Обратная задача дискретно-группового анализа линейных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

СИРОТА Юрий Наумович

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДИСКРЕТНО - ГРУППОВОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного педагогического университета им А.И. Герцена.

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Зайцев Валентин Федорович.

доктор физико-математических наук, профессор

Казаков Александр Яковлевич.

доктор физико-математических наук, профессор

Андрианов Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Деревенский Владислав Павлович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский информатики РАН

институт

Защита состоится 16 декабря 2004 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 12 ноября 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Е.К. Липачев

У

9</0320

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена разработке алгоритма решения обратной задачи дискретно-группового анализа и исследованию свойств преобразования, задающего образующую дискретной группы преобразований бесконечного порядка, допускаемую линейными уравнениями второго порядка.

Актуальность темы. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений известен с 1976 года1), когда впервые была продемонстрирована эффективность применения дискретных групп преобразований для интегрирования ряда практически важных уравнений, которые не удавалось решить классическими методами, в том числе с помощью группового анализа С.Ли. Обычно ставятся две задачи - прямая (поиск дискретной группы, допускаемой заданным классом уравнений) и обратная (по заданной структуре дискретной группы строятся классы, ее допускающие, или классы, имеющие решения, являющиеся элементами преобразований группы). Первые шаги в разработке метода обратной задачи дискретно-группового анализа были предприняты Т.В. Кормилициной, которая привела много примеров и задач, но систематизированной теории разработано не было. Выяснилось, что этот метод является дискретным аналогом обратной задачи рассеяния, так как решение линейного уравнения связи удовлетворяет нелинейному уравнению сдвига спектрального параметра. В результате реализации этого подхода получается метод поиска новых классов нелинейных дифференциальных уравнений и их решений.

Как было показано Т.В. Кормилицыной и В.Ф. Зайцевым2л, всякое линейное уравнение 2-го порядка допускает бесконечную циклическую группу преобразований по любому существенному параметру, например, по спектральному параметру А, а элементы преобразований, задающие это преобразование (класса Ли-Беклунда), удовлетворяют неко-

Зайцев В Ф К вопросу о конечных группах преобразований нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Дифференциальные уравнения Труды мгп кафедр пединститутов РСФСР Рязань, 1976 - Вып 7 -

г) Зайцев В Ф, Кормилиурша ТВ Дискретно-групповой подход к спектральным и обратным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений // Лен roc пед ин-т им А И ГЪрцена Л 1986 3 с Дсп в

Зайцев В Ф, Кормилицтпа ТВ О дискретной группе преобразований вырожденного гипергеометрического уравнении // Качественная теория сложных систем ЛГПИ, Л 1986, С 128-132

Зайцев В Ф, Кормилицына ТВ Дискретно-групповой подход к задаче Штурма-Лиувихтя // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи Tyia И*у во Тульского политехнического ип та. 19S7 С 11-14

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ i БИБЛИОТЕКА I С. Петер

9Э

I пи « |

заш

торым нелинейным уравнениям, принадлежащим, как правило, классам, об интегрируемости которых ранее ничего не было известно.

Преобразования Беклунда содержат первую производную и находятся приемом, известным как "метод RF-nap '3 Он состоит в последовательном повышении и понижении порядка исходного уравнения (не эквивалентном тождественному преобразованию) с последующим вспомогательным точечным преобразованием, "возвращающим" получившееся уравнение в класс исходных. Однако, если исходное уравнение линейно, оно априорно допускает понижение порядка, которое приводит его к уравнению Риккати. Преобразование "на уровне 1-го порядка" и последующее повышение порядка приводит нас снова к линейному уравнению 2-го порядка. Совершенно очевидно, что такое преобразование значительно менее трудоемко, чем метод метод RF-пар, так как исключает появление и преобразование уравнений более высокого порядка, чем исходное. Поэтому на основе предложенного преобразования (которое в дальнейшем будем называть преобразованием Мёбиуса) возможно построение реально действующего алгоритма, трудоемкость которого не превосходит возможности современных пакетов систем аналитических вычислений.

Таким образом, появляется возможность в полной мере использовать замечательные свойства преобразования Мёбиуса. С его помощью решаются прямые задачи Штурма-Лиувилля, т.е. восстанавливается множество собственных значений по одному известному. Преобразование Мёбиуса позволяет также получать явные решения так называемых "уравнений сдвига спектрального параметра', которые появляются при попытке решить прямую задачу восстановления множества значений параметра. Это возможно ввиду того, что решения начального и конечного уравнений связаны зависимостью, называемой " уравнением связи ". Оно сводится к неоднородному линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ЛОДУ). Оказывается, решение уравнения связи удовлетворяет уравнению сдвига спектра, которое является нелинейным уравнением 3-го порядка.

Преобразование Мёбиуса обладает очень интересными аналитическими свойствами. Как известно, основы аналитической теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) научно обоснованы в трудах Гаусса, Римана, Фукса во второй половине XIX века. В этих работах были изучены такие основные объекты, как регу-

Зайцев В Ф , Полянин А Д Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям М. Физдатлнт, 1993 482 с

лярная и иррегулярная особые точки, решения Фробениуса, матрицы монодромии и связи. Было показано, что знание группы матриц мо-нодромии для заданного ЛОДУ позволяет исследовать спектральные задачи для уравнения с особыми точками, не решая само уравнение. К сожалению, вычисления матриц монодромии и связи были реализованы только для гипергеометрического уравнения Гаусса-Римана-Куммера и, соответственно, для всех конфлюэнтных уравнений гипергеометрического типа. Получение аналогичной информации для более сложных уравнений является трудной задачей, которая к настоящему времени в полном объеме не решена. В связи с этим возникает необходимость искать иные возможности получения аналитической информации о матрицах монодромии (связи) для более сложных, чем гипергеометрические, уравнений, в частности, для уравнений класса Гойна. Это связано с тем, что уравнение Гойна (уравнение класса Фукса с 4 регулярными особыми точками) представляется естественным обобщением гипергеометрического уравнения (уравнения класса Фукса с тремя регулярными особыми точками).

Заметим, что теория обратных задач - активно развивающееся направление современной математики, обусловленное необходимостью решения важных классов прикладных задач, особенно в области моделирования и обработки наблюдений. Подобные задачи часто возникают при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому новые возможности, открывающиеся при использовании алгоритмов обратной задачи дискретно-группового анализа, представляются весьма важными и актуальными.

Цель работы. Нахождение решений некоторых классов нелинейных уравнений с помощью обратной дискретно-групповой задачи, решение прямых дискретно-групповых задач по восстановлению множества значений спектральных и акцессорных параметров, разработка алгоритмов для получения дифференциальных уравнений с измененными аналитическими свойствами решений Фробениуса, применение этих алгоритмов для интегрирования уравнений в окрестности регулярной особой точки в терминах известных специальных функций, нахождение новых взаимосвязей между специальными функциями, между матрицами связи начального и конечного уравнения.

Методика исследования. В работе применяются методы дискретно-группового анализа, теории функций комплексного переменного и аналитической теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все основные научные результаты являются

новыми либо доказываются новыми способами. Так, преобразованием Мёбиуса обобщены и унифицированы многие существовавшие ранее способы восстановления множества параметров уравнений гипергеометрического типа. Разработан универсальный алгоритм для преобразования собственных функций уравнений Лагерра, Эрмита, Геген-бауэра, Лежандра, Чебышева, Якоби при изменении их собственных значений. Найдены решения некоторых классов нелинейных уравнений. Показано, что если преобразование Мёбиуса связывает между собой решения начального и конечного уравнения, то: 1) характеристические показатели у решений начального и конечного уравнений могут отличаться лишь на целое число, 2) уравнения могут иметь разное число ложных особых точек, 3) положение ложных особых точек можно определять произвольно с помощью подходящего выбора параметров преобразования. Установлены соотношения между матрицами связи гипергеометрического уравнения и некоторых случаев уравнения Гойна. Как частный случай, эти результаты применены к уравнению Гойна с одной ложной особой точкой, решения которого могут быть выражены в терминах гипергеометрический функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в дальнейших исследованиях по дискретно-групповому анализу и аналитической теории дифференциальных уравнений. Результаты первой главы могут быть включены в литературу по специальным функциям и использованы при разработке спецкурсов по специальным функциям. Материал второй главы может быть включен в литературу по аналитической теории дифференциальных уравнений и специальным функциям, использован в учебном процессе (в специальном курсе по дифференциальным уравнениям) на математических и физических факультетах университетов и педагогических институтов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

• на научном семинаре ПОМИ им. Стеклова в марте 2003г.,

• на научных конференциях "Герценовские чтения", проводившихся в апреле 2003 пив апреле 2004 г.,

• на региональной международной конференции "Региональная информатика - 2004" в Санкт-Петербурге в июне 2004 г.,

• на "Чеботаревских чтениях" в Казани в июне 2004г.,

б

• на международной конференции "Дни дифракции" в июле 2004г. в Санкт-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах. Результаты, полученные в совместной работе [1], принадлежат авторам в равной мере.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключений к каждой из них, списка литературы, содержащего 75 наименований. Объем диссертации 94 страниц.

Нумерация предложений и уравнений в работе сквозная - в каждом предложении указаны две позиции: номер главы и номер соответствующего предложения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, приводится обзор результатов исследований по ее тематике, кратко излагается содержание работы.

В главе 1 выполнены общие исследования обратной задачи дискретно-группового анализа.

В разделе 1.1 главы 1 приводятся основные понятия задачи Штурма-Лиувилля, вводятся уравнения сдвига спектрального параметра и уравнение связи, формулируются прямая дискретно-групповая задача и дискретный аналог обратной задачи.

Обсуждается одно аналитическое преобразование, которое связывает между собой решения разных ЛОДУ второго порядка. Вывод формы упомянутого преобразования основан на следующих фактах. ЛОДУ второго порядка

А*)=Р(г)А2)+9(*Ыг), (1)

известным образом (т(г) = связано с уравнением Риккати,

, так что от решений исходного ЛОДУ можно перейти к решениям уравнения Риккати. Ключевым моментом является следующий факт: если подвергнуть решение уравнения Рик-кати дробно-рациональному преобразованию:

а(г)т(г) + 0(г) ...

Щ> 7 (г)т(г) + ф) 7 (2)^(2) + ' (2}

то вновь получается решение уравнения Риккати (с другими коэффициентами), которое опять можно связать с ЛОДУ второго порядка.

При этом последнее уравнение, которое назовем конечным ЛОДУ, будет иметь коэффициенты, отличные от коэффициентов исходного ЛОДУ. При этом получается явное соотношение между решениями исходного и конечного ЛОДУ второго порядка

ц'(г) М{г) а{гЩг) + 0(г)у(г)

и{г)~ Д(х) ' 1{гУ{г) + 6{г)у{гУ (3)

где

которое позволяет связать аналитические свойства решений исходного и конечного уравнений. В частности, получаем соотношение между матрицами связи4) начального и конечного ЛОДУ. Отметим, что коэффициенты конечного уравнения зависят от функциональных параметров упомянутого выше дробно-рационального преобразования. Выбирая эти параметры, можно изменять особые точки уравнения, их характер и их число.

Кроме того, с помощью дробно-рационального преобразования можно искать такие уравнения, форма которых остается неизменной под воздействием описанного выше преобразования.

В разделе 1.2 анализируются уравнения связи (3) и уравнение сдвига спектрального параметра (УССП):

+ [2р(-р/3 + рУ" - рр'р" - 4рп/р')7 + 2р2(2рр" 4- 4п>р - р'2)}-у'+

появляющееся при попытке решить прямую дискретно-групповую задачу - задачу восстановления множества спектрального параметра. При этом структура исходного уравнения должна остаться неизменной, а только лишь спектральный параметр изменяется под действием элемента группы преобразований.

В разделе 1.3 решается прямая дискретно-групповая задача по восстановлению множества значений параметров уравнения Бесселя и уравнения Бесселя мнимого аргумента, Ломмеля, Вебера. В уравнениях Уиттекера и уравнении для присоединенных функций Лежандра восстанавливается множество значений двух параметров.

Славяиов С.Ю., Лай В Специальные функции. Единая теория, основанная на анализе особенностей СПб: Невский диалект, 2002 312 с.

В разделе 1.4 решается обратная дискретно-групповая задача для уравнений гипергеометрического типа. Доказан следующий факт:

Преобразование Мёбиуса связывает собственные функции операторов Штурма-Лиувилля для уравнений Лежандра, Эрмита, Чебышева первого и второго рода, Лагерра, Гегенбауэра, Якоби при изменении значений спектрального параметра.

Все приведенные уравнения относятся к уравнению гипергеометрического типа. Для уравнений гипергеометрического типа справедлива теорема, доказанная в заключении 1.5:

Теорема 1.10. Пусть у(х) - решение начального уравнения:

[г/р]' + г Ли = О,

а и(х) - решение преобразованного уравнения:

[и'р]' + гии = 0.

Если один из параметров преобразования ¿(х) — 1, а значение спектрального параметра начального уравнения А = 0;, то уравнение связи (3) имеет решение вида

удовлетворяющее уравнению сдвига спектрального параметра (4).

Можно констатировать, что методом обратной задачи удалось решить целый класс уравнений сдвига спектрального параметра, получить произвольное изменение значения спектрального параметра в рамках множества значений собственных чисел, при этом собственная функция преобразовывалась в собственную функцию, т.е. краевые условия при решения обратной задачи не изменялись.

Дискретный аналог обратной задачи обобщен следующей теоремой: Теорема 1.12. Пусть преобразование Мёбиуса трансформирует уравнение

у"(х) + р(х)ь'(х) = 0

в уравнение

и"(х) + А(х)и'(х) + В{х)и{х) = 0,

фундаментальная система решений которого первоначально известна. Тогда "условиетрансформации"

2(14- 7'+Р7)У" - ЗУ2 ~ 6(Р7)'7" + (-4В - 6р2 + 6р' + 2А' + А2)^+ + 2[(р" — 2р3 + рЛ2 - 4Вр + 2Л'р)7 + 2А' - 2р2 - 4В + Л2 4- 4р,]У+

+ 2(2А'р+Рр'-р3-4Вр+р"+рЛ2)7-р2 + 2р'-4В+2Л' + А2 = О,

при выполнении которого данное преобразование возможно, имеет решение

Условием трансформации называется уравнение, по смыслу эквивалентное УССП. Его решение позволяет получить такие параметры преобразования Мебиуса, при которых указанная в теореме трансформация возможна. Этот алгоритм позволяет находить решение нелинейных обыкновенных уравнений третьего порядка (5) — условия трансформации, решая линейные неоднородные уравнения (3) — уравнения связи.

В главе 2 выполнены исследования аналитических свойств преобразования Мёбиуса, найдены решения некоторых уравнений в терминах известных специальных функций и получены данные монодромии для некоторых уравнений класса Фукса.

Основным сведениям аналитической теории и описанию локальных свойств преобразования Мёбиуса посвящены разделы 2.1 и 2.2 второй главы соответственно5^ Будем рассматривать ситуацию, когда коэф-

э)Основные понятия (регулярная и ложная особая точка, характеристические показатели, решения Фробениуса

1) Голубев В В Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений М ГЬсгехиэдат, 1941 398 с

2) Чибритюва Л И Избранные гтавы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений Казань Казанский фонд "Математика" 1996 312 с

фициентами ЛОДУ (1) являются рациональные функции независимого переменного Z. Если функциональные параметры a(z), 0(z), 7(2), 6{z) дробно-рационального преобразования (3) (как и коэффициенты исходного ЛОДУ) являются рациональными функциями независимой переменной, то и коэффициенты конечного ЛОДУ будут рациональными функциями независимой переменной.

В разделе 2.2 второй главы доказаны следующие теоремы: Теорема 2.1. Ложная регулярная точка порядка k — 1 - устранимая особая точка уравнения (1).

Теорема 2.2. Пусть z% - регулярная особая точка исходного уравнения (1), причем эта точка не является ни точкой вырождения дробно-рационального преобразования (Д(2») ^ 0), ни нулем функции M(z). Тогда z» - регулярная особая точка для конечного уравнения, преобразование (3) переводит решения Фробениуса начального уравнения в решения Фробениуса конечного уравнения, причем разность соответствующих характеристических показателей равнар-\.

Здесь р_1 является вычетом коэффициента при первой производной начального уравнения, разложенного в ряд

Теорема 2.3. Пусть выполняются следующие условия:

1) исходное уравнение имеет в окрестности точки только

голоморфные в этой точке решения;

2) параметры дробно-рационального преобразования голоморфны в ок-

рестности этой точки;

3) разность характеристических показателей конечного уравнения

в точке z = Z, - целое число.

Тогда решения Фробениуса конечного уравнения не содержат слагаемого с логарифмическим поведением в окрестности точки разность их характеристических показателей в точке z„ является целым числом.

Теорема 2.4. Если точка z = гщ является нулем кратности к функции M{z), не совпадает с особыми точками исходного уравнения и A(z.) 0, то конечное уравнение имеет в точке z = zt ложную регулярную особую точку порядка k + 1.

Теорема 2.5. Если точка z = z„ - (простая) точка вырождения дробно-рациональногопреобразования, т.е. A(zt) = 0, не совпадает с нулями функции M{z) и с особыми точками исходного уравнения, то конечное уравнение имеет в точке z = z„ устранимую регулярную особую точку.

Теорема 2.6. Если точка z = z„ - одновременно простой ноль функции и регулярная особая точка исходного уравнения, и не

является точкой вырождения дробно-рационального преобразования (A(zt) j^O), то эта точка будет регулярной особой точкой конечного уравнения, причем дробно-рациональное преобразование переводит решения Фробениуса исходного уравнения в решения Фробениуса конечного уравнения и разность характеристических показателей либо изменяется на 2, либо не изменяется.

Теорема 2.7. Пусть точка z = z„ - простой ноль функции M(z) и простая точка вырождения дробно-рационального преобразования, т.е. A(z„) =0 и обыкновенная точка исходного уравнения. Тогда эта точка будет либо обыкновенной точкой конечного уравнения, либо ложной особой точкой.

Теорема 2.8. Преобразование Мёбиуса сохраняет принадлежность уравнения классу Фукса, если параметры преобразования ot(z), 0(z), суть линейные функции.

Теорема 2.9. Преобразование Мёбиуса переводит решения Томе начального уравнения в решения Томе конечного уравнения, при этом характеристические множители не меняются.

Теорема 2.10. Ни точка кратного вырождения преобразования, ни ее совпадения с исходной особенностью начального уравнения или кратными нулями не образуют иррегулярной точки в конечном уравнении.

В разделе 2.3преобразование Мёбиуса обобщается: показывается, что уравнение Риккати является инвариантным относительно дробно-квадратичного преобразования с одним ограничением на параметры преобразования. Дробно-квадратичное преобразование обладает 4 независимыми параметрами преобразования, т.е. на один больше, чем дробно-линейное.

В разделе 2.4 обсуждается глобальное поведение решений Фробениуса, а именно, устанавливается изменение матриц связи под воздействием преобразования Мёбиуса. Рассматриваются две пары решений

Фробениуса в окрестности двух регулярных особых точек г\ и 2%:

где VI,! (г) и г»2д(г) - решения начального уравнения в окрестности особой точки 21, а 1*1,2(2) и «2,2(2) - в окрестности другой особой точки хч. При этом решения ^1,1(2) и г-'],2(г) голоморфны в точке Тогда щ¿(г) и и2,к{г) (к := 1, 2) - решения конечного уравнения в окрестностях точек 2\ и 22 соответственно. Определяются матрицы связи

для решений Фробениуса в точке г\ и гч для начального и конечного уравнения соответственно

ВД => ЦЬЩг),

Следующие теоремы выявляют соотношения для матриц связи Г(£) и Е(£) в двух случаях:

Теорема 2.11. Пусть регулярная особая точка 22 не является ни точкой вырождения дробно-рационального преобразования (Л (2») -ф 0), ни нулем функции М(г). Тогда

Л* Л 2ц ( Фг)___7(22) 1 Гц

где рч, р\ - показатели ветвления решений Фробениуса конечного уравнения; ¡12 - показатель ветвления неголоморфного решения Фробениуса исходного уравнения, решения Фробениуса соответствуют точке 22, к - значение производной ^1,2(22) голоморфного в точке г = гч решения Фробениуса.

Теорема 2.12. Пусть точка ¿2 - одновременно регулярная особая точка уравнения и нуль функции М(г) и не является точкой вырождения дробно-рационального преобразования (Д(г*) / 0). Тогда выполняется соотношение:

2ц _ 6Щ +УЫ[1 + 11е8 фа)] Гц НИ ¿(га) Гц"

Здесь Исб 9(22) означает вычет функции q{z), вычисленный в точке 22-

В разделе 2.5 приводятся приложения преобразования Мёбиуса - отталкиваясь от известных и хорошо изученных уравнений (например, гипергеометрического класса, уравнения Эйри и Вебера), строятся более сложные уравнения, исследуются их аналитические свойства. Как следствие, исследуется связь таких объектов, как особые точки, наборы решений Фробениуса, матрицы связи и пр., исходного уравнения и тех уравнений, которые можно из него получить с помощью описанной процедуры, добывается аналитическая информация об этих объектах. В том числе:

1. На основе гипергеометрического уравнения Гаусса строится уравнение Гойна с ложной точкой 2-го и 3-го порядков, уравнения класса Фукса с 5 и б особыми точками; доказывается, что на основе гипергеометрического уравнения с помощью преобразования Мебиуса можно построить уравнение класса Фукса, отличающееся от исходного наличием любого количества произвольно расположенных ложных особых точек.

2. На основе конфлюэнтного гииергеометрического уравнения строится конфлюэнтное уравнение Гойна с ложной точкой 2-го порядка, показывается алгоритм для получения конфлюэнтного уравнения Гойна с ложной точкой любого порядка. Приводятся вычисления, в результате которых получаем уравнение, отличающееся от начального вырожденного уравнения Гаусса наличием двух ложных особых точек; показывается возможность менять набор особых точек за счет увеличения (уменьшения) количества произвольно расположенных ложных особых точек.

3. На основе уравнения Гойна и его конфлюэнтной версии строют-ся уравнения, отличающиеся от начальных наличием двух произвольно расположенных особых точек; акцессорный параметр при этом меняется контролируемым образом и зависит от расположения новых ложных точек.

4. С помощью преобразования Мебиуса меняем набор особых точек уравнений Эйри и Вебера за счет добавления ложных особых точек.

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Зайцеву Валентину Федоровичу и научному консультанту доктору физико-

математических наук, профессору Казакову Александру Яковлевичу

за постоянное внимание к моей работе и помощь в ее выполнении.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

[1] Сирота Ю.Н. Преобразование Мёбиуса для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н.Сирота, А.Я.Казаков I/ Труды научных семинаров ПОМИ РАН- 2004- Т.308 - С.67-88.

[2] Сирота Ю.Н. Обратная дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Сирота // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2004. - СПб.: Издательство БАН, 2004. С.96-101.

[3] Сирота Ю.Н. Преобразование Мёбиуса линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка / Ю.Н.Сирота // Труды математического центра имени Н.Л.Лобачебского.- 2004. - Т.24. - С.98-105.

[4] Сирота Ю.Н. О дискретном аналоге обратной задачи / Ю.Н.Сирота // Тезисы конференции "Региональная информатика-2004". СПб, 2004. - С.403-404.

[5] Сирота Ю.Н. Приложения преобразования Мёбиуса / Ю.Н.Сирота // 13 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, №1078-В2004.

[6] Сирота Ю.Н. Дискретно-групповая задача для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка / Ю.Н.Сирота // 8 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, №1079-В2004.

[7] Сирота Ю.Н. Обратная дискретно-групповая задача уравнений гипергеометрического типа / Ю.Н.Сирота // 24 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1080-В2004.

»22 4 6 3

РНБ Русский фонд

2005-4 23897

Подписано к печати 04.11.04. Формат 60x90 /16. Бумага офсетная. Печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № ^ Санкт-Петербург, ООО «АБЕВЕГА», Московский пр., д.2/6 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 65-299

Введение. Обзор полученных результатов

1. Дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений

1.1. Постановка задачи.

1.2. Уравнение сдвига спектрального параметра и уравнение связи.

1.3. Прямая дискретно-групповая задача.

1.3.1. Уравнение Бесселя.

1.3.2. Уравнение Уиттекера.

1.3.3. Уравнение Ломмеля.

1.3.4. Уравнение Вебера (параболического цилиндра)

1.3.5. Уравнение присоединенных функций Лежандра

1.3.6. Уравнение гармонического осциллятора.

1.4. Обратная задача.

1.4.1. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

1.4.2. Уравнение Лежандра

1.4.3. Уравнение Эрмита.

1.4.4. Уравнение Чебышева для полиномов 1-го и 2-го рода.

1.4.5. Уравнение Лагерра.

1.4.6. Уравнение Гегенбауэра.

1.4.7. Уравнение Якоби.

1.4.8. Уравнение Куммера.

С момента появления дифференциальных уравнений в математической практике проблема поиска их решений в замкнутом (аналитическом) виде остается актуальной, несмотря на появление мощного аппарата качественной, аналитической и численной теорий, а также электронных вычислительных средств. Причина этого кроется в первую очередь в потребности большинства прикладных наук в представлении решений модельных уравнений в виде точных аналитических формул с явно заданными зависимостями от параметров, имеющих ясный физический смысл.

На протяжении XX века интерес к точным методам решений то затухал, то снова возрастал, и к настоящему времени возникла ситуация, когда возможности классических методов уже явно исчерпаны, а количество сложных моделей (с большим числом параметров, имеющих неединственное решение и др.) резко растет. Методы классического группового анализа хорошо себя зарекомендовали в теории уравнений с частными производными, а применение их при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений чаще всего дает предсказуемый результат и является не слишком продуктивным. В конце XX века появился дискретно-групповой анализ [14], который оперирует с конкретным классом уравнений. При этом любой элемент класса определяется набором существенных параметров, которые и изменяются под действием преобразования, в то время, как структура уравнения остается инвариантной. Таким образом, дискретная группа преобразований является группой эквивалентности. Она позволяет расширить множество разрешимых уравнений в случае, если известно хоть одно разрешимое уравнение при каком-то выбранном значении существенного параметра.

Множество преобразований, оставляющих неизменным структуру уравнения, но меняющим набор существенных параметров, образуют группу. Элемент группы преобразует уравнение исходного класса в уравнение того же класса, и решение исходного уравнения в решение конечного. Множество всех уравнений данного класса образуют орбиту, если все элементы связаны между собой элементами группы.

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с обычными краевыми условиями [у'(х)р(х)]' + г>(ж)[д(ж) + Аг(х)] = 0. В качестве существенного параметра выберем спектральный параметр А. Если при фиксированных краевых условиях удалось бы его изменять, то мы получили бы связь собственных функций оператора Штурма-Лиувилля, отвечающих различным значениям спектрального параметра. В работе строится преобразование Мёбиуса, которое в некоторых случаях позволяет реализовать решение поставленной задачи. При этом значения спектрального параметра образуют циклическую группу С^, которая при наложении краевых условий ("правила отбора") может выродиться в псевдогруппу. Знание дискретной группы (псевдогруппы) позволяет восстановить весь спектр по одному известному значению (прямая задача дискретно-группового анализа).

Преобразование Мёбиуса основано на том, что Л ОДУ второго порядка связано с уравнением Риккати, которое инвариантно относительно дробно-линейного преобразования. При этом ключевым моментом является то, что существует "уравнение связи", которое связывает решения начального и преобразованного уравнения, соответствующие различным значениям параметра А.

Наличие 3-х независимых параметров преобразования позволяет при должном их подборе менять спектральный параметр А. Но в большинстве случаев это не реализуемо прямыми методами. Для этого в настоящей диссертации разработан дискретный аналог обратной задачи, заключающийся в следующем: пусть нам известны множество значений параметра А и решения уравнения при различных значениях параметра А. Реализуем преобразование Мёбиуса с тремя независимыми параметрами преобразования так, чтобы решение начального уравнения преобразовывалось в решение конечного уравнения. При этом значения параметров преобразования нам не известны, но известно условие, названное "уравнением сдвига спектрального параметра" (далее УССП), которому параметры преобразования должны удовлетворять, чтобы такая трансформация была возможна. УССП является нелинейным уравнением третьего порядка относительно параметров преобразования. Если бы мы решили УССП относительно параметров, то получили бы желаемое изменение спектрального параметра. Это в большинстве случаев невозможно. Но, решения начального и конечного уравнения удовлетворяют "уравнению связи", которое зависит и от параметров преобразования. При этом относительно параметров преобразования это "уравнение связи" линейно, точнее сводится к линейному. Из него можем получить значения параметров преобразования, при которых возможна трансформация спектрального параметра. Очевидно, что найденные из уравнения связи параметры преобразования будут удовлетворять и УССП.

Таким образом, получаем алгоритм для решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка. В некотором смысле он аналогичен обратной задаче теории рассеяния, в которой эволюция данных рассеяния представляется решением линейных дифференциальных уравнений. Заметим, что среди классов нелинейных уравнений, решаемых методом обратной задачи дискретно-группового анализа, имеются и "неприводимые", т.е. уравнения, порядок которых невозможно понизить известными к настоящему времени методами (напомним, что простейшим "неприводимым" уравнением является первое уравнение Пенлеве у" — 6у2 + х).

Впервые идея постановки обратной задачи дискретно-группового анализа балы выдвинута Кормилициной Т.В. и Зайцевым В.Ф. Были предприняты попытки построить общую теорию обратных дискретных задач. Но, в основном, были построены многочисленные примеры. Причинами относительных неудач явились: 1) выбор в качестве промежуточного уравнения 3-го порядка, что существенно осложнило алгоритм, и 2) отсутствие мощных систем аналитических вычислений на ЭВМ.

В настоящей работе выполнены общие исследования обратной задачи дискретно-группового анализа и результаты, полученные в ней, открывают путь к ее регулярному применению. Существенное видоизменение алгоритма, предложенные автором настоящей работы, позволило резко снизить трудоемкость вычислений. Применение теории обратных задач особенно перспективно для поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений. В работе приведен широкий класс уравнений, найдено его решение.

Заметим, что еще в начале XIX столетия математики поняли, что зависимую переменную в дифференциальном уравнении (ДУ) далеко не всегда можно представить в виде конечной композиции известных к тому моменту функций. Тогда и были предприняты первые попытки увеличить количество математических функций за счет присоединения к ним новых, являющихся решениями дифференциальных уравнений. Это привело к мысли об исследования решения дифференциального уравнения и его свойств по его виду, так как известно, что решение является линией в фазовом пространстве - интегральной кривой. Подобный подход характерен для качественной теории дифференциальных уравнений. О.Коши предложил рассматривать решения дифференциальных уравнений как функции комплексной переменной. При этом независимая и зависимая переменные в дифференциальном уравнении предполагаются комплексными переменными и при исследовании дифференциального уравнения используются все достижения теории функций комплексного переменного. В основном, изучаемые в аналитической теории уравнения являются многочленами относительно зависимой переменной и ее производных, а коэффициенты - аналитические функции. Поведение решения и область его существования определяется точками, где нарушается аналитичность функции - особыми точками. В точках регулярности же решение определяется внутри некоторой окружности и задается элемент аналитической функции, удовлетворяющий ДУ, и все аналитические продолжения этого элемента на всю область тоже удовлетворяют этому ДУ согласно теореме о монодромии [48]. Поэтому аналитическая функция в целом есть также решение того же дифференциального уравнения [60], [5]. Оказывается, что решения ДУ могут являться многозначными функциями, поэтому приведем классификацию особых точек аналитических функций -решений ДУ, которая впервые была предложена Пенлеве [4]. Эта классификация основана на числе значений, которые принимает функция при обходе вокруг особой точки.

Определение. Особая точка г = го функции ъи(г) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции ги(г) меняется. В противном случае особая точка 2 = го функции ги(г) называется некритической.

Пусть п - наименьшее целое число (п > 1), такое, что после п-кратного обхода точки г — го значение функции ги(г) возвращается к первоначальному значению. Тогда т(г) выражается через г в виде

1 2 и)(г) = а0 + а\[г - + а2(г - го)« + . и точка го называется критической алгебраической точкой.

В случае если гп(г) представима в виде и>(г) ~ а-т(г■ - + • • • + о-1(2 — + ао + •. •, то точка г — го называется критическим полюсом.

Если после однократного обхода значение функции совпадает с начальным, то такая особая точка называется особой точкой однозначного характера, а IV (г) представима рядом Лорана

00 к=—оо

В случае, если содержит логарифмические слагаемые, то особая точка является трансцендентной.

Каждый раз обход совершается по контуру (или ему гомотопному), не охватывающий других особых точек.

Рассмотренная классификация типов особых точек была дана без учета их расположения на комплексной плоскости. Немецкий ученый Л. Фукс разделил особые точки по их отношению к начальным условиям [26], поскольку одни особые точки решений могут зависеть от начальных данных, другие - нет.

Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений на комплексной плоскости, положение которых не зависит от начальных данных, определяющих решение, называются неподвижными особыми точками.

Определение. Особые точки решений дифференциальных уравнений, зависящие от начальных данных, называются подвижными особыми точками.

Важные результаты были получены Пенлеве и его учениками Гам-бье, Гарнье, Шази, касающиеся классификации уравнений 2-го порядка в зависимости от наличия подвижных особых точек. Он доказал, что отсутствие критических подвижных особых точек является признаком наличия решения ДУ.

Аналитическая теория дифференциальных уравнений развивалась параллельно с общей теорией. Начало ее развитию было положено в работах Коши, который для широкого класса уравнений доказал существование интегралов, которые не приводятся к вычислению интегралов от известных функций, а сами интегралы не выражаются конечными комбинациями известных функций, т.е. представляют собой некоторые аналитические функции комплексного переменного. Результаты Коши носили локальный характер. Поведение интегральных кривых изучалось лишь в области, определяемой начальными данными. Но этот метод не давал возможности изучить поведение интеграла как аналитической функции во всей области его существования.

Для линейного дифференциального уравнения показано, что его особыми точками могут быть только особые точки его коэффициентов. В окрестности регулярных особых точек решения ДУ второго порядка можно представить в виде пл = (г- гк)К1[сю-\-сп(г - гк) + .], , >. где гк - особые точки коэффициентов, а К{, г = 1, 2 - характеристические показатели (показатели ветвления) решений. Правда, одно из решений может содержать логарифмическую особенность. Разность показателей ветвления |«х — К2\ является инвариантным показателем решений, определяет их поведение в окрестности особой точки. При этом особыми точками ЛОДУ могут быть только особые точки коэффициентов самого уравнения. Автором данной работы разработан алгоритм изменения главного показателя особой точки - разности показателей ветвления решений - на целое число. При разработанном алгоритме появляется возможность менять и набор особых точек: преобразование Мёбиуса, изученное в данной работе, позволяет получать новые уравнения, отличающиеся от исходного наличием дополнительных произвольно расположенных ложных1) особых точек. Следовательно, конечное уравнение, отличающееся набором особых точек, может быть проинтегрировано в терминах известных специальных функций, гипергеометрических, к примеру. На основе хорошо изученных уравнений, таких как гипергеометрическое уравнение и его конфлюэнтной версии, уравнениях Эйри и Вебера, были построены более сложные, такие как уравнения Гойна2) и его конфлюэнтная модификация, и, следовательно их решения могут быть выражены в терминах известных специальных функция. Кроме этого, как само уравнение Гойна, так и все его конфлюэнтные версии, имеют широкие приложения в задачах теоретической и математической физики.

Так как преобразование Мёбиуса обладает групповыми свойствами, то обращая преобразование появляется возможность "стирать" ложные точки, упростить тем самым структуру римановой поверхности, задаваемой решениями ДУ. в книге Чибриковой Л. И. [61] они называются "кажущимися". Решения в окрестности ложных точек представляется Лорана (*), отсутствует логарифмическое слагаемое, а разность |«1 — «2! 6 При обходе вокруг особой точки интеграл переходит в интеграл • е2лгК{, г 1, 2. В случае ложной особой точки решение уравнения приобретет множитель е27,171 = 1, так как п £ Ъ. Таким образом, ложная особая точка является точкой однозначного характера.

2'К числу наиболее фундаментальных трудов, посвященных уравнению Гойна, относится книга "Дифференциальные уравнения Гойна" под редакцией А.Ронво, "Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей" С.Славянова и В.Лайя. Среди работ, посвященных уравнениям класса Гойна, следует отметить работы Казакова А.Я., Экстона Г., Майера Р., Смирнова А.О., Беккера П.А., Чибриковой Л.И.

Согласно аналитической теории, если взять произвольную систему интегралов 11)1, то после обхода вокруг особой точки х\ получим интегралы которые будут выражаться через ги^ при помощи соотношений

Щ = ацго 1 + а12гУ2, Щ = «21^1 + «22^2, что означает, что над фундаментальной системой начальных интегралов было произведено линейное преобразование с матрицей А = [ач\ы1,2 • Аналогично, при обходе вокруг иной особой точки ¿2 Фундаментальная система решений претерпевает преобразование с матрицей В — [^¿Г^• Набор этих матриц образуют группу монодромии: при одновременном обходе вокруг двух особых точек г\ и гг линейное преобразование решений задается матрицей В А, при этом произведение матриц не коммутативно, но ассоциативно, а обход в обратном направлении задается линейным преобразованием с матрицей А~1 (рис. 1).

А00 = Аз~1А2-1А1-1

Рис. 1: Обход аналитической функции вокруг 3-х особых точек и оо

Эти факты позволяют изучать поведения интегралов при обходе ими особых точек, т.е. во всей комплексной плоскости. А определение группы монодромии есть основная задача интегрирования линейного дифференциального уравнения, поставленная в самом общем случае, так как по матрице монодромии можно определить поведение решения в окрестности особой точки.

Некоторые многозначные функции, имеющие заданные особенности, определяются в основном при помощи задания соответствующей группы монодромии. Поэтому к уравнению класса Фукса можно подойти и с других позиций. К примеру, приведем задачу: найти все многозначные функции с тремя особыми точками 0, 1 и со и заданной группой монодромии. Такая постановка приведет нас к построению гипергеометрического уравнения Гаусса, так как функции, удовлетворяющие поставленным выше условиям являются интегралами уравнения Гаусса, и, следовательно, могут быть выражены через гипергеометрические функции. Поставленную задачу можно обобщить, взяв большее число особых точек. Однако, когда в уравнении число особых точек больше 3-х, то в уравнении появляются акцессорные параметры, т.е. параметры, от которых не зависят характеристические показатели решений уравнения, но зависит группа монодромии. Пока нет методов, позволяющих по группе монодромии определить акцессорные параметры, а, следовательно, и само уравнение. В общем случае задача об определении функций, удовлетворяющих Л ОДУ и с заданным набором особых точек и группой монодромии была поставлена Гильбертом - эта проблема существования ЛОДУ, имеющих заданный набор особенностей и группу монодромии. Проблема получила название 21 проблемы Гильберта. Первые попытки в решении данной проблемы осуществил сам Гильберт, Племель.

В настоящий момент матрицы монодромии в полной мере известны только для гипергеометрического уравнения Гаусса и его конфлю-энтных версий, и являются "сердцевиной теории гипергеометрических рядов", они следуют из пяти формул Больца1). Свойства решений в окрестности каждой особой точки описываются Р-функцией Римана, но они не описывают полностью дифференциального уравнения на всей комплексной плоскости (при числе особых точек большим трех), так как решения полностью не определяются только лишь характеристическими показателями, но и акцессорными параметрами, входящими в коэффициенты уравнения. Этот недостаток могло бы устранить знание закона аналитического продолжения вдоль контура, не проходящего через особые точки уравнения, так как этому обходу соответствует линейное преобразование фундаментальной системы решений. Автором данной работы получены подобные формулы для уравнений класса Фукса с любыми 3 особыми точками и при произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точках. Следовательно, знание группы монодромии позволило бы описать полностью всю локальную теорию уравнений класса Фукса, но и глобальную теорию, поскольку стали известны законы аналитического продолжения на всю плоскость.

В случае уравнений класса Фукса с числом особых точек большим 3-х можно ставить сингулярные задачи Штурма-Лиувилля, в которых

Подробнее см. в книгах Чибриковой Л. И. [61] и справочнике Бейтмена Г., Эрдейи А. [2] роль спектрального параметра играет акцессорный параметр. К примеру, в уравнении Гойна у"(г) + (2 + л + —) + ( а/?п7 л № = г — 1 г —а/ — 1 ){г — а)

А - спектральный параметр. На концах промежутка строго фиксировано поведение решений. Осуществляется поиск Л^ для параметра Л, при котором решения ведут себя предписанным образом, к примеру, убывают, как показано но графике ниже (рис. 2.) (предположили, что

Рис. 2: Центральная двухточечная задача связи на конечном интервале с двумя особыми точками особые точки находятся на вещественной оси, в противном случае этого всегда можно добиться заменой независимой переменной).

Тогда на интервале гг], гДе и ¿2 ~ особые точки, которые могут находиться и на бесконечности, выделяем решения с подходящим локальным поведением в конечных точках рассматриваемого интервала. Вообще говоря, для уравнения с п + 1 особыми точками можно ставить п-1-1 таких задач Штурма-Лиувилля, но они эквивалентны в том смысле, что любой интервал может быть переведен в [0, 1] заменой независимой переменной. К сожалению, задача Штурма-Лиувилля для уравнения класса Фукса решена лишь в нескольких частных случаях. Одним из важных результатов данной работы является то, что с помощью построенного преобразования Мёбиуса появляется возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра при увеличении числа особых точек, и это значение будет зависеть от скейлингова параметра новых ложных особых точек, т.е. от из расположения. С учетом этого обстоятельства появляются возможности для решенныя сингулярных задач Штурма-Лиувилля.

Однако, более общей, чем сингулярная задача Штурма-Лиувилля, является центральная двухточечная задача связи. Приведем формулировку этой задачи: пусть в окрестности регулярной особой точки найдены решения ^1(21,2:) и ^(¿ь г), а два других решения найдены в окрестности особой точки г^- Эти решения связаны друг с другом матрицей перехода (связи)Л: V = АУ. Построить эту матрицу А, значит решить двухточечную задачу связи. Пока она решена только для уравнения гипергеометрического класса и выражается в терминах гамма-функций. Частным случаем является боковая задача связи, заключающаяся в нахождении матрицы, связывающей решения уравнения до и после обхода особой точки.

Для уравнения класса Фукса задача аналитического продолжения из окрестности одной особой точки в другую при фиксированном поведении в обеих точках сводится к определению матрицы связи. Матрицы связи, получаемые при этом и при обходе вокруг особой точки и составляют данные монодромии. Автором работы получены данные монодромии для уравнений с любыми 3 особыми точками и любым количеством произвольно расположенных ложных особых точек. Более того, в работе показан алгоритм, позволяющий менять данные монодромии при переходе от уравнений с разным набором особых точек.

Цели и задачи работы.

1. Разработка алгоритмов решения обратной задачи дискретно-группового анализа.

2. Поиск некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений 3-го порядка, имеющих явное решение и нахождение этих решений.

3. Поиск наиболее общих преобразований ЛОДУ 2-го порядка.

4. Изменение локального поведения решений уравнений класса Фукса и получение информации об их глобальном поведении.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построение общего алгоритма решения обратной задачи дискретно-группового анализа.

2. Получение решения класса нелинейного дифференциального уравнения 3-го порядка.

3. Решение прямых задач Штурма-Лиувилля, разработка алгоритма изменения некоторых параметров в уравнениях гипергеометрического класса и его конфлюэнтных и биконфлюэнтных версиях.

4. Разработка алгоритма изменения показателей ветвления решений Фробениуса уравнения в окрестности особой точки.

5. Изменение набора особых точек уравнения за счет присоединения ("стирания") ложных особых точек.

6. Интегрирование уравнений в окрестности особых точек в терминах известных специальных функций.

7. Получение информации о глобальном поведении (данных моно-дромии) для уравнений с двумя или тремя особыми точками любого типа и любым количеством произвольно расположенных на комплексной плоскости ложных особых точек.

8. Возможность контролируемым образом менять значение спектрального параметра уравнений класса Фукса с числом особых точек, большим трех.

Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались на:

• на научном семинаре ПОМИ им. Стеклова в марте 2003г.,

• научных конференциях "Герценовские чтения", проводившихся в апреле 2003 г. и в апреле 2004 г.

• на региональной международной конференции "Региональная информатика - 2004" в Санкт-Петербурге в июне 2004 г.,

• на "Чеботаревских чтениях" в Казани в июне 2004г.

• на международной конференции "Дни дифракции" в Санкт-Петербурге в июле 2004г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [23], [49]-[54]. Результаты, полученные в совместной работе [23], принадлежат авторам в равной мере.

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи / Пер. с англ. А. В. Михайлова; под ред. В. Е. Захарова. М.: Мир, 1987. 480 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции /Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1967. Т.1. 296 с.

3. Болибрух А. А. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова, 1995. Т.206(5).4| Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1941. 398 с.

4. Зайцев В. Ф., Исина Н. К. О нелокальных преобразованиях с повышением порядка // Методы сравнения и методы Ляпунова. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та, 1990. С.82-85.

5. Зайцев В. Ф., Кормилицына Т. В. О дискретной группе преобразований вырожденного гипергеометрического уравнения // Качественная теория сложных систем. ЛГПИ, Л.: 1986, С.128-132.

6. Зайцев В. Ф., Кормилицына Т. В. Дискретно-групповой подход к задаче Штурма- Лиувилля // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: Изд-во Тульского политехнического инта, 1987. C.11-I4.

7. Зайцев В. Ф., Флегонтов А. В. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Методы и алгоритмы. Л.: Препринт ЛИИА АН СССР, № 84, 1988. 66 с.

8. Зайцев В. Ф., Флегонтов А .В., Хакимова 3. Н. Дискретно-групповой анализ дифференциальных уравнений. Точные решения уравнений: Препринт №105. ЛИИАН.Л., 1989. 61 с.

9. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

10. Ибрагимов H. X. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики. Итоги науки и техники. Общая механика. М. 1975. Т.2. С.5-52.

11. Ибрагимов H. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967.

12. Ибрагимов H. X. К групповой классификации дифференцильных уравнений второго порядка // ДАН ССР. 1968. 183, № 2 С.274 277.

13. Казаков А. Я. Симметрии конфлюэнтного уравнения Гойна // Труды научных семинаров ПОМИ РАН. Т.251. 2001. С.55 71.

14. Казаков А. Я., Сирота Ю. Н. Труды научных семинаров ПОМИ РАН// Преобразование Мёбиуса для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Т.308 С.67-88.

15. Казаков А. Я., Славянов С. Ю. // ТМФ. 1996. Т.107. С.388-396.

16. Коллатц Л. Задачи на собственные значения / Пер. с нем. В. В. Никольского. М.: Наука, 1968. 503 с.

17. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.

18. Кузнецов Д. С. Специальные функции. М.: Высш. шк., 1965. 272 с.

19. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971.

20. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984. 240 с.

21. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981. 384 с.

22. Л.1.м, Дж\. Л. Введение в теорию солитонов / Пер. с англ.Н. Т. Пащенко, В. Е. Захарова. Могилев: Бибфизмат, 1997. 294 с.

23. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

24. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПБ.: Лань, 2003. 832 с.

25. Матвеев Н. М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995. 314 с.

26. Михайлов П. С. Некоторые специальные функции. Л.: Наука, 1967. 65 с.

27. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М.: Наука, 1974. 303 с.

28. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / Пер. с англ.И. Р. Габитова; под ред. А. В. Михайлова. М.: Мир, 1989. 322 с.

29. Новокшенов В. Ю. Введение в теорию солитонов. М. Ижевск, 2002. 96 с.

30. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

31. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений и механики // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С.381 -393.

32. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1958 118. №3, С.439 442.

33. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1966.43| Овсянников Л. В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка /'/' ДАН СССР 132, №1. 1960, С.44 47.

34. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М., 1967. 444 с.

35. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения Пер. с итал. Н. Я. Виленкина. 1953. Т.2. 346 с.

36. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1976, 408 с.

37. Сирота Ю. Н. Обратная дискретно-групповая задача для линейных дифференциальных уравнений // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения 2004. СПб.: С.96-101.

38. Сирота Ю. Н. Преобразование Мёбиуса линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка // Труды математического центра имени Н. Л. Лобачевского. Т.24, 2004. С.98-105.

39. Сирота Ю. H. О дискретном аналоге обратной задачи // Тезисы конференции "Региональная информатика 2004". Санкт-Петербург. 2004. С.403-404.

40. Сирота Ю. Н. Приложения преобразования Мёбиуса // 13 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, №1078-В2004.

41. Сирота Ю. Н. Дискретно-групповая задача для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка /У 8с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1079-В2004.

42. Сирота Ю. Н. Обратная дискретно-групповая задача уравнений гипергеометрического типа // 24 с. Деп. в ВИНИТИ, 24.06.2004, № 1080-В2004.

43. Славянов С., Лай В. Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб.: Невский диалект, 2002. 312 с.

44. Славянов С. Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. JL: Изд-во ЛГУ, 1991.

45. Смирнов В. И. Избранные труды. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во СПбГУ. 280 с.

46. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения / Пер. с англ.A. Д. Мышкиса М., 1962. 351 с.59| Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Пер. с англ.B. В. Жаринова; под. ред. А. Б. Шабата М.: Мир, 1977. 622 с.

47. Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе. /'/ Динамика сплошной среды. Вып. 14. Новосибирск, 1973, С.138 140.

48. Baiser W. Formal Power Series and Linear Systems of Meromorphic Ordinary Differential Equations. Berlin, Heidelberg, New York. Springer, 1999.

49. Becker P. A. Normalization integrals of orthogonal Heun functions // J. Math. Phys., Vol. 38, No. 7, July 1997.

50. Bobrowski D. Systemy dynamiczne z czasem dyskretnym. Zagadnienia deterministyczne. UAM. Poznari, 1998.

51. Exton H. A new solution of the biconfluent Heun equation // Rendieonti di Matematica, Serie VII Volume 18 , Roma (1998), P.615-622

52. Fedoryuk M. V. Asymptotic methods. Berlin, Heidelberg, Springer, 1993.

53. Flashka H., Newell A. C. Comm. Math. Phys. 1980. V.76, P.65 116.

54. Ishkanyan A., Suominen K.-A. Journ. Phys. A, 2003, v.36, L81-L85.

55. Maier R. S. Transforming the Heun equation to the hypergeometric equation, Part I: Polynomial transformations / / Submitted to SI AM Journal on Mathematical Analysis.

56. Its A. R., Novokshenov V. Yu. The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations. Leet. Notes in Mathematics, Berlin, Heidelberg, 1986, V.1191.

57. Kazakov A. Ya., Slavyanov S. Yu. // Meth. Appl. Analysis. 1996. Vol.3. №.73| Ronveaux A. Heun's Differential Equation. Oxford; New York; Tokyo. Oxford: University Press, 1995.

58. Smirnov A. 0. Finite-gap solutions of the fuchsian equation // arXiv:math.CA /0310465 v2 29 Oct 2003

59. Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1965.