Обратные задачи потенциала типа Вебера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 ФДУДАРСТВКНШП КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФГ^ЕРАНИИ „ • , ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

г 5 дпр т

ЙОВОСИБИРСКИП

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На пргсрсх рукописи Ург. 517.946.

СЕРИНБАЕВ АБ/'УКАРИМ УСЕРОЗИЧ

ОБРАТШЕ ЗА/'АЧИ ПОТЕН1 ЩЛА ТИПА ВЕБГСРА

01.01.02. - "ифф-ренциалнше уравнения

■д-

А В Т О Р Е Ф Е Р Л Т

лцггсср-тл;ши нп тидч'пние у^-н^й птч'^ни Л'!" т 0 Р'Ч '5! 11 з 11 г г,- м те мпти'^ск и х наук

Работа выполнена в Новосибирском государственном университета

НаучныЗ консультант : академик М.Ю_ лрентьев Официальные оппоненты : доктор физико-математических

наук, про^ссор В.Р.КиреПх'ов, доктор физико-математических

наук, профессор В.Г.Чередниченко, доктор физико-математических наук, профессор Ш.Ярмухамедов .

Ведущая организация ; Уральский государственный университет ( г. Екатеринбург ).

Защита состоится "" ^^¿¿.-'-Р ¡994 г_ в 15

Защита состоится

час. на заседании специализированного совета Д 063.98.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Новосибирском госунивереитеге по адресу : 030090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией мокко ознакомиться в библиотеки Новосибирского гооуниверситега _

Автореферат разослан

.1994 года.

Учений секретарь специализированного с д.ф.~ м.н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Иоолвдовшшя обрптшх апдоч , в которых по измерениям состояния системы или процесса требуется определить некоторый

-я.

набор нричштих характеристик имеют вакнсе прикладное значение. Такое нарушение остоствен;п;х ггркчитю - следствен»'?. связей влечет за собой некорректность математической постановки обратной задачи.Практическая значимость обратных задач настолько нолика, что за последние 30 лет возникла новая область математики - теория некорректных задач , основы которой были заложены в работах А.И.Тихонова, Ы.М.Лаврентьева, В.К.Иванова.

Разноо"разные подходи к исследованию и построению алгоритмов решения некорректних задач отражены в работах таких авторов, как А.0.Алексеев,Я.И.ДльОор, А.X,/.миров, Д.С.Ашконов.О.Е.Аниконов,

A.Асаиов. В. Я.Арсении , М.А.Агаходжаев, А.Б.Бакунинский, Н.Я.Безнощенко, Ю.М.Еерэзапекий, И.Н.Сорнштейн, А.С.Благовещон-скиЯ, А.Л.Вухгойм, В.М.ВаЯттко, В.В.Васин, М.Г.Гасымоь, М.Л.Гервор, А.В.Гончарский, А.М.Денисов, В.И.Дмитриев, В.Н.Затжн,

B. К. Иванов, И.И.Иманалкев, А.Д.Искандеров, С.И.Кабшшин, В.Р.КирУЙтос, Н.М.Лаврентьев, О.А.Лжжовец, Н.А.Магницкий, И.В.Молыгокова, В.л.Морозов, Р.Г.Мухом>лч:,в, А.И.Придегасо, К.Г.Г.;^-иицкая, В.Г.Романов, В.Н.Страхов, В.П.Ганана, С.И.Темирбулотов, А.Н.Гихонов, A.M. Федотов, Е.Я.Хрус.лов, В.А.Цоцохо, В.А.Шарафутдп-нов, В.Г.Чородничонко, А.Г.Ягода, И.Ярмухамодов, В.Г.Яхпо а др.

Работа посвящена исследовашш нового класса обратных задач для штишдалч типа Вабера. Понятие такого потенциала впервые ввел Л.Вебер (1Э1€г.). который исследовал яркость воздушной дамки, возшпсавдой в атмосфере при освещении ее солнц .а *К

Актуальность исследования указанных задач обусловлена. с одной стороны, отсутствием катах - либо значительных результатов по их строгому математическому исследовашш, так как ядро потенциала является фундаментальным решением псевдодиф&зренциаль-ного оператора , а с другой стороны, необходимостью решения методом математического моделирования конкретных прикладных задач возникающих, например, в фотометрии.

Цель работы состоит в исследовашш вопросов единственности и устойчивости решений обратных задач потенциала типа ВоСера.

Научная новизна работы внракаетсл в новых методах исследования рассматриваемых задач и полученных результатах.

Доказаны теоремы единственности решений в классе непрерывных функций для потенциала Вобера, обобщенного потенциала Вебера и потенциала типа Вебера.

Получены оценки, характеризующие устойчивость решений в множестве корректности рассматриваемой обратной задачк.Зти оценки' представляют собой один из способов возможных реализаций классической теоремы А.Н.Тихонова об устойчивости решения уравнешя I рода на компактном множестве.

Гурвич М.М. Фотометрия. - Л. :Зцергозгсшзд.1933. - 2?3с.

Доказаны теорема единственности решений в классе иенрерыш;х функций, независящих от одной из фиксированных нрострянствешшх переменных, для обратных задач определения ко:*М>пциентов возмущений в эллиптическом уравнении.

Основные результаты диссертации до::лядивалиоь и обсуждались на Всесоюзном семинаре по некорректно ностввлегашм задачам математической физики и анализа (Новосибирск , 1392), Всесоюзной конференции по нелокальным задачам уравнений в частных производиих и приложениям к моделированию и автоматизации проектирования сложных систем (Нальчик , 1986), Всесоюзной школе-семинаре по теории некорректных задач и ее приложениям (Красноярск, Т986;Новосибирск, 1992),Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач " (Бишкек, 1991), на семинаре академика М.Ы.Лаврентьева (ММ СО РАН), на семинаре кафедры теории функций ИГУ, на семинаре Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург), а также нп других. сег,ш-нарах и конференциях .

По теме диссертации опубликовано 12 работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 112 наименований.

Каждая глава делится на раздели (параграф). 00'ем текста 195 стр.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы и краткое содержание работы.

Первый параграф первой главы посвящен исследованию обратной задачи одномерного потенциала ВоОора вида :

(I)

«7(х) =

Ц(У) 1п

Лу .

где х е (с,а) , (с,а) П (а,ъ) = р . (с,а) ,(а,ь) с к - ограниченные интервалы.

Под обратной задачей поте ¡шала Вебера (I) мы будем понимать следующую задачу :

Задача (А1). На некотором ограниченном интервале известно значение потенциала ВеОера «Их). Найти функцию ц , так называемую плотность , по значению потенциала '¡¡(г.).

Основными вопросами при рассмотрении задачу. (л() являются проблемы единственности и устойчивости решений. В данном параграфе доказана теорема единственности решения в классе) непрерывных функций, т.е. справедлива следующая

Теореиа I. Пусть ц £ сСа.ь). тогда решение задачи (а,) еДШ-

еТШШГО.

Во втором пункте данного параграфа . в шожстве корректности доказана теорема, характеризующая устойчивость решения задачи (А ).

Допустим , вместо w(x) задало приближение wg(x) с заданной точностью е(е>0), порождаемое плотностью це ? тогда справедлива следующая

Тсореыа 2. Если |w-wg|<e , |<с1, тогда для е$<*хр(-/ё )-?,0 справедлива оценка :

Г mint/W<6; lni/o(e>

1/0

где с- некоторая константа, независящая от е, р- consul, известная положительная непрерывная функция на (0.<"0), причом

lira ш(е)----0. е+о

Во втором параграфе первой главы рассматривается шкжздерпая обратная задача потенциала Вебйра вида :

(2)

WU) =

Ц(у>

й

п-1

ill .

где { г, I f С,, D П и,- 0 , I).!), С fftv' -0Х']М!ПГ!(;!!Н')Н 0Д>'0~ связшлэ области.

задача <*2). Найти платность у- рлс1грзде.пг1ш.уя и одгчста v v

зя&чотмм пмчшцаялз иобара (2).

3 nept;jM иутсто данного параграфа доказана Теорсиа 3. Если ц i-. СФ), tora.-j pueiwim гольчи (A. i ияжугмтю.

Во мором пункте данного параграфа ксследовьна устойчивость решения задачи (Аг).

Теорем Если |ч< е, (егай с,тогда при п-нечетном

п.+ 3

для ец ехр(- У5 ) = е1, справедливо неравенство :

1/р

1п1п 1/Ш (8)

1п 1/и (е)

п+2

а при п-чотноы, е 4 екр (- Уе" )= е справедливо неравенство :

1/р

1п1п 1 (е) хм - ,

где с±- некоторые константы, которые не зависят от с, р-сог.з^*!, (^(е)- известные положительные непрерывные Функции на (0,е1),

причем 11т и.(Е)-0 , 1=1,2. £-*0

Во второй глаьэ»параграфе один рассматривается одномерная обратная задача обобщенного потенциала ВеОера ьвда : ъ

(3)

(1(у) 1 (х,у) йу ,

где

Г(х,у)= 111

1 1

1п —— <р(г,у) ат ,

|х-а|

у € (а,Ь), х ё (а1), (а,Ь) П (а,,Ъ1,

(а.Ы, Га1.ь15 с (а2.ь2)» ф(х,у) - решение следующего интеграл ..чю-

го уравнения второго рода :

1

ф(х.у) + р'

21С

I с(х) 1

с(х)1п —— <р(ч,у) йт =- -==- --

|х-г| ¡х-5г|

с(х) си ,ь21 - заданная функция , удовлетворяющая условию

вир х € [а2,Ъ2]

С(х)

2%

1п------ах

|х-х|

(а< 1/2 .

Справедлива следующая

Теореыа 5. Пусть ц € СГа.Ы , тогда реиение одномерной обратной задачи обобщенного потенциала Вебора (3) (единственно.

Во ьгором пункте этого параграфа исследована устойчивость реивния одномерной обратной задачи обобщенного потенциала В«<ы-ра (3).

Теорс-иа 6. Пусть гшсто »(х) задало приближение с задашь",Я точностью е (в х>), порождаемой плотность» в рнвш*йрпг,й метрике т.н. |(МГ6| < г , а |ц'| <0,, тогда для г. ч<«*хр (- Л})- в справедлива ецонка :

[Я- (I...

1п1п Ш(мс)1

1п ЩеСГГо'П

где с = пах с(х) , р - o<?nst >1. с - некоторая постоянная xcta2b23 1 1

независящая от е, ы(0) - известная полокительная непрерывная функция на (0,£ (1+-С)), причем lim w(ö)=0.

ö+o

Во втором параграфа глави два исследована обратная задача для многомерного обобщенного потенцииала Вебера вида :

(4) W(£) =

|А(У) Г(Г,у) Oy ,

и п

где х,у € R (п > г) , х с D , в П В, = 0 , D,Dt с к - ограниченные одаосвязные области, Г(х,у)- фундаментальное решение в D,(Б.5.с D,)

С 1 с

1/2

штегродифференциального оператора-л н- с(х) , здесь

д е У R. — , R - преобразование Рисса 1Й1 1 дх., 1

RjU = v.p. E1(x)»u = CQ v.p. —" U(K) •

Iх!

(О

C(x) t O0 (D3) , Dg e D3 И

l )

Мизохата С. Теория уравнений с частными производный! М.: Мир , 1077Г.

вир

С (Ж)

п-1

dy

^ а < 1/г

о - некоторая константа .

Задача <А3). Найти плотность ц распределенную а области [?,ьо значениям обобщенного потенциала Вебера (4).

В данном параграфе , в пункта один, доказана теорема единственности ращения задачи (А3) в классе непрерывных функций, а в пункте два, а мшкоствэ коррокгнсти , получена оценка, характеризующая устойчивость решения задачи (А3) " в малом ", т.е. спр -ведлшш следующие теоремы :

Теореиа 7. Пусть p. i С(П). тогда решение задачи <А3) единственно .

Теореиа 8. Если |w-wg| ч< б , ц М - множество непрерывных функций с ограниченным градиентом , тогда гфй п - нечетном для

п+3

е ехр (- Уё~)я е( справедливо неравенство :

< с,

lnln

иуТёП+сТ)

In

UjTe О +Т5Т

1/р

п+г

а при п- четном для е v< ерх (- /5 )= е2, справедливо нерапенстьо :

1/р

lnin u7(eTTVcT7

I s<

In

oCte'Cw'c У)

n

где некоторые постоянные , р - oonat >1, С = ¡пах | с(х) | ,

<jx(в) - известный непрерывные положительные функции на ( 0,e1(i+c)),

причем lim со, (Ö) ==0,1- 1,2. 0-ю 1

В третьей главе изучаются вопроси одинственности к устойчивости решения обратной задачи потенциала типа Вебера.

В нервом параграфе атой главы рассмотрена одномерная обратная задача потенциала типа Бабера вида : ъ

(5) я(х) =

|Л(у) К0(А |.:-у|) djr

где Ii (X. |х-у|)

г%

-Л|*-у|t

е

---dt

Vt2-1

х (. (а) ,Ь1), (&,ъ) П (а1 ,Ь1) = 0 , (а,Ъ), (а, ,Ь1) < к - огранлчои-¡Ш9 интервалы. Л, - положительная константа.

Тссреыа 5. Если ц е ССа.ь], тогда ревениз обратной задачи потенциала типа Вебера (5) единственно.

А во втором пункте атого парах'рафа доказана теорема устойчивости решения обратной задачи потенциала тина Вобера (5).

Теорема Гл, Пусть |тн«Е| ^ е , |ц'| ^ с , тогда для е ьхр (- Уо~) = е0 справедливо нораьеиство

Ц-|1Й I ^с с(\,р)

1п1п шТё)

1п

йТЁУ

1/р

гдо р - оогшЪ > 1, и(е) - известная положительная непрерывная функция на (О.е), причем 1!:п ы(е) - О.

0 е-+0

Во второ:, параграфе главн три рассмотрена многомерная обратная задача потенциала типа Вебора.

(6)

В(х) =

К(х,у) <5у ,

где

К(х.у)

и-1 т~1

(-1) а

_ га-1 , т-1 1с аз

/-------------2~

К Ф3(к У в f <хп - уп) )

при и = 2щ (и ) 1), а при а -- 2гаИ (п ^ 1)

К(х,у)

п га

(-1) 4 а?»

<р2( Л, У а + (хм - уп) )

X, - оопа1 >0 ,

Й - (х,- у,) . ... * УиИ) . ф3(гху> -

«Р(- г >

I % г

V > - ТГ

охр(-г и

/ *2-1

<14 , 2,у К , Ггу ~ |х-у| ,

г

х € о , у € ю , 3) П 0 , о. в, € й?п - некоторое ограниченные области .

Задача (А4). Найти плотность ^ » распре деленную в области I), по значениям многомерного потенциала типа Вебера (6).

Теорема II. Если 11 ^ С (Б),тогда решение задачи (А4) единственно .

Теореиа 12. Пусть - УЫ е , | £га<1 ^ с, тогда при п+з ь

п -нечетномдля е 4 ехр (- Т~ь~) = е^ справедливо неравенство :

1/р

1п1п 1/ш. (е)

< с,(31.р>

In 1/(^(6)

п+г_

а при п - четном для е < ехр (- /~ё~) = е£ справедливо неравенство : г 1/р

Inln 1/ш2(е) In i/w2(g)

где р - oonat > 1 . ct~ постоянные независящие от £ , и^е) -известные полоштелыше непрерывные функции на (0,^) , причем

.Ltm и (е) —О , 1- 1,г. с-* о

Б четвертой главе исследуется задача определения коэффициента возмувдепия , входящего в уравнение эллиптического гша в постановке А.Д.Бухгейма . Предполагается, что искомая функция неизвестна в некоторой заданной области и принимает известные постоянные значения пив этой области .

В нервам параграфе эгсЯ гласи рассматривается уравнение

(7) Ди + Хг а(х)и = 5(х-х0) , х . х0 € к3 .

где а(х) - 1 I и(х) ,ъиь непрерывная функция с компактным носителем, содэряащимся в области в с к3.

Пусть и(х,х0Д)- реиениэ уравнения (7) такое , что и = и0т,

где

ехр(1А|х-х0|)

ио

АХ |Х-Х0|

о функция и(х,х0,Л.) удовлетворяет условиям излучения :

вУ

V = О (1 /{X| ) ,--1\У = О (1/|х| ) , |х|*»

в[х\

Задача (А5). Требуется восстановить функцию Ь(х). зная рассеянную в обратном направлении волну

1)(х,хД)= к(х,М , х € В0, X е а0<Х.,). Й0П

Теорема единственности задачи (А5) доказана , в классе непрерывных функций , впервые М.М.ЛаврентьеЕШ п , а в другом варианте А.Л.Бухгеймом2' .

В персом параграфе этой главы в множестве корректности подучена оценка, характеризующая условную устойчивость задачи (А5).

1> Лаврентьев М.Ы. Об одной обратной задаче длл болнового уравнения, докл. ан ссср. юс;:, т. г.7/, ш, 520-521. г) Еухгсйм А.Л. Уравнения Вольтерра и обрпптс згдочп.

Новосибирск :1Глука, 1933, 205 с.

Бо втором параграфе рассматривается уравнение

К0' ' к,хо

(8) Ли - k£u +• -\Ea(z)u = - хп; , х,хп € к3 ,

где - 1 »ь (х), ъ f С (D). D с R3- ограниченная область ,

р . р

к"" > - const.

Пусть и - и(х.,х0,к,М- решение уравнения (8) такое . что U - u0t V , где

-вхр (-/к2- кг 1хх0()

а (х.х ------------

00 « |х - х,|

Задача (А6). Требуется восстановить функций Ь(х) зная . что y(x,x0,k,\) = g(x,x0,k.A,) , х £ D^ D£, D, с к3-

ограниченные области , П D ■= (S , D, П D2 - 0 .

Тоорьuа 13. Пусть ь - ограниченная , непрерывная функция и

дЬ

— =0 (1- фиксированное число ) , тогда решение обратной

задачи САД) единственно.

В третьем параграф рассматривается уравнение

(0) Ди - е(х)и. t ?L2iiVx)a = в(х-х0) , х.х0С ,

где си) - некоторая шотрицытелыша фунюшя из 0( к3) удовлетворяющая условия

И с (у)

*

иЦ> -- И Ь(г) , Ь(х) t С (D) , D <•: К3 - ОГрЭДОЧбНЯаЯ 0<5л&СТЬ.

(ЦП

----йу £ а <1/2 , X € К3 ,

! b

Пусть u - uQ + и , где uQ - главное фундаментальное решение оператора Д - с(г) + А.2, а функция v удовлетворяет условиям излучен.;;!

вь

v - 0(1/|х|) .--- lAu = о<1 /fx)) , |х|>ф со,

а|х|

Задача (.¡Ц.). Требуется мосстановить функцию Ъ(х) зная , что v(x,х0.Х) - g(x.x0.X), х f D,, х0 с 02 , X е <VV '

D,i1 Da = 0 , Djfl В = 0 , 1= 1,2 . Справедлива следующая

Тасреиэ 14. Пусть b(x} - ограниченная . непрернвная функции , fib Ос

причем ------- s ----- s о (1- фиксированное число ) .Кроме того

ах. Ох,

Х- 1

выполняется условие (10). Тогда реиенг.е обратной задачи (Л7) елип-ствешю.

В четвертом параграфе рассматривается урагшешге

Ли - c(x)u - k^a + \£a(x)u = й(х-х0) , ,

где it" > К" , с (x) - неотрицательная ограниченная функция из С(к3) , а(х) = Ht>(x) , Ь(х) с с:0(П), D С К3- ограниченная область

Пусть u - u() f v , где и,- главное фундаментальное рошош;*; оператора Л - с(ж) - - Л2) .

Задача (Л ). трзпуетсн юистаногтчь Функцию Ь(х) аная , что Ык,хг,К,А.) -■ с,(х,х.. ,1:Д) , I ( D, , х„ С IK ,

О О 1 О с

я f (АСД,) , Vd, , k2> max { . A* } , D. П 0.. - 0 , !), Г! ]'i --. fi (i^ i ,?_) ,

1 С 1

Справедлива следующая

Теорема IS. Пусть ь(х) - ограниченная, непрерывная функция ,

0Ъ

да

причем

г 0 (i- фиксированное число )

Кроме того выполняются следувдие ' условия :

а)

¿1С

|х-У! е

-V к"- X¿ |x-t J

I ас—"t I |yt|

c(t)dt < a <1 ,

для Jiiböux; x,y í tR ;

1 1- a

b) Blip |x-xn| < In —n----

X С 1) ° k a

x С D_

Тогда решение задачи (A0) единственно

Пользуясь случаем , автор выражает глубокую благодарность своему научаем/ консультанту академику М.М.Лаврентьеву за научило консультации и обсуждение получгзшшх результатов.

ПУЕЛШШОТ ПО ОСНОВНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ ДИССЕРТАНТ

1. Серикбаев А.У. Применение метода регуляции в обратных задачах теории логарифмического потенциала /.' Изв.АН Уз.ССР, серия Сиз.-мат. наук, 1982, М:6.- с.3-7.

2. Серикбаев А.У. Об одной обратной задаче теории логарифмического потенциала // Изв.АН Уз.ССР, серия физ.-мат. наук , 1983, М:1.- с. 15-19.

3. Серикбаев А.У. Об одной смешанной обратной задаче теории логарифмического потенциала простого слон // В кн."Краег;не задачи для уравнений математической физики и их приложении "- Ташкент: Фан, 1933.-Юс.

4. Серикбаев А.У. О приближенном решении смешанной пространственной обратной задачи теории потенциала // Тезисн докладов VIII Республиканской межвузовской научной конференции но математике и механике,- Алма-Ата, 1984.- 1С.

Серикбаев А.У. Об одной обратной задачи теории потенциала // В кн. " Нелокальные задачи уравнений н чаегчшх нронзьоднкх и их приложения к моделированию и автоматизации проектирования сло?:--них систем " - Нальчик, КЕГУ, 1986 - с.9'>-юо.

6. Серикбаев А.У. Об устойчивости реиеииа обратной задачи потенциала типа Всбера // Изв. АН Респ.Казахстан, сер. гли.-мз?, И<>2,- Кс.

7. СерикЗаов А.У. Об одной обратной задач» /.' Т№мси докдчдоь ВсессиыюП конкуренции но услошо-коррокини» у^.^ач^м илгем-лч!-ческоЛ Физики и анализа - ¡{оносис.;1;»:к, Г.С.":. - г.

8. Серикбаев А.У. Об обратных задачах определения коэффициентов // Сиомрсклг учтем.журнал , деи. в ВИНИТИ 16.07.93, К:20П- В S3 ,

25с.

9. Serikbaev A.U.. On the Inverse problem's Cj. define the ooeffl-oients // The works oí international conference o* tomografy -Uovoslbirak.- 1993.--p.108..

10. СерикОаев А.У. К вопросу многомерной обратной задачи потенциала типа Вебера / Изв АН Республика Казахстан, сер.физ.-катем.-

199$. 1\-Ъ3 9с.

11. Серикбаев А.У. 00 одной многомерной обратной задаче обобщенного потенциала тина Вебера // L кн." Выроадащиеся уравнения и уравнения смешанного типа " - Ташкент, 1993,-с.1бо.

12. Сорикбавв А.У. 00 одной многомерной обратной задаче сообщенного потенциала Вебера "в малом" // Докл.РАН , 1994, т. 335 .

N: 'J , Ъ С.

.Подписано з печать гг. oi.su Формат 60 х В4- / 16

печать" Офсетная Тиран 100 экз.

Уч.-изд.л.I 1,25 Заказ С? н.2

Участок оперативной полиграфии НГУ 630090, Новосибирск,Пирогова, 2