Обратная задача для дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский ордьиа Ленина, ордена Октябри:,coil раполиции и ордена Трудового Кр&ного Знаїюни государственный университет ШЛЄПМ М. В, ЛЗШНОСОЕП

Матшко-мачематнческші Факультет

. . На призах: руконини

УДК Ы7.981

ЮРІЮ ІііЧЕСМВ АНАТОЛЬЕВИЧ

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДШ'ЕРИЩНАЛІІШХ ОІПіРАТОРОв'

■ 01,01.01 - ‘.ІйтемагішоскиЙ анализ

Автореферат

диссертации нд соискание ученой степени доктора фиэико-натемадкчьских науіс

Москва - 1992

Работа выношена на кнЛ^ре ли1<)іс':рс)іщітльиих уравнении и прикладной м>Л'ймаги!П1 ымшиики'.гегамдоичь.'гкого факультета Саратовского ордена Трудэього Кроеного йаиианп государотшжного уни-Ейрситотл nw,Н*І',Ч&рниііьнекого

Д 053.05.01 при Ми скок о ко; і гопуднретибпмом ушшорситичо им,В.Чомоііоссиа по в.іфчоу: 1 1УЙ9Э, ГСП, сква, Ашишеки* гори, МГУ, мехпнико-млтсматнчоокиц фъкультнг» аудитории 1Ь--Ы,

)

. . С дисойрїяциеіі можно ознакомиться и библиотеке MdxaiiHKO--ма'семаччіческоі'о факультета МГУ (главное адшшв, 14—Н ата»).

Учений сснратооь специализиропанного совати Д 0&3.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук •

Официальные ошюнь-нти: пкадемин РАН В.А.Мар^.знко

доктор физиио-ыитеилтичийкил' наук /,.Г.Кп(;Т|.)ис;НКО

доктор ^.ііаико-мйгемаачіч-зских наук Л.11,.Чия:нш;

Бегущая органи: ліня: * Kpef.aii.'jKiii'i гог.;удаp.ivгенный уішьарси-

’ тет ' •

йшцн

в [6 час. J5 пин, на иаеодашм РПйцтшимриианни'о совета

‘Г,II.Лукашенко

і* Лі'і і f. .ІИ \f)

‘.БЛИС/іаКЛ '

—-------1 ОЕШАЯ -ХАР^-СГІїНІСТІША PAEGTH

І ‘ -

. •‘••!?| яктуяд&иость теми. Оораткая задача (03) спектрального ана-

лиогі саі’лгчается в определеніш операторсз по некоторізм же спект-ралькьм яарахтзрястакак. •• Подобшс задани сознзхяст з различних областях есггот-зознакіїя, капрж'ер, з квантовоЗ мегсанике при оп-ределенля внутріатомну:;: сил по кзвестг-ш уролілм знергчх, з 6а-р. диоололтрснпкз при с.інтє^е параг:оі!ров нсодгарсд:аг£ л:лк:і] передач, з тйґ.оіїн упругсс?:: -ірл опрс-далспил раз.мероз поперечних сечокий баякл по с."г.а«ь,!м частотам ов собстгепіллс колр.хш;!?}, з геофізико, в і:^тєорслоги!! и т.д. СЗ -лграит ва?луж роль и прл ігктегп-кро-занті і.слкпсЛннх уразнєклй !лате;<атлчослоа іїизкгл.

Налосл- а полігда результати а тесріш 03 извєстпн для д’лора -рект::-л;гї.;;г:Г') опор.ітоса (ДО) І'тур.’ла-Лііуьмлля ‘ ‘

03 для ДО 1чтух;г.гі-Лиуз;іллл лсследзвалась з рабстах 3. А.Амбарцухя-на. Г.Горга, МЛ.&тола, М.Г.Гасимова, И.М.Гельфаида, М.Г.КреЛна, Л.І’ея, Б..'.і.Лезигапа, Н.Язпиноспа, З.З.Лянцв, В.А..'Харченко, X.:;Ь-зєса, -S.C.Porс-Пекетова, Б.А.Садовкячегс, А.Н.Тихоноза, Л.Д.Ї'ад-деева, Л.Л.Чудова и других. ПерЕіїй результат в зтом налраплеїлга пр:їн,?дле:::пт 3.А.Акбарцукяну*. Он показал, что если собеттзп&те знач(-к::л (00) !сраЄ£о;і задави — Lj " +• (к)Ц- ■- А^ , %-'?{?) = %■'(/?) = О суть i\x-Kz, К:> О , то fy(y.) ~ О . Однако результат В,А.А.убар-иуг.жна каляетея ясжючеияои, я одного спектра,зообпр геворя, ИЗ-достаточко для однозначного опрзделеняя ДО. Епоследстсж Г.Барг’’ докапал, "то два спектра ДО Зітурма-Лиузилля с одьльі обцжл крае-зіім^услоьнем однозначно опре-делп-от дунхцга ^ОО . А.Н.Тллзко-їь:.'.*.0 получека теорема. зд:шстзеїшостя реїтеная 03 итурма-лпугалля на лолуоси г.о .«унщии ЗеЛля.

Вадиуо роль в спектральнол теорлл ДО Ттур!.:а-Л,ту~1~л;::і ст.:г-ррл оператор преа-.'ргоовшпя. X реченню 03 оператор тгр-зсбсазогх»-«ія r.epu;--..! лри’.^ннл Б.Л..Мар«енко‘Ч Он дзказая, что ДО їтусха -

1 ^т.ь-з-а'іґРі.і» VI - ЛЛ гіі/5., /9?9, 'ХГЗ, р 690-69Г.

2 3cc’j -Л.-Асїа 13',6, v. ?iS, tf-i, P- 1-OS. ■

,j Т;т,:пзз Л.Я. - ДАН GOCP, 1040, •». 09, У o, c. 70?-^00,

4 ;.:лрчокко З.Л. - ДАН CCC?, 1550, з. 72, ’? 0, c. ISV-IO'S.

Лпузилля, заданный на полуоси шш конечном отрезке однозначно определяется заданием спектральной функции. Оператора преобразования использовались и в фундаментальной рас'стге И. V. ГельсЬакда,

Б. Ы.Ле питана^, в которой были получены необходимые и достаточные условия и ме^од восстановлена ДО Штурма-Ляувиляя по его спеят -ральной функции.Другой под’:эд к исследование 03 развит М.Г,Крейном (1951-1253). 3 работал М.Ш.Елоха, Ф.С.Рофе-Еехетова исследовалась 03 на всей.оси по спектральной удтр:се-т/ккц:гд„ 05 кван -товой теории рассеяния на полуоси и оси решалась Е,А.Марченко, Л.Д.Фэддеегш, В.Э.Лякце, И.Кей, X..Мозесом з др.

Обширная библиография посвящена 03 для уравнений с частными произведший и ее приложениям. Это направленна и теории 03 достаточно полно отражено з работах Ю.Е.Аниконена, Ю.М.Еерезансха-го, А.Л.Еухгейыа, М.М.Лаврентьева, Л.П.Низника, В.Г.Романоаа и др. ' ■ '

■ 3 последнее время появилась новая сфера приложений 03. 3

работах Г.Гарднера» Ж.Грина, М.Крускала, Р.Миуры, П.Лакса,

З.Е.Захарова, А.Б,Шабата и др. разработан метод интегрирования некоторых важных нелинейных уравнений математической физики,связанный с селением 03. Подробному излсжегао связей 03 с нелинейный: уравнениями математической физики аосвящ&иы книги Б.Е.Захарова, С.В.Мананова, С.П.Новикова, Л.П.Питаевского (1580), Л.Д.§а дцеева, Л.А.Тахтадхяна (1986). . •

В отличие от операторов Штурма-Лиувклля, с теории 03 для ДО. высших порядков ^

. ; с,

льгеатся лгсаь отдельное- ^рг^гиента, не составляющие общей картины. Интет'■ ;ныс и глубокие результат по 03 для ДО (I) б разлттч-них постановках при различных ограничениях на оператор получены з работах Е.А.Еараногсй, ?.Билса, М.Г.Гасымова, З.Л.Лейбензока, В.П.Рыкова, Л.А.Сахнозкча,' 3.3.Суханова, В.А.Сграхова, й.Г.Ха-чатаса и др. В работах Ы.К„Фаге, А.Ф.Лзонтьева, А.П.Хрозлона выяснено, что операторы преобразования при П>Л имечзт гораздо ■'.'лег слпгнуэ структуру, чем для ДО Штурма-Лиугилля, чгга затруд-ят: применение при решения 03. Однако -з .-;лучаа анадкткчес --Гит;г. таэфГгшЕент'ЛБ сиарзгоры преобразования такой яг ’■'гое-

Г^гьфанд й.М., Дгздаан Н.Ы. - Пзв. АН СССР, сас.ггатем.

1.-ю л *. 1о*. а. 30У-*5и„ . ■ ■ _

угольны?:’' вкд, кате и для ДО Етурка-Ли^идг.га^ В работах Я.А.Сах-нозича°, К.Г.Хвчатряна^, М„Г.Гасыыовас с покошю "треугольного" оператора преобразования исследовалась 03 восстановления сачо-сопряженного ДО на полуоси .по спектральной 5уккпки, в такке О? рассеяния. 03 рассеяния на оси в разгичных постановках рассматривалась К.Г.Хачатсякем®, Р.Билс , В. В. Сухановым^ к в более р&ннкх работа Д.Кауп, П.Кодря, П.^ейфт, К.Тоыей, Е.ТрубоЕкд.

В статьях З.Л.ЛеКбензона ’исследовалась СЗ для ДО (I) конечной отрезке при условии "разделенностя" спектров.З.Л.Лг-Хбекзск пррдлояет зффеетизнЕЗ метод решения 03, основанный ка {сслздсваггки отображений пространств репен;:й, связанных со спе::г-)альныкк свойствами операторов к заменяющих оператор пресбркгоза-:КЯ. Спе-'ТрЗЛЬНЫМН ДаНгПОЛ! 03 при ЭТОМ ЯВЛЯЛИСЬ спектры К ИЕ5С0-:ие" ч:;сла некоторых спепкально выбранных краевых задач для ДО I)* В работах Е.А.Баранозя?,~“ и автора (Дкзф. уравнения г гя. гтек., 1575, Саратов, газ. 5, с. £6-38) при тех же огран»{чснкя.т а оператор рвалась СЗ восстановления ДО (I) по системе спокт-св. Условие "разделекиостк" спектров нгскт пртегдкпекънкй х-арак-эр как по методу, таг. к пс постановке 03, та;: кая отказ от гто~

3 уиДОЗИЯ прЯБОДЕТ К Н2р;/2е»П® еДККСГВеНЯОСТЕ реПСК!1л 02. Слсе-ге дело обстоит с ДО на полуоси, и здесь аналогичные кселелсва- ■ >г. отсутствует, г работах Л.Л„Сахнозича° к И.Г.лау^тряна1пс— яяено начало исучечир так назывзтк ‘неполных" 03. кегд? част» ;эффипкентов ДО априори казестка (капрккер, равна кулю'.

Дакки образом, 03 для кеоамосопрзгенного ДО (I) ко след; гг.; к. шь для отдельных частных случаев к прр аестккх огркйггеяяях .

; оператор. Для ДО (I) в общем случае :грр произвольной попсаг-у. спектра остается открытии дазее вопрос о постановке 02, о ектральнхл: характеристиках, обладасэтх достаточной якфори^.тк— стью при репенкк 03. Таким о боа? о с, актуальней задачей" лвлг.??-

ё Сахнович Л.А. - 5fcT-ew.cC.. 1953, -.45(83), '¥ I, с. €1-75. а Аачатаяк К.Г. - ЛАН Аот.ССР* 1930, т. 71, £ 2, с. 51-9?. £ ГасРчЬв К.Г. - ДАгТ СССР, 1?с&, т. 265, .* 5, с. 1СЗЗ-2С“С. Хачатряи Й.Г. - ьункд.анализ я сг<? прклог., 1'Зба, т. Г.’, с " - * - „ * ■

Веа£ь К. — Агте?.?. Л<сг{>:., /955", ь'.£0*, У'-З, Р- 2& '

%

■Ъ Сгхьноя 2Л. - йптек.сб., 1988,т.13?(Г73), 3 2,

Леййенэон 2.Л. - ТййО, 1955, т. 15, с. .70-144. ... - .-.

Лейбвнаон 2.Л. - ТЖЗ. 1971. т. £Ь. с. 15-Ьь..-* - ;

-2 Баодяоза Е.А. - ЛАН СССР, 1972, ?.Д-С5, *-3, с.’. Г271-12'-*3.'-. ■“ Хачак.-ян 2.Г. - 4гщ=:.анадхз г вг*й агкггж., 2?.-%•?* 10, -, с. ■

ся necrpecsr.» oSnjcf; сеорпї 03 для ноз--л:зсзпряхеиногс ДО (І) при прзгзгольг.оы лолгдснлп спектра* ее постановки ц ретснко. ІЬвіаг-їп:є интереса д 03 длй ДО інсанх nop.-c^tos визвала ь пг.сл&д:-:се' гра-мк прігяахаккягк 03 к тзорлк vjipyrocra ;> к й;:ті;гркроЕаїш& какиьсй-ньзс уравнений vacє;.-ті-іпізєко?. физики.

В диссертации ксход.-зд'И дан-;н;.ги при ксияедованка 03 является

І«ЕГДСКгїсСС Е JXt'JO’?.*. ‘і-зі; КОЗЦВОЄіїїіС* і-уЖЦПД Ее.ГіЯЯ (ІВ;, которое

наиболее пслло зирклотт с:іск«-рель:-іії> сбо>;зїі<2 ДО. Построения:; £\3 ££летгол *,крак'льнс.:” (с їсчйі: зрсш-я 03) апслапок зигяп^гсгсігой С-В ДО &аур^-Л<;у2щ:л,<.. Сдсто;.:,ит5::.с;с:-:оь иеполмовадас S/В ійзбж-ст поставить е иесд;«:ДОБг.гь об^ус 03 для До (І) с cyr.woy:;:.-.;.:j.:y, хс-0фр;щ:ісктаі:;; при npjwir вольном поведенім мгсктрб. Сисж:, чїо К 03 Пі &3 СВОДЯЇ'СЛ, В ЧЙСТГІОСТК, ВСС ЕіііГуїГЬЗа:’«ІІС 03 - по ду— скрс-5.Чі.%* дсшш?.; З.Л.ЛийСйНаоїп, по спс^трал^чок qyt;,-:r.::::, ио системо сп-зптров, "нгаоля^о’' 03 определения части ксз^ід:х(ГГ0Е ДО, по слодгг |хгоо:п:” ;'"ібно;;;:Л с чйстлы:.;;; ьргшзщовгл: .гругяс.

' Ікль г-йбот-'. Ціль» і’2с-іоіГ-ісГ: pa5сті: является :югтр;<й.-;;:е їс-*ор®: рс^снпл обратной ззд&ч:: для і;гс^осолряг<еіиш дас^сранзу -алы-шх спсратотюз і:рои"353яькііх порядков ка полуоси j: ка конлц -кои отрезке. -

Облоя метгдгка иослдлоеяш'я. В работе иопользз’&гск кетони спектральной теории опграторов, функционального ьналкса, уепргп: с!лдшсвг.н;ых даф^грс-нциальнггх уравнен;:!; й сравнений с vac-кил»: производк&’и, теории аналитических функций, теории особых кптег-pSLKZjHHVC операторов,» &СИЫ1?ОТИЧгСКЯд метоли.

Научная кг/вкзнд, Еое результаты диссертации является ки й опубликованы в работа:: актора. Осшкялю результатами дкг-спртат^кк ямл:отол ел едущие.

Построена теория репския 03 для нссамооопряжинух ДО (I) с cyiu&pyctizsai коэЯ&цкснтгму, пс заданной матрице Вейл;; (1.ІВ) при Гіроизполкюі: поведении спектра. В основа ледліт получи]ц;к к ис-елчдоглнко основного урллклмя 03 и нахождение иооб;-:сдим£: и

достаточных условий не ЫВ.

Разработан метод решения "неполный" 03 определения коэффи-ці'Снтог ДО по чеснії LIB, Получена афективная процедура построе-кпл /V {1 - A's коэф&щкситов ДО СІ) при остальнілс ^пнесат.и^: по /!•' г>ч<я::ц>; &; ЬаііЯЛ.

тк;-хе jjoseHtic 03 для ДО етопого пердцка с "нс-с-чь-д;о;ісгь]Єі.'.п, для сдноілзрнзгп ьсзмут:;ен;1л польїеррзьа онерьтори, -

дане описание вырожденных случаез 03 для ДО второго порядка.

Дазтса приложения полученных результатов к релен’.яз 03 теория уПруГОСТЧ Я К .иггегрирезашю нелинейного ypaf.H-2HH.-i Еуссянес-£2 на пслуяск. ,

Псилгженпл. Работа носит теоретический характер. Полученные з диссертации результат:; и метода исследования могут бьг-ь использованы в спьятраяьнзЯ теории операторов, в математической физике при интегрировании нелинейных уравнений, а так?.е при исслздсза -,iy.ii рязл^нсг прикладных задач а теории .упругости, радиоэлектронике, гесфисине, мгяоорсяогяи и другпл областях естествознания.

Ап!, сталия даг5оти. Результаты диссертации допладнзалнсь и сб-сузсп?-тлсь на ЗсессэтнсЯ генференпж: по гёуз-дгцисиадьному анализу .’Ссгсса, ЮсХ;, на Зсгссазкой хенферокети по катематик-з, у.~лани-дз л :пс ::р:мо.г.ек::.-:;; (Уфа, Г981), на Есесссзнзй лхоле "Созреиеи-:л'е проблааа-'емрткческсй :Ь:зиинл (Ерезан, 1982), ::а Зсессаз-ясй лонрергпгции я1унщкн<>.^ио-дк>!й2ре:-2Л1пль11ь:э уравнения*

{Пер?а, 15?3), на Зсе-ловзнс:1 лхолэ по методам решения некорректно псстарле.'плл' а^дат (Саратоз, 19251, па Всесоюзной аязл& по тэ-ор:-гл слсратороа (Челябинск, 1936), ка Региональной конференции по хшейи»а операторам в фукдцкекадьнш: пространства:: (ГрсзккЗ, £5сЗ), на Региональной конференции "Фуккцзональный анализ х его прхяс-зения1* (Одесса, 1920), на Бсессозных лкслах по теории функ-. ЗгЛ (Саратеп, 133?., 1954, 19Ьо, 19С8, 1990}, на ПсессззноЗ Зеро-неакаЯ зкуней :-ите:.«т:гсесхой аксле (Зсрснеж, 1091), на 4<зкауна-родноД конференция "Дифферендпальнне ураекекил к суетные ъопр-с— сь" (.‘Ьскза, МГУ, 1931), на семинарах кафедры тзеритт Зунхшй 2 Фрглтлюнальногс анализа МГУ под рукоеодстпом чл.-коср. АН СССР и..1.Уль~нсьа, профессоров Л.Г.Коотт'Ш'.-лсо, Б. VI. Лая «тана, А-Л.^Их"-линоаа, на сенькзянл хародръг математического анализа ’ЗУ под ру-’сводс-'всм профессоров В.А.С-здобнкчзгс, гО.А.лазылгна, ка сз?/ика-рз отдела ид-тслг'лгогекаД флзмки ЖП'ГГ (Харьков) под г-за*е"0,:атг-..л академика А-1 СССР З.Д..'.!арчек:'с, на ое:/:у;а.р« кафелры <сдт:—

"а-гпхи Сдсссксго института сгяэя под гуксводстьоа профессора Л.А.Са:5105пЧа. на семинаре кафацра «•.т&ла'кгазскэй фпзи;сл ;~Ю .НУ пед руководством профессора Й.С.к.адлсоа. на сс’-тадле г:афчд-ры хздзрянпкальг-кх ^ ра?.ненкн л функционального анализа ЕГУ под руксаслстзсм профессора Я.Г.йачатряка, на семинаре отдела -гуня-циснальнсго анализа института матг^агиии Ай УССР под ррсозодс?-гом академика ;Ш УССР С. Н.Зерегангне/?она сеют.аде гофедра д:-Г: -

_ 3 -

ферекцигльних уравн^ий к прикладной «мжсатааи ОТ' под руководством профессора А.П.Хромова*

Пу&ипи&пк!. Результаты диссертации эпубликозаяы а работах автора, список когорюс приводен в конце автореферате..

Структура к объем д!!ссд-.уат:ми. Дяссгргация состой? из лзе-декия, трех глав, разбитых ка 14 параграфов и приложения. Нуаера-грм параграфов сплошная. Нумерация теорем и лещ яроьедктся рзэ-делыю б наедом параграфе. Первый нск«р сэкач^т номер параграфа. Объем диссертации - 300 страниц ьлглнопаснего текста. Библиография содер; :т 134 кадайкозакйц.

0Б30? ССЯЦРЕЙЕЯ ДОСХЕРЭДШ

Бо Бвздект приведен краткий исторический обзор реоучьт^то-ь, связанных с темей диссертьцуа, форь-улируэтся цели йссл*-дсва~йя» обосновывается актуальность рабе?»:, да&тся краткое спксйше содержания диссертации.

1’Л_чВЛ I. ЕОС^АКОВЛЕННЗ ЛПФЕГ2К^ДлЬККХ ОПЕРАТОРОВ

по зк2?;аш. шлч.

Расеетзрж д" гфарвнцЕЯльк^е ураькзкиг (5') к яинбйяые формы {£$) Ь ~{Е% 20 ш..13

29=-?"П+2рд-/>„(*>¥М=Щ, ■/>,(Х}*&0.Т)1 (2) ■

на. полуоси ын ка конченом отрезке. !зде.:ь г?-О ггтя Т =■ с~ и а~0,Т при ру (х) — Х0кд;г2кснсакг.пг2ыз ^уккпик,

- кокплз^ные числа; О5*' ^ п~ 1 > б"7<7 ^ &,,0 /т # -г ).

Пусть фуккцж ^ <Х.А>, >п-^ п явллкспя реамоивии Д? (2) вря ус-дскгл;; &го , а такае дня Г^-<* ИпГ О,

, а для Т=~* **Рт гХл")= О ("ехгА ГрЯ^х)), х-* ,

где Л -?'4 , <Г7дг - символ Кронек'гра, а /?- з:ор~к уражегал

Р>г~ 4 , зануызрзваккиз так, ;£то /?е ('?•?! )<... с /?е (?£п'>. _____

Определение. 5уи2.-ащ (^-Т/т(Ч>т), к-янй.п ;-.^%2-ех-223 $2, а ьатркпа Я?*.* ГЛ'Л Л к_,~ > Й?да*

~ с-,.:К> г.>К в-дзызаггзя 3 или отегг.рои А .

П-угг-уэз:;-- 02. По ла-ст-ной М3 ~,?гл> нл.Лте

• ■ - - -5 - ■

В гладе I-ароэедено яеолгдоЕаяпе данной 03. Получено ссно'5-:-:сз урапнег-пе 03, доказана его однозначная разротгкэсть. Указаны необходимые п достаточные условия, которым удовлетворит КН% .. процедура посгрозкхя кеэфридкоктев ДУ и Л£ по КВ. Доказана теорема единствзимоста. Приведен контрпример, поЕззыда^дий, *ггс ен-браливьике из ЫЗ с,иного элемента приводит к кар^енга единственности ретенля 03. Црсгедзно исследование устойчивости рехеккя 03. * '

Сбоопа^пи rti=l,\-.± А>- О] * Л±i — X - плоскость с разрезом А-і .3§1 изучается свойства ФВ.

ТЕСРЕМн І.І. I. Пуст* Т=~ . Тогда MB fiTfr) обладает сле-дуизжя свэЛстаилс I) 53 Га') регулярна в П « sa

исклгчзнлзм не болзе чем счетного огралжеккого шотестза по:п>-css Л ж.* . Прк '"’л ?0 за есклзчзкпем огранкчгялзс мэд -socts Лда* cyapcwyar кокечнчо прадеду )У?%,КМ= Citn)7?„к(л±£г\

О, Res>0 2) і¥Ітк [Ю-Ь^к , тъ- К ; 35 еря ГИГ^-ЛО = off*"' *-») } 4) &ящягЯГ.*(Кі-Ш^и(К)Я?»-*/.л.V, рзгудггзж пей Лг Гг-о'’"" /Л » гдеД = 1/ /и* ,

Л^І/Л^. г"

П. При Т <о» .J3 ftT»* Гл ^ Я5ДЗ»ег «?рйКСрл£ІОЙ 30 Л,

ГТСИЦ-ЗК , -

' *ятк (а) = (л*,* М)-&„л. (л), ■

Л£г * f 1 ' '

Д ** ГА->= г-і Г~ cfei I (С,П Тж{^. ^ , . *:’

T2D С г !Х'\}, ■■ реленрія А> (2) при услодгяг Z^, ("С..)-" Л-*'.

7-і.л. ^

7елззгмся, что наряду с L рвссхатркаагсас Д? в Л5 Z. того

se гида, ко о дгугямк ко&^фжэкжтаь'г. Еслй некстсрцй zrt^r-z v" >есдна^?.ет обткгпт, CTH0C.~KftCS к /. , то <f. оСозчэта?? г-агз -

■'.’.’■z-.K? огъ^пт, относящиеся к Z, , _

ТЕОРБА 1,2. Еслтї »-Г/А>=.Л-('А') , то L-L. ‘ ' • .

Б 5!- 2-3 ддстгя ропіскіїе 03 на п.-лтоск. Пусть //?£ -sipcrsrUiTie дгдое чітсяс. Fyy.et: говорить, та J- є \fv- , ?одл

V'v^, О. я-і’ » rzs W< - шсггт*-?э

что 4 Гх>, /»- а5со^т:--с Т21-.—-ж я

у ~ О.к , Г^г'•••"•:- -3 ггя'5г.д;;тся г клз-'оах IV . Дзопр-д^д^: ■

Ь\„л Л _ •

= £І r,^)^"Vx)?VVx>, •„ •- '

Ь~ ^ •* 1 %+*+•.

?ассг.:отр;н.'. 3" к Л$ 1.*= (С\ )

Г: ■-- И)”? Г”'+ё Г/>, (^)? )" = А",

/■■=-0

г/, (г»- г (О) + >з к?? г '"'л?;, сг = г,-2-£„,_ъ0 ,

- о

где Л-11 2^ определится кг соотношения

< г<Г*»<г =:£— Г--’) ^*г Г?' ^'л-«ч*

Для сг.рсделеч.чости в дьлькейпек статдек, чгз 6,-с- /?- ~ . Обог-

кг:ч:ила9*/х.Л> = 17,-/)г'* {Р^.М Ог.хУ! ^{7, * г-? функпии Ф ~ Гх,А) яь-Л5с;гс^ рсгкяааз! Д” С5) при условиях ?•/% , 7“ ;

С^ехЬ(оПх)) , х —!■ ■ *-■, '

Пусть !_ - (С, Ъ:~) - кзкетсрыс кгдастпые ДУ и Ж. Рассмотрим б / - плоскости контур У- У-'Уй'ь I-7 У. . где Ус - от-

ргнгр&кгшй сн^кнуо-ый контур, схваг^ьы.-аий жгжосг-ьс ./; 1,г А >

‘ - двусторонний рг-грег цпэл* луча [ >,: - Х> О, гё <-пт‘ Уг_\_

Обоз1шн»ш УгГ<^.к-1з>,^;^ ; £ *[^«Ь,к.-яы ; /о ,

— Тг2(/-))■ ('&? {>•.) )'■ к положим пг>:-: У Уу''У!~£~

*)' АЛМу" > <Г(х,л)=[)И{.1}»-х+» »•«*> ; 5?- =

гле ?-, * 1 < К) - 4 при Л С V ^ к ^ 4 Г Л > = о прк Л е >г .- » *-

ЯМгАоСк) при Л? г. к ^ГЛ^ГсГ..^. ч;. /л>(Я7 ■ -,. />.';-

-^,-.,*1 (Ю]п?к а?^ 1/г:^.' ” ' ’

ТЕОРЕМ/. 2.1» Г;р;; фиксированном >' ? О функция ч";х,>Л, являет-су: рсиенйек линейного интегрального уравнения

?(*, а)=Л'Тл} 'Г(х.М+$м У 7 Ы, к./и)*Ы.р)<хр, 10;

' . /-/-'

Ургзненке Со) каг-игается оснсвним урсвкеняек 03, Доквзане. оенс>-г» :--»нак разрсиазлость основного ;>равнения. Получеш; фориуль' гхя

Еьгчисяеккл крс!54'к"кЗ!1тое ДУ к Л1 (2), (3), Обознвчш:

с£гЪ (х)- ~ \ с,, '"(у.ь/л) Ч Г%‘ (х./иУо/1, ^>5 /«- У;

1 с/ c?-- {:°>

T.(*>TZ ZZKcUc'U /V* (x'x^ui (*>+

%= 0

J-Ai

. г^г.(-іГzz *а«-з>

7-^

■»-£_ _______________________________ f ,

£„(<)* f^^)-Z- £( 'Х}І^'Х)> '-'-O.n-S.

JH'JiA 2.2, Опт.~і-сллїг-ч ссотгіоленгїя

py : -< !~ r-'v - J/ . * ) , ^7V0 = -- '‘Т/о

t-sti

7iop-}.'.::у\ч-: '■м'.су.ъ ;;ссі;:ол:^.:і:2 м дс-стлі’.',"-"-' ;/слс-2і:л ча 77 >У: { к) .:[;■: гггас-г^гіічс:.' позед">::;:: спслгра. Обозна”;;:/ чс-рзз

7 І - tr ел: .5 У)” .'л) , о5лалгип;:ЕС СБаЛствс-’* 1-4 тео-

г' :~-z 1.1. Гус:-;- глл опг.сг•;л‘.,.'Г',сстч -'v'?-£ г -г- ЛД Фт/п) . СЗоснз -•п.-■ 1"? и,х\--‘’-~-} [ у’' ' 2 Уг : '?-I? *}] :■■?£.Ї . Ьсложи Y"=■ і А: Af І/

JO. , г.*?£ • >.-/•<! •>. > V, ■'■'^У’з?, у'-У!їи ’-*■ 2-яде.-..

~л -г.-л:- ?:•:<. г? - «v^"1 (у )з? f у М гестор-чруикц:!?.

•-•••'Ajr І г, 'O’ 1=;~Гі , .л - Г с нэг-.-ой ■

■ ’’Ч Г лГ ’—Г^^Г) г/^ ;‘- •

. .-• - ‘ “

'ГУН 7...-. ~..i. 1Li.{ л-ге, qrcSa sacrica ~Л"І (S's є И 'жла .’ПЗ .л,-л I '•' Vv . чго'І/с.-г.-о к достаточно, чїсСи «-^слнхюйй» сл^дуа-

і) (агїзгт.тотіпга) судсстЕуэт ДУ * ЛЗ Х/у та;:;!?,

-л:. ;,:: УУ?„, „,,f ,fA)~ О (f'*} ; 2> (уачо-

ta:; } лгл X»О урлзьеняе (3^ чмс-е? единственное ропген:’-? т тлаеео Я U, xyfrx.A'j <? 5 _> лр^ом -*уг vi? ;'f,>.УГ^ Л')/^ <r --■=■ ;

■■’> lX' c 'A',^v , *''« С/.я-З , ?;;o луллцлл (X) опредедя-■}-:гл :::> ф.і:>улз (7). При —пслжлп; гзгух .ЦУ *; ?r

сгрс:ї-:-г.я по ёср:с.*л?.ч IS),

r!c1,Tcnp'..v~p r.-Si:-\3K7.?.z? су^&ст^еісюс^ь уїйізїлій -і it!2I .-.і:

2.7. Осизглу, при пходе ссноьпс-го уракіошл СЗ г.снольг^ки-лп;ь псгтзоеклс-й по Я-;.г.'ЦЧя:« І‘-рт отобрппгнпо лгссг-

ргкп-глії Д7, за>-.з:-«гз;гс олерсдср пр£о-ір?505г:2’Я. Со^^:--2-лг.:-: їллл^о ггла плм р^л-.-;:-;іи 73 глэр^тз бллл гледйіл; S.Ла Л^;'

Г.'НГуТ',,

- 12 -

Далг , з § 3 рассматривается '>іасг;пгй случай - ДО с прсстьк спектром. Будем говорить, что 1^ К-Кет простой спектр, если Прі: каждом >-оєЛ /[О] существует конечные пределы Ш<-<>(ь.>Сіт /А-А^а/ЯМ, Л.)= Гх-аЛ (ЖМУ*

и А-О. А"А*

Дія ДО с простым спектром осноеноє уравнение 03 можно "стянуть" на ішозсество П,± и /Г< V Л и око прииимает более специальный вид. 8 частности, если возмущенно подвергается только диск -ретный спектр, то основное уравнение 03 представляет собой ля -нгйную алгебраическую систему, а условие Р - отлично от нуля определителя этой системы.

Дтя самосопряженного ДО Штурца-Якувкядя показано, что из основного уравнения ^3 с помощью преобразования Фурье ггоает бить получено известное уравнение Гелъфзнда-Яезктзна.

З § 4 исследуется 03 воссіаковлєшя. ДУ и Л$ Е;:да (2), (3) с суммируемыми коэЦивденкая! на конечном отрезке. При реге"із.

03 на конечное отрезке возникают спецзфпгскнз трудности, сгя -занііке с наличием более ткаенх, нетривиальных свойств 13 УУ1М в окрестностях точок спектра (свойства £:> ). Сформулируй

эти с горсте а в случае простих полюсов ЫВ. Лусгь Лт = {Лгтіаі,

і, - шозєстіо нул'П целой функции л „„ ДО, -Л = ^ Л «. Доопредели* Ла = Лн - ф . Для Л. о;.,юделкь: матагцу .

/? {Л.) = ['/!*< (А.4)! щ.<= Сй во' форгулз г7Л.') = гд? СА.)] - к.оз£$к;::енты ряда Лорана КЗ

б окрестности точки, л = А». _ .

ЕгГІ\ 4.1 (свойство ). Если А» ^ Л , то Л.іШІ 'ЛіП (>,<,') = О, ,у = 1^ . Если, кроме того, А^Д^А~ІЇАП-Іу

Ас £ Л*/ . і < А і ^ гл <> . , то 'И^п, ['К,') ф О. '

ЛЕ2ІА 4,2 (свойство 5>д ). Справедливо соотношение

чапк *4, з=£гЗ.

С использованием этих'свойстз в 5 4 получета необходимые я достаточнее условия на ІЗ 'Ш/л) к процедура построения ДУ к Л$ >.2', (3) по 1.Э» Основное уравнение 03 с &то« случае пгепстгвля-соссЯ уравнение в тгрзстронг^е аседедэвйгвлвиоотей.

гз -

ГЛАЗА 2. ВОКГМзОШЕШЗ ДКЖРЩДГАЯЪНЫХ ОПЕРАТОРОВ Ш ©ТШЦКЯМ Е5шШ

В главе 2 рассматривается более специальные 02, когда для определения коэсфгз^ектов ДО (I) задается не вся М3 УЪТ(Х) , а -"'ль некоторая ее часть. При этом на ДО накладываются дополни -тельные услснкя.

В §§ 5-6 иссиедуе-тся 03 для ДО с "разделенным" спохтром. Рассмотрим ДУ и Л5 в;сз,а (2), (3). Для опредзлонности ограничимся случаем Т^'~= . Пусть Атк К $ н) — множество кулзй (с

учотом кратностей) целой еунглют Атк (\) . Шояэстзо А*,* совпадает с шоаеством СЗ красной задачи для ДУ (2) с кра-

еизгз условиями (?) ^ ^т-{%■)= О, ?={,»-т, т~ I, т-±, к. Пусть ’г ( 3 £ л) - фиксированное натуральное число, а £?,*-

=• шах т+{) . Предпслог'?.!, что выполнено условие "ргзделгя-

костя1' спектров ____

Л„т й Лрц.^дт - 0„ т={,л-3. (д)

В этом случае для определена ДУ и ЛЗ требуется задание *3.

03 ставится сдедугг^м образом..

сап.т-гя 5Л. По заданным *В [Т/1т^(А)1 найти

ДУ и .!3 Ь = (£>Ю. __ * ___

^ТЕОРЕМА 5.1. Если (А)-Ш.т=1,я-1 , то

£=2.

Таг:;® образом, задание ФВ [№ г*, £>„ --г~Х5 СДКСоНаЧНС

определяет кезффацкзкгн ДУ и Л-5 зеда (2), (3). Коктрпрз-гэр показывает, ЧТО а?КЬЗ ОТ трсбоназлия "разделенкости" СП-ЗЕТра ПрКЕЭ-днт к наруьенш едтаственности регезкя СЗ.

При реэеннк 03 20сст-_ноелбнз*я I* по 23 {/А'*)Е:-.т:-:ое усото зонкиаз? медзтцзл .

ГЕМ1А. 5.2. Если А«^тЛ-Л/»-*> Ав ^ /4^ , то '.та

Г (К.) *0, У??; (*•>-£?, </ = Т7Х~Г‘ ;'.и-

В сглу (5) к ле:.?."»’ 5.2 для 1, т-сулесг?у-

:т яет/еагьго>в ш?сла /^дп (я*-! г.;/*’гц <Г Р* ' ГЗЛ21Й, '

(*£»'>= О, г^75^1ГГ/; д ,% ; ^ I? . &з?здсд-

г.г.з состкоесгу-Л •-././•. . _ _

«>■ «Агж)^ •'»"// .''

ь,т {кг„)= (в .«, .г, ^А • г/а,;

„ 14 -

атл соотнсше.чкя даз? связи, позволят/;?;:; каходггть *3 'Л? 'л) п:

задайте; 53 /Я?»,*. (ЛИ . Тек сзлсл! задача 5*1 сводктск

к 03 восстаноыешж I. по КЗ Л?/Л). Дея задате 5,1 педучоны ка~ оОхсдиыие 5-: достгиачные услов::я к процедура рзжиз'л, исед.дэаог’а уссоГяизссть, показано, что при *г=й. и-. по.^г=:;гст:_песугьтйГов сл-'.д^т» в частности, результаты З.Л.ЛонС'ензспа1"*

Далее приводится репенке 03 восстакэьденкя ДО ло система <2/?-£. спсктрой. Доказано, что даннас С? мсге'*’ б;.ть с=сдгнс к задаче 6.1. Гораздо более труд-п-гг яаляетая вопрос сб ус.’оГг-гмк-ус-ТП репешш 03 ПО системе СПг-КТСОБ. ЗдеСЬ 1ШрЯД,У С КЗТСДОМ Г.-1-Г- -Би 1 пр;шз1сяется ккой метод кзеягдгзг-.чкп, сгвэггпнЗ с разикт?.«.х аде?; Н.ЛеБ«асон5 ( Л(~ пя5}к?. , 1543, V. 13, ^ . 2с-30). Г/т.

краткости ограничился фор:иул»:рзБкой рсс-ультатсв для сспосопреглг-наго ДО чатгертого порлдка с с;:м-атрич:-Д2а: к~з7р:1£:я1-:тсж.

Пусть ЛК; , 1> 1* *А - С2 краегш: задач £ • длд ДУ

‘Ре = й;

с ::расЕат:;? усцгс2мя:.':с ч-10)~1}4 (О) =У-0.Г) = $■ (Ю-и (для <?1 )

г У (О) = '/(0}=ч-"(>. )- ?ч7Г) = О (дл?- ), пр;г-::.:»: ?укгз*1:

<р;М(V) кепрерц5Ял на стрсак& Г 0,тг1 (7 £ . 1Ъгдполс.г.г:

чго Еило&нбкэ уегокьз "раздеязгаюстк* спаггтгсс: л*.< ^ лК? ^ ^

ТВОРЕ'Й. 6,3. Суцестаует £><? (зависящей от £?.• ) с.л?ле.,

410 золи .

• /1 — .£11~ (/Л*--Ая, /^/Ася-Ллг /}*г А , •

*7- 4 ‘

х- 14-„ ) ^^-&ДО)^Г-/:,

С .< X :• ?•* 01 ¥ р ' "

гдо коистактя С зависит только от ^ »

Б 5 7 расемагразается 03 взссганоЕЛо'ШД Ж (/ кз-

п';<:гд:’-:;::тое ДО (I) { Рг,-^. (х)\ по а^-игь-л Л' £Г;

/ /а)’ я игвестаии фгтакаяк ргМеЗР.ТУ, к'ФЯ-У;,

) - гж' при услоБЖ, чго определяете* ккфчотааак; ДО р'> г:(>у>

£хГТ; язляатся ■•у .'С''!г-:о—а1:элпткч&Сг;х:л-: сушауилтс!!. Так;м оОра-зс;:, едесь, б от-вг-ис ст 5-0, услогид кадлг^аш^тсл на ка п-^деч;:е спсатра ДО, а ка его коздагсксктг:. Услазлг гусо":«й г-нех.тмч.-юст;: коз^родюитоб когаю зз-мс^тть уало::;с:: :'1гн;т^ностп,

*.... :• г.'2'-;:г>сдкт 1: «5алаг»гч!1ьз.{ рааультат^1/,

Дтд удобстеа д^'л.ьсПпсго с-алу^оруси зад^г.^.-а 1'3

кисколй.ч-а ;:начс>. Г'устъ £.- [-с^ > 7-1 {'*>-, ^ X <’« ^*' 5 =•

= <f rr,T^m7, сгфт'), лі*... м4 = К

і =' тт «г Ггі ^ ... ^ it: y_ S И . Обозначи*/ Я?* fA). ,.-і.Д/

гдэ азїтраяьксс і прс'гзїдьіЕло единственна» образом в нігде

&•=/✓« -... ^V'r-/4f . і f Г 4 Л'г • "ОГ£Зі ИСГСДКгЯ СЗ ЗйгПаЄ?СЯ следу-

ЇГ-~І ОЙрЛ-’О.1.;,

Слл.’-лл ~~.■<■. по Зй^гил-ЗьМ *'Б і j *.= £*- к кзз^олгле:;-

лл^: Р; п-уьХ сугіклта [ р,,-*,-

Оіегиачяи ii~:r(":')- рСул, £

-Ч* (ti,—Jp )-ХСГI l-j.. [v^QZi/, у ll'j (R)- (-ft)"*;

, .q; fc^.

.пг.гя'ііягггїсжі 03. ,1лл этого пзч расс^лл-

г,- ^тед дч.гр/гз Л(-*[Ае^ ^г-р , где- р злбтамтлл

::э узлезля ї е Г*,-, **♦/=*’’ (пр«! />^A' -

кз^дргі’лізл иігрлілі),

* , ^ /*-vi>

^ £*' (-£*-#?)*''*'** ‘

Определение ^.Г. Если при =с-=г £>-i .'ггї/і- -;-5, 73 у.-:г";-с_-іс S3 ' W4 »'A%i 4.s—- н.-сьзастс.'т -"*; - лхсс?ег;Г..

Cn-': злзодолонле зтлізлл:? классы ЇП, сзлллллдлл сго'зтзл1: гс-г;орігаті'г:-:стгз: пр:: рзлелл;: СЗ, Гізз’гзї.-у гсгсзге Яг ~ {'~:. -' '•■’ ^•^зь: аьгыздть услоггсм ечі.-:!гу::їкг«іо 2тх.

лрлзсднгзя ;:есл-;дз'Ь длл - с;іст?-і. Дл" гзгс

СЗ рісрслс^гк уптзд гзллзїпз-з: в хі'Т'грг-: стр^ттс-я г; -.-

ле"с2гї2.~і-ісс-гь узл-.-лъ;": Д~: їг.ідл СІ;» "лл,;з'у:'-ук:г.л:" мгг^-лл'

..ПО, .‘.ьгзл пззпзллл'Г лзллзась едл^лпс-глосзъ р:л:::лл ІЗ ,-: п~.л -■-'•ль олгзллл'і сл р.':' .’.:, издгрл::-. -ср г.елл.;; rr.fr,

чле тл'.: ;.гі-:з/.-:Рса,зз ОБ кг явллз-гсл /">_• - з.'зт“^:;', •:■/ •••.-.•

т'~'Т:'" С‘ї5 '-J ■ ” .tZ' Tr'Vj"* Т’;- IT" •‘•.‘•"'ГГ- •

г-гі-дсг. с. '.:зс:із7г;зЗ ртзул.-г:;т 5 ~ ? \7:рсг.згз:.':'-! і.,: .

'С-Окз Дл.-T С-'Гг''--^ г.і'''л:гг;-'~;-ї'3:'.'"' гг-х '/.'л'.^.'.2УЛ': ч.

( ? ” .n : :.j ?,Г>. Гузт’і :г ':г j ..

Л:::::" :л :^рі;зг::: Тзг';з zrs.:."a 7.2 ;г<.': елг.-м7:;с.:..'5 ;•>

л:::?~cu3v ^зллг пить ;::;Гд?;<о по глз у y-.v-"*

:> л--—- ^ .г. ]з;, ?еі=ї:;:У г--?) • -• -

■ - 16 -

го последовательно при £ 2, 3,... выполнясь спс-рагрш: строки ДУ к Л$ 7* так, чтобы РкМ=РкМ; КФН-Х;* а з остальном произвольно, к находим 7^ из соотнсзс-ния

^е-^С^ГХ^ ] 5 =^7*^ > где х^ = гоп (#7(\У (хЪ п^*£ у,1--=С,тгС-е' > }\1-*^

ЯЧ5Ке(0,77). 5 ' '

2) Строим по формуле

рг^ (х)=^2 ~ хе(О.Я\

■ {>= )П1П (&т \/ )~*

Если £сГ , то при £-г х<Т I, строатся по а';а_тлг>":сс;:сиу ттродсляенив.

Далее рассматривания наиболее ванные частные случаи об;;ей 03 - задача определения одного коэффициента ДО по одной $В, задача определения всех коэффициентов ДО по />-4 ФВ, задача оп -рвделения самосопряженного ДО по спектральной функции.

Рассмотрю? задачу определения одного коэффициента ДО (I) по одной ФВ. В этом случае А/= ± . Пусть для определгмности У> - З-?', ь"7(, = т~4 ■. Возьмем фиксированное натуральное ЗС. ' (3.*,■££}?).

5аг/~ча 7.3. По заданной ФВ УУ?1а (А) и коэффициента* рч(х), ^Ф Ь-Ъ* найти функцию /V* 60.

Для задачи 7.3 имеем '

‘ А*«-(-ъУ'е МечТа€ , А4

Где ае={*&ё(Со* ~)~е Соз .

ЛЕММА 7.7. При всех £ъО Ос 1 О.

Таким образом, условие информативности для задача 7_3 выполняется, и, следовательно, реиениз задачи 7.3 единственно и может быть найдено методом эталонных моделей.

Рассмотрим теперь задачу опрсд*"-*ешя всех коа§?«пкгнтов ДО (I) по первой строке МВ.

Зяпач.п 7.4. По ФВ [ УУ?1« (\)] найти ДО (I).

Доказано, что для задачи 7.4 условие информативности выполняется, т.е. множество [ЪТс1к [к~\\ к.._$п является - едете-

млі при £=/'33>->^3* Контрпример показывает, что кроме первой строки г.3 не существу?? Других - систем прк -Й- Ї/5....3

Аналог:таі;іг образом исслелузтсд 03 определения самосолря -геппого ДО по спектральной функции.

3 5 3 дмтсл пркменеьке метода эталонных моделей " резекиа 03 ?еор;ш упругости. Рассмотрим задачу определеш'л размеров поперечних сечекуЛ балки по задать частотам ее собственных колебаний. ДУ, опксыватацее колебания балки, расскстрход з виде

(Я*МУ")"=АА(Х)% , 0 ■? X г Т, (10)

где /; (ї) - фун:сі;кя, характеризующая поперечное сечэпиз балки, Лі'х)>0, Я (0)-іх /<-4.3,Ъ - <*і::-ссировашое число. 03 для ДУ

(10) Б С Л’" Г: 2 ,'<~Э (подобные ПОЛЄрЄЧНЬГЄ СсЧбКІїЯ) В ЛЯНЄарі!30-

всннсй локальной постановке рассматривалась в ра'Чте Л.Я.АГко -лаіо.

Пусть Ікгі, 3-1.- СЗ краевых задач для ДУ (10) с краевыми условиями <£(0)= ,-Уі)(0)~ Сг)~ % '(т) = О 03 ставится следуем о о рас-см: по заданным спектр' ■' частот {Л найти фунппив /і (X'), ХєІО/Т].

Данная 03 сводится к 03 воссталовг;--жя ДУ по 5-1, и при ее р-иання используется метод, разработан’~тй в 5 7. Тагам образом, получено "глобальное” решение 03 теория упругости, теорема ед;те--стзеагости и офбектизшЗ алгоритм. '

. 3 § 9 приводятся г —::е?пгэ 03 для ДО (I) на полуоси с локаль-

но еуш.*ируем£ма вналитичосгоп-я ХСОф^НЦКеНТаИИ. Восс- -дошгениз ведется по сбсб;;ен;1ым ФВ. При решении СЗ используется установ -ле:-:;-:?л евлзъ со специальной 03 для уравнений с часткьз.ш произ-ьодізз-йі а:сг.сх порддгяг. Огастам, что при и-,д_ обобцешг.-з ёун-кгпгл (05) прк решении 03 применял В.А.’.'лрчекко.

Зведем п гсстракстЕО 02, следуя З.А.”лрчешю. Пусть 5? -множество всех С^и.їіІрув.’/НХ на ЕЄЩЄСТБЄНК!7Й ОСИ ЦЄЛІ.2 функций экспоненциального типа с обычными опврй5®Еки слочсёняЯ Й і^нб^еккя на 5С-!Й!ЛЄКС5П;Є ЧИСЛ2 И СО СХОДИМОСТЬЮ: />0 сл?®!Т£я к

зот: типі б"'*. фявакй ~£к (м) огранпч.л з сов6к>іійосги к У?іс(/Ч)~ ^<«.} -і* <? при К-**** , АДДИТИЗІЇЙ, одно—

і6 АЗнола Л.Я. - П:.1М, 1971, £ 2, с. 358-354.

родиш и непреркзкыг фунг-звюнзлы {?(/()> £ > , осрерг-лгіг-аг на

оо.оьксы пространстве =2} лазитс^їсл СЇ,

■ Пусть сушсда ^ /г) нзллетск локально суил;тр;д;:,:ол при Ci- L ^ і'.я> , опредегя2;.:г_=ї рагс-нстЕом

\ г <>), L (, /'/<)>* Гi7r)^f s" г/^-О ex,fc, , г<? 5?

' о

;;азкзастся обоісеїшілі’ гтхсб^аговли)^ іусьг-.Зггласа :;^л dyttxssi

^

Ргссмгтоь.' ДУ (2) иг пслуосх. Пуогь Л- A’.*'}” B-f.V- !я??х}<-£—,; .; гтрєдгслогг?.:. сто фуънп.’я ps(x) рогуляp;nj срп Xf Л. =с/ и нспрсрнйж ъ Ь , Рассмотри* 04* (у^.и)- с'х'л /V-av)-»- ^ и

r?2 fj~.yzz'Ji 'U (*> і) яри О* X .-'t <г~» vi,c- яіс-гзор--:-': r.-j.cr:-::-

(к,і) ZT />, /v;.-y - .ел* ^

y-o ’

»«,/).o, frc, *— s„w

s-3

/ i" n/ £; i- Н/

■я - ;

(■* ', У, ■ (£, t) = i-

с.„ , «-m4

л •>■■

..с, г,) i-J ІІГ V " Л

3r .

ZyiXrJ

г ‘т* (X. *) - О t * X.

ТіОГГХл 9Д. Спрагздгигв eoov.'czcisiH г*?(*.,.«)- (І*У 9(х',^Оу СО *P (х./ч) клзыалстгй oCo^t:-::ria рсжниск Es’-ira ДУ (2).

^ г:. :-;-;ц;гл Ti7,v(m')~ <р а >/0,м), У- і, г, ' нази.ї'гсїся сбсСгсн^-*•'.: З Д>' (2), .03 сгагг/.тся сль^л^-п.: образе»’: по заезнкаг обеб-

.ЛГ-Г.С-.' чЗ y't.jX't ЙС£*І.СИІ?-Є.ІТЦ ДУ {рк(К)\к^сГі.

ВЗЛН5МЕ засшях порядков.

В Р 10 дактсл ргдьнекьэе радвитке метода зтглскг-дя: иоделе?,,. г д, 10.1 исследуется 03 для дискретных операторов "треугольной" стругсгур;: с опзрамряамя хоэффгсшектзкв. Рагемгтригасггя канонн-чэсккй екд *треугольных^ структур, приводится решение СЗ до с?о'~ аекнык 5Е. Е е.Ю.£г Ю.З изучается частные «уча* "треугольнит* сгрутстур,. В д. 10.Г игеледутзтсд дксдр*т?м? оператору еыслкх дсрдд-

ЕСЭ »

где , Яу/ - ДОМДЕбУ-СНиЭ ТИСД-^. ДлКС реи-:-::И5 СЗ

оОоСаеннъгс 53', дслу^снк жсбход»:н2 гг достаточней услсзнл.

Ъ п.Ю.2 ду-стсл прклог.екяя полу**»-ода: ь п.10.1 рсдул1-г&тс = г ДО «кгг (!) с куссчкс-^ч^дитзтпег'гйш; ксь^уиписнтами. Г®зучеа-

Г.ке р?.:;?Лг.?.чТ11 ДСПСЛНлС? н ус:и<Е&9? рсзудьтстэ 5 ?.

К ЕТОГСГа ГКРПДЗЕ '

£ главе 3 кдедедуе"-^ СЗ длд ператег-л- дергсгс :.= вт^рег: поиглкоь. Тадку одоратор!-: тд-з'лт сбое. дпе-дд.гггу ксслдлоъ^д'-ги И^та-л-ке ? глиле 3 С? «•зен* ерпзашг е рисс:.:лтре1;?дл.-л: х • дь-й 03 =:релсть.гл;::;-т с о Г ей их д^лы»о.'д"‘гс г.язп*яте.

рСЛЬНЫ» £‘СЛЬТСррг-5--'3< опорстгрск. НйЛ1Г”'£ ,!послед?!»СГЕ"Чг г Я-Т'— >/ати’г-:>с:хГ* г.:д?л:г ~-:сс::т кя”сст:--;.::!"'с з гсол?'-.

03. ■

Пусть м,!вг, - СЗ краозсГ; садг-гп; з’<Д£

?Л?М^Г.

ЭЗозназди Л ДО- (тг-МНх), Лй <У>-^ О

- ПО -Су) . Зуде.” ДТОДДОЯГ.ГЛТЬ, 5? ''''Л •- ’ .

(к; (С.'П), Рассмотрю/ сдедугхгге 03: по галл."»* г/-:г:-- •

7- ,'х) и спектру / до кьЯти "укидиг /VI*}.

Доказан?» те стремя, зггнетэонги: стк, деду1??'::» дс-::г~ру:.

>с1зеяис 03, ксследорянЕ устоГ'ЧГгвость.

ТЕОРЕМ. 11.3. Пусть заддна крачзак загд^:* !-~ Ь ^, гУ '.

егде сул-остзует й~' 5 (зЕВ!:с~?е со .£ ' гчкос., 'гг-с '

IV.ель { А„1 »> ; вчбранк иг уеде.р:;.?

П-і

А, '■Ч.

то существует единственная ~ Ь ( /#,) , для которой числа

/ Х„ 5 „г* ЯВЛЯЕТСЯ СЗ, причем

II 0ЫУ Оіт^(йу7Т) < С А , ШкЮ-Лк (хМ&ел» * СЛ > к=0'{>

где константа С зависят только от і* .

Искомая краевая задача /. конструктивно строится с пемс^ъэ рєйзнкя "з малом" специального на.та-юйного интегрального урашіе-ния. Получен также алгоритм "глобального" решения 03. Центральним ус-стзм при решении 03 является доказательство базисностк по Ригсу свертки ресекий ДЕух иьтетао-диК'лренцкальНйПС уравнений.

Как известно, обратный оператор к ДО Ётурма-Лиувилля является частным случаем одномерного возмул^с-зя интегрального вольтер-роьа оператора. В § 12 приведено решение 03 для одномерного боз-у.уценкя интеграл:-.:эго Больтеррова оператор.: А = А (/1(, вида х тг

щ = $ /иыА) і и) с!і + 9-м \ $ Ш т)<& > 0~ х- тг.

о о

Получены необходимые и достаточ-.гоіе услетія к процедура Еос<:танор-ления оператора по его спектральным характеристикам.

Пусть /А'*} - характеристические числа оператора ,4 ,

[&кОс)1 - система его собственных к присоединенных функцхй с

нормировкой в точке к- О . Совокупность чисел гДе '

?к ОТ) будем называть спектральными данными (СД) операто -ра А .

Пусть функция /и(х,і) удовлетворяет условию А1± : 4укк_

ции МЫ,і), »,і=ОЛ непрерывны при о =г I * х =г тг

причем /Ы М (х^)/^к = О . Тогда оператор СЬ-/Ы

ЕМЗЄТ Б ИД ' .

: “((О-О.

Будем говорить, что А £■’ Лоа , если функция Л{(х,{) удоплі*‘.*-

г-орнет условию ' /Уі , фумхцки §-{х\ іГ[х.\ абсолсгяо непрерга-НН, Л^хХ (Г'Гх) с' -/а (0~г). <?,-£, г/ (О , где

/, - Г ^•Ъ’>У///•) „ 'а* - / -1$ (О) *(О)? е\_Ъ'№[< Ч (с) г У И (г,

~ . (і) Ре-ленке 03 дія простоты приведем для операторов класса Л ев .

Пусть А ^ Л ГІ . Тогда СД Мс5£*Л, опера-

тора Л ;2,'.-~ст вид,

А* = а^^-гех, = + «^*0, **,*4 е4. (II)

ТБСРЕ.’/Л 12.3. Если задана щшкціїя /МС*Л) , удпзлетворя-клзя услсвта Д4 , іі числа А*, вида (II), то существует ЄД:-гШТ2ЄИКНЙ оператор А(/% V) <? Л 1‘і , для которого [К к, $к] является СД.

Доказательство теореьщ носит конструктивный характер и дает оф^ектііЕьуп лроцед;гту построения искомого оператора. Показана срлсь исследуемся СЗ с СЗ для ДО Штуриа-Диувкдля.

В § ІЗ рассматривается ДУ

+ = А*у- (12)

с кр.іевьз.'н условгл;яі, зазисяцтдк от спектррльнога параметра. В та:-::с: задачах встречается ^ь.'рокденкке с-т-чаи, когда спектр отсутствует к наблюдается потеря інформативно сті! ітри решении СЗ. З ? ІЗ дано полное списание зкрсгденіїш: с.г^аез для /Ц ,12), а так:: з получены теоремы едшствекнссти Еос-т-ановлзжя ксзффипиен-тоз ДУ (12) по дискретным спектральним характертісти-'-м. Дія кратности сгрор-.г/лиру е'/. результати .для краевых условий Редг.е.

Расс^сгрхм краззие задачи ^ у , /-^1 для ДУ (12) с кроеными уелозіигш-і у'Ю}+і\ у (О) — (1Г) = 0.. ■ .. ■

’ ТЕОРЕЗД 13.2. Для тог5 ■чтобы г сдача Січ) пе ккелк.- СЗ (к:.:зла одно СЗ), необходимо и достаточно, тазбы р(О) = Оъ ■ К(ї)^ г}Сх\ + р*('А)-ір'(у), .? п.в. на ('£7^).

Таїша образом, ДУ (12). вообще говоря, не восстанавливается здмогчачно по дву-/, спектрам задач 1,оі 1> с . Однако, если, яапржлор, р(О)і-- О или р (О) - О, Л{х.)~С/ч х", Х-+ + 0,

См ч£- О » та заданно дзуг спектров { А^- $ /^од . крае-

ГЬЗ: задач І,; с дне значно определяет уравнение (12). ■

Т20гЕУА 13.5. 2 ела при всех к Дх і = 0,4 > її-9 р{*)= 'р(у-')> 'ііїУ-уСх'і п.з. на /С'тг)..

Дгкслгао? та.ч.:е теореми сдкнствеккостк ресейіія 03 а ЗС Тру-I гж спб.':-:трать:глл ::арз.еторксїккам.

З § 14 исследуется. 03 гля ДО Етур-дэ-Лкувиллл. с нераспадаг»-г;-л'і;-.л кр:->£2іліл условиями. СЗ дія ДО г керасявдевгрзгягл- араезз-ж изучалась з работах й'.З.Сїгшсзгичг, В.А.Ілрчекз.’О?

£.3.Островского. О.А.ІІг*.хсжн я др. З дачной работе пріп.:е:-;:^-3=

ся иной подкол к отой задаче.

Расс:.:отр-"-г самосопряженную :сра~зуп задачу £ вира

-- Ч" +с!'(х} (Л £ -л ГС,тг^ (13)

'■/(о)-*у(о) *1 ч-с?) - ?7&> */;*#■)-/?/»)-о, пд->

гдо &(х), а, i — зецесгвеннц. 2 работе дана характеристика спектра {Л»1п>,о задач:! Л , получены т-еоре?лы едипстзенкостк, уатоГг-глвостл ;г процедур БэсетзлоЕденкя ДО пс его спзктргдьгсм ллрахгерлотипам.

Будем гезерлть, что ; „ ') >т £Г , есл^ супсстзует задача

вида (13), (14), ддя которой ч;!ела < \ явллагся С?.. Характе-

ристика споктра аодач;; да-з'гся з ллздуищег теосеан.

ТЕС?ЕИ1 14,3. Дхгы Бедестл-н-:ке числа {л.,1 з'лла

л„--л*+£ (ы- (-!Уг1-й/л,-4 , А. А,-А,**.

Для того, чтоба- £ А-. ^ 5 , ::еоо:сс.~:слс я дсстгточкс, чтебы

.-г** і л/а) ! ~ і !іі. где '

, / , ч Г? А,-А •" * л^/г-и!} б>(^'

іі (А^ =тГ(А'Ав) I /------р и*-"! г. > -і ^ , о

/1' ■ (. іл2л-і. ''.2лі> 5 *ч-Л

Пусть, яреме того, заданы зещестзонные тисла /?»Зл%в вида '£„% € £а , мзх(ХЯт /Ог г„ і лил АЛі),

где [ а; 5 --яузл •іункции Л ҐА^ г А іОЛ - Чь , и пс-сдадозатедь-несть чисол тан:::;, что I) а?„ = С? , если л /?*>»

> Ді'Гг У-,-О и и)„-±'1_ в прсті:5ном случао; 2) гугеотзуз? к&туратънзе .'/ (езое для каадей яэслздога.ггдькосгк) та;гое, что при //:• Л-" и)п - і . Тогда существует едиггстъежак воіцествеїшая .іу:і::-;::л ^-/’х) е і£а./0,7Г) я зецесгаеянда чйела <?, /, для ко-

'.’чріс; адеді {А.Л, /?».] яедлзотся 03 кра^вьос задач і,х оссг-дгеог-зокпо я (]Э'(Ъ > , где - нра-

сааз задача длз Д7 (ІЗ) в* услозляїги и{С)~ афО)=у.(іг) = О , а с" (ХХ'і - розгине уразнєк'.ія (ІЗ) при услоБияіс $(0, У>-і}

Псглатанле. -5!ктегрировакле ураакения Еуссинесха на пслуоси '.•.■■Х'ог.сії обооті-ой задач::. '

ггссжїразі глздуюзуа аадачу ‘ .

'-П-• -’ (5і’х--7Л-х 1, К 'і ?/х*'Ол і>0; (15'

- (LC> -

7г',-.ч,- = 2: с fx), Vjt-o - и* &), ^ M £ if г tZ “*0,

Ук/г-о ~ v*!^o~^k(^-

Г7^

Система (15) после :ю;с^тче;;;:я IT оесдчгся ;: уравнению Вусе:г;ес~ 'Ъ'Кц ~ ^Х**И +S Cli'l'XK .

Г:г.::зздкт£': рслапгэ с:.:слг-::-;ой задач:; (15>-(17). Получен;: ио-оЛгозо-'Ь'? и ;,остатотгн:л условия ргз;со1й.'.с,с7”т задстч (I5)-(J“,,1 алгсргд* ретс-нкя, доказала одъ’.с'геошюсть. Исслсдобгллс опирается !-:п. гршгсдсгшой з главе I ре-ложе 03 для ДО (I) пр:: >'/ ■- 3 нь пол7-.сп по IU П-;г полигон!!!! эрсг.:пт1и ьт. НП кспольг.тагея !•:■:-

• Т"“ ' '

тод Л. A.Crj3iOT4i.-4a* .

Пусть (2)-f (У,/): Х*0>(ъ0\, ~Уу -- рно'„оотг.о >.Т’ун:с;т’:1 7 (>',4) ■гатчл:, что ?,-vT') • /-«JJk с>' кс-тоетжз:-^ s .>5 .длл

любого ^пкгврэиагзгсго ^ ? 0 cyis^pyvn: на полуоси к

— k-f "t . x X- t' 3'i'O^'i . Будам гсверить, что Iй(к 4)л ,J (*•4') j

О a' v *

опли 'Vfx.fietи*,z) * . Feaeicrc задачи (I5)~{I?) Судим -

кать г. классе /С' . '

‘ Пусть г” г/, У S <?,•# . .При фтасарованнои > С?

С .ГГ'

11г>2-; Л!-' ' 'J)1 ~ ^ /Ь) рассмотрим '.ИЗ для £

• у;г (l.k">r[mrj t yyr^UX^^i U*k\

В слэдудаце?. теореме получи:;:! эрслкция !ПВ УУТ (i,k\ пс г .

ТПОгЕМА I. Пусть • г'.х/),'Я>.;/,)(- рсг:с:л:э задали (Т-П-С О >оз?х'э ({)- Т/гг/ц^о t /<2А>~ "'В длл /'Л.-Д ,.

г

О

4%ю

О

А- к, (7)+у. ■'{) ^ Vt а) ;

Пусть кагтшца /?^ яглястсл р'ллс1:и<_и зг.--;-'.»::

R{ t’L А) - - Я Я /Л f И, А), ^Пу-.с, = / ]^Г:

ПбоЗЬ'ЧЧЛТ'

Сахноп-гч П.А. - Укр.матоц.г., I93S, т.4С, Р -1, c.HL

ил

({*У-4 (I ^ И АН (Ж^:)+ж^(>Жг /Л)у?„- //.ц 1

г £22)

£ук (^к)-с/е± I а к) -Л^,- (л) ‘'11 ^ •} ■ Ь=^*г. _3

Тогда • • '

ж„й»>-—^Гч. яим*-4*£5, . (23!

“ • ИЛ - л,.лй б,и>л

-<21

"23

КСПОЛЬЗуЯ эволюционные соогнопеиш (23) К рС;:!-?ШГЗ 03 ЛЛЕ ДУ (16), получаем следящий алгоритм ретежя задачи (15)-(17).

Алгоритм 1> При У » О, гъ-0 задана нвггаер^гкае функции Ъ\. {у\ (х)> ?,/, ;гг'д /V), ^2 !Л) Iтагив, что V,. (х\ У'0(х)е-Т/'Су0**)

'Не (О) ~И± /0)> сС (о)- '0)> ~с/ь1- Ч {'0 - непрерывна.

1. Вычисляем фуККЦИЗ Ъз /'/) = £' 1Д. (7 ) + £* 2/. /{•')_

2. Строки (л)л ^ А"*•'/•<5 - г-Б для / гл>£*Л Г*};.

’ 3. Находи.: матрицу Я ьг соотношений {20), (21).

4* Ьётчксялем катршу 55? (£ь) по формулам (19), (22), (23).

5. Ре-лая 03 иетодоь: глазы I, исходим функции г>(хл <')}

Сяедуяцгя георека показывает* что су^естиэнагже ретоякя задачи (15)-(17) равносильно разг.зглкмогти сооть-отствудцей 03.

ТЕОРЕМА. 2. Пусть патрица ¥22 А 3 построена по гацашыь:

сй'ккдияй 2//,. </, , /-Q-i.fi согласно п. 1-4 алгоритма I. Предпологик, что существуат функция / ъ(х,£)> 'Х(х,^\ ~ у2/ , дяк которых УТ2 I {_ А.) является МВ. Тогда / ^ ("г ^ - резгкаэ .

задачи (15)-(Г7)« .

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕЖ ДИССЕРТАЦИЯ

1. Орг.о В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярным! краевыми условиям //Математ. заметил, 1975, т. 18, 3 4, с. 559-576.

2. Ерко З.А. 0 восстановлена дкффгренстальных операторов четвертого порядка //Дифф. уравнения, І9Б2, т. 19, Гр II,

г. 2015-2017. '

3. Юрко З.А. О краевых задачах с параметром а яраезых условиях //Ияв.АН Арм.ССР. Сер. матем, 1584, т. 19, $ 5, с. 298-409.

4. Юрісо В.А. Обратная задача для интегральных операторов //Ма-теїїат. заметай, 1985, т. 37, № 5, с. 690-701.

5. Юряо В.А. Единственность восстановления двучленных дифферен-

циальных. операторов по двум спектрам //Математ. земет:сі,І583, т. 43, 9 Зу п. 356-364. .

6. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов зыслих порядкез //Дифф. уравнения, І9Є9, т. 25, № 9, с» І540-І550.

7. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов.-Саратов: изд-ео СГУ, 1959, 176 с. .

8. Юрко В.А. Еосстзнозлэние дифференциальных операторов по матрице Вейля //ДАН СССР, 1990, т; 313, № 6, с. І36ЄІІ372. .

9. Юрко В.А. Об одной задаче теории упругости //ПЖ, 1990, т.54.

’ ' » 6, с.. 998-1002. * ' , * ' '

10. Ірісо В.А. Зо сстановление ввеамосопряженных дафференпиальнкх

■ операторов на полуоси по матрице Вейля //М&тэуат. сб., 1591,

-г. 152,*5 3. - С. 431-456. . .

11. їрко В.А. Интегрирование уравнения Бусскнеска на полуоси // .

. Диффер. уравнения. - 1991. - Т. 27, }? 9. — С. 1647-1648.

12» Юрко З.А. Обратная задача для интегро-дифференгглальных операторов //МатекаТі заметки. - 1991. - Т. 50, вкп. 5.

’ С. 134-145. .

ІЗ і Юагсо В.А. Об опредзденик д^йї'ереншіальншс операторов на полуоси -//Д№ УСС?. - 1991. - Э 9.' —-С. 34^37; ' ‘

,14. Юрко В.А. Обратная задача дла даф?ер<й:П:'ал5ных опёсатсров на полудой /ДЬз. ЗУЗов,. Магехатана. - 1ЭЭТ. - :? 12. - С. 73-22.

15. іхг.-'с / д. <оіиіюп о$ Це Зоаіьіяпг. г<рисгііаа оп.іНе Йзіг-ііяе. І'ї іЯе, іЯіґСХІІ рТсІІі/гг ггііЦоїз //Р?&о/!2/ЯЗ.-1591~7.-с>.+2?-+5%.