Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

61-^3-11332 -2

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АШУРБЕКОВ КАЗИМ ДЖАФАРОВИЧ

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 01.01.02 - "дифференциальные уравнения "

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: Вагабов А.И. - доктор физико-^^ математических наук, профессор

Махачкала -

1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................3

Глава I. СВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА К СИСТЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ........13

§ 1. Постановка задачи и вспомогательные построения.....................13

§ 2. Решение соответствующей спектральной задачи.........................16

§ 3. Асимптотика Формула интегрального представления произвольной вектор-функции..........................................22

§ 4. Сведение задачи (1.1)-(1.3) к системе интегро-

дифференциальных уравнений............................................................27

§5. Система интегральных уравнений....................................................32

Глава II. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.................................35

§ 1. Получение подходящего представления матрицы Грина.........35

§ 2. Приведение системы (1.39) к стандартному виду..........................41

§ 3. Существование и единственность решения

системы (2.13)-(2.15)...................................................................................51

§ 4. Существование и единственность решения исходной

задачи (1.1)-(1.3).......................................................................................58

§5. Задача колебания конечной струны.....................................62

ЛИТЕРАТУРА......................................................................68

ВВЕДЕНИЕ

Как хорошо известно, метод Фурье является удобным и наиболее распространенным и мощным инструментом исследования смешанных задач математической физики.

Впервые строгое обоснование метод Фурье получил в работах В.А.Стеклова [28]. Для многомерной смешанной задачи

дг

где £ - положительный, самосопряженный оператор, порожденный дифференциальным выражением

м д ( диЛ

дх.

к,¡=1 илг у к У

и краевым условием Дирихле или Неймана, метод Фурье обоснован О.А.Ладыженской [22-24]. Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для линейных смешанных задач гиперболического типа в случае разделения переменных получены В.А.Ильиным [16].

Многие важные классы смешанных задач для дифференциальных уравнений с частными производными можно трактовать как задачу Коши для дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых или гильбертовых пространствах [12]. Операторные уравнения второго порядка по t довольно общего вида изучались О.А.Ладыженской, М.И.Вишиком [11], Т.Като, М.А.Красносельским, С.Г.Крейном, Ю.Л.Далецким, П.Е.Соболевским и др.; подробную библиографию см. в [21].

Для случая несамосопряженного оператора обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функции в ряды по главным функциям дифференциальных операторов и

пучков. Этими вопросами занимались М.В.Келдыш, В.А.Ильин, В.Б.Лидский, А.Г.Костюченко, А.П.Хромов, Ш.А.Алимов, А.А.Шкаликов, А.И.Вагабов, М.Г.Гасымов и др.

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются неизвестные коэффициенты разложения.

Впервые метод Фурье к уравнению с неразделяющимися переменными применил С.Н. Бернштейн [7], рассмотревший смешанную задачу для одного нелинейного уравнения гиперболического типа.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах З.И.Халилова [31, 32], К.М.Мамедова [26], Ю.Ф.Коробейника [18-20], А.В.Дедушева [15], рассматривавших линейные уравнения с неразделяющимися переменными.

С другой стороны, появилась большая серия работ [13-14], [25], [29], в которых этот же метод распространяли на решение

ТЧ V/

квазилинеиных смешанных задач. В этой связи отметим другую серию интересных работ [1], [34-36] и др., относящихся к широким классам нелинейных смешанных задач и опирающихся на методы априорных оценок.

Существенное развитие обобщенный метод Фурье получил в работе А.И.Вагабова [9], относящейся к случаю нелинейного гиперболического и параболического уравнений. В ней, с одной стороны, старшая линейная часть задачи не допускает разделения переменных. С другой — решение задачи сводится не к бесконечной системе дифференциальных уравнений, как это было при традиционном методе, а к простой системе из двух или трех интегральных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена развитию метода работы [9] - ее приложению к проблеме исследования смешанной задачи для нелинейной гиперболической системы 2-го порядка.

Приведем обзор содержания работы. Весь текст диссертации связан решением следующей смешанной задачи для гиперболической системы:

д2и А д2и А д2и

—= -+ А2—г +

д12 дгдх дх2

О <х< 1, 0<(<Т< оо, 0 =

' дt ' дх

(1)

V

и(0,х) = к0(х),

ди

дг

/27(Х),

(2) (3)

1=0

где и,к0,к1г/-пх1, а А1, А2 -пхп-матрицы. Предполагается, что а) для ф - корней уравнения

с1е^А2(р2 +А]Ц)-Е)=0

выполнены неравенства

Ф; <-<Ф„ <0<<рп+1 <...<<р2и;

а*к

(4)

(5)

б) /2г(х)еСЙ,

(Ьс*

= 0, 8 = 0,2-1, 1 = 0,1;

0,1

в) /(¿,х,и) - непрерывно дифференцируема в области В: 0 <1 <Т,

0<х<1.

и-Ф

< ¡2 = сошХ, где Ф =

Ф

ЭФ ЭФ д1 дх

Ф(/,л;) - решение

линейной задачи (1)-(3) при / = 0, (| ■ | - равномерная норма).

7 / N ( 0 Е )

где М АМ = А= , _ .-1 . •

\А2 2 А1 )

После постановки проблемы в §1 гл. 1 в §2 составлена краевая задача с комплексным параметром X:

А2у"(х)+ ЩУ(х)- Х2у(х) = ХН0(х)-А}к'0 (х), (6)

у(0) = у(1) = 0. (7)

Построена матрица Грина 0(х, X) задачи (6), (7) и дано представление решения задачи:

у(хл Я) = {Як0 ({) - АХК ) + \ .

о

В теореме 3 найдена экспоненциальная асимптотика элементов матрицы Грина, с помощью которой в теореме 4 из §3 получена формула интегрального представления для любой непрерывно дифференцируемой п -вектор-функции к°(х): 1 1

---== §хах^{х&Х^Ь0^^ = М> н»0. (8)

271л/- 1 Кех=±н о

Заменяя в формуле (8) интеграл по прямым ЯеХ = ±Н пределом интегралов по границам определенных прямоугольников с боковыми сторонами, лежащими на этих прямых, легко прийти к разложению

к°{х) в ряд Фурье по главным вектор-функциям однородной задачи (6)-

(7).

В §4 с помощью формулы (8) доказана теорема 5, утверждающая, что любое решение задачи (1)-(3) служит решением системы интегро-дифференциальных уравнений.

1

и{г, х) = Ф(*, х)--; \сГХ \в{х, Х)А-2! а£ х

ЯеХ=±Н О

о

где

ф{их)=\г»ахл)А-1 (Л;10(<*)-^+К(Фе

Яе Я=±Н О

-решение задачи (1.1)-(1.3) при / = 0.

В теореме 6 обосновывается, что и всякое решение системы (9) является решением задачи (1)-(3). Таким образом, решение задачи (1)-(3) и системы (9) равносильны.

В последнем параграфе гл. 1 установлена теорема 7, сводящая решение системы (9) к равносильному вопросу решения системы Зп интегральных уравнений:

Вторая глава диссертации посвящена исследованию системы интегральных уравнений (10) и установлению основных результатов этого исследования. Отметим, что сложность указанного исследования кроется в нестандартном виде интегральных уравнений (10) в

(10)

где

присутствии "посторонней операции" интегрирования по прямой Яе X = Н. Наши усилия направлены прежде всего к упрощению системы (10).

В первом параграфе, в теореме 2 для элементов матрицы Грина при КеХ>Н получено представление вида:

I I

1=0 г1+...+гр_!=1 П.....гр-1^0

2п п , ч

к=п+1}=1

+

п 2п

к=1]=п+1

-Я,(г(ф)+ф

+^ъ{хук\ (11)

где

1МАМЛ,п+те

, 0<^<Х,

к=1

к=п+1

'2п^

Р

V п У

константы,

(12)

г(ф) = г;(ф„+7 -фи)+... + />_/(ф«+/ +- + Ъп -Ф/ ---фи). а в последней сумме в (11) указаны слагаемые, для которых Ь(Х)->1 при ЯеХ—>+оо, Я>Т. Точки в продолжении сумм внутри скобок указывают конечное число слагаемых предыдущего вида с экспонентами, убывающими сильнее их.

В §2, опираясь на формулы (11), путем вычисления интегралов по X система интегральных уравнений приводится к каноническому виду и доказана.

Теорема 3. Система интегральных уравнений (10) в классе непрерывно дифференцируемых решений эквивалентна канонической системе интегральных уравнений вида:

о ],т-1 к=1

ф к

+

I

I

п I

2п п

" _ " / \

ЕЕ Е Е ИьУ'к>8>т'г1'-'гр-1Рщх

т,]=11-0 г1+...-1ггр_1=1 к=п+1 .?=/

X —--- + ...

У

О ],т=1 к-1 фк

а с11 +

Ш]

+

I 1

п '0 ¿.п ,, , .

Е Е Е Е Иъ\^к'8<т'г1'-'гр-1Рщх

2п п

],т=11=0 г!+...+Гр_1=1 к=п+1 .5=7 V П.....

X

\

<р*

(¡Т,

У

Ж;

* п ( 1 / \

0 ]№=1 к=1

+

+

I /

П 1р __¿п п / ч

ЕЕ Е Е Т*ьч>к>з>т>г1>-''>гр-1)х

2п п

],т=11-0 г;+...+Гр_у=/ к=п+1я=1

Ф£ Ф,

\

ск,

(13)

где

- переменные, линейно зависящие от хк,хь е [0,7]. В теореме 4 при условиях а)-г) устанавливается существование и единственность непрерывно дифференцируемого решения системы интегральных уравнений (10) при t <t0, t0 - достаточно малом.

В теореме 5 §4 и в замечании к ней доказана теорема существования и единственности решения и^,х) исходной задачи (1)-

(3).

В теореме 6 дана формула разложения решения 1/(1, х) в ряд Фурье по главным вектор-функциям однородной задачи (6)-(7):

_^ оо 1

и{$,х):

2%ы~1 к=-сос о

X ¡в(х, ^ Я)А'1 {(Хк0 Й) - А& Й)+(Фхс

+

+

(14)

где ск - замкнутый контур, содержащий внутри единственный полюс Хк функции С?. Оценивается возмущение слагаемых ряда.

В завершении параграфа 5 выполнены исчерпывающие вычисления в интегральном представлении решения в случае простой задачи колебания струны:

д2и д II

= 0, 0 <х< 1, 0<Г<Т

дг2 дх2 и(0,х) = Фо(х), £/;(0,х) = Ф';(х),

(15)

(16) (17)

Жс'

= 0, 1 = 0,1; 8 = 0,2.

0,1

Получено элементарное выражение для решения задачи (15)-(17)

вида:

+

* * к=0 + ф0 (2к + 2 + х - г) - ф0 (.2 к + 2 - х - /) + ф0 (/ + х - 2к - 2)} +

- ф7(2£ + 2 + х + фу(2А; + 2 - х - + ф7(/ + х - 2к - 2\

(18)

причем полагается, что фг (Д) = 0 при [0,7].

В каждой из сумм в (18) относящихся к ф0 и к ф; при данных х, t лишь два слагаемых (соседних) отличны от нуля.

В заключение укажем на основные результаты работы:

1. Смешанная задача для гиперболической системы второго порядка на плоскости сведена к предельно простой системе интегральных уравнений типа Вольтерра.

2. Доказана теорема существования и единственности, и указана конструкция решения исследуемой задачи.

3. Дано представление решения в виде обобщенного ряда Фурье по главным вектор-функциям соответствующей спектральной задачи.

Основные результаты диссертации изложены в работах [2-6].

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на ГУ-Северо-Кавказской региональной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" ( г. Махачкале, 23-25ЯХ, 1997 г.), на Региональной конференции "Физическая электроника" (Махачкала, 1999 г.), на городском семинаре по математике (г. Махачкала, 1999 г.), на научных семинарах математических кафедр Дагестанского государственного университета.

Глава I. СВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА К СИСТЕМЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

£ 1. Постановка задачи и вспомогательные построения

Рассматривается смешанная задача для гиперболической системы второго порядка:

д2и

= 4/

д2и

+ А-

д2и

д^ 1 дгдх ' дх V

О <х<1, 0<4<Т< оо,

£/(/,0) = С/(*,1) = 0

ди

f

дУ ди_

& ' дх

\

(1.1)

и1=о =ко(х)>

аг

= к1{х\

(1.2) (1.3)

/=о

где

, х) Ид (х), И1 (х), / 1,х,и,-,-

V т ах)

- п-мерные столбцы-функции; А1,А2 -пхп постоянные матрицы, причем существует А2]. Предполагается, что:

а) корни ф;,ф2,...,ф2и - характеристического уравнения с1е^А2ц2 +А1ц>-Е)=0 (1.4)

вещественны, различны и отличны от нуля и таковы, что

ФУ <...<фи <0<уп+] <...<Ф2п;

а* к

(1.5)

= 0, 8 = 0,2-1, 1 = 0,1;

0,7

в) /(¿,х,и) - непрерывно дифференцируема в области О.ОсКТ,

V-

дФ

дt

ЦТ.

эф

дх

*б, (1-6)

где Ф(^л;) - решение линейной задачи (1.1)-(1.3), при (9,

и = (и,У,Ж), У =-, IV =- (имеется в виду равномерная норма

д( дх

М)-

Решение и{1;,х) задачи (1.1)-(1.3) нами понимается в обычном классическом смысле.

Теорема 1. Для решения и^,х) задачи (1.1)-(1.3) справедливы следующие соотношения:

а) £/(/,х) = к0{х)еХ( - ¡ех{1~х)(Хи - ,

п V дт)

(1.7)

+ \ех^ о

( дУ дЦ т, х, и, ,

\ от дх у

с/т +

{ д2и , д2и п диЛ

А-,

+ А,

-X-

к 2 дх2 1 дхдх дт J

(к

(1.8)

Доказательство. Пусть и($,х) - решение задачи (1.1)-(1.3). Исходя из тождества

¿(ие~Хт)= -Хие~хАс1%,

и интегрируя обе его части от 0 до получим:

-Хие

-Ят

и{ъх)е-* -и(0,х)=-\е~Ят{ли

\

е/т

ди

дт

л

с1т

о V

откуда, с учетом условий задачи (1.1)-(1.3), имеем

и(^х)= к0(х)ем - |е

о

(

ли-

дЦ дт

с1т

что и является соотношением (1.7). Аналогично, из тождества

а

ди _Лт}

( Ъ 2

дт

V

дт2

дт

с1т

имеем г

Я

о

'дУ дт

дУ Ы

-м

-Хх

ди

ид2и я ди

I

дт'

X-

дт

¿/т.

дг

(( = 1

?=о о

V

" д2и А д2и

А„—- + >4,

2 ах2 1

дхдт

+/

т, х, II,

ди ди

V

дт дх

\

у

г -

или

дЦ Ы

дт

ди ди\

¿/т

о

г . д2и . д2и . диЛ

Л,—- + А,--X

2 дх2

дхдт дт

дт дх с!т.

с1т +

д2и

Здесь ~Т заменили на дт

о

г

О

, д2и , д2и х

А2 —^ + А1-+ /

дх дхдх

г

т, х,и,

ди ди

а

ди

ы

Эх ' дх , - на к](х) из задачи (1.1)-(1.3).

1=0

Итак, установлены оба соотношения (1.7), (1.8).

$ 2. Решение соответствующей спектральной задачи

Задаче (1.1)-(1.3) ставится в соответствие спектральная задача А2у"(х) + Ы;У'(х) - X2у(х) = ХИ0 (х) - А1% (х) + И, (х), (1.9)

у(0) = у(1) = 0.

Заменой у'(х) = Ху](х) задача (1.9), (1.10) сводится к задаче с1У

-ХАГ = Г(х,Ь,Х),

сЬс

¥{0) = ¥{1)=0,

где 7 =

'Л

У1) о

2п -мерный вектор-столбец,

Е

уА2 - А2 А1 у

/

^ = (х, Н, X) =

О

¿7К ,

V А

X

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Предложение 1. Характеристические корни матрицы А совпадают с корнями уравнения (1.4).

Доказательство следует из равенства:

- фЕ

Е

А~2 ~А21А1~

О

Е

Л2] - ф2 Е - А2! -А2]А1-ц>Е

А,1 - Е - А? Л7ф

=5 +

1-1

А2ср2 + -М

Предложение 2. Матрица МеЮх, где I) = £//^(ф;,...,ф2и), а М-

матрица, трансформирующая Л в является

фундаментальной матрицей решений однородной системы (1.11). Доказательство получим непосредственной проверкой:

¿7

ХА¥ = —(меХГ)х)-ХАМеХОх = сЫ, (Ь:

= ХМЭеХОх - ХАМеХПх = Х{М0М~1 - А)МеХВх = 0. В дальнейшем дополним условия а), б), в) из § 1 условием

1,п

Определение 1. Граничную задачу (1.11), (1.12), удовлетворяющую условиям а), б), в), г), назовем регулярной граничной спектральной задачей.

Займемся построением решения задачи (1.11), (1.12), исходя из фундаментальной матрицы МеХВх. Для этого с помощью метода вариации произвольных постоянных ищем сперва общее решение неоднородной системы (1.11) в виде:

2п

Отсюда

(1.13)

йх

йх

+ ...+

+

^^■МПпеХ(?2"х +С1(х)МпХ +... с1х

+

+ С2п{х)МиМ2пеХ^х.

Подставляя эти выражения в (1.11) и учитывая, что МеЯОх - решение однородной системы, получим:

+ = ^(хЛХ).

СфЛ СгЛ

Напишем эту систему в развернутом виде: с1х <Лх

ах ах

Решая ее по правилу Крамера имеем:

где IV(х, X) - определитель фундаментальной матрицы Мек0х, а ¡¥тк(х,Х) - алгебраическое дополнение в матрице Ж(х,Х) для элемента с индексом (т,к).

Из (1.14), интегрируя сначала от 0 до х, затем от 1 до х (0 <х < 1), имеем:

О т

х 2п

ск(*) = & ЬКХ)с1'^ + с[, где С°к,С[ - константы.

Подставляя их в (1.13), получим соответственно

2п к=1

2 п х 1 п

+Е ¡^Л^м^г^лл^,

т=1 о к~ 1

2п

+

к=1

2п х 2п

+Е ^кЛ^м^^^л^,

т=11 к=1

где

7 (г-гЛ-Ъгк.

Складывая и деля на два полученные выражения, найдем:

2п

ХфкХ

+

к=1

2п 1

+

Е ¡ёш (*> £ л) ■ Рт & К Л)с1%, I = 1,2п,

(1.15)

т=1 о

где

2п

* к=1

(1.16)

2п

■-Ем^^й Д), х < < 7,

^ к=1

Ск =^{ск +с[) - произвольные постоянные. {¿кт }/" - матрица обратная к Ме"*. т.е.

где |м~7 - элементы М'1.

Постоянные С^ в представлении (1.15) найдем, удовлетворения граничным условиям (1.10) (или (1.12)). Имеем

требуя

2п 1

с1м11 +...+с2пм1М = \в1п {0, & к

т=1 о

2п 1 т=1 о

2п 1

С}Мпе^ + ... + С2пМ]2пех<Р2" =■(7^А-К,

т=1о

(1.17)

2и 1

т=1 о

Из системы (1.17) СА

А%) А(Х)

где

ЛМ=

м

11

м

Мп1

М11еХ(?1

1,2п

.. Мп,2п

М рХ(?2п 1,2п

М , еХч>2"

п,2п

а получен из Д(А,) заменой А:-го столбца столбцом

2п 1

т=1о т=1о

2п 1

2п 1 2п 1 V

т=1д т=1о

Тогда (1.15) запишем в виде:

Ь аМ

е т* +

(1.18)

1 2п о т=1

Можно усмотреть, что последнее выражение пред ставимо в виде:

1 2п

О т=1

где

(1.19)

ЛМ ' (1.20)

Mi}ex<PlX ■ .. MUnex^x

МИ ■ М12п

gnmiO&h) Mnl . мп:2п (1.21)

glm{-ASA) МпеХщ • M px<s>2n 1,2п

Мп1ех» ' 1V1 п,2п

Отсюда для решения задачи (1.9), (1.10) имеем у{х, h, X) = )g(x, t Х)А~] (Xh0 fe) - A}h'0 (0+h, (Ф^,

(1.22)

где

G(x, \ ,X)= - {Gin+m (x, X)}lm=],

(1.23)

так как в столбце F(^,h,X) первые п элементов равны нулю.

Определение. Квадратная матрица G(x,'t),X) п-то порядка, определенная формулой (1.23), называется матрицей Грина задачи (1.9), (1.10).

Итак, доказана

Теорема 2. Для решения задачи (1.9), (1.10) справедливо представление (1.22), где А,) - квадратная матрица размера п,

определенная формулами (1.23), (1.21), (1.18), (1.16).

§ 3. Асимптотика Gix^X). Формула интегрального представления

произвольной вектор-функции

Раскрывая правую часть (1.18), получим: А(^) = +... +

Н J = ±нр

м

11

м

In

м

п!

м

1,п+1

м

1,2п

м

п,п+1

м

п,2п

*0,

где р =

(2п

уПу

(1.24)

, а множители при X в показателях расположены в

возрастающем порядке.

Лемма 1.

1) Корни уравнения А(Х)=0 лежат в полосе \ReX\<H, Н»0 и

имеют асимптотическое представление

Х„ =

2%n-\f-l

г

п 2п

I

i=l

Ek-I

i+o

, n = ±i,±2,±3,....

(1.25)

2) В каждом прямоугольнике \ЯеХ\<Н, у1<1тХ<у2 при достаточно больших \у}\, \у2\, у} • у2 >0, число N корней уравнения А (А.) = 0 (считая кратности) заключено в пределах

у 2п 2 2п

+ (1-26)

2% ¡=7 271 ¡=]

3) Если из полосы |7?еА,|</!/ выбросить внутренности кругов радиуса 5, 5 > 0 с центрами в нулях Хк, то в оставшейся части полосы справедливо неравенство

\А{Х]>К8>0. (1.27)

4) В полуплоскости Яе Я > Н справедливо представление

А{х) = [н1У{^'+-+<92"\ [Н1]^Н + О{^\, \Х\»1, (1.28)

\Х)

а в полуплоскости ЯеХ< -Н

Доказательство первых трех утверждений в принципе имеется в [37, с.25-27], четвертое свойство следует из вида Д(Х).

Для дальнейших действий найдем подходящее представление функций С1т{х,Ъ„Х) в правой (аналогичное представление в случае левой полуплоскости мы опускаем) X - полуплоскости.

Прежде, умножим в определителе Аш(х,^,Х) столбцы от второго до 2п -го соответственно на

и сложим с первым, при этом в п