Обратные граничные задачи динамической теории упругости для слоя тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О РЕКОНСТРУКЦИИ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ

1.1. Общая постановка обратной граничной задачи для упругих тел.

1.2. Постановка задачи о реконструкции нагрузки для упругого слоя.

1.3. Постановка задачи о реконструкции нагрузки для вязкоупругого слоя.

2. СВЕДЕНИЕ ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ К ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЯМ 1-го РОДА

2.1. Способы сведения обратных граничных задач к операторным уравнениям

1 -го рода

2.2. Формулировка интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в обратной граничной задаче для упругого слоя.

2.3. Формальное сведение обратной задачи для упругого слоя к дискретному операторн ому уравнению.

2.4. Формулировка интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в обратной граничной задаче для вязкоупругого слоя

3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

3.1. Регуляризующий алгоритм А.Н. Тихонова для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

3.2. Формализм сингулярных разложений.

3.3. Восстановление волнового поля контактных напряжений на основе дискретного операторного уравнения.

3.4. Оптимальный выбор размерности усечённой матрицы.

3.5. О точности решения невозмущённой обратной задачи в методе проекций

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛЬНЫХ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЁТОВ ДЛЯ УПРУГОГО И ВЯЗКОУПРУГОГО СЛОЯ.

4.1. Постановка численных экспериментов в обратной граничной задаче для упругого слоя.

4.2. Общие требования, предъявляемые к вектору исходных данных. Особенности реконструкции поля по исходным данным, относящимся к дальней зоне

4.3. Численные результаты в обратной граничной задаче для упругого слоя.

4.4. Критерий адекватной реконструкции поля в условиях дальней зоны.

4.5. Численные результаты в обратной граничной задаче для вязкоупругого слоя

5. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТАКТНЫХ НАГРУЗОК, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА УПРУГИЕ ПЛАСТИНЫ

5.1. Постановка задач о реконструкции нагрузок, действующих на упругие пластины

5.2. Формулировка интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в обратных задачах для упругих пластин

5.3. Результаты численных расчётов по восстановлению контактных нагрузок, действующих на упругие пластины.

В линейной теории упругости выделяют три классические краевые задачи: задача 1 -го рода с заданными на границе тела векторами смещений, задача 2-го рода с заданными на границе векторами напряжений и задачи со смешанными граничными условиями, в которых на одной части поверхности заданы смещения, а на остальной части - компоненты вектора напряжений [46,53,57,59,61]. В последнее десятилетие активизируются исследования краевых задач нового типа, в которых на одном участке поверхности тела задаются оба граничных поля (поле смещений и поле напряжений), тогда как на остальной поверхности (или на её части) граничные поля считаются неизвестными [75,76,60,13,14,20-22,28-31,78,80-82]. В наиболее типичном случае требуется выяснить напряжённо-деформированное состояние тела по смещениям, измеренным на отдельном, доступном для наблюдения участке свободной поверхности. Граничные задачи этого рода естественно трактовать как обратные, т.к. полная картина воздействия на тело внешних источников (включая и распределение самих источников - контактных нагрузок) восстанавливается по их частичным проявлениям. Интерес к обратным граничным задачам вызван потребностями прикладных отраслей, таких, как дефектоскопия, механика инженерных конструкций, структурная интенсиметрия, виброустойчивость сооружений [60,75,76,13,14, 78,80,82].

Основополагающие работы по данной тематике, принадлежащие А.К. Прейс-су и А.В. Фомину [75,76,60], посвящены статическим обратным граничным задачам теории упругости и термоупругости. Наибольшее внимание в этих работах уделено частным моделям (таким, как, например, цилиндр с осесимметричным нагружени-ем). Вместе с тем, в них высказан ряд важных общих положений: предложены методы сведения задач к интегральным уравнениям Фредгольма (ИУФ) 1 -го рода относительно неизвестных граничных полей [75,76], а также к матричным уравнениям 1-го рода [76,60], указано на некорректность задач и необходимость регуляризации.

В работах Ю.И. Бобровницкого с соавторами [13,14] постановка обратных граничных задач была распространена на случай установившихся колебаний упругого тела под действием гармонических по времени контактных нагрузок. За основу в [13,14] взят метод проекций [76,60], предполагающий разложение волнового поля по некоторой счётной системе базисных функций. Дискретизация задачи и отыскание коэффициентов разложения могут осуществляться по-разному [75,76,60,13,14]. Универсальная и, как представляется, удачная схема, развитая в [13,14], состоит в том, что коэффициенты ищутся из условия минимальной невязки методом наименьших квадратов, а для согласования размерности усечённой матрицы с погрешностью исходных данных привлекаются сингулярные разложения [79,81,73,51,36].

Дальнейшее исследование динамических обратных граничных задач предпринято в работах А.О. Ватульяна, часть из которых выполнена в соавторстве с И.И. Во-ровичем, Е.В. Садчиковым, А.Н. Соловьёвым [20-22,28-31]. В этих работах дана обобщённая постановка задач для анизотропных, а также для вязкоупругих [28,31] материалов, доказана теорема единственности [22,29], намечен путь оптимизации экспериментов по восстановлению поля за счёт выбора свободных физических параметров [20], построены численные решения для ряда задач с учётом анизотропии. Учесть анизотропию позволил специальный метод [8,19,27,32] сведения краевых задач к граничным интегральным уравнениям (ГИУ), основанный на аналитических свойствах Фурье-трансформант и не требующий нахождения функций Грина.

Примеры восстановления волнового поля в упругих телах сложной формы с использованием регуляризованных схем метода граничных элементов [12,15] даны в [22,29,30] и в работах зарубежных авторов [78,80,82].

Подобно большинству обратных задач, возникающих в различных областях математической физики, обратные граничные задачи теории упругости относятся к некорректным в смысле Ж. Адамара [1]. Их некорректность проявляется в том, что сколь угодно малые погрешности исходных данных, вызванные случайными помехами, ошибками округления и т.п., приводят, вообще говоря, к катастрофическим искажениям решения. В основе теории некорректных задач [67-70,47,48,40,41,2,

6,9,17,18,35,38, 54,65] лежат следующие качественные принципы: необходимо указать достаточно широкое множество вероятных решений, совместимых с исходными данными в пределах той неопределённости, которую вносят погрешности; затем из этого (как правило, бесконечного) множества решений отбирается по неким критериям одно, наиболее правдоподобное. Критерии отбора основаны чаще всего на априорных предположениях о «простоте» искомой функции. Наиболее фундаментальное воплощение эти идеи нашли в методе регуляризации А.Н. Тихонова [67-70].

Теория обратных и некорректных задач представляет собой разветвлённую, обширную область прикладной математики. Из разделов, в которых изучаются линейные операторные уравнения 1 -го рода, можно упомянуть методы, основанные на выделении т.н. классов корректности [47,48], или, что то же самое, отыскания решений и т.н. квазирешений [40,41] на компактах; вариационные методы регуляризации, основанные на введении т.н. стабилизирующих функционалов [67-71], итерационные методы, в которых решение строится методом последовательных приближений, а параметром регуляризации служит номер шага [2,17]. Многочисленные публикации, частичный обзор которых имеется в [2,6,9,17,18,35,38,54,65,69,70], посвящены регуляризации уравнений частного вида, разработке регуляризованных конечно-разностных схем, а также различным приложениям. Значительный вклад в развитие перечисленных направлений принадлежит, в частности, О.М. Алифанову, В.Я. Арсе-нину, В.Б. Гласко, А.В. Гончарскому, В.К. Иванову, М.М. Лаврентьеву, В.А. Морозову, В.П. Танане, А.Г. Яголе.

Из числа разнообразных обратных задач математической физики наиболее близкими к обратным граничным задачам теории упругости являются, по-видимому, обратные граничные задачи теплопроводности [2-7,16,77]. Сходство между задачами этих двух классов проявляется уже в их постановке (в виде краевых задач с не полностью заданными граничными условиями), а также в их некорректности и возможности их сведения к ГИУ 1-го рода. Наконец, эти задачи допускают прямое объединение, являясь частными случаями обратных граничных задач термоупругости

75,76,60]. Широкое применение в обратных граничных задачах теплопроводности нашли итерационные методы решения операторных уравнений [2-7].

В настоящей диссертации продолжается анализ динамических обратных граничных задач теории упругости; при этом, как и в прежних работах, рассматриваются установившиеся волновые поля. В цели работы входит, прежде всего, апробация ранее предложенных подходов (метода ГИУ и метода проекций [13,14]) на новой модели. Необходимость подобных исследований диктуется несколькими обстоятельствами. Одно из них очевидно и носит общий характер: в некорректных задачах, за редким исключением, невозможно обеспечить заданную точность результатов, так что любой метод решения представляет собой своего рода феноменологический приём и нуждается в как можно более широкой опытной проверке. Наряду с этим, требуют выяснения некоторые специальные вопросы. Так, в статьях [13,14] отдельные положения сформулированы «на физическом уровне строгости» или же в виде эмпирических закономерностей (см. разд. 3.3, 3.4 диссертации). Важно придать этим положениям надлежащее обоснование, либо подтвердить их на других примерах. С ещё одной сложностью мы сталкиваемся, когда, в силу геометрических особенностей модели, ядро интегрального уравнения приближается к конечномерно-вырожденному, и обратная задача теряет однозначную разрешимость (что происходит, в частности, при восстановлении поля источника по данным измерений в дальней зоне). Практическую сторону проблемы можно пояснить следующим образом. Если в спектре имеется единственная однородная мода, к амплитуде которой сводится вся доступная из эксперимента информация, то при этом, очевидно, не может идти речь о детальной реконструкции поля источника (любое решение будет не более, чем интегральной оценкой, усреднённой по области, в которой действует источник). Не ясны, однако, перспективы реконструкции поля в более важном случае, когда в дальней зоне присутствуют не одна, а несколько мод.

Представляют интерес обобщения обратных граничных задач для сред со сложными свойствами, в том числе - для вязкоупругих материалов [28,31]. С этим связана вторая цель настоящей работы, - рассмотреть частную модель с восстановлением поля контактной нагрузки, действующей на вязкоупругое тело, и оценить на этом примере роль вязкости. Требуется выяснить, во-первых, как влияет вязкость на принципиальные возможности реконструкции, и во-вторых, - в какой мере учёт не-упрутих свойств необходим для реконструкции поля при тех или иных параметрах.

Наконец, третья основная цель работы состоит в развитии обобщённого (и отчасти альтернативного) подхода к реконструкции установившихся волновых полей, в котором исходными данными служат амплитудно-частотные зависимости.

Работа построена следующим образом.

Вступительные разделы 1-й, 2-й и 3-й глав являются, в основном, обзорными. Здесь, по материалам литературных источников, изложены общая постановка обратных граничных задач для упругих тел (разд. 1.1), способы сведения этих задач к интегральным и матричным уравнениям 1-го рода (разд. 2.1), методы решения таких уравнений, - метод регуляризации А.Н. Тихонова и метод проекций, применявшийся в работах [13,14] (разд. 3.1,3.2).

В разд. 1.2 сформулирована обратная граничная задача о восстановлении контактной нагрузки, действующей на упругий слой.

В разд. 1.3 постановка данной задачи обобщается на случай вязкоупругого слоя. Для этого (без ограничения общности основных аналитических результатов) в рамках модели стандартного вязкоупругого тела [45,55] выбран конкретный 4-пара-метрический вариант.

В разд. 2.2, 2.4 обратные задачи для упругого и вязкоупругого слоя сведены к соответствующим ИУФ 1 -го рода относительно искомого граничного поля контактного давления. Здесь же обсуждаются аналитические свойства ядер ИУФ, используемые при обращении регуляризованных интегральных операторов.

В разд. 2.3, 3.3 обратная задача для упругого слоя решается методом проекций. В отличие от работ [13,14], в которых волновое поле восстанавливалось внутри специальным образом выделенного элемента конструкции, а базисными функциями служили нормальные формы, метод применён для восстановления контактных напряжений. Итогом разд. 2.3 является переход от ИУФ 1-го рода к его следствию -матричному уравнению для коэффициентов обобщённого ряда Фурье искомой функции нагрузки. В разд. 3.3, по аналогии с [13,14], сформулирован алгоритм для расчёта коэффициентов обобщённого ряда Фурье.

В разд. 3.4 изучен вопрос о нахождении оптимальной (т.е. согласованной с погрешностью исходных данных) размерности усеченной матрицы. Приближённый критерий Сд/-Д«1, связывающий оптимальную размерность N с погрешностью А и числом обусловленности Сдг предложен в [13,14] по результатам численных экспериментов. В разд. 3.4 предложено теоретическое обоснование этого критерия. Показано, что условие его применимости, при котором значение N определяется с точностью около ±1, состоит в быстром возрастании последовательности {Сдг }: С jV+i 1С N »1. Последнее свойство оказывается типичным для задач теории упругости, причём именно оно предъявляет предельно жёсткие требования к правильному выбору размерности. Отмечен отчасти вероятностный механизм действия критерия, обусловленный случайной природой погрешностей; в связи с этим даны некоторые практические рекомендации.

В разд. 3.5 обсуждается точность, с которой волновое поле восстанавливается из решения N - мерного матричного уравнения (изучается невозмущённая обратная задача без учёта случайных погрешностей). В идеальном случае, когда решение строится в собственном базисе вполне непрерывного оператора исходной задачи, реконструкция осуществляется с той степенью точности, с которой аппроксимируют функцию - оригинал первые N членов её обобщённого ряда Фурье по данному базису. Реально собственный базис остаётся, однако, неизвестным и заменяется произвольно выбранным. В связи с этим предложено распространить указанную оценку на случай произвольного базиса, как оценку по порядку величины. Приводятся различные аргументы в пользу применимости такого приближения, в том числе, -основанные на результатах прямых численных экспериментов. Показано, что аналитическая структура решения даёт возможность контролировать выполнение оценки индуктивным способом, по частным результатам для произвольно выбранных модельных функций-оригиналов. Эти результаты относятся к вспомогательным и используются далее в разд. 4.4.

Глава 4 посвящена численным экспериментам по восстановлению контактных нагрузок, действующих на упругий и вязкоупругий слой. В разд. 4.1, 4.2 уточняются детали численных алгоритмов, а также характерные значения основных параметров в модели упругого слоя. В числе прочего, обсуждаются принципы, в соответствии с которыми следует выбирать область наблюдения - участок поверхности, на котором задаются исходные данные, и число опорных точек на этом участке (разд. 4.2). Акцентируется внимание на случае, когда область наблюдения находится в дальней зоне, т.е. реально наблюдается только ограниченное число однородных волновых мод. Указано, что в данном случае целесообразна выработка специальных априорных ограничений на характер искомого поля нагрузки.

В разд. 4.3 изложены основные численные результаты, полученные в модели упругого слоя. Приведены примеры восстановления модельных функций нагрузки при реалистическом уровне случайных погрешностей исходных данных порядка 1 %. Проведено сравнение возможностей двух использованных регуляризующих алгоритмов, один из которых основан на решении граничного ИУФ по методу А.Н. Тихонова, а другой - на методе проекций. Сделан вывод о примерно одинаковой эффективности названных алгоритмов. Численно подтверждены лежащие в основе метода проекций закономерности поведения сингулярных чисел усечённой матрицы, а также надёжность принятого критерия для выбора её оптимальной размерности.

В разд. 4.4 изучаются возможности восстановления поля источника по неполным исходным данным, относящимся к дальней зоне (как и в разд. 3.5, пренебрегается случайными погрешностями). В рамках дискретного подхода сформулирован критерий адекватной реконструкции поля: характерное число членов обобщённого ряда Фурье, дающих приемлемое приближение для искомой функции источника, должно быть не больше числа однородных волновых мод на данной частоте. Необходимость данного условия очевидна; его достаточность имеет место при выполнении указанной в разд. 3.5 оценки для погрешности реконструкции. Обсуждаются результаты численных экспериментов по проверке этой оценки; сделан вывод о том, что предложенная в разд. 3.5 методика такой проверки достаточно надёжна. Тем самым, если при заданных физических параметрах оценка подтверждена, то тогда можно с высокой степенью уверенности прогнозировать успешное восстановление априорно «простых» полей, удовлетворяющих критерию.

В разд. 4.5 излагаются результаты численных расчётов для модели с вязко-упругим слоем. Расчёты выполнены для набора вязкоупругих параметров, отвечающих типичному полимерному материалу. Построены примеры восстановления поля контактных давлений по методу А.Н. Тихонова. Приводятся также числовые данные о ядре ИУФ, дающие представление о роли вязкости, в зависимости от характерных расстояний и частотного диапазона. Выделены основные случаи, в которых учёт вязкости необходим; в частности, это имеет место на частотах порядка обратного времени релаксации.

В гл. 5 предложен метод восстановления поля контактных напряжений по данным частотного зондирования. В качестве модели, иллюстрирующей применение метода, в разд. 5.1 сформулированы обратные задачи о восстановлении поля контактных давлений, действующих на пластину в форме бесконечной ленты и круглую пластину. Исходными данными для восстановления поля в обеих задачах служит амплитудно-частотная характеристика, снятая в одной из точек свободной поверхности пластины. В разд. 5.2 задачи сведены к ИУФ 1-го рода относительно искомого поля давлений. В разд. 5.3 для обеих задач построены примеры реконструкции модельных функций нагрузки с регуляризацией ИУФ по методу А.Н. Тихонова. Приведен ряд эмпирических выводов и оценок, уточняющих представление о возможностях и границах применимости метода. Отмечено, что при использовании частотного зондирования конечный спектр собственных колебаний не является препятствием для восстановления полей сложной конфигурации.

В заключении перечислены основные результаты исследования.

В приложение вынесены графические материалы.

По теме диссертации опубликованы работы [23-26,39].

Личные вклады соавторов распределены следующим образом.

A.О. Ватульяну принадлежат: общее руководство работой, постановка задач, выбор моделей и методов исследования [23-26], идея восстановления волнового поля по данным частотного зондирования [23], участие в обсуждении результатов [23-26].

B.М. Драгилеву принадлежат: разработка численного алгоритма для решения ИУФ 1-го рода с регуляризацией по Тихонову [23,24], выполнение модельных расчетов (при равном участии Л.Л. Драгилевой) [23,24,39], формулировка критерия адекватной реконструкции поля источника в пределе дальней зоны [24], участие в обсуждении результатов [23,24, 39].

Л.Л. Драгилевой принадлежат: вывод интегральных уравнений, численное и аналитическое исследование функций Грина [23-26], формулировка 4-параметрической модели вязкоупругого

13 тела [26], формулировка матричного уравнения и разработка алгоритма для его решения [24,25, 39], выполнение модельных расчётов [23-26,39] (в работах [23,24,39] -при равном участии В.М. Драгилева), участие в обсуждении результатов [23-26,39].

Анализ критерия для оптимальной размерности усечённой матрицы [24,39] выполнен совместно В.М. Драгилевым и JI.JI. Драгилевой при равном участии.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ АББРЕВИАТУРЫ: ГИУ - граничные интегральные уравнения; ИУФ - интегральное уравнение Фредгольма

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе получены следующие основные результаты:

1. Построены численно-аналитические решения обратных граничных задач о восстановлении динамических контактных напряжений, действующих на упругий слой. Разработан соответствующий комплекс программ. Проведена сравнительная оценка эффективности численных алгоритмов, основанных на регуляризации интегрального уравнения по методу Тихонова и на проекционном методе.

2. Дано теоретическое обоснование оценочного критерия для выбора оптимальной размерности в методе проекций; численно подтверждена высокая эффективность критерия.

3. Исследованы возможности восстановления поля контактной нагрузки в случае дальней зоны. Предложен критерий адекватной реконструкции полей, имеющих простую пространственную конфигурацию.

4. Разработан метод восстановления поля контактной нагрузки, действующей на вязкоупругий слой, в рамках концепции комплексных модулей; исследованы характерные условия, при которых учёт вязкости становится существенным для реконструкции поля.

5. Предложен метод восстановления нагрузки по данным частотного зондирования; проведена численная апробация метода в задачах о реконструкции нагрузок, приложенных к упругим пластинам.

1. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1 -го рода в анизотропной теории упругости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. № 3. 312-314.

2. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов.-М. : Наука, 1986. 232 с.

3. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Мир, 1970. 939 с.