Обратные экстремальные задачи для стационарных моделей переноса вещества тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005001356

СОБОЛЕВА Ольга Владимировна

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Владивосток - 2011

005001356

Работа выполнена в Учреждении Российской академии паук Институте прикладной математики Дальневосточного отделения РАН и Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Дальневосточном государственном техническом рыбохозяйственпом университете"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алексеев Геннадий Валентинович

Официальные онноиенты: доктор физико-математических наук

Потапов Игорь Иванович

Защита состоится " 25 " ноября 2011 года в 14°° часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, Владивосток, ул. Радио, 5, ауд. 510, E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН

кандидат физико-математических наук Луцепко Николай Анатольевич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии паук

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН

Автореферат разослан

октября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических паук

О.В.Дудко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы большое внимание уделяется изучению процесса антропогенного загрязнения морских и пресных водоемов. Применение метода математического моделирования для изучения указанного процесса приводит к необходимости построения и исследования математических моделей, которые описывают распространение загрязнений в изучаемой области. Указанные модели и используемые граничные условия содержат ряд параметров, которые должны быть заданы для однозначного нахождения решения краевых задач. Но в практических задачах часто возникают ситуации, когда некоторые из параметров не известны либо заданы приближенно и их требуется найти вместе с решением. Такие задачи относятся к классу обратных задач для моделей переноса вещества.

Особую трудность вызывает исследование коэффициентных обратных задач, поскольку по своим постановкам даже для линейных моделей они относятся к нелинейным и, как правило, некорректным задачам математической физики. Это обстоятельство существенно осложняет проблемы построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач и затрудняет полное и строгое обоснование их сходимости. Теоретическому плп численному анализу обратных задач для моделей распространения загрязнений посвящены работы О.М. Бабешко, A.A. Самарского, В.Т. Борухова, П.Н. Вабнщевпча, A.M. Денисова, Ю.Ю. Гончаренко, О.В. Евдокимовой, Ю.И. Ибрагимова, А.В.Кармазина, В.Н. Кармазина, В. Н. Коморина, В.Н. Лсбедннцева, Н.В. Музылева, О.В. Нагор-пова, Е.С. Соколова, A.B. Чухлебовой, В.А. Шлычкова, J.R. Cannon, С. St. Clair, A.G. Fatullaycv и других исследователей.

Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей переноса загрязнении. Интерес к этим задачам появился в 70-80-е годы прошлого столетия, начиная с работ Г.И. Марчука, В.В. Пспснко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон.

Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации па решениях исходной задачи. Это позволяет рассматривать обратные задачи п задачи управления с единых позиций математической теории управления и применять для их решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации. Данный подход для моделей гидродинамики и тснломассоперепоса интенсивно развивается в работах A.B. Фурснкова, Г.В. Алексеева, Д.А. Терешко, А.И. Короткого, М. Gunzburger, R. Stavrc и ряда других отечественных и зарубежных исследователей.

Основная масса работ цитируемых выше авторов посвящена решению задач восстановления неизвестных коэффициентов или правых частей диффереицналь-

(У

»

ных уравнений, входящих в рассматриваемые модели. В то же время почти нет работ по решению обратных задач нахождения коэффициентов граничных условий. Большая часть диссертации посвящена решению именно такого типа задач, па которые мы будем ссылаться как на граничные обратные экстремальные задачи.

Для численного решения рассматриваемых в диссертации обратных экстремальных задач можно предложить два метода. Первый метод основан на использовании систем оптимальности, описывающих необходимые условия экстремума. Указанная система оптимальности состоит из прямой задачи для главного состояния, сопряженной задачи для сопряженного состояния, которое определяется рассматриваемой экстремальной задачей, и вариационного уравнения для управлений. В силу специфики системы оптимальности для нахождения се решения удобно применять метод Ньютона, который обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса. Именно этот метод используется в диссертации при чис-Лепп'ом решении рассматриваемых обратных задач. Ввиду этого большое внимание в первых двух главах диссертации уделяется выводу систем оптимальности для рассматриваемых обратных экстремальных задач и качественному анализу их свойств. Альтернативный способ основан на использовании для решения экстремальных задач методов, аналогичных прямым методам вариационного исчисления. Однако этот метод сложен в реализаци и редко используются на практике.

ЦеЛь работы. Целью днссертаци является теоретический и численный анализ коэффициентных обратных экстремальных задач для стационарных линейной и нелинейной моделей переноса вещества, описывающих распространите загрязняющего вещества в ограниченной области.

Методы исследования. При теоретическом анализе рассматриваемых в диссертации обратных экстремальных задач использовались методы математического моделирования и математической физики, методы оптимизации, а также методы теории дифференциальных уравнений. Для численного решения использовались следующие методы: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Ньютона, методы решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, методы обработки больших объемов информации, а также методы визуализации результатов вычислительных экспериментов.

Научная новизна

1. Проведено теоретическое и численное исследование коэффициентных обратных экстремальных задач для линейного стационарного уравнения коивекцни-Диффузии-рсакцин, описывающего распространение загрязняющего вещества в ограниченной области. Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность н устойчивость решений конкретных Ьбратных экстремальных задач относительно малых возмущений заданного'функционала качества п одной из функций, входящих в основное уравнение ' конвекции- диффузии-реакции.

2. Проведено теоретическое исследование обратных экстремальных задач для нелинейной модели массоперсиоса, описывающей перенос вещества в рамках классического прпблнжеппя Обербска-Буссписска. Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность н устойчивость решении конкретных экстремальных задач относительно малых возмущений функционала качества н одной из заданных функций, входящих в рассматриваемую нелинейную модель.

3. Построены п проанализированы системы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума для рассматриваемых экстремальных задач.

4. Разработаны численные алгоритмы решения конкретных экстремальных задач, основанные па методе Ньютона. Создан комплекс: программных единиц, с помощью которого проводились численные эксперименты и анализ разработанных алгоритмов. Проведен сравнительный анализ результатов выполненных численных экспериментов. Установлены количественные зависимости точности восстановления неизвестных функций, входящих в краевую задачу для линейного уравнения копвекции-дпффузпи-реакцип, от параметра регуляризации, начального приближения п других параметров.

Положения, выносимые на защиту

1. Постановка и теоретический апалпз коэффициентных обратных экстремальных задач для линейного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, описывающего перенос вещества в ограниченной области.

2. Постановка н теоретический апалпз коэффициентных обратных экстремаль-пых задач для нелинейной стационарной модели переноса вещества.

3. Численные алгоритмы решения коэффициентных обратных экстремальных задач для линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции, программые единицы решения обратных экстремальных задач, результаты вычислительных экспериментов, сравнительный анализ решений, полученных в работе с помощью вычислительных экспериментов.

4. Количественные зависимости точности восстановления неизвестных функций, входящих в краевые условия для уравнения конвекции-диффузии-реакции, от параметра регуляризации, начального приближения и других параметров.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях: моделирование распространения загрязняющих веществ, коэффициентные обратные экстремальные задачи для дифференциальных уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для исследования прямых и обратных задач конвекции-диффузии-реакции в более сложных случаях (например, в случае одновременного восстановления двух и более коэффициентов уравнения), а также для решения задач идентификации плотностей неизвестных источников в случае более сложной геометрии области и задания более сложных граничных условий.

Диссертационная работа поддержана следующими грантами.

• Проекты 04-01-00136-а, 10-01-00219-а, 06-01-96020-р-восток-а и 09-01-98518-р-воеток-а, 06-1-П22-086 (2006-2008 гг.) и 09-1-П29-01 (2009-2011 гг.) Российского фонда фундаментальных исследований;

• Интеграционные п молодежные проекты ДВО РАН 06-II-CO-03-010 (20062008 гг.), 09-Н-СУ-03-003 (2009-2011 гг.), 06-III-А-01-011, 06-III-A-03-072 (20062008 гг.), 09-III-A-03-070, 10-III-B-01M-003 (2009-2011 гг.);

• Гранты Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ НШ-9004.2006.1 (2006-2007 гг.) и НШ-2810.2008.1 (2008-2009 гг.);

• Проект "Избранные проблемы теоретической и прикладной математики" в рамках ФЦП "Научные и научио-псдагогнчсские кадры инновационной России" па 2009-2013 гг.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались ранее па различных, в том числе па международных, научных конференциях и семинарах: Дальневосточной школе-семинаре им. ак. Е.В. Золотова (Владивосток, 2002,2003, 2004,2006, 2007,2008, 2010; Хабаровск, 2005, 2009); Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2003, 2004, 2007, 2009); Всероссийской конференции посвященной 70-ю со дня рожд. ак. В.П. Мяспикова "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Владивосток, 2006); 2-ой международной научной конференции "Проблемы экологии, безопасности жизнедеятельности и рационального природопользования Дальнего Востока и стран АТР"(Владивосток, 2006); Копфсрснцпи молодых ученых Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН "Океанологические исследования" (Владивосток, 2008); Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2009); Всероссийской научной конференции посвященной 75-ю со дня рожд. ак. Мяспикова "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления" (Владивосток, 2011); объединенном научном семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН A.A. Буренина.

Достоверность результатов обеспечивается использованием современных апробированных методов теоретического и численного анализа рассматриваемой в диссертации обратных экстремальных задач.

Публикации и вклад автора. По результатам диссертации лично автором и в соавторстве опубликовано 19 научных работ, получено свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. Список работ ириведеп в конце автореферата. Решение задач, сформулированных в диссертации, получено автором лично либо при его участии. Постановка задач, выбор методов исследования, а также анализ результатов осуществлялись совместно с научным руководителем. Исследование свойств разработанных алгоритмов, проведение вычислительных экспериментов, обработка полученных результатов проведены автором самостоя-

тслы10.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена па 118 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований. Диссертация содержит 36 рисунков, включенных в текст.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается предмет исследования диссертации, указаны актуальность темы, цели и задачи работы и кратко описывается се содержание.

Первая глава посвящена теоретическому исследованию коэффициентных обратных экстремальных задач для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, описывающего распространение загрязняющего вещества в ограниченной области Q с лпшшщевой границей Г, состоящей из двух частей Гд и FjV. Исходная краевая задача описывается соотношениями

—XAip + и • gradp - w{¡d<p/dz + к<р = f в П, (1)

(p = ip на Г0, А(д<р/дп-+ сир) — х па IV (2)

Здесь <р - концентрация загрязняющего вещества (примеси), А = const> 0 - коэффициент диффузии, и - заданный вектор скорости, w0 = const> 0 - величина вертикальной скорости осаждсппя частиц примеси, к > 0 - величина, характеризующая распад загрязняющего вещества за счет химических реакций, / - плотность объемных источников, ф - количество вещества на границе Г0, х ~ поток вещества через границу IV а - коэффициент массообмсна на границе IV

При исследовании задачи (1), (2) в качестве основных функциональных пространств используются известные функциональные пространства L2(D) и H"(D), s £ К, где D представляет собой либо область либо се подмножество Q, либо границу Г, либо некоторую часть Г() границы Г. Скалярные произведения в L2(íl), или в Z/2(Го) обозначаются через (•, •), (•, •)q или (•, -)г0, норма в L2(f¡), L2{Q) или в L2(ru) - через || • ||, || • ||q или || • ||Го, норма либо полунорма в #*($}) и Н!(П) es Н\П)'1 - через || • ^ либо | • |ь норма в Го) - через || ■ ||1АГи.

Предполагается, что выполняются следующие условия:

(a) Ü - ограниченная область в пространстве Ж'1, d = 2,3 с границей Г е С'1,1, а открытые участки Го и Г^ границы Г удовлетворяют условиям: rD € CIU,

Го.ф 0, Г^ £ С0,1, Гд п Гдг = 0, Г = Гд U IV

(b) u е H^fi), divu = 0 в Í2, u • n > 0 па TN, А» = ¿iA - 74|u>„| >0.

Вводятся функциональные пространства Т= {5 £ Я'((1) : S = 0 на Го},

L2+{TN) = {а е Ь2{Гц) : а > 0 на Г*}, L2+{íl) ={к е L2{Ü) : к > 0 в ÍÍ}. Через Т* обозначается двойственное к Т относительно пространства Ь2(й). Вводятся билинейные формы а, си : Н1 (П)2 R формулами

а(<Р,h) = (V<¿>, V/i) = / Vv? • V/idx, cu(tp, h) = (u • h)= í (u • Vtp)hdx. Jü Jí 2

В работе используются следующие неравенства:

<73|нымын|1, кл'ЛЫ <7iiixiirji/»iirw, цл|1о <74iNii.

Здесь Q С П, 72, 7з, 74 - некоторые константы, зависящие от П.

Под слабым решением задачи (1), (2) понимается функция ip е Hl(Q), удовлетворяющая соотношениям

X(Viß,Vh) + X(aip,h)rN-w0(dip/dz,h)+

+(kip,h) + (u-V<p,h) = (f,h) + (X,h)rN, l\rDV = Tp- (3)

Основным результатом разд. 1.1 является доказанная теорема о существовании и единственности слабого решения задачи (1), (2).

Разд. 1.2 посвящсп постановке и исследованию мпогоиарамстрнчсской обратной экстремальной задачи для модели (1), (2). Множество исходных данных задачи (1), (2) разбивается па две группы: группу фиксированных данных щ = (Х,гип,и) и группу управлений и = (а, х, к) и предполагается, что управление и изменяется на множестве К = К\ х К2 х К3 х К а х Кг„ где

(с) Кг с Д Кг С L2(I», Къ с L2(fi), Кк С H^(TD), Кь С L\{Ü) -непустые выпуклые замкнутые множества.

Вводится функционал J : X х К R, где X = Я*(П) формулой

jm ^ ^rn + f Hallt + f iixiiL+f II/II2 + ^т21/я.Го + у pii2- (4)

Здесь I : X R - функционал качества, щ > 0, l = 0,1,..., 5 - константы.

С точки зрения приложений практический интерес представляют собой следующие примеры функционала качества / :

Ш'= Mi, Чч>) = м\1 h{v) = \\<p - VdtQ, hiy) = / <pdx.

Jq

Здесь Q с fi - подобласть области П, ip,i е L2(Q) - заданная функция. Рассматривается следующая экстремальная задача:

J{ip,u) = J{<p,a,x,f,i>,k)inf , F{ip,u) = 0, {<p,u) e X x К. (5)

Здесь F(tp,u)=0 - операторное ограничение, отвечающее слабой формулировке (3) задачи (1), (2), Доказан ряд теорем о разрешимости как общей экстремальной задачи (5), так и ряда конкретных экстремальных задач.

В разд. 1.3 выводятся условия оптимальности для задачи (5). Доказана теорема о достаточных условиях на исходные данные, обеспечивающих существование множителя Лагранжа у* = (г/,() £ Тх #1/2(Гд)*, для которого выполняется уравнение Эйлера-Лагранжа, имеющее вид тождества относительно (r),Q

Ха(т,г]) + X (ат, т])Гк - гиа(дт/дг, ц) + (кт, т?)+

+cu(t,v) + (C,T>rD = -{^(ф,й),т) Vr € Н\П), (6)

п выполняется принцип минимума, эквивалентный следующему вариационному неравенству относительно управлении (/, ф, А, а, к)\

(/ - /> V) + (С ,Ф~ Ф)г» + {Х- X, v)rN ~ А((а - а)ф, ?/)Гл,-

-((/с - к)ф, г,) < J(<p, и) - J{tp, и) V« = (а, х, /, Ф, к) е К- (7)

Тождество (6), называемое, сопряженной задачей, вместе с неравенством (7) п уравнением F(ip,u)— 0 описывает систему оптимальности для задачи (5). На основе се анализа в разд. 1.4 устанавливаются достаточные условия па исходные данные, обеспечивающие единственность и устойчивость решений конкретных экстремальных задач.

В разд. 1.4.1 рассматривается случаи, когда коэффициенты а и к заданы, а неизвестными являются функции /, ф и х вместе с решениемр задачи (1), (2). Устанавливаются достаточные условия па исходные данные, обеспечивающие единственность решения следующей экстремальной задачи:

j{<p,u) = + f \\x\\iN + |ii/II2 + Ц\щ\\,2Хи h<

F(<p, и) = 0, (<р, и) е X X К, и = (х, /, ф), К = I<2 X К3 х К4. В разд. 1.4.2 изучается коэффициентная обратная экстремальная задача

= уlb-w|ß + flKw-»inf> F{<p,a) = 0,(<p,a)€X'xK1. (8)

Доказан ряд теорем об единственности и устойчивости се решения. В частности доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в дополнение к условиям (а), (b) / € L2(ü), \р £ Н1/2(Гц), X £ L2(Г/v), k € - заданные элементы, > О, К\ С ~ выпуклое

замкнутое лтоо/сество и пусть причем > ^о7зЛ2Л72Л/"'74(3'У4Л/"+

2||<^j'||q) + г, £ — const > 0. Обозначим через £ Hl(ü) х Кх решение

задачи (8), отвечающее функции ipjf 6 L2(Q), i = 1,2. Тогда справедливы оценки устойчивости

II«! -а2||Г„ < -<pf\\Q,

относительномалых возмущений заданной функции щ в норме L2(Q).

В раз д. 1.4.3 аналогичные теоремы доказаны для многопараметрической об-; ратной экстремальной задачи

J(v,u) = - + f INlL + f HxIlL + §M2 inf,

F(v, и) = 0, <р G X, и = (а, х, к) G К. В разд. 1.4.4 исследуется двухпараметрическая экстремальная задача

Av, «) = Ы\Ь + у Ml + у Ml -> inf, (9)

u,f) = 0, <рех, и = {а, х) S Kl х

и доказана следующая основная теорема об устойчивости решения относительно малых возмущений как функционала качества, так и функции /.

Теорема 2. Пусть при выполнении условий (а), (Ь), (с) тройка £

Iil(ü)xKi х К2 является решением задачи (9), отвечающим заданным функциям tpd ЕЕ (р® G L2(Q) и fi £ Z С L2(fi) i = 1,2, где Q С fi - произвольное открытое подмножество. Предположим, что рй > О, Ц^Ц] < М^, i = 1,2 и выполняются условия

/Л > iwlKHKT1^ + № > 2тз2Л2Л:2М^» + 2£7з2А2(М«)2, (10) где е = const > 0. Тогда справедливы следующие оценки устойчивости:

к-одИг gg—а—п..-"» ..■«'п., I w^'K+iMHio),,,

" ' îl,r" - £ IjAA.AÎJ«' 110 + s Ъ\ХЦМ1У-11/1 " M

Ы - «lr. < ^llri» - rf-b + - M

Вторая глава посвящена исследованию экстремальной задачи для нелинейной модели переноса вещества, описываемой при использовании классического приближения Обербска-Буссипеска соотношениями

—г^Ди + (и • grad)u + gradp = f + hip, div и = 0 в fi, u|r = g, (11)

-AA<p + и • grad tp = f в fi, у>|Гв = ф, \д<р/дп\Г„ = x. (12)

Здесь p = P/p, где Р - давление, /9=const - плотность среды, v > 0 - коэффициент кинематической вязкости, f - объемная плотность внешних сил, b = ßvG, где G - вектор ускорения свободного падения, a ßv - заданная функция, g - функция, заданная на границе Г,.смысл участков Г0, TN, а также величин u, ip, А > 0, /, и х указан выше.

Пусть V = {у G H,1,(fi) : divv = 0}, I2(fi) = {p G L\fi) ; (p,l) = 0}, H^fiKv G H^fi) : v • n|r„ = 0}, H1/2(r)={g = v|r : v G Hx(fi)} и пусть (d) g G HV^r), 'ф G HW{TD), h G L2(fi).

Под слабым решением задачи (11), (12) понимается тройка х = (и,р, ф) £ X = Н'(П) х L^(Í2) х Hl{Q.), удовлетворяющая соотношениям

i/(Vu, Vv) + ((u • Vu), v) - (divv.p) = (f, v) + (V, v) Vv e H¿(n),

A(V*?, V5) + (u • Vy>, 5) = (/, 5) + (x, S)rN VS e T,

div u = 0 в fi, u|r = g, Иг« =

Как в гл. 1, вводится группа фиксированных данных иц = (b, g, V') п группа управлений и = (/, х) i причем и может изменяться па множестве /v = К\ х Л'2 С L2(Fyv) х L2(fí). Рассматривается экстремальная задача

J(u,u)^/(u)+^||/||2+|||x||^mf, и, f)=0, (x,u)zXxK. (13)

Здесь /(и) - функционал качества, F(x,u,f) - операторное ограничение, отвечающее слабой формулировке задачи (11), (12), fio, ¡i\ и Ц2 ~ положительные размерные параметры. Вводятся два функционала качества

h(и) = ||и - vdfQ = ||и - VdHl4Q), /0(и) = ||rotu - C/Hq. .

Здесь v,¡ € L2(Q) (либо Q € L2(Q)) моделирует измеренное или желаемое в некоторой подобласти Q области ГI иоле скоростей (либо завихренности). Наряду с (13) рассматривается следующая "возмущенная" задача:

J( u, u)J^I(n)+^\\ff+^\\x\\2rN inf, F(x,u, f)=0, (x, и) £ X x К.

Вводятся "модельные" числа Рсйнольдса IZe, Рэлея 7Za и Прапдтля V:

Ъ ъК ъ 01м" -г, „ „

= = s[л' " = SUPM«W' M¿ = supMv(u).

Здесь ¿o, 7d, 7i, /?i, До, с, M - некоторые константы, введенные в диссертации, где Мп(и), Му(и) - оценки норм решений прямой краевой задачи (11), (12) для заданного элемента и £ К. В предположении, что выполняются условия

Пе + Ка< 1/2, (1 - > ц0сг/$, (1 - е)ц2 > /щс, е > 0, (14)

доказана следующая основная теорема об устойчивости решения задачи (13) относительно малых возмущений как функционала I, так и плотности f.

Теорема 3. Пусть при выполнении условий (a), (d) и (Ц) пятерка функций (u¡,pi,ifi¿, /,. ,) является решением задачи (13) при I = 1\, отвечающим заданным функциям v,i = uJ;''gL2(Q) и f; € L2(fi), i = 1,2, Тогда справедливы оценки устойчивости

llxi - Х2||г„ < ,/^fA, ||/i - /2|| < ,/Жд, V ОД V

11

2л_м

- "2 1 < г „ ' * , ~ + л / ——А +

¿0^(1 - 27га)5!Л удг; V г ¿01/(1 - 27га)'

„„ - И|1 < м + _гЛ +

¿^(1 - 27га) ^Дг у/Щ/ V е А(1 - 27га)

Ир (2М + 1)А / 1 72 \ , 2М + 1 „с

1|Р1 Р2" < ДАА(1 - 27га) Ы + V 7А + 116 "

Здесь А = Ци^1' - и^Цд + а(Рх - ГгЦ), где а - некоторая непрерывная функция, зависящая от исходных данных.

Аналогичная теорема справедлива и для функционала качества /2.

В третьей главе диссертации описывается разработанный алгоритм численного решения обратных экстремальных задач, основанный на методе Ныотопа, и обсуждаются результаты численных экспериментов, которые проводились с помощью программых единиц, построенных в свободно распространяемых пакетах БсЛаЬ и РгесРет++.

Численное решение обратных экстремальных задач производилось посредством компьютерного моделирования, при котором дифференциальное уравнение кон-векцин-диффузин-реакции для стационарной модели распространения вещества дискретизировалось с помощью метода конечных разностей в программе БсПаЬ и метода конечных элементов - в пакете РгссРст-Ь-Ь Для возможности сравнения результатов вычислительных экспериментов, полученных с помощью различных методов и в различных пакетах, в области вводилась равномерная сетка. Для простоты исследования в качестве О. выбиралась двумерная область на плоскости, а контуры исследуемого участка сводились к единичному квадрату с расположением границ Гд и Гдг, указанным па рис. 1(а). Такое допущение в модели возможно в случае, когда глубина водной акватории мала но сравнению с шириной и длиной исследуемого участка, т.е. можно пренебречь распределением концентрации вещества по глубнпе. Система координат выбиралась таким образом, чтобы ось Ох была направлена вдоль потока, а ось Оу - перпендикулярно потоку. При проведении вычислительных экспериментов предполагалось, что вещество поступает в область за счет внутренних источников, приносится вместе с потоком жидкости либо поступает в результате массообмепа па участке границы.

Применение метода Ныотопа в разработанном алгоритме основывалось на следующей теореме, сформулированной для задачи (8), где ср(а) обозначает единственное решение краевой задачи (1), (2) при заданных значениях функций а, а также функций и, /, ф, х-

Теорема 4. Производная от функционала 1 в любой точке а € К в направлении вектора Ь е Ь2 (Гдт-) -существует и определяется формулой

{,]'(«). Ь) (//:а-. Лг-;п)//(а).//)Гу. }1&Ь2(ТМ). (15)

. Рис. 1: Геометрия области переноса неществя

Подчеркнем, что в формулу (15) для 3'{а) входит как решение <р{а) прямой задачи (1), (2), так и решение т)(а) сопряженной задачи (6).

Алгоритм решения экстремальной задачи (8) состоял из следующих этапов:

1) выбирается начальное приближение а" и полагается п = 0;

2) для известного элемента а" находится приближенное решение (матрица) прямой задачи, записанной в следующем безразмерном виде:

411) + (а>, /г)г„ - юо(д1р/дг, Л) + (к<р, Л) + Ре (и • V??, Л) =

= (/, /») + (X, Ь)г„ М <= Т, р = ф иа Го; (16)

здесь Ре ~ 1/Ь/Х ~ число Псклс, где и и Ь - характерные длина п скорость;

3) находится приближенное решение (матрица) ??" сонряжснной задачи

(Ут, V??) + (а'Ч г)Гл, - ио^дт/дх, г,) + {кт, 7]) + Ре (и ■ Чт, т/) =

= - ^ Vr е Я>(П), г/ = 0 на Го;

4) вычисляется вспомогательный элемент д" = + А3 = 2, —, Аг, имеющий согласно (15) смысл производной от функционала J, где

^Кз ~ М-ыс столбцы матриц и ?/";

5) вычисляется матрица Якоби Н" = ((дд"/да".)) конечно-разностным методом, т.е. с помощью следующих формул (где Як - малое приращение ад.'):

. дд;/дс4 = (д](а1 + 3к)-д](а£))/зь 1 = 1,2,..., М,- к = 1,2,..., М;

6) вычисляется новое значение а"+1 = а" — (Н")~1д" элемента а;

7) проверяется условие выхода из цикла, имеющее вид

(Е^~11(а'1+1 - а")2)1/2 < 1СГ6.

(17)

-3=1 ^ } } '

Если условие (17) выполняется, то осуществляется выход из цикла, а за приближенное численное решение обратной задачи выбирается пара (ап,<рп). В противном случае п увеличивается па 1 и осуществляется переход к и. 2.

9е-006 80-ОО6 7е-006 бе-ООб 50-006 4е-006 30-006 2е-006 1е-006 О

Рис. 2: Графики зависимостей ошибок Е0 (а), (Ь) от шага сетки

(») (ь)

Рис. 3: Графики восстановленной функции а для Л = 0.1 (а) и к = 0.05 (Ь)

Разработанный алгоритм решения обратной задачи (8) тестировался иа точном решении <Рт{х,у) = {х - х2)(1/2у2 - 1/3у3) + 0.5, ат(у) = з1п(тгу), отвечающем следующим исходным данным:

Л = 1, Рек = 0.05,й) = 1, Щ) = 0, у?|х=0 = 0.5, к = 0, и = (1,0),.

I = -{х - *2)(1 - 2у) + (3 - 2х)(г//2 - у3/3), * = (у3/3 - у2/2) + 0.58т(тгу).

где Ре и = ик/Х - сеточное число Пекле. На участках у = 0 и у = 1 границы Гдг ставилось условие ду/дп = 0^ моделирующее отсутствие потока вещества.

Начальное приближение а(1 выбиралось равным 0. В соответствии с концепцией квазиреальпого эксперимента в качестве. дополнительной информации использовались значения функции фт, заданные, в подобласти <3. области О, в предположении, что все входные параметры известны. Точность решения обрат-, ной задачи определялась с помощью ошибок Еа = ,||</> — <Лг11о/11<м|1о,и Ех = ||а — с*^||г«У||оу||гл, значения которых зависят от выбора параметра щ, шага сетки к, площади области дополнительных измерений <3 и других параметров. Поле концентрации рассчитывалось с учетом граничных условий и условий устойчивости разностной схемы.

(a) (b)

Рис. 4: Графики зависимостей ошибок Е0 (а) и Ei (b) от размера области Q

На рис. 2 приведены графики зависимостей ошибок Е{] и Е\ от размера h шага сетки при Q — fl п f2i = 10~5. Полученные графики показывают, что при уменьшении шага h значения ошибок также уменьшаются. Этот вывод подтверждают графики восстановленной функции а па рис. 3, где "alpha toch" соответствует точным значениям а = ay, "alpha_FDif" - решение обратной задачи, полученное в пакете Scilab, a "alpha_FE" - решение обратной задачи, полученное в пакете FreeFcm-t-+, для h = 0.1 (а) п h = 0.05 (b).

■ ■ у у'..

(л' ;Ь) . .

Рис. 5: Графики восстановленной функции а для различных размеров области (}

На рис. 4 представлены графики зависимостей ошибок' Еа и Е\ от площади области (} для случая, когда область ^выбиралась так. как'показано на рис. 1(Ь). Видно, что увеличение площади области повышает точность решения обратной задачи. Это подтверждают и графики восстановленной функции а, приведенные на рис. 5(а) для случая, когда площадь области <2 составляет 50% от площади П, и на рис. 5(Ь) - для случая, когда площадь области <5 составляст.70%. :

Алгоритм решения второй обратной задачи, заключающейся в восстановлении функции х, имеющей'смысл потока вещества через участок Гдг при х= 1,'тестп-

ти ■ ти

(Ь)

Рнс. С: Графики зависимостей ошибок Еа (а), Е2 (Ь) от

ровался при Хт(у) = 0.028т(7Г2/) и следующем выборе других исходных данных:

А=0:2, Ре/1=0.25, >0=1, &0=0, у>|*=о=2, к=0, /=0, и=(1,0), а=0.0181п(тгг/).

В качестве щ выбирались значения решения прямой краевой задачи, найденные с использованием мелкой сетки. Результаты численных экспериментов приведены па рис. 6 в виде графиков зависимостей ошибок Еа и Ег = ||х — ХлЦгуу/ИхлНг« от параметра регуляризации /х2 при <3 = П. На рис. 7 приведены графики зависимостей ошибок Ец и Е% от размеров области <3, расположенной как показано па рис. 1(Ь). Графики восстановленной величины х представлены па рис. 8(а) в случае, когда <3 = Г), и на рнс. 8(Ь) - в случае, когда площадь области С} составляет 50% от площади П.

Рйс. 7: Графики зависимостей ошибок Е0 (а), Е2 (Ь) х от величины области ф'ири ¡12 = КГ5'

■Цикл исследований эффективности разработанного алгоритма1 был :пр<3всдсп для,случая, когда исходные данные1 в виде функции щизмерялись с погрешностью (5, которая вводилась с помощью формулы м • ; ; ■ ' ' ■"'■■■ ; ' !

<Рл = рт + 2<$(гаис1от[0,1] - 0.5).

С^Е ЮТ!

■ \

И

Рис. 8: Графики восстановленной функции х для (п) и для /пваб(3/т/«;ал'П=50% (Ь)

Отвечающие этому случаю графики зависимостей ошибок Е{) и Е2 от параметра представлены при = П. па рис. 9 для зпачешш 5 = 10~5.. В отличие от предыдущих графиков уменьшение Е2 с уменьшенном /¿2 наблюдалось лишь при уменьшении /Л2 до определенного значения ц2> равного в данном случае 1СГ5.

0.01

а о.ооо!

1 е-006 0.0001 0.01

ти

1е-006 0.0001 0,01

ти

«

(Ь)

Рис. 9: Графики зависимостей ошибок Е0 (а), Е2 (Ь) для х от параметра ц2

Результаты проведенных вычислительных- экспериментов наглядно подтверждают высокую эффективность используемого в. диссертации численного алгоритма, разработанного па основе построенной в предыдущих главах теории. Более подробный анализ результатов численных экспериментов приведен в гл. 3.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. Сформулированы и исследованы коэффициентные обратные экстремальные задачи для линейного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции. Построены системы оптимальности. На основе их анализа установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность и устойчивость их решений. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения конкретных экстремальных задач, осповаЦныс па методе Ньютона.

2. Сформулированы и исследованы обратные экстремальные задачи для пели-

пейиой модели маесоперсиоса, описывающей перенос вещества в рамках классического приближения Обсрбска-Вуссипеска. Построены системы оптимальности. Установлены достаточные условия па исходные данные, обеспечивающие существование, единственность и устойчивость решений' конкретных обратных экстремальных задач относительно малых возмущений используемого функционала качества и одной из заданных функций, входящих в рассматриваемую модель.

3. На основе разработанных алгоритмов с помощью свободно распространяемого пакета FrecFcm++ и пакета прикладных математических программ для научных расчетов Scilab реализованы и протестированы программы для решения граничных обратных экстремальных задач для двумерного стационарного уравнения конвекции-диффузии-рсакции.

4. Установлены зависимости точности восстановления неизвестного коэффициента массообмспа, входящего в граничное условие третьего рода для концентрации на части границы, от выбора значения параметра, входящего в регуля-ризирующую добавку минимизируемого функционала качества, начального приближения, размера и расположения области измерений и погрешности измерений. Аналогичные зависимости были получены при численном решении обратной задачи восстановления неизвестной функции, имеющей смысл потока вещества через участок границы области течения.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за постановку задачи и ценные обсуждения результатов работы, а также кандидатам физ.-мат. наук Д.А. Тсрешко и Р.В. Бризицкому за полезные замечания, направленные на улучшение содержания работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алексеев Г.В., Клевчихии Ю.А., Соболева О.В. О корректности коэффициентной обратной экстремальной, задачи для стационарной модели тепловой конвекции // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки:. 2006. Вып. 9. С. 157-166.

2. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Тсрешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной

. модели массоиереноса // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. №4. С.

. 24-35.

3. Соболева О.В. Численный анализ задачи идентификации граничного коэффициента для уравнения конвекции-диффузии // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал) Mining informational and .analytical bulletin (scientific and technical journal). 2009. T. 17. №12. C. 133-135.

4. Алексеев T.B:, Соболева O.B. Об устойчивости решений экстремальных задач для стационарных уравнений массоиереноса /■/ Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. №1-2. С. 5-14. '■'.'■.

5. Соболева О.В. Обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции ■// Дальневосточный математический журнал. 2010. Т. 10. №2. С. 171184.

0. Алексеев Г. В., Прокопенко С.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи оптимального управления для некоторых моделей распространения загрязнении // Вычислительные технологии. Спец. вып. 2003. Т.8. Ч. 4. С. С5-71.

7. Соболева О.В. Численный анализ задач управления для стационарной модели конвекции-диффузии // Тезисы докл. ДВ матем. шк.--семинара им. ак. Е.В. Золотова. 2003. С. 97- 98.

8. Соболева О.В. Исследование обратной задачи для двумерного эллиптического уравнения // Тезисы докл. ДВ ыатем. шк.-семпнара им. ак. Б.В. Золотова. 2000. С. 96.

9. Алексеев Г.В., Соболева О.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач распространения примеси // Вычислительные технологии. Спец. вып. 2004. Т. 9. Ч. 1. С. 107-175

10. Соболева О.В. Численное исследование задач идентификации источников для некоторых моделей распространения загрязнений // Тезисы докл. ДВ ыатем. шк.-семинара им. ак. Е.В. Золотова. 2005. С. 114-115.

11. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Тучак М.Н. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений распространения загрязнений // Труды международной конф. "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании". Павлодар. Т. 1. 2000. С. 93-102.

12. Соболева О.В., Клевчихии Ю.А., Тучак М.Н. Анализ обратных экстремальных задач для стационарных моделей распространения загрязнений //II международная научная конференция "Проблемы экологии, безопасности жизнедеятельности и рационального природопользования Дальнего Востока и стран АТР". 2006. С. 393-396.

13. Соболева О.В. Обратные экстремальные задачи для стационарной модели распространения загрязнений // Тезисы докл. ДВ матем. шк.-семпнара им. ак. Б.В. Золотова. 2007. С. 98.

14. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции // Препринт № 5. ДВО РАН. Институт прикладной математики. Владивосток: Дальнаука, 2008. 40 с.

15. Соболева О.В. Численный анализ обратной экстремальной задачи для модели распространения загрязнений в природных водоемах // Тезисы докл. конференции молодых ученых Тихоокеанского океаналогнческого института им. В.И. Ильичева ДВО РАН "Океанологические исследования" 2008. С. 125-120.

1С. Соболева 0:В. Численный анализ граничных обратных задач для .уравнения переноса вещества методом сеток // Тезисы докл. ДВ матем. шк.-семинара им. ак. Е.В. Золотова. 2008. С. 96-97.

17. Соболева О.В. Численный анализ обратных коэффициентных задач для стационарного уравнения конвекции-диффузии // Тезисы докл. XXXIV ДВ матем. шк. семинара им. ак. Е.В. Золотова. 2009. С. 121-122.

18. Соболева О.В. Численный анализ задачи граничного управления для .уравнения конвекции-диффузии // Тезисы докл. всероссийской конференции, приуроченной к 70-летаю академика В.А. Левина. 2009. С. 10-17.

19. Алексеев Г.В., Соболева О.В. Решение обратной задачи восстановления коэффициента массообмена на границе исследуемой области для уравнения конвекцни-дпффузии-реакцип / Св-во о рег. прогр. для ЭВМ №2011013758 от 13.05.2011.

Ольга Владимировна СОБОЛЕВА

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 12.10.2011 г. Печать офсетная. Бумага офсетная. Формат 00x90/10. Усл. печ. л. 1. Уч-изд. л. 0,89. Тираж 100 экз. Заказ 115

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство "Дальнаука" ДВО РАН С90041, г. Владивосток, ул. Радио. 7

Введение

1 Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарного уравнения конвекции—диффузии—реакции

1.1 Постановка исходной краевой задачи

1.2 Постановка обратной экстремальной задачи.

1.3 Необходимые условия оптимальности.

1.4 Анализ единственности и устойчивости решений экстремальных задач.

1.4.1 Единственность решения обратной задачи восстановления плотностей источников.

1.4.2 Единственность решения обратной задачи восстановления неизвестного коэффициента граничного условия

1.4.3 Локальная единственность и устойчивость решения многопараметрической задачи идентификации.

1.5 Устойчивость решения двухпараметрической экстремальной задачи относительно малых возмущений функционала качества и объемной плотности.

2 Экстремальные задачи для нелинейной модели переноса вещества

2.1 Постановки исходной краевой задачи. Основные пространства

2.2 Определение слабого решения и разрешимость задачи 2.

2.3 Постановка и разрешимость экстремальных задач

2.4 Вывод и анализ системы оптимальности.

2.4.1 Существование множителей Лагранжа

2.5 Анализ единственности решений экстремальных задач

2.6 Устойчивость решений конкретных экстремальных задач

3 Анализ результатов численных экспериментов

3.1 Описание общего подхода к решению многопараметрическо-экстремальной задачи численными методами.

3.2 Вспомогательные формулы.

3.3 Алгоритм численного решения нелинейной обратной экстр мальной задачи.

3.4 Результаты численного решения нелинейной обратной экстрс мальной задачи.

3.5 Результаты численного решения линейной обратной экстремалЕ ной задачи.

В последние годы усиленно развивается теория управления гидродинамическими полями в жидких средах. Одной из целей теории является установление наиболее эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. Математическое описание такого типа проблем включает три компоненты: цель, механизмы управления, используемые для достижения желаемой цели, и ограничения, которым должны удовлетворять состояние и управления рассматриваемой системы. Роль ограничений обычно играют уравнения рассматриваемой модели сплошной среды: конвекции-диффузии-реакции, гидродинамики и др., вместе с краевыми и начальными условиями, тогда как желаемая цель достигается путем минимизации определенного функционала качества.

В. инженерной экологии задачи управления возникли при решении актуальной проблемы защиты окружающей среды от антропогенного воздействия. Одной из первых работ, в которой исследуются экстремальные задачи для линейного уравнения переноса вещества, явилась книга Г.И. Марчу-ка [67]. В этой книге, в частности, был предложен эффективный метод решения экстремальных задач для линейного нестационарного уравнения переноса. Более подробно о постановках соответствующих задач можно прочитать в [32,62,67,68,74], где, кроме того, можно познакомиться с эффективным методом решения указанных задач для линейных нестационарных уравнений'распространения примеси. Близкие задачи управления рассмотрены в [40, 51, 58, 63, 72, 85, 95, 97,104,112,129,130,137] для нестационарного уравнения конвекции-диффузии и в [16,36,101,102,112,120,132] для стационарного уравнения конвекции-диффузии.

Наряду с задачами управления, важную роль в приложениях играют обратные задачи для моделей гидродинамики и переноса вещества. Типичная обратная задача для уравнений гидродинамики состоит в следующем: в некоторой части области течения задается нужный гидродинамический режим, а требуется определить или создать реализующие этот режим (гидр од и нам ические) источники. Для моделей массопереноса обратные задачи возникают естественным образом при исследовании процессов распространен^-51 загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере методом математического моделирования. Возникающие при таком исследовании к:зраевые задачи содержат ряд гидродинамических, биохимических и других п£краметров, а также функции, описывающих плотности источников загрязнений- Для то~ го, чтобы однозначно определить решение соответствующей краевой задачи, адекватно описывающей рассматриваемый процесс, значения все^<- входных параметров, начальных и граничных функций, а также плотност^з^ граничных PI распределенных источников должны быть известны. Однаюо на пРак~ тике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны. В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивает"!3 и неизвестные параметры, используя некоторую дополнительную инфоЦРЗУ1аи>ию 0 решении.

Например, исследование процесса распространения загрязнений zzs/ЕОжет происходить в ситуации, когда источники загрязняющего вещества расХ^г°ложеиы в месте, недоступном для прямых измерений, либо информация о- параметрах источника скрывается, и их требуется восстановить, используя: Дополнительную информацию о состоянии среды, например, в виде поля изл^еРенных значений концентрации загрязняющего вещества в некоторых достз^з^ных Для измерений зонах. Неучтенные выбросы загрязнений от таких источ^ез:111^06 мо~ гут представлять опасность для окружающей среды.

Распространение загрязнений может проходить также в ситуацип^3^ когда неизвестны некоторые параметры среды. В этих случаях, наряду с искомым решением, приходится отыскивать и неизвестные параметры средх^*-1 - Приведенные примеры являются примерами так называемых задач для моделей распространения загрязнений в природных средах. У^£<азанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источне^с^0® параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по допсз»-:п:нитель-ной информации о состоянии среды. Pix еще называют обратными з=^=&дачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить одну-из причин воз^^^п.еиствия по заданному следствию.

Обратные задачи принято разделять на следующие типы:

1. Ретроспективные (эволюционные), заключающиеся в установлении предыстории некоторого состояния процесса.

2. Граничные, заключающиеся в восстановлении граничных условий или содержащихся в них параметров.

3. Коэффициентные, заключающиеся в определении коэффициентов уравнений.

4. Геометрические, заключающиеся в нахождении геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее.

Особую трудность вызывает исследование коэффициентных обратных задач, поскольку по своим постановкам они относятся к нелинейным и, как правило, некорректным задачам математической физики. Это обстоятельство существенно осложняет проблемы построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает весьма сложным полное и строгое обоснование их сходимости.

Исследованию коэффициентных обратных задач посвящено довольно много работ. Среди огромного числа работ по обратным задачам для уравнений математической физики, отметим работы [15,18,20,21,27,33,34,36,41-43,48, 51,64,70,75,77,81,90,100,103,105,107,111,115,116,120,133,138] российских и зарубежных исследователей, близкие по тематике диссертации.

Обратная задача нахождения старшего коэффициента для уравнения теплопроводности рассматривалась в работах Кабанихина С.И. [47,48], Кожано-ва А.И. [52-54], Колтуновского O.A. [56,57], Нагориова О.В. [72] и др. авторов. В [48] для нахождения неизвестного старшего коэффициента в уравнении теплопроводности по данным измерений на границах области применяется итерационный метод градиентного спуска. Авторами получены теоретические оценки для вариаций целевого функционала в зависимости от вариаций коэффициента и построена аппроксимация градиента целевого функционала. С помощью численных экспериментов проведено сравнение скорости сходимости итерационных процессов для различных параметров спуска.

В диссертационной работе Колтуновского O.A. [56] исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением и с дополнительным переопределением решения на временных слоях для параболических уравнений с одним или двумя неизвестными коэффициентами при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

В работах Ивапчова Н.И. [42], Shidfar А. и Azary H. [133], Wang J. и Pao С. [138] рассматривается обратная задача для общего параболического уравнения с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. В [42] установлены условия существования и единственности решения данной задачи. В [133] для решения данной задачи применяется подход, связанный с представлением неизвестного коэффициента в недивергентной форме, (см. о нем в [106]), и приведены результаты ряда вычислительных экспериментов. В [138] развивается монотонный итерационный метод для численного решения в классе конечно-разностных уравнений реакции-диффузии с нелинейным коэффициентом диффузии.

В [100] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Он основан на применении фильтрации для уменьшения шума в данных с помощью ортогонального полиномиального метода Грамма с перемещением усредненного окна фильтра для гладких зашумленных данных.

В [76] рассмотрена задача об определении коэффициентов при первых производных в гиперболическом уравнении второго порядка. В качестве информации задается след решения некоторой прямой задачи для исходного уравнения вместе с его нормальной производной на боковой поверхности цилиндрической области. Импульсный точечный источник расположен вне'области, в которой подлежат определению искомые коэффициенты, и является параметром задачи. Предполагается, что число источников, для которых задается след решения, совпадает с числом определяемых коэффициентов.

Ряд работ посвящен исследованию проблемы идентификации младшего коэффициента в параболическом уравнении. Традиционный подход в решении проблем идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рОДа с ис пользованием функции Грина прямой задачи. Такой подход, в частности, был использован в [135] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Обратная задача определения младшего коэффициента параболического уравнения рассмотрена также в [113], гДе проведен сравнительный анализ применения для ее численного решений четырех различных конечно-разностных схем. .Следует отметить также кгп^гу [81], в которой предложены численные алгоритмы решения задачи иденти:<ФикаЧии младшего коэффициента двумерного эллиптического уравнения в ограНИчен" ной области через усредненные данные о потоке, основанные на использовании двухслойного градиентного метода и квазиалгоритма Ньютона

В [90] представлен численный алгоритм решения экстремальной задачи идентификации младшего коэффициента для эллиптического уравнения переноса примеси, основанный на подходе, впервые примененном в работе [Ш]-В [38] исследована задача определения младшего коэффициента ст^1*ионаР~ ного нелинейного уравнения теплопроводности.

В работе Саватеева Е.Г. [77] исследована задача восстановления т^г-падшего коэффициента параболического уравнения. Автором доказано сугхз;®ствова" ние и единственность ее решения. В работе Кожанова А.И. [54] исследуется задача нахождения младшего коэффициента специального вида, вводящего в параболическое уравнение, для которой доказаны теоремы существования и единственности. Аналогично задаче нахождения коэффициента П1?и старшей производной автор использует метод переопределения для неизвестной функции. В работе Кожанова А.И. [53] использован при«3^' ана" логичный работе [56], но в качестве условия переопределения задаеТся значение решения в финальный момент времени. Доказывается существование регулярного решения.

В [75] рассматриваются три задачи, одна из зесоторых является задачей восстановления младшего коэффициента параболг^^1еского уравнения.

Ряд статей посвящен задаче восстановления сразу несколько неиз^еСТНь1Х коэффициентов. Среди них отметим, например, [29-31,41,43,70], где р>^ссматриваются вопросы, связанные с существованием и единственностью восстановления как коэффициента диффузии, так и коэффициента конвекции двумерного параболического уравнения. Там же установлены условия существования и единственности решения обратной задачи, состоящей в одновременном нахождении коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости в случае, когда они являются функциями времени.

Наряду с коэффициентными обратными задачами, важную роль в приложениях играют граничные обратные задачи. Идентификации граничных условий посвящена значительная часть монографии Самарского A.A. и Ваби-шевича П.Н. [81], где, в частности, исследуются задачи восстановления граничных условий для одномерных и двумерных параболических уравнений. Обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий, исследованы также в [114,128,134].

Реже встречаются работы по восстановлению неизвестного коэффициента, имеющего смысл скорости течения жидкости, входящего в уравнение конвекции-диффузии. Отметим в этой связи работу [120], в которой представлен численный алгоритм восстановления указанного коэффициента конвекции в двумерном уравнении конвекции-диффузии, основанный на применении градиентного метода и метода Ньютона.

При исследовании моделей конвекции-диффузии-реакции вещества особый интерес вызывает задача нахождения коэффициента массообмена на открытых границах исследуемой области. Открытой границей может являться граница водной акватории, разделяющая два соседних государства, граница отделяющая залив и открытое море, поверхность воды, на которой происходит в процессе испарения воды с поверхности или выпадении осадков, либо придонный слой, в результате осаждения или поднятия взвеси [86,87,93].

Важно отметить, что исследование обратных задач для уравнений математической физики можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач. Это достигается путем введения функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на решениях исходной задачи. На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления. Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для их решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации. Указанный подход применялся в работах [14,16,18,21,36,50,104,120] для стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции и в работах [3,9,13,19,20,98] для общей нелинейной модели переноса вещества.

Отметим также статьи [110,122], в которых исследованы как краевые задачи, так и задачи управления для нелинейной модели биконвекции, т.е. конвекции, вызванную концентрацией движущихся вверх или вниз микроорганизмов (вывод соответствующей математической модели на основе биологических и физических предпосылок см. в [126]).

Экстремальные задачи для нелинейной модели тепловой конвекции рассматривались в ряде работ, из которых отметим [4,5,10,15,17,22,88,89,96,99, 108,109,118,119,121,123-125,131,139]. Близкие экстремальные задачи либо задачи управляемости для нестационарных моделей тепловой конвекции исследованы в [92,117,136]. В [1,2,127] рассмотрены обратные задачи, связанные с задачей усвоения данных (assimilation data) в океанологии. В [45,46,59-61] рассмотрены обратные задачи для моделей тепловой конвекции сильно вязких жидкостей применительно к проблеме изучения тепловых процессов в мантии Земли. Экстремальные задачи для стационарной модели, описывающей совместный перенос тепла и масс, исследованы в [6-8,12].

Отметим также монографии [24,25], посвященные исследованию граничных либо гранично-ретроспективных обратных задач теории теплопроводности. Они заключаются в нахождении неизвестного теплового воздействия на границе тела либо на границе тела и в начальный момент времени по результатам измерения температуры внутри тела. Наконец, упомянем монографию [80], значительная часть которой посвящена разработке эффективных численных алгоритмов решения задач идентификации правых частей эллиптических и параболических уравнений. Упомянем также близкие по тематике диссертации статьи [26,78,84]. В [84] рассмотрена задача определения величины выбросов загрязняющих веществ в атмосферу от нескольких источников. В качестве входной информации используются результаты измерения концентрации примеси на большом удалении от источников, а также априорно заданные и подлежащие уточнению оценки выбросов. Обсуждаются два метода решения указанной обратной задачи. Первый (прямой) метод основан на обращении матрицы А влияния набора источников на набор станций экологического мониторинга, которая строится с помощью математического моделирования распространения примеси в атмосфере. Второй основан на статистическом подходе к нахождению устойчивой оценки решения с ис-1 пользованием метода максимального правдоподобия. В. [26] рассмотрена задача выявления роли различных типов подстилающих поверхностей Земли на уровень концентрации в них оседающих загрязняющих веществ вблизи предприятий, осуществляющих их выбросы, или вблизи источников загрязнения. В [78] строится и исследуется возможная математическая модель распространения загрязнений, в атмосфере. Монография [55] посвящена построению и исследованию математических моделей, описывающих процессы, протекающие в природных средах, в том числе процессы распространения загрязнений в природных средах.

Целью диссертации является теоретический и численный анализ многопараметрических обратных экстремальных задач для стационарных моделей массопереноса в несжимаемой вязкой жидкости, рассматриваемых в ограниченных областях с кусочно-гладкими границами. Будут рассмотрены две модели массопереноса. Первая модель представляет собой линейное уравнение конвекции-диффузии-реакции. Вторая модель представляет собой классическую модель конвекции вещества в приближении Обербека-Буссинеска, причем уравнения модели связаны, между собой через силы плавучести и конвективный перенос вещества.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационнрй работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 140 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертации были получены следующие основные результаты.

1. Сформулированы и исследованы коэффициентные обратные ^^<^:стремаль-ные задачи для стационарного уравнения коивекции-диффузии-р• ^ста" новлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивав^111111^116 СУ10,6-ствование, единственность и устойчивость их решений. Разработ&Д^ »ы эффективные численные алгоритмы их решения, основанные на методе Ц-ЕП:ьютона.

2. Сформулированы и исследованы обратные экстремальные Для нелинейной модели переноса вещества. Установлены достаточные ^з^<3-ЛОВИЯ на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность^ устойчивость решения рассматриваемой экстремальной задачи относитехс^Е=^^Ез:о малых возмущений заданного функционала качества и одной из заданны^^ <функции входящей в рассматриваемую нелинейную модель переноса вещесзс^3"

3. На основе разработанных алгоритмов с помощью свободно р>:^^-<зпростра-няемого пакета ЕгееЕеш++ и пакета прикладных математические^ щгрограмм для научных расчётов ЭсПаЬ построены и протестированы прогар»-Для решения коэффициентных обратных экстремальных задач для гхХ^Е5-Зл;м:еР1ЮГО стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции.

4. Установлены зависимости точности восстановления граничны^-^1 <ф>ункции (коэффициента и правой части), входящих в граничное условие тр&"1Гь»его рода для концентрации на части границы Г, рассматриваемой области, выбора значения параметра, входящего в регуляризирующую добавку фзп^^кзДионала качества, начального приближения, размера и расположения обл^-стй Q гДе проводятся измерения и погрешности измерений.