Обратные задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

2 ь ШОЛ 1УУЗ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ОРЛОВСКИЙ Дмитрий Германович ;

■ УД1С 517.95

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.02 - диф|>ерэнциальные уравнения

.Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-физического института.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.Б.Бакушинский (ИСА РАН); доктор физико-математических наук П.Н.Вабищевич (ИММ РАН); доктор физико-математических наук А.М.Денисов (ВМК МГУ).

Ведущая организация: Институт математики Сибирского отделения РАН.

Защита состоится " /3>" OicrSU-fa 1993г. в 4S30 час. Crui^. (хкг ».0*3, or.*? ewe ¡лгу M fitftw HrtMifcL thtMMMM- WfJn. , ВМК ИГУ , Ou^. 6$S.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВМК

Автореферат разослан "_"_199_ г.

Ученый секретарь специализированного ,

совета • ( Е'. И.Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов/ правых частей и решений дифференциальных уравнений по информации о решениях этих уравнений. Многие важные прикладные вопроса, связанные с упругими смещениями, электромагнитными колебаниями, диффузионными процессами, переносом нейтронов, приводят к обратным задачам. Обратные задачи играют значительную роль при математическом моделировании физических явлений и при управлении рядом технологических процессов. Теория обратных задач является одной из быстро развивающихся областей современной математики.

Современная теория обратных задач создана и развита трудами советских математиков: А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, А.И.Прилепко, В.Г.Романова, А.С.Алексеева, А.Д.Искендерова, Г.И.Марчука, а также ряда других авторов. ¡3.последнее время для изучения обратных задач стал использоваться метод дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Среди исследований, посвященных изучению обратных задач с точки зрения абстрактных дифференциальных уравнений, необходимо отмотать работы А.Д.Искен-дерова, У.Ранделла, А.И.Прилепко, Ю.С.ЭЙдельмана, А.Х.Амирова, Л. Лоренцо. В настоящее время теория обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений становится одним из важнейших разделов теории обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

Цель работа. Исследование вопросов разрешимости, однозначной разрешимости и фредгольмовой разрешимости обратных задач для линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве.

Научная новизна. Исследованы вопросы разрешимости обратных' задач для полулинейных уравнений первого и второго порядков с эволюционным переопределением. В зависимости от свойств оператора, задающего дополнительную информацию, установлено существование и единственность слабых или сильных решений. Получены условия дшНвренцируемости слабого решения.

Установлена локальная однозначная разрешимость обратной задачи с эволюционным переопределением для квазилинейного параболического уравнения.

Рассмотрены двухточечные обратные задачи для линейных уравнений первого и второго порядков. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости обратных задач для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов. Установлены условия однозначной разрешимости.

Для двухточечных обратных задач, .отвечающих уравнениям с самосопряженной главной частью и скалярным неизвестным коэффициентом, получены необходимые и достаточные условия как существования решения, так и его единственности.

Рассмотрена двухточечная обратная задача для уравнения параболического типа в гильбертовой структуре. Указаны достаточные условия существования и единственности решения.

Даны приложения к обратным задачам для уравнений в частных производных. Рассмотрены симметрические гиперболические системы первого порядка, волновое уравнение, система уравнений теории упругости, уравнение теплопроводности, уравнение Больцмана и уравнение переноса нейтронов.

Общая методика исследования. В работе используются совре-мотив методы функционального анализа, теория сильно непрерывных полугрупп и косинус функций, метода нелинейного анализа.

Теоретическая и практическая .ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес. Разработанные в диссертации методы позволяют исследовать широкий класс обратных задач для абстрактных дифференциальных' уравнений и уравнений в частных производит. Они применимы к задачам теории упругости, распростране'-ния электромагнитных волн,процессам тегогапереноса, динамике разреженного газа и процессам кинетики ядерных реакторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в МГУ им. М.В.Ломоносова на семинаре, руководимом членом-корреспондентом АН СССР А.В.Бицадзе и академиком В.А.Ильиным, на семинаре ИМ СО АН СССР, руководимом профессором В.Г.Романовым, на семинаре МИФИ, руководимом профессором А.И.Прилепко, на международной конференции по некорректным и обратным задачам (Москва, август 1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-121.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом 265 стр. машинописного текста состоит из введения и 3 глав. Библиография содержит 226 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава состоит из 8 параграфов. В ней рассматриваются обратные задачи для уравнений первого порядка. В §§1-б изучается задача для полулинейного уравнения в банаховом пространстве X

и' (г)=А(1)и(г)+Р(1,и(Ь.р(г)),сьг<г1 и(0)=и0,

Ви(1;)=ф(1;),0<Ь<Т (1)

с неизвестной функцией 10,Т];У) , где У - некоторое банахово пространство. Предполагается, что Р(1,и,р)=Г1(1,и)+Р2(1,и, р) . При определенных условиях на гладкость исходных данных значение р0=р(0) определяется из уравнения ВР2(0,и0,р0)=20 , где zQ - некоторый известный элемент пространства У . Основное ограничение алгебраического характера на функцию Р состоит в том, что должна существовать такая функция Р3 , что В?2(г,и,р)= Р3(1;,Ви,р) и отображение р-»Р3(1;,<р(1;),р) обратимо в некоторой окрестности точки р0 . Оператор В , как правило, удовлетворяет одному из двух условий: либо при некотором ш и любом 1

Ве1(0(Ат(1;)),У), (2)

либо

В,ВЩ)бС([0,ТЗ;Х(Х,У)). (3)

В §1 рассматривается случай, когда операторная функция A(t) постоянна: A(t)=A и оператор А является генератором сильно непрерывной полугруппы. Основные результаты содержатся в теоремах 1.1-1.6.

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие (2), uQeD(Am41), BuQ= <p(0), <pe01([0,T];Y), функции AltF1 (t,A_icu) и AkF2(t,A-ku,p) 'при k=0,1,m+1 и функция F^ (t;.ф(t ),р ) непрерывны и липшицевы по . и,р . Тогда обратная задача (1) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе ueC1(tO,T];X) , peO(IO,T];Y) .

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (3>,' иоеХ* '

<реС1 ( [0,Т ] ; Y), функции F1 (t,u) , F2(t,u,p) и (tpcp(t) ,р)~1 непрерывны и липшицевы по и,р . Тогда обратная задача (1) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе ueC1(ÎO, Т];Х) , р«С(Ю,Т];Y)

Теорема 1.3. Пусть выполнены предположения теоремы 1.2 и дополнительно феС2(Ю,Т] ;Y) , а производные Фрете функций F! , ?2 и F^(t,ф(t) ,р) непрерывны и лшшицоиы по неременным и,р. Тогда задача (1) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе u<sC1 (tO,T];Х) , р*С1([0.Т1;Y) .

В §2 рассмотрен линейный случай, когда функция F предста-вима в следующем виде

FU.u.p^ttJu+bgCtJp+Fit) . (4)

В каждом из трех случаев, описываемых теоремами 1.1-1.3, разрешимость доказана на всем отрезке СО.ТЗ

Теорема 1.4. Пусть выполнено условие (2), функции L1(t) , АЦ (t)A~1 , Am+1L1(t)A"m"1e0([0,T];I(X)) , Am+1L2(t)eC( (ОДЧ ; I(Y,X)) , (BL2(t))-1eO(ÎO,T];£(Y)) , u^IXA11*1) , <f*C1 ( [0,T] ;Y) , BuQ=<p(Q) . Тогда решение задачи (1),(4) существует и единственно в классе иеС1(ГО,Т];Х) , peC(tO,TJ;Y) .

Теорема 1.5. Пусть выполнено условие (3), функции Ь^СЦО, TJ;£(Х)) , L2eC(fO,T];I(Y,X)) , FeC(ÎO,T];X) , (BL2(t))"1eO(fO, . Tî;I(Y)) uQeX , феС1 ([Q,T];Y) , Bu0=<p(Q) . Тогда решение задачи (1),(4) существует и единственно в классе u<sC(Ю,Т1;Х) , реС(Î0, T);Y) . '

Теорема 1.6. Пусть вьшолнвны условия теоремы f.5 и дополнительно L^eO1(10,T];L(X)) , L^C1(IO,T];I(Y,X)) , î«01 (tO,Tl;X> , Uq^CCA) , феС2(Ш,Т];У) . Тогда решение задачи (1),(4) существует и единственно в классе и«=с") (10,T] ;Х) ,реС1([0,T];Y) .

.Уравнение с переменным операторным коэффициентом A(t) рассматривается в §§3-6. В §3 изучается параболическое уравнение с оператором В , удовлетворяющим условию (2). Предполагается, что область определения оператора A(t) не зависит от переменной t и при любом \ с ReteO i (A(t)+A.I)~1i<c(1 + |A.| )-1 .

Теорема 1.8. Пусть выполнены предположения теоремы 1.1 и функция A(t)A-1(a) равномерно по s гельдерова по переменной t с показателем а , пксеИ . Тогда обратная задача (1 ) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе ueC1(tO,T];Х) , peC([0,T];Y) .

Для линейного случая (4) разрешимость обратной'задачи установлена на всем отрезке [0.Т1

В §4 параболическое уравнение с переменным операторным коэффициентом рассматривается в предположении, что оператор В удовлетворяет условию типа (3). Благодаря параболичности уравнения это условие можно ослабить, а результат распространить на 'Квазилинейное уравнение

(1и/(1г+А(1.и)и=Р(Ь,и,р), и(О)=и0,

В(1;}и(1;)=ф(1;). (5)

Перечислим предположения, при которых докапана разрешимость задачи (5).

(1) Область определения О линейного замкнутого оператора А0=А(0,и0) плотна, полуплоскость НсЛ^О входит в резольвентное множество оператора А0 и « (А0»-Л.З1п«с(11Л.I У1

(2) При некотором ае(0,1) и П.>0 для всех с яци^Н и всех 1е[0,Т] линойный замкнутый оператор А(1,Л^аи) импот область определения В , в функция Л(1,А^?и)А~1 гольдерова по г с показателем р и люшшцева по и

(3) и^Д , «А^110«<П , ; V) (0'.р<1) .

(4) Фушитя Р1(1,А^ан) гельдировн по 1, с показателем [) и лшпиицева по и,р

(5) Отображение Р- (г,ср(1),р)-1 гельдерово по I, с по 1го:',ч телем р и Липшицево по р .

(6) При ггоех [0,Т) и ьсох и с ии«11! оноратор В(1,)Л(1,А~аи)А^а ограничен, а как функция переменных 1;уи гель-дерова по I с показателем р и лшпиицева по и »

(7) B(t)eC1+ß([Q,T];L(X,Y) ) , B(Q)u0=(p(Q) Теорема 1.10. Пусть выполнены предположения (1)-(7). Тогда при некотором Т^О на отрезке СО.Т^ существуют единственные функции UeC1(lO,T];X) , реС°([0,Т];У) с o<mln(1-a,p} .которые являются решением задачи (5).

В §§5-6 рассмотрено уравнение гиперболического типа с пере-мьшшм опориторним коэффициентом A(t) . В §5 предполагается выполненными слидущио условия гиперболичности

U11 ) При любом t.«B[0.Т J оператор А(1) является генератором сильно непрерывной полугруппы.

(11?) Семейство операторов A(t) устойчиво, т.о.

и (A(t,k)-Â.I)"',...(A(t1)-Àl)"1iiiM/(V-P)k . (ИЗ) Существует банахово пространство XQ , плотно и непре-puiiHQ вложенное в X , и операторная функция S(t) со значениями в ¿(Х0,Х) , обладающая следунхдмми свойствами: S(t) сильно непрерывно дифференцируема, при какдом t«ÎO,T] S(t)~1^I(X,X0) и S(t)A(t)S(t)-1--A(t)+R(t,) , где R(t)eI(X) , причем операторная функция R(t) сильно измерима в X и ограничили ь ЦХ)

(1(4) При любом t-flO.Tl пространство Х0с£>(А(1)) и A(t )« C([0,T);t(Xo,X)) .

Теорема 1.11. Пусть выполнено условие (3), uQeX , Buo^p(0) , феС1 (.[0,T;Y) , функции F1 (t,u) , F2(t,u,p) и F-jU.qXt) ,p)-1 непрерывны и липшицевы no u,p . Тогда обратная задача (1 ) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе и-£С(Ю,Т1;Х), pe0(i0,Ti ; у;

Теорема 1.12. Пусть выполнены условия теоремы 1.11 и дополнительно ueXQ , а функции F.,(t,u) , P2(t,u,p) непрерывны и лишицевы по и,р в норме пространства XQ •. Тогда задача (1) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе и«=С1([0, Т];Х) , peO(tO,T];Y) .

Случай неограниченного оператора В рассмотрен в теореме 1.13. Условие (2) при этом видоизменяется и предполагается, что

B^b(X0,Y), (2' )

а на операторный коэЩ&ицивнт A(t) накладываются дополнительные ограничения :

(Н5) Существует банахово пространство Х^ •■, плотно и непрерывно вложенное в XQ , для которого A(t)eC(lO,TJ;b(X1 ,XQ))

(Н6) Условие (НЗ) остается справедливым при замене XQ на

х1 .

Теорема 1.13. Пусть выполнено условие (2') , uQeX1 , BuQ= ф(0) , феС1 ([0,Т1 ;Y) , функции P^t.u) , P2(t,u,p) непрерывны и липшицевы по и,р в нормах пространств X , XQ и Х1 , F3(t,<p(t),p)_1 непрерывна и липиицева по р . Тогда обратная задача (1) однозначно разрешима при достаточно малом Т и классо иеС ' ( [ОД1] ;Х) , р^СЦО.Т]^) .

В линейном случае (4) разрешимость доказана на всем отрезке [0,Т1 .

В §6 рассмотрены другие условия гиперболичности. Пусть в X задано семейство норм л «t , 0<t<T , каждая из которых эквивалентна исходной норме пространства X . Индуцированную оператор-

ную норму в ИХ) будем обозначать тем же символом. Предположим, что выполнены следующие условия

(PI) Область определения оператора A(t) не зависит от переменной t : D(A(t))=D .

(Р2) При некотором ö>0 все вещественные числа Я о i Л. ) >S плодят в резольвентное множество операторов А(1) и II (Л с t )—Л.Х ) ~1В S1/0M-Ö) . (РЗ) При некотором а^Ю.Т] и некотором А. с |Л.|>6 функция С( t) = (A(t )-ЛТ) (А(з)-М )~1 непрерывно дифференцируема в' L(X) .

(Р4) Существует т акая неубывающая функция w(t) , что при всех UIO.T) и всех хеХ nxii^äöiix« , h при всех t>s и всех х-?Х l«x« t-«xuBl<(w(t)-w(a))«xii .

Теорема 1.17. Пусть выполнено условие (3) , uQeX , Bu0= <р(0) , ф^С1 < [ 0 f T J ; Y > , функции F1 (t,u) , P2(t,u,p) и F3(l, ф(Ь),р)-1 непрерыв!ш и Липшицевы no и,р .'Тогда при достаточно малом Т решение задачи (1) существует и единственно в классе UtC(lO,T];X) , реС([0,Т];У) .

Зафиксируем какое-либо вещественное \ с I А.| >0 и определим функции

C1 (t,V)=(A(t)+n)F1 (t, (A(t)+XI) 1v), 02(^>viP)) = (A(t )+A.I)Fg(t, (A(t)+?iI)-1 Y,p). Теорема 1.18. Пусть выполнены условия теоремы 1.17 , кроме того, uQeû , а функции С1,С2 непрерывны и Липшицевы по v,p . Тогда при достаточно малом Т задача (1) однозначно 'разрешима в

'/ и удовлетворяющий одному из двух условий (2) или (3). Опера-тоный коф{мциент А не зависит от переменной t . Гиперболичность уравнения означает, что оператор А является генератором сильно непрерывной косинус функции. Основные результаты содержатся в теоремах 2.1,2.2 и 2.3, которые являются аналогами теорем 1.1,1.2 и 1.3 гл.1.

Обозначим через 0(1) косинус функцию, порожденную оператором А и определим пространство Е={ГеХ:С(1)ГеС1(Н1;Х)>

с нормой

»Г■_=■Гв + аир «С' (г)Гм.

Е [0,1]

Относительно этой нормы Е является банаховым пространством.

Предполагается, что Р^.и.у.р)^,, (1,и,у)+Г2(1;,и.,у,р) Значение ро=р(0) определяется из уравнения ВГ2(0,ио,и1р)=й0 где 20 - некоторый извостшй элемент пространства У . Основное ограничние алгебраического характера состоит в том, что существует такая функция , что ВР2(1;,и,у,р)=Е3(1;,Ви,Ву ,р) и отображение г=Г3(1;,(р(1;),ф' (1;),р) обратимо в некоторой окрестности точки р0 .

Теорема 2.1 Пусть выполнено условие (2), и0<еО(Апн'1) , В(А1П) , А^еЕ , <р^С2 ([0,Т1 , Вио=ф(0) , Ви^фЧО) , функции

непрерывны и липшицевы по и,у,р из [0,Т]хЕ*ХхУ в X , функции Р.,(1;,А-1и,у) , Г2(1,А_1и,у,р) непрерывны и лигплицевы по и,у,р из [0,Т]хХ*ЕхУ в Е , функции А^ (г,А-т""1и,А-тУ) , АтР2(1,А~т_1и,А_ту,р) непрерывны и липшицевы по и,у,р из

[Q,T]xXxE*Y в E , функция P3(t^(t),q)' (t),p)~1 не прерывна и липшицева по р . Тогда обратная задача (7) однозначно разрешима при достаточно малом Т в классе и«=С2( 10,1'];Х) , р^С(!0,Т);У) .

Теорема 2.2 Пусть выполнено условие (3), , u^X , <ре

С2 (tО,Т];Y) , Вио=<р(0) , Ви^ф' (0) , функции P^Fg и F3(t,<p(t), ф'(0,р)~1 непрерывны и жшицевы по u,v,p из [0,T"l*E*X*Y в X . Тогда обратная задача (7) однозначно разрешима при малом Т и класси и-01(10,'П;Х) , |^C(IO,Tl;Y) .

Tiiü]«;Mü Й.З. Пусть выполнены предположения творемы 2.2 и дополнительно n.fD(h) , i^eE , феС3((0,Т] ;Y) , а производит) Фре-ше функций F^i-V, и, Fj(t,<p(t) ,ф' (t),p) непрерывны и линшице-ьы гю u,v,p из [O.TlxExXxY и X . Тогда обратная задача (7) однозначно раз^ныима при достаточно малом Т в классе №гС2(Ш, Т J; X) , jieC(lO,T);Y) .

В 52 рассмотрен линйный случай, когда F(t,u,u',p)=L1(t)u+L^(t)u'+L3(t)p+F(tJ, где L. .L^.L.j - линйныв операторы. В предположйниях тнором ?. I , 2.? и 2.3 разрешимость установлена на всем отрезка (0,Т1 В С?, изучается задача для лшо Иного уривношш и" (t)=Au(t)+4>(t)p+F(t) , Oit<T , и(0)=ио , и' (0)=и1 ,

и(Т)=и2 . (8)

с неизвестным элементом реХ

Основные результаты этого параграфа содержатся в теоремах 2.10 и 2.11. Обозначим через S(t) ассоциированную синус функцию

классе и<=С1 (10,Т];Х) , реС([0,Т);У) .

В линейном случае (4) разрешимость обратной задачи устанавливается на всем отрезке [0,Т1

В §§7,8 гл.1 изучается обратная задача и' (1;)=Аи(«;)+Фа)р+Р(1;) , ,

и(0)=и0 ,

иСП^ . (б)

с неизвестным элементом реХ . Предполагается, что оператор А является генератором сильно непрерывной полугруппы, феС([0,Т1; £(Х,У)) , РеС([ 0, Т ]; X) .

Основные результаты §7 содержатся в теоремах 1.22 и 1.23.

Теорема 1.22. Пусть оператор А порождает компактную полут группу, Ф^С1(Ю,Т];Ь(Х)) , Ф(Т)"1е£(Х) . Тогда задача (б) фред-гольмова.

Предположим, что X • гильбертово, А - самосопряжен, функция ОМЗЮ.Г] и

<р (М = |ф (а) ехр (А. (Т-з)) йа,

Т

0=11., -ехр (АТ)и0-|ехр(А (Т-з) )Р (а )с!э.

О ' .

Теорема 1.23. Пусть ФгО . Тогда

(1) Решение задачи (6) единственно тогда и только тогда,когда точечный спектр оператора А не содержит нулей функции ф(А.).

(2) Задача (б) разрешима тогда и только тогда, ногда

где Е^ - разложение единицы оператора Л .

В §8 задача (6) изучается в предположении, что X является гильбертовой структурой, а одоратор А самосопряжен и порождает позитивную полугруппу.

Теорема 1.25. Пусть А-1 компактен, оператор А обладает максимально положительным собственным вектором, функция <1*=С1((0, Т1 ;1(Х)) , Ф(ТГ1еЬ(Х) , при ьсах ЫО,Т] операторы Ф( I) и Ф'(1) позитивны, Ф(Т)~1 позитивен, оператор Ф'Ш строго позитивен хотя Ой при одном значении Г 0, Т) . Тогда при любых и^и^ЩЛ) , РеС1 (10,Т);Х)+С([0,Т1 ;1>(А)) задача (6) имеет единственное решение ь классе и<=о' (10,Т! ;Х) , р«Х .

Во второй главе рассматриваются обратные задачи для уравнений второго порядка. Вторая глава состоит из 4 параграфов. В §51-3 рассмотрено уравнение гиперболического типа, §4 посвящен уравнению эллиптического типа.

В §1 изучается обратная задача для полулинейного уравнения в банаховом пространстве X

и" (1;)=Аии)+Р(1,и(1;),и' Ш.рСШ , Сйит , и(0)=и0 , и' (0)=^ ,

ви(г)=<р(ь> , сь^т . (?)

с неизвестной функцией реС([0,Т];У) , где У - некоторое банахово пространство, а В - линейный оператор, действующий из X в

au(T)+ßu' (T)=U£ (9)

с неизвестным элементом реХ . Эллиптичность уравнения означает, что оператор А удовлетворяет условию слабой позитивности: при любом А>0 »(А+Я1)~1п<с/(1+М .

Основные результаты содержатся в теоремах 2.13 и 2.14. Обозначим через V(t) полугруппу, порожденную оператором -А172 и

пусть

Л(Т)=a(I-V(2Т))+ßA172(I+V(2Т )),

6(T)=a(I+V(2T))+pA1/2(I-V(2T)).

Теорема 2.13. Пусть V(t) компактна, Ф^С1([0,Т];1(Х)) , Ф(0)_1е1(Х) , Д(Т)~1е£(Х) , S(T)"1eL(X) . Тогда задача (9) фред-гольмова.

Пусть пространство X гильбертово, оператор А самосопряжен и положительно определен,

р р (А.)1 /2Ch ((X)1 /2 (Т-з) )+aSh ((X)172 (Т-з))

<Р(М=- -гто-гт?-Г73- i>(s)ds ,

J (3 (\) Ch (Т (А.) )+aSh (Т (А.) ) О

Т

g=u1 +-А1 /2a-V (Г )A1 /2b-Jc t (О, s ;F (з )da, о

а--Л (Т)-1 С (al+pA1 72 )uQ-V (Т )Ug ], Ь=Д(Г)"1[Ug-(al-pA172)V(T)uQ], G(t,a)=-0,5A(T)~1C(pi-aA_1/2HV(ZT-t.-S)-V(2T-lUsl + (pi+oA"*172) IVС I't-ai )-V(t+s) 1).

Теорема 2.14. Пусть ФеСа[0,Т) (0<а<1) , ®(t)*0 , оеО , р^О, а+р>0 . Тогда

t

S(t)=Jc(s)ds

О

и положим-

D=®(t)-0(T)®(0).

Теорема 2.10. Пусть S(t) компактна, ФеС2(10,Т1;Ь(Х)) ,

D_1«L(X) . Тогда задача (8) фредгольмова. •

Предположим, что пространство X гильбертово, оператор А

самосопряжен, ФеС[0,Т) , Т

Ф(л)=(-ХГ1/г|ф(з)Б1п((-Л)1/г(Т-з))йа.- ••

О

Т

8=0,-0 СПио-БСЛи, -|з(Т-а)Р(а)йэ. О

Теорема 2.11. Пусть Ф(1. Тогда

(1) Решение задачи (8) единственно тогда и только тогда, когда точечный спектр оператора А не содержит нулей функции ф

(2) Задача (8) разрешима тогда и только тогда, когда

||<р(?1)|"2(1(Кле,в) < +а>

где Е^ - разложение единицы оператора А .

В §4 рассматривается двухточечная краевая задача для эллиптического уравнения

и" (г)=Аи(г)+Ф(1){м-Р(г) , сьч<т , и(0)=и0 , и' (0)=и1 ,

(1) Решение задачи (9) единственно тогда и только тогда,когда точечный спектр оператора А не содержит нулей функции ср

(2) Задача (9) разрешима тогда и только тогда, когда

00

||ф(\)Г2<1(\8,8) < +оо , О

где Е^ - разложение единицы оператора А .

В третьей главе, состоящей из б параграфов, даны приложения к уравнениям в частных производных. Рассмотрены обратные задачи для симметрической г-гиперболической системы, волнового уравнения, системы уравнений теории упругости, уравнения теплопроводности, линеаризованного уравнения Больцманв и уравнения переноса нейтронов. Приведем некоторые постановки обратных задач.

В §1 рассмотрена задача Коши для гиперболической системы п

а0(х,1;)<»и/<П+2 а1(хД)йи/«1=Г(х,1,и), хеЕп , 0<1,<Т , 1=1

и(х,0)=ио(х) , хейп , в которой функция и=ц(х,г) принимает значения в Нт . Матрицы а^ ,051<п симметричны, а матрица а0 равномерно по х,1 положительно определена. Пусть'

Г(х,г,и)=(р(г)а(х,г)+Ь(х,г))и+е(х,г), причем матрицы а(хД) и Ь(хД) размера к>т и тхт соответственно известны, вектор-функция 5 также известна, а матрица р размера шхк неизвестна. Дополнительная информация задается

для к. различных решений и • , задачи Коши, отвечающим

и

различным начальным данным:

u.. (x.O-Uq^x), uj(x;j,t)=<p;j.(t),

где x. , 1sjsk некоторый фиксированный набор точек из Rn .

j

Обозначим через ср матрицу размера mxk образованную столбцами векторов ф^...,^ , через UQ - матрицу-размера mxk , образованную столбцами векторов u01>...,u0k . Рассмотрим оператор В , который на матричную функцию U(x) размера mxk; действует следующим образом: столбец матрицы BU с номером J равен вектор-столбцу матрицы U с номером в точке Xj , . Пространство всех матриц размера mxk обозначим . M(m,к) .Пусть целое число а удовлетворяет неравенству з>п/2+1 и выполнены следующие условия:

(1) а^С(10,Т) ;Cg(Rn;M(m,m)) , CKisn .

(2) "VV-VV"c*(Rn;M(m,m))iL|VV > WT "

(3) U0^(Rn;M(mxlc)) .

(4) феС1(10,Т1;М(т,к)) , ф(0)=вио .

(5) aeC([0,T];C®(Rn;M(k,m)) .

(6) b«C([0,T];C^(Rn;M(m,m)) .

(7) gsC( [0,T1 ;C^(Rn;Rln) .

(8) ldet(Ba<p) |>б>0 .

Тогда обратная задача по определению матрицы p(t) имеет единственное решение при достаточно малом Т .

В §§2,3 рассмотрены аналогичные задачи для гиперболического

уравнени второго порядка и системы уравнений теории упругости с

/

интегральным переопределением. Установлено существование и един-

ственность их решений.

В §4 изучается обратная задача для уравнения теплопроводности. Пусть П - ограниченная область в Ип с границей «эПеС2

Рассмотрим определения пары функций и(х,1) , р(1) из условий п

аи/аъ- V а. .(х,1;,и)<Щ2/<»х.<»х.=

1 Д

=Р1 (х, г, ц, <>и/<»х1.....ои/ахп )+Р2 (х, 1; )р (I),

и(х,0)=и0(х), и(хД)| =0,

|и(хД)ш(х)с!х=<р(г). (10)

п

Предположим, что выполнены следующие условия:

(1) При любом Я>0 а^ .еС2(Йх[0,Т]х[-Н,Я]) , а. -=а .. ,

п п

2 а^м.и^о I £? ,с>0.'

1,3=1 _1=1

(2) При любом Я>0 Р^С^^Ю.ТЗхС-Л.НЗхН") .

(3) Р2е01 ([0,Т];Ьр(П)) , о*^(П) , р>шахСп,2} , г=р/(р-2) ,

при всех геЮ.Т] |г2(х,1;Мх)(1х*а

2 ' °

(4) и0^2(П)пИ^((1) .

(4) феС2[0,Т1 , |и0(х)ы(х)(1х=ф(0) .

п

Тогда обратная задача (10) однозначно разрешима при любом о<1/2

и достаточно малом Т в классе ueC1 (Ю,Т];Ьр(П)) , реС°[0,Т] .

В §5 рассматривается линеаризованное уравнение Больцмана, доказывается сущеЬтвование и единственность решения обратных задач как в ограниченной области (начально-краевая задача), так и для всего пространства R3 (задача Коши).

В §6 расмотрено уравнение переноса нейтронов для фазового пространства OxD и для telO.ri

im/tft+vgrad^u+od.v.tiu^Ktx.Y.v' ,t)u(x,v' ,t)dv'+i(x,v,t)

D

с начальными и краевыми условиями uix.y.O^ix.v), u(x,y,t)=0 при упх<0, где пх - внешняя единичная нормаль к ¿»0 в точке х .

Предположим, что плотность источников Г представима в виде r(x,Y,t)^I>(x,Y,t)p(1;)+F(x,Y,t) \ и функция p(t) в этом представлении^неизвестна. Для определения этой функции задается дополнительная информация

Ju(x, y, t )u(x,Y )dxd.Y=(p(t). ClxD

Пусть г>1 , q=r/(r-1) и выполнены следующие условия.

(1) w=Lq(n*D)

(2) oeC^lO.T^LJOxD))

(3) оператор

K(t):u(x,Y) - Jk(i,v,v',t)u(z,v',t)d7' D

удовлетворяет условию: KeC1([0,T1;I(Lr(fi*D)))

(4) Ф, (v,gracl(G))eC(íO,T];I,r(flxD)) <D(x,Y,t)=0 , х«.»П , vsD , (v,nx)<0 , t«lO,Tl

J ^(X,V,t)(0(X,V)dXÜVO , tetO.T]

nxD

(5) F=F1+F2 , где F^CVCM'JIÍ^ÍM))),

F2,(v,graa(F2))^0([0,T];Lr(fixD)), F2(Z,Y,t)=0 , Х*<»П , VeD , (Y,nx)<0 , tetO.Tl

(6) u0,(Y,grad(u0))eLr(nxD), Uo(X,Y)=0 , ХедП , Y«=D , (Y.Il^XO

(7) феС1(0,Т] , ф(0)= J U0(X,Y)ü)(X,Y)dXdY.

flxD

Тогда обратная задача по определению функций и,р однозначно разрешима в классе u«=c1 ([0,T];Lr(fixD)) , реОЮ.Т] .

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю Алексею Ивановичу Прилепко за его неоценимую помощь и постоянное внимание к работе.

Использование результатов совместных работ. С результатами, использованными в диссертации из совместных статей с А.И.Прилепко [11,121, соавтор ознакомлен и не имеет возражений. Вклад каждого из авторов расценивается как .равный.

Работы автора по теме диссертации.

1. Орловский Д.Г. Обратная задача Коши для эволюционных уравнений в банаховом пространстве. В сб.:Анализ математических моделей физических процессов. М..Энергоатомиздат, 1988, с.84-90.

2. Орловский Д.Г. Об обратной задаче Коши для уравнения эллиптического типа. В сб.:Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М..Энергоатомиздат, 1989,

с.61-68.

3. Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для .дифференциального • уравнения второго порядка в банаховом пространстве. Дифференц. уравнения, 1989, т.25, Л 6, с.1000-1009.

4. Орловский Д.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения.Дифференц. уравнения, 1990, т.26, Л 9, с.1614-1621

5. Орловский Д.Г. Слабые и сильные решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.Дифференц. уравнения, 19891, т.27, * 5, с.867-874.

6. Орловский Д.Г. Определение эволюции параметра в абстрактном квазилинейном параболическом уравнении. Мат. заметки, 1991, т.50, вып.2, с.111-119.

7. Орловский Д.Г. О разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения в классе Гельдера. Мат. заметки, 1991, т.50, вып.З.

8. Орловский Д.Г. Решение одной обратной задачи для уравнения

' переноса с интегральным переопределением. В сб.:Обратные за-

дачи для математических моделей физических процессов.М., МИФИ, 1991, с.71-76.

9. Орловский Д.Г. 00 одной обратной задаче для уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве. Диффвренц. уравнения, 1991, т.27, № 10.

10.Орловский Д.Г. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. В сб.:Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М..Энэргоатомиздат, 1989, с.68-73.

1).Прилепко А.И..Орловский Д.Г. О некоторых обратных задачах для линеаризованного уравнения Больцмана. Журнал.выч. мат. и мат. физики, 1987, т.27, Л 11, с.1690-1700.

12.Прилепко А.И..Орловский Д.Г. Определение эволюции параметра в абстрактном параболическом уравнении. Дифференц. уравнения, 1991, т.27, Л 1, с.114-120.

Л

В печать 27.04.93г. Изд. Ш 54 Формат 60x84/16 Тирах 80 экз.

Печ. л I_^_

Размножено в ЦНШШЖПК