Обобщенные функции Малкина и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Наг

005002004

Михайленко Борис Александрович

Обобщенные функции Малкина и их приложения

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 < ноя 2011

ВОРОНЕЖ - 2011

005002004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович

Ведущая организация: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Защита состоится 20 декабря 2011 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "(5'" ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.2°

профессор Каменский Михаил Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор Цалюк Зиновий Борисович

доктор физ - мат. наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие математические модели и механике (в том числе и негладкой), физике, биологии, экономике описываются дифференциальными уравнениями различных типов, включающими малый параметр, например, в виде малого внешнего воздействия или малого запаздывания по аргументу. Бифуркация из предельного цикла периодических решений дифференциальных н функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром (так называемая бифуркация Малкина) является важным разделом теории дифференциальных уравнений и динамических систем. Бифуркация таких решений из циклов невозмущенных уравнений в случае резонанса активно изучалась в середине XX века в работах И.Г. Малкина и, немного позднее, B.C. Луда. Впоследствии аналогичные задачи были поставлены и для квазилинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и изучались С.Н. Шимаповым. Изучение такого рода бифуркаций позволяет установить, с одной стороны, те положения равновесия или фазы цикла невозмущепного уравнения, из которых рождаются периодические режимы при заданных малых возмущениях, и описать бифуркационные условия, и, с другой стороны, выбирать такие возмущения, при которых ветвление происходит из необходимых нам положений равновесия или точек цикла.

Одним из важных аспектов изучения бифуркаций периодических решений для уравнений с малым параметром является исследование бифуркаций в уравнениях с малым запаздыванием. Уравнения с запаздывающим аргументом активно изучались в 60х-80х годах XX века такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядчепко, A.M. Зверкии, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, М. А. Красносельский, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкнпа, Б.Н. Садовский. В настоящее время наблюдается новая волна интереса к изучению периодических решений уравнений с отклоняющимся аргументом.

Другой важной областью математики, в которой активно изучаются вопросы о колебаниях, является теория негладких динамических систем. В последнее время большое внимание уделяется изучению динамики таких систем с точки зрения бифуркационного анализа, например, в

работах М. дн Бериардо, Ж.М. Маггио, П. Ковальчика, М.Р. Джеффри, А. Коломбо, A.B. Нордмарка, Ж. Либре, Ж. Оливара и Г. Данковица и X. Зао.

Несмотря на то, что изучение бифуркации периодических решений для дифференциальных уравнений различных типов имеет длительную и богатую историю, многие вопросы остаются неисследованными. Например, в большинстве упомянутых работ но данной тематике единица предполагается простым собственным значением оператора сдвига по траекториям линеаризованной на периодическом решении невозмущенпой системы. В работах П.Г. Айзенгендлера и М.М. Вайнберга это требование ослабляется: рассматривается случай, когда кратность единичного собственного значения больше единицы, но существуют лишь соответствующие ему линейно независимые собственные векторы. При этом наличие присоединенных к ним векторов не допускается, т.е. соответствующий блок Жордана матрицы монодромии линеаризованной системы имеет только диагональ, составленную из единиц. Исследование случая существования присоединенных векторов представляет большой интерес, так как он является, по сути, общим. Он имеет место, например, когда система может быть получена при помощи периодической по времени и линейной по пространственной переменной замены в линейном уравнении п—го порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим также, что несмотря на большой интерес к задачам ветвления периодических решений, в том числе для уравнений с запаздыванием, такие задачи для уравнений нейтрального типа остаются слабо изученными.

Кроме того, не существует единого, общего подхода к изучению бифуркаций периодических решений дифференциальных уравнений различных видов: обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с негладкими и разрывными правыми частями, уравнений нейтрального типа с отклоняющимся аргументом.

Таким образом, описанные задачи являются актуальными и интересными и по сей день.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование условий существования бифуркации периодических решений из цикла невозмущенпой системы или многообразия

положений равновесия усредненного уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с переменной структурой, уравнений нейтрального тина с малым запаздыванием в случае наличия присоединных решений Флоке к периодическому решению линеаризованной па цикле невозмущенной системы.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории дифференциальных уравнений, теории уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, теории топологического индекса. Методологическую основу исследования составляют методы теории мер пекомпактности и уплотняющих операторов.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Доказаны общие теоремы о бифуркации решений операторного уравнения с малым параметром в банаховом пространстве из связного одномерного многообразия решений невозмущепного уравнения.

2. Приведен пример несовпадения структур собственных инвариантных подпространств производной интегрального оператора, построенного по периодической задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, и оператора сдвига по траекториям линеаризованного уравнения; доказана теорема об определении нового интегрального оператора, для которого структуры совпадают.

3. Доказан аналог классической теоремы И.Г. Малкииа о бифуркации периодических решений обыкновенного дифференциального уравнения с малым возмущением из цикла невозмущенного уравнения в случае существования присоединенных решений Флоке к периодическому решению линеаризованного невозмущенного уравнения.

4. Доказала теорема о бифуркации периодических решений из цикла невозмущенного уравнения для дифференциальных уравнений с переменной структурой.

5. Доказан принцип усреднения в случае существования связного одномерного многообразия положений равновесия усредненного уравнения.

6. Доказана теорема о бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в случае наличия присоединенных решений Флоке у предельного уравнения.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для теории колебаний, теории негладких динамических систем, теории дифференицальных уравнений нейтрального типа с отклоняющимся аргументом.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" (Москва, 2011), XI международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)" (Москва, 2010), международном симпозиуме "О резонансных колебаниях и устойчивости негладких систем" (Лондон, 2009), Воронежских зимних и весенних метематических школах (Воронеж, 2009-2011), семинарах кафедры функционального анализа и операторных уравнений ВГУ (Воронеж, 2010), научных сессиях ВГУ (Воронеж, 2009-2011).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 работах [1]-[10]. Из совместных публикаций [1], [4], [10] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1] и [2] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 56 источников. Общий объем диссертации — 115 страниц.

Содержание работы

Первая глава диссертации состоит из 5 параграфов. В первом параграфе изложены некоторые понятия и факты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов, которые приведены в удобной для дальнейшего изложения адаптации.

Во втором параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации из одномерного многообразия решений предельного уравнения в случае гладких операторов и простого собственного значения. Подробнее, рассматривается задача о нахождении условий, при которых операторное уравнение

Р(х) + eQ(x,e) = 0 (1)

б

в банаховом пространстве Е имеет при достаточно малых значениях параметра е решения, близкие к предельным решениям этого уравнения при е = 0. Пусть Р : Е —>• Е имеет две непрерывные производные в смысле Фреше; С} : Е х [0,1] -» Е непрерывно дифференцируема по каждой из переменных. Предполагается, что уравнение Р(х) = 0 имеет одномерное множество решений х0(в), параметризованное параметром в е [0, Г], Т > 0, существует хЦ(0), и х'0{в) ф 0. Пусть также 0- простое собственное значение оператора Р'(хо(0)), а оператор [/ - Р'(а:о(0))] является уплотняющим с константой д < 1 по мере некомпактное™ Хаусдорфа.

Тогда можно определить обобщенную бифуркационную функцию Малкина М[0,Т] К соотношением

М{0) = (С2(х о(в),0),го(в)),

где скобками (с, г) обозначен результат действия функционала 2 из сопряженного пространства Е* на элемент с пространства Е, а через г0(9)— собственный вектор сопряженного оператора (Р'(хо(в)))*. Тогда существует производная М'(в). Справделива следующая теорема.

Теорема 1. Для всякого значения во € [0,Т], такого что М(во) = 0 и М'(во) Ф 0, уравнение Р(х) + £<Э(а;, е) = 0 разрешимо в некоторой окрестности точки хо(0о), и решение имеет вид х(г) = хо(^о) + + 0(е2), где 0{е2)— бесконечно малая величина порядка е2. При этом и> может быть вычислено в явном виде.

Приводятся явные формулы для вычисления ю.

В третьем параграфе получены результаты о бифуркации решений из одномерного многообразия решений предельного уравнения в случае негладких операторов и простого собственного значения. Для простоты изложения бифуркационных условий теорема сформулирована в случае конечномерного пространства. Приведены три наглядных примера, иллюстрирующих наличие разного количества бифуркационных ветвей либо их отсутствие в зависимости от рассматриваемой ситуации. Сделано замечание о связи этого факта с рангом обощенного якобиана Кларка.

Рассматривается бифуркационное уравнение вида (1), в котором Р : М" М" и <3 : К" х [0,1] М". Предполагается, что уравнение Р(х) = 0

имеет параметризованное одномерное множество Гр = {хо(в),в £ [0,1]} решений. Предполагается, что Гр ^ П™1М/>, где М[ — это (п — 1)—мерные гладкие поверхности в М". Тогда ориентированные нормали Пг(х), х £ М[, г = 1,.., т, к каждой поверхности определены корректно. Предполагается также, что данные поверхности делят любую достаточно малую окрестность {/(Гр) кривой Гр на 2т открытых областей Б/., к = 1,..,2т, и что отображение Р имеет непрерывные производные Фреше Р/., РЦ, к = 1, ..,2т, в каждой области которые имеют пределы Рк(хр) Рк(х) и РЦ(хр) := 1шх->хр,хеОк Рк(х) для всех

хр € Гр, к = 1,.., 2т.

Сверх того, <3 предполагается или разрывной, или не дифференцируемой по Фреше по первой переменной х на некоторой кривой = {к(в) : в е [0,1]}, такой что Гд С <г!1=1М?, где М?— это (п — 1)—мерные гладкие поверхности в Кп, причем существует такое во € [0,1], что хо(9д) = к(9о). Все рассмотрения далее касаются существования решений в окрестности хо(#о)- Всякая достаточно малая окрестность К(Го) кривой Гф разделена па 21 открытых областей Д./,,? = 1,..,2/, поверхностями = 1,

Пусть <3 непрерывно дифференцируема относительно переменной х в каждой области Д | и относительно второй перемешшой е, когда первая принадлежит Также предполагается, что производная по е непрерывна по совокупности переменных (х,е) при х £ Aj. Пусть все эти производные имеют пределы (¡^(а^е) := Пт^^^ для всех хч Е ГQ,j = 1,.., 21, и <Э'(2)(а;,0) := Нт^о,*^ <5'(2)(х,е) для всех j = 1,2/, а также (¿¿(хч,е) := Нп^-я 1бд. (¿(х,е) для всех хч € Гд, ] = 1,.., 21. Ясно, что если <3 непрерывна в точке хч е Гд, то (¿](хд, е) не зависит от ].

Всюду далее предполагается, что

А1) кривые Гр и Гд гладки;

А2) х'д(в) ф 0 для всех в € [0,1], и существует вторая производная Хц{6), непрерывная в любой точке в 6 [0,1];

АЗ) любая пара поверхностей либо пересекается

трапсверсалыю, либо совпадает. То же условие предполагается выполненным для поверхностей М®.

Последнее условие позволяет ввести бнекцшо между 2 т открытыми множествами и 2т векторами из т компонент {5дп(£,гц(ха(0о))),..,здп({,, пт(л:о(0о)))), где это любой вектор, принадлежащий множеству Ок,к = 1,..,2т. Другими словами, если выбрать вектор (е^, е|,.., е£г), для которого е^' е {-1,1}, г = 1,..,т, среди 2т векторов, описанных выше, то условие

(v, т(хо{0о)))е^ > О,

где г — 1,..,?п, эквивалентно условию ¿V е для достаточно малого 5 > 0. Аналогично, можно определить 21 векторов (Си С^ С/Х С/ С {—1,1}, г = 1,.., I и ] = 1,.., 21, таких что условие

(и,тышс! >0,

где щ(£о(#о))- ориентированные нормали к поверхностям М®, г = 1,.., ^эквивалентно условию 5и € Aj для достаточно малого <5 > 0.

Наконец, рассматриваются два семейства векторов, определяющих области и Д^-, соответственно:

{(е1> 4 - , е-т) ■ ег е {-1.1}. * = 1,2,т; Л = 1,2,.., 2т},

С/) : С/ е {-1,1}, I = 1,2,..,^ = 1,2, ..,2/}.

Всякое непустое подмножество предыдущих семейств определено подмножеством множеств индексов {Аг,р}1р=1)1.,Гр и {л,}г,=1,..,г,1 соответственно, где 1 < гр < 2т и 1 < г, < 2/. Установлено, что х'0(в) есть собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению для всех Р[.(хо(9)), А; = 1,.., 2т, и для 0, достаточно близкого к 0О. В дальнейшем также предполагается, что

А4) нулевое собственное значение операторов Р'к{ха{в)), к = 1,.., 2т, является простым.

Аналогично первому параграфу, каждой производной =

1,..,2т, можно поставить в соответствие проектор Рисса тг^в) : К" -»• зрап(а;о(0)), заданный формулой щ{в)у = (у,гк(0))х'о(6), где это собственный вектор, соответствующий простому нулевому собственному значению сопряженного оператора о($)))*, для

которого (х()(0), = 1.

Обобщенные функции Малыша Mk,j{0) определяются следующим образом:

MkM^iß) = Ш* о{в),0),гк(в))^0{в),

где к = 1, ..,2 m and j = 1,..,21. Производные M ¡.¿{в) существуют в необходимых областях.

В условиях А1)-А4), описанных выше, сформулирован и доказан основной результат раздела.

Теорема 2. Пусть существует такое значение во е [0,1], что хо(ва) 6 Гр П Tq, числа 1 < гр < 2т, 1 < гя < 21 и индексы

что для любых к s ,-,г„ и 3 £

{jig}iq=i,.,,rq следующие условия выполнены:

1. жк{в0)Я1{х0{в0),О) = О-,

2. оператор 7rfc(0o)P№o№))^№) + пк(во)0'Н1)(хо{во),0)пк(во) обратим;

3. <«4,тч(®о(0о )Ы > 0,г = 1 ,..,т, « > 0,г = 1,I,

где

К- = Ук + 4-

А = -(iÎNWJI^WJR.i-'Qi^oW.O),

и

• (-**(W(2)M6o),o) - \моо)Р£Ы(бо)Ш--якУоМмЫШЫ)-

Тогда существует локальное решение уравнения Р(х) + е) = О,

определенное соотношением xkj(e) = хо(0о) + evPk + о(е).

Далее сделано замечание о представлении условий Теоремы 2 в терминах бифуркационной функции Малыша. Также показано, что векторы wJk, которые задают 11 направление "решениям Xkj(e), могут быть явно вычислены по заданным формулам.

В четвертом параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации решений из многообразия решений предельного уравнения

в случае, когда собственное значение не простое, и существуют присоединенные к сосбтвениому векторы. Рассматривается более общее, чем в предыдущих случаях, бифуркационное уравнение вида

P{x,e) + eQ(x,e) = 0, (2)

где Е— банахово пространство, Р : Е х [0,1] -> Е и Q : Е х [0,1] —¥ Е. Пусть уравнение Р(х, 0) = 0 имеет одномерное многообразие решении Г = (х(9) : в & [О,Г]}, где Т € R— некоторая постоянная. Предполагается, что операторы Р и Q обладают достаточной гладкостью в нужных областях, а также что функция х(в) дважды дифференцируема при всех 9, и х'{9) ф 0.

Все производные здесь и далее понимаются в смысле Фреше. Очевидно, 0- собственное значение оператора Р^(х(9),0). Пусть оператор I — Р^(х(9), 0) является q—уплотняющим по мере некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1. Тогда ноль -собственное значение конечной кратности оператора Р^(х(9),0). Пусть это собственное значение реализует конечную кратность посредством единственного с точностью до линейно зависимости собственного вектора х'(9), обозначенного через ео(9), и присоединенных к нему векторов ej(0),j = 1 ,..,m, то есть Р^(х(9),0)е0(9) = 0 и P^(x(e),0)ej(ü) = ej_i(<9),j = 1 ,..,m. Тогда существует единственный с точностью до линейной зависимости собственный сектор zq(9) и присоединенные векторы Zj(0),j — 1 ,..,m оператора (Р^(х(в),0))*, отвечающие нулевому собственному значению.

Сформулирована и доказана лемма о том, что без ограничения общности наборы векторов {ej}f=o и можно считать такими,

что (ej,zm-j) ф 0 и (ej,Zi) = 0 при j = 0,..,m,i = 0,..,m,i ф m — j. Поэтому корректно определены проекторы Рисса п(в) : Е span(eo(0),е\(в),.., ет(в)) на собственное

инвариантное подпространство, отвечающие пулевому собственному значению оператора Р^(х(9), 0).

Пусть через aj(9),j = 0,..,т обозначены коэффициенты в разложении!! е(',(0) в сумму e{t(9) = ао(0)ео(0) + J2jliaA0)eA&) + У(®)> где у(в) е (I - п{9))Е. Пусть

у0(9) = —(f(i)(^(ö),0)|(/_7r(ö))£;)_1[P(2)(x(0), 0) + Q(a;(0),O)],

А(в) = п(9)Р^2](х(9),0)еа(9) + п(в)Р;;1л)(х(9),0)ео(вЫв)+ +K(9)Q'{1){x(9),0)e0{9),

R(9) = ^(9)Р^}(х(в), 0)y0(fl) + +

где через 0)|(/_T(j))£ обозначено сужение оператора Р^(х(9), 0)

на подпространство (I — тт(9))Е.

Опредяется обощенная многомерная функция Малкина 1 m m

i=i

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены описанные выше условия. Пусть 9q € [0, Т]— такое значение параметра, при котором n(90)(Q(x(9o), 0) + Р'^(х(90),0)) = 0. Если уравнение Мв(А0,Аь..,Ат) = 0 разрешимо относительно Aj,j = 0, ..,m, и для его решения {цо,-,Цт) выполнено условие

д д & det[—Мво{цо, V-1,-, Ит), oivo, -, Ит),-, Ии-, /А»)] Ф 0,

то уравнение (2) имеет при малых е решение вида

m

х£ = х(0о) + £fi0eQ(90) + е2 №(во) + + 0(е3),

з=1

где О(е3)—бесконечно малая величина порядка е3.

В пятом параграфе приводится пример несовпадения структур собственных инвариантных подпространств, отвечающих единичному собственному значению оператора сдвига по траекториям линеаризованной порождающей системы и производной интегрального оператора, построенного по периодической задаче для этой системы. Доказана теорема о построении нового интегрального оператора, лишенного этого недостатка. Для наиболее часто используемых операторов выписан явный вид "подправленных"операторов.

Вторая глава посвящена приложениям общих теорем о бифуркации, полученных в предыдущей главе, к вопросам о бифуркации периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром и состоит из 3 параграфов.

В первом параграфе рассматривается бифуркация периодических решений из цикла для уравнений с переменной структурой. Пусть дапа двумерная система дифференциальных уравнений

= 1{х)+£д{1,х,£), (3)

где функции / : М2 М2 и д : К х Е2 х [0,1] 1К2, параметр е € [0,1].

Пусть уравнение (3) при е - 0 имеет Т- периодический цикл х0, через Г обозначено множество сдвигов этого цикла {я® : в € [О, Т]}, где = + 0), и через Д - множество (а:0(г) : í 6 [О,Т]} с Е2, через Д+— область плоскости, находящаяся внутри кривой Д, а через Д~- область плоскости вне Д. Пусть функция / такова, что /(х) =

¡/+(х), если х € Д+, = ^ где функции / и / дважды непрерывно

(_/ (х), если х € Д ,

дифференцируемы на своих областях определения. Для простоты также предполагается, что функция д непрерывна но совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по второму и третьему аргументам.

Описано, как в каждой из областей корректно определить бифуркационные функции Малкипа нз параграфа 3 главы 1. С помощью них получены условия бифуркации периодичесих решений для уравнения (3) при малых значениях е. В рассматриваемой ситуации возможно как существование от 1 до 2 бифуркационных решений, так и их отсутствие.

Во втором параграфе доказан принцип усреднения для быстро осциллирующих систем с вырожденным средним. Рассматривается уравнение

х = £Ах + £f(t,x),

где А— невырожденная п хп—матрица с постоянными коэффициентами, / : К1 х Е" К"- непрерывная и Т— периодическая но

первой переменной и дважды дифференцируемая по второй переменной функция, причем её производные непрерывны по совокупности неременных, малый параметр е 6 [0,1].

Предполагается, что усредненное уравнение

1 Гт

х = Ах + - у

имеет одномерное связное многообразие положений равновесия {хо(0) : в 6 [0,1]}, и существуют первая и вторая производные ¿¿{в) и 1о(б) п0 причем х{,(0) ф 0. В обозначениях, аналогичных обозначениям параграфа 4 главы 1, определена многомерная обобщенная бифуркационная функция Малкина. Сформулирован принцип усреднения, полученный с использованием частного случая теоремы 3 при операторе Р, не зависящем от е.

Третий параграф содержит формулировку и доказательство теоремы о бифуркации периодических решений из цикла предельного уравнения в случае наличия присоединенных векторов к собственному вектору, отвечающему единичному собственному значению оператора сдвига за период по траекториям линеаризованной на цикле системы. Рассматривается уравнение

± = ц>{х) + еф{1,х,е), (4)

где 1р : К" К"- дважды непрерывно дифференцируемая функция, ф : К х Мп х [0,1] -»• К"—непрерывная по совокупности переменных, непрерывно дифференцируемая по второй н третьей переменным и Т— периодическая по первой переменной функция, е—малый параметр. Предполагается, что при е = 0 система имеет цикл периода Т. Тогда порождающая система, линеаризованная на нём, имеет периодическое решение того же периода. Пусть к этим периодическим решениями существуют присоединенные решения Флоке. Построена многомерная обобщенная функция Малкина и указаны условия на возмущение ф, при выполнении которых из некоторой точки цикла, определенной некоторым значением в0, рождается непрерывная по е ветвь Т-периодических решений уравнения (4), и даны формулы для вычисления членов 1-го и 2-го порядков в разложении по £ этих решений.

В третьей главе, состоящей из пяти параграфов, исследуется бифуркация периодических решений из цикла невозмущепного уравнения для уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием

¿(1) = /(ж(£), х^-еКЯ+ах'Ц-еН)!-едЦ, х{г-еН), е)+е6(ф'^-е/г),

где функции / : Мп х Еп К" и д : М х Е" х К" х [0,1] непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по первому и второму аргументам, соответственно, а это п х п— матрица с ||а|| < 9 < 1, матрица Ь{Ь) непрерывно дифференцируема по аргументу, И > 0 и £ £ [ОД]- Для получения желаемого результат требуется определить оператор сдвига по траекториям такого уравнения в пространстве более широком, чем пространство непрерывных функций, а именно в пространстве Щ[— /г,0] абсолютно непрерывных функций с образами в К", определенных на промежутке [—Н, 0], производная которых принадлежит пространству Н, 0], и установить для него свойства непрерывности и дифференцируемости. Этому посвящены первый и второй параграфы.

В третьем параграфе описывается построение конструкции, позволяющий применить к рассматриваемой задаче теорему 3 параграфа 4 главы 1. Определена обобщенная многомерная бифуркационная функция Малкииа. Показано, что все объекты, используемые в теореме 3, определены корректно, и все условия теоремы 3 выполнены.

В четвертом параграфе опнеан способ нахождения собственного и присоединенных векторов сопряженного оператора, которые необходимы для вычисления проекторов Рисса и получения бифуркационных условий и явного вида ветви бифуркационных решений. В пятом параграфе вычисляются все пределы и производные, фигурирующие в формулировке теоремы 3.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Михайлеико Б.А. Об эквивалентных интегральных операторах в задачах о периодических решениях дифференциальных уравнений / Б.А. Михайлеико // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика.— Воронеж, 2011.— № 1. - С. 193-201.

[2] Михайлеико Б.А. О малых возмущениях систем с многомерным вырождением / М. И. Каменский, Б. А. Михайлеико // Автомат, и телемех. - Москва, 2011. - №5. - С. 148-160.

[3] Михайлеико Б.А. Принцип усреднения в системах с вырожденным средним / Б.А. Михайлеико // Актуальные проблемы математики и

информатики (труды математического факультета).— Воронеж, 2010.— № 2. - С. 66-80.

[4] Михайлеико Б.А. Негладкие бифуркации с двумерным вырождением / М.И. Каменский, Б.А. Михайленко // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления : тез. докл. XI междунар. конф. (конф. Пятницкого) 1-4 июня 2010 г., Москва, Россия — М, 2010 — С. 159.

[5] Михайленко Б.А. Фазовый портрет двумерной динамической системы с разрывной правой частью / Б. А. Михайленко // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. мат. факультета).— Воронеж, 2008,— № 3. - С. 32-43.

[6] Михайленко Б.А. Негладкие бифуркации с двумерным вырождением / Б.А. Михайленко // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XXI".— Воронеж, 2010 - С. 152-154.

[7] Михайленко Б. А. О собственных подпространствах Т-эквивалентных интегральных операторов / Б.А. Михайленко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. - Воронеж, 2011- С. 221-222.

[8] Михайленко Б.А. Общая теорема о бифуркации в случае многомерного вырождения невозмущенного уравнения / Б.А. Михайленко // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинские чтения XXII".— Воронеж, 2011- С. 152.

[9] Mikhaylenko В.A. Bifurcations over a Nonsmooth Implicit Function Theorem / В.A. Mikhaylenko// International Workshop on Resonance Oscillations and Stability of Nonsmooth Systems : abstr., June 16-25, 2009, London- London, 2009,- P. 31.

[10] Mikhaylenko B.A. Periodic solutions bifurcation from the cycle with multidimensional degeneracy for a neutral type equation with a small delay / M.I. Kamenskii, B.A. Mikhaylenko // The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations: abstr., August 14-21, 2011, Moscow, Russia. - Moscow, 2011. - P.31.

Работы [1],[2] опубликованы в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Подп. впеч. 10.11.2011. Формат 60*84 1/16. Усл. печ. л. 1,93. Тираж 100 эю. Заказ 1390. Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3 Тел. 220-41-33

Первая

глава диссертации состоит из 5 параграфов. В первом параграфе изложены некоторые понятия и факты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов, которые приведены в удобной для дальнейшего изложения адаптации.

Во втором параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации решений из одномерного многообразия решений предельного уравнения в случае гладких операторов и простого собственного значения. Подробнее, рассматривается задача о нахождении условий, при которых операторное уравнение в банаховом пространстве Е имеет при достаточно малых значениях параметра £ решения, близкие к предельным решениям этого уравнения при е — 0. Пусть Р : Е —>■ Е имеет две непрерывные производные в смысле Фреше; Q : Е х [0Л] —> Е непрерывно д ифф.еран ц-и руем а—пе—каждо й^13~тгерШшных7~Т1 ре д 11 о л агается, что уравнение Р{х) = 0 имеет одномерное множество решений Xq(6). параметризованное параметром 0 £ [0.7"]. Т > 0. существует Tq(6>). и х'{](6) ф- 0. Пусть также 0— простое собственное значение оператора P'(xq(6)). а оператор [1 — Р'(хп(0))] является уплотняющим с константой q < 1 по мере некомпактности Хаусдорфа.

Тогда можно определить обобщенную бифуркационную функцию Малкина М[0. Т} —> R соотношением де скобками (с. г) обозначен результат действия функционала 2 из сопряженного пространства Е* на элемент с пространства Е, а через го(в) — собственный вектор сопряженного оператора (Р'^го(#)))*. Тогда существует производная М'(9).

Справделива следующая теорема.

Теорема 1. Для всякого значения во Є [0. Т]. такого что М(во) = 0 а М'{во) т^ 0. уравнение Р{х) + еС}{х.е) — 0 разрешимо в некоторой окрестности; точки хо(Оо). и решение имеет вид

Р(х) + eQ(x. є) =

M(e) = (Q(x0(e).0).z0(6)). где г = 1.т. эквивалентно .условию 5у € !)/,• для достаточно малого 6 > 0. Аналогично, можно определить 21 векторов (С1 • С-2 • ■ • С/) • С £ { — 1 • 1}. г = 1. А, и ] = 1. 2/. таких что условие го(<9о))>С/ >0, где 77,(х'о(^о)) — ориентированные нормали к поверхностям М®. г = 1. . /.эквивалентно условию ¿и € Д7 для достаточно малого <5 > 0.

Наконец, рассматриваются два семейства векторов, определяющих области Оь и Д?. соответственно: е{'.4,.е*„) : е} € {-1;1},г = 1. 2. . ?п; /с = 1.2. .2/?/.}.

С1 • С-2 ■ ■ ■ • С/) : С/ £ { — 1.1}. г = 1.2. .1\ ] = 1. 2. 2/}.

Всякое непустое подмножество предыдущих семейств определено подмножеством множсств индексов ./,, 11 {7гч}7ч = 1""'ч; соответственно, где 1 < гр < 2т и 1 < гч < 21. Установлено, что есть собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению для всех Р'к(гп(в)).к = 1.2???. и для в, достаточно близкого к во. В дальнейшем также предпола!ается. что

А4) нулевое собственное значение операторов Р'к (,то(#)). к = 1. .2т. является простым.

Аналогично первому параграфу. каждой производной Р[.(хо(в)).к = 1.2т. можно поставить в соответствие проектор Рисса тг/,.(0) : К" —> ьрап(л:()(0)). заданный формулой 7Тк(в)и — (у,21-(0)):и'о(в). где это собственный вектор, соответствующий простому нулевому собственному значению сопряженного оператора (Р[.{х0(9))У, для которого (х'0(в). г/Дб*)) = 1.

Обобщенные функции Малкина Мк]{0) определяются следующим образом: где к = 1. . 2 ?7 л and j = 1.21. Производные М'к (0) существуют в интересующих нас областях.

В условиях А1)-А4). описанных выше, сформулирован и доказан основной результат раздела

Теорема 2. Пусть существует такое знамение Oq 6 [0,1]. что xo(9(i) е Г> П Гд. числа 1 < гр < 2т, 1 < rq < 21 и индексы {klp}lp=1 lp.{jt4},4=i v что для любых k е {klp}lp=i .,р и j £ {jiq}iq=i г, следуюг^ие условия выполнены:

1 Kh(00)QJ(x0(00).0)=0:

2. оператор п{ва)Р'к'(х0{в0))у1щ{в0) + щ (Wy(1)M£o). 0)тгА (0О) обратим,;

3. {iu'k. n,(zo(0o)))ei > 0. г 1. m. u

1п,Ы0оШ! >0. / • : 1./. wl = У I + 4

Тогда существует локальное решение уравнения Р(х) + sQ{x, е) = 0; определенное соотношением xi ¡(е) = + +

Далее сделано замечание о представлении условий Теоремы 2 в терминах бифуркационной функции Малкина. Также показано, что векторы wJk. которые задают "нагіравление"решениям х^^(є). могут быть явно вычислены по заданным формулам.

В четвертом параграфе сформулирована и доказана теорема о бифуркации решений из многообразия решений предельного уравнения в случае, когда собственное значение не простое, и существуют присоединенные к собственному векторы. Рассматривается более общее, чем в предыдущих случаях, бифуркационное уравнение вида

Р{х.є)+єО{х,є) = 0. (4) где Е— банахово пространство. Р : Е х [0.1] —» Е и Q : Е х [0. 1] —> Е. Пусть уравнение Р(х.О) = 0 имеет одномерное многообразие решений Г = {х(9) : в Є [0.7"]}. іде Т Є К— некоторая постоянная, т.е. Р(х(в),0) = 0 при всех в Є [0, Т\.

Предполагается, что операторы Р и Q удовлетворяют следующим условиям: cl) операторы Р и Q непрерывны по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0. 1]; с2) существуют первая и вторая производные Р^{х. г) и P"L ^(.т. г) оператора Р по первому аргументу в окрестности множества Г при всех £• Є [0. 1]. непрерывные по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0. 1]; сЗ) существует первая и вторая производные Р'^(х(в).є) и Рр^(х(в).є) оператора Р по второму аргументу при всех є Є [ОД], непрерывные по е: с4) существует смешанная вторая производная оператора Р![,Мв).,0): с5) существует производная по первому аргументу в окрестности Г при всех с £ [0.1]. непрерывная по совокупности переменных в окрестности множества Г х [0.1]: сб) существует производная по второму аргументу С}'^(х(0).О).

Предполагается также, что сТ) функция х(в) дважды дифференцируема при всех 9. и

АО) Ф о.

Все производные здесь и далее понимаются в смысле Фреше.

Очевидно, 0— собственное значение оператора Р^(х(в),0). Пусть оператор / — Р'^(х(в).0) является д—уплотняющим по мере некомпактности Хаусдорфа с константой с/ < 1. Тогда ноль - собственное значение конечной кратности оператора Р^(х(в), 0). Пусть это собственное значение реализует конечную кратность посредством единственного с точностью до линейно зависимости собственного вектора х'(в). обозначенного через ео(9). и присоединенных к нему векторов = 1. ?77. то есть

Р11](х(в).,0)е1](в) = 0 и Р^(х(в). 0)е/(в) = е?^(9)-.1 = 1, -т.

Существует единственный с точностью до линейной зависимости собственный вектор 2()(6|) и присоединенные векторы г^б),] = 1. . 772 оператора (Р^(х(в).0))х. отвечающие нулевому собственному значению.

Корректно определены проекторы Рисса тт(в) на собственное инвариантное подпространство, отвечающие нулевому собственному значению оператора Р^(х(9). 0). действующие на произвольный элемент 1г £ Е по правилу

-ГШ-V—/т „ - > —-—-— етД0). (е„7Д0); гД£))

Пусть через СУ]{9),] = 0 .777, обозначены коэффициенты в разложениии е'п{0) в сумму е'0(9) = ао(9)е0(9) -Ь + у{®)где у (9) Є Ел{9). Пусть 7ї(вЩ])(х(9).0)е0(9). \ъ(0)Р1{1)Ш-0ЫвЫ9)+7т(9)д{ l)(x(9).0)y0(9)+7^(9)Q{2){x(9).0)., где через Р^(х(9). 0)|(/7Г((5))£ обозначено сужение оператора Р'щ(х(в). 0) на подпространство (/ — 7г(в))Е.

Огіредяется обобщенная многомерная бифуркационная функция Малкина

3=1 J=і

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (cl)-(c7). Пусть 9q Є [О.Т]— такое значение параметра, при котором

TT{9(])(Q{X{9[]).0) + Р('2)(х(0п).О)) = 0.

Если уравнение

Мв{Ао, Ais .,Am) = разрешимо относительно AJ: j = 0. т. и для его решения ••• А hn) выполнено у слов ае д д det [тгг-Щ (// 0, fh ■■■■ l-i,n). ^— мва (/-¿0 ■/';:••: Мш)] ф 0: СЛо см,,, то уравнение (4) имеет пр'и малых е pemewue вида аг = .г(<90) + адео(0о) + <т2 ^ + ^о(^о) + 0(с3), гс^е О (V3) — бесконечно малая величина порядка s3.

В пятом параграфе приводится пример несовпадения структур собственных инвариантных подпространств, отвечающих единичному-собственному значению оператора сдвига по траекториям линеаризованной порождающей системы и производной интегрального оператора, построенного по периодической задаче для этой системы. Доказана теорема о построении нового эквивалентного такой задаче оператора, относительно структуры собственного инвариантного подпространства которого все известно.

Пусть неподвижные точки уо интегрального оператора Е : Е —>• Е. где Е—банахово пространство, определяют Т— периодические решения уравнения х - /(¿.гг). оператор Е дифференцируем по Фреше, и его производная, вычисленная в точке г/о. является вполне непрерывным или <7—уплотняющим относительно меры некомпактности Хаусдорфаконстантой д < 1 оператором. опре11еляюпди.м Т— периодические решения линеаризованного на периодическом решении уравнения. Известно и активно используется большое количество операторов, обладающих указаннымиойствами. Некоторые из них описаны в [12. 204-206] и [9. 197-198].

Предполагается, что линеаризованная на периодическом решении .то система имев! Г—периодическое решение .г'о и присоединенные решения Флоке. Справедлива теорема.

Теорема 4. Существуют линейные непрерывные операторы В : Е —>• Е и £ : 1т,{В) —> Е. где 1т,(В) это образ оператора В. тахие чт,о сНт(1гп(В)) < ос. оператор £В вполне непрерывен. 1 ^ а(В^). п, для оператора

Е = Е — ^В(Е — I) справедливо, что Еуо — уо. а та,клее Е'(уо)уо - г'о и — г:) = ■■•иг- где V)— периодические составляющие присоединенных решений Флоке.

Вторая

глава посвящена приложениям общих теорем о бифуркации, полученных в предыдущей главе, к вопросам о бифуркации периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром и состоит из 3 параграфов.

В первом параграфе рассматривается бифуркация периодических решений из цикла для уравнений с переменной структурой. Пусть дана двумерная система дифференциальных уравнений

- где функции / : К2 ->й2и(/:1х К2 х [0. 1] М2. параметр є Є [0; 1]. Пусть уравнение (5) при £ = 0 имеет Т—периодический цикл хо. через Г обозначено множество сдвигов этого цикла : в Є [0. Т]}. і де .Тд (■) = х0(- + в), и через Д - множество {х0(0 : і Є [0. Г]} С М2. через Д+ — область плоскости, находящаяся внутри кривой Д. а через Д~ — область плоскости вне Д. Пусть функция / такова, что где функции /+ и /" дважды непрерывно дифференцируемы на своих областях определения. Для простоты также предполагается, что функция д непрерывна по совокупности переменных и непрерывно дифференцируема по второму и третьему аргументам.

При с = 0 линеаризованная на цикле система (5) имеет периодический цикл .Гд. Предполагается, что не существует других периодических решений этой системы, линейно независимых с ±0-Определены обобщенные бифуркационные функции Малкина получены условия бифуркации периодичесих решений для уравнения (5) при малых значениях е. В рассматриваемой ситуации возможно х{1) = ¡{х)+єд(і.х.є), ; (,т). если х Є Д /"(х). если х Є Д

М±(0) = 0);0).=±(в)). как существование от 1 до 2 бифуркационных решений, так и их отсутствие.

Во втором параграфе доказан принцип усреднения для быстро осциллирующих систем с вырожденным средним. Рассматривается уравнение где А— невырожденная п х п—матрица с постоянными коэффициентами, / : М1 х М/? —> К"— непрерывная и Т—периодическая по первой переменной и дважды дифференцируемая по второй переменной функция, причем её производные непрерывны по совокупности переменных, малый параметр £ 6 [0.1].

Предполагается, что усредненное уравнение имеет одномерное связное многообразие положений равновесия : в Є [0. 1]}, и существуют первая и вторая производные х$(9) и х'0(в) по в. причем х'0(в) ф 0.

Сформулирован принцип усреднения, полученныйиспользованием частногоучая теоремы 3 при операторе Р. не зависящем от

Третий параграф содержит формулировку и доказательство теоремы о бифуркации периодических решений из цикла предельного уравнения в случае наличия присоединенных векторов к собственному вектору, отвечающему единичному собственному значению оператора сдвига за период по траекториям линеаризованной на цикле системы. Расс м атр и в ается у равнение т = є Ах + є ¡(і, х), х = ср(х) + єіь(і,х,є), где (р \ М" —> Ж" — дважды непрерывно дифференцируемая функция. ф : Е х 1" х [0.1] —> К"—непрерывная по совокупности переменных, непрерывно дифференцируемая по второй и третьей переменным и Т~ периодическая по первой переменной функция, с—малый параметр. Предполагается, что порождающая (при £ = 0) система х — (f(x) имеет цикл ^о(-) периода Т. В силу автономности уравнения сдвиги ,то(- + в) также являются его Т—периодическими решениями. Пусть линеаризованная на цикле система х = (p'(xo(L + в))х имеет при всех 9. помимо решения х'0(9). присоединенные к нему решения Флоке при всех 0. В данном разделе указаны условия на возмущение ф. при выполнении которых из некоторой точки цикла, соответствующей некоторому 9q. рождается непрерывная по £ вегвь Т—периодических решений уравнения (8). и даны формулы для вычисления главного члена разложения по е таких решений.

Все условия теоремы 3 (для случая оператора Р. не зависящего от г) оказываются выполненными. Как и в случае принципа усреднения, построена многомерная обобщенная бифуркационная функция Мал кипа. Основной результат раздела получается применением теоремы 3.

В третьей главе, состоящей из пяги параграфов, исследуется бифуркация периодических решений из цикла невозмущенного уравнения для уравнения нейтрального типа с малым запаздыванием x'(t) = f{x(t).ix(t-£h))+ax/(t-£h)+£g(t./x(t).x(t-£h))£)+cb(t)x,(t-Eh). где функции / : М" х R" ~> R" и ry : R х М" х R" х [0. 1] непрерывны по совокупности переменных и удовлетворяют условию Липшица по первому и второму аргументам, соответственно, а это п х п— матрица с ||а|| < q < 1. матрица b(t) непрерывно дифференцируема по аргументу, h > 0 и г Е [0. 1]. Для получения желаемого результата требуется определить оператор сдвига по траекториям такого уравнения в пространстве более широком, чем пространство непрерывных функций, а именно в пространстве Н][—Н, 0] абсолютно непрерывных функций с образами в К", определенных на промежутке [—/г.0]. производная которых принадлежит пространству Ьо[—/г.0]. В первом и втором параграфах доказаны корректность определения оператора сдвига и свойства непрерывной зависимости от параметра и начального условия и необходимой гладкости по пространственной переменной и параметру.

В третьем параграфе описывается построение конструкции, позволяющий применить к рассматриваемой задаче теорему о бифуркации из параграфа 3 главы 1. Пусть через И4 обозначен оператор сдвига из 0 в 'Г вдоль траекторий уравнения (9). определенный соотношением (ИЛг<р)(£) = х(Т + £ [—/г.0]. где х— решение уравнения (9) с начальным условием х(Ь) = ф(Ь) при / 6 [—1'1.0]. Пусть и (в) : 0] НЦ-Н.О}- оператор сдвига из 0 в Т вдоль траекторий уравнения действующий по правилу и{в)д){г) = у{Т + 0 + 1). £ е [—/г.0]. где ¿'—решение начальной задачи для уравнения (10) с начальным условием у{{) = I 6 [-/г.0].

Так как уравнение (10) - это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, то можно записать равенство ([/©)(£) = ф(Т + /)©(0). I е [-/}-, 0]. где Ф- фундаменатльная матрица, нормальная в нуле, системы

2/(0 = (/ - аУ\Г{1)(хМ^о(0) +

Пусть уравнение (10) имеет единственное с точностью до линейной зависимости Т—периодическое решение и присоединенные к нему решения Флоке до порядка т включительно. Тогда Ф(Т) имеет собственный вектор, отвечающий единичному собственному значению, и присоединенные к нему векторы до порядка т. т < п. при этом геометрическая кратность единичного собственного значения равна т + 1. Доказано, что это свойство "наследуется"оператором £7, и, таким образом, единичное собственное значение эгого оператора имеет конечную кратность, которая, согласно нашим предположениям, равна т + 1.

Построена обобщенная функция Малкина. Показано, что все объекты, используемые в теореме 3. определены корректно, и все условия теоремы выполнены.

В четвертом параграфе приведено вычисление собственного и присоединенных векторов сопряженного оператора, которые необходимы для вычисления проекторов Рпсса и получения бифуркационных условий и явного вида ветви бифуркационных решений. В пятом параграфе описаны способы вычисления всех пределов и производных, фигурирующих в формулировке теоремы 3.

Глава

Абстрактные теоремы о бифуркации из многообразия решений предельного уравнения

В данной главе приведены абстрактные теоремы о бифуркации решений операторного уравнения с малым параметром в банаховом пространстве из многообразия решений предельного уравнения в случае гладких и негладких операторов.

1.1 Некоторые понятия и факты из теории мер некомпактности и уплотняющих операторов

Приведем некоторые определения и теоремы теории мер некомпактности и уплотняющих операторов в удобной для нас формулировке, которые будут часто использоваться в дальнейшем.

Определение 1. (см. п. 1.1.2 из [9]) Мерой некомпактности Хаусдорфа ^(П) .множества О называется анфимум тех d > 0. при которых О имеет в Е ■конечную d - сеть.

Определение 2. (см. ¡9]) Оператор Fq : Ü —> Е называется уплотняющим отностительно меры неколтактности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0. если x{Fq{CI)) < qxify-, ¿де Q с U. а х - мерсі; некомпактности Хаусдорфа.

Определение 3. (см. ¡9J) Оператор F : Н х U —» Е называется уплотняющим по совокупности переменных относительно меры некомгшктности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0. если х(і?([0. 1] х Q)) < qx{Q). где О С U. а х ~ мера некомпактно сти Хаусдорфа.

Теорема 5 (см. п. 1.5.9 в |9]). Производная Фреше F'(x) уплотняющего относительно меры, некомпактности Хаусдорфа с произвольной константой q > 0 оператора является, уплотняющим относительно меры некомпактно сти Хаусдорфа с константой q > 0 оператором.

Теорема 6 (см. п. 1.5.7 в |9]). Пусть операторы, семейства f — {J\ : Л Є А} непрерывны, и допускают, диагональное представление f\{x) - Ф(Л. х, х) через оператор Ф : Л х М х Е\ —> Ео (Ег и Е'2 — банаховы пространства, М С Е\ и Л— произвольное множество). Пусть при, любом у Є Е\ множество Ф(Л х М{у}) вполне ограничено, а при, любых Л Є А и х Є М оператор Ф(Л.х'.-) удовлетворяет условию Липшица с константой q < 1. не зависящей от Л и х. Тогда се,м,ейство f является, уплотняющим относительно меры некомпакптности, Хаусдорфа, с константой, q.

Справедливо следующее следствие Теоремы

Следствие 1 (см. п. 1.5.8 в [9]). Су міма вполне непрерывного и, сэюимающего операторов fi.fo Е\ —> Е2 на любом ограниченном .множестве М Є Е\ является уплотняющим по мере Хаусдорфа оператором,.

Теорема 7. Пусть Е— ба,пахово пространство. А : Е —> Е— вполне непрерывный оператор. Тогда уравнение х — Ах = у при, данном у Є Е разрешимо тогда и только тогда, когда для любого ф є Е* из равенства, ф — А*ф = 0 следует,, что (у,ф) = О.

Теорема 8 (см. [9]). ЕІусть оператор Е уплотняет, с константой q < 1 относительно меры некомпактност,и Хаусдорфа. Тогда все точки его спектра, лежащие в комплексной плоскости вне круга радиуса, q с центром в нуле, являют,ся собственными значениям,и конеиной кратности.

Из теоремы 8 и альтернативы Фредгольма следует следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть F уплотняет с констамтой q < 1 относительно меры, неколтактпости Хаусдорфа. Тогда вне круга радиуса c¡ < le комплексной плоскости все точки спектра сопряженного оператора F* .являются собственными значениями конечной кратности. равной кратности сответствующего собственного значения, оператора F.

Пусть оператор Е : 0 —» Е уплотняет относительно меры некомпактности Хаусдорфа с константой q < 1.

Определение 4. Говорят, что на множестве U С Е задано уплотняющее векторное поле Ф. если каждой, точке х Є U сопоставлен вектор Фх = (/ — F)x из Е; где I - тождественный оператор.

Каждому невырожденному на 8U уплотняющему непрерывному векторному полю может быть приписана целочисленная характеристика 7(Ф. U). называемая вращением поля Ф на dU. Сформулируем основные свойства вращения: Io. Гомотопные на 8U поля имеют одинаковое вращение. 2°. Пусть уплотняющее непрерывное векторное поле Ф определено и невырождено на множестве 0'\ У [/?. причем области 11] попарно не пересекаются и лежат в ограниченной области и. Тогда вращения 7(Ф.[/у) отличны от нуля лишь при конечном числе индексов и точку в и.

Характеристику у(Ф.и) также называют индексом неподвижных точек оператора і7 и обозначают через іпсІ(Е. и).

Введем также обозначения, которые будут использоваться на протяжении всего текста.

1. Через 5рап{Ь)}п л будем обозначать линейную оболочку, натянутую на набор векторов

2. Через (х.у)н будем обозначать скалярное произведение элементов х Є И .у є И в случае гильбертова пространства Н или результат применения функционала у Є Н" к элементу х Є Н в случае банахова пространства Н. В разделах, на протяжении которых идет речь о единственном пространстве Н. индекс Н мы будем опускать и писать просто (х.у).

3. Через [В]е1 будем обозначать сужение оператора В : Е —> Е на подпространство Еі С Е.

4. Через (т(.4) обозначим спектр линейного непрерывного оператора

7(ф: и) = 7(Ф, и і) + . + 7(Ф, и,) +

1. если Х() Є и, 0; если х'о ^ и.

1.2 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае гладких операторов и простого собственного значения

В этом разделе мы сформулируем условия, при которых уравнение в банаховом пространстве Е имеет при достаточно малых значениях параметра 5 решения, близкие к предельным решениям этого уравнения при г = 0. Пусть Р : Е —> Е имеет две непрерывные производные в смысле Фреше: С? : Е х [ОД] —> Е непрерывно дифференцируема по каждой из переменных. Предположим, что уравнение Р{х) = 0 имеет одномерное множество решений Хо(в). параметризованное параметром 9 £ [0;Т]. Т > 0, существует

§{9). и х'0(9) ф 0. Пусть также 0 £ сг(Р'(хо(9))) — простое собственное значение, а оператор [I — Р/(:/;0(6'))]— является уплотняющим с константой с/ < 1 по мере некомпактности Хаусдорфа.

Определим обобщенную бифуркационную функцию Малкина А/[0. Г] —» К соотношением где через го(9) обозначен собственный вектор, отвечающий нулевому-собственному значению оператора (Р1 (хо(9)))ж. Далее будет показано, что существует производная М'(9).

Справделива следующая теорема.

Теорема 10. Для всякого значения 9о Є [0.Т]. такого что М(во) = 0 и М'{9о) Ф 0. уравнение Р(х) +єС}(х.є) = 0 разрешимо в некоторой окрестности точки хо(9о). и решение имеет вид х(є) = .то(^о) + ~ги + 0(є2). где 0(с2)— бесконечно .малая величина порядка с2. При этом вектор ги может быть вычислен в явном виде.

Р{х) + єд(х.є) =

М(в) = (Я(хо(9),0).=о(в)),

Очевидно. Р' {хо{9))х'{](9) — 0. В силу теоремы 8. нулевое собственное значение является собственным значением конечной кратности. Тогда. вследствие его простоты, собственное подпространство. отвечающее нулю. есть зрап{х'0(в)) = {ах'^в) :аб!}.

Представим Р'{х0{в)) = / — (/ — Р'(хо(в))): заметим, что 1 € сг(/ — Р'(х(] {$))) — простое собственное значение, поэтому справедливо разложение пространства: Е — Ь(х'0(9)) ф Ео(в). где Р'(х0(в)Е0(в) С £7О(0)).

Следовательно. корректно определены проекторы Рисса т\(хо(9)) : Е —> Ь(х'0(9)). действующие по правилу {К го(в))х'0(9) тт{х0(0) /г = -т^—. (1.3)

Дальнейшее доказательство будет приведено в следующем разделе для более общей теоремы о бифуркации.

1.3 Бифуркация из одномерного многообразия решений в случае негладких операторов и простого собственного значения

В этом разделе рассматривается негладкое бифуркационное уравнение с малым параметром г > 0. Мы опишем условия, при которых существуют ветви решений, параметризованные параметром г. возникающие из кривой решений уравнения при е = 0. Также мы приведем несколько простых примеров, иллюстрирующих различные типы бифуркаций, возникающих в данном негладком случае.

1.3.1 Вводный частный случай в К2.

Р а с с м о тр им у равнение

-.г.у)-:(;;././/.:) 0. где Р : К2 ->• М2 и д : М2 х [0, 1] -)- К2. Предположим, что Р(х. у) = функция Р непрерывна в М2 и что она не дифференцируема по Фреше в точке .го[д).в € [0.1]. Предположим также, что Р дважды непрерывно диференцируема в любой точке (х.у) 6 М2. такой что

Обозначим через Р'±{х.у) и Р±(х.у) производные при у > 0 и у < 0. соответственно. Предположим, что эти производные имеют пределы значение отображения Р1(.то(#)); которому отвечает собственный вектор Х'о(9). и предположим, что это собственное значение простое.

Пусть тт±(в) : К2 —> 5рап(.То(#))— проектор Рисса, заданный соотношением 7т±(9)у = (у. г±(9))х'0{9), где г±{9) есть собственный вектор сопряженного оператора (Р±(хо(9)))х, отвечающий нулевому-собственному значению, такой что (~±(9). х'0(9)) — 1.

Следовательно, одномерное подпространство Е±(9) = Кег(тт±(9)) инвариантно по отношению к оператору Р±(хо(9)). и М2 = /т(тг±(0)) © Кег(тт±(в)) и тт±{9)Р1±{х0{9)) = 0 (см., например, [31]). Введем теперь бифуркационную функцию Малкина М±{9) следующим образом: имеет одномерное множество решений хо(в)

9 £ [0.1], что у ф 0, и что (для простоты) функция ф является гладкой в К2.

А4±(9)х'0(9) = (д(х0(9).0),г±(9))х'(](9).

Тогда М±{6) — 0. если и только если тт±(6)С}(хо(6). 0) = 0.

Обозначим через п±(хо(#)) нормальный вектор к кривой хо( направленный в область у > 0 и у < 0; соответственно, и через Р[г){у,є),у Є М". — производную F(г^c) по г-й переменной, г Є {1;2}. Следующий результат - прямое следствие теоремы 11 раздела 1.3.2.

Предложение 1. Предположим, что существует во Є [ОД]. такое 'что

1. 7гх(0о)д(яо№)-О) = 0;

2. оператор обратим. Пусть

УЇ = (— (л-о(<9о))I(6»„))К=)-1 ^(^-0(<9о)- 0). (1.5)

4" - (А±(в0))~1(-пАШ'мЫШ.о)-1-7г±(в0)Р1(х0(9(]))у^ - ЫвоЩ^ЫОо)-0)4) (1-6) и := 4 + ^о •

Тогда для до ста/тонн,о .малого г > 0 уравнение Р(х. у)-\-єС}{х. у .г) —

I. имеет две ветви решений, порожденных хо(во). если оба сл,е дую'(і /,их усл,о вия

Нь.п+(а.-о(0о))>>О и (гу^.П-Ыво))) > 0 (1.7) выполнены. Ветви решений имеют вид (Д =хо(0о)+^+о(с): (1.8)

II. имеет одну ветвь рачений, если только одно из условий (1.7) справедливо;

III. если оба условия (1.7) не выполнены, то уравнение (1-4) не имеет ветвей решений вида (1.8).

Приведем теперь три очень простых примера, иллюстрирующих различные случаи бифуркации. описанные в предыдущем предложении 1. Единственная задача этих примеров - проверить условия предложения 1 в очень простых ситуациях: фактически, очевидно, что мы можем получить те же заключения тривиальными прямыми вычислениями.

0\ . (х + у- 1/2\

Пример 1. Пусть Р{х,у) = ; Q{x.y,e) = г/.

М/ ' \ х + у-1 у

Х()(9) = ^ ^ . в Є [0. 1]. Пусть во = 1/2; рассмотрим производные по на/правлению функции Р в тючке xq(9q) вдоль у > 0 и у < 0, с о от ее т с т в енно:

ПЫОо)) = (° ° \0 ±

Заметим, что x'^q) = ^ ^ есть собственный вектор оператора PL(xo(9q)) . отвечающий его простому нулевому собственному значению. Более т,ого. z±(9q)

Следовательно : К" —> spa,n{\ ) задан соотношением тг±(в0)у = тг(в0)ь = (v.x'0(90))x'0(90). Так как Q(x0(e0), 0) = f мы и,меем. что n{9(])Q{xQ{9o). 0) = 0. то есть М±(в{]) = 0. и условие 1 предложения 1 выполнено. Векторы у^ заданы соотношением

У0х = (-Р±ЫШ{1-«(в0т')-1ЯЫОо),ъ) ; ^

Так как Р^(х0(90)) = 0. АвоЮщЫШ^Ы = ( тг(6'о)(5/(1)(^о(^о); О)тг(0о) = ^ ^^ , <3'(2)(.то(#о);0) = 0, мы получаем, что условие 2 предложения 1 выполнено, и аД = I следовательно = ^ ^ ^ . Так как (ю^.п±(хо($о)) > 0-, п~(хо(во)) = ( ) . предложение 1 обеспечивает существование \±1)' двух семейств решений 'уравнения Р(х.у) + еС^(х.у,е) — 0. возникающих из хо(Оо) = и заданных формулой 0 \ , л (х + у-1/2 Пример 2. Пусть Р(х. у) = . (^(х.у.Е) =

М + 2у) \ х + уи Х[)(9) = 9 е [0.1]. Пусть 90 = 1/2. Мы имеем р'+ые0))= иР'Ы°о))= ^ •

Как и в предыдущем пр'аме'ре. х'о(0о) = г±(0о) = ^ ^ • Р±(хо(&о)) — 0-,

7г(90№х0(в0).,0) = 0. 7г(9Щ1)(Х0(90).,0)7Т(90) = С?{2)Ы9(]).0) = 0. о \ / о Л А/б

В этом случае получим = ( I . у0 = I I . гсд = I

Тд = ( ^ ; следовательно. о(#о))) > 0 и

•Шо,п.(х0{в0))) < О.

По предложению 1 получим существование одного семейства решений вида . Л/2\ /-1/6' ' ' V 0 У V 1/6,

Пример 3. Пусть Р(х.у) = [ ) . (¿{х.у.е), х${6) и как в предыдущем примере. Мы имеем

Р'±ЫОо))=(° °

Поступая так же. как в прим,ере 1. мы получим т^ =1 I . и. таким, образом, {ш^. ?1--(.то(#о))) < 0. Прямым вычислением можно 1/2" убедиться, что не существует решений вблизи £о($о) — |

1.3.2 Общая теорема в R"

В этом подразделе мы рассматриваем бифуркационное уравнение

P{x)+eQ{x.,e) = 0, (1.9) где Р : R" -> R" и Q : R" х [0,1] R". Предположим, что уравнение Р{х) — 0 имеет параметризованное одномерное множество {хо(в),в Е [0,1]} решений. Обозначим это множество через Тр. Предположим, что Гр С П "^Mf. где М,р — это (п — 1) —мерные гладкие поверхности в R". Тогда ориентированные нормали п,(х).х «е М/\ г = 1. .т. к каждой поверхности определены корректно. Предположим, что данные поверхности делят любую достаточно малую окрестность 17(Гр) кривой Гр на 2т открытых областей О к. к = 1.2т. Мы предположим также, что отображение Р имеет непрерывные производные Фреше Р'к,Р[[, к — I. .,2т. в каждой области I)/,. и все эти производные имеют пределы Р[{хр) := Нтх^хр,хе1)к Р'к(х) и Р"{хр) := Птх^хр.х(,0к Рк{х) для всех хр <е Тр. к = 1. . 2т.

Сверх того, предположим, что <5 или разрывна, или не дифференцируема по Фреше по первой переменной х на некоторой кривой Гд = {к{6) : в е [0.1]}, такой что Гд С Г\11=1М?, где М® — это (п— 1) —мерные гладкие поверхности в К". и что существует такое во Е [0. 1]. что то(^о) = Все рассмотрения далее касаются существования решений в окрестности £о($о)• Всякая достаточно малая окрестность К(Гд) кривой Гд разделена на 21 открытых областей Д.¡.у — 1.21. поверхностями М®.% — 1./. Предположим, что С} непрерывно дифференцируема относительно переменной х в каждой области Ду и относительно второй переменнной когда первая принадлежит Д,. Также предположим, что производная по £ непрерывна повокупности (.т. г) при х £ Д?. Мы полагаем, что все эти производные имеют пределы (^^^(Хц.г) : = Нтт>7;(г,;ед^'^^(х.е) для всех хч е Гд.^' = 1. . 2/. д'{2](х,0) := Итг>0 .геД, Я[2)(х>£) для всех ] = .21. и д^Хд.с) := Нт.,^ ,6д:Я{х,е) для всех хц £ Гд. ] = 1. . 21. Ясно, что если С} непрерывна в точке хя € Гд. то я]{хч. е) не зависит от ].

Всюду далее мы предполагаем, что

А1) кривые Тр и Гд кладки:

А2) х'0(в) Ф 0 для всех в е [0.1]. и существует вторая производная х{\(в). непрерывная в любой точке в £ [0. 1];

АЗ) любая пара поверхностей М[ либо пересекается трансверсально. .либо совпадает. То же условие предполагается выполненным для поверхностей М®.

Как нетрудно видеть, последнее условие позволяет ввести биекцию между 2т открытыми множествами 0/,; и 2т векторами из т компонент здп(^, щ (:с'о(#о))); •■: пт(хо(6о))), где это любой вектор, принадлежащий множеству О^.к = 1. 2т. Другими словами, если мы выберем вектор (е\. . ект), для которого е1} Е { — 1.1}. г = 1. . т. среди 2т векторов, описанных выше, то условие (у.пг(хо(во)))е^' > 0. где г = \.т. эквивалентно условию ¿и £ Эк для достаточно малого 5 > 0. Аналогично, мы можем определить 21 векторов (С/; С)• ••• С/)-, С/ £ { —1Д}:?' = и ] = 1.2/. таких что условие (и.Г]г(хо(во)))^ > 0. где г]г(хо(во))— ориентированные нормали к поверхностям М®. г = 1, . /.эквивалентно условию 5и Е Д? для достаточно малого 5 > 0.

1. Айзепгендлер П. Г. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в многомерном случае/ П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайнберг // ДАН СССР. - 1965. - Т. 163, - №3. - С. 543-546.

2. Айзепгендлер П.Г. О периодических решениях навтономных систем/ П.Г. Айзенгендлер. М.М. Вайнберг //' ДАН СССР. 1965. -Т. 165. - №2. - С. 255-257.

3. Айзенгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений автономных систем и дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / П.Г. Айзенгендлер. М.М. Вайнберг // ДАН СССР. 1967. - Т. 176, - №1. - С. 9-12.

4. Айзенгендлер П.Г. Применение теории исключения к задаче о ветвлении решений нелинейных уравнений./ П.Г. Айзенгендлер // Учен. зап. Моск. обл. пединститута им Н.К. Крупской. 1966. - Т. 166, - вып. 10. - С. 253-273.

5. Айзепгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, I / П.Г. Айзенгендлер, М.М. Вайнберг // Известия высших учебных заведений. 1969. - № 10. - С. 3-10.

6. Айзепгендлер П.Г. О ветвлении периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием, II / П.Г.Айзенгендлер, M.M. Вайнберг // Известия высших учебных заведений. 1969. - № 11. - С. 3-12.

7. Ахмеров P.P. Ко второй теореме H.H. Боголюбова в принципе усреднения для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / P.P. Ахмеров, М.И. Каменский // Дифференц. уравнения. 1974. - № 13. - С. 537-540.

8. Меры некомпактности и уплотняющие операторы /' P.P. Ахмеров и др.]. Новосибирск: Наука, 1986. - 265 с.

9. Колмогоров A.Ii. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. 4-е изд., перераб. - М.: Наука, 1976. - 543 с.

10. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М.А. Красносельский. М.: Наука, 1966. - 331 с.

11. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. М.: Наука, 1975. - 512 с.

12. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ И. Г. Мал кии. М.: Государствен нос издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 451 с.

13. Маргпынюк Д. И. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием / Д.И. Мартынюк, А.В. Самойленко // Математическая физика. Киев. 1967. - С. 128-145.

14. Родкииа А.Е. О дифференцируемое™ оператора сдвига по траекториям уравнения нейтрального типа / А.Е. Родкина. Б.Н. Садовский // Тр. математического факультета. Воронеж, 1974. -Вып.12. - С. 31-37.

15. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. М: Издательство иностранной литературы, 1953 г. - Т.1. - 346 с.

16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. VI.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 223 с.

17. Хартмап Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. VI: Мир, 1970. - 720 с.

18. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных автономных систем с запаздыванием/ С.Н. Шиманов// Известия вузов. Радиофизика. -1960. Т.З, - №3. - С. 456-466.

19. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием/ С.Н. Шиманов// ПММ. 1959. - T.XXII, - вып. 5. -С. 836-844.

20. Clarke F.H. Optimization and non-smooth analysis, New York. Wiley, 1983.

21. Dankowicz. H., Zhao. X. Local analysis of co-dimension-one and co-dimension-two grazing bifurcations in impact microactuators, Physica D 202 (2005), 238-257.

22. Fang, Cong Na; Wang, Quan Yi Existence, uniqueness and stability of periodic solutions to a class of neutral functional differential equations. (Chinese) J. Fuzhou Univ. Nat. Sci. Ed. 37 (2009), no. 4, 471-477.

23. Feigm. M. I. The increasingly complex structure of the bifurcation tree of a piecewise smooth system. J. Appl. Math. Mech. 59 (1995), 853-863.

24. Gohberq I Golbeiy S & Kaashoek M A Classes of lmeai opeiatois I BirkauserVeilag, Basel 1990

25. Grcief John B Kong Lingju Penodic solutions foi functional dif-feiential equations with sign-changing nonlmeauties Pioc Roy Soc Edmbuigh Sect A 140 (2010) no 3 597-616

26. Guief John B Sakei S H New oscillation ciiteiia foi geneiahzed second-oidei nonhneai neutial functional difteiential equations Dynam Systems \ppl 19 (2010) no 3-4 455-472

27. Gvo Li Xianq Lu Shi Ping Da Bo Liang Feng Existence of pen-odic solutions to a second-oidei neutial functional difteiential equation with deuatmg aigunients (Chinese) J Math (Wuhan) 30 (2010) no 5 839-847

28. Jeffiey M B Colombo A The two-fold smgulaiit\ of discontinuous \erroi fields SJ\M î Appl D}n Syst bf 8 (2009) 624-640

29. Rowalczyk P di Bernardo M Champneys 4 B Hogan S J Homn M Pin omen P T Kuznetsou YU 4 & Nord mark A Two-parametei discontmuitv-mduced bifui cations of limit cvcles classification and open pioblems Int J Bifui cation and Chaos 16 (2006) 601629

30. Kowalczyk P & d? Bemauio M Two-paiametei degeneiate sliding bifui cations m Fihppov s\ stems Phvsica D 204 (2005) 204-229

31. Loud VV S Penodic solutions of a peituibed autonomous system/ VV S Loud// Ann Math 1959 - 70 - P 490-529

32. Lvo Li Ping Oscillation theoiems foi nonhneai neutial hypeibohc pai tial functional diffei ential equations (Chinese) I Math (Wuhan) 30 (2010) no 6 1023-1028

33. Маддго. G. М., di Bernardo. M. & Kennedy. M. P. Non smooth bifurcations in a piecewice-linear model of the Colpitts oscillator. IEEE Trans. Circuits Systems I Fund. Theory Appl. 47 (2000), 1160-1177.

34. Nordmark. А. В. Kowalczyk. P. A codimension-two scenario of sliding solutions in grazing-slicling bifurcations, Nonlinearity 19 (2006), 1-26.

35. Wan; Shu Li: Yang. Jian; Feng. Chun Huci; Huang. Jian Mm Existence of periodic solutions to higher-order nonlinear neutral functional differential equations with infinite delay. (Chinese) Pure Appl. Math. (Xi;an) 25 (2009), no. 3, 556-562, 594.

36. Wang, Chao; Li, Yongkun: Fei, Yu Three positive periodic solutions to nonlinear neutral functional differential equations with impulses and parameters on time scales. Math. Comput. Modelling 52 (2010), no. 9-10, 1451-1462,

37. Wa/ng, Chuncheng; Wei. Junjie Hopf bifurcation for neutral functional differential equations. Nonlinear Anal. Real World Appl. 11 (2010), no. 3, 1269-1277.

38. Wei. Fengying; Wang, Ke The periodic solution of functional differential equations with infinite delay. Nonlinear Anal. Real World Appl. 11 (2010), no. 4, 2669-2674.

39. Zhu, Yarding Periodic solutions for a higher order nonlinear neutral functional differential equation. Int. .J. Comput. Math. Sci. 5 (2011), no. 1, 8-12, 34K13.

40. Михайленко Б.А. Об эквивалентных интегральных операторах в задачах о периодических решениях дифференциальных уравнений / Б.А. Михайленко // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика,— Воронеж, 2011.— № 1. С. 193-201.

41. Каменский М.И. О малых возмущениях систем с многомерным вырождением / М. И. Каменский. Б. А. Михайленко // Автомат, и телемех. Москва. 2011. - №5. - С. 148-160.

42. Михайленко Б.А. Принцип усреднения в системах с вырожденным средним / Б.А. Михайленко // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета) — Воронеж, 2010,- № 2. С. 66-80.

43. Михайленко Б.А. Фазовый портрет двумерной динамической системы с разрывной правой частью / Б.А. Михайленко // Актуальные проблемы математики и информатики (тр. мат. факультета) Воронеж. 2008 - № 3. - С. 32-43.

44. Михайленко Б.А. Негладкие бифуркации с двумерным вырождением / Б.А. Михайленко // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронежской весен, мат. шк. "Понтрягинекие чтения XXI11.— Воронеж, 2010.— С. 152-154.

45. Михайленко Б.А. О собственных подпространствах Т-эквивалентных интегральных операторов / Б.А. Михайленко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж, зим. мат. шк. — Воронеж, 2011.— С. 221-222.

46. Mikhaylenko В. A. Bifurcations over a Nonsmooth Implicit Function Theorem / В.A. Mikhaylenko // International Workshop on Resonance Oscillations and Stability of Nonsmooth Systems : abstr., June 16-25, 2009, London London, 2009 - P. 31.