Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Эйрих Надежда Владимировна

Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного

01.01.01 - Математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Биробиджан - 2006

Работа выполнена на кафедре математики ГОУ ВПО "Дальневосточная государственная социально-гуманитарная академия"

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН, профессор Дубинин В.Н.

член-корреспондент РАН, профессор Быковский В.А.

доктор физико-математических наук, профессор Насыров С.Р.

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 14 декабря 2006 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан. 40 ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Ю.Чеботарев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеем еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов.

С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного моду л я области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга, Дж. Дженкинса, П. Дюрсна и В. Хеймана. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В.В. Асеева,- В.Н. Дубинина, Е.Г. Емельянова, Г.В. Кузьминой, В.М. Миклюкова, И.П. Митюка, А.Ю. Солынина и других математиков. О широте приложений приведенного модуля можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А.Ю. Солынина, Д. Бетса-коса, А.Ю. Васильева, Г. Виттиха, Д. Гайера и В. Хеймана, Л. Карле-сона и Н.Г. Макарова, Л.В. Ковалева, С.Р. Насырова, К. Поммерепке, А. Пфлюгера и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений, однолистных гармонических отображений, многолистных функций. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения.

В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г.В. Кузьминой, а также Е.Г. Емельянова и А.Ю. Солынина. Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее

при емкостном подходе рассматривались в основном "внутренние" приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности "граничного" приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.

Цель работы. Развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние, так и граничные разновидности при любом количестве вершин и при различных типах емкостей конденсатора, и показать приложения таких приведенных модулей в геометрической теории функций комплексного переменного.

Методы исследования. В работе использовались общие методы теории функций и математического анализа, а также специальные методы теории потенциала: симметризация, диссимметризация и разделяющее преобразование конденсаторов.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты:

1. Введено понятие обобщенного приведенного модуля, содержащее как его внутренние так и граничные разновидности. Установлены свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и принципы композиции.

2. Обобщено понятие приведенного модуля И.П. Митюка и изучены некоторые его свойства.

3. Доказаны новые теоремы искажения для функций, ограниченных и однолистных в единичном круге. В частности, обобщено неравенство Поммерепке о поведении логарифмической емкости граничного множества при конформном отображении. Получены новые двуточеч-пые теоремы искажения для производных Шварца ограниченных и однолистных функций.

4. Установлены новые неравенства для коэффициентов однолистных функций, ограниченных в единичном круге, а также для коэффициентов алгебраических полиномов.

5. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении комплексной сферы и теоремы покрытия.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в Казанском, Кубанском, Новосибирском, Дальневосточном государственных университетах, а также в ПОМИ РАН, ИМ СО РАН и

ИПМ ДВО РАН при решении экстремальных задач теории функций и теории потенциала.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, две из них в соавторстве, где В.Н. Дубинину принадлежит постановка задач и общее руководство.

Апробация результатов. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах -семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005), на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002, 2004), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на научном семинаре ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на семинарах кафедры математики ДВГСГА (руководитель профессор Б.Е. Фишман), на областных смотрах-конкурсах научных работ молодых ученых и аспирантов высших учебных заведений и учреждений науки Еврейской автономной области (2004, 2005).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета Ш^Х. Общий объем диссертации 109 страниц. Библиография содержит 94 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Содержание работы

Во введении проводится обзор литературы и описывается состояние проблемы на сегодняшний день. Излагается актуальность темы, формулируется цель работы и кратко описывается ее содержание.

В первой главе изучаются две разновидности приведенного модуля, исследуются их свойства и рассматриваются частные случаи.

В параграфе 1.1 вводится понятие приведенного модуля М(В,Г, Л, Ф) множества В относительно множества Г и совокупностей Z, А, Ф.

Обозначим U(zo,r) = {z : \z — zo\ < г} в случае конечной точки £о 6 Cz и C/(oo,r) = {z : \z\ > 1 /г}. Замкнутое множество E(zQ,r),ZQ £ Сг, зависящее от параметра г > 0, называется почти кругом с центром в точке zq радикса г, если для достаточно малого е > 0 существуют непрерывные положительные-функции гДг), 0 < г < e, j = 1,2, такие

что ___

U{z0,ri{r)) С E{z0,r) С U{z0,r2{r)) и г,(г) ~ г при г —У 0, j = 1,2.

Для заданного открытого множества ВсСги точки zq б В положим E(z0, г, В) = E(z0, г), где г настолько мало, что почти круг E(z0, г) С В;

а для достижимой граничной точки zq множества В обозначим через E(zq, г, В) - связную компоненту пересечения множества В с некоторым почти кругом E(zo,r), примыкающую к точке zq.

Введем следующие обозначения: Z = - совокупность различ-

ных точек в В, каждая из которых либо принадлежит множеству В, либо представляет достижимую граничную точку одной из связных компонент множества В. Каждой точке Zk € Z сопоставим вещественное число ак следующим образом: если Zk € В, то ak ~ 2, а если Е дВ> то а^п -внутренний угол множества В с вершиной в точке Zk- Предположим, что ak Ф 0, к = 1,..., п. Пусть А = {<5fc}"=1 - совокупность вещественных

п

чисел, 11 ПУСТЬ ф = {^*(r)})k=i« гДе Фк(г) = ~

к=1

произвольные положительные числа. Обозначим

v '= ^ XJ otkSl/vk

Наконец, пусть Г - замкнутое граничное подмножество множества (дВ)\

и Ы-

Ь=1

При достаточно малых г > 0 рассмотрим обобщенный конденсатор

С{г; В, Г, Z, А, Ф) = {Г, E(zlt V>i(r), В),..., E(zn^n(r), В)}

с предписанными значениями соответственно 0, <5i,..., <5П. Модуль этого конденсатора ]С(г; В, Г, Z, А, Ф)| есть величина, обратная его емкости cap С(г; В, Г, Z, А, Ф), которая в свою очередь определяется как точная нижняя грань интегралов Дирихле

Jf\Vv\2dxdy в

по всем допустимым функциям v(z)> т.е. вещественнозначным функциям v(z), непрерывным в В U Г, удовлетворяющим условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки множества В за исключением, может быть, конечного числа таких точек, равным нулю в окрестности множества Г и 8* в окрестности E(zk> ^(г),!?), к = 1,..., п (имеется ввиду окрестность в смысле относительной топологии в В).

Обобщенным приведенным модулем множества В относительно множества Г и совокупностей Z, А,Ф называется предел

М(В, Г, Z, А, Ф) = lim{|C(r; В, Г, Z, А, Ф)| + log г}, (1.1.1) если он существует и конечен.

В параграфе 1.2 показано, что введенный таким образом приведенный модуль содержит как частные случаи приведенные модули Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, Г.В. Кузьминой, В.Н. Дубинина и др. Даны формулы для вычисления некоторых приведенных модулей через внутренние радиусы областей и функции Грина. В параграфах 1.3,1.4 устанавливаются свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении и принципы симметрии. В пятом параграфе первой главы доказываются принципы композиции. Например, имеет место

Теорема 1.6. Пусть мнооюества В, Г и совокупности Z = Д = Ф := и {ска;}^-! - из определения приведенно-

го модуля М := М(В, Г, Д, Ф). Пусть В{, г = 1,...,т, - попарно непересекающиеся открытые подмножества В, и пустг> Гi, Zi = - ^г = 1 и {«у}"!! - из определения

приведенных модулей М{ := М{ВГ\, Zii А,-, Ф*), г = 1,..., т. Предположила, что выполняются следующие условия: каждая точка г^ из совокупности Zi совпадает с томской € Z при неко?пором к = к(г,з) (в случае, когда - достижимая граничная точка мноэ/сества В\, имеется ввиду, что изображающая ее точка совпадает с точкой или с точкой, изображающей точку г/,); для любых г и ] имеют место равенства % = 5к} Цц = Цк, Щз = Vк, где к = Г,- С Г, г = 1,... ,т, и пусть

п т щ

]Г ак5Цик = к=1 »=1 j=l Тогда, при условии существования указанных приведенных модулей, справедливо неравенство

/ п \ ^ щ / п<

М £ акб1/ик <Х>МЕ

\к—1 / 1=1 4.7=1

Свойства монотонности и принципы композиции для обобщенного приведенного модуля имеют весьма простой смысл и, в то же время, содержат как частные случаи многие важные утверждения такого рода, известные ранее под другими названиями: классические леммы Греча; одна из разновидностей кусочно разделяющей симметризации; неравенства для приведенных модулей при разбиении треугольника на треугольники и двуугольника на двуугольники; неравенство Е.Г. Емельянова между приведенными модулями двух типов; неравенства Дюрена и Шиффсра для емкостей Робена и функций Робена и др.

В параграфе 1.7 рассматривается другая разновидность приведенного

модуля Л4(В, Г, 2", Д, Ф), полученная аналогично определению (1.1.1), но при дополнительном требовании на допустимые функции. Для открытого множества В на сфере С2 обозначим И = {^л}^-! - совокупность различных точек этого множества. Совокупности А = ф = {/хд.г|/'!}£_1 и число V определим как в параграфе 1.1. Пусть Г -замкнутое граничное подмножество множества дБ, а Е - объединение компонент дополнения множества В, не содержащих точек Г.

При достаточно малых г > 0 рассмотрим обобщенный конденсатор

С (г; В, Г, 2Г, Д, Ф) = {Г, Е(ги ^(г), Б),..., яЦ фп(г),В)}

с предписанными значениями соответственно 0, 8\, ;.., 5п. Емкость Сар С(г; В, Г, Д, Ф) этого конденсатора определяется как точная нижняя грань интегралов Дирихле по всем с-допустимым функциям ь(г), т.е. вещественнозначным функциям V (г)у непрерывным в В и Г и Е> удовлетворяющим условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки множества В за исключением, может быть, конечного числа таких точек, равным нулю в окрестности множества Г, 5/. в окрестности Фк{г), В), к = 1,...,п и равным константе в некоторой окрестности каждой связной компоненты множества Е (для каждой компоненты своя константа). Модулем |С(г; В, Г, Z, А, Ф)| конденсатора называется величина, обратная его емкости.

Приведенпьш модулем множества В относительно мноо/сества Г и совокупностей Д, Ф назовем предел

М(В, Г, ¿Г, Д, Ф) = Кт{|С(г; В, Г, Я, Д, Ф)| + ~ 1оёг},

если он существует и конечен.

Введенный таким образом приведенный модуль содержит как частные случаи приведенный модуль т(го,Г, В), введенный И.П. Митюком (определение этого модуля дано в параграфе 1.6), а также определения приведенного модуля, восходящие к работам Г. Греча, О. Тейхмюлле-ра, Г. Виттиха и имеющие различнные приложения в теории аналитических функций. Сравнение двух разновидностей приведенных модулей дает неравенство

м(в, г, я, д, ф) > м(в, г, г, д, ф).

В параграфе 1.8 диссертации исследованы основные свойства обобщенного приведенного модуля М.(В} Г, Д,Ф), связанные с расширением множества, выполнением конформного отображения и реализацией принципа композиции.

Вторая глава посвящена некоторым приложениям обобщенных приведенных модулей к традиционным задачам геометрической теории функций комплексного переменного.

Обозначим через В - класс функций ю == /(г), регулярных и однолистных в единичном круге 17 := {г : \г\ < 1}, и удовлетворяющих условию |/(г)| < 1 при г Е. 17. Пусть Во - подкласс функций из класса В, для которых /(0) = 0. Основным результатом параграфа 2.1 является следующая теорема искажения для ограниченных и однолистных в круге функций.

Теорема 2.1. Пусть функция ии = /(г) принадлежит классу В, и пусть она и ее производные определены также в граничных точках гк, \гк\ — |/(г*)| = 1, к = 1 ,...,1. Пусть гк, к = I + 1,... ,п -произвольные точки круга 17. Тогда для любых вещественных чисел ¿к) к = 1,..., п, удовлетворяющих условию

¿4 + 2 ¿4 = 0,

Л=1

справедливо неравенство I

п 1/^)1

61

ЦЬ=1

п >

к=1+1

>

п

кфа

2к

/ы - /ы

вкг^кбм

пп

А=1Л=г+1

1 - гкга

/М/Ы

25 к8.

(2.1.2)

где вкз = 2, если одновременно к > 1+1 и з > 1+1, и вкз = 1 в остальных случаях.

Неравенство (2.1.2) для класса функций Во при / = 1, п = 2 и 22 = 0 дает результат А.Ю. Солынина, а если положить / = 2, п — 3,23 = 0 и ¿з = —1/2, то получим неравенство А.Ю. Васильева и К. Поммеренке.

Особый интерес в последнее время возникает к классическим двуточечным теоремам искажения для однолистных аналитических функций. С другой .стороны, не ослабевает интерес и к оценкам, содержащим производную Шварца. Вычисленную в точке 2 производную Шварца функции / (2) обозначим через

2

ЗД =

/»(2)

/'(2) 2\/'(х)

В параграфе 2.2 доказаны двуточечные теоремы искажения для Швар-циана, в частности, имеет место

Теорема 2.2. Если функция ги = /(2) 6 В, то для любых точек г\ и 22 из единичного круга 17 и любых вещественных постоянных 71 и 72

справедливы неравенства

TlSte) + -¿SjW - 1271727#^фЬ + -1*™ **

'(/ы-/ы)2 {z2-zi)*l-zizi

<

(l-f(Zl)f{Z2))2j \1- |/(^l)|2 -67К 'ffiUV,, 671

I f(z2wj (i-Ы2)2 (1-N2)2

<

+ ) +127.72 ^/'М 127172

(1-/Ы/Ы)5 li-^l2 , f'(zi)f'W } ,2 ( l/'WI V

< —127x72Re |е " <¡7, (^^pj " («Л)

J/(*>)JV (l-|2l|2)2 (1-|Z2|2)2 |22-2l|2'

где ег2а = ————Равенство в (2.2.7) и (2.2.8) достигается для

z2 — z\ 1 —

d/гл функции w — f(z), заданной соотношением eta-^—= --,

1 — z\z 1 — rw

, Z2-Z! ¡Z2 Zij

где a = 7г — are-, г =--——.

6i-ZIZ21 |1-^2| + V(1-N2)(1-N2)

Для класса функций Bq К. Поммерснке доказал неравенство

>/1/'(0)|сар/(Я)>сарЯ,

где cap (•) - означает логарифмическую емкость, а множества Е и f(E) лежат на единичных окружностях. Третий параграф второй главы диссертации содержит далеко идущее обобщение этого результата (теорема 2.4). Пусть 7-замкнутое подмножество окружности \z\ = 1, Z = {zk)1=i - совокупность точек zk € U, к — 1,..., п, и А = {5fc}jJ=1 - совокупность

п

вещественных чисел 5k, к = 1,..., n, J2 Ф О- Для заданных 7, Z и Л введем обозначение

In In

Я (7, Z,A) = Y, log г(Сг \ 7, zk) + Y^ sks*9ca\i(zk> *.),

kjt»

где Sn+k = 4, zn+k — 1/zk, к = 1,..., n.

Теорема 2.4. Пусть функция ю — /(г) принадлео/сит классу В и пусть 1/(^)1 —>■ 1, когда точка г стремится к множеству 7, состоящему из конечного числа замкнутых дуг на окружности \г\ = 1. Тогда для любых совокупностей точек 2 = {-г^}]^ и чисел Д = спра-

ведливо неравенство

*=1

/Ы

>Я(/(7),^ Д)-Я(7,2Г,Д),

гс>е = а штрих у знака суммы означает, что при

гк — 0 (/(гк) = 0) под соответствующим мноо/сителем понимается единица.

Вычисляя правую часть в неравенстве теоремы 2.4 в случае двух сближающихся точек г\ и гг и <5х = — Ьч = 1, получаем

Следствие 2.1. Если функция и> = /(г) принадлежит классу Во и если /(г) —>7' С {ио : |го| = 1}, когда точка г стремится к замкнутой дуге 7 С {г : \г\ = 1}, то выполняется неравенство

3^/(0) + е

-i2t • 2 и бш--е

2

-¿2 V

(/'( 0))28Ш2

<

<2(сов|-.|//

(0)|2соз|

где а - длина дуги 7, е,г - середина этой дуги, а' - длина 7', а ег1' - ее середина.. Равенство достигается для функции Пика 1{г\Х) = к~1(Хк(г)) и дуг {г : г = егв, < а/2} для любых 0 < а < 2л и вт2(сг/4) < Л < 1 (здесь к (г) — г(1 — г)~2 - функция Кебе).

Используя теорему 2.1 в частных случаях (при конкретных' наборах Д, Ф), в параграфе 2.4 получены новые оценки коэффициентов функций классов В и Во.

В параграфе 2.5 найдены оценки для коэффициентов алгебраических полиномов. В частности доказана следующая

п

Теорема 2.8.Для любых полиномов Р(г) = ск*к степени п с ве-

к=о

щественными коэффициентами с*, к = 0,1,..., п имеет место точная оценка

с1(о2п + 8с1_,) < 2*"~8(Н(Р) - Ь{Р))\

где Ь{Р) = шт{Р(г) : г € [-1,1]}, Н(Р) = тах{Р(г) : г 6 [-1,1]}.

Равенство достигается для полинома Чебыгиева первого рода. Из теоремы 2.8 следует известная оценка

Ы < (Я(Р) - Ь(Р))2

п—2

эквивалентная классическому свойству полинома Чебышева Тп{г) = гп + ... наименее отклоняться от нуля на отрезке [—1,1] среди полиномов вида Р(г) = гп + .. .. Таким образом, полученную оценку можно рассматривать как уточнение этого свойства с участием следующего коэффициента полинома Р{г).

Задачи об экстремальном разбиении занимают существенную часть геометрической теории функций комплексного переменного. Заменяя в этих задачах известные приведенные модули на обобщенные, приходим к новым постановкам. В параграфе 2.0 с помощью принципа композиции для приведенного модуля М(В, Г, Z, А, Ф) и диссимметризации установлены следующие результаты

Теорема 2.9.Пусть функции ги = к = 1,... ,п мероморфно и

однолистно отобраоюают круг V па попарно неналегающие области, причем Д(0) оо, к = 1,..., п. Тогда для любых вещественных чисел вк, к = 1,п справедливо неравенство

у* __Ле Ы* 1 \ <Ке У"

й 1 1Ш12 члт2.1 ~ Ь

Ы (Л(°) - ж°))2' кф (

Теорема 2.10.Для любых мероморфных и однолистных в круге V функций V) = /л(г), отображающих этот круг на попарно неналегающие области таким образом, что ¡/¿(0)1 = 1, к = 1,... , п, справедливо точное неравенство

Л2(0)£а(0) > 1 , "(п2-1)

- (п^ 12

1 ^

{ту

12

Равенство достигается для функций /£(<гг) = ехр(27гг(& — 1)/п)[(1 + г)/(1 —-г)]2/'1, где под корнем понимается ветвь, сохраняющая единицу, к = 1,... , п.

В параграфе 2.6 получены также некоторые приложения приведенного модуля Л4(В, Г, 1Г, А, Ф) к задачам о неналегающих областях (теоремы 2.11 и 2.12).

В седьмом параграфе второй главы доказываются теоремы покрытия. Пусть В* - произвольная экстремальная область типа К с граничной компонентой |г| = 1. Это означает, что точка г = 0 6 5'; всякая граничная компонента области В*, отличная от \г\ — 1, есть дуга окружности (или точка), концентрической с \г\ = 1; и для достаточно малых г > 0 модуль семейства кривых, лежащих в В* \{г : \г\ < г}, разделяющих окружности = г и \г\ = 1, равен модулю кольца г < \г\ < 1. Пусть 5(5*) - класс функций ги = /(-г), конформно и однолистно отображающих область В* С Сг на некоторую область В С Сш так, что

/(0) = 0, /'(0) = 1 и окружность \г\ — 1 переходит во внешнюю граничную компоненту Г области В. Обозначим через А/(0), / е 5(В*) расстояние от начала координат до ближайшей точки Г, лежащей на луче aIgw — в, 0 < )ги| < оо; здесь в - произвольное действительное число. Если при данном в указанной точки не существует, то полагаем Л/(б) = +оо.

Теорема 2.13.Для любой функции ги = /(г) класса 3(В*) и любого действительного числа в справедливо неравенство

+ (2.7.33)

Равенство в (2.7.33) имеет место для функции ги — г[1 + {ег9г)п]~2!п.

Заключительная теорема 2.14 параграфа 2.7 содержит оценку Л/(0) снизу для функций, заданных в круге с одним концентрическим круговым разрезом, если известно, что конечная компонента дополнения образа круга содержит некоторый круг + аег* | < Я.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору В.Н. Дубинину за постановку задачи, внимательное и требовательное отношение к работе.

Работа выполнена в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (грант НШ-9004.2006.1).

Публикации по теме диссертации

1. Эйрих, Н.В. Приведенные модули п - угольников / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ матем. школы-семинара им. акад. Е.В. Золото-ва. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2000. -С. 116-117.

2. Дубинин, В.Н. Обобщенный приведенный модуль / В.Н. Дубинин, Н.В. Эйрих // ДВ матем. журнал. -2002. -Т. 3, № 2. -С. 150-164.

3. Эйрих, Н.В. Принцип композиции для обобщенных приведенных модулей. / Н.В. Эйрих // Тез. докл. ДВ матем. школы-семин. им. акад. Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. 2002. С. 14-15.

4. Эйрих, Н.В. О вычислении приведенных модулей п - угольников / Н.В. Эйрих // Тез. докл. ДВ конф. студ. и аспирантов по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2002. -С. 38-39.

5. Эйрих, Н.В. О приведенном модуле И.П. Митюка / Н.В. Эйрих // Дальневост. матем. журнал. -2003. -Т. 4, № 2. -С. 167-181.

6. Эйрих, Н.В. Теорема покрытия для однолистных функций в круге с концентрическим круговым разрезом / Н.В. Эйрих // Тезисы

докладов ДВ матем. школы-семин. им. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2003. -С. 21-22.

7. Дубинин, В.Н. Некоторые применения обобщенных конденсаторов в теории аналитических функций / В.Н. Дубинин, Н.В. Эйрих // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 52-75.

8. Эйрих, Н.В. К вопросу о приведенных модулях в теории аналитических функций / Н.В. Эйрих // Сб. докл. Междунар. научно-практической конф. 4.1. Биробиджан. Изд-во БГПИ. -2004. -С. 37-43.

9. Эйрих, Н.В. К теоремам искажения для регулярных ограниченных и однолистных в круге функций / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ матем. школы-семин. им. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 23-24.

10. Эйрих, Н.В. О коэффициентах однолистных ограниченных функций и алгебраических полиномов / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ конф. студ. и аси. по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 6-8.

11. Эйрих, Н.В. Двуточечные теоремы искажения для ограниченных однолистных в круге функций / Н.В. Эйрих. -Владивосток: ИПМ ДВО РАН, препринт № 01, 2005. -13 с.

12. Эйрих, Н.В. Двуточечная теорема искажения для ограниченных однолистных функций / Н.В. Эйрих // Современные методы теории фуикций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней матем. школы. -Воронеж. -2005. -С. 256-257.

13. Эйрих, Н.В. Оценки коэффициентов алгебраических полиномов / Н.В. Эйрих // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. -Краснодар; Кубанский госуд. университет. -2005. -С. 113-114.

Эйрих Надежда Владимировна

Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного

Автореферат

Лицензия № 020096 от 22.09.97 Формат 60 х 84/16. Усл. п. л. 1,06. Уч.-изд. л. 0,77. Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № iO/ZPOS

Отпечатано в печатном цехе ГОУ ВПО "Дальневосточная государственная социально-гуманитарная

академия"

679015, г. Биробиджан, ул. Широкая, 70-а, тел.: (42622) 6-42-82, 6-01-07

Введение

1. Обобщенные приведенные модули

1.1. Определения.

1.2. Примеры приведенных модулей

1.3. Приведенный модуль как функция множества.

1.4. Вычисление приведенных модулей.

1.5. Принципы композиции.

1.6. Приведенный модуль И.П. Митюка

1.7. Обобщение приведенного модуля И.П. Митюка.

1.8. Свойства приведенного модуля М(В, Г, А, Ф).

В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеем еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [4, 5, 31, 34, 41, 44, 47, 93]). Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов [39, 67].

С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного модуля области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга [59], Дж. Дженкинса [10], П. Дюрена [68]-[72], В. Хеймана [45]. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В.В. Асеева [6], В.Н. Дубинина [12]-[16], [18, 19], П. Дюрена [69, 72], Е.Г. Емельянова [21]-[23], Г.В. Кузьминой [24]-[28], В.М. Миклюкова [32], И.П. Митюка [35, 36], А.Ю. Солынина [42, 43] и других математиков. О широте приложений приведенных модулей можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А.Ю. Солынина [62], Д. Бет-сакоса [63], А.Ю. Васильева [91, 92], Г. Виттиха [94], Д. Гайера и В. Хеймана [73], Л. Карлесона и Н.Г. Макарова [65], Л.В. Ковалева [78], В.М. Миклюкова [33], С.Р. Насырова [81], К. Поммеренке [85], А. Пфлюгера [84] и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ [11], [68]-[72], [81, 83, 90, 92]. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [78, 93], однолистных гармонических отображений [66], многолистных функций [45]. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения [10, 18].

В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г.В. Кузьминой, а также Е.Г. Емельянова и А.Ю. Солынина (см.[27,43]). Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки [13]. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее при емкостном подходе рассматривались в основном "внутренние" приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности "граничного" приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.

Цель диссертационной работы - развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние так и граничные разновидности при любом количестве вершин и при различных типах емкостей конденсатора, и показать приложения таких приведенных модулей в геометрической теории функций комплексного переменного.

В первой главе изучаются две разновидности приведенного модуля, исследуются их свойства и рассматриваются частные случаи.

В параграфе 1.1 вводится понятие приведенного модуля М(В, Г, А, Ф) множества В относительно некоторых его граничных дуг Г С п дБ) \ и совокупности % = - внутренних и граничных ток=1 чек этого множества, а также заданных совокупностей вещественных чисел п д = №)ь=1> £ Ч Ф 0 и Функций Ф = {/^г1/*}£=1, где щ ~ произволь-к=1 ные положительные числа.

Обобщенным приведенным модулем множества В относительно множества Г и совокупностей А, Ф называется предел

М(В, Г, А, Ф) = Нт{|С7(г; 5, Г, Я, А, Ф)| + ^ 1о8г}, (1.1.1) г->1) ¿'К если он существует и конечен. Здесь |С(г; В, Г, А, Ф)| - величина, обратная конформной емкости обобщенного конденсатора, для которого допустимая функция равна нулю в окрестности Г и равна 6к в окрестности почти кругов в В с центрами в точках радиусов /¿¿г"*, к = 1,., п, число ак = 2, если ^6 5, и а&7Г - внутренний угол множества В с вершиной в точке если хь £ дВ.

В параграфе 1.2 показано, что введенный таким образом приведенный модуль содержит как частные случаи приведенные модули Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, Г.В. Кузьминой, В.Н. Дубинина и др. Мы приводим формулы для вычисления некоторых приведенных модулей через внутренние радиусы областей и функции Грина. В параграфах 1.3, 1.4 устанавливаются свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении и принципы симметрии.

В пятом параграфе первой главы доказываются следующие принципы композиции.

Теорема 1.6. Пусть мноэ/сества В, Г и совокупности Z = Д = Ф = {^кг1/кУк=\ и {ак}к=1 ~ из определения приведенного модуля М := М(В, Г, А, Ф). Пусть В^ г = 1,., т, - попарно непересекающиеся открытые подмножества В, и пусть Гг-, Zi = А» = ^г = {Щ]гЩ*У}*=\ и 1 ~ из определения приведенных модулей М( := М(В{, Г{, Z^, Д,-, Ф,-), г — 1,., т. Предположим, что выполняются следующие условия: каэ/сдая точка из совокупности совпадает с точкой гк € % при некотором к = (в случае, когда г^ - достижимая граничная точка множества В{, имеется ввиду, что изобраоюаю-щая ее точка совпадает с точкой или с точкой, изображающей точку 2^)/ для любых г и ] имеют место равенства = ¡хц = Щз — ^к, где к = Г,- С Г, г = 1,., ш, и пг/сть п т щ аа5Ы^г (1.5.14) к=1 г=1 j=l

Тогда, при условии существования указанных приведенных модулей, справедливо неравенство п \ ^ т / щ

М £ ак82к/щ < £ МЛ схфЦуц \к=1 / ¿=1

Теорема 1.7. Пусть выполняются все условия теоремы 1.6. со следующими изменениями: а) г = 1,., т - попарно непересекающиеся открытые мноо1сества на С2) для которых дВ{ \ Г; С С2\ В, г = 1,., т (взамен условия Вг С В, г = 1,. ,т), б) каэ1сдая точка ^ Е Z совпадает с некоторой точкой г^ Е Zi, т в) Г С У Гг- (взамен условия Гг- С Г, % = 1,., т). г=1

Тогда при условии существования приведенных модулей справедливо неравенство п / щ м £ ак5к/»к ^ Е мч Л

1 / г=1 \;=1

Свойства монотонности и принципы композиции для обобщенного приведенного модуля имеют весьма простой смысл и, в то же время, содержат как частные случаи многие важные утверждения такого рода, известные ранее под другими названиями: классические леммы Греча [10, с. 38-40], одна из разновидностей кусочно разделяющей симметризации [12], неравенства для приведенных модулей при разбиении треугольника на треугольники и двуугольника на двуугольники (ср. [43, с. 19]) , неравенство Е.Г. Емельянова между приведенными модулями двух типов [22], неравенства П. Дюрена и М. Шиффера для емкостей Робена и функций Робена и

ДР

В параграфе 1.7 рассматривается другая разновидность приведенного модуля М(В,Т, Д,Ф), полученная аналогично определению (1.1.1), но при дополнительном требовании на допустимые функции: они должны быть постоянными в некоторых окрестностях выбранных компонент дополнения исходного множества В. Это обобщение содержит как частный случай приведенный модуль т(го, Г, В) области В относительно некоторой точки го этой области и отмеченной граничной компоненты Г, введенный И.П. Митюком [36] (определение этого модуля дано в параграфе 1.6), а также определения приведенного модуля, восходящие к работам Г. Греча, О. Тейхмюллера, Г. Виттиха и имеющие различнные приложения в теории аналитических функций (см. например [10, 36]). Сравнение двух разновидностей приведенных модулей дает неравенство м{в, г, я, а, ф) > м(в, г, г, а, ф). (1.7.24)

В параграфе 1.8 диссертации исследованы основные свойства обобщенного приведенного модуля М(В,Г, А,Ф), связанные с расширением множества, выполнением конформного отображения и реализацией принципа композиции.

Вторая глава посвящена некоторым приложениям обобщенных приведенных модулей к традиционным задачам геометрической теории функций комплексного переменного.

Обозначим через В - класс функций ю = /(-г), регулярных и однолистных в единичном круге и := {г : \г\ < 1}, и удовлетворяющих условию |/(г)| < 1 при 2 £ 11. Пусть Во - подкласс функций из класса В, для которых /(0) = 0. Основным результатом параграфа 2.1 является следующая теорема искажения для ограниченных и однолистных в круге функций.

Теорема 2.1. Пусть функция ю = /(г) принадлежит классу В, и пусть она и ее производные определены также в граничных точках Ч, \%к\ = 1/(^)1 = 1) к = 1,., I. Пусть гк, к = I + 1,. ,п - произвольные точки круга II. Тогда для любых вещественных чисел 6к, к = 1,., п, удовлетворяющих условию

4 + 2 £ 4 = о

2.1.1) к=1 к=1+1 справедливо неравенство

Г I п иь=1 к=1+1 п п

2 8к5, пп

1 - гкг8

2.1.2) к=1з=1+1

1 - /М/М где вк8 = 2, если одновременно к >1 + 1 и б> 1 + 1, и — 1 б остальных случаях.

Неравенство (2.1.2) для класса функций Во при 1 = 1, п = 2 и 2г2 = 0 дает результат А.Ю. Солынина [43], а если положить / = 2, п = 3,хз = 0 и ¿з = -1/2, то получим неравенство А.Ю. Васильева и К. Поммеренке [86, с. 434].

Особый интерес в последнее время возникает к классическим двуточечным теоремам искажения для однолистных аналитических функций (см., например [75, 76, 77, 87]). С другой стороны, не ослабевает интерес и к оценкам, содержащим производную Шварца [88, 89]. Обозначим через

- вычисленную в точке г производную Шварца функции /(г). В параграфе 2.2 доказаны двуточечные теоремы искажения для Шварциана, в частности, имеет место

Теорема 2.2. Если функция ио = /(г) £ В, то для любых точек х\ и ¿2 из единичного круга и и любых вещественных постоянных 71 и 72 справедливы неравенства

127172

Ы-/Ы)2 (Z2 - Zi)4 - Z1Z2

UWM/Mi'J

-^(rfa)1- (2-2-7)

1-1/ЫРУ (1 - W2)2 (1 - Ы2)2 |i — ггг2|2' + 127172

1 - f(zi)f(z2))2 |1-^2|2 1?-. /WW 1 ^Г-JfWLV /о о о\

- "127l72Re Iе шгш\ -671 Ir^wJ - (2-2-8) п 2 ( \fU)\ V, 67l2 67f 127172

672 h-ГТТТТТэ +7i-iTT^ + Ti-TTm? +

Д-1/Ы12; (i-ki2)2 (1-N2)2 h-zir где el2a = ——— • \—Равенство в (2.2.7) и (2.2.8) достигается для z2~ z\ 1 - ZiZ2 для функции w = f(z), заданной соотношением еш——— ———,

1 — z\z 1 — rw Z2-Z1 \z2-zi\ гае a = it — arg --, r =-. ii-^i+va-kiHa-hi2)

В работе [85, с. 217] для класса функций Во К. Поммеренке доказал неравенство x/IMfcap f(E) > cap Е, где cap (•) означает логарифмическую емкость, а множества Е и f{E) лежат на единичных окружностях [12, с. 15]. Третий параграф второй главы диссертации содержит далеко идущее обобщение этого результата (теорема 2.4).

Пусть 7 - замкнутое подмножество окружности \z\ — 1, Z = - совокупность точек z\. £ U, k = 1,. ,п, и А = - совокупность вещественных чисел к = 1,., п, ^ 8\ ^ 0. Для заданных А к=1 введем обозначение

2п 2 п

Я(7, А) = ^52к 1оёг(С, \ 7, хк) + ^ й^Дт^*» *')' а;=1 кфв где 5п+к = 5к, = 1/5*, А; = 1,., п.

Теорема 2.4. Пусть функция ги = /(г) принадлежит классу В и пусть \/(х)\ —> 1, когда точка х стремится к множеству 7, состоящему из конечного числа замкнутых дуг на окружности \х\ = 1. Тогда для любых совокупностей точек Ъ — и чисел А = справедливо неравенство >Я(/(7),^А)-Я(7,^А)) (2.3.16)

Й Я**) где Ж = о штрих у знака суммы означает, что при хк =

0 (/(¿¿) = 0) под соответствующим множителем понимается единица. Вычисляя правую часть в (2.3.16) в случае двух сближающихся точек и 22 и <$1 = — 82 = 1, получаем

Следствие 2.1. Если функция и) = /(х) принадлежит классу Во и если /(г) —> 7' С {и) : |го| = 1}, когда точка х стремится к замкнутой дуге 7 С {х : \х\ = 1}, то выполняется неравенство

7 о . ./ |2

2 ^С08--|/'(0)|2со8—^ , (2.3.18) где а - длина дуги 7, егЬ - середина этой дуги, а' - длина 7', а ег*' - ее середина. Равенство достигается для функции Пика 1(х]Х) = к~г(Хк(2:)) и дуг {г : х = е{в, \в\ < с/2} для любых 0 < <7 < 2п и 8Н12(а/4) < Л < 1 (здесь &(г) = х{1 — х)~2 - функция Кебе).

Используя теорему 2.1 в частных случаях (при конкретных наборах Д,Ф), в параграфе 2.4 получены следующие результаты для коэффициентов однолистных функций.

00

Теорема 2.5. Если функция гп = /(г) = ^ а^ принадлеснсит классу к=1

Во, то

Щ - 5/(0)| < 60(1 - Ы4 - 2|а2|2). (2.4.21)

Равенство достигается для функций Пика егв1{егв'г\ А) , где 0 < Л < 1, а в, & - вещественные числа.

Теорема 2.6.Пусть функция и) = /(г) принадлежит классу В, и пусть, дополнительно, /(г) определена на некоторой открытой дуге окружности \г\ = 1, содержащей точку х = 1, триэ/сды дифференцируема в этой точке и отображает указанную дугу на дугу окружности |ги| = 1 так, что справедливо разложение г) = 1 + 01(2 - 1) + а2{г - I)2 + а3(г - I)3 + о((г - I)3), 2 1, \г\ < 1. Тогда имеют место точные оценки

2Иеа2 > ах{а1 - 1), (2.4.24)

Це(|М)<0. (2.4.25)

Равенство в первом неравенстве достигается для функций Пика 1(г;Х), О < А < 1, а во втором - для тождественного отображения /(г) = г.

Неравенство (2.4.25) теоремы 2.6. можно трактовать и как оценку действительной части Шварциана на границе

Ие5/(1) <0.

С помощью теорем 2.5 и 2.6 в параграфе 2.5 найдены оценки для коэффициентов алгебраических полиномов. В частности доказана следующая

Теорема 2Я.Для любых полипомов Р(г) = ]Г) С}.гк степени п с век=о щественными коэффициентами к = 0,1,., п имеет место точная оценка с1{с1 + ^п1)<2^-\Н(Р)-Ь{Р))\ где Ь(Р) = шш{Р(г) : г е [-1,1]}, ЩР) = тах{Р(г) : г € [-1,1]}.

Равенство достигается для полинома Чебышева первого рода. Из теоремы 2.8 следует известная оценка с„|<(Я(Р)-1(Р))2п-2, эквивалентная классическому свойству полинома Чебышева Тп(г) = гп + . наименее отклоняться от нуля на отрезке [—1,1] среди полиномов вида Р(г) = гп +. [64]. Таким образом, полученную оценку можно рассматривать как уточнение этого свойства с участием следующего коэффициента полинома Р(г).

Задачи об экстремальном разбиении занимают существенную часть геометрической теории функций комплексного переменного [12, 27]. Заменяя в этих задачах известные приведенные модули на обобщенные [17], приходим к новым постановкам. В параграфе 2.6 с помощью принципа композиции для приведенного модуля М(В, Г, Z, А, Ф) и диссимметризации установлены следующие результаты

Теорема 2.9.Пусть функции т = fk{z), к = 1,., п мероморфно и однолистно отображают круг и на попарно неналегающие области, причем /¿(О) ф оо, к = 1 Тогда для любых вещественных чисел вь, к = 1,., п справедливо неравенство у Ке 1 < Ке V (2 6 27)

Ьх |/и°)12 то)?. / - Ь (лад - жог (2-6-27)

Теорема 2.10.Для любых мероморфных и однолистных в круге и функций и) = отобраоюающих этот круг на попарно неполегающие области таким образом, что \/к(0)\ = 1, к = 1,.,п, справедливо точное неравенство

Равенство в (2.6.29) достигается для функций /¿(г) = ехр(27гг(& — 1)/п)[(1 + *)/(1 — г)]2/", где под корнем понимается ветвь, сохраняющая единицу, к = 1,. ,п.

Выписанные утверждения можно получить, по-видимому, методом Нехари [82], поскольку данный метод и наш подход опираются на принцип Дирихле. Вместе с тем, представляет интерес емкостная интерпретация результатов и привлечение в дальнейшем симметризационных преобразований конденсаторов [12].

В параграфе 2.6 получены также некоторые приложения приведенного модуля М(В,Г, Д,Ф) к задачам о неналегающих областях (теоремы 2.11 и 2.12).

В седьмом параграфе второй главы доказываются теоремы покрытия. Пусть В* - произвольная экстремальная область типа К с граничной компонентой \г\ = 1. Это означает, что точка г = О Е В*; всякая граничная компонента области В*, отличная от |,г| = 1, есть дуга окружности (или точка), концентрической с \г\ = 1; и для достаточно малых г > 0 модуль семейства кривых, лежащих в В*\{г : \г\ < г}, разделяющих окружности \г\ = г и |,г| = 1, равен модулю кольца г < \г\ < 1.

Пусть в (В*) - класс функций и) = ¡(г), конформно и однолистно отображающих область В* С С2 на некоторую область В С Сш так, что /(0) = 0, /'(0) = 1 и окружность \г\ = 1 переходит во внешнюю граничную компоненту Г области В. Обозначим через ЛД0), / £ Б (В*) расстояние от начала координат до ближайшей точки Г, лежащей на луче а^го = 9, 0 < < оо; здесь 9 - произвольное действительное число. Если при данном 9 указанной точки не существует, то полагаем Л/(0) = +оо.

Теорема 2.13.Для любой функции ш = /(г) класса 5(В*) и любого действительного числа 9 справедливо неравенство пЧ^М (2-7-зз) к-1

Равенство в (2.7.33) имеет место для функции т = г[1 + (егвг)п]~2/п.

При п = 1 неравенство (2.7.33) обобщает известную теорему Кебе-Бибербаха на случай функций, заданных в многосвязных областях. В 1956 г. Ю.Е. Аленицын установил, что для многосвязных областей справедливо неравенство [1, теорема 1] л Л ^ 1 шах Аг [ 9 -|--> —р.

1 <к<п 3 \ п ) ~~ Щ

Для односвязных областей утверждение, аналогичное (2.7.33), получено В.Н. Дубининым в работе [12, теорема 2.19].

Заключительная теорема 2.14 параграфа 2.7 содержит оценку Л/(0) снизу для функций, заданных в круге с одним концентрическим круговым разрезом, если известно, что другая компонента дополнения образа круга (не внешняя) содержит некоторый круг |ги + аегЬ | < К При фиксированных р, 0 < р < 1 и ср, 0 < ср < тг обозначим через <р) круг \г\ < 1 с разрезом 7 := {г = ре—ср < ф < Рассмотрим функцию /о(,г;а, Я, 6) конформно и однолистно отображающую область Сг(р, <р) на область {ъи : |гу + а| > Щ с разрезом {ю : Ь < Иеи; < +оо, 1т ги = 0}, а>0, Я> 0, Ь> 0 так, что /о(0; а, Я, Ъ) = 0. Эту функцию можно представить в виде суперпозиции следующих функций в\ (и — а) 01 (и + а)' ю = Нк &п(К{1 - 2и) + %К', к) - а, где в\(и, т) - тета-функция с параметром т = 1К'/(2К), эп(и, к) - функция Якоби, к = II/(Ь + а), К и К' - связанные эллиптические интегралы, а = (гК' - Н)/(2К) + 1/2, 8п(Л, к) = у/а^к)-1, КеН = К, К'/2 < 1т /г < К'.

Теорема 2.14.Пусть функция ги = /(г) конформно и однолистно отобраэюает область С(р,(р) на некоторую двусвязную область, одна компонента дополнения которой содержит круг вида \т + аей\ < Я при некоторых а, £ и В,, а другая бесконечно удаленную точку, /(0) = 0 и ¡/'(О)! > |/о(0)а> -К, Ь)|- Тогда справедливо неравенство

Л/(0) > Ь.

Равенство достигается для функции /о(г;а, Л, Ь).

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Введено понятие обобщенного приведенного модуля, содержащее как его внутренние так и граничные разновидности. Установлены свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и принципы композиции.

2. Обобщено понятие приведенного модуля И.П. Митюка и изучены некоторые его свойства.

3. Доказаны новые теоремы искажения для функций, ограниченных и однолистных в единичном круге. В частности, обобщено неравенство Поммеренке о поведении логарифмической емкости граничного множества при конформном отображении. Получены новые двуточечные теоремы искажения для производных Шварца ограниченных и однолистных функций.

4. Установлены новые неравенства для коэффициентов однолистных функций, ограниченных в единичном круге, а также для коэффициентов алгебраических полиномов.

5. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении комплексной сферы и теоремы покрытия.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [17],[20],[48]-[58].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах - семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005), на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002, 2004), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на научном семинаре ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на семинарах кафедры математики ДВГСГА (руководитель профессор Б.Е. Фишман), на областных смотрах-конкурсах научных работ молодых ученых и аспирантов высших учебных заведений и учреждений науки Еврейской автономной области (2004, 2005).

1. Аленицын, Ю.Е. Об однолистных функциях в многосвязных областях / Ю.Е. Аленицын // Матем. сб. -1956. -Т. 39(81), № 3. - С. 315-336.

2. Аленицын, Ю.Е. О функциях без общих значений и внешней границе области значений функций / Ю.Е. Аленицын // Матем. сб. -1958. -Т. 46(88), № 4. -С. 373-388.

3. Аленицын, Ю.Е. Об однолистных функциях без общих значений в многосвязной области / Ю.Е. Аленицын // Тр. Мат. ин-та АН СССР. -1968. -Т. 94. -С. 4-18.

4. Асеев, В.В. Непрерывность конформной емкости для конденсаторов с равномерно совершенными пластинами / В.В.Асеев // Сибирский математический журнал. -1999. -Т. 39, № 2. -С. 243-253.

5. Асеев, В.В. Деформация пластин малых конденсаторов и проблема П.П.Белинского / В.В. Асеев // Сибирский математический журнал. -2001. -Т. 42, № 6. -С. 1215-1230; поправка к статье // Сибирский математический журнал. -2003. -Т. 44, № 1. -С. 232-235.

6. Асеев, В.В. Трансфинитные диаметры и модули конденсаторов в полуметрических пространствах / В.В. Асеев, O.A. Лазарева // Дальневосточный математический журнал. -2004. -Т. 5, № 1. -С. 12-21.

7. Виттих, Г.В. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям / Г.В. Виттих. -М.: Физматгиз, 1960. 320 с.

8. Волковыский, Л.И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного / Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. -М.: Физматлит, 2002. 312 с.

9. Голузин, Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. -М.: Наука, 1966. 630 с.

10. Дженкинс, Дж. Однолистные функции и конформные отображения / Дж. Дженкинс. -М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 268 с.

11. Дитмар, Б. Искажение гиперболической емкости Робина при конформном отображении и экстремальные конфигурации / Б. Дитмар, А.Ю. Солынин // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2000. -Т. 263. -С. 49-69.

12. Дубинин, В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного / В.Н. Дубинин // Успехи матем. наук. -1994. -Т. 49, № 1. -С. 3-76.

13. Дубинин, В.Н. Приведенные модули открытых множеств в теории аналитических функций / В.Н. Дубинин // Докл. РАН. -1998. -Т. 363, № 6. -С. 731-734.

14. Дубинин, В.Н. Приведенный модуль комплексной сферы / В.Н. Дубинин, Л.В. Ковалев // Зап. научн. семин. ПОМИ. -1998. -Т. 254. -С. 76-94.

15. Дубинин, В.Н. Экстремальные задачи теории функций, связанные с п-кратной симметрией / В.Н. Дубинин, Е.В. Костюченко // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2001. -Т. 276. -С. 83-111.

16. Дубинин, В.Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов / В.Н. Дубинин // Алгебра и анализ. -2001. -Т. 13. Вып. 5. -С. 16-43.

17. Дубинин, В.Н. Обобщенный приведенный модуль / В.Н. Дубинин, Н.В. Эйрих // Дальневосточный математический журнал. -2002. -Т. 3, № 2. -С. 150-164.

18. Дубинин, В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций / В.Н. Дубинин. -Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 2003. -116 с.

19. Дубинин, В.Н. Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов II / В.Н. Дубинин // Зап.научн.семин. ПОМИ. -2003. -Т. 302. -С. 18-37.

20. Дубинин, В.Н. Некоторые применения обобщенных конденсаторов в теории аналитических функций / В.Н. Дубинин, Н.В. Эйрих // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 52-75.

21. Емельянов, Е.Г. К задачам об экстремальном разбиении / Е.Г. Емельянов // Зап. науч. семии. ЛОМИ. -1986. -Т. 154. -С. 76-89.

22. Емельянов, Е.Г. О связи двух задач об экстремальном разбиении / Е.Г. Емельянов // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1987. -Т. 160. -С. 91-98.

23. Емельянов, Е.Г. Теоремы об экстремальном разбиении в семействах систем областей различных типов / Е.Г. Емельянов, Г.В. Кузьмина // Зап. научн. семин. ПОМИ. -1997. -Т. 237. -С. 74-104.

24. Кузьмина, Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы / Г.В. Кузьмина // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. Ленинград. -1980. -Т. 139. 240 с.

25. Кузьмина, Г.В. Об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с полосообразными областями в структуре траекторий / Г.В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1986. -Т. 154. -С. 110-129.

26. Кузьмина, Г.В. К вопросу об экстремальных свойствах квадратичных дифференциалов с концевыми областями в структуре траекторий / Г.В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ЛОМИ. -1988. -Т. 168. -С. 98-113.

27. Кузьмина, Г.В. Методы геометрической теории функций I, II / Г.В. Кузьмина // Алгебра и анализ. -1997. -Т. 9, № 3. -С. 41-103; № 5. -С. 1-50.

28. Кузьмина, Г.В. К задачам об экстремальном разбиении в семействах систем областей общего вида / Г.В. Кузьмина // Зап. науч. семин. ПОМИ. -2000. -Т. 263. -С. 157-186.

29. Курант, Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности / Р. Курант. -М.: Изд-во иностранной лит-ры, 1953. -310 с.

30. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. -СПб.: Лань, 2002. 688 с.

31. Мазья, В.Г. Пространства С.Л.Соболева / В.Г. Мазья. -Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1985. 415 с.

32. Миклюков, В.М. О некоторых граничных задачах теории конформных отображений / В.М. Миклюков // Сиб. матем. журн. -1977. -Т. 18, N2 5. -С. 1111-1124.

33. Миклюков, В.М. Конформное отображение нерегулярной поверхности и его применения / В.М. Миклюков. -Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2005. 273 с.

34. Митидиери, Э. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных / Э. Митидиери, С.И. Похожаев. -М.: МАИК "Наука/Интерпериодика", 2001. -383 с.

35. Митюк, И.П. Про однолист1 конформш вщображення многосвъязних областей / И.П. Митюк // ДАН УРСР. -1961. -№. -С. 158-160.

36. Митюк, И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения / И.П. Митюк // Изв. вузов. Математика. -1964. 2. -С. 110-119.

37. Олесов, A.B. Неравенства для мажорантных аналитических функций / A.B. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 155-173.

38. Олесов, A.B. Неравенства для целых функций конечной степени и полиномов / A.B. Олесов // Зап. научн. семин. ПОМИ. -2004. -Т. 314. -С. 174-195.

39. Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сегё. -М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

40. Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. -М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. литературы, 1981. 800 с.

41. Решетняк, Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением / Ю.Г. Решетняк. -Новосибирск: Наука, 1982. 288 с.

42. Солынин, А.Ю. Решение одной изопериметрической задачи Полиа-Сеге / А.Ю. Солынин // Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1988. -Т. 1G8. -С. 140-153.

43. Солынин, А.Ю. Модули и экстремально-метрические проблемы / А.Ю. Солынин // Алгебра и анализ. -1999. -Т. 11. -Вып. 1. -С. 3-86.

44. Сычев, A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения / A.B. Сычев. -Новосибирск: Наука, 1983. 161 с.

45. Хейман, В.К. Многолистные функции / В.К. Хейман. -М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 179 с.

46. Шлык, В.А. Емкость конденсатора и модуль семейства разделяющих поверхностей / В.А. Шлык // Зап. научн. сем. ЛОМИ. -1990. -Т.185. -С. 168-182.

47. Шубин, М. Емкости и их приложения / М. Шубин // Доклады международной школы-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика РАН Ю.Г. Решетняка. -Новосибирск. -С. 32-46.

48. Эйрих, Н.В. Приведенные модули п угольников / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинараим. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2000. -С. 116-117.

49. Эйрих, Н.В. Принцип композиции для обобщенных приведенных модулей / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ математической школы-семининара им. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2002. -С. 14-15.

50. Эйрих, Н.В. О вычислении приведенных модулей п угольников / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ конф. студентов и аспирантов по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2002. -С. 3839.

51. Эйрих, Н.В. О приведенном модуле И.П. Митюка / Н.В. Эйрих // Дальневосточный математический журнал. -2003. -Т. 4, № 2. -С. 167— 181.

52. Эйрих, Н.В. Теорема покрытия для однолистных функций в круге с концентрическим круговым разрезом / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ математической школы-семинара им. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2003. -С. 21-22.

53. Эйрих, Н.В. К вопросу о приведенных модулях в теории аналитических функций / Н.В. Эйрих // Сборник докладов Международной научно-практической конференции. 4.1. -Биробиджан, Изд-во БГПИ. -2004. -С. 37-43.

54. Эйрих, Н.В. К теоремам искажения для регулярных ограниченных и однолистных в круге функций / Н.В. Эйрих // Тезисы докладовДВ математической школы-семинара им. академика Е.В. Золотова. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 23-24.

55. Эйрих, Н.В. О коэффициентах однолистных ограниченных функций и алгебраических полиномов / Н.В. Эйрих // Тезисы докладов ДВ конф. студентов и аспирантов по матем. моделированию. -Владивосток, ИПМ ДВО РАН. -2004. -С. 6-8.

56. Эйрих, Н.В. Двуточечные теоремы искажения для ограниченных однолистных в круге функций / Н.В. Эйрих. -Владивосток: ИПМ ДВО РАН, препринт № 01, 2005. 13 с.

57. Эйрих, Н.В. Двуточечная теорема искажения для ограниченных однолистных функций / Н.В. Эйрих // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней матем. школы. -Воронеж. -2005. -С. 256-257.

58. Эйрих, Н.В. Оценки коэффициентов алгебраических полиномов / Н.В. Эйрих // Комплексный анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. -Краснодар: Кубанский госуд. университет. -2005. -С. 113-114.

59. Ahlfors, L.V. Conformal invariants and function-theoretic null-sets / L.V. Ahlfors, A. Beurling // Acta Math. -1950. -V. 83, № 1/2. -P. 101-129.

60. Ahlfors, L.V. Conformal invariants / L.V. Ahlfors. Topics in geometric function theory. -New York: McGraw-Hill, 1973. 157 p.

61. Baernstein II, A. A counterexample concerning integrability of derivatives of conformal mappings / A. Baernstein II // J. Anal. Math. -1989. -V. 53. -P. 253-268.

62. Barnard, R. Local variations and minimal area problems / R. Barnard, A. Solynin // Indiana J. of Math. -2004. -V. 53. -P. 135-167.

63. Betsakos, D. Polarization, conformal invariants and Brownian motion / D. Betsakos // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I Math. -1998. -V. 23. -P. 59-82.

64. Borwein, P. Polynomials and polynomial inequalities / P. Borwein, T. Erdelyi // Grad. Texts in Maht. -V. 161. -New York: Springer-Verlag, 1995. 480 p.

65. Carleson, L. Some results connected with Brennan's conjecture / L. Carleson, N.G. Makarov // Ark. Mat. -1994. -V. 32, № 1. -P. 33-62.

66. Clunie, J. Univalent harmonic mappings / J. Clunie, T. Sheil-Small // Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. AI Math. -1984. -V. 9. -P. 3-25.

67. Dubinin V.N. Capacities and geometric transformation of subsets in n-space / V.N. Dubinin // Geometric and Functional Analysis. -1993. -V. 3, № 4. -P. 342-369.

68. Düren, P. Robin functions and energy functionals of multiplay connected domains / P. Düren, M.M. Schiffer // Pacific J. Math. -1991. -V. 148. -P. 251-273.

69. Duren, P. Robin functions and distortion of capacity under conformai mapping / P. Duren, M.M. Schiffer // Complex Variables. -1993. -V. 21. -P. 189-196.

70. Duren, P. Robin capacity and extremal length / P. Duren, J. Pfaltzgraff // J. Math. Analysis Appl. -1993. -V. 179, № 1. -P. 110-119.

71. Duren, P. Physical interpretation and further properties of Robin capacity / P. Duren, J. Pfaltzgraff, E. Thurman // Алгебра и анализ. -1997. -T. 9. Вып. 3. -С. 211-219.

72. Duren, P. Robin capacity / P. Duren // Computational methods and function theory (CMFT'97) N. Papamichael, St.Ruscheweyh and E.B.Saff (Eds.) World scientific Publishing Co. -1999. -P. 177-190.

73. Gaier, D. On the computation of modules of long quadrilaterals / D. Gaier, W. Hayman // Constr. Approx. -1991. -V. 7. -P. 453-467.

74. Hersch, J. On the reflection principle and some elementary ratios of conformai radii / J. Hersch // J. Anal. Math. -1984/85. -V. 44. -P. 251-268.

75. Jenkins, J.A. On weighted distortion in conformai mapping II / J.A. Jenkins // Bull. London Math. Soc. -1998. -V. 30. -P. 151-158.

76. Jenkins, J.A. On two point distortion theorems for bounded univalent regular functions / J.A. Jenkins // Kodai Math. J. -2001. -V. 24, № 3. -P. 329-338.

77. Kim, S. Two-point distortion theorems for univalent functions / S. Kim, D. Minda // Pacific J. Math. -1994. -V. 163, № 1. -P. 137-157.

78. Kovalev, L.V. Quasiregular mappings of maximal local modulus of continuity / L.V. Kovalev 11 Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. -2004. -V. 29. -P. 211-222.

79. Lehto, O. Univalent functions and Teichmüller spaces / 0. Lehto. -Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1987. 257 p.

80. Mejia, D. Sobre la derivada Schawarziana de aplicaciones conformes hiperbólicamente / D. Mejia, Ch. Pommerenke // Revista Colombiana de Matemáticas. -2001. -V. 35, № 2. -P. 51-60.

81. Nasyrov, S. Robin capacity and lift of infinitely thin airfoils / S. Nasyrov // Complex Variables. -2002. -V. 47, № 2. -P. 93-107.

82. Nehari, Z. Some inequalities in the theory of functions / Z. Nehari // Trans. Amer. Math. Soc. -1953. -V. 75, № 2. -P. 256-286.

83. O'Neill, M.D. Extremal domains for Robin capacity / M.D. O'Neill, R.E. Thurman // Complex Variables. -2000. -V. 41. -P. 91-109.

84. Pfluger, A. Extremallängen und Kapazität / A. Pfluger // Comment. Math. Helv. -1955. -V. 29. -P. 120-131.

85. Pommerenke, Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps / Ch. Pommerenke. -New York: Springer-Verlag, 1992. 300 p.

86. Pommerenke, Ch. Angular derivatives of bounded univalent functions and extremal partitions of the unit disk / Ch. Pommerenke, A. Vasil'ev // Pacific J. Math. -2002. -V. 206, № 2. -P. 425-450.

87. Roth, O. A distortion theorem for bounded univalent functions / O. Roth // Ann. Acad. Sei. Fenn. Math. -2002. -V. 27. -P. 257-272.

88. Schippers, E. Distortion theorems for higher-order Schwarzian derivatives of univalent functions / E. Schippers // Proc. Amer. Math. Soc. -2000. -V. 128, № 11. -P. 3241-3249.

89. Schippers, E. Conformal invariants and higher-order Schwarz lemmas / E. Schippers // J. Anal. Math. -2003. -V. 90. -P. 217-241.

90. Stiemer, M. Representation formula for the Robin function / M. Stiemer // Complex Variables. -2003. -V. 48, № 5. -P. 417-427.

91. Vasil'ev, A.Yu. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mapping: Lecture Notes in Math. 1788 / A.Yu. Vasil'ev. -Berlin: Springer, 2002. 211 p.

92. Vasil'ev, A.Yu. Robin's modulus in a Hele-Shaw problem / A.Yu. Vasil'ev // Complex Variables. -2004. -V. 49, № 7-9. -P. 663-672.

93. Vuorinen, M. Conformal geometry and quasiregular mappings / M. Vuorinen // Lect. Notes. Math. -1988. -V. 1319. -P. 1-207.

94. Wittich, H. Zur Konformen Abbildung schlichter Gebiete / H. Wittich // Math. Nachr. -1958. -V. 16. -P. 226-234.