Обобщенный вариант максимальной функции Харди-Литтлвуда и его применения к теории сингулярных и гиперсингулярных интегралов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

академия наук азербайджанской республики

- 5 ДПР 1593

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

111АФИЕ0 МАМЕ ДА ЛИ ФАТУЛЛА оглы

УДК 517.518.13

ОБОБЩЕННЫЙ ВАРИАНТ МАКСИМАЛЬНО!! ФУНКЦИИ ХАРЛИ" ЛИТТЛВУДА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ СИНГУЛЯРНЫХ И ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

01.0l.0l - МатематическиП анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учоной степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 1993

- 'd -

Робота выполнена в hucwsiyie моги котики и кихаикки ЛИ Азе рбо Идо hci:o ti Ре с пу блик и. i i и уч н; и; р^ к о а о ?! ■: у е л :

Азеро.Рось., профессор ГАДлИКВ А.Д.,

- кандидат физяко-^итеывтическкх наук, старший научный о01рудник АЛИЕЙ Я„Л.

Официальный оппоненты:

- доктор физико-ыагекагнческих наук, профессор М.Ш.РАМОГЛЫ (рук.отд.Ша! АН Азеро'.Респ.),

- кандидат физико-математических наук, .доцент KjOi.IKii В. (доц.Еокгосуниверситета).

1 Ведущее предприятие - Азербайджанский Технический Университет.

Защита состоится "J?" (^efj^ai)!" 1993г. в чесов на заоедании Специализированного Совета К 004.01.01 в Конференц-зале Института катаыатики и ывхышки Aii Азерб. Респ. (370602, Баку ГСП, ул.Ф.Агаева, квартал Ь1Л, дои Ь).

Отзывы на автореферат проемы высылать в двух экземплярах с заверенным подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке АН Азеро. Реоп. по тому же адресу.

доктор фкзико-ааа-ематических наук, члон-корр.АН

Врио Ученого секретаря Специализированного сова та

прО'1.МА:ЩОВ и.т.

I. ОРЛАН ХАРАКТЕРИСТИКА РА РОТ 1л

Актуальность теми. Как известно, одним из оснозьых средств исследования функции ^ , определенно;! на евклидовом пространства ' , является переход к определенной но (пи)- мерном "верхней" полупространстве гармонической функции или не к

п

функции "температур", для которых / служит гранична« значением, понимаемый в той или иной смысле. Это обстоятельство по-слукило стимулом для изучения вопросов сходимости однопараметри-ческого и ыногопарокетрпческого сеыеЯств сингулярных интегралов типа Пуассона, Гауссв-Веяератрасса и т.п. Данный вопрос своими корнями уходит к классическим работам Бохнерэ, Чэндрасекхэранз, Хорди и ¿иттлвудэ, С и; та и т.д.

первая часть диссертации посвящена исследованию скорости "перпендикулярно?." и более обде-нетангеначальной сходимости различных оппроксимзнтов единицы - семейства интегралов типа Гаусса-Зе/еритрасса и Пуассона и их различных обобщений и модификаций (т/г,в мета гармннческсй полугруппы).

ГлуСогок евл^ь ¡:с:-.ду аоцным:! аппаратаки гармонического огэл/за - потинциалаги ?;!ссэ, Росселя и с полугруппами Гаусса-Ве;.зр-_тросго, Луазсска, а 78к::ч метэгармонпчоской полугруппы, синс;.веемая в с-рмпнэх дробного иигегр.: роьиння Лкузиллп, далз возможность изучить окорссть ихо си мости "усеченных'" гпперсин-гулпрн;;х (пзляш:хся обрз^эг-га! конструкция!,:!! по-

тенцкелсв) к гупкпп.: плотности в характерных точках и в метрике проогг, |кас:,^ ¿, . Эти вопросы исследованы во вточой ччети диссертации.

Отметим также, что вопросы (нвтангенцивльной) сходимости сингулярных интегралов (ядра ¿которых в определенной смысле аппроксимируют (Г - ¿ункцив Дирака) имеют многочисленные приложения: I) в гармоническом анализе (в теории рядов Фурье -сингулярные интегралы Дирихле, ФеЕера, средние Чезаро и т.д.; в 1С о риг. преобразования Фурье - средние Аба ля и Пуассона, возникающие при восстановлении функций посредством их преобразовании Фурье); 2) в теории приближений (сингулярные интегралы Вал.'.е-Пуссена, Джексона и др.); 3) в задачах математической физики - из нуад которой фактически и возник потребность изучения вопросов сходимости сеиейства многомерных сингулярных интегралов (другими словаки, аппроксимативной единицы).

, , Все сказанное показывает актуальность теш диссертации.

Цель работы: Исследование скорости сходимости и нетангенциальной сходимости одно- и икогопэр>аметрического семейства сингулярных интегралов типа Гаусса-Вейерштрассз, Пуассона и их различных обобщений и модификаций к функции плотности в точках ое гладкости, а такие в смысле метрики пространства ¿¡.^

1 р оо. Исследование вопросов сходимости семейств сингулярных интегралов в пространствах при которые • не является банаховыми. Изучение скорости сходимости "усеченных" гиперсингулярных интегралов в конструкции Балекриынана-Рубина к функции плотности в ее характерных точках и в смысле метрики пространства /, , .

Научная новизна. В диссертационной работе введон некоторый обобщенный вариант максимальной функции Харди-Литтлвуда -ток называемая, иэксимальная функция и при помощи пос-

ладней установлена новзя оценка многомерных интегральных операторов типа свертки, являющаяся далеко идушш обобщением классической леммы И.П.Натансона, известной в теории сингулярных интегралов со стохастическими ядрами. Установленная оценка посредством [ "аксиальной функции дала возможность опи-

сать конические и "рогообразные" области "верхнего" (номерного пространства, на которых имеет место нетангонциэльнэя сходимость с определенной скоростью сингулярных интогралов типа Г8уссэ-Вейерцтрзсса, Пуассона я их модификаций. Впервые изучен вопрос сходимости семейства некоторых агрегатов, сконструк-тировзнных из сингулярных интегралов, в небэнаховцх пространствах /, ,

Впервые исследован вопрос о скорости сходимости "усеченных" гиперсингулярных интегралов типа Балвкрипнана-Рубинз в характерных точках и в среднем. Этот вопрос имеет непосредственную связь с теорией потенциала и в целом, с теорией дробного интегро-дн^еренцирования.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории ^'нкциР. чл.-корр.АН- Азерб.Респ.А.Д.Гадяиева, не семиноре/соьесэнии по ■¿ункцкокзльному анализу и его приложениям, посвя-,енш;м памяти акадьмика о.И.Халилова (Баку, 27-ЗС пая 1УУ1г.), на ТУ,У¡1,11 Респуб.конф.иол.учен. по матем. и мех. (Баку, 1983, 1987, 1УЬ9гг.).

Структура и обьем работы. Диссертационная работа изложена на 96 страницах мапинописного тексте, состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 35 наименования.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах

П. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Б созрзаеннои математическом анализе термин "синх-улярный интеграл" приценяется к двум, вообще говоря, различным объектам. С одной стороны, под сингулярный интегрелои понимается "особый" интеграл, ядро которого имеет неинтегрируеиую особенность в точке. Типичным представителем таких интегралов являемся многомерный сингулярный интеграл Квльдерова-Ьигыунда.

С другой стороны, этот ка термин "сингулярный интеграл" I

применяется к интегральным операторам со стохастическими яд-рош1х^, зависящими от дискретного или непрерывного пэраыетро, и аппроксимирующими, в известном смысле, <Г - функцию Дирака.

< Предсмыиелтш юких ядер являются,например, одномерные ядра Пуассоне

1

2 ог

или Гауоса-Вайеритрэсса

А ^-тг

, (Ос е а1,. О с. г <-1 )

е 4 1'оОс«, еЯ1)

и их ыиогокврниэ аналоги.

В данной диссертации изучаются многомерные сингулярные интегралы второго из указанных мпов. Эти интегралы играют

Ядро называется стохоотическии, если интеграл от него ровен единице.

важную роль в вопросах теории аппроксимации, в задачах гармонического анализа и теории потенциала.

Первые (одномерные) результаты, относящиеся к проблемам сходимости сингулярных интегрэлоз вида

I ( \ ]юК и,х)сЦ (0.1)

л *

к плотности 1-х) при фиксированном 'X и при были

получены Лебегом в 1903 году, который исследовал сходимость в точках непрерывности суммируемой функции ^ . В дальнейшей П.И.Романовский'исследовал вопрос о представлении суммируемой функции сингулярными интегралами в точках, в которых она является прог.зводно:1. своего неопределенного интеграла, а Д.К.Фаддеев; используя идею ФеПерз о построении (так называемой) горбато? мажоранты, изучил сходимость сингулярного интеграла к

/ги в точках Лебега, т.е. в тэгах точках х » что х Иг

и<.: -М • | /Ш- с-1[ - С (0.2)

!1 >1 1

Б'.:е эти теоремы вэели в ;ундзме стальные монографии по теории ■Цнкцип.

Ь дальне;-меы, пркведеикие результаты обобщались во многих направлениях. Ьд.-сь следует отметить работы Р.Г.ыамедовз, А.С.Длафоровз и .'.х учеников.

В данной диссертации нас Судет интересовать подход, свя-зя^ныГ: с тэорамо;1 Он ту. Лсзтему приведем некоторые из известных

результатов3^. Отметим, что условия типа (0.2) в многомерном случае удобно формулируются в терминах "максимальной функции".

Пусть J - локально суммируемая функция в R , 6(ъ/0~ • шар радиуса 1 с центром в точке ос , а m./3c*vD- мэра этого шара.

Максимальной функцией Хэрди-Литтлзудо функции f называется функция

\Ъсх,г^

Пусть Ос^рЛ, Ч >о и с . Обозначим через

С/ * *

конус с вершиной в Сс

^CX^^^X.^tR^1; l'X-Dc'Vj^ (0.3)

Будем говорить," что функция t^A^/j) имеет не тангенциальный предел L в точке (х",0) , если для любого р>-/С из условий (.ос,IJ") t (уз^и следует, что

Ute.y—fL .

Основной1 известный результат об интеграле Пуассона с'ядром

П П-^М

-Т^п ; (OCfeR*) (0Л)

х) См.монографию И.СтоИна "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций". М., Мир, 1973.

- 9 -

заключается в следующем (см.книгу И.Стег.на).

ТЕОРЕМА. Пусть З-ер^со . Пусть

ее интеграл Пуассона и - фиксированное число. Тогда

и почти для всех Х ^ функция « имеет ие-

тангенциольныЯ предел ¡(У-") в точке (х^с} .

Наряду с сингулярный интегралои Пуассона с ядрои (0.4), отметим тэкгке многомерный сингулярный интеграл Гэуссз-Вейер-штрассэ с ядром

-г

) (0.5)

Известно, что семейство .операторов Гэусса-Взйерштрэссэ, как и семейство операторов Пуассона, образует полугруппу относительно параметра Г 7 с .

А.в.йадакр;:аканух) принадлежит идея представления в виде интегральной формулы дробной степени оператора через

некото рук полугруппу, ¡п!;пн;;тезпаэльныы (производящий) оператором которой является тот хе сперэтор А • Этот результат позволяет установить тесные ззягй сингулярных аветгрялоз Пуассона, Гауссэ-Зейерц'трзссэ к некоторкх йх модификаций с гипер-сивгулярнымн интегралами, а через них и с потенциалов Риосз

х) Си. монографии С.Г.Самко, А.А.Килбзс, О.Й.Мврячоз "Ивтвгрэ-лк и производные дробного порядка я некоторые их прило.тэйия" Минск, Нэукз и техника, 1967.

п Еосселя.

Новый метод обращения потенциалов Риссо и Бесселя, отличный от известных ранее и основанный но указанной общей идее

Изложенные выше результаты, а именно, теорема о нетангон-цнальной сходимости типа Фату и конструкция Болокришнана-Рубина и послуиши отправным пунктом настоящей диссертации.

Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация параграфов, теорем и ломи сквозная.

Первая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена изучению-скорости сходимости сингулярных интегралов Пуассона и Гэусса-Вейерштрасса, зависящих от ^ - расотаяния, где

положительная, гладкая в £0 функция, удовлетворяющая условию СХ- - однородности

при любых осеЯ^, ХуО » гда ¡1 а'< = а1 -+■■ + сс^ - н ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пусть М-(г)- определенная в (ц^>) поло-жительнап и монотонно возрастающая функция, стремящаяся к

оииальной функцией доке лыш-оу ими руе ной функции . Оч*:^ будем называть функцию

х) Б.О.Гуйш - Ыатеи8тичеокив авиетки, 1987, 1.41, К? I.

А.В.Балакрицнана бил предложен Б.С.Рубинимх^.

Пусть , { ьК » некоторая локально-суммируемая

функция и

у - f 3'J i^p jf(f)| 7 Oc&RK.

При будем о(5означзть y<x)-yü).

Основным рабочий аппарэтои является доказанная в § I. ЛЕША I, Пусть иць И Y1^ определены KSK

выше и выполняется условие

м го. у (г) —=> с при г о и г со .

Тогда справедлива оценка

со ^

р«- J J о

Во втором параграфе исследуется скорость сходиноста сингулярного интеграла типа Гэусса-Вейерштрзсса с пдроа, зависящий от Р - расстояния

, г г f Раи^л

(О.б)

где 7)~ параметр, в константа С выбирается так, чтобы интеграл от ядра ц) был равен единице при лсбои % >с . Положим ^

V (ЭС--И

ТКОРША I. Пусть /(=-/, 1 ., такова, что для

некоторого Ьо в точке ос"<£т выполняется соотношение

I /,1*с-г>-/(^|с|-г=/\ IX") <оо,- (0.7) гда о4-7° некоторое фиксированное число. Тогда скорость сходи-

« ' Г С

поста От (ос,^) К }(■>.)в сочке а при а -> с имеет порядок-''

Для интеграла Гауссс-Войерптрзсоо ядром (0.6)

при ^Ш-'Ш доказан с дедукций результат.о нэтангонциольноП оходимости. ' ...

4 ' ТКОРБКА 2. Пусть ¡е 1£=р<со и в точке эсь

у дев да «¡орле «ш соошошш (0.?) при = Тогда

■ -О(^),

если юдако —^(^о) , праваи

Сое,^- I>0>о| .

0тиоой5оаьио окорссца. даззнгещаааыюй оходаиооти интеграла Пуассаио о пдргк. СО,^) в коадса (0.3) спраБОдзщво

8даоь и всюду8 дзши8йшаи /<71)г 0[<}ш)пра ¿аночее»» едэоадог восагояшмя с ¡¿пая, чю лра

ТЕОРЕМА 3. Пуста р 6 Со .такова,

что для некоторого <Г>о и <с (0,1) выполнено (0,7) при . Тогда

и '

I ш*,^- Дхв,| ~ О(Г),

если только ("Х^ стрештся к (ос" о) оотозздоь внутри конуса Г^*") . "

В § 3 приводятся некоторые обо бдения ц различии варианты. Приведен, в частности, теорзиу о сходииоога семоцсетп сингулярных интегрзлоз з норке пространства Д^СЯ.к) .

ТЕОРЕМА 4. Пусть '/<£. , 1ьрбсо , ФУНКЦИИ

У8Н0В8, ЧТО При 1-7 О И . Ч —>

м-('г>Р счл — г о

■ ■ , <':■■ 3 /

где р(*о- л. а'злйолпязия усЕовва

V <) ' 121 = г ■ ; •

Тогда для шпгегрэлз Пуоосргз 'Шж^спрзвздпнзз соотийсзшш

'.'••'■ Г'' ' - ЬО , ' . ' :

|| Шхфт}^^' & С4|^гу^ъЛх+ с*, у

В изогиооти, ооля у4Сг>в. г , 0<Ы <!•.•• , ю• •

- -

p

Аналогичный факт справедлив и для интеграле Гаусса-Вейер-

о

итрасса.

В четвертой параграфе исследуются аппроксимирующие конструкции для элементов пространства £ , о.с-р <1 . Это пространство не является нормированным и поэтому исследование сингулярных интегралов с плотностями из ¡_, , с< р<1 ,

связано с принципиальными трудностями. Мы обходим эти труд- Г

ности, рассматривая интегралы с плотностями j. (3.) вместо j(ot)^, О • При этом, конечно, теряется свойство линейности сингулярного интеграла, по зато сохраняйся аппроксимативные свойства.

Пусть любой из рассмотренных выше сингулярных

интегралов Пуассона и Гэусса-Вейерштрэсса. Положим

(JU )<*> = С А /Р)'Рiхл

л /<

В этом параграфе исследуется следующая задача. Пусть ' /еХ + ( RK) . г.е. /fcLpiя'*) и /Vx^o . Пусть имеет некоторую "гладкость" в смысле метрики /, (Rk) . Как влияет порядок этой "гладкости" на скорость сходимости агрегата Л I к f при -to .

Основными результатами § Ь являются следующие.

ТЕОРЕМА 7. Пусть / ё* » сср<1 и удовлетворя-

Р

ет условию •

г-

гда С > о - сколь угодно малое число и ^ Тогда прп а-*о

11Л,1'-Л1. ^ с / '

|) . С

ТЫОРЬ'И 8. Пусть ^ i . ОСр<1 I! в ТОПКО выполняется условна ^

( Р РР

£ 1 т. . ^

¡и кг

Тогда при о

)'(*в> -Дэ=-) = ОсЛ

/1

• >»

Вторая главе песвящона исследованию связей интегралов Пуассона, Гаусса-Вейерштрассэ и их модификаций с "усеченными" гиперсингулярными интегралами и изучению сходимости "усеченных" интегралов.

Вместе с интегралами Гаусса-Вайарштрассо пдрои

(0.5) и Пуассона ЦлосД^о пдрои (0.4), рассмотрим ещэ модифицированные интегралы

(& /. , I >0

о

Сж1

(IX , 1>0

где Мопределявмя через функцию Иакдонэльда ^ (г) формулой X

Пусть - натуральное число к

) I

0 г

Введем следующие усеченные интегралы

1

* 1 ■ , ' ■ 1 ~ <=о ■ I) с т 1 -/ ~

( / К«. ^

• ■ эе^,» )Ль. 4

о1 ^ С I

¿Л ) 4 <-

1

• . оС л ^

Отметим, что в интегралах ¿Ь. , и О, , С +1 , а з двух остальных - I: ? Ы +1 ,

Б.С.Рубин показал, что эти усеченны^ интегралы тесно связаны с потенциалами Бесселя и Риссз. А именно, продели (понимаемые надлежащим образом) при ^-^о конструкций

обращают бзсселевц потенциалы, з конструкции - риссо-

<-?Ъ

вы потенциалы (при этом у Ь'»С.Рубина на налагается естественные ограничения 1! £><* - )•

Обсуждению этих фактов и установлению некоторых вспомогательных оценок для метэгэрыонического ядра М (•,-£) • посвящены § 5. В § б'изучается скорость сходимости приведенных усеченных интегралов к функции плотности , удовлетворяющей либо условию (0.7) с °(2>= Ш , либо условию (0.8) о

Приведем, к примеру, оледущие типичные теоремы. ТЕОРЕМА 9. Пусть и в точке 0е°

выполняется условие (0.7) при ^(г>=|2|» Тогда при £~>о

{Ъ* 0^ ) -(Ье-) - О с ^)

ТЕОРЕМА 10. Пусть 1 И в точно

Г < Л

о И.

Dt £ R удовлетворяется соотношение (0.7) с ■ Тогда при £ —? о

Р

(D* схс)= Cet"1)

ТЕОРЕМЫ 13,14. Пусть ( 1 - р < о, -когда

рассматриваются потенциалы Бесселя -Ч Л и —

_ я

для потенциалов Риссэ 1' ).

Тогда при

Il D" If-f|| = L'vt i , l - 1, z 1 1 Lp

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора;

I. Шафиев Ы.Ф. - 0 максимальной функции Харди-Литтлвудэ, Матер. 1У Респ. конф.иол. учен, по fa те t. и .цех., часть П, Баку, Злы, 19БЗ, 257-261.

2. Иефиев 11.Ф. - 0 сходимости в средней одного сеиейстга сингулярных интегралов. Матер. IX Респ.кон;.кол.учен, по ыатем. и уех. Баку, Элю, 1Ь£&, 293-2S4.

3. Щафиев М.Ф. - Обобщенный вариант иакекмлыю!! функции Хэрди-Литтлвудз и его прш. еления к вопросам аппроксимации. Деп. B.1H1ÎTH,\ I5<t2-B86, I9fcG,

Ч-. Шафиев М.В. - 0 нетангенцизльной сходимости ыного-парзметричвокого сеиейства сингулярных интегралов типа Гаусса-Вейерштрасса. Мзтер.УП Респ.конф.иол. учен, по ыатеы. и иех. Баку, Эли, .1987, с.259-260.

5. Алиев И.А., Шафиев И.Ф. - 0 скорости сходимости усеченных гнпероингуцярних интегралов в копсврукдии Бзлзкришнанз-Еубинэ. Дз п. ВИНИТИ, К* 1398-Е92, 1992. .