Обратные, нелокальные и краевые задачи для эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

08-3 2913

........ ^СУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 517.95

Тихонов Иван Владимирович

ОБРАТНЫЕ, НЕЛОКАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2008

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского инженерно-физического института (государственного университета).

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Вабищевич Петр Николаевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Денисов Александр Михайлович

доктор физ.-мат. наук, профессор Треногин Владилен Александрович

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

(РУДН, Москва)

Защита состоится 29 октября 2008 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М, В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та ВМиК МГУ.

Автореферат разослан * ... * сентября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Е. В. Захаров

~ов!щая характеристика работы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Вопросы существования II единственности решения относятся к наиболее значимым, принципиальным вопросам теории дифференциальных уравнений. Всякое существенное продвижение в этой области представляет не только академический интерес, по п имеет важное прикладное значение, образуя фундамент для последующих исследований. Коротко говоря, никакая содержательная задача математической физики пе может быть осмыслена без установления понятных, легко проверяемых условий существования и единственности решения.

Наиболее традиционной задачей для эволюционных уравнений является, без сомнения, задача Кошн. Хорошо известна, например, та роль, которую в общей теории уравнений с частными производными сыграли выдающиеся работы А. II. Тихонова, И. Г. Петровского, И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова, посвященные проблеме корректности в задаче Коши. Долгие годы создавалась теория абстрактной задачи Кошн для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Некоторые общие подходы предложили здесь Э. Хплле и Ю. И. Любпч.

В последние десятилетия наметился активный интерес к разнообразным Н( классическим задачам — для дифференциальных уравнений ус ложненной структуры и (или) с более сложными дополнительными условиями, отличными от условий Кошн. Исследования ведутся по многим направлениям. В результате формируются современные теории обратных и некорректных задач, спектральная теория дифференциальных операторов, возникают новые импульсы для прикладной математики, для разработки численных методов. Существенное влияние на развитие этих областей оказали работы А. Н. Тихонова. А. А. Самарского. В. А. Ильина. М. М. Лаврентьева, Е. И. Моисеева, В. А. Садовпнчего, А. В. Бпцадзе, В. К. Иванова, В. Г. Романова, II. А. Шишмарева. А. А. Дезипа, А. М. Денисова, К). А. Дубинского, А. Г. Костючепко, С. Г. Крейпа, А. М. Нахушева, А. И. Прилепко, А. Л. Скубачевского, П. Е. Соболевского, А. А. Шкали-кова, их учеников и последователей.

Диссертация органически вписана в данный контекст — в контекст современной теории дифференциальных уравнении. В работе изучен цикл обратных, нелокальных н краевых задач для дифференциальных уравнений с выделенной переменной « 1», означающей условное «время». Подобные уравнения часто называют эволюционными. Дополнительные условия, характеризующие задачу, ставятся по выделенной переменной.

Все задачи являются линейными. Для каждой из них установлены новые, законченные результаты по единственности решения. В ряде случаев получены также весьма общие теоремы разрешимости.

Изложение ведется на. языке абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Это дает возможность охватить сразу много приложений. В качестве примера подробно разобрана модельная нелокальная задача для многомерного уравнения теплопроводности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ — разработать новые, универсальные подходы, позволяющие проводить исследование обратных, нелокальных п краевых задач для эволюционных уравнений при минимальных ограничениях, доводя теорию до полной завершенности, когда окончательные отпеты на поставленные вопросы формулируются в простых спектральных терминах собственных значений линейных операторов, нулей характеристических функций и т. д.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются оригинальными, принадлежат автору и состоят в следующем.

1. С общих позиций проанализирован ряд новых и классических задач для абстрактных дифференциальных уравнений произвольного порядка. При этом: а) проведено исчерпывающее изучение вопроса единственности в периодической задаче; б) найдены условия, при которых абстрактное дифференциальное уравнение имеет только тривиальное решение; в) изучены структурные свойства нуль-решений в абстрактной задаче Коши; г) получен закопченный критерий единственности в модельной обратной задаче, выраженный в терминах распределения нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера; д) поставлена и изучена «обобщенная задача Уорда»,

для которой также найден критерий единственности. Все перечисленные рассмотрения проведены без ограничений сверху на порядок уравнения п без каких-либо качественных предположений о природе линейных операторов в составе дифференциального уравнения. Отдельные аналоги результатов автора встречались ранее лишь для уравнений первого и второго порядков, при тех пли иных жестких ограничениях.

2. Исследована линейная нелокальная «по времени» задача для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка. На конечном промежутке «.времени» получен исчерпывающий критерий единственности решения без ограничений на оператор в уравнении п на меру в нелокальном условии. Указаны основные следствия и обобщения; приведены эффективные достаточные признаки единственности. Никаких общих подходов к подобным нелокальным задачам ранее не было; встречались лишь частные работы по какпм-то отдельным случаям.

3. В линейной нелокальной задаче на неограниченном промежутке «времени» отдельно изучены два практически важных случая: монотонной и периодической весовых функций в нелокальном условии. Установлены новые теоремы разрешимости. В периодическом случае разработана оригинальная методика, основанная на теоремах об отображении спектра для интегралов от полугрупп. Методика допускает перенос на целый ряд других ситуаций в нелокальной «по времени» задачи.

4. Доказана новая теорема об отображении точечного спектра для интеграла от полугруппы па конечном отрезке [О, Т]. Данный результат принципиально важен для ряда задач из теории абстрактных дифференциальных уравнений. В классических источниках (работы Э. Хилле и Р. Фнллппса) были лишь частичные аналоги подобного утверждения.

5. Получен цикл теорем единственности в линейной обратной задаче с финальным переопределением. Всесторонне исследован так называемый «скалярный» случай. Результаты являются окончательными, ограничения — неослабляемыми. Аналогичные вопросы поднимались ранее лишь при специальных качественных ограничениях на оператор в дифференциальном уравнении (работы Д. Г. Орловского, Ю. С. Эйдсльмана и др).

6. Поставлена и полностью решена принципиально новая задача с нелокальным условием «среднего по времени» для многомерного уравнения теплопроводности. Дано описание классов единственности п разрешимости; выявлены все сопутствующие технические обстоятельства. Результаты выражены в терминах экспоненциального поведения решений на бесконечности. Найдены точные границы между единственностью и неединственностью. корректностью и некорректностью. Предложенные подходы открывают широкие возможности для обобщений — на другие виды параболических уравнений и другие виды нелокальных условий.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ весьма разнообразны. Изучение абстрактных задач основано на технике дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Используются операторные соотношения и уравнения, различные операторные характеристики, такие, как резольвенты, спектры, собственные значения. Часто приходится прибегать к некоторым базовым положениям функционального анализа. Например, с помощью теоремы Хана-Банаха абстрактные векторные ситуации сводятся к скалярным моделям. После скалярпзацпн центральную роль играют средства классического анализа, главным образом, теории целых функций одной переменной. Отсюда заимствуются различные характеристики роста целых функций, «метод частных» Б. Я. Левина, известные результаты Л. Вима-на, Г. Полиа, Т. Карлемана, Э. Ч. Тнтчмаршя и т. д. В задачах для уравнений высокого порядка появляются целые функции типа Миттаг-Лсффлсра. Исследование разрешимости в нелокальных задачах проводится па основе теории полугрупп; особенно полезны ее спектральные главы. созданные Э. Хплле и Р. Фнллипсом. Модельная нелокальная задача теплопроводности потребовала иной аналитической техники. Здесь встречаются специальные функции Бсссе.ля и Ханкеля. преобразование Фурье, теория асимптотических разложений; окончательную завершенность изложению придает конструкция расширенного оператора Лапласа, предложенная И. И. Приваловым.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ II ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Диссертация носит теоретический характер и создает базу для дальнейших исследований. Рассмотренные задачи имеют естественную и понятную постановку. Результаты обладают универсальным, достаточно общим характером. Они позволяют охватить широкий спектр разнообразных приложений, относящихся к математическим моделям теплопроводности, диффузии, переноса, а также гидродинамики н метеорологии. Построенная линейная теория обратных. нелокальных и краевых задач формирует основу для разработки соответствующей нелинейной теории. Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, функционального анализа п теории функций. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями п их приложениями.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации с полными доказательствами доложены автором на семинаре мех-мата МГУ «Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания» (руководители: академик В. А. Садовничий и профессор А. И. Прплепко). В разные годы основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ведущих семинарах Москвы по уравнениям в частных производных, по спектральной теории дифференциальных операторов, по теории функций и ее приложениям в анализе (среди руководителей семинаров: академики В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, В. А. Садовничий, профессора М. С. Агранович, М. И. Вишик, В. В. Власов. А. А. Дезпп, А. М. Денисов, А. Г. Костючепко, А. К. Мирзоев, А. М. Седлецкпй, А. Л. Скубачев-скнй, А. А. Шкаликов). Центральные результаты диссертации доложены также на международных конференциях И. Г. Петровского (Москва. 2004) и А. Н. Тихонова (Москва, 2006). Цикл докладов был сделай автором на регулярных конференциях но обратным и некорректным задачам (Москва, факультет ВМиК МГУ).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации полностью опубликованы. Список основных 15 статей приведен в конце автореферата. Из нескольких совместных работ на защиту выносятся лишь результаты, полученные лично автором. Вклад соавторов (А. Ю. Попова п Ю. С. Эйдсльмана) четко оговорен в тексте диссертации и отделен от результатов автора.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Полный текст диссертации составляет 283 страницы. Вначале идет введение и небольшой технический раздел «Терминология, обозначения, соглашения», где оговорены некоторые стандарты. Далее следует основная часть, разбитая на четыре главы. Главы делятся на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация параграфов — сквозная, нумерация пунктов п прочих единиц (утверждений, определений, замечаний, примеров, формул) ведется но параграфам. Завершает всё список литературы, где сперва в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, а потом — на латинице. Библиография содержит 273 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во ВВЕДЕНИИ обсуждается общая направленность работы п дается краткое изложение ее содержания. Сведения исторического и приоритетного характера приводятся в ограниченном объеме, необходимом лишь для предварительной оценки ситуации. Подробные ссылки и сопоставления собраны в основном тексте диссертации, в конце каждого параграфа. Ввиду большого разнообразия материала такой порядок более удобен для чтения.

После введения идет короткий РАЗДЕЛ «Терминология, обозначения, соглашения», содержание которого ясно пз названия. Упомянутые здесь сведения используются в основном тексте без особых оговорок.

Сам основной текст разбит на четыре главы, разные по темам, но тесно связанные по смыслу друг с другом. Отметим наиболее принципиальные результаты, составляющие остов работы. Нумерация теорем в автореферате будет совпадать с нумерацией теорем диссертации. Формулы пронумеруем заново, независимо от нумерации формул, принятой в диссертации.

В первых трех главах изучаются задачи для абстрактных дифференциальных уравнений в комплексном банаховом пространстве Е. Считаем, что в Е задам линейный замкнутый оператор А с областью определения D(A) С Е. Других условий на А изначально не налагается. Требование «банаховости» тоже не является слишком обязательным — многие результаты без труда переносятся на уравнения в секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

В ГЛАВЕ 1 (§§ 1-5) рассматриваются задачи для уравнений произвольного порядка п 6 N. Базовое уравнение имеет вид

d"n(t) л , ч

= Mt), (1)

но иногда обсуждаются другие варианты, например, полное уравнение

Anu^(t) + A^u^it) + ... + A\u'{t) + Aau(t) = 0 (2)

с линейными замкнутыми операторами Aq, Ai, ..., А„. Переменная t изменяется по соответствующему промежутку J С К, зависящему от ситуации. Чаще всего J = [0,T], бывает также, что ./=[0, оо) или J={—ос,оо).

Каждый параграф посвящен своей задаче. Понятие решения вводится всякий раз заново, обычно при постановке задачи в начале параграфа. Эти определения вполне традпциоипы, считаем их ясными и будем напоминать лишь в случаях, способных привести к недоразумению. Например, рассматривая решение u(t.) уравнения (1) па промежутке J С М, обычно полагаем, что ueC"(J;E) и u(t) G D(A) при любом 16 J.

Во вводном § 1 обсуждается периодическая зиОача:

—7±± = Au{t), u{t + T)=u{t), -oc<t<oo, (3)

at"

где T> 0 фиксированное число. Сразу выясняется (теорема 1.1), что задача (3) имеет лишь тривиальное решение u(t) = 0 тогда и только тогда, когда среди собственных значений оператора А нет чисел А* вида

В случае, когда такие собственные значения сеть, подробно анализируются разные типы решений (теоремы 1.2-1.6). Еще приведены обобщения (теоремы 1.7 и 1.8), в том числе на случай периодической задачи для полного уравнения (2). Методы основаны на. векторных рядах Фурье и вполне элементарны. Но четко выявляется главная идея — изучать дифференциальное уравнение (1) при максимально широких допущениях.

Столь общий подход порождает неожиданный вопрос: всегда, ли уравнение (1) обладает хоть какими-то нетривиальными решениями? Эта тема затрагивается в следующем § 2. Если на любом промежутке ./ С К возможно лишь тривиальное решение и(Ь) = 0, то (1) называется нуль-уравнением. В теореме 2.1 показано, что (1) будет нуль-уравнением, если резольвента оператора А есть целая функция нулевого типа при порядке р=1/п. Последнее заведомо выполняется, когда. Л-1 — ограниченный оператор из подходящего вольтерровского класса, (теоремы 2.2 и 2.3). Например, в теореме 2.2 фигурирует условие

7Г-Т7 - к = 1.2,-3,..., С> О, т > п, (4) (/ст.)!

где константы С, т не зависят от к, а значение п — то же, что и в уравнении (1). Выполнение (4) гарантирует, что (1) является нуль-уравнением. В качестве иллюстрации разобрана задача:

(дп и . ,дти . .ВТ'1 и

^г = "<>(*) + + ••• + а"'(хК (5)

дн дт 1 и

„(0,0 = ^(0,*)= ... = ^Т(о,*) = о,

в прямоугольнике (х, I) е [0,1] х [0, Т] для функции и = и(х, £) из класса

Ст " ([0,1] х [0, Г]). (6)

Краевые условия в (5) поставлены только на одном краю — при 1 = 0, 0 ^ ^ ^ Г; иные дополнительные условия отсутствуют. Коэффициенты а0(х), а^х), ..., а„,(х) предполагаются непрерывными на [0,1] и могут

быть вещественными или комплексными. Применение абстрактной теории дает следующий результат.

Теорема 2.4. Пусть т> п^ 1, и |ао(а;)| ^ £ > 0 при 0 ^ х ^ 1 с некоторым фиксированным е > 0. Тогда задача (5) имеет в классе (С) только тривиальное решемие и(х, = 0.

В § 2 отмечается связь подобных утверждений с некоторыми результатами для параболических уравнений (А. Н. Тихонов. Е. М. Ландис), с теорией локального преобразования Лапласа (Ю. И. Любич. В. А. Ткаченко). Интерес предшественников относился к уравнениям первого порядка по т. е. к случаю п = 1; доказательства отличались технической сложностью. В диссертации удалось осмыслить материал с общих позиций — для уравнений произвольного порядка п ^ 1 и предложить совсем простые доказательства. В основе успеха лежит замечательная теорема Полна о целых функциях нулевого экспоненциального типа, ограниченных на последовательности точек типа = Ъ.

В следующем § 3 изучается противоположная ситуация, когда дифференциальное уравнение (1) имеет «много» решений в том смысле, что задача Коши для пего оказывается недьтерлшнированной. Тогда у однородной задачи Коши появляются нуль-решения, т. е. нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие однородным условиям Коши:

и(0)=и'(0)= ... = и'и-1)(0) = 0. (7)

Такие примеры встречаются на практике при определенных способах выбора оператора А. Первые исследования по поводу пуль-решепнй выполнены Э. Хнлле и Ю. И. Люби чем в 1950-60-х гг., им же принадлежат наиболее значимые результаты.

В диссертации подробно проанализирован один специальный эффект, связанный с нуль-решениями. В частном случае — для уравнения первого порядка — он когда-то отмечался К). И. Любичем. Оказывается, важно различать два случая: 1) собственные значения А заполняют всю комплексную плоскость; 2) собственные значения А не заполняют комплексной плоскости. В первом случае поведение отдельных нуль-решений может

быть весьма замысловатым: становясь ненулевыми, они затем вновь обращаются в нуль, потом опять отличны от нуля и так далее ad infinitum. Второй случай является основным: пуль-решения (если они есть) подчиняются строгим правилам. Например, став ненулевым, нуль-решение u(t) больше уже в нуль не обращается; также отличными от нуля будут производные u'(t), ..., Отметим для примера следующее утверждение.

теорема 3.1. Пусть u(t.) — решение, однородной задачи Komu, (1), (7) при 0 ^ t ^ Т с линейным за.мкнутым оператором А. Предположим, что собственные значения оператора А не заполняют всей комплексной плоскости. Выберем константы Cq, С\, ..., Сп \ £ С так, чтобы. \Ск\ > 0. Если при некотором to € (0, Т] выполняется соотношение;.

то иЦ) = 0 на [0, ¿о].

В § 3 разработан универсальный подход к такого рода результатам, основанный на аппарате обобщенных гиперболических функций. Рассмотрены модификации условия (8) в виде конечных сумм интегралов Стильтьеса:

Подробные формулировки даны в теоремах 3.2-3.4. Имеются примеры п комментарии.

Итак, в §§ 2, 3 речь идет о самых общих вопросах теории абстрактных дифференциальных уравнений. Заметного прогресса в этой области не было давно — со времен упомянутых работ Э. Хилле и Ю. И. Любича.

Следующие §§ 4, 5 относятся к более специальной тематике. В § 4 рассмотрена модельная обратная задача:

Cou^ito) + C^n-2\h) + ... + Cn-iu(t0) = 0, (8)

^^ = Au(t) + g, 0<t<T,

< u(0)=j/(0)= ... =u<" 1)(0) = 0,

(9)

u{T) = 0,

с неизвестной функцией и:[0,Т]—> Е и неизвестным элементом Е. Ранее подобные задачи изучались лишь для уравнений первого и второго порядков (п = 1 и п = 2) при тех или иных ограничениях на оператор А (А. В. Кпбенко, А. И. Перов, У. Ранделл, Ю. С. Эйдельман, Д. Г. Орловский, В. В. Васильев и др.). Оказалось, что ограничения нужны не всегда. В § 4 для задачи (9) установлен общий критерий единственности решения, использующий лишь собственные значения оператора. А и нули целой функции

1 Л Л2 00 А"1

Уп{ А) = -Г + 7ГТТ + ТПТ+--- = £ 7-Г-*? ' А € С- (10)

п\ 2п)! Зш! ^ шп + п !

где п совпадает с порядком уравнения. Точный результат выглядит так.

теорема 4.1 (однородная версия). Пусть А линейный замкнутый оператор в Е. Для того чтобы однородная обратная задача (9) имела на [О, Т] только тривисньноь решение и(£) =0, 3 = 0. необходимо и достаточно, чтобы ни одно из чисел А а/Т", кё Я, не являлось сибспшен-ным значением оператора А. Здесь А(Уп) = {А/,. : к 6 Я} — множество нулей целой функции (10) с индексацией к & Я СЪ.

Функция (10) называется характеристической для задачи (9). Она принадлежит важному классу целых функций тина Митгаг-Леффлера. При п= 1 и п = 2 ситуация с нулями элементарна:

У1(А) = Л(Ух) = {2Ш : к = ±1, ±2, ... };

Г2(А) = сЬл/^~1, Л(У2) = {-4 к2*2: к= 1,2,...};

далее картина усложняется — в полном объеме вопрос о пулях лишь совсем недавно разрешил А. Ю. Попов. Он показал, что при п ^ 3 все нули функции КП(А) являются вещественными, отрицательными, простыми п принадлежат определенным интервалам локализации. Тем самым, обратная задача (9) оказалась связана с классической проблематикой комплексного анализа.

Отметим также, что именно задача (9) стала, отправным пунктом для прочих сюжетов, затронутых в главе 1. Многие идеи зародились именно здесь. Например, начапьный импульс к изучению нуль-решений (см. § 3) придал такой вопрос: следует ли из соотношений (9) с д = 0 то, что и(1) = О па [О, Т] ?

В § 5 близкими методами исследуется краевая задача: ^ = Аи{1), 0 < < < Т,

< «<»(о) = о, У?е{о, 1,...,п-1}\ы, (п)

и^{Т) = 0,

к

называемая обобщенной задачей Уорда. Здесь п ^ 3, р, е { 0.1,..., п — 1} — фиксированные числа (параметры, задачи). Особенно важна разность (1 = р — д. С ее помощью вводится характеристическая функция

1 Л Л2 00 Л"1 У^(А) н — + --— + --— + ... = V --— , ЛеС, (12)

^ ' в,\ (п-М)! (2п-Ы)! +

которая тоже относится к функциям типа Миттаг-Леффлеря. Справедлив критерий единственности.

теорема 5.2. (однородная версия). Пусть А — линейный замкнутый оператор в Е. Для того чтобы однородная кршопя. задача (И) имела на [0, Т] только тривиальное решение и(1) = 0, необходимо и достаточно. чтобы ни одно из чисел А*/Т", к £ Я. не являлось собственным значением оператора А. Здесь Л(У^) = {Ад- : А' £ Л} множество нулей характеристической функции (12) с индексацией к £ Я С Ъ,

Идею перенести результат с обратной задачи (9) на краевую задачу (11) автор получил от В. А. Ильина, заметившего, что сочетание краевых условий в задаче (9) напомниает известную задачу Уорда из спектральной теории.

Важную роль в §§ 4, 5 играет одно утверждение из теории целых функций, восходящее, видимо, к Карлеману (см. Г. Полна, Г. Сеге, «Задачи и теоремы из анализа», часть II, отдел IV, № 199). Это утверждение должным образом развито в § 5 н может быть полезно для других обратных н краевых задач, где встречаются целые фуикцпн порядка р < 1/2. Последнее типично для уравнений порядка п^З. Но сейчас оставим уравнения высокого порядка.

Следующая ГЛАВА 2 (§§ 6-12) посвящена нелокальной «по времепп» задаче для абстрактных дифференциальных уравнений первого порядка. Традиционное условие Кошн и(0) = щ заменяется нелокальным условием вида

/ u(t) dn{t) = щ (13)

J о

с заданным элементом щ£Е. В отличие от задачи Коти для нелокальной задачи на конечном отрезке [0,7] удается построить исчерпывающую теорию единственности. Условие (13) позволяет формулировать ответы в спектральных терминах.

Главный результат содержится в § 6. Рассмотрим однородную задачу: = Au(t), f\(t)dn(t) = 0. (14)

Здесь Г>0 — конечное число; скалярная функция /t(<) имеет ограниченную вариацию на [0, Г], причем обычно ¿ = 0 и t = T считаются точками вариации меры dn(t). т. е. Var{//(i)}!□ >0 и Var{/x(i)}|j_£ >0 для любого £ > 0. Решением задачи (14) называется функция и: [0, Т\ —> Е, удовлетворяющая соотношениям (14) на отрезке [0, Т] в предположениях, что и 6 С1([0, Т]; Е) и u(t) € D(A) при 0 ^ t ^ Т. Рассматриваются также обобщенные решения.

Для задачи (14) вводится характеристическая функция:

¡■т

L{ А)= / eMdv(t), ЛеС, (15)

J о

целая по переменной Л, с множеством нулей А(Ц={\к : А еЛ С Z}.

Справедлив критерий единственности.

теорема 6.2. Пусть А — линейный зсшкнутый оператор в Е. Пусть t = Q и I = Т суть точки вариации меры (1^(1). Для того чтобы однородная нелокальная задача (14) имела на, [0,Т] только тривиальное, решение и{1) - 0. необходимо и достаточно, чтобы, ни один нуль А к тарактери-ет.ич.е,ской функции Ь(А) ил формулы (15) не являлся собственным, значением оператора А.

Возможно, это самый значимый результат работы. Отсутствие ограничений на оператор А и меру ¿/¿(¿) сильно расширяет круг приложений. Доказательство критерия единственности, данное в § 6. использует некоторые соображения из теории целых функций, в том числе «метод частных» Б. Я. Левина, и теорему Полна о целых функциях нулевого типа, уже встречавшуюся в § 2 при рассмотрении нуль-уравнений.

Еще в § 6 даны подробные комментарии к теореме С.2 н приведены уточнения для нескольких типичных ситуаций. Вот, например, вариант критерия единственности для оператора А, порождающего Со-полугруппу.

теорема б.4. Пусть оператор А порождает Сп-полу группу £/(£)>

0, в банаховой пространстве Е. Пусть /<(£) — скалярная функция ограниченной вариации на [0, Г]. Предположим, ч.т,о выполнено любое из условий::

1) £ = 0 есть точка вариации меры

2) полугруппа 1/(1) имеет тривиальное ядро, и мера дц^) имеет хотя бы. одну точку вариации на [0,Т], т. е. функция //.(/) отлична от тождественной константы..

Тогда справедлив критерий единственности: для тлго чтобы, однородная нелокальная задача (14) имс.аа на [0,Т] только тривиальное решение = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль Ал- характеристической функции Ь{А) из (формулы (15) не являгся собственным значением, оператора А.

В связи с условием 2) теоремы 6.4 напомним, что полугруппа [/(£) имеет тривиальное ядро, если и (£)/ ф 0 для любого /6 Е, //0 и любого £ > 0. Это заведомо выполняется для аналитических полугрупп и для полугрупп, вкладываемых в группы. Элементарные примеры показывают, что в рамках полугруппового подхода теорема 6.4 не допускает ослаблений.

В следующем § 7 из основного критерия извлекается ряд удобных достаточных признаков единственности, где уже не требуется точно вычислять пули характеристической функции (15). Наиболее интересна группа теорем 7.3-7.5, связанная с классическими результатами Полиа о распределении нулей функции (15) в случае абсолютно непрерывной меры = ??(£) сИ со знакопостоянной и монотонной на (0,Т) функцией ?/(£). Приведем один типичный результат.

теорема 7.3. Пусть А — линейный замкнутый оператор в Е. Пусть //(<) — суммируемая, строго положительная функция на (0, Т). Предположим, что выполнено любое из условий:

1) функция Т){{) - неубывающая на (0,Т), оператор А не имеет собственных значений на множестве Ие А ^ 0, 1т А ф 0;

2) функция ?;(£) - невозрастающая на (0,Т), оператор А не имеет собственных значений на множестве Ис А ^ 0, 1ш А ф 0.

Тогда однородная нелокальная задача (14) с абсолютно пепрерыв'ной мерой с/д(£) - г/(£) (И имеет на [0, Т] только тривиальное решение м(£) = 0.

В теоремах 7.4 и 7.5 это направление получает дальнейшее развитие.

Два следующих параграфа посвящены обобщениям. В § 8 критерий единственности переносится па более общее уравнение

с произвольными линейными замкнутыми операторами А, В, а в § 9 — на более общее нелокальное условие

(16)

с заданными скалярными функциями ¿¿о(£), /'1(0 ограниченной вариации на [0,7]. В обоих параграфах получены законченные результаты, аналогичные основной теореме С.2. Для уравнения (16) собственные значения оператора А надо заменить собственными значениями операторного пучка Р( А) = А В — А. а для нелокального условия (17) нули характеристической функции (15) надо заменить нулями характеристической функции

Функция С(А) получается из (17) при формальной замене и(1) на еА'. Попутно в § 9 проведено систематическое изучение нелокального условия (17) в терминах свойств интегрирующих функций Цо^),

Еще раз подчеркнем, что всё исследование единственности в нелокальных задачах выполнено в самых общих предположениях; основные требования к операторам в дифференциальных уравнениях сведены к минимуму — только линейность и за.мкиутость.

При изучении разрешимости нужны более жесткие ограничения. Один из возможных подходов представлен в §§ 10, 11, где на бесконечном промежутке 0 ^ I < оо рассматривается нелокальная задача:

е. заданным элементом и\€Е. Оператор А порождает полугруппу {/(<) класса (Со), причем ||С/(£) || ^ Ме~6* при £ > Ос константами М ^ 1 и Л" > 0, т. е. полугруппа {/(<) считается экспоненциально убывающей. Весовая скалярная функция предполагается измеримой и локально суммируемой па (0, оо), интегрирующей полугруппу 11(1) в том смысле, что

Тогда интеграл в (18) корректно определен (по Бохнсру) для любой векторной функции и(¿) = I/(ф'п, < > 0.

Jo J о

(18)

Обобщенным решением нелокальной задачи (18) называется векторная функция и(£) = [/(£)и0, £^0, с элементом и0 € Е, для которой интеграл, входящий в (18), принимает значение, равное заданному элементу щ £ Е. Если при этом щ&0(А), то решение и{1) = ¿^0, называется

классическим.

В § 10 разбирается случай, когда весовая скалярная функция г](1) — неотрицательная н невозрастающая. Такое сочетание условий обеспечивает корректность задачи (18) на элементах щ € О (А).

Теорема 10.1. Пусть ||£/(г)|| ^ Ме~61 при ¡^0 с константами М и 6 > 0. Пусть — неотрицательная, псвозраетающая функция. определенная при £ > 0. такая, что 0 < ?;(0 + 0) < оо. Тогда для любого щ £ £>(А) существует и притом единственное обобщенное решение и(£) = £/(()ио нелокальной задачи (18), для которого справедлива оценка устойчивости.:

с константой С> 0, не зависящей от выбора элемента щ 6 D(A). Решение u(t) = U(t)u(¡ является классическим тогда и только тогда, когда щ £ D(A~). Iie.nu же щ€ Е\ D(A), то задача (18) неразрешима.

Оценка устойчивости (19) является иеулучшаемой. Приведен пример, показывающий, что заменить ||í4üi|| на ||и||| в общем случае нельзя.

В следующем § 11 весовая функция r/(f) взя та Т-периодической с некоторым периодом Т > 0. Здесь удастся построить полную теорию корректности, включающую критерий единственности и целый цикл теорем разрешимости. Вначале вводится характеристическая функция

голоморфная в полуплоскости ReA<0. Используя Т-нериодичность r/(í), получаем аналитическое продолжение до мероморфпой функции в С по формуле:

||u(t)|| ^Ме-мС\\Ащ\\, 0,

(19)

(20)

причем полюсами могут быть лишь точки 2кттг/Т, /с £2. Некоторые из точек 2кт/Т могут и не быть полюсами Ь{А), если опп являются нулями функции Ьт(\).

Вообще, предположение о Т-пернодичности позволяет сводить ичучепие задачи (18) к задаче на конечном отрезке [О, Т], где имеется полная теория единственности (см. § 6). С помощью таких соображений устанавливаем следующий критерий единственности.

Теорема 11.1. Пусть ||£/(£)Н ^ Ме~5' при г^О с константами М ^ 1 и 6> 0. Пусть Т}(Ь + Т) = Т}{1) при ¡^0 с некоторым периодом Т > 0, причем,

Предположим, что нелокальная задача (18) с ладанным ллементомщ € Е имеет обобщенное решение u(t) = U{í)uq. Для того чтобы это решение было единственным, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль характеристической функции L(А) из формулы. (20) не являлся собственным значением оператора А.

Этот критерий легко выводится из теоремы 6.4.

Теоремы разрешимости основаны па иной технике. Здесь возникают дополнительные требования гладкости к функции r)(t). нужные для вывода операторных соотношений. Приходится также более точно учитывать поведение r¡(t) при t = 0. Приведем для примера базовый результат о корректной разрешимости задачи (18) на элементах щ € D(A).

теорема 11.4. Пусть ||£/(£)н ^ Me~Sl при <>0 с константами М ^ 1 и ¿>0. Пусть q(t + T) = r](t) при с периодом. Т> 0. причем 776 С1 ([0, оо)) и 77(0)^0. Предположим, что ни один нуль характеристической функции Ь(Х) из формулы (20) не принадлежит спектру onejia.rn.ojxi А. Тогда для любого U\ € D(A) существует и притом, единственное обобщенное решение u(t) = U(t)uo нелокальной задачи (18), d.w. которого справедлива оценка устойчивости (19) с константой С > 0, не. зависящей от. выбора элемента щ € D(A). Решение u(t) = U(t)uo является классическим тогда и только тогда, когда щ € D(A2). Если же щеЕ\ D(A), то задача (18) неразрешима..

Ve > 0.

Вместо т] е С1 ([0, оо)) н г/(0) / 0 можно взять случай 7?еС"([0,оо)), г/(А)(0)=0 для к = О, ..., п—2, т/,,_1)(0) Ф О,

при некотором натуральном п ^ 2. Тогда справедливо аналогичное утверждение о корректной разрешимости задачи (18) па элементах щ 6 0(А") (теорема 11.5). Дополнительные уточнения внесены в теоремах 11.С и 11.7. Главная предпосылка корректной разрешимости везде имеет спектральный характер: пули характеристической функции (20) не должны попадать на спектр оператора А. Без такого предположения корректная разрешимость теряется. Важную роль в доказательствах играет теория Э. Хилле и Р. Филлнпса об отображении спектра для интегралов от полугрупп (см. Э. Хиллс. Р. Фнллипс «Функциональный анализ и полугруппы», гл. Х\г1). Отдельную ценность представляет сама методика изучения разрешимости в нелокальных задачах, разработанная в § 11. Ее можно нсрспсетп на ряд других случаев в задаче (18) с абсолютно непрерывной мерой т](1) <11. Подобные соображения использовались ранее в обратных задачах (10. С. '-Эй-дельман, И. В. Тихонов).

Связь нелокальной задачи с теорией отображения спектра является принципиальной. В следующем § 12 совершен обратный переход: из результатов § 0 по единственности решения в нелокальной задаче (14) выведена новая теорема об отображении точечного спектра для оператора В, заданного формулой

В/= [ !/(*)/сШ. /е£. (21)

В предварительной теореме 12.1, основанной на теореме 6.4, решается вопрос о тривиальности или нетривиальное™ ядра оператора В. Отсюда затем извлекается полное описание точечного спектра для интегралов типа (21). Как обычно, точечные спектры, операторов А. В. т. е. множества их собственных значений, обозначаем через рр(А), а,,(В).

теорема 12.2. Пусть оператор А порождает Co-полугруппу U(t), t0. Пусть fi(t) — скааяриая функция, ограниченной вариации на [0, Т]. Для. отрезка [0,т] определим целую функцию L(а) по формуле (15) и оператор В по формуле (21). Обозначим через скачок функции p(t) в точке t = 0. т. е. = р(0 + 0) — /i(0) £ С (не исключено, что щ=0). Возмож:ны следующие ситуации.

1) fi(t)= const при 0 < t ^ Т. Тогда оператор В имеет вид

BJ = Ц)/, feE, (22)

и <тДВ) = {//и}.

2) Полугруппа U(t) имеет нетривиальное ядро, и fi(t) = const при

0 <t^e для. некоторого с € (0, Т). Тогда оператор В имеет вид

Bf = i*f + J*U(t)fdn(t), feE, (23)

и a„(B) = L(al,(A)) и{Ц)}.

3) Во всех остальных случаях 0р(В) = L(ap(A)).

В операторном исчислении полугрупп оператор В, заданный в (21), трактуется как L(A) для производящего оператора А и целой функции L(А) из формулы (15) (см. Э. Хплле, Р. Фнллппс «Функциональный анализ и полугруппы*, гл. XV). Соотношение вида

ар(Ь(А)) = L(av(A)) (24)

называется теоремой об отображении точечного спектра. Как выяснилось в § 12, для оператора В = L(A) равенство (24) справедливо почти всегда, за исключением тривиального случая (22) и специального случая (23), когда к Ь(ар(А)) надо добавлять точку = //(0 + 0) - /((0). Теорема 12.2 закрывает тему «точечного спектра» для интегралов на конечном отрезке [0, 71] п представляет важное продвижение в теории Э. Хплле п Р. Фпллпп-са. Рапсе имелись лишь частичные ашиогн такого утверждения.

Полученные результаты об отображении спектра могут пригодиться во многих задачах для абстрактных дифференциальных уравнений. Одна из возможностей открывается сразу же — в следующей главе 3.

В этой ГЛАВЕ 3 (§§ 13-16) изучается известная обратная задача с финальным, переопределением,. Так как речь пойдет о единственности решения, рассмотрим сразу однородную версию:

= Аи{Г.) + ч>{1)д, 0 < г < Г, < л (25)

и(0) = 0, и(Г) = 0,

с заданной скалярной функцией <£(<). непрерывной на (О, Т), с неизвестной функцией и: [О, Т] —> Е и неизвестным элементом д 6 Е. Тривиальное решение очевидно: и(£) = 0 на [О, Т], д = 0. Ставится вопрос о наличии других, нетривиальных решений (единственность региения).

Задача (25) входит в обширный класс обратных задач «с неизвестным источником», активно изучаемых в последние десятилетия (А. И. Прнлеп-ко, В. М. Исаков, Ю. С. Эйдельман, многие другие исследователи). Рассматриваются различные модели, применяются разные подходы. Задача (25) выделяется из прочих двумя особенностями: а) она является достаточно простой — для нее удается получать законченные результаты; б) она является нетривиальной — для получения результатов требуется качественный математический аппарат. Этот дуализм делает задачу (25) весьма интересной, что продемонстрировано в диссертации на примере единственности решения.

Сравнительно недавно тема единственности в задаче (25) была раскрыта не полностью. Первоначально применялся метод Фурье (А. Д. Ис-кепдеров, А. II. Егоров); затем появились отдельные результаты в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу (Д. Г. Орловский, Ю. С. Эйдельман). Но общая картина долго не складывалась. В последние годы, развивая некоторые идеи Ю. С. Эйдельмапа, автор смог выявить практически все возможности, возникающие в задаче (25) с единственностью и неединственностью решения, причем удалось исследовать как нрн-

вычныП полугрупновой случай, так и общий случай линейного замкнутого оператора А. Последнее оказалось особо неожиданным.

Глава 3 дает полное изложение построенной теории. В § 13 приведена точная постановка обратной задачи (25). Решением называется пара (и(£). (/). такая, что

и 6 С1((0,Т);£)ПС([0,Т];£;), и(£) е Ю(А) при 0 < £ < Т, д е Е,

и все соотношения в (25) выполняются. Заданная скалярная функция считается непрерывной и суммируемой на (О, Т). Не исключено, что при £ = 0 и £ = 71 функция ¡¿>(£) имеет особенности, но всегда

О < / ИОИ < оо.

11редварите.1ы1ый анализ задачи (25) выявляет элементарные примеры неединственности. Вводится характеристическая функция

ЦХ)= I ел'^(Т-<)Л, ЛеС. (26)

Л

Непосредственная проверка, показывает, что если некоторый нуль А*, характеристической функции (26) является собственным значением оператора А с собственным вектором Д е О(Л), /а1/ О- то пара

и{1)= [ д = /,,

Ju

служит нетривиальным решением обратной задачи (25).

В некоторых случаях единственность может нарушаться из-за обращения функции ^(£) в тождественный пуль вблизи одного из краев отрезка [О,?1]. В связи с этим вводятся соотношения невырожденности на краях:

! Л > О, J |у?(£)| <Й > 0 для любого малого г > 0. (27)

В конце параграфа § 13 даны основные ссылки по задаче (25).

В следующем § 14 при помощи результатов об отображении точечного спектра (из § 12) установлен исчерпывающий критерий единственности в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу 1/(1). Переход к теореме об отображении спектра осуществляется через соотношение

выражающее значение «(£) при Ь = Т. В итоге получаем такое утверждение.

теорема 14.1. Пусть оператор А порождает Со-полугруппу 1/(1), Пусть скалярная функция непрерывна и суммируема на

(0, Т). Предположим дополнительно, что полугруппа 1/(1) имеет тривиальное ядро, или что выполнено второе ил соотношений (27) (па краю ( = Т). Тор.да. для то?.о чтобы обратная задача (25) имела на [0. Т] только тривиальное решение и(1) = 0, <7 = 0, необходимо и достаточно, чт,о-бы ни один нуль характеристической функции Ь(А) из формулы (26) не являлся собственным значением оператора А.

Данный критерий единственности использует лишь нули характеристической функций (26) и собственные значения оператора А. Кроме того, если полугруппа 1/(1) имеет нетривиальное ядро, то приходится предполагать невырожденность функции <р(1) на краю Ь = Т. Элементарный пример, приведенный в § 11. показывает, что дальнейшие ослабления и рамках полугруппового подхода уже невозможны, н вопрос единственности здесь закрыт.

Далее, в § 15. рассматривается общий случай линейного замкнутого оператора А, когда, приходится более тщательно учитывать поведение <р(1) на краях отрезка [0, Т]. Здесь требуется особая техника, связанная со свойствами целой функции (26). Снова, как в § 6, применяется «метод частных», с помощью которого установлен следующий результат. (Для упрощения формулировки приведем только один из двух случаев, рассмотренных в теореме 15.1.)

теорема 15.1. Пусть А — линейный замкнутый оператор в Е. Пусть ^еС([0,Т]). причем 0. Тогда справедлив критерий

единственности: для того чтобы обратная задача (25) имела на [0, Т\ только тривиальное решение и(£)=0, д = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль харатиеристической функции Ь(а) из формулы (20) не являлся собственны,л/ значением оператора А.

Более тонкие результаты требуют введения особого дефектного значения сI^ для функции (определение 15.1 в пункте 15.4). Похожую характеристику некогда использовал Ю. И. Любич в работе «О собственных и присоединенных функциях оператора дифференцирования» (Известия вузов. Математика. 1959. № 4. С. 94-103). Как выяснилось, идеи Любича тесно соприкасаются с пашей тематикой. В теореме 15.2 показано, что если (I; < эс, то критерий единственности в обратной задаче сохраняется. С помощью условия д^Коо можно ослаблять требования <^(0)^0 и 0, допуская, что имеет в точках ¿ = 0 и ¿ = Т нули конечного порядка (теорема 15.3). Однако, если в /, = 0 и £ = Т функция имеет нули бесконечного порядка, то сIу = оо. и здесь возникает интересный пример неединственности (пункт 15.6), показывающий, что основной критерий нарушается. Этот пример напоминает знаменитую конструкцию А. Н. Тихонова, установившую неединственность решения в задаче Копш для уравнения теплопроводности. В обратной задаче картина выглядит так.

Рассмотрим следующую модель для задачи (25) (в диссертации модель дана в более общей форме):

' Ои 02 и

Ж = + <К * ^ 1, о < I < т,

' и(о, <) = мо, г) = о, о < I ^ т, (28)

и{х, 0) = 0, и(X, Т) = 0, 0 ^ х ^ 1,

где и = и(х, <) функция в прямоугольнике (х, <) € [0,1] х [0, Т]. Функция Г]) выбрана так, что ф) > 0 па (0,Т), <¿<'">(0) = <р^{Т) = 0 при гп = 0, 1, 2. ... , и производные внутри интервала удовлетворяют

оценкам:

|</>(т)(г)| ^ Ст (т!)''. т = 0.1.2,..., 0 <КТ. (29)

с некоторыми константами С > 0, 1 <р <2. Существование подобных доказано в теории квазпаналитнческпх функций. Для пары

~2 „4 т2т+2

и(х, *) = - + + ...+ {2т + 2)! + . ■ ■ , д{х) = — 1, (30)

выполнены все соотношения (28). Сходимость ряда, для и{,г, 7) н возможность его почленного дифференцирования следуют из оценок (29).

Указанную пару (30) можно интерпретировать как нетривиальное решение соответствующей обратной задачи (25), взяв в качестве Е пространство С([0,1]). а в качестве А — оператор <Р/¿х2 па области

Б(А) = {/ е С2([0,1]) : /(0) = /'(0) = 0 }.

Очевидно, что А не имеет собственных значений, и сравнивать нули характеристической функции (20) попросту не с чем. Таким образом, в общем случае линейного замкнутого оператора А один лишь соотношения невырожденности (27) еще не гарантируют того, что единственность решения в задаче (25) может быть выражена через собственные значения оператора А и нули характеристической функции Ь{А).

Здесь проявляется тонкое различие между обратной задачей (25) и нелокальной задачей (14), изученной в § 6. Согласно теореме 6.2, для задачи (М) примеры с подобной идеей уже невозможны.

В отдельный § 16 вынесен случай положительной и монотонной на (0, Т) функции (/?(<). Для обратной задачи (25) установлены удобные достаточные признаки единственности, не требующие точного вычисления пулей характеристической функции (26). В основе вновь лежат теоремы Полна, уже использованные в § 7. Поскольку характеристическая функция (26) соответствует мере = <р(Т — <) (11, то возникает определенная двойственность с тем, что было для нелокальной задачи (11) с мерой (I//,(*) = т)^) Ш Приведем одни типичный результат (ср. с теоремой 7.3 выше).

ТЕОРЕМА 1С.'2. Пусть А — линейный замкнутый оператор в Е. Пусть íf(t) непрерывная, суммируемая, строго положительная функция на (О, Г), отличная от тождественной константы. Предположим также, что вьшолено любое из условий:

1) функция ) — неубывающая па (0,Т), оператор А не имеет, собственны! значений на множестве ReA>0. ImA^O;

2) функция ^р(t) — невозрастающая на (О,Т). оператор А не имеет собспшшных значений на множестве. ReA<0, ImA^O.

Тогда обратная задача (25) имеет на [0,Т] только тривиальное решение ■u(t) = 0. 0 = 0.

В конце § 1G обсуждается связь подобных утверждений с рядом работ по обратным задачам, где также применялись «соображения монотонности» (А. II. Прилепко, В. М. Исаков, В. В. Соловьев, А. Б. Костин, И. В. Тихонов и др.).

Таковы результаты по абстрактным дифференциальным уравнениям.

Всякую общую теорию полезно «спроецировать» па конкретный пример. В виде иллюстрации выбрана модельная нелокальная задача для многомерного уравнения теплопроводности; ей посвящена заключительная ГЛАВА 4 (§§ 17 20). Работа над задачей проходила совместно с А. Ю. Поповым. Соавтор выяснил поведение на бесконечности некоторых специальных функций, возникших по ходу исследования. Вклад А. 10. Попова четко отмечен в тексте главы 4.

Постановка задачи дана в § 17.

I Isen, х = (xi_____ ж„) 6 К" с размерностью п ^ 1. = \/x'¡ + ... +

Обозначим через Д обычный оператор Лапласа:

А = — —

~ дх\ "' dxl'

При фиксированном Т > 0 ставится задача о нахождении функции

и = u{x,t), и б С21(К" X (0,Т]) ПС(К" х [О, Г]),

из соотношений

Он

— = Аи, х € М", О < I < т,

сН

(31)

Jo

(32)

с заданной функцией /0бС(Кп). Нелокальное условие (32) называется условием среднего по времени. При изучении вопроса единственности естественно считать, что /о(:г) = 0. п рассматривать однородное условие:

Множитель 1 /Т перед интегралом здесь, конечно, можно сократить. Ясно, что однородная нелокальная задача (31), (33) всегда имеет тривиальное решение и(х, <) = 0. Если не вводить никаких ограничений, то существование других, нетривиальных решений будет неизбежным.

Например, пусть ги^х) есть собственная функция оператора Лаплас.» в К" с комплексным собственным значением Ад. = 2кт/Т при некотором целом т^О (Д«>д. = Ад-г/'д-, гед. ^0). Тогда формула

и(х,1) = иф)е^' = иф)е12ыт'. х € М", 0 4 ^ < Г. (34)

дает нетривиальное решение однородной нелокальной задачи (31), (33). Эти решения считаются элементарными.

Так. для любого Ад. = 2ктгг/Т с целым и качестве (гд.(т) можно

взять функцию

(33)

зависящую от одной координаты х\. По формуле (34) получим

и(х, <) = ехр

Разделяя вещественную и мнимую части, находим вещественные решения: щ(х, t) = exp cos , (35)

и2{х, t) = схр \ — a,'! sin \ — Xx+^—t] . (ЗС)

Непосредственно проверяется, что функции (35) и (36) при любом целом А1 удовлетворяют соотношениям (31). (33). Каждое из таких решений мажорируется в М" х [О, Т} показательной функцией е<т'х' со своим показателем а £ М и прсдставпмо формулой Пуассона:

"(я. *)1о<кг = J^yfy J щ{у) dy, и(х, 0) = и0(х).

(37)

Наименьший показатель а = \fnjT требуется при к = 1. Оказывается, это значение будет предельным: в однородной нелокальной задаче (31), (33) нельзя найти решения и(х, Ь) ф. 0, мажорируемые экспонентами с меньшими показателями.

В теореме 17.1 намечена ключевая идея доказательства в духе общей теории из § 0, но для аккуратной реализации абстрактной схемы требуются специальные сведения об операторе Лапласа.

Сведения о Д собраны в следующем § 18. Оператор Лапласа рассматривается в пространстве С(М") па области определения С2(К"). Показано, что такой Д замыкаем при любом п ^ 1, но не замкнут при п > 2. Вводится замкнутое расширение — расширенный оператор Лапласа Д* (оператор Лапласа-Привалова); его конструкция и ключевые свойства даны в книге И. И. Привалова «Субгармонические функции». С оператором Д* связываем область определения

е>(М") = {ш € С(1Г) : а А*и> € С(И")}. (38)

Справедливы включения С2(М") С С?(К") С С1 (К")- ПР" П = 1 нмсом A* = d2/dx- и £)(К") = С"'(К"). При п ^ 2 картина сложнее; все подробности приведены в пункте 18.4.

В заключительной части § 18 обсуждается асимптотическое поведение комплексных собственных функций оператора Лапласа. Установлено (А. Ю. Попов), что таким собственным функциям присущ определенный экспоненциальный рост при |:r| —> оо.

После проделанной подготовительной работы можно вернуться к нелокальной задаче (31), (32).

В § 19 изучается вопрос единственности решения. Рассматривается однородная задача (31), (33). Основной результат состоит в следующем.

теорема 19.1. Пусть u(x,t) — решения задачи (31), (33), причем

|u(z,*)| ^ ме"1*1, х е иг, (39)

с константами М> 0, а € R. Если а < у/к/Т, mo и(х, t) = 0 в К" х [0. Т]. Значение, \fnff является точный в том смысле, что однородная нелокальная задача (31), (33) имеет нетривиальные, решения среди функций u(x,t), удовлетворяющих оценке (39) с а= у/тг/Т.

Иными словами, при <т < у/п/Тэкспоненциальный класс (39) будет классом. единственности для нелокальной задачи (31), (32), а при а ^ уъ/Т — классом, неединственности. Можно ввести более тонкую классификацию, учитывающую связь с размерностью п. В теореме 19.2 утверждается, что равномерная по i 6 [0,Т] оценка

тах|и(:г,г)| = о exp > гоо, (40)

гарантирует тривиальность решения однородной задачи (31). (33). Э то условие единственности абсолютно нсулучтпасмо: в п. 19.4 показано, что равномерная по 16 [0, Т] оценка

max|ti(.r,i)| = О ^г-(""1)/2ехр ty • r - оо, (41)

допускает существование нетривиальных решений в однородной нелокальной задаче (31). (33).

Итак, если использовать более тонкую экспоненциально-степенную шкалу. то для изучаемой нелокальной задачи класс: (40) окажется классом единственности, а класс (41) классом неединственности. Значение п в формулах (10), (11) совпадает с размерностью пространства К".

Доказательства перечисленных результатов основаны па соображениях абстрактной теории, изложенных в § 17, и на информации об асимптотическом поведении при |о.'| —► эо комплексных собственных функций оператора Лапласа.

Заключительный § 20 посвящен разрешимости. Рассматривается неоднородная нелокальная задача (31), (32) с заданной в К" функцией /0(х). Поскольку исследование проходит в экспоненциальных классах типа (39), то применима формула Пуассона (37), и достаточно найти начальное состояние щ(х) = и(х, 0) решения и(х,(). Посредством формального преобразования Фурье выведена разрешающая формула:

мо(аг) = [ 9т(х - у)Ш)(1у - ГД/о(х), х 6 М". (42) Формула содержит специальную функцию Грина

Оценку ут(х) на бесконечности получил А. Ю. Попов. Он показал, что |.(;г(2-)| ^ А охр - X 6 К", (44)

с константой А) — Оо(Т,н), зависящей лишь от Т и п.

На основе оценки (44) дано обоснование разрешающей формулы (42) и доказана разрешимость нелокальной задачи (31). (32) и экспоненциальных классах (39) с соответствующими иок.изателямп а.

Пусть Обозначим через £„(!£" х [0, Т]) класс функций и(х, £),

заданных па К" х [0,Т]. для которых справедлива оценка (39) с какой-то константой М > 0, зависящей от функции и. Аналогичный класс функций, заданных па. К", обозначим через £<,(№").

Удобный и простой вариант теоремы разрешимости выглядит так.

Творима 20.1. Пусть /0eC2(R")n5ff(R") и Af0e£a{R") при фиксированном a GR, таком,, что \а\ < \Jk/T. Тогда нелокальная задача, (31), (32) имеет решение u(x,t). принадлежащее ¿'„(R" х [0, Т]) с тем же значением <т. Это решение выраэюается формулами (37), (42). Других решений в классе ¿„.(IR" х [0, Т]) нет.

Теорема 20.1 не учитывает некоторых особенностей, возникающих при а ^ — \/тт/Т. Кроме того, для применения формулы (42) в полном объеме надо заменить в ней обычный оператор Лапласа Д расширенным оператором Лапласа Д* с областью определения C?(R") из формулы (38). Подлинная разрешающая формула выглядит так:

Щ(х) = [ дт(х - y)fo(y) dy - TA*f0(x), х G К". (45) J R"

Наиболее общий результат по разрешимости представлен в теореме 20.3. Там учтены практически все возможности. Для краткости обозначаем

Теорема 20.3. Пусть а — фиксированное число, причем — ОС < СГ < <7() = У/*!Т.

Справедливы следующие утверждения.

1) При любой функции /oGC(R") н&юкальная задача (31), (32) может иметь не более одного решения в классе х [0, Г]).

2) Для, того чтобы ■нелокальная, задача. (31). (32) была разрешимой в £„(№" х [0,Г]) необходимо, чтобы /0 G 0{Ш") П ¿"„(R"), и чтобы

A*f{)e£a(R").

3) Обратно, пусть /о G 0(R") flí^(R") и A*ftíeE/r( R"). т.е.

|/„(.т)| í? Ме.^К \A'Mx)\^Me°W, х G R", (46)

с некоторой константой М >0. Тогда задача (31), (32) имеет решение u(x,t). которое находится по формулам (37). (45). причем ф>унк-ция дт{х) в (45) определяется (формулой (43). Дальнейшее описание

31

данного решения и(х, t) зависит от того, в какой промежуток попадает исходное значение а.

4) При —сго<а<ой решение u(x,t) принадле.эюит £„(№" х [О,Т\) и удовлетворяет оценке, устойчивости

|«(аг,<)| ^ MNe"M, х € М", О sj t ^ Т, (47)

где А/ такая, же, как в (4G). а константа N > О зависит т,олько от п. Т, а, но не зависит, от М и fo(x).

5) При а<—ай решение u(x,t) принадлежит 5_„и(Ж" х [О,Т]) и удовлетворяет оценке устойчивости

|'ф-, t)| ^ MNe-"M, х е К", О < t ^ Т, (48)

где М такая же, как в (46). а константа N > О зависит только от п, Т, о.

6) Наконец, при о = — <7ц можно утверждать, что

ие П £■„,(»" X [0,Г]), (49)

О|>-170

причем для любого 0\ > справедлива оценка

|и(х, /)| < MNe"M, х 6 М", О íC t ^ Г, (50)

где М такая же, как в (46), а константа N> 0 зависит только от п, Т, Сть

Оценки (47), (48). (50) гарантируют «малость» решения u(x,t.) при соответствующей «малости» величин |/и(:;:)| и |А*/(1(а;)|, что и означает устойчивость решения. Утверждения 5) и 6) теоремы '20.3 точны в экспоненциальных классах £■„. точность подтверждается явными примерами. Формулу (49) можно детализировать, если использоват ь экспопенциально-степенные мажоранты вида е~""\х\, где п зависит от размерности п. Но такая проработка нюансов выходит за рамки нашего исследования.

Подводя итог, можно сказать, что для нелокальной задачи (31), (32) получено полное описание классов единственности и разрешимости в терминах экспоненциального поведения решений при \х\ —> сю. Как часто бывает, при работе с конкретной моделью обнаружилось много обстоятельств, неразличимых в контексте абстрактной теории.

Автор благодарен В. А. Ильину, А. И. Прилепко, А. М. Седлецкому за обсуждение н поддержку результатов работы: А. Ю. Попову и Ю. С. Эй-дельману за плодотворные научные контакты; Д. С. Ткаченко за помощь при оформлении.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве / Диффереиц. уравнения. - 1998. - Т. 34. № 6. - С. 841-843.

2. Тихонов И. В. Теоремы единственности и линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Известия РАН, сер. матем. - 2003. - Т. С7, У'- 2. - С. 133-166.

3. Тихонов И. В. Абстрактные дифференциальные пуль-уравпепия / Фуикц. анализ и его прилож. - 2004. - Т. 38, вып. 2. - С. 65-70.

4. Тихонов И. В. Обобщенная задача Уорда для абстрактных дифференциальных уравнений у/ Диффереиц. уравнения. - 2005. - Т. 41, V 3. -С. 325-336.

5. Тихонов И. В. Соображения монотонности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения / Интегральные преобразования и специальные функции. Ппформ. бюллетень. - 2001. - Т. 2. № 1. -С. 119-128.

6. Тихонов И. В. Структурные свойства нуль-решений абстрактной задачи Кошп / Интегральные преобразования и специальные функции. Пн-форм. бюллетень. 2002. Т. 3, № 1. - С. 22-38.

7. Тихонов II. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условном для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюллетень. - 2001. - Т. 4. № 1. - С. 49-09.

8. Тихонов II. В.. Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг-Леффлера / Дпфференц. уравнения. - 2002. -Т. 38, 5. - С. G37-044.

9. Тихонов И. В.. Эйдельман Ю. С. Теоремы об отображении точечного спектра для Си-полугрупп п их применение в вопросах единственности для абстрактных дифференциальных уравнений / Доклады РАН. - 2004. -Т. 394, № 1. - С. 32-35.

10. Тихонов И. В.. Эйдельман Ю. С. Критерий единственности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с нестационарным неоднородным слагаемым /'/ Матем. заметки. - 2005. - Т. 77, вып. 2. - С. 273-290.

11. Попов А. Ю., Тихонов И. В. Экспоненциальные классы единственности в задачах теплопроводности , / Доклады РАН. - 2003. - Т. 389, № 4.

- С. 405-1()7.

12. Попов А. Ю., Тихонов И. В. Классы единственности в нелокальной по времени задаче дли уравнения теплопроводности и комплексные собственные функции оператора Лапласа / Дифферепц. уравнения. - 2004.

- Т. 40, № 3. - С. 39G-405.

13. Попов А. К)., Тихонов И. В. Разрешимость задачи теплопроводности с нелокальным условием среднего но времени /, Доклады РАН. - 2004. -Т. 398. № 0. - С. 738-742.

14. Попов А. К).. Тихонов И. В. Экспоненциальные классы разрешимости в задаче теплопроводности с нелокальным условием среднего по времени Матем. сборник. - 2005. - Т. 196, № 9. - С. 71-102.

15. Eidelmaii Y. S.: Tikhoimv I. V. On periodic solutions of abstract differential equations // Abstract and Applied Analysis. - 2001. - V. 6, No 8. -P. 489-499.

Подписано в печать 10.09.2008 г. Тираж 100 экз. Заказ № 1975А А Отпечатано в типографии «АллА Принт» Тел.: (495) 621-86-07 Факс: (495) 621-70-09 www.allaprint.ru

2007518011

Введение.

Терминология, обозначения, соглашения.

ГЛАВА 1. Задачи для уравнений произвольного порядка

§1. Периодическая задача.

§ 2. Абстрактные дифференциальные нуль-уравнения.

§ 3. Структурные свойства нуль-решений.

§ 4. Модельная обратная задача.

§ 5. Обобщенная задача Уорда.

ГЛАВА 2. Нелокальная задача для уравнения первого порядка

§ 6. Критерий единственности решения.

§ 7. Достаточные признаки единственности.

§ 8. Более общее уравнение.

§ 9. Более общее нелокальное условие.

§ 10. Разрешимость задачи с монотонной весовой функцией

§11. Нелокальная задача с периодической весовой функцией

§ 12. Теоремы об отображении точечного спектра.

ГЛАВА 3. Обратная задача для уравнения первого порядка

§ 13. Основные положения.

§ 14. Полугрупповой случай.

§ 15. Общий случай.

§ 16. Соображения монотонности.

ГЛАВА 4. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности

§17. Предварительные рассмотрения.

§ 18. Специальные свойства оператора Лапласа.

§ 19. Теоремы единственности.

§ 20. Теоремы разрешимости.

Настоящая работа представляет в систематической форме исследования автора за последние десять лет. Рассмотрен цикл краевых, нелокальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений. В виде иллюстрации подробно разобран пример с модельной нелокальной задачей для уравнения теплопроводности. Несмотря на разнообразие материала, в работе присутствует объединительная идея, связанная с понятием единственности решения.

Известно, что вопрос единственности — один из центральных в математической физике. Всякое содержательное дифференциальное уравнение имеет бесконечно много различных решений. Для того чтобы выделять нужные решения, к уравнению присоединяют дополнительные условия (начальные, краевые, нелокальные и т. п.). Совокупность уравнения и дополнительных условий образует задачу. Задача считается детерминированной, если при любом выборе данных в дополнительных условиях она имеет не более одного решения. В противном случае (когда при некоторых данных есть несколько различных решений) задача считается недетерминированной. Неверно полагать, что детерминированные задачи "лучше", а недетерминированные "хуже" — и то, и то может быть по-своему интересно. Однако, желательно точно знать, когда какой случай реализуется.

Некоторое время назад внимание автора привлекла группа задач, где вопрос единственности решения допускал полное исследование, причем в самых общих предположениях. Задачи относились к уравнениям с выделенной переменной t, означающей условное "время"; такие уравнения часто называют эволюционными. Дополнительные условия ставятся по выделенной переменной. Ситуация с единственностью выражается через простые спектральные характеристики — собственные значения операторов, нули характеристических функций и т. д. Изложение полученных результатов составляет ядро данной работы. Несколько раз затрагивается тема разрешимости, но только там, где не приходится слишком отходить от генеральной линии.

Теорию удобно было развивать на языке абстрактных дифференциальных уравнений (в банаховом пространстве). Это позволило более четко выделить главные идеи доказательств и, кроме того, охватить много приложений. Разумеется, при обращении к конкретным уравнениям математической физики появятся нюансы, требующие особой проработки. То, что здесь может получиться, показано на примере многомерного уравнения теплопроводности.

Важную роль в работе играют средства комплексного анализа, связанные с целыми функциями (одной переменной). Ценность такого аппарата для математической физики известна. Например, в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов привычными инструментами служат теоремы Фрагмена-Линделёфа, индикаторные диаграммы, преобразование Бореля и т. д. В абстрактных дифференциальных уравнениях целые функции встречаются реже, от случая к случаю, эпизодически. Тем самым, упускаются большие возможности. Их использование позволило автору доказать серию законченных теорем единственности практически без ограничений на операторы в абстрактных дифференциальных уравнениях. Материал оказался 3 свежим", как с точки зрения рассмотренных задач, так и с точки зрения задействованных методов.

Работая над задачами, автор обнаруживал (иногда post factum) неожиданные соприкосновения с различными результатами по абстрактным дифференциальным уравнениям (Э. Хилле, Ю. И. Любич), по уравнениям в частных производных (И. И. Привалов, А. Н. Тихонов), по теории целых функций (А. Виман, Т. Карлеман, Г. Полиа, Б. Я. Левин, Ю. И. Любич, А. Ф. Леонтьев, А. М. Седлецкий), по нулям функций типа Миттаг-Леффлера (А. М. Седлецкий, А. Ю. Попов). Существенное влияние оказали некоторые идеи Ю. С. Эйдельмана. Все эти обстоятельства помогали в развитии теории. Из-за разнообразия материала сейчас нецелесообразно делать подробные сопоставления — в отрыве от постановок задач и полученных результатов чтение такого раздела будет затруднено. Однако, в основном тексте работы в конце каждого параграфа есть пункт "Дополнительные ссылки и комментарии" со всей необходимой библиографической информацией.

Для ознакомления с другими подходами к обратным, нелокальным и прочим "неклассическим" задачам математической физики можно рекомендовать книги А. А. Дезина [38], [39], А. М. Денисова [41], А. И. Егорова [48], И. Е. Егорова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова [49], В'. К. Иванова, И. В. Мельниковой, А. И. Филинкова [56], Г. А. Каменского, А. Л. Скубачевского [70], М. М. Лаврентьева, М. Я. Савельева [87], Г. И. Марчука [101], А. М. На-хушева [112], Ю. С. Осипова, Ф. П. Васильева, М. М. Потапова [113], Б. И. Пташника [147], В. Г. Романова [151], А. А. Самарского, П. Н. Ваби-щевича [155], В. М. Исакова [241], [243], А. И. Прилепко, Д. Г. Орловского, И. А. Васина [259], О. Вейводы [267]. Некоторые из упомянутых трудов (например, [56], [112], [147], [259], [267]) содержат обширные своды литературы.

Наше исследование не связано напрямую с теорией некорректных задач, по вопросам которой ограничимся общими ссылками на классическую монографию А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [179] и на сравнительно недавние книги Ю. П. Петрова, В. С. Сизикова [118], В. Ю. Теребижа [175], А. Н. Тихонова, А. С. Леонова, А. Г. Яголы [180]. В перечисленных руководствах можно найти много соображений, связанных с понятиями "задачи", "корректности", "некорректности", а также обсуждение практических примеров.

Поясним теперь структуру работы. После Введения дан небольшой раздел "Терминология, обозначения, соглашения", где оговорены некоторые стандарты. Затем идет основной текст, разбитый на четыре главы. Главы делятся на параграфы, параграфы — на пункты. Нумерация параграфов — сквозная. Нумерация пунктов и прочих единиц (утверждений, замечаний, определений, примеров, формул) ведется по параграфам1. Найти нужное место не представляет труда. Вообще, параграф — основная структурная часть текста. Каждый параграф посвящен своей теме: вначале уточняется постановка задачи, напоминаются необходимые сведения; далее следуют формулировки результатов и их полные доказательства; в конце приводятся ссылки и комментарии. Перекрестные обращения из параграфа в параграф сведены к минимуму. Это немного удлиняет текст, но облегчает чтение.

Например, в § 6 есть пункт 6.4, теорема 6.2, определение 6.1, формула (6.8) и т. д. 4

Завершает всё список литературы, где сперва в алфавитном порядке идут работы на кириллице, а потом — на латинице. При ссылках на литературу в тексте помимо номеров работ по списку часто указаны фамилии авторов (для краткости без инициалов). Так проще ориентироваться в ситуации.

Кратко обрисуем содержание, выделяя только главные моменты.

Все обсуждаемые задачи являются линейными.

В первых трех главах изучаются задачи для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Е. Считаем, что в Е задан линейный замкнутый оператор А с областью определения Е)(А) С Е. Других условий на А изначально не налагается. Требование "банаховости" тоже не является слишком обязательным — многие результаты без труда переносятся на уравнения в секвенциально полных локально выпуклых пространствах.

В главе 1 (§§ 1-5) рассматриваются уравнения произвольного порядка пЕМ. Вводный § 1 посвящен периодической задаче: пи(г) ¿Ьп Ли(<), и(* + Т) = «(*),

-оо < ^ < оо,

0.1) где Т > 0 — фиксированное число. Сразу выясняется (теорема 1.1), что задача (0.1) имеет лишь тривиальное решение и{{) = 0 тогда и только тогда, когда среди собственных значений оператора А нет чисел А* вида

А*- = т -1.

В случае, когда такие собственные значения есть, подробно изучены разные типы решений (см. теоремы 1.2-1.6). Еще приведены обобщения (теоремы 1.7 и 1.8). Методы основаны на векторных рядах Фурье и вполне элементарны. Но четко выявляется главная идея — работать с дифференциальным уравнением йпи(г) (Ип

Аи(г)

0.2) в максимальной общности.

В следующем § 2 затрагивается неожиданный вопрос: всегда ли уравнение (0.2) обладает хоть какими-то нетривиальными решениями? Если на любом промежутке 0 ^ I ^ Т имеется лишь тривиальное решение и{Ь) = 0, то уравнение (0.2) называется нуль-уравнением. В теореме 2.1 показано, что (0.2) будет нуль-уравнением, если резольвента оператора А есть целая функция нулевого типа при порядке 1 /п. Последнее заведомо выполняется, когда А~] — ограниченный оператор из подходящего вольтерровского класса (теоремы 2.2 и 2.3). Разобран пример для уравнения в частных производных (см. задачу (2.7) и теорему 2.4). Пример связан с результатами А. Н. Тихонова и Е. М. Ландиса для параболических уравнений.

Далее, в § 3, изучаются нуль-решения, т. е. нетривиальные решения уравнения (0.2), удовлетворяющие однородным условиям Коши: и(0) =и'(0) = и<*-1>

0) = 0. 5

Такие решения возникают при определенном выборе оператора А. Оказывается, надо различать два случая: 1) собственные значения А заполняют всю комплексную плоскость; 2) собственные значения А не заполняют комплексной плоскости. В первом случае поведение отдельных нуль-решений может быть весьма замысловатым: становясь ненулевыми, они затем вновь обращаются в нуль, потом опять отличны от нуля и так далее ad infinitum. Второй случай является основным: нуль-решения (если они есть) подчиняются строгим правилам. Например, став ненулевым, нуль-решение u(t) больше уже в нуль не обращается; также отличными от нуля будут производные u'(t), . . , ti(n1)(i). Анализу подобных отношений и посвящен § 3. Основные результаты представлены в теоремах 3.1-3.4. Имеются примеры и комментарии (см. пп. 3.5-3.7).

Итак, в §§ 2, 3 речь идет о самых общих вопросах теории абстрактных дифференциальных уравнений. Заметного прогресса в этой области не было давно — со времен известных работ Э. Хилле и Ю. И. Любича (1950-60-е гг.).

Следующие §§ 4, 5 относятся к более специальной тематике. В § 4 рассмотрена модельная обратная задача: dnu(i) Au(t) + д1 0 < t < Т, ' u(0) = u'(0)= . = и(п1)(0) = О, . «(Г) = О, с неизвестной функцией и : [О, Т] —> Е и неизвестным элементом д € Е. Ранее подобные задачи изучались только для уравнений первого и второго порядков (n = 1 и п — 2) при тех или иных ограничениях на оператор А. Оказалось, что ограничения нужны не всегда. В теореме 4.1 для задачи (0.3) установлен общий критерий единственности решения, использующий лишь собственные значения оператора А и нули целой функции:

1 Л А2 °° Am где п совпадает с порядком уравнения. Функция (0.4) объявляется характеристической для задачи (0.3). Она принадлежит важному классу целых функций типа Миттаг-Леффлера. Между прочим, наше исследование задачи (0.3) привело к определенному прогрессу в теории таких целых функций, инициировав работу Попова [123] с полным описанием нулей функции (0.4) в трудном случае п^З. Впоследствии А. Ю. Попов существенно развил свои результаты (см. [124], [258]). Некоторые вопросы, связанные с нулями функций типа Миттаг-Леффлера, обсуждаются в §§ 4, 5 (см. пп. 4.6 и 5.8).

Добавим еще, что задача (0.3) послужила отправным пунктом для прочих сюжетов, затронутых в главе 1. Многие идеи зародились именно здесь. Например, начальный импульс к изучении нуль-решений (см. § 3) придал такой вопрос: следует ли из соотношений (0.3) с д = 0 то, что u(t) = 0 на [0, Т] ?

0.3) 6

В § 5 близкими методами исследуется краевая задача: йпи{і)

Ип 0) = 0, к м<'>(Т) = О

Аи(і),

О < і < Г,

0.5) называемая обобщенной задачей Уорда. Здесь п ^ 3, р, <? е { О, 1, ., п — 1} — фиксированные числа (параметры задачи). В зависимости от п, р, д вводится характеристическая функция, которая тоже относится к функциям типа Миттаг-Леффлера. Затем устанавливается критерий единственности (см. теоремы 5.1 и 5.2). Идею, перенести результаты с обратной задачи (0.3) на краевую задачу (0.5), автор получил от В. А. Ильина, заметившего, что сочетание краевых условий в задаче (0.3) напоминает известную задачу Уорда [268] из спектральной теории.

Важную роль в §§ 4, 5 играет одно утверждение из теории целых функций, восходящее, видимо, к Карлеману [121; отд. IV, № 199]. Это утверждение, должным образом развитое (см. лемму 5.6), может быть полезным при изучении других краевых задач, где встречаются целые функции порядка р< 1/2. Подобное положение типично для уравнений порядка п ^ 3. Но сейчас оставим тему уравнений высокого порядка.

Следующая глава 2 (§§ 6-12) посвящена нелокальной "по времени" задаче для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка. Традиционное условие Коши и(0) = ио заменяется нелокальным условием вида г 0 и (і) ¿¡х(і) = иі

0.6) с заданным элементом Е. В отличие от задачи Коши для нелокальной задачи на конечном отрезке [0, Т] удается построить законченную теорию единственности.

Главный результат содержится в § 6. Рассматривается однородная задача: сЦг) ¿г Аи(і), 0.

0.7)

Здесь Т > 0 — конечное число; скалярная функция //(£) имеет ограниченную вариацию на [0, Т], причем £ = 0 и £ = Т являются точками вариации меры Вводится характеристическая функция: т

Ц\) = [ , J о

Аг лес.

0.8)

Справедлив критерий единственности: для того чтобы однородная нелокальная задача (0.7) имела на [0,Т] только тривиальное решение = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль характеристической функции Ь(Х) из формулы (0.8) не являлся собственным значением оператора А. 7

Возможно, это самый значимый результат работы. Отсутствие ограничений на оператор А (кроме линейности и замкнутости) сильно расширяет круг приложений. В § 6 дано доказательство критерия единственности (под названием теоремы 6.2) и указаны уточнения для некоторых специальных случаев (см. теоремы 6.3-6.6).

В § 7 из основного критерия извлекается ряд удобных достаточных признаков единственности, где уже не требуется точно вычислять нули характеристической функции (0.8). Особо интересна группа теорем 7.3-7.5, связанная с результатами Полиа [254] о распределении нулей функции (0.8) в случае абсолютно непрерывной меры ¿¡ліі.) = г}{Ь) (М со знакопостоянной и монотонной на (0, Т) функцией ??(£).

Два следующих параграфа посвящены обобщениям. В § 8 критерий единственности переносится на более общее уравнение с произвольными линейными замкнутыми операторами А, В, а в § 9 — на более общее нелокальное условие с заданным элементом «2 £ Е. Везде получены законченные результаты (теоремы 8.1 и 9.1). Попутно в § 9 показано, что задача с нелокальным условием (0.9) сводится к задаче с более простым условием (0.6) при должном соответствии между элементами и^ и и\ (см. леммы 9.2 и 9.4). Прием с подходящим преобразованием интегралов Стильтьеса подсказал автору А. М. Седлецкий.

Еще раз подчеркнем, что исследование единственности в нелокальных задачах выполнено в самых общих предположениях; основные требования к операторам в дифференциальных уравнениях сведены к минимуму — только линейность и замкнутость.

При изучении разрешимости нужны более жесткие ограничения. Один из возможных подходов представлен в §§ 10, 11, где бесконечном промежутке 0 ^ Ь < оо рассматривается нелокальная задача: с заданным элементом щ^Е. Оператор А порождает полугруппу 11(1) класса (Со), причем ||С/(£)|| при с константами М ^ 1 и ¿>0, т. е. полугруппа [/(¿) считается экспоненциально убывающей.

В § 10 разбирается случай, когда весовая скалярная функция г){1) ф 0 — неотрицательная и невозрастающая. Такое сочетание условий обеспечивает корректность задачи (0.10) на элементах и\ £ А) (см. теорему 10.1).

В § 11 весовая функция предполагается Т-периодической и локально суммируемой. Здесь удается построить полную теорию корректности, включающую критерий единственности (теорема 11.1) и целый цикл теорем разрешимости (теоремы 11.4-11.7). Условия разрешимости носят спектральный

0.9)

0.10) характер: нули соответствующей характеристической функции не должны попадать на спектр оператора А. Ключевую роль в рассуждениях играют результаты Э. Хилле и Р. Филлипса (см. [202; гл. XVI]) об отображении спектра для интегралов от полугрупп. Разработанная методика допускает перенос на ряд других случаев в задаче (0.10) с абсолютно непрерывной мерой г](і) гМ.

Связь нелокальной задачи с теоремами об отображении спектра, конечно, не является случайной. В § 12 совершен обратный переход: из результатов § б по единственности решения в нелокальной задаче (0.7) выведены новые теоремы 12.1-12.3 об отображении точечного спектра для оператора В, заданного формулой т в/= [ ишам), /єя.

Jo

Тем самым, получено важное продвижение в теории Э. Хилле и Р. Филлипса для случая конечного отрезка [0, Г]. Возможности для приложений открываются сразу же — в главе 3.

В этой главе 3 изучается обратная задача:

Аи(і) + <р(і)д, 0 <І<Т, и(Т) = о,

• Е и неизвестным элементом д Є Е. ЗадансИ и( 0) = 0, с неизвестной функцией и : [0, Т] ная скалярная функция <уг>(2) считается непрерывной и суммируемой на (0, Т), причем </?(£) ф. 0 на (0, Т). В таком скалярном случае2 для задачи (0.11) вводится характеристическая функция гТ

ЦХ) =

А< р(Т-і)<ІЇ, Л є с,

0.12) соотношение между нулями которой и собственными значениями оператора А определяет ситуацию с единственностью решения.

В середине 1990-х гг. про единственность решения в задаче (0.11) было известно не много. Имелись отдельные результаты в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу; также применялась техника Фурье. Но общая картина не складывалась. Тогда Ю. С. Эйдельман указал в частном сообщении автору на связь между вопросом единственности решения в задаче (0.11) и некоторыми проблемами "полноты" для системы экспонент {еЛй<}, построенной по нулям {А*;} характеристической функции (0.12). Похожие соображения когда-то применял Эйнар Хилле при доказательстве теоремы о точечном спектре полугруппы, порожденной оператором А (см. [201; с. 384]). Развивая идею Эйдельмана, автор смог выявить практически все возможности, возникающие в задаче (0.11) с единственностью и неединственностью решения, причем удалось исследовать как привычный полугрупповой случай, так и общий случай линейного замкнутого оператора А. Последнее оказалось весьма неожиданным.

2Известен еще операторный случай, когда неоднородное слагаемое в уравнении имеет вид Ф(¿)<7 с операторной функцией Этот случай сложнее, здесь используются другие методы (см., например, [140] или [259]). 9

Глава 3 (§§ 13-16) дает полное изложение построенной теории.

В § 13 приведена точная постановка обратной задачи (0.11), выяснена связь с характеристической функцией (0.12), разобраны типичные примеры неединственности. В конце параграфа указаны основные ссылки по задаче (0.11).

В § 14 при помощи теорем об отображении точечного спектра (см. § 12) установлен исчерпывающий результат в предположении, что оператор А порождает Со-полугруппу. Полученный критерий единственности (теорема 14.1) использует только нули характеристической функций (0.12) и собственные значения оператора А. Приходится учитывать также поведение функции ср^) в точке 1 = Т. Ж все.

Затем, в § 15, рассматривается общий случай линейного замкнутого оператора А. Здесь требуется особая техника, связанная со свойствами целой функции (0.12). Примененный прием известен в комплексном анализе, как "метод частных". Важную роль в рассуждениях играет поведение функции в точках ¿ = 0 и ¿ = Т. Пусть, например, р £ С([0,Т]), причем <р(0)^0 и ц>(Т)ф 0. Тогда справедлив критерий единственности (см. теорему 15.1): для того чтобы однородная обратная задача (0.11) имела на [0, Т] только тривиальное решение и{€) = 0, д = 0, необходимо и достаточно, чтобы ни один нуль Ад; характеристической функции Ь(Х) из формулы (0.12) не являлся собственным значением оператора А.

Более универсальный результат такого рода требует введения особого дефектного значения для функции (см. определение 15.1 в п. 15.4). Похожую характеристику некогда использовал Ю. И. Любич в работе [94] о собственных и присоединенных функциях оператора дифференцирования ¿/(И с "размазанным" по отрезку нелокальным условием. Как выяснилось, идеи Любича тесно соприкасаются с нашей тематикой. В теореме 15.2 показано, что если ¿у < оо, то критерий единственности в обратной задаче сохраняется. С помощью условия < оо можно ослаблять требования <¿>(0) / 0 и <р(Т) ф 0, допуская, что (/>(■£) имеет в точках ¿ = 0 и 1 — Т нули конечного порядка (теорема 15.3). Однако, если в ^ = 0 и ¿ = Т функция имеет нули бесконечного порядка, то ду = оо, и здесь возникает интересный пример неединственности (см. п. 15.6), показывающий, что основной критерий нарушается.

В отдельный § 16 вынесен случай положительной и монотонной на (0, Т) функции </?(■£). Для обратной задачи (0.11) установлены удобные достаточные признаки единственности, не требующие точного вычисления нулей характеристической функции (0.12) (см. теоремы 16.2 и 16.3). Аналогичный подход использовался в § 7 для нелокальной задачи (0.7). В конце § 16 обсуждается связь подобных результатов с рядом работ по обратным задачам, где также применялись "соображения монотонности" (А. И. Прилепко, В. М. Исаков, В. В. Соловьев, А. Б. Костин, И. В. Тихонов и др.).

Таковы результаты по абстрактным дифференциальным уравнениям.

Всякую общую теорию полезно "спроецировать" на конкретный пример. В виде иллюстрации выбрана модельная нелокальная задача для многомерного уравнения теплопроводности; ей посвящена заключительная глава 4 (§§ 17-20). Работа над задачей проходила совместно с А. Ю. Поповым. Соавтор выяснил поведение на бесконечности некоторых функций, возникших по

10 ходу исследования. Вклад А. Ю. Попова четко отмечен в тексте главы 4.

Пусть х — (#1,., хп) Е К™ с размерностью п ^ 1 и |ж| = у/х\ + . + х\. Через Д обозначим обычный оператор Лапласа:

А=— — дх\ ' дх\'

При фиксированном Т>0 ставится задача о нахождении функции и = и(х. из соотношений ди = Ди, х € К", 0 < г < Т,

0.13) с заданной функцией /о £ С(КП). Предполагаем, что и € С2,1(КП х (0,Т]) П С(КП х [0,Т]).

Точная постановка задачи дана в § 17. Сразу показано, что в задаче (0.13) нет, вообще говоря, единственности решения, причем неединственность связана с возможным наличием у оператора Лапласа в Кп собственных значений А & вида к€Х\{ 0}, г2 = —1.

В теореме 17.1 выявлены соображения, следующие из абстрактной теории, но для их применения требуются специальные сведения об операторе Лапласа.

Сведения о Д собраны в следующем § 18. Оператор Лапласа берется в пространстве С(КП) на области определения С2(КП). Показано, что тогда Д замыкаем при любом п ^ 1, но не замкнут при п ^ 2. Рассмотрено замкнутое расширение — расширенный оператор Лапласа Д* (оператор Лапласа-Привалова), свойства которого подробно обсуждаются в п. 18.4. Далее выясняется асимптотическое поведение комплексных собственных функций оператора Лапласа. Установлено (А. Ю. Попов), что таким собственным функциям присущ определенный экспоненциальный рост при |ж| —> оо.

Теперь можно вернуться к нелокальной задаче (0.13). В § 19 изучается вопрос единственности решения. При фиксированном <т £ К. вводится класс функций удовлетворяющих оценке

НМ)| ^Ме*'*', жеГ, 0 ^ г < Т, (0.14) с константой М > 0, зависящей от функции ¿). Тогда при а < л/тг/Т экспоненциальный класс (0.14) будет классом единственности для задачи (0.13), а при <7 ^ у ж/Т— классом неединственности (см. теорему 19.1). Введена также более тонкая классификация, учитывающая связь с размерностью п (см. теорему 19.2 и текст после нее). и

Заключительный § 20 посвящен разрешимости. Поскольку исследование задачи (0.13) проходит в экспоненциальных классах типа (0.14), то достаточно найти начальное состояние ио(х) = и(х, 0) решения и(х,£). Посредством формального преобразования Фурье выведена разрешающая формула: ио{х)= [ дт{х-у)}0{у)<1у - ТД/о(х), хеЕп. (0.15)

Формула содержит специальную функцию Грина

Оценку дт(х) на бесконечности получил А. Ю. Попов. Он показал, что дт(х (0.16) с константой £)0 = п) зависящей лишь от Т и га. Подробности про функцию дт(х) собраны в п. 20.5 (см. в особенности лемму 20.5).

На основе оценки (0.16) дано обоснование разрешающей формулы и доказана разрешимость нелокальной задачи (0.13) в экспоненциальных классах (0.14) при а < \/тт/Т. Попутно выявлено много нюансов: оказывается, например, что для применения формулы (0.15) в полном объеме надо заменить в ней обычный оператор Лапласа Д расширенным оператором Лапласа Д*. Наиболее общий результат по разрешимости представлен в теореме 20.3. Там учтены практически все возможности.

В итоге для нелокальной задачи (0.13) получено полное описание классов единственности и разрешимости в терминах экспоненциального поведения решений при |ж|—»■ оо. Как часто бывает, при работе с конкретной моделью обнаружилось много обстоятельств, неразличимых в контексте абстрактной теории.

В изложении всех вопросов автор стремился к максимальной точности и последовательности. Возможно поэтому текст местами выглядит чрезмерно педантичным. Но серьезных математических трудностей при чтении быть не должно — все детали раскрыты полностью; там, где необходимо, сделаны конкретные отсылки к литературе.

При сопоставлении результатов автор упоминал все известные ему обстоятельства, прямо или косвенно связанные с темой исследования, хотя, наверняка, что-то осталось не замеченным. Это могло произойти лишь по неведению или по добросовестному заблуждению — математический анализ и дифференциальные уравнения слишком обширная область для одного человека.

Во время работы автор ощущал неизменную поддержку своего учителя А. И. Прилепко, бывшего в курсе всего исследования. Многие результаты получены благодаря научным контактам с Ю. С. Эйдельманом и А. Ю. Поповым. Большое влияние оказали советы В. А. Ильина и А. М. Седлецкого. Отдельные вопросы обсуждались с В. В. Власовым, А. Б. Костиным, В. Б. Шерстюковым. Всем названным коллегам выражаю свою искреннюю признательность.

12

Терминология, обозначения, соглашения

В работе используются стандартные термины и обозначения. Особо оговорим только некоторые моменты.

Интервалы. Следуя Бурбаки [10; с. 149], интервалом J CR называем всякое связное подмножество вещественной прямой, содержащее более одной точки. Таким образом, [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь], (а, 6), [а, со), (а, оо), (—оо,Ь], (—оо,Ь), (—со, оо) — интервалы. Этот обобщенный термин "интервал" будем применять там, где неважен явный вид подмножества J СІ. В более конкретных случаях, например, для J — [0,Т] будем говорить про "отрезок [0,Т]".

Скаляры. Все числовые функции по умолчанию считаем комплекснознач-ными, а линейные пространства — комплексными. При необходимости будут сделаны специальные оговорки относительно вещественного случая.

Всюду в работе і — мнимая единица, г2 = — 1.

Операторы. Рассматриваем только линейные операторы в линейных (чаще банаховых) пространствах.

Если А — линейный оператор в пространстве Е с областью определения D(A) С Е, то его ядро и образ обозначаем соответственно через N(A) и R(A). Таким образом,

N(A) = {/ є D(A) : Af = 0}, R{A) — {g Є E : Af = g для некоторого / Є D{A)}.

Собственным значением оператора А считаем число Л Є С, для которого существует ненулевой элемент / Є D(A), такой, что Af = А/. При этом / называется собственным вектором оператора А. Для вещественного оператора А в вещественном пространстве Е комплексное собственное значение Л = а + і/З (а,/0ЄІК., РФ 0) понимаем как обычно: А(/ + ід) — (а + i/3)(f + ig) с некоторыми ненулевыми f,g(zD(A). Точнее,

Af = af- ¡ig, Ag = [lf + ag.

При этом / + ig считаем комплексным собственным вектором, принадлежащим комплексификации Ее = Е + ІЕ.

Для единичного оператора используем символ I. Резольвенту, резольвентное множество и спектр линейного замкнутого оператора А обозначаем через (ЛI — А)~1, р(А) и <7(А) соответственно.

Сопряженное пространство. Если Е — банахово пространство, то Е* — сопряженное к нему, т. е. пространство линейных непрерывных функционалов на Е. Часто используем принцип скаляризации: к векторной ситуации применяем функционал /* Є Е*, рассматриваем скалярную задачу и сделанные выводы переносим на векторный объект при помощи теоремы Хана-Банаха. Там, где рассуждения повторяются (или очевидны), сразу переходим к выводам, не упоминая ни про функционал /*, ни про теорему Хана-Банаха.

13

Теория полугрупп. Под "полугруппой " всегда понимаем полугруппу линейных ограниченных операторов класса (Со) или просто Со-полугруппу, действующую в банаховом пространстве Е. Чаще всего такую полугруппу обозначаем через и{Ь), а ее производящий оператор — через А. Связь между теорией полугрупп и абстрактными дифференциальными уравнениями считаем известной. Основные источники здесь — руководства Хилле [201], Хилле, Филлипса [202], Крейна [84], Пази [250]. Много полезных сведений содержат обзоры Крейна, Хазана [85], Васильева, Крейна, Пискарева [14] и коллективные монографии [81], [218]. Первое представление о предмете можно получить из книги Треногина [195; § 31]. Обычно нам требуются самые простые сведения, да и те по ходу дела напоминаются.

Уточним лишь, что полугруппа £7(£) называется экспоненциально убывающей, если 11^7(^)11 ^ Ме~6г при £ ^ 0 с константами М ^ 1 и с) > 0. В этом случае спектр производящего оператора А принадлежит полуплоскости Ые А ^ —5 < 0, а ограниченный оператор (—А)-1 : Е —У Е вычисляется по формуле:

•ОО

-А)-1/= / итя, /€Я,

Jo причем ||(—А)1||^М/5. Экспоненциально убывающие полугруппы возникают при описании строго диссипативных систем.

Интеграл Стильтьеса. Теория векторного интегрирования подробно изложена в трактате Хилле, Филлипса [202; гл. III]; хорошее сжатое изложение дано в книге Треногина [195; § 25]. Для функции и € С([0, Т]; Е) со значениями в банаховом пространстве Е часто рассматриваем векторный интеграл Римана-Стильтьеса:

Уо

Здесь jj.it) — заданная скалярная функция, имеющая ограниченную вариацию на [0, Т] с К. и порождающая соответствующий процесс интегрирования (интегрирующая функция). При помощи принципа скаляризации векторный интеграл легко сводится к скалярному. В скалярном случае манипуляции с интегралами Стильтьеса выполняем без пояснений, если соответствующий материал есть в книге Натансона [110].

Для функций ограниченной вариации всюду в работе принято соглашение: значение в каждой внутренней точке £ £ (0, Т) совпадает с одним из пределов + 0) или — 0). Это гарантирует, что тривиальный интеграл Римана-Стильтьеса порождается только тождественными константами.

Точка ¿о € [0, Т] называется точкой вариации меры если функция не обращается в тождественную константу ни в какой окрестности В частности, £ = 0 и £ = Т являются точками вариации меры с1ц{1) тогда и только тогда, когда Уаг {/•<(£)} |д > 0 и Уаг {/"(£)}\Т£ > 0 при любом малом е > 0. В таком случае интеграл Римана-Стильтьеса по мере не допускает сужения с отрезка [0, Т] ни на какой меньший отрезок. Иногда вместо "точек вариации" меры с?/1(£) говорят про "точки роста" функции но этот последний термин использовать не будем.

14

Монотонные функции. Во избежание недоразумений отметим, что под монотонной функцией на интервале J С R. понимаем вещественную неубывающую или невозрастающую функцию, определенную всюду на J. В частности, монотонная функция на отрезке [О, Т] конечна во всех точках отрезка и имеет ограниченную вариацию на [О, Т]. Вещественная функция называется строго монотонной на J, если она строго возрастает или строго убывает на J.

Целые функции. Основные понятия из теории целых функций одной переменной см. в книгах Левина [90], [245], Леонтьева [92], [93], Маркушевича [100], Полиа, Сегё [120], [121], Стоилова [174]. Уточним лишь несколько деталей.

Если F{А) — целая функция, то множество ее нулей обозначаем через Л(F). Всюду в работе нумерация нулей проводится без учета кратности. Вопрос о кратности нулей отдельно оговаривается.

Как обычно, если запись целой функции содержит устранимые особенности, то особенности устраняются "по умолчанию". Например, формула

F(А) = Л € С, подразумевает, что .F(O) = 1.

Определения порядка и типа целой функции считаем известными. Перенос этих понятий на векторные целые функции не представляет труда; подробности см. у Хилле [201; с. 83] и Хилле, Филлипса [202; с. 118].

Вместо неуклюжего словосочетания "целая функция, растущая не выше минимального типа порядка рп используем более простой оборот — "целая функция нулевого типа при порядке р". Здесь р > 0 — фиксированное число. Целая функция F{Л) называется функцией нулевого типа при порядке р, если для любого е > 0 существует число r£ = re(F) > 0, такое, что

F(X)\ < ехР(е|А|р), |Л|^гв.

При р = 1 функция F(Л) называется целой функцией нулевого экспоненциального типа (ср. [272; с. 61 и 71]). Аналогичные определения для векторных целых функций получаются при замене |.F(A)| на ||.F(A)||.

Непосредственно проверяется, что если F(А) — целая функция нулевого типа при порядке р, то функция Fj (А) = F(aXn + Ь) с фиксированными значениями а, Ь G С, п £ N, будет функцией нулевого типа при порядке р\—пр. В частности, F(aX + b) — функция нулевого типа при исходном порядке р. Если же F(X) имеет нулевой тип при порядке р=1/п, то Fl (А) = F(aXn + b) будет целой функцией нулевого экспоненциального типа.

Факториалы. Обозначение факториала а\ используем для всех комплексных а с оговоркой, что ( — 1)! = (—2)! = (—3)! = . = оо. Имеет место обычная связь с Г-функцией: а! = Г(а + 1). При Кеа > — 1 справедливо представление

•оо />оо а\= tae-4t= / ealnt-fdi.

J о J о

Функция 1 /а! является целой с простыми нулями в точках а* = —к, к G N.

15

Задачи и решения. В работе изучаются разные дифференциальные уравнения и задачи для них. Понятие "решения" вводится каждый раз заново, обычно при постановке задачи в начале параграфа.

Классическое решение должно обладать соответствующей полной гладкостью и обращать все соотношения в задаче в верные тождества. Помимо классических, иногда вводим ослабленные решения. Здесь дифференциальное уравнение выполняется во внутренних точках интервала, а на границах (или на одной из границ) предъявляются пониженные требования гладкости (ср. [84; с. 76]). Там, где это не приводит к недоразумениям, вместо "классических" или "ослабленных" говорим просто про решения задачи. Для некоторых задач рассматриваем также обобщенные решения. Так называются функции, удовлетворяющие какой-то проинтегрированной версии уравнения.

Под тривиальным решением линейной однородной задачи понимаем решение, совпадающее с тождественным нулем. Ситуацию с наличием нетривиальных решений часто удается выразить через элементарные решения, т. е. решения с "разделяющимися переменными" вида Здесь у({) — скалярная функция вещественной переменной а / — элемент основного пространства Е, в котором изучается задача.

Соотношения между всеми типами решений всегда четко оговариваются.

Технические символы. Значок □ отмечает окончание доказательства, а значок 0 — завершение нумерованного примера.

16