Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

.На правах рукописи

КОЧЕТОВ АЛЕКСЕЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Волгоград 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Миклюков В.М. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Щербаков Е.А. кандидат физико-математических наук Григорьева Е.Г.

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 10 ноября 2006 г. в час. на заседании диссертационного совета К 212.029.05 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, Волгоград, пр-т Университетский, д. 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан ",<?/?., .......г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Е.А. Мазепа

А. Общая характеристика работы

Диссертационная работа выполнена в рамках классического анализа с приложениями к вопросам качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Объектом исследования являются квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на рима-новых многообразиях.

Актуальность темы. Исторические сведения. Не будет большим преувеличением сказать, что с помощью дифференциальных уравнений с частными производными описывается значительное количество явлений, процессов, возникающих как в физике, химии, экономике, так и в медицине, биологии и других отраслях науки. Поэтому качественное поведение решений данных уравнений было и остается предметом постоянного внимания специалистов в области квазилинейных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена изучению решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. Следует отметить, что в этот класс уравнений входит квазилинейное уравнение

£ ¿И1^/[)/х<) - 0, а(1) = (1 - , (1)

содержащее, в свою очередь, классическое уравнение минимальных поверхностей

[

(случай 7 = —1). В случае п = 2 уравнение (1) — есть уравнение для потенциала скорости в газовой динамики (в дальнейшем ПСГД-уравнение).

Проводимые в диссертации исследования берут свое начало в теории минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время по разным направлениям и имеет результаты, ставшие классическими и

...

широко известными благодаря работам Ф: Альмгрена, С.Н. Бернштей-на, Л. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Финна, У. Флеминга, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э, Бобьери, A.A. Бо-рисенко, Э, Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужйлина, А.Т. Фоменко, Дж.Ф, Хванга и др.

Значительное число задач, которые исследуются в настоящее время в теории уравнений с частными производными, обязаны своим происхождением классической теории функций комплексного переменного. К числу таких задач во многом относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств решений и, в частности, с многочисленными вариантами принципа максимума-минимума для решений в неограниченных областях — так называемыми, теоремами типа Фрагмена—Линделефа (см. [2]—[5] и др.). Настоящая работа примыкает к этому направлению.

Цель работы. Целью диссертационного исследования является получение новых теорем типа Фрагмена—Линделефа для разности решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа при достаточно общей формулировке. А именно, сформулировать теоремы для всех областей из Мп и для класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, содержащего уравнение (1).

Методика исследования. Для получения представленных результатов в работе широко применяются методы классического анализа, методы теории функций, а также теоретико-функциональная техника теории квазилинейных уравнений с частными производными, развиваемой Волгоградской школой нелинейного и геометрического анализа.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе исследовано поведение решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. В качестве примера

подробно рассматривается уравнение (0- Все результаты являются новыми не только для квазилинейных "уравнений с частными1 "й^бизводными эллиптического типа и ПСГД-уравнения, но и для уравнения минимальных поверхностей.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации будут способствовать созданию вычислительных алгоритмов для расчетов течений газа, более эффективных, нежели имеющиеся, а также могут быть использованы специалистами при исследовании решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа.

Результаты» выносимые на защиту.

1. Получены и описаны множества, на которых разность решений уравнения (1) удовлетворяет некоторым специальным условиям, необходимым при доказательстве единственности решения краевой задачи.

2. Установлен обобщенный.принцип максимума для разности решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа на римановых многообразиях, где дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой нарушается единственность решения краевой задачи.

3. Получен некоторый вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа, где дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области.

-Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем — Нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 39 наименований. ?

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Геометрический анализ и его приложения" под руководством профессора В.М. Миклюкова, доцента A.A. Клячина и доцента А.Н. Кондрашова в ВолГУ (Волгоград), на семинаре "Сверхмедленные процессы" под руководством профессора В.М. Миклюкова в ВолГУ (Волгоград), на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2003-2006 гг.), на международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (май 2004 г., Волгоград), на . межрегиональной конференции "Современные математические методы и информационные технологии" (апрель 2005 г., Тюмень), на международной конференции "Вычислительные методы и теория функций" (июнь 2005 г., Йоэнсуу, Финляндия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7]-{13]. Все утверждения, опубликованные в совместных работах с В.А. Клячиным и В.М. Миклюковым фактически доказаны A.B. Ко-четовым. В.М. Миклюковым и В.А. Клячиным осуществлялось общее руководство на уровне постановки задач и критического анализа доказательств.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность за ценные советы; замечания и постоянное внимание, к работе научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В.М. Миклюкову, а также д.ф.-м.н., профессору В.А. Клячину, к.ф.-м.нм доценту А.Н. Кондрашову.

В. Содержание работы

Все утверждения сохраняют принятую в основном тексте нумерацию.

Глава 1. «Некоторые элементарные неравенства, связанные с уравнением газовой динамики» Первая глава диссертации посвящена элементарным неравенствам, которые являются ключевыми при изучении решений уравнения (1).

В §1.1 даются общие сведения о ПСГД-уравнении.

- б-

В §1.2 рассматриваются элементарные неравенства, необходимые для дальнейшего анализа решений уравнения (1)1" ' - - П

Мы полагаем 07 = Кп при 7 ^ 1 и

сх £(6 ~ **>2 < £ МШ ~ (& - Ш)> (2) £ - ^ с2 £ {а(\т - *(М)т) (6 - т*). (3)

Здесь £ = € П7, г) = € П7 и с\ > 0, с2 > 0 —

некоторые постоянные, не зависящие от £ и г}.

Следует отметить, что последние неравенства использовались для установления единственности решения краевой задачи для уравнения минимальных поверхностей и получения различных вариантов теорем типа Фрагмена—Линделефа для решений того же уравнения в неограниченных областях (см., например, [4], [5] и [6]).

Для изучения неравенств (2) и (3) вводятся множества

Ау(с1) — {(6?/) € П7 X : т} удовлетворяют (2)},

Б7(с2) = {(£,77) € х П7 : £,7? удовлетворяют (3)}.

В общем случае, множества А^сх) и 07(с2) имеют сложное строение. Цель первой главы — описать их, сравнивая с каноническими множествами простого вида.

В §1.3 получены две теоремы, в которых указываются двусторонние оценки множеств Л7(с1),и.07(с2)., ... п.

Положим Н^ = [0, оо) при 7 < 1 и

при 7 > 1.

Введем в рассмотрение неравенства

«

п

Нам потребуются функции

при а ф 6,..

а (а) + сг'(а)о при а = Ь

и

осг(а) + Ьа{Ь)

при а2 + б2 > О,

= \ а + Ь

1

при а~Ь — 0,

определенные на множестве х :ь7.

Для произвольного е ^ 0 мы будем рассматривать следующие множества:

\У-(е) = {(£,?) е О, х Пт : /-(|£|, ^ е}, = {(¿,1?) €П7хП7: /+(|£|, |т?|) ^ е}, - € П7 X О, : М) ^ е},

« {(£,.*) € П7 х Г2Т : 1+<|£|, ^ ={(£,£)€ От хП7},

Центральным результатом первой главы являются следующие утверждения.

Теорема 1.3.1. Для каждого 7 6 К справедливы следующие соотношения:

(Н7(е) и £>7) С Л,(£) С и йу) при е € (0,1),

Ау{е) ~ £>7 при е £ [X, Ч~оо).

Теорема 1.3.2, Имеют место следующие утверждения: 1) Если 7 € (—оо, —1], то

(К7+(е) и Ву) С Ву(е) С (^"(е) и О.) при г е (0,1),

Ву(е) = Ш2п при е е [1,+оо).

2) Если 7 6 (—1, +оо), то . ' -

(V+(e) П И^О)) С й,(е) С (F7-(e) U д7) при .6(0,1),

PF7"(0)c57(e) при с € [lt +оо).

Полученные в теоремах оценки более просты для изучения, чем множества и #7(е). Например, множества (г), V7~(e)

и V^+(e) можно рассматривать на плоскости. В §1.5 - 1.8 для последних множеств установлены двусторонние оценки простого вида, доказана линейная связность этих множеств, а также их границ.

Результаты первой главы опубликованы в работах [7]-[9] и [131,

Глава 2. «Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений» Во второй главе рассматриваются решения дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа в областях связного риманового многообразия. Центральное место занимает обобщенный принцип максимума для разности решений, в котором дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой может нарушиться единственность решения краевой задачи.

Пусть.Л* - n-мерное связное риманово многообразие без края класса С3. Для каждой точки хбЛ1 через ТхХ обозначим касательное пространство в точке х. Символ (•, •) обозначает скалярное произведение на ТхХ.

Пусть d(x',x") — геодезическое расстояние между точками х',х" е X. Через

В(о, t) =5 {х € X : d(o, х) < t}, Е(о, t) = {х 6 X : d(o, х) - f}

мы обозначаем геодезический шар и геодезическую сферу, соответственно, с центрами в точке о Е X и радиусами t > 0.

Фиксируем геодезический шар j5(o,i?) с 0 < R < оо. Пусть D С В(о, R) — область с кусочно-гладкой границей dD (возможно пустой).

Обозначим через \ÁpD множество функций, удовлетворяющих усло-

вию Липшица

\f(x')~f(x")\ <cd(x',x")

на всяком компактном подмножестве К С D с некоторой постоянной с = c(K>f) <00.

Пусть fi{x) : D —» R — измеримая функция такая, что для всякой подобласти D' С С D выполнено

О < ess inf ^ ess sup < 00. (4)

Предположим, что для любого х € D определена некоторая область 5(ж). Рассмотрим вектор-функцию A(x,£)t определенную при каждом фиксированном х €~D и всех £ € Н(х), принимающую значения в ТхХ и удовлетворяющую условиям:

1) для каждого фиксированного £ € ТхХ и для каждого компактного подмножества К\С D выполнено

|Л(яг',£) - А{х",£)\ ^ ci d{x',x") при всех а^аг" € Кг

с некоторой постоянной с^ = с\{К\,£, f) < 00;

2) для каждого фиксированного гбД'и для каждого компактного подмножества К2 С Н(х) выполнено

\А(х^')< с2 - Г| при всех £ As

с некоторой ПОСТОЯННОЙ С2 = C2(K2,X,f) <00. Введем в рассмотрение неравенство

\А(х,0 - А(х,г})\2 ^ fi(x)(A(x,£) - i4(ar,i7),i -т?>. (5)

i

Обозначим через Л дифференциальный оператор, определяемый соотношением

A{f] = divj4(x, V/). Следующая теорема является основным результатом второй главы. Теорема 2.1.1. Пусть 0 < Я1 < R> Предположим, что для всех t 6 (RiyR) выполнено

t) Л D ф 0 и B(ot t)DD — компакт. -ю-

Пусть функции /ь /2 6 C2{D) П Cl{D) удовлетворяют условиям г) (fi - /2)М[/х] - Л[/2]) >0 (Зля есех ж € Д

м) если ^ 0, то (/! - f2){A(x,Vfi) - A{x,Vf2),n) = О

для всех х € Д

для всех а: € Здесь »¿срез п обозначен вектор единичной нормали к границе дЦ-¿¿г) для вселс х € О имеет место неравенство (5) с £ ~ У/ь

V ~ ^/з а некоторой измеримой функцией ^(х), удовлетворяющей (4).

то Л(х,У/1) = А(х, У/г) на Здесь через Я"1 обозначена т-мерная мера Хаусдорфа в X.

В качестве примера в §2.2 рассматривается уравнение

Результаты второй главы опубликованы в работах [10], [12].

Глава 3. «"Слабая" теорема типа Фрагмена—Линделефа для разности решений нелинейных уравнений» В третьей главе доказывается "слабый" вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, в котором дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области из R2.

Пусть J5 С К2 - область. Символом Lip0J9 обозначим множество функций класса Lip£> с компактными носителями supp / С D.

Пусть ß(x) : D К — измеримая функция такая, что для всякой

Если

R

div

HIV/1) V/O*)) = 0, a{t) = (l - 1'У'

и -

подобласти D' СС D выполнено

■: О < ess inf р(х) ^ ess sup ^(а:) < оо. (6)

xeD> X£D<

Пусть А : D х R2 —> R2 — измеримая функция. Введем в рассмотрение неравенство

2 2

t=l i=l

Обозначим через Л дифференциальный оператор, определяемый соотношением

aXt

Будем говорить, что функция f(x) класса Lip D является обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения A[f] = 0, если для любой неотрицательной функции tp(x) € Lipo D выполнено

Ъ

Функция f(x) является обобщенным решением уравнения A[f] — О, если она одновременно суб- и суперрешение этого уравнения.

Пусть D CR2 — односвязная область, отличная от всей плоскости R2. Обозначим через D ее пополнение простыми концами. Фиксируем простой конец ео € D и непустое множество простых концов ЕС D \ D, ео £ Е00. Будем говорить, что функция h : D —» (0, оо) класса Lip D является функцией исчерпания области D, если она обладает свойствами:

(г) для всякой подобласти D' СС D выполнено

О < ess inf |V/i(x)| ^ ess sup jVAi(ar)[ < oo;

x<=D'

(гг) o^ilim h(x) = 0,' lim h(x) = +oo и • !

^ ^ z-teo * ' x-*Eoo

. 0 < h{x) < +oo при всех x € D ;

(Hi) множества уровня {ж € D : Л(ж) = f}, t > 0, состоят из счетного числа простых жордановых дуг с концами на границе 3D.

Символом Et, О < f < oes; будем'обозначать минимальную из совокупностей компонент связности указанного множества уровня, разделяющую в D простой конец ео и множество Еоо*

Следующее утверждение является основным результатом в третьей главе. ' ■ '■■■';

t ; т .....

Теорема 3.1.1. Пусть fi(xi,x2) и /2(^11^2) — локально липшицевы в области D су б- и суперрешения уравнения A[f] — 0, соответственно, и пусть для любой последовательности {сц}^! точек D, не имеющей предельных точек в множестве простых концов Е^ U D, выполнено

. ¡/ ; lmisup (fi{an) - ¡2{an)) < 0, ■

п-+оо

Предположим, что множество U — {х € D ; fi{x) — /г(х) > 0} не пусто и для почти всех х é V имеет место неравенство (7) с £ = V/i, г) = V/2 и некоторой измеримой функцией /¿(а:), удовлетворяющей (6). Предположим также, что

р(х)М2(х) ¡Vh(x)| = оо,

где обозначено

М{х\- max{0, /i(x) - /2(2;)} .

Тогда

A(xtVf1) — А{х, V/2) для почти всех х elf.

Данное утверждение представляет собой одну из разновидностей ''слабых" теорем типа Фрагмена—Линделефа, обеспечивающую "слабый" рост разности /i(x) —/г(х) в указанных предположениях. Под "сильным" ростом в альтернативе Фрагмена—Линделефа мы понимаем степенной рост в случае угла и экспоненциальный рост в случае полосы (см.. например, [1, §6 главы VIII]).

В качестве примера в §3.2 подробно рассматривается ПСГД-уравнение.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [11), [12].

+00 /

dt

Литература

[1]. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968.

[2] Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. XVIII. В. 1(109). С. 3-62.

[3] Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Мат. заметки. 1967. Т. 9. В. 2. С. 209-220.

[4] Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теории Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Матем. сб., 1979. Т. 108(150). С. 268-289; см. также сборн. статей "Научные школы Волгоградского государственного ун-та. Геометрический анализ и его приложения". Волгоград, Изд-во ВолГУ. 1999. С 22-51.

[5] Hwang J. F. A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. Math. 1996. V. 176. P. 357-364.

[6] Pigola S., Rigoli M. and Setti A.G. Some remarks on the prescribed mean curvature equation on complete manifolds // Pacific J. Math. 2002. V. 206. N 1. P. 195-217.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

[7] Кочетов A.B. О некоторых элементарных неравенствах, связанных с уравнением газовой динамики // Геометрический анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. Волгоград. 2004. С. 93-96.

[8] Кочетов A.B. О линейной связности границ некоторых множеств, возникающих в уравнении газовой динамики // Межрегиональная конференция* посвященная 30-летию факультета математики и ком- 14 -

пьютерных наук Тюменского государственного университета. Тез. докл. Тюмень. 2005. С. 32-33.

[9] Кочетов А.В. О линейной связности границ некоторых множеств, возникающих в уравнении газовой динамики // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. Вып. 9. 2005 г. С, 34-47,

[10] Кочетов А.В., Миклюков В.М. Обобщенный принцип максимума для разности решений уравнения газовой динамики // ВолГУ Волгоград, 2006. Деп. в ВИНИТИ. 27.01.06. № 83-В2006.

[11] Кочетов А.В., Миклюков В.М. "Слабая" теорема типа Фрагмеиа — Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 3(27), С. 90-101.

[12] Kochetov A.V. On some estimates for the difference of solutions of the gas dynamics equation// Computational Methods and Function Theory. Abstracts. Joensuu. Finland. June 13-17. 2005. P. 167.

[13] Klyachin V.A., Kochetov A.V. and Miklyukov V,M. Some elementary inequalities in gas dynamics equation // Journal of Inequalities and Applications. Volume 2006. Article ID 21693. 29p.

Подписано в печать 02.10 2006 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 266.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, г. Волгоград, просп. Университетский, 100.

Об обозначениях.

Введение

1 Некоторые элементарные неравенства, связанные с ПСГД-уравнением

1.1 ПСГД-уравнение.

1.2 Элементарные неравенства.

1.3 Основные теоремы.

1.4 Функция а.

1.5 Множества У~{е) и

1.6 Доказательство теорем 1.3.1 и 1.3.2.

1.7 Функция ж7(е)

1.8 Доказательство утверждений (10) и (11) раздела 1.

2 Обобщенный принцип максимума для разности решений нелинейных уравнений

2.1 Основные результаты.

2.2 Пример. ПСГД-уравнение.

2.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.4 Доказательство следствий

2.5 Доказательство теоремы 2.2.1.

3 "Слабая" теорема типа Фрагмена — Линделефа для разности решений нелинейных уравнений

3.1 Основные результаты.

3.2 Пример. ПСГД-уравнение.

3.3 Доказательство теоремы 3.1.

3.4 Доказательство теоремы 3.2.1.

Объектом исследования настоящей диссертации являются квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. Стоит отметить, что в этот класс уравнений входит квазилинейное уравнение

М1?/|)/ч) = о, <г(<) = (1 - , (0.1) г=1 содержащее, в свою очередь, классическое уравнение минимальных поверхностей

I 0 yi+fv/i2 случай 7 = -1). В случае п — 2 уравнение (0.1) — есть уравнение для потенциала скорости в газовой динамики (в дальнейшем ПСГД-уравнение).

Проводимые в диссертации исследования берут свое начало в теории минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время. по разным направлениям и имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С.Н. Бернштейна, J1. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Финна, У. Флеминга, а также в самые последние годы — Ю.А. Ами-нова, Э. Бобьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, A.A. Тужилина, А.Т. Фоменко, Дж.Ф. Хванга и др.

В XX столетии в развитии теории минимальных поверхностей произошли два существенных толчка. Первым из них стало исследование задачи Плато. Вторым толчком был новый подход С. Бернштей-на к дифференциальным уравнениям с частными производными, важнейшим результатом которого стала знаменитая теорема Бернштейна, утверждающая, что любое целое решение уравнения минимальных поверхностей на плоскости является линейной функцией.

С другой стороны значительное число задач, которые исследуются в настоящее время в теории минимальных поверхностей, а также и в теории квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными обязаны своим происхождением классической теории функций комплексного переменного. К числу таких задач во многом относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств решений и, в частности, с многочисленными вариантами принципа максимума-минимума для решений в неограниченных областях — так называемыми, теоремами типа Фрагмена—Линделефа (см. [2], [10] — [13], [17], [18], [20] —[27], [30] —[32], [34]—[39] и др.). Настоящая работа примыкает к этому направлению.

Целью диссертационного исследования является получение новых теорем типа Фрагмена—Линделефа для разности решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа при достаточно общей формулировке. А именно, сформулировать теоремы для всех областей из Мп и для класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, содержащего уравнение (0.1).

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер. Главными в ней являются следующие результаты.

1) Получены и описаны множества, на которых разность решений уравнения (0.1) удовлетворяет некоторым специальным условиям, необходимым при доказательстве единственности решения краевой задачи.

2) Установлен обобщенный принцип максимума для разности решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа на римановых многообразиях, где дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой нарушается единственность решения краевой задачи.

3) Получен некоторый вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа, где дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области.

Для получения представленных результатов в работе широко применяются методы классического анализа, методы теории функций, а также теоретико-функциональная техника теории квазилинейных уравнений с частными производными, развиваемая Волгоградской школой нелинейного и геометрического анализа.

Результаты диссертации будут способствовать созданию вычислительных алгоритмов для расчетов течений газа, более эффективных, нежели имеющиеся, а также могут быть использованы специалистами при исследовании решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа. Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре "Геометрический анализ и его приложения" под руководством профессора В.М. Миклюкова, доцента A.A. Клячина и доцента А.Н. Кондрашова в ВолГУ (Волгоград);

• на семинаре "Сверхмедленные процессы" под руководством профессора В.М. Миклюкова в ВолГУ (Волгоград);

• на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2003-2006 гг.);

• на международной конференции "Геометрический анализ и его приложения" (май 2004 г., Волгоград);

• на межрегиональной конференции "Современные математические методы и информационные технологии" (апрель 2005 г., Тюмень);

• на международной конференции "Вычислительные методы и теория функций" (июнь 2005 г., Йоэнсуу, Финляндия).

Основные результаты диссертации изложены в работах [4] —[8], [28], [29]. Все утверждения, опубликованные в совместных работах с В.А. Клячиным и В.М. Миклюковым фактически доказаны A.B. Ко-четовым. В.М. Миклюковым и В.А. Клячиным осуществлялось общее руководство на уровне постановки задач и критического анализа доказательств.

Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 39 наименований.

В этой главе доказывается "слабый" вариант теоремы типа Фраг мена — Линделефа для обобщенных суб- и сунеррешений квазили нейных дифференциальных уравнений с частными производными эл липтического типа, в котором дается оценка скорости роста решений

вблизи особого множества простых концов области из М .^

Пусть D сМ? — область. Символом Lipo-D обозначим множество

функций класса LipD с компактными носителями supp/ с D. Пусть ij,{x) : D -^ R — измеримая функция такая, что для всякой

подобласти D' ее D выполнено

О < ess inf ц{х) ^ ess sup iJ,{x) < оо . (3.1)

Пусть A: DXR"^ -^Ш? — измеримая функция. Введем в рассмотрение

неравенство

Y,{Ai{x,O-Mx.v)? < f^{x)Y.{Ai{x,O-M^.riMi-m). (3.2)

Обозначим через Л дифференциальный оператор, определяемый

соотношением

Будем говорить, что функция f{x) класса LipL» является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения A[f] - О, если для

любой неотрицательной функции ip[x) е Lipo D выполнено

' а,Л(2;, V/) dxi dx2 < о о 0). (3.3)

Функция f{x) является обобщенным решением уравнения A[f] =

О, если она одновременно суб- и суперрешение этого уравнения. Для формулировки основного результата нам понадобиться сле дующая известная конструкция. Сечением 7 области D называется

всякая простая замкнутая (в сферической метрике) жорданова дуга

аЬ с концами а, Ь (случаи а = Ь, а или 6 = оо не исключаются) со

следующими свойствами:

1) а, Ь принадлежат dD\

2) неконцевые точки 7 принадлежат D;

3) 7 разбивает D на две подобласти, граница каждой из которых

содержит точки дВ, отличные от а и 6. Цепью сечений {7^} {к = 1,2,...) области D называется бесконеч ная последовательность сечений области D, попарно не пересекаю щихся и таких, что 7fc, к > I, разделяет в обычном смысле сечения

7А;Ь 1к+1 в области D. Цепь сечений {7 }^ определяет в D цепь подобластей {4}, таких,

что С?1 D (i2 ^ • • • ^ 4 ^ • • •

Цепь {4} входит в некоторую область Я, если при некотором к

Цепь {4} входит в цепь {dj,}, если цепь {4} входит в каждую

область d!y^ (fc = 1,2,...). Две цепи подобластей {4} и {dj,}, каждая из которых входит в

другую, называются эквивалентными. Следуя терминологии Каратеодори (см., например, [14], с. 45-

46), всякий класс эквивалентности цепей нодобластей D называется

концом области D. Концы D обозначаются через Е^. Конец Ed входит в некоторую область Я, если найдется цепь из

Ed, входящая в Н.

Пусть Ed и Eh — концы D. По определению, Ed делит Е^, если

Ed входит в каждую область некоторой цепи из Eh. Простым концом области D называется всякий конец D, не име ющий собственных делителей. Пусть D сМ? — односвязная область, отличная от всей плоскости

R .^ Обозначим через D ее пополнение простыми концами. Фиксируем

простой конец ео е D и непустое множество простых концов EQO С

D\D, ео ф Еоо- Будем говорить, что функция h : D ^ {0,оо) класса

LipD является функцией исчерпания области D, если она обладает

свойствами:

(г) для всякой подобласти D' сс D выполнено

О < ess inf \Vh{x)\ < ess sup \Vh{x)\ < oo;

ii) lim h(x) = 0, lim h(x) = +сю и

0 < h{x) < +CX) при всех x e D;

iii) множества уровня {x e D : h{x) = t}, t> 0, состоят из счетного

числа простых жордановых дуг с концами на границе dD. Символом Et, О <t < оо, будем обозначать минимальную из сово купностей компонент связности указанного множества уровня, раз деляющую в D простой конец ео и множество Еоо Следующее утверждение является ключевым в настоящей главе. Теорема 3.1.1. Пусть fi{xi,x2) и f2{xi,X2) — локально липшицевы

в области D суб- и суперрешения уравнения A[f] = О, соответ ственно, и пусть для любой последовательности {anj^^i точек

Д не имеющей предельных точек в множестве простых концов

Еоо и D, выполнено

^ 0 . (3.4)

Предположим, что множество U = {х е D : fi{x) - f2{x) > 0} не

пусто и для почти всех х е U имеет место неравенство (3.2) с

^ = V/b V = V/2 и некоторой измеримой функцией ji{x), удовле творяющей (3.1). Предположим также, что

где обозначено

= 00, (3.5)

Тогда

А{х, V/i) = А{х, V/2) для почти всех х eU. (3.6)

Данное утверждение представляет собой одну из разновидно стей "слабых" теорем типа Фрагмена - Линделефа, обеспечивающую

"слабый" рост разности fi{x) - f2{x) в указанных предположениях. Под "сильным" ростом в альтернативе Фрагмена - Линделефа мы

понимаем степенной рост в случае угла и экспоненциальный рост в

случае полосы (см., например, [3, §6 главы VIII]). Утверждения о сильном росте разности fi{x)-f2{x) решений урав нения A[f] = О справедливы, на наш взгляд, лишь при некоторых

дополнительных специальных ограничениях на решения или их гра диенты. Отметим отдельные случаи данного утверждения. Рассмотрим

сначала полосообразные области достаточно обш,его вида. Именно,

пусть D - область в R ,^ задаваемая неравенствами

^Ы) {) + -0{xi) (-00 < Ж1 < 00),

где (f{xi),ip{0) = О, и 9{xi) > О - непрерывные функции. Точка X = О принадлежит области D. Выберем ее в качестве

простого конца ео. В качестве множества £^ оо выберем простые концы,

имеющие телами бесконечно удаленную точку плоскости R ,^ их ровно

два. В качестве функции исчерпания — функцию h - \xi\. Тогда

\Vh[x)\ = 1 при \xi\ > О и множество уровня Et при t у^ О состоит из

двух компонент связности - вертикальных отрезков {х =

D : xi = ±t}. Легко видеть, что

I \Vh{x)\ \dx\ = Щ , Щ) = Bit) + e{t). Таким образом, мы получаем

Следствие 3.1.1.1. Пусть fk{xi,X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] -О и пусть всюду на границе dD выполнено

h < /2. предположим, что множество U — {х е D : fi{x) — /2(2;) > 0}

не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с

= V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что

m{t) = max{0, /1(2;) - /2

Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6). Заметим, что даже в "слабой" форме альтернативы Фрагмена -

Линделефа может присутствовать сколь угодно высокая скорость ро ста решения. Это может случиться, например, если в условиях след ствия 3.1.1.1 функция (^ = О, а функция 9{t) быстро растет при t -^ оо. Рассмотрим случай спиралеобразных областей вида:

D = {(г, : -01 (г) <ip < , О < г < 00},

где -00 < (/9 < +00, О < г < оо — полярные координаты на плоскости

и ipi{r), ip2{T) — непрерывные монотонно возрастающие"^ на [О,+оо)

функции, удовлетворяющие неравенствам О < i^2(,r) - ф1{г) < 27г при

всех г е [0,+оо). В качестве простого конца ео выберем конец области D с телом

в начале координат, в качестве множества Еоо выберем простой ко нец с телом в бесконечно удаленной точке Ж^. В качестве функции

исчерпания положим h= \х\. Тогда \Vh\ = 1 и

Здесь имеем

Следствие 3.1.1.2. Пусть fk{xi,X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] = 0 и пусть всюду на границе dD выполнено

h < /2. Предположим, что множество U = {х е D : fi{x) - /2(2;) > 0}

не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с

v = V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что

m{t) = max{0, fi{x) - /2(2;)} . Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6).3.2. Пример. ПСГД-уравнение

В качестве примера рассмотрим ПСГД-уравнение. Будем говорить, что функция f{x) класса LipD является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения (1.1), если V/ е п^

при X е D и для любой неотрицательной функции Lp{x) е Lipo D вы полнено (3.3) с

^i = ^(|V/l)A,, г = 1,2. (3.7)

Отметим, что неравенство (1.3) есть специальный случай нера венства (3.2) при (3.7) и ц{х) = е. Сформулируем основной результат данного раздела. Теорема 3.2.1. Пусть fi{xi,X2) и /2(^ 1,3:2) — локально липшицевы в

области D супер- и субрешения уравнения (1.1), соответственно. Предположим, что для любой последовательности {anj^i точек

D, не имеюи^ей предельных точек в множестве простых концов

Еоо и Д выполнено

limsup {h{an) - /2(an)) < 0. i) Тогда, если 7 < - 1 , то либо /i ^ /2 всюду в области D, либо

M'ix) \^h{x)\ < 00,

где обозначено

и) Если 7 = - 1 . f^o либо /i ^ /2 всюду в области D, либо

dt M\x)\Vh{x)\\dx < 00. (3.8)

Hi) Пусть 7 > - 1 . Предположим, что множество U = {х е

D : fi{x) - f2{x) > 0} не пусто и для некоторого е > 1 выполнено

соотношение

(V/i, V/2) G Bry{e) для почти всех x eU. Предположим, что интеграл (3.8) расходится. Тогда

= cr(|V/2|)V/2 для почти всех х

3.3. Доказательство теоремы 3.1.1

Предположим, что в некоторой точке а е D выполняется /i(a) >

/2(а). Выберем 5 > О так, чтобы /i(a) > /2(а) + 5, рассмотрим множе ство

{xeD:fi{x)-f2{x)>5}. Данное множество не пусто. Обозначим через Us его произвольную

компоненту связности. В силу (3.4) имеем [Us]^ П BD с Еоо- Здесь

символом \Ud]^ обозначено замыкание множества U^ в топологии D. Предположим сначала, что Us с с D. Функция

h{x)-f2(x)-8 при xeUs,

о при X е D\Us

имеет компактный носитель, содержащийся в D, неотрицательна и

принадлежит классу Lip(L>). На основании (3.3) можем записать

/ J2 "P^i {М^^ V/i) - г^(а ,^ V/2)) dxi dx2<0. Отсюда находим

/ Y. (^ 1-^ - b j {А{х, V/i) - Ai{x, V/2)) dxi dx2<0. (3.9)

В силу неравенства (1.2) заключаем, что почти всюду на множе стве Us выполнено

Таким образом, соотношение (3.9) влечет, что почти всюду на Us

справедливо равенство

,V/i)-^(a;,V/2))^ = 0 (3.10)

И, следовательно, A(a;,V/i) = А(ж,У/2) почти всюду в Us-

Рассмотрим оставшийся случай, в котором подобласть Us С D

такова, что [Us]^ ndD ^Ф.

Пусть функция (р определена, как и выше. Положим

ho = inf h{x). Зафиксируем hi и h[ так, чтобы ho < hi < h[ < оо. Введем в рассмот рение липшицеву функцию

0 при т >h[,

ф{т) = <

1 при Г <hi. Функция il?{h{x))(p{x) принадлежит классу LipD, неотрицательна в

D и имеет компактный носитель, содержащийся в D. На основании

(3.3) имеем

Е {^^\Кх))ф))^, {Ai{x, V/i) - Ai{x, V/2)) dxidx2<0. Отсюда находим

[fix, - /2xJ {Ai{x, V/l) - A,{X, v/2)) dxi dX2

-2 - 5)ф'{h{x))x

\4h\ \A{x,Vfi) -

В силу соотношения (1.2), как и выше, находим

/ —r^v{h{x)) у {Ai(x,Vfi) - /.J 1л{х) ^

Обозначим через D{t) множество всех x e D, отделяемых систе мой дуг Et от простого конца ео, через D{ti,t2), О < h < t2 < 00, -

множество D{t2)\D{ti). Далее полагаем

U§[t) = {7(5 П D{t), U§{ti,

Предыдущее соотношение влечет

, V/l) - МХ, Vf2)Y dXl dX2 <

Если воспользоваться известной формулой Кронрода—Федерера для

ко-площади

= dt g{x)\dx\,

D -00 h{x)=t

справедливой для любой измеримой по Лебегу функции д (см. [15,

§3.2 главы III]), то мы получаем

ы (з-и)

^ 4 / \QI/(i\\ rif I ii(т\ {л(т\ {п(т\\\\1Ь(т\\ \rW

Стандартными приемами (см., например, [11]) находим минимум

правой части (3.11) по всем функциям ф указанного вида. Поскольку

ф обращается в нуль и единицу на концах отрезка [hi,h[], то пользу- 9 3 -

ясь интегральным неравенством Коши, будем иметь

1 < / \i)\t)\d

h'l ( ' ^

Отсюда следует, что

- f2{xf\Vh{x)\\dx

Данное неравенство имеет место для любой липшицевои функции

вышеуказанного вида. Полагая здесь ^{t) = 1 при t<h\,

при hi <t <h[ и = О при t>h[, легко убеждаемся, что

li{x)\h{x)-f2{x)\^\Vh{x)\\dx\

Таким образом, из (3.11) вытекает, что

, V/i) - Ai{x,

dxi dx2 <

Если теперь интеграл в (3.5) расходится, то полагая в найденном

неравенстве U-^ -^ +оо, находим

и потому А(ж, V/i) = A{x,Vf2) почти всюду в Us. Таким образом,

теорема полностью доказана. П

3.4. Доказательство теоремы 3.2.1

i) Рассмотрим случай 7 < - 1 - Как при доказательстве теоре мы 1.3.1, предположим, что в некоторой точке а е D выполняется

a) > /2(а) • Выше установлено, что если Us е е D, то равенство

(3.10) выполнено почти всюду в U§. Следовательно, для почти всех

X eUs имеет место равенство

которое влечет (см. доказательство теоремы 2.1.1) V/i = V/2 почти

всюду на Us. Поскольку fi (г = 1,2) суть локально липшицевы функции, то

отсюда вытекает, что fi{x) = /2(3;) + 5 в U§. Тем самым, имеем проти воречие с определением области U§. Итак, подобласть Us с D такова, что [Щ]^ ndD ^Ф. Как и выше,

мы устанавливаем неравенство

- (7(|V/2|)V/2

Используя соотношения (2.17), (2.18), (2.19), находим

и, далее,

X|V/i - V/2l/;(|V/i|, IV/2I) dxi dx2

:\)dxidx2 X

Отсюда

И далее, рассуждая как при доказательстве теоремы 3.1.1 и ис пользуя неравенство (2.23), получаем требуемое. и) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить,

что если для почти всех х е U = {х е D : fi{x) - f2(x) > 0} имеет

место равенство

то V/i = V/2 почти всюду на U. Здесь, как и выше, мы имеем проти воречие с определением области U и требуемое утверждение вытекает

непосредственно из теоремы 3.1.1. in) Данное утверждение является прямым следствием теоремы

Таким образом, диссертация в целом вносит существенный вклад

в развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с част ными производными эллиптического типа.

1. Берс J1. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. Н.:ИЛ, 1961.

2. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений // Труды мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1961. Т. LX. С. 145-180.

3. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968.

4. Кочетов A.B. О некоторых элементарных неравенствах, связанных с уравнением газовой динамики // Геометрический анализ и его приложения. Тезисы докладов международной школы-конференции. Волгоград. 2004. С. 93-96.

5. Кочетов A.B. О линейной связности границ некоторых множеств, возникающих в уравнении газовой динамики // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. Вып. 9. 2005. С. 34-47.

6. Кочетов A.B., Миклюков В.М. Обобщенный принцип максимума для разности решений уравнения газовой динамики // ВолГУ Волгоград, 2006. Деп. в ВИНИТИ. 27.01.06. № 83-В2006.

7. Кочетов A.B., Миклюков В.М. "Слабая" теорема типа Фрагмена — Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 3(27). С. 90-101.

8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.

9. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных) // Успехи мат. наук. 1963. Т. XVIII. В. 1(109). С. 362.

10. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Мат. заметки. 1967. Т. 9. В. 2. С. 209-220.

11. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделефа для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1974. Т. 95 (137). С. 130-145.

12. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений. СО АН СССР, Новосибирск, 1965.

13. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

14. Alessandrini G. and Nesi V. Univalent a-harmonic mappings // Arch. Ration. Mech. and Anal. 2001. V. 158, P. 155-171.

15. H. Berestycki, L. Nirenberg, S.R.S. Varadhan, The principal eigenvalue and maximum principle for second-order elliptic operators in general domains, Communications on Pure and Applied Mathematics. 1994. V 47. N. 1. P. 47-92.

16. Collin P., Krust R. Le problème de Dirichlet pour l'équation des surfaces minimales sur des domaines non bornés // Bull. Soc. Math. France. 1991. V. 119. P. 443-458.

17. Faraco D. Beltrami operators and microstructure // Academic dissertation. Depart, of Math. Faculty of Sci. University of Helsinki. Helsinki. 2002.

18. Hsieh C-C. Phragmén—Lindelôf theorem of minimal surface equations in domains with symmetry // Geometriae Dedicata. V. 71. N. 1. June 1998. P. 97-109(13).

19. Hwang J.F. Phragmén—Lindelôf theorem for the minimal surface equation // Proceedings of the American Mathematical Society. 1988. V. 104. N. 3. P. 825-828.

20. Hwang J.F. Comparison principles and theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1988. V. 15. P. 341-355.

21. Hwang J.F. A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. Math. 1996. V. 176. P. 357-364.

22. Jin Z., Lancaster K. Theorems of Phragmèn-Lindelôf type for quasilinear elliptic equations // J. reine angew. Math. 1999. 514. P. 165-197.

23. Jin Z., Lancaster K. Phragmen-Lindelof theorems and the asymptotic behavior of solutions of quasilinear elliptic equations in slabs // The Royal Society of Edingburgh Proceedings A. 2000. 130A. P. 335-373.

24. Jin Z., Lancaster K. A maximum principle for solutions of a class of quasilinear elliptic equations on unbounded domains // Communications in Partial Differential Equations. 2002. V. 27 (7 & 8). P. 1271-1281.

25. Jin Z., Lancaster K. A Phragmen-Lindelof theorem and the behavior at infinity of solutions of non-hyperbolic equations // Pacific J. of Math. 2003. V. 211. P. 101-121.

26. Klyachin V.A., Kochetov A.V. and Miklyukov V.M. Some elementary inequalities in gas dynamics equation // Journal of Inequalities and Applications. Volume 2006. Article ID 21693. 29p.

27. Kochetov A.V. On some estimates for the difference of solutions of the gas dynamics equation// Computational Methods and Function Theory. Abstracts. Joensuu. Finland. June 13-17. 2005. P. 167.

28. Kurta V.V. On the behavior of solutions of quasilinear elliptic equations of second order in unbounded domains. Ukrainian Math. J. 1992. V. 44. N. 2. P. 245-248. (Translated from Ukrain. Mat. Zh. 1992. V. 44. P. 279-283).

29. Kurta V.V. Phragmen-Lindelof theorems for semilinear equations // Soviet Math. Dokl. 1992. V. 45. N. 1. P. 31-33. (Translated from Dokl. Akad. Nauk SSSR 322 (1992). P. 38-40).

30. Lax P.D. A Phragment-Lindelof theorem in harmonic analysis and application to some question in the theory of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1957. V. 10. N 3. P. 361-389.

31. Martio 0., Miklyukov V., Vuorinen M. Generalized Wiman and Arima theorems for n-subharmonic functions on cones //J. Geom. Anal. V. 13. N 4. 2003. P. 605-629.

32. Pigola S., Rigoli M. and Setti A.G. Some remarks on the prescribed mean curvature equation on complete manifolds // Pacific J. Math. 2002. V. 206. N 1. P. 195-217.

33. Pucci P., Serrin J., Zou H. A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities //J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. N. 8. P. 769-789.

34. Pucci P., Serrin J. A note on the strong maximum principle for elliptic differential inequalities // J. Math. Pures Appl. 2000. V. 79. N. 1. P. 57-71.

35. Pucci P., Serrin J., Zou H. A strong maximum principle and a compact support principle for singular elliptic inequalities. J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. N. 8. P. 769-789.

36. Serrin J. On the strong maximum principle for quasiiinear second order differential inequalities // J. Functional Anal, 1970. P. 184-193.

37. Vazquez J-L. A strong maximum principle for some quasiiinear elliptic equations // Applied Mathematics and Optimization. 1984. V. 12. P. 191-202.