мінімальні можливі розмірність і кратність для с.п. М ф 0). ,

. Теорема 4.1. Скінченопороджешш Ап- модуль М має розмір-1 ність СК(Д/) = п і кратність г(М) = 1 тоді і тільки тоді, коли М ~г Н’„ ( підкручений модуль ) для деякого автоморфізму т Є /і»і<н(.4„), що пберігас фільтрацію Берншт<'йна В = {і?,} алгебри .4,,, де ІК = Ап/Ап(ді,...,дп).

Наступна теорема характеризує будову п])остого голоном-нрго Д„-модуля М, ( СК{М) = гі). Нехай Ь — К(А'ь.... Хм)

* поле раціональних функцій і 5 = К[Л"і,.... Х„] - кільце многочленів.

ТУорема 4.2. Для кажного простого голономного Л„-модуля М існує автоморфізм г € .4и/н(Д„) такий, що підкручений модуль ТМ е Д„-нідмодулом модуля М і (Пп)і,{ГД/) < *[М) ( крат Ість модуля А/ ).

Частина 5. Нехай .4 = ©,,>,> А, - градуйоване комутативне Нгтерове кільце. Тоді кільце - Н**т**ров<* і Аг**лгебра А

породжена деякими елементами .гх, степенів к\,...,к,, відповідно. Нехай І - адитивна функція на множині с.п. А0~ модулів. “

В р.5.2 (Теорема 2.3) упагальнюється теорема Гільберта-Серра.

Теорема 2.3. Нехай М - с.п. градуйований Л-модуль, к =

НСК(*,,...,*,) Тоді

1. існує к многочленів фо, • • • , Фк-1 Є степені < — 1 Г»

коефіцієнтами в [кл~1(<1 — 1)!]~'2 таких, що

Дм(п) = Для всіх п > 0 таких, що п = ./(тосік)\

2. існує к многочленів 7о, •. -, Ук-і € (¿Щ степені < (і о коефіцієнтами в [kdd\]~iZ таких, що

Хм(п) — 7з(п)і Длй вс'х п >0 таких, що п 2 ^(їлосІА;);

де Хм і хм * відповідно функція і інтегральна функція Гільберта модуля М.

3. якщо А - невід’ємна, то всі многочлени у і мають однакову степінь гі(= кратність полюса ряду Пуанкаре Р(М, і) в точці < = 1) і однакові старші коефіцієнт«,

В класичній ситуації к\ = 1, Теорема 2.3 над. тео-

ремою Гільберта-Серра, а єдиний многочлен у0 - многочленом Гільберта.

В р.5.2 вводиться і вивчається новий клас градуйованих кілець - ІЇСР-кільця та КС-Р-розширення. Він включає клас комутативних Нетерових градуйованих кілець і для нього доведені аналоги теореми Гільберта-Серра (Теореми 2.5, 2.С і Наслідки 2.7, 2.9). ■

Нехай АССЛЇ і ЄС - відповідно клас афінних градуйованії:-' комутативних Нетерових алгебр і майже комутатїїзкйх

алгебр. Нехай "НІР- відповідно алгебри, породжені усіма функціями Гільберта і радами Пуанкаре с.п. модулів над ал- , гебрами п одного іп класів вище. Теорема 3.9 стверджу, що існує ізоморфізм алгебр "Н ~ Р (який будується явно) при якому інтегральна функція Гільберта переходить в ряд Пуанкаре. Цей явний ізоморфізм дав пмогу відновити (інтегральну) функцію Гільберта по ряду Пуанкаре і навпаки.

' Теорема 4.1. Нехай А - скінченовн ділена проста афінна алгебра п СіК(А) < оо. Тоді її розмірність Крулля (у сенсі Габріеля-Ренчлера)

K.dim(A) < GK{A){1 — 1 /(fil.climУІ + max{fil.dim А, 1})).

Як стверджують Макконел і Робсон в своїй книзі “Некомута-тивні Нете])ові кільця” (с.238): “не відомо прикладів не скінчено-виділених алгебр”.

Частіша 6. Нехай R = ф,ег Ri - 2-градуйоване кільце, До = D, таке, що Ні = Dví, u¡ € Ri, - лівий вільний D-модуль рангу 1, v0 = 1, існує автоморфізм а кільця D такий, що

nviflvj = ncr'(/1)c(tJ)vi+J ■

для всіх а,/З Є Dii,j Є 2 і деякого відображення (“2- коцикла”) с : ZxZ —* Z(D), центр кільця D. У АР, рангу 1 е прикладом R. Ціль р.2.6 - класифікувати (з точністю до незвідни • олементів деякого Евклідового кілі.ця ) прості дулі у випадку, коли D - Дедекіндопе кільце І с(і,У) Ф й для всіх i,j Є Z ( і також у випадку iV-градуйованого кільця R ). Як наслідок отримано класифікацію простих модулів багатьох відомих алгебр (налр., алгебри Вейля Лі, кваитоаої¡алгебри Вейля A\(q), Usl(2), Urd(2), квантової площини, алгебри Сміта, першої де-ІВіттепа і деформації Вороновича, квантової группи квмітової алгебри Гейзенберга та ін.).

Локалізація В — 5_,7? = кільця К по 5 := И \

■{0} є кільцем косих Лоранівськнх многочленів о коефіцієнтами в полі к = 5~,£>. і? - область лівих і правих головних ідеалів. Задача класифікації простих Я-модулів розпадається на дві:

II,^ Що В — округом) и /?(6е;і И - ’круту). ,

Перша носить більш “геометричний” характер, друга - “арифметичний”. Модулі з першого класу є в точності ваговими і в і-.б.З класифіковані 7?(вагові ), де О - довільне комутативне кільце.

Циклічна группа С? —< а >, діє очевидним чином на множині Брест (£)) максимальних ідеалів В. ліакснмнльннй ідеал р і орбіта О(р) = {&'{р), і € 2} наз. циклічними, якщо остання

- скінчена, і лініштмн - в іншому випадку.' •

Теорема 5.14. Л(бео і? —скруту) ф 0 тоді і тільки тоді, коли існує лиши скінчена кількість циклічних максимальних ідегілів кільця О.

Для о _ іі є 5 ми пишемо « < в, якщо не існує максимальних ідеалів /> н ц із і?, які належать лінійній орбіті і таких, ідо а Є ]>, ¡1 Є <! і р = &'{(]) дпя деякого і > 0. Злемепт Ь =

+ • • ■ + Д, Є і?, всі /і, є А /1-,» ф о. А» ф о, т > 0, ипт. ¡-нормальніш , якщо /?0 < і /% < «’(—1.1). Для циклічної орбіти О позначимо через 0{ О) добуток усіх ідеалів я О.

Теорема А. Нехай Ь • І-кормальшпі нсовідннн в В елемент

о умовою

(СО) Л = Л&(0) + і? П ВЬ <)ля боаі иної циклічної орбіти О.

Тоді Л/ЯПВЬ- простіш Л-модуль без І?-ск^>уту ( = Босц(В/БЬ)). З ТОЧНІСТЮ» ДО ІЗОМОрфІЯМу хожшш простий Л-модуль без О-скруту вішпхя* такіш чином, де Ь - визначений однозначно з точиіетя? я» подібності в і?.

Прикладом В е до як а природна фактор-алгебра V універсальної обгортуючої алгебри Вірагоро, В р.С.7 класифіковані усі прості І’’-модулі (побудовано нові серії простих ге; вагових модулів над алгеброю Вімагоро). .

В р.0.8 класифіковані прості модулі у випадку ІУ-градуйованого кільця /?. В р.0.0 підп. 6.10 класифіковані прості модулі кільця косих Лоранівськпх многочленів з коефіцієнтами в Де-дскіндопо- му кільці відп. прості м< дулі квантової площини.

Частіша 7. Нехай <і=\усі - слабка гомологічна розмірність або г!=1р;(1 - ліва гомологічна розмірність. Введено новий клас алгебр, а саме. ,

Алгебра А - тензорно сі- мінімальна відносно деякого класу алгебр О, якщо

с!{Л СО В) — сІА + сІВ, для довільно'? алгебри і? € П.

Взагалі, ліва частіша не менша за праву. У випадку сі—\усі (—1"г1) алгебру А будемо паз. тензорно слабко мінімальною = ТСМ (тензорно гомологічно мінімальною = ТГМ). Теорема 7.4 дає достатню умову тензорної сі-тнімальності. Вона використовується для доведення цієї властивості дня тензорних добутків УАВ, а також для обчислення їх гомологічної розмірності (Наслідок 7.5, Теорема 7.6).

Якщо кільце Л - коммутатнвне, то \ус1 II = ,чир{ \ус1 П.,п \ т Є Брест Л}, де Лт - яокалізаці я кільця ії по максимальному ідеалу т. Ж.-Е. Рус узагальнив цей ]%зультат на клас неко-мутатившіх кілець для лкнх існує “досить багато" локалізацій. Наступна теорема показує як обчислювати юсі А коли локалізацій “мало”.

Теорема 7.2. Нехай {А —> Аа | су € /} - множина плоских розширень кільця А таких, що \ус! А < оо, и = ящ:{\ус1 Аа | а Є 1} < со, /л — яир{МдМ І М - циклічний А- модуль такий, що А„ С0 аМ — 0 для всіх (У Є /}; множина І - скінчена або А когерентно зправа. Тоді

ІЗ

1. або \vd А = fi або /і < wtl А < и.

2. Якщо, додатково, v < vvcl ^4 ( шшр., всі кільця Ди - локалізації кільця А), то \v<l А = тах{/(,^}.

.)

Частині 8. Обчислено гомологічну розмірність УАВ А = D(<x,a) рангу 1. Нехай ті = ]g<ÎD - ліва гомологічна розмірність кільця D.

Теорема 2.7. Тоді Î£<i А — rt, ri -f ] або оо.

Теорема 2.10. Нехай D - Нетероае і ghl Л < оо. Тоді гомологічна розмірність gldj4 = max{»,//'), де /if — вир {M| A M — простіша.n. D — модуль).

Наслідок 2.12. Нехай D - напївпервинне Нетерове кільце, п < ОО, #]<ІЛ < 00, тоді фІА = п + 1 тоді і тільки тоді холи існує простий Л-модуль М, екшченопороджеиин над D і p<iDM — п.

Тсор< ма 3.5. Нехай D * комутативна Нетерова облисть скін-

ченої гомологічної розмірності? п, а ф 0. Тоді RÏtl А < оо тоді

і тільки тоді коли А/Л(Л'тр>) < оо-для всіх первинних ідеалів р кільця D, що містять я.

Теорема 3.7. Нехай D - комутативне Нетерове кільце, п < Зо, а - регулярний, gld А < оо. Тоді дії! Л = її + 1 тоді і тільки їоді коли існує циклічішй максимальний ідеал кільця D висоти Н або існують максимальні ідеали p. q кільця D висоти п такі, №' <r'(p) - ç для деякого і ф 0 Є Z і a Ç p,q.

Доведено ашглог теореми Гільберта про снпигії для алгебри Вгйлп А„ (та інших втдохтх УАВ):

, 1д<ї /І„ В - Ід«? Л„ 4 І£<1 В,

для довільної зліченопородженої Нетерової алгебри В, (основне поле - а.о. і незлічене).

Частина 9. Алгебра Вейля Ап = А\ ® ® Аі, ( п

разів, char К — 0 ) - це тензорний добуток алгебр Вейля Аг, які е простими Нетеровими областями з обмеженою умовою мінімальності (о.у.м., тобто А\ - но Артінове кільце, але кожний власний лівий і правий фактор модуль - Артіновий). Стаф-‘форд показав, що -ожшп'і лівий і правпй ідеал із Ап має не більше ніж 2 твірні і висунув гіпотезу, що аналогічний результат справедливий для більш загального класу алгебр, а саме простих Нетерових алгебр, що “побудовані”-з простих алгебр; з о.у.м. ‘

В ч.9 такий клас алгебр знайдено (Теорема 9.2). На цьому шляху введено два нові класи алгебр - сильно прості і спеціальні.

/¿"-алгебра А - сильно проста , якщо для довільних К-лінійно незалежних елементів сії,..., аг Є А :

A(flj,..., аг)А — А^ := А Ф • • • Ф А.

Алгебра А наз. спеціальною , якщо для довільних скінчено-вимірних підпросторів V і U із А таких, що VU ф 0 існують відповідно їх бази {а,} і {bj} такі, що ранг набора векторів {а.-Ьу} - строго більший па ранг {a,bJ}\{a161}.

В р.9.2 показано, що багато відомих класів алгебр є спеціальними (Лема 2.2), напр., алгебри Ве&ія, універсальні обгор-тугочі алгебри алгебр Лі та ін., але матричні алгебри Мп{К), п > 2, - не спеціальні. Наступна теорема дає відповідь н; запитання Стаффорда.

Теорема 0.2. Нехай А,- (і = 1,..., п) - центральна спеціальна проста алгебра о о.у.м. . Нехай А = А\ 0 • • • 0 А„ і існує підалгебра Слз А, що є тензорним добутком С = Сі <%) • • ■ Q Сп підалгебр С, m А,- таких, що

1. для і — 1,..., п — 1 існує яокалізац^ Si := Г; кільця

7і_і = Сі® - • • ■ <8> Ап по Г, о о.у.ы. 'fіснують

Ri = ТГ1А;

2. для і — 2,... ,п існують повні кільця іасток Еі := V(C\ (/>

• • © С,—і) і -Ft- ®(Сі ® @ Сі-і 0 A.-t-i (n • • • ® Л„) і

кільце Х>(Сі ® ® Сі-1) 0 Л; Є 5 о.у.м. .

Нехай І = аА Н- ЬА + сА - правші ідеал іа А і нехай d\, <1г -довільні відмінчі від нуля апеиея'ги А. Тоді існують / і д іо А такі, що

І — (а + с fill) -!• (Ij 4- c<jd2)A.

Значить, довільний скінченопороджешш правий ідеал і:з А має не більше ніж 2 твірні. Якщо крім того А - Нетерова, то це вірно длд довільного правого або лівого ідеалу.

Нехай алгебра Лі, і ~ 1,... і», є простою УАВ однією о наступних двох тішів:

1. К[Н](о, a), er(Jf) = Н - /і, /і ф 0 Є К, char К = 0;

2. К[ЩН~л]{а, а), а{И) ^ІН,Іф 0 € К.

Тоді їх тензорний добуток задовольняє умові Теореми 0.2 (Ивер* джешш 3.2) .

В р.9.4 вивчається структура скіпчснопороджеїшх Л-і.юдулів. Нехай М - екінченопороджешш Л-модуль, Л - о Теореми

0.2.

Теорема 4.2. Тоді М — М' 0 Л^, де М' - модуль рангу < 1. Якщо М - без скруту, то М' - ізоморфний лівому ідеалу о А.

Теорема 4.4. Нехай ранг М > 2 і М ф А а ф Л для деякого модуля N. Тоді .у! ~ N. '

ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

[Bav 1] В. В. В а пупа, Конечномерность Extn-o^ и Тог„-ов простых модулей над одним классом алгебр. Фуикц. акал, ц его прилож., 25 (1991), N 3, 80-82.

[Bav 2] В. В. Бавула, Простые Z)[Ar, Y;<т,«[-модули, Укр. мат. журн. 44 (1992), 1628-1644.

.Шav 3] V. V. Bavula, Generalized Weyl algebras, kernel and tensor-simple algebras, tlieir simple modules, Representations of algebras. Sixth International Conference, August 19-22, 1992. CMS Conference proceedings ( Y.Dlab and H.Lenzing Eds.), v.

14 (1993), 83-106. ' •'

[Bav 4] В. В. Бавула, Обобщенные алгебры Вейля д их представления. Алгебра и анализ. 4 (1992), N 1, 75-97.

[Bav 5) V. V. Bavula, Tensor homological minimal algebras, global dimension of the tensor product of algebras and of generalized Weyl al^jbras, Bielefeld, preprint, 1994; Bull, de Sci. Math. 120 (1996), N 3, 293-335.

[Bav С] V. V. Bavula, Global dimension? of generalized Weyl algebras. Proceedings of the 7thlnt. Conf. on Represent, of Algebras, August 22-26, 1994. CMS Conference proceedings ( R. Bautista,

R. Martinez-Villa and 3. A. de la Pena Eds), IS (19tJ), 81-107. [Bav 7] В. В. Бавула, Описание двусторонних идеалов в одном классе некоммутативных колец, I. Укр. мат. журн. 45 (1993),

N 2 ,223-234. ..

[Bav 8] В. В. Бавула, Описание двусторонних идеа тов в одном классе некоммутативных колец, II. Укр. мат. журн. 45 (1993)

N 3, 329-334.

[Bav 9] V. У. Bavula, Each Schuriun algebra is tensor simple, Comm. Algebra, 23 (4) (1995), 1363-1368.

[Bav 10] В. В. Бавула, Крайние модули над алггброй Вейля Лп. Укр. мат. журн. 45 (1993), N 9, 1195-1205.

[Bav 11] V. V. Bavula, Generalized Weyl algebras, Bielefeld, preprint, 1994.

[Bavl2]B. В. Бавула, Композиционные произведения модулей расширений простых весовых s2(2)-Mo'¿yneií. Межд<дсонф. по алгебре, Новосибирск, 1989, с. 15.

[Bav 13] В. В. Бавула, О некоторых обобщениях критерия Эйзенштейна, Укр. мат. журн. 42 (1990), N 7 , 983 985.

(Bav 14] В. D. Бавула, Классификация проел ых /¡/(2)-модулей н конечномерность модуля расширений простых .ч/(2)-моду«сй. Укр. мат. журн. 42 (1990), N 9, 1174-118«.

[Bav 15] У. V. Bavula, The bilateral ideal« of Usl(2). Abstracts of 2nd All-Union Conf. on Algebra, Altai Univ. Press, Barnaul, 1991, p. 137 (E’-glish).

[Bav 1C] В. В. Бавула, Рапмерность модулей над фильтрованными кольцами. Peer,, начно-метод. конф., Одесса, 1992, с. 3. [Bav 17] В. В. Бавула, Вычисление H*(sl(2), М) с коэффициентами в простом &-/(2)-модуле. Функц. анал. и его прилож. 20 (1992), N i,1 57-58.

[B¡iv 18] В. В. ^Бавула, Тождественность функции Пшьберта и ряда. Пуанкаре, размерность модулей над фильтрованными кольцами. Павест; РАН, 58 (1994), N 2, 19-39.

[Bav 19] В. В. Бавула, О конечно?*ерности производных функторов . Дол. АН Украши, 8 (1994), 7-10.

[Bav 20] Si. V. Bavula and V. I. Bekkert, Indecomposable representations of generalized Weyl algebras, Preprint, Univ. Bielefeld, 1994.

[Bav ,21] V. V. Bavtila, Filter dimension of algebras and modules, a •shnplisity criterion of generalized Weyl algebras, Comm. Algebra, 24 (1996), N 6, 1971-1992.

[Bav 22] В. В. Бавула, Классификация модулей размерности Гельфанда-Кирнллова п и кратности 1 над алгеброй Вейля Ал. Нзвест. РАН, 60 (1996), N 3.

[Bav 23] V. V. Bavula, Module structure of the tensor product of simple algebras of Krull dimension 1. An. át. Univ. Ovidius, Constanza, 4 (l'J9d)r N 2, 7-21.

IS

Бавула В.В. Обобщенные алгебры Вейля. Диссертация (рукопись) на соискание у пеной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел, Киевский университет им. Тараса Шевченко, г. Киев, 1996. ~

Вводятся и изучаются обобщенные алгебры Вейля (ОАВ), докапывается критерий их простоты. Вводится новая размерность алгебр и модулей - фильтр« ванная размерность. Доказывается аналог неравенства Бернштейна для простых аффинных алгебр. Для простых афинных алгебр устанавливается неравенство связывающее три размерности: размерность Крулля, ГЬльфан да-Кириллова и фильтрованную размерность j Доказывается, что каждая Шуровскоя . лгебра есть тензорнопростой. Классифицированы простые модули над некоторыми Z-градуи- рованными кольцами. Над алгеброй Вейля Ап классифицируются модули размерности Гельфанда-Кириллова п и кратности 1. Обобщается теорема Руса, доказываются некоммутативные анал ,ги теоремы Гильберта о сизигиях. Вычисляется гомологической и размерность Дчруллзг ОАВ. Для широкого класса простых алгебр доказана гипотеза Стаффорда о 2-порждаемост» левых идеалов. Основные результаты опубликованы в 23 работах.

Bavula V.V. Generalized Weyl algebras. A dissertation (manuskript) is presented for obtaining of the degree of a doctor of science by speciality 01.01.06 - algebra a»d number theory, Taras Shevchenko Kiev Univc sity, Kiev, 1996.

Generalized Weyl algebras (GWA) are introduced and stud ied. A simplicity criterion is proved. A new dimension of algebras and modules is introduced - the filter dimension. For simple affine algebras an inequality is established which connect three dimensions: the Krull, Gelfand-Kirillov and filter dimension. It is proved an analog of the Bernstein’s inequality for simple affine algebras. It is proved that each Schuriaii algebra is tensor simple. The simple ninth lies of certain Z-graded rings are classified. Over

the Weyl algebra An the modules of Gelfand-Kirillov dimension n and multiplicity 1 are classified. Roos's theorem is generalized and non-commutative analogues of the Hilbert syzygy theorem are proved. The Krull and global dimension of generalized Weyl algebras are calculated. For a large class of simple algebras the Stafford’s hypothesis is proved. The main results are published in 23 papers.

Ключові слова: узагальнена алгебра Веиля, фільтрована та гомологічна розмірність, тензорно гомологічно мінімальна алгебра, простий модуль.

Піхв, до xpjxj Ш. 10.96. Формат 60x84/16. Папір друк. Офо. друк. Ум. даук. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16. 0<5л.°-вяд. арк. 0,9. Іграх 100 пр. Зем. 180. Безкоитовяо.

Віддруковано в Івстятуті математиці Най України 25Z6CI KstB 4 і, МСП, аул. Тереісенхівоіха, З