Обратные задачи спектрального анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Министерство образования Российской Федерации Магнитогорский государственный педагогический институт

На правах рукописи

Великих Альфия Салиховна

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Специальность 01.01.02 — "Дифференциальные уравнения"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор Дубровский В.В.

Магнитогорск - 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 4

1 Вспомогательные утверждения 16

2 Решение обратных задач спектрального анализа 19

2.1 Восстановление потенциала в обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля по смеси двух спектров ... 19

2.2 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике,

по части спектра......................... 28

2.3 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике,

по спектру ............................. 46

2.4 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на параллелепипеде,

2.5 Восстановлении потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на параллелепипеде,

по части спектра (продолжение)............... 75

2.6 Восстановление потенциала в обратной задаче для степени оператора Лапласа, заданного на п-мерном параллелепипеде, по части спектра...................81

3 Устойчивость решений обратных задач спектрального анализа 93

Литература 99

Введение

Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления оператора по его спектральным характеристикам. К таким характеристикам относятся спектральная функция, спектры, заданные при различных краевых условиях и другие (см. [2], [22], [28]).

Теория обратных задач играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет множество приложений в естествознании, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. В то же время, многие важные классы обратных задач, в силу их сложности, изучены недостаточно или совсем не изучены.

Центральное место в исследовании указанных задач занимают

проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание "эффективных" методов их решения. Что касается проблемы существования, то до настоящего времени нет критериев глобального решения этого вопроса. Имеется ряд теорем существования в малом для так называемых обратных задач для тела, близкого к данному, но даже в этом случае задачи не были полностью решены, что связано со значительными трудностями в исследовании уравнений, как правило, нелинейных, к которым сводятся эти задачи. Поэтому во многих случаях заранее предполагают существование глобальных решений этих задач и исследуют проблемы единственности и устойчивости. Следует заметить, что, вообще говоря, многие обратные задачи имеют не единственное решение. Поэтому одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, накладываемых на решения, обеспечивающих их единственность. Трудность проблемы единственности состоит в том, что, как правило, указанные задачи эквивалентны нелинейным интегральным уравнениям первого рода с ядрами типа Урысона, для которых не удается применить известные

методы решений. С проблемой единственности тесно связана проблема устойчивости обратных задач. Для этих задач, записанных в виде уравнений первого рода, вообще говоря, сколько угодно малым вариациям правой части могут соответствовать конечные вариации решений. Для того, чтобы задача стала корректной, требуется накладывать ряд дополнительных ограничений о характере решений. Во многих случаях для выяснения устойчивости важно иметь различные характеристики отклонения решений в зависимости от отклонения правой части.

Наиболее полные результаты в теории обратных задач известны для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля

= ~У" + я(х)у (1)

Обратные задачи для дифференциальных операторов (1) исследовались в работах В.А.Амбарцумяна, Г.Борга, М.Г.Гасымова, И.М.Гель-фанда, М.Г.Крейна, Б.М.Левитана, Н.Левинсона, В.А.Марченко, Ф.С.Рофе-Бекетова, В.А.Садовничего, А.Н.Тйхонова, Л.Д.Фаддеева и других.

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А.Амбар-

цумяну (1929г.). Он показал, что если собственные значения крае-

вой задачи

Ly = Xy (qeC[0, тг]), У'{ 0) = 2/'(тг) = 0

суть Лк = к2, к > 0, то q = 0. Однако, результат В.А.Амбарцумяна является исключением и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения дифферециального оператора (1). Впоследствии Г.Борг (1946г.) доказал,что два спектра {A¿J}, к > 0, j = 1,2 краевых задач для дифференциального оператора (1) на конечном интервале с распадающимися краевыми условиями вида

Щу) = Hjy'(0) + h¿y(0) - 0, V(y) ее у(Т) = 0,

¥=0

щ h н2 h2

однозначно определяют потенциал q(x). Н.Левинсон (1949г.) предло-

жил иной метод доказательства результатов Г.Борга.

Исследование разрешимости классической обратной задачи по двум спектрам с указанием достаточных условий проведено в работе [19] Б.М.Левитана и М.Г.Гасымова. Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим классическую задачу Штурма-Л иу вил ля

-у" + ч{х)У = Ху (0 < х < 7г), < у'(0)-ку(0) = 0, у'(тг) + Ну (к) = О, где д(ж) —действительные.

Пусть {Ап} и {дп} — две последовательности чисел, удовлетворяющих условиям:

1. Числа Хп и цп перемеЖаются, т.е.

Ао < Но < А1 < /¿1 <X2<H2<...

или

//о < А0 < /¿1 < Ах < /Л2 < Х2 < —

2. Выполняются асимптотические формулы

у п п6 ^п4''

У п п6 ^П4'

где

1 1 } «о = -{^1 + я + 2 У

о

о

поэтому а'0-ао = -—(/12-^1) 0- Тогда при выполнении этих условий существуют абсолютно непрерывная функция q{x) и числа /г15 /г2, и Я такие, что {Л„} есть спектр задачи

-у" + д(х)у = Ху (0 < х < 7г),

< У'{0)-М0) = 0, ^(7Г)+Я2/(7Г)=0,

а {//„} — спектр задачи

-у" + я(х)у = Ху (0 < х < 7г),

< у'(0)-/122/(0) = О, у'(тг) +Ну (тг) = 0,

В общем случае одного спектра недостаточно для восстановления оператора. Обратная задача разрешима по одному спектру, например, в классе симметричных потенциалов. При этом предполагается, что спектр возмущенного оператора мало уклоняется от спектра основного оператора, порядок которого выше второго. Тогда в достаточно малом шаре ||д||2 < е существует единственный потенциал такой, что спектр возмущенного оператора совпадает с заданной по-

следовательностыо чисел. Вне указанного шара могут существовать и другие решения.

В теории обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков известны результаты Р.Билса, П.Дейфта, З.Л. Лей-бензона, Л.А.Сахновича, В.В.Суханова, К.Томей, И.Г.Хачатряна, В.А.Юрко и др. В [21] З.Л.Лейбензон предложил метод решения обратной задачи, пригодный для операторов любого порядка п > 2. При этом оказалось, что в случае п > 2 для восстановления оператора недостаточно спектральных данных одной задачи и требуется рассмотрение некоторой вспомогательной системы задач.

Обратными задачами в смысле теории дифференциальных уравнений занимался А.И.Прилепко (см.[23]).

Обширная библиография посвящена обратным задачам для уравнений с частными производными и их приложениям. Это направление в теории обратных задач достаточно полно отражено в работах Ю.Е.Аниконова, Ю.М.Березанского, А.Л.Бухгейма, М.М.Лаврентьева, Л.П.Нижника, В.Г.Романова и др.

В [25] В.А.Садовничий и В.В.Дубровский доказали теорему един-

ственности решения обратной задачи для абстрактных операторов только по одному спектру и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к оператору Лапласа, заданному на прямоугольнике с потенциалом из Ь2. К этой работе по

v

своей тематике и методам примыкает [5]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных по максимуму функций. В [12], [14] В.В.Дубровский и А.В.Нагорный разработали метод восстановления потенциала и доказали его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим в ¿2(П) краевую задачу:

/

77 = А/,

<

/ 1вп= О,

где Т = -А — оператор Лапласа, дП^ — граница прямоугольника

Qp1

П2 = {(%,у) • О < х < а, 0 < у < Ь}, (-р- — квадратическая иррацио-

оо

нальность). Введем оператор ТР = J \ЧЕ(Х) ( Е(А) — спектральное

о

разложение единицы, порожденное оператором Т) и обозначим через vtmn (i, m, п = 1,2,...) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям А¿топ, расположенным в

порядке возрастания.

n n

Если ß > 0, £ d-[l <00 (dt = ппп|А* - Лв|) и £ - Л<| <Ce(N< к=1 *=i

00), то в замкнутом шаре £7(0,6:) = {р(х,у) : ||р||оо < £} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям

р(а-х,у)=р(х,у)=р(х,Ь-у), (х,у)е П,

/[ р(х, у) cos 2™Xdxdy = J J p(x, у) cos IlE^Ldxdy = 0,

П П

и такой, что числа являются собственными значениями оператора

+ -Р (Р — оператор умножения на ре C(Uiß), Il1ß = {(х,у) : 0 <

а „ ч

ж <2, 0 < г/ < 2})•

Если же ß > 2,5, то для последовательности чисел

6 — \»m + + ßn + 7mn

такой, что

00 ОО 1 ОО 1

( Е l«m|2 + Е \ßn\2Y < ¿1, ( Е \1тп?У < ¿2,

m=l п=1 т,п— 1

где ¿1 = 62 = 62(е) в шаре U(0,e) = {р(х,у) : ||р||2 < е} суще-

ствует и притом единственный потенциал, удовлетворяющий условиям

р(а -х,у)= р(х, у) = р(х, Ъ-у), (ж, у) е П,

и р(х,у)<1х<1у = О,

п

и такой, что числа & являются собственными значениями оператора + Р (Р — оператор умножения на р е ^(П)). В [6] В.В.Дубровский сформулировал и доказал теорему о возможности восстановления потенциала из ^(П) по собственным числам четырех краевых задач

Т/ = Л/, / 1«п= 0;

1)

2)

Т! = л/, -о

где г» — внешняя нормаль к границе <9П прямоугольника П;

Г/ = А/,

з) /0,0) = /0,6) = 0, 0 < ж < а, = у), 0 < г/ < 6;

4)

Tf = А/,

/(0,у) = /(а,г/)=0, 0 <?/<&,

Ы дf

= 0 < ж < а.

Для доказательства этой теоремы используются методы работ [12], [14].

В [13] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [12], [14], [25].

Вторая глава диссертации посвящена решению обратной задачи для оператора Штурма-Л иу вил ля по смеси спектров двух краевых задач, а также степени оператора Лапласа, заданного на различных множествах, с потенциалом из Ьр по одному спектру. При решении используется метод сжимающего оператора. Доказана возможность восстановления потенциала как по всему спектру, так и по некоторой его части, конечной или бесконечной, в соответствующем классе потенциалов. В последнем параграфе исследуется устойчивость всех полученных решений.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Решена обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля по смеси (произвольному объединению) спектров двух краевых задач, полученной следующим образом: к-тый член этой последовательности является либо к-ым членом последовательности собствен-

ных значений задачи Дирихле, расположенных в порядке возрастания, либо &-ым членом аналогичной последовательности собственных значений задачи Неймана. При этом вычисляется размер шара, в котором существует единственное решение.

2. Решена обратная задача для степени операторана Лапласа, заданного либо на прямоугольнике, либо на трехмерном параллелепипеде, либо на п-мерном параллелепипеде, с потенциалом из Ьр по части спектра или по всему спектру. Размер шара также вычисляется.

3. Исследована проблема устойчивости решений обратных задач с потенциалом из определенного класса.

Основные результаты настоящей работы опубликованы в [7], [8],

[9].

Результаты настоящей диссертации докладывались на VII Бело- русской математической конференции, на 9-й Саратовской зимней школе, а также на научно-исследовательских семинарах В.А.Садов-ничего, А.И.Прилепко, В.Е.Подольского, С.А.Степина, Т.С.Типенко, В.В.Дубровского.

1 Вспомогательные утверждения

В этом параграфе приведем формулировки теорем, которые понадобятся нам в дальнейшем.

1 1

Теорема 1.1 (Хаусдорфа-Юнга) Пусть 2 <р < оо и - + — = 1,

(I) Предположим, что /(ж) е 1у(0, 27т) и что

1 2тг

¡(х)е-^Чх (п = 0,±1, ±2,...); (1)

о

тогда

1 27Г 1 о

(II) Пусть задана любая бесконечная в обе стороны последовательность {сп} комплексных чисел таких, что \\с\\р> < оо; тогда существует функция / е 27т), для которой имеет место (1) и

1 2ж 1 о

Замечание. Ив (I), и в (II) заключение делается от р' к р, т.е. от меньших индексов к большим. Результат перестает быть верным, если заменить р1 на р.

Теорема 1.2 Пусть фиксирована некоторая функция /(ж) иКг[/] = 1 2?

= у |/(ж)|гаЬ)г, г > 0. Тогда Ыг[/} — неубывающая функция. о

Доказательство этих теорем можно найти в [16, с.153] и [15, с.48] сответственно.

Теорема 1.3 (Лиувилля) Для любого действительного алгебраического числа а степени п можно подобрать положительное число С, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел ^ (Ь 0, ^ а) будет иметь место неравенство

а . С

а

Ъ ~ Ьп'

Теорема 1.4 (Лиувилля (усиленная)) Пусть аг (г = 1,2,...) —

линейно независимые над полем рациональных чисел С^ действительные алгебраические числа, V — степень поля (¿(а 1,..., ап), I,..., ап) — поле, получающееся из и а^,..., ап. Тогда

С (а 1,...,ап)

Е (liai i=1

>

где ií = max(|gi|,..., \qn\), Qi — целые числа, не равные нулю одно-

1 <i<n

временно, С (a i,...,cvn) —положительное число, зависящее только от ai, ...,an.

Доказательство теорем Лиувилля можно найти в [3].

Теорема 1.5 Пусть а^, а2 — алгебраические числа и 1, ai, a<¿ линейно независимы над полем рациональных чисел Q. Тогда для любого е > 0 найдется постоянная C{o¿\, се2, е) такая, что

¡qi*l+q2a2+qs\>C(ai¿%> е\

где Н = max(|q\\, |g2|, |<?з1)5 <72 > %—целые числа, не равные нулю одновременно.

Доказательство этой теоремы можно найти в [30].

2 Решение обратных задач

спектрального анализа

2.1 Восстановление потенциала в обратной

задаче для оператора

Штурма-Лиувилля по смеси двух

спектров

Ниже доказана теорема о возможности восстановления оператора Штурма-Лиувилпя по смеси (произвольному объединению) собственных значений двух краевых задач (Дирихле и Неймана).

Договоримся под Ь2 понимать пространство классов эквивалентных суммируемых с квадратом функций у : [0,7г] С и нормой

Пусть Тт : Ь2 Т? = -у" — оператор Штурма-Лиувилля,

либо с краевыми условиями Дирихле

\\у\\2 = \у{х)\Чх , где С

\ 2

/

множество комплексных чисел.

2/(0) = у(тг) = 0 (при этом будем писать Т — Б)

либо с краевыми условиями Неймана

у'(0) = у'{ж) = 0 (при этом будем писать Т = Аг);

— собственные ортонормированные функции оператора Т^, отвечающие собственным значениям Л^(0); при этом

А^(0 ) = п2, где п —

0,1,... (r = N),

v*\x) =

sinna;

ж

Т 12

ж ' V ж

cos пх N), п = 1,2,.

г =

Положим \

1+^-1

у/ж21

I — натуральное число (I > 1);

■ Р(А,Т^) = (Т* - ХЕ)~\ + Р) = (Тт + Р - АР)-1,

где Р — оператор умножения на некоторую функцию (потенциал) р е Ь'2, удовлетворяющую условиям

Ро(х) =р0(ж-х),

(1)

и

Л

J po(x)dx = 0;

(2)

с1п = |Л„(0) - Л„_1(0)| (при этом оказывается йп = 2п - 1);

2

1п = {X:\X-п2\ = с1п/2}; фп(х) = ~^=соб2пх.

Теорема 2.1 Если последовательность комплексных чисел ц^ — N. I), п — 1,2,...), расположенных в порядке возрастания действительных частей с учетом кратностей, такова, что

оо

Е1^-п2|2<2^, (3)

п= 1

то в шаре II = {р : \\р\\2 < \/7г21е} существует и притом единственный потенциал ро, удовлетворяющий условиям (1),(2); при этом ¡1? = Х£(ро), где А^(р0) — собственные числа оператора Тт + Ро, Лз — оператор умножения на ро.

Замечание. Числа суть собственные значения либо оператора Т° + Ро? либо оператора Тн + Ро? ПРИ этом к-ът член последовательности ^ является либо к-ым членом последовательности , либо к-ым членом последовательности

Доказательство. Пусть р е 17 — произвольная функция. Рассмотрим ряды

оо

п=1

оо

п=1

где

причем знак " - " в (4), (5) берется, если ^ = В, и " + ", если Т = N. Ряд (4) в сипу (3) сходится почти всюду (п.в.) к некоторой фун-

кции д е Р2- Имеем

д{х) = л/ж £ ±(/< - П2)фп(х)

(6)

71=1

Займемся рядом (5). В силу неравенств (см. [14])

72

получим

\Яп{р) \ — При ||р||2 <

(/ РР(А, Г^ + Р)РР(А, Г^Х^А,

<

2|И1

7г(2П - 1)'

£ < (|)2»Рй|1 (¿^==■» < »,

и ряд (5), в силу теоремы Рисса-Фишера, сходится п.в. в 1/2- Имеем оператор '.V ^

оо

(Уре17) Я{р) = \/тг £ Яп^-Фъ

п= 1

Сказанное позволяет ввести оператор (9 : V 1/2,

(\fpeU) 0(р) = д-<Э(р).

Покажем, что (т — оператор сжатия. Воспользовавшись нера-

венствами (7), получим (Ур,р е £/)•

\о£(р)-ят\ =

2тг

(/ РД(А,Т^ + Р)РР(А, ¿А, V?) -

1п

- (/ РР(А,Т^ + Р)РЛ(А,Т^)^с1А,^)

<

<

2тг

(/(Р-Р)Р(А, Г^ + Р)РР(А,

+

+

2тт

(I Р(Я(А,Т^ + Р) -Я(А,Г^ + Р))РЛЕ(А,Г^)г;^А,^)

1п

1

+

+

2тт

1п

- (|1р||2 + И2|» + 1№).

тг(2П-1)

Теперь согласно равенству Парсеваля

оо

\\Qip) - ЖР)II = уЩ ( Е \Яп (р) - ®12) <

т=1

<

2(11^112 + 11^11211^112 + 11^112), л/7Г

00

\p-Ph\T,

1

_2{\\р\\2 + \\рм\рь + \ш тг

л/к

2л/2

\\P-Ph

+ \\шр\\2 + №\2)\\р-рь = 1\\р-р\\2,

где 7

+

\\р\Ы\р\\2 + ||Р||2) < У^(2л/7г2/£ + 7Г221£2).

ПрИ £ (

\

у/тс2*

л/тг2'

7 < л/1

V

л

получаем

/

г , ^(2' -1) 2, ! , ^-1) !

1 + {V л/5г2' "

2\

2

-1) _ 2/ - 1

2г

<1.

Теперь

II0(р) - 0{р)ь = IIд - <Э(р) -(д- д(р))||2 = \\Qip) - д(р)||2 < 711Р - р||2.

Наконец, положив р = 0, получим

\\0(р)\\2<\\р\\2<^21е,

и поэтому действует в шаре 17 и является оператором сжатия.

. В соответствии с принципом сжимающих отображений в шаре 11 существует и притом единственное решение ро уравнения

Р = 0{р)

(8)

Покажем, что ро и есть искомый потенциал. Дополним ряд

00 00

Л/ТГ Е - П2)фп(х) (Р)фп(х)

п=1 п=1

членом аофо (фо = -у=) с нулевым коэффициентом Œq с тем, чтобы

\/7г

иметь разложение по полной орт ©нормированной на [0; 7г/2]