Обратные задачи связной термоупругости и эмиссионной томографии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГО ол

/МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.957:517.968

ИСАНОВ Равшанбек Шадибекович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СВЯЗНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ и эмиссионной ТОМОГРАФИИ

01.01.03. — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фшнко-матсматичесимх наук

Ташкент — 1997

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете и Ташкентском государственном университете.

Научные руководители: д.ф.-м.н. Яхно В. Г.,

д.ф.-м.н. Умаров С. Р.

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н. Бухгейм А. Л.,

д.ф.-м.н. Фаязов К. С.

Ведущее предприятие: Самаркандский государственный

университет.

Защита состоится 1997 г. в

час. в ауд. 205 А на заседании Специализированного совета К 067,02.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Ташкентском государственном университете но адресу: г. Ташкент, ТашГУ, ВУЗ городок, 700095.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТашГУ.

Автореферат разослан ___--¿¿¿?63__1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м,н,

АБДУКОДИРОВ А. Л.

оаадя хардктерискяа работы Актуальное» тем;, в настояла рпботе исследую, гя задачи

омиссиошой томография, прямые и обратные одаомзрпно, гвюгомзрнио .йякоаразоаашшо задачи связанной ?ормаупругости„

Задата томографии з последние года бурно развиваются в связи с большим примзнониам их а кодацино, роктшадиапюешь., познании строения Земли и другие областях. Задача томографии заключается в постановлении фуакцзш, если кзвэстш от шк интеграла по семейству прямых или плоскостей. Физическая интерпретация задач эмиссионной томографии состоит в определении плотности излучения при заданном коэффициенте самопоглащения и зада:пйгх значениях интенсивности излучения вдоль всевозможных прямых, перс сектах некоторую область.

В математическом плане решешга этих задач состоит из обращения некоторых операторов.

В последа» года большое развитее приобрела, геофизические метода исследований, связанные с познанием глубинного строения Земли» а также различных проблем горного дела. Известно, что раз липко характеристики Земли» если их рассматривать как функщМо зависящие. от глубины имеют разрывы первого рода. В связи с этш практический интерес имекг задачи, связанные с определением одномерных а многомерных характеристик упругой среда, входящих в качеств® коэффициентов в систему дифференциальных уравнений динамической упругости. Термоупругость, являющаяся разделом'мвхаяикк твердого тола, получила в последнее время.значительное развитие в связи с важными задача'-га, возникающими при разработке новых конструкций паровых и газовых турбин, высокоскоростных самолетов,, едэрных реакторов и т.д. В математическом отношении опрзделения характеристик упругой, термоупругой среди, а также фушец. .т теплового рас-Еирешш представляют собой обратные одномерные л г/ногемерше задачи. Естественно, больной интерес связан с решением эта- задач, которые относятся к классу условно-корректных задач. Отметим, что все рас 'отрешаю в диссертации задачи откосятся к классу усдовпо-корректша зада1!.

Систематическое хаученио у л^ зно-ко^ рокт.х зэдэ™ математической физип даю в работах А.Н.Тихонсва, Н.М.Лавронтьова, В.Г.Романова, Ю.Е.Аникснова, В.Г.Р~ко ч др.

Основными целями диссертационной работы являются:

- исследование задач эмиссионной томографии в йп.

- изучение однозначной разрешимости и получение оценок устойчивости решения одномерной и многомерной динамической обратной задачи для СДУСТУ (системы дифференциальных уравнений связной термоупру-гостЮ.

Общая методика исследования. С помощью методов математической

физики и функционального анализа изучены структуры некоторых операторов. Используя эти исследования задача эмиссионной томографии решается с помощью, метода последовательных приближений.

Далее, с помощью методов .математической физики, функционального анализа, энергетических и априорных оценок изучены структуры некоторых фундаментальных и обобщенных решений для гиперболического, а также параболического уравнений и систем. На базе этих исследований СДУСТУ сводится к последовательному решению задач упругости и термоупругости.

Научная новизна, теоретическая и. практическая ценность.

Все'основные результаты, диссертации являются новыми.

1) Доказана теорема о существовании единственного решения и оценке устойчивости: решения задачи эмиссионной томографии для об- . ласти с малым диаметром и гладким коэффициентом самопоглащения.

2) Построен и реализо: ан алгоритм численного решения задачи эмиссионной томографии. Проведены тестирование алгоритма.

33 Проведено исследование вопросов существования единственности и устойчивости решения прямых начально-краевых задач для СДУСТУ с коэффицентами, зависящими от одной пространственной переменной при специальных начальных и граничных условиях. Изучены некоторые свойства решений прямых задач V.

43 Показано, что реиение одномерной обратной задачи для СДУСТУ сводится к последовательному решению серии обратных задач для скалярных гиперболических и некоторых функциональных уравке-ний.Получе.чы необходимые и достаточные условия для существования единственного решения "в малом" и устойчивости решения "в целом" каждой из задач.

5) Показано, что решение пног&мерной линеаризованной «'¡ратной

задачи для СДУСТУ сводится к последовательному реиению трех обратных задач для двухпараметрического семейства скалярных гиперболических и одной обратной задачи для скалярного гиперболического уравнения. Получены необходимые и достаточные условия для существования единственного решения "в малом" и устойчивости решения "в целом" каждой из задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на

семинарах : чл.корр.В.Г.Романова, (ИМ СО РАН г.Новосибирск), чл.корр.Ш.А.Алимова, (ТашГУ), проф.А.Л.Бухгейма, (ИМ СО РАН г.Новосибирск), акад.Т.Ж.Джураева, (ИМ АН РУз г.Ташкент), акад.Муса-ханова М.М. (ТашГУ), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики."( 1992 г. в г.Новосибирске), на сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физика ( 1995 г. в г.Новосибирске), на мекдународной конференции "Компьютерная томография"( 1993 г. в г.Новосибирске).

Публикации. Основные результаты работы опубликовании в работах II - 91.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех

глав и изложена на 68 страницах машинописного текста. Библиография включает 47 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дается краткий обзор литературы и приводятся основные результата работы.

Глава 1 посвещэиа задаче эмиссионной томографии В 1§ этой главы рассмотрена задача эмиссионной томографии в Ra, когда коэффициент поглащения есть гладкая функция с финитным носителем. При условии малости этого носителя и гладкости коэффициента поглащения доказана теорема о существовании единственного решения задачи эмиссионной томографии и получена оценка устойчивости ее решения.

Пусть х=(х,.....Xn) € Rn, 6 6 Sa"'=C9 € Rn|j8|=1 >,в1-подаростран-

ство, ортогональное е, Т={(9,х)| в € S*1-,' х св1»-касательное раст слоение сферы Sn~', fie Rn- область конечного диаметра d. Для каждого oieR определим пространство H^ÎR™")• состоящее из функций Ф(х), для которых

X (Hil2)*!®^)!^ < ® ,

гдо ®(Е)-преобразовашю Оурьо функции 0(к) no х ;

I^(0)=(i(x)eI!c'(Rn)| supp i(x)c Q ); К** (T)-пространство, состо.пцоо из функций g(x,0), для которых

lleBori .Г х (1Hnl^l8(T).Q)|2<iTidsl ,/2< « , 1 sn"' е- J

Л

где е(т),в)- преобразованию Сурьо по х от-функции g(x,0), определяемое формулой

(1-п)/2 г -tXTl ,

g(Tj,G)=(2ic) в s(x,0)dx ,т)€ в1. (Г)

в1

Для каждой 4ункции i(x)e H^(fl) определим лучевсэ преобразование Р, отображающее функцию, о^роделетую в R", во множество линейных интегралов, т.о. если 8« Sn_'ii х € RT , то

РИх,в)=; i(x+te)dt,

■ —СО •

представляет собой интеграл функции Их) но прямой, проходящей: через ючку х в направлении 6.

Обозначим через К* образ пространства Н^(П) при преобразова • нии Р,т.е.Р11^'(П)=Н^. Мнокестро If* является линейным подпространством в пространстве *дэ (3=oC+t/2. Из работ Ф.Паттерера следует, '.го обратный оператор H%(Q) будет линейгшм и непрерывным, а также для каждого элемэнта g( имеет место сценка

^Мр.Т < ЦР-'gll* «^«в-р.Т • 12)

где |3=oi+1/2.

Определим оператор! D/и Р,. посредством формул

Маз

P|i(x,9)=J" p.(x+0t)dt , о

ю -f iaCxi-GCt-etj)citf

. (Р.Г)(х,0)=/ f(X46t) e 0 dt ,

Г , — СО

для произвол! .ux p(x),f(x) из пространства .

- й -

^зссмогр'/'-! рш'еагтво

М с £ < О1, (К)

задач:/.

йазачл 1. Пусуь иСО-шшссгаэ.! из }фй). Оишдодать

х^пзтистпуо в Н£(П) {.улжкэ Ш) ко .чв^ои.'г;;»! е(к,0).

Пусть, дапоо -ссс^'ровьгпео чиелэ из идтзрваяа (о,->). •3-1с+1,г; ц(х)-зп7Г»1п<зя фугпчря класса Н1(НП>, причем вирр ц(2)с О,

Спрпвздгана следухпзя тоороаз.

Теорема 1.1. Пусть й,р-фж!сгрссажя;о числа, епродегшгав пг>э; Ц{Х)" ЗОД-МИСЯ фуШЗДШ, удопгстссрйкдая Сшзв условиям; 2(2,0)- известная Функция аз класса Тогда поется таксе тасдо (Л*>0, что при й1&а О < суцсои^ог едиетвешюэ реиоште гада-чл оггесскспной тсмсгргфст в класса 11^(0) я у-'еэт мэсто скопха

где С - некоторое полоазгееяыюв тлело, заъглсяЕро от ос, 41&а а и Й ¡Пх) н

Н(НП)

В 2§ рассмотрена задача яахоздвтоя кгл£"глг.'.ег.?а поглапенга и функции распределения источязков кзлучзнкя одновременно. Показано, что репенде этоп задачи сводятся к последовательному ропгазгаю задач лучевого Радона, а затем задача 5«дссвошса тс^огра^аи

3 25 главн 1 юстроен и роая:эоаа!1 алгерглч ресетм задач1,! оетсс.юшюй тсмогра&гл.

Глаза 2 посвесенз 'прямым к обратным одаомершм задача* связней термоупругостп. В 15 этсП главу рпзсмэгрстяртся свойства рокс-пзя прямой задачи. Рассмотри следиЕзгк с:тстег:;/ даЭДрвпцазлыш ургьчапй связпоГ: тсрлоупругоста

- о -

р(х>^и((х.г)=£ д^т^^.юи.г) , . (4)

Ю1.Ь(хД)=кА1;(хЛ)-(ЗЯ4-2(.1)П1а1иц X ос . .(5)

и€ 1г=+0 =0, • *п и=+<г° ' (6)

т{3 Ги,,М 1Х ¿+0= , {=>.2,3, (7)

МхД) |х =+0= Г/х(,х2Д) . (8)

Здесь х=(х(,х2,х3)«Н2»Е+, х3е я+, Н+=(о,со), р=р(х3) -функ-

ция плотности, /\=Я(хэ),ц=ц(х3)- функции Ламе, Ь(х, 1) -функция температуры; и(х,г)=(и((х,г),и2(х,г),и3(х,г)) -вектор Функция перемещения, к -фиксированное положительное число; Т^Си.Ю- напряжения определяемая формулой

ЫхЛ)

Т<^[и,Ь1=1л(Бх -(ЗЬ+2ц)Х оС(| )<!£) , где оС(у)- .

функция теплового расширения, С ^-символ Кронекара, 1,}=1,г,з.

Прямая задача: Пусть Л=Шх3)€Сг[о,о»)|Мх3)>оД' (+о)=о>, *.Гх3),ц(х3),р(хд)€Л, [о,<»)П Ь([о,®),- tl, I=1,2,3,4 -задан-

ные фушсции. Тогда задача определения неизвестной вектор-функции (и(х,Ъ),11(хД)), которая удовлетворяет сотношениям (4)-(8), называется прямой задачей связной термоупругости. Исследованы две прямые задачи, связанные со специальными граничными функция?™. В первой из них граничные фукнции имеют вид 1 ='°=-0} {Ь)ха1/2, £4=0, >-1,г,з, е=о, I. Во второй, грашгаше функции, рассматриваются в виде £(=0, 1-1,г,з. Основные результаты исследования прямой задачи сформулированы в виде двух следующих теорем

■ Теорииа 2.1. Пусть к.Т-фитированные положительные числа;р=о,(; Мх3),|.1.(х3),р(х3)« Л, оС(у)(.С2[0,1») п ь,1о,ю), являются задан:«®! функциями, Т{= £¿=-6, 'Л)г*/г, 1=1,2,1, где 6г(с)= е(г)I,

6(Х)-функция Хевисайда. Тогда существу? е~»;нстЕРппое уоасн^я прямой задачи (',)-(8) (и®(хД),и"(х.г),ч®(х.1),Ь5,(х,1-.)) таксе, что

и®-(хД)еС([о,ТЗ;С"(Нг;^№+))) л С'((о,Т};Са,(Яг;Ь!;(^)))л »,г,л;

па(х,г)~0.

Теорема 2.2. Пусть к,Т- фиксированные положительные числа; Л.а'3),ц(х3),р(23)€ Л П С3Со,т), Ы(у)^г[о.оэ)тг1о,а, g(t)(C3[o,Tl известные функции; 1{=0, 1=1,г,з, Тогда существует един-

ственное решение (и, (х,1;),и2<х,1;),и3(х,г),Ь(х,1;)) прямой задачи (4)-(8) такое, что

и((хД)€С([о,Г1:С!я(Б2;'^(Й+))) П с'(1о,Т1;С®(Н2;Ь2(Н+)•)>,(=»,2,3;

1г (хДКС(Го,Т];Сга(Н2;й|(Й+))) П С,([о.Т];Сй>(Н2;Ь2(П+))).

В 2§ главы 2 изучена теорема о существовании единствеигого решения одномерной обратной задачи дифференциальных уравнений связной термоупругости.

Обозначим через (и®,и|-,и|,Ь)(х,г) и (и;,и2,ид,)г)(хл) решения прямых задач (4)-(8) для Г(= Г®=-х®0/(1)/2, <=-г,г,з, в=о, 1, Г4=0 и Г{=1"=0, 1=1,2,3, 8=о,т, С3[о,Т] соответственно.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Определить функции Ха3),ргх3^рад;еАГ1С'3[о,<»), оС€Сг[о,™)ПЬ;Со,<»), входящие в систему (4)-(8) и решения

в=о,/, (и,,и2,ид,й)(хД) соответствующих задач, которые удовлетворяют следующим информация« .

' пх" иг Iх3=40>х,=х2=0 а а=0'''

из 'хз=+0,х(=х2=0 = •

1х3=+о,хг=х2=о= . •'.

где Н4, 1=1,2,з, Н4Ш, геСо.Т]- известные функции .

Теорема 2.3. Пусть Т,к- фиксированные положительные числа, е(*)€С3[о,Т;1 заданная функция такая, что 8(+о)=о, £ (1;)^оДе[о,Т1 Тогда для существования решения обратной задачи необходимо чтоб-функции Н{(1;) удовлетворяли, след-гацим условиям:

а) Н4(г) € С2[0,Т]. 1=1,2,3', й4{\) € С3[о,Т5;

б) Н{(+о)=о. Н'{(+о)=о, Н*(+о)=а((о)/2; Н*(+о)=а2(о)/г, )=1,г,

в) Н4(+о)=о,

гд а( (о)=1/(р.(о)/р(о'/ аг^Ы/(а("К2ц^)//р(о))'/2.

Теорема 2.4. Пусть ТД- фиксированные положительные числа.

- а -

)еС3[о.Т] задаш1ая функция такая, что е(о)=о, с (И/о, геСо.Т),1=1,2,3,4, удовлетворяю? условиям то ох мы 3. Тогда существуют ПОЛОЮИОЛЫШв числа Т*, X, 1 И функции Х(хд) ,Ц(Х3) .р(Хл) € • ЛПС^Го.ю), <*(С21о,оо)П1)[о,ое>), -такие что А.(з3)(х3),р() определены, для х3<[оД]. оС(у) в у ([<?,У1 которие образуют единственное решение обратной задачи, соответствующей данным информациям Н{Ш, . гею.т*], г=1,г,з,4.

В 3§ этой главы доказана теорема об оценке устойчивости ре-иония одномерной обратной задачи связной'термоупругости. Обозначим через Л2=Щх3)€С2[0,Х]I рЭДсг(Х)<М, Л.>т }. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.5. Пусть п,М,Т- фиксированные положительные числа, и <М, Х0=Т(т/!Г '/г/2. Х=Т(М/т)'/г/2. Т,=Ш7га. Пусть наборы функций А.(Хд),Ц(Хд),р(Х3)Д(Х3)+2Ц(Хл) и А.*:(х3),ц*(х3),р*(х3), Л."(Х3)+Ц1*(7.3) являются■решениями обратной задачи упругости (4)-(8), отвечающие соответственно информациям Н,,Н2, геШ.Т), из,

геЮ.Т,] и Н*,Н*(г)Д€Ю,Т1, Н'т.иЮ.Т, ] и такие, что

(Х,ц,рД+гц), (Л.*,ц*,р"Д*+211*)€ Л0(ш.М,Х), где

Тогда имеет место оценка

||р-р*И(Х0)+|1^а(Хи)4Вц-ц*В(Х0) ^

« ССВН3-Нд|г(Т,)+ОН1-Н*Вг<Т)+ПНг-Н*Яг<Т)3.

где С- некоторая константа зависящая от ш,М,Т.

Теорема 2.6. Пусть т.М.Т- фиксированные положительные числа, 1л $ М, Х0=Т(ш/М),/2/2. Х=Т(К/га)1/2/2., Т,=МТ/т. Пусть нпборн Функций Ш3),ц(х3),р(х3)Д(х3)+гц(х3).с((у) и Х*(х3),).1*(х;3),р"(х3). Х.*(х3)+41*(х3),о(*(у) являются решениями обратной задачи упругости, отвечающие соотвётство1шо информациям Н, Н2.Н_,, и СО,'? К 1Ц,

гею.т,]. н*(1>,н*.гею.тз.н^гго.т,] и тжи«, что

(\,ц,рД+2ц),(Л,*,^,р*Д*+гц'г)€ Л^ОпД.Х), где.

н4(+о)=0. П^^-О, ц п4|с=+о-0.

Тогда имеет моею оцо:пса

« с„ян4-н*|2<Т), к' * смр4-н^(Т),

где С - некоторая константа.

В главо 3 рассматриваются прямые и обратные задачи для системы дкфферещиалымх уравнений связной термоупругости.

В 1§ главы 3 изучаются свойства решения прямых заяач. Пусть х=(х(,х2,х3) е К2 » Н+, с х(,х2€Н,

i=f,2,3,

p(x)üfut (х)=2 Dx Tt>ffut.hHx,t

J~' J h(x.t)

Dth(x,t)=Wh(x,t)-(3\+2|i) Dtdiuu /cf(E)dE" ,

ut lt=+o Dtut lt=fO =0 • h lt=fO=0 • Т{Л cuj.h) lXj=+o= {=1,2,3 ,

Dx h(x.t)-7h(s,t)l lx t0=* i4fx,,x2,t).

(9) (Ю)

(11)

(12) (13)

Здесь р(х)-функция плотности, А(х),ц(х)-фунхций Ламе,

и(х, Ъ )=(и( (х, I),и,(х, I ),и3(хД ))-вбктор функция перемещения,

Ь(х,{;)-функция температуры; к,7-факскрованнне положительные числа;

u,h]-напряжения определяемые формулой

t j

4J

[u.hJ =

и

hix.t)

(3Af2p) / ci(s)Cl£. ГД9 of(y) -функция теплового

расширения, u{+Dx u^)+S{JAdtuu, 5 ^-символ Кронекера.

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА. Пусть Л.(х),р(х),|л(х),о((у), f,(xJfx2>t), 1-1,2,3,-i, -заданные функции. Тогда задача определения неизвестной вокг. .-¡-функции (и .u^.u^.hXx.t), которая удовлетворяет равенствам (О)-(13) иаяяг.а>7ся прямой многомерной задачей связкой тормоупру-гостя.

Пер-ая прямая задача связана с систолюй (0)-(13) при

=(-т/г)овб(хгх®)е(хг-к®)в(1), ГЛ(Х,,Х2Д)=0, гдо.ев-

8-й базисный вектор в а 0(.)-дэльта функция Дирака, Здесь ре-пеида пснжзэтся в обобщенном смысле. Вторая прямая задача связана с системой (9)-(13) при ^(х;,х2,1;)= О, (х(,хг,г)=-7(Т,-Т0>, где Т.ТгТ0-шкоторые положительные числа .

Для первой задачи из (Э)-(13) получим систему дифференциальных уравнений термоупругоути:.

гА,*, л

р(к)В|и^(хД)=2 и2 Г^Ш'.ЫСх.г),' 1=чг,э, (9а)

* „ ЩхД)

0г1г(хД)=кЛЬ(хД)-(ЗХ.+2(х)О1£и«и° ; сС <£)йе.. (Юа>

1ио =0» вги! Iи*0 Л • <='.2.3, (На)

т{3 1и®.1х1 |х =+0=(-»/2> е8е(хгх°)5(х2-х°)б(г), (12а)

5 ■ ■ -

[Юх 11(хД)-71х(хЛ)) =+0= 0. (13а)

<3 3

А вторая прямая задача имеет вид: \ _ з.

р(Х)1^и<(Х,,1)=2 (=1,2,3, (14)

' Ь(ХД)

Б4Ь(хЛ)=кД11(х,1;)-{За.+2ц)Б,.сН»>и / ос <£) (15)

*о ^ !х3~о= V " ■ (17>

СБХ Ь(хД)-7Ь(х,г)1 =+0= -7(ТГТ0). (18)

з з

Целью дальнейших, рассуждений этого параграфа является линеаризация задач (9а)-(13а),(14)—18) и сведение их к известным задачам у^оугоста, а также следующей задач.1 несвязной термоупругости :

p0(s3)Dfu[ (х.г^ЕД I a1tj(x,t) -OtJU3\°+2v?) Г Ы,(С)«]].(19) Dth°(x,t)=kAh°(x,t), (20)

ll! It-.o Vl lt-o ' (21)

т т о о

0{°(хД)+О^(х,г)-О1э[(ЗЛ. +2ц ) / сг, <6)ЙС1|Х =0 , (22)

^(ХД)) -7(ТГГ0) . (23)

В 2§ этой главы рассматривзотся многомерная обратная лттнэара-зованнзя задача для система даФГюроздальшх уравнений связанной тормоупругости .

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА 3.1- Определить функция а.,(х).,ц?(х),р,(х)€

Сг.т:"'(Т/2) 1, а такет функцию сС,(у)еССо,а>) для которых кают место при 1еС0,Т1, (ж,Гг, (&,,г>г)е Е2 слэдуксю информации

?хгх2х°х° [и!3](V,г.а,

Н3(г.К,.У2), 8*2,3,

где Р-преобразованив Оурье, n\s-j-n компонента решения лгз прямой линеаризованной задачи .связанной термоупругости (9а)-(13а), uj-j-я компонента решения и' прямой линеаризованной заката несвязанной термоупругости- (19)-(23), Н? ,П2,Н3,Н4 -заданные фушсцки. Имеет места следукиая теорема.

Теорема 3.1. Пусть T,r,T0.T. ,к,у -фиксированные кол^гетелызио числа, причем.Т(-То>0; Х0(х3),р0(хд),}Л0(х3)£Л -задашниз функции;

Х=т"'(?/2);Y=(? )['-exD(j2kT) f exp(£2)de ];

1 U - 1/1

U(Zj,t,i'2, ac, ,;c2) ,v; x3, t ,ne f,)-извэстше фуш:щк, определяемые с помощью некоторых уравнений гиперболического типа; Н. (t,aef ,х2), Яг(г,хгг>2), H3(t.xf,v2), H,(t), teiO.T], (a>f,ac2)eR2l (oef,v2)€ R2

-заданные функции, удовлетворяющие условиям:

* ™

а) Н((t,ic(,a;?)€C((0,T)«R2);Ili(t,aer,«e2)=HJ-v(o,t,a:i,ге2),

* я

Н € С((0,Г)»йг), Ht-0, при х-^+афг2, t>0.

б) 1иг,л',1>,ка(Ш,'П'112) п <гг;ег[о,т]};

* ) <- С*. , »..

С / «. ц(>< I

■ 3 ''-„С о

в) Нд(г.л>,У2)«С(Ю.Т]-й-) П 0. у (Г<г;С,Ю,'и

а" л 2

Нд= сГ 0(С. (Пг;С'[С\'::■);

я 1 « 5 ' г

Н3* О, щах зг| + г>| ,г>0 *,

г) илгне^одч, и4(+й)=о ,ог;и^<г)|4=+0 =о.

Тогда судоствуот фуикщет Я,{¿)ф1(Х).р,(2>еЛ, 1Г.23 Н оГ(У)€СЮ,УЗ яшшэдкеся при х^Ю.т'чТ/З)! П [0,]П, оцшетвешшм реше-

ние« обратной задач;: 3.1, отшчавдим шЗДшцяям И, и,аг,.к,),

11^(1,^,1»,), н^сг), г€Ш.'г], с^.^ки2, (зг,,£гк к2.

В 35 главы 3 доказана теорема об оценке устойчивости роиешя многомерной гашеарпзовашой задачи для система дяффоренцрпышх уравнений связанной т .раоупругости.

Теорома 3.2. Пусть вшкшгош условия теоремы 3.1. Функции

ц!(х),ц^(х),р{(х),р^(х), \|(х)Д^(х),ос|(у),оГ;(у). -суть решения обратной задачи 3:1. Тогда имеют место оценки

. шгс ' Я ех,бхг < С0цГ^-н| ГЧг,?) ,

Х3€1о.1~'(Т/2)] П

ШС Я |Р{(2)-Р^(2)1г <

х3€[0,1-,(Т/2)ГП

< С}[1(1/ к,) В2(г,Т>.

саг (2 (х)С--,.ге2Н^(г.к, ,агг)Ег(г,Т).

х3€ЮД] н'

^ ' ^ [о.У! ^ ^ ^ ^ Ё2<Т> где 0о,С?,,С-.-шгаи-рие палоамтолышо числа.

Список работ по тамз диссертация: 1. Исаков Р.га.,&шо В.Г. Одна задача эмиссионной томография. //Ш СО ЛИ СССР Вопросы корректности задач анализа и их приложения . Новосибирск,1991. Z. Исаков Р.Ш. Задача эмиссионной томографии.Тезисн Всес.конф. "Условно-корректные задачи математической физики и анализа". Новосибирск,1992.С.104.

3. Исзнов Р.Ш.,Яхио В.Г. Задача эмиссионной томографии для об-

ласти малого диаметра.//Ташкент, Узбекский мат.журнал .1993. Jfe.C.26-35.

4. Пеанов Р.Ш.,Яхно В.Г. Задача эмиссионной томографии для об-

ласти малого диаметра.//Ташкент, ДАН РУ 1993 Ы.С. 10-12.

5. Исанов Р.Ш.,Яхно В.Г. Прямая и обратная линеаризованные за-

дачи для системы дифференциальна?* уравнений связной терма-упругости.// Сибирская хедферанция по неклассическим уравнениям математической физики. Новосибирск, 1995, С.49.

6. Isanov H.Sh. The problem tonography Tor the domain of small " diameter.//Internasional symposium on computerized

tomography.//Novoslbirsk, Russia, 1993. p.61.

7. Isanov R.Sh.,Yakhno V.G. Direct and inverse problems of

connected thermoelastlclty.//Internaslonal symposium on computerised tomography.//Novosibirsk, Russia, 1993. p.62.

8. Isanov R.Sh. The problem tomograpliy for the domain of small

diameter.// Computerized tomography .Proceeding of the Fourth Internasional symposium Novosibirsk,Russia// VSP / UTREHT, the Netherlands, 1995. p.229-231.

9. Isanov-R.Sh.,Yakhno V.G. Direct and inverse problems of

connected^ thenroelasticity.// Computerized tomography. Proceeding of the.Fourth Internasional symposium Novosibirsk, Russia// VSP / ЦТДШГ, the Netherlands, 1995. p.232-23*.

БсФламла термозласткклик ва эмкссион томографияникг •госкари масалалари

Хулоса

Диссертацияда эмиссион томография масалалари ютиш коэффи-цивнти сшиэд ва финит функция булган у,олда ургашлган. Бу масала-лар нур тар^атш функциясиш з^амда ютиш коэффициентшш аницлашга багишланади. Бундан таищари 'тугри ва твскари богламли термоэлас-тиклик масвлалардаи махсус чвгаравий шартлар учун ургашлган.

, Диссертацияда олинган натикалар цуйидагалардан иборат:

1. Нп да змиссион томография масалалари учун кичик диаметрли со^а. ва ютиш коэффициента сшшп$, финит функция булганида ягона ечим-шшг мавзкудлиги, тенглама ечимининг туррунлилик баз^оси топилган.

2. Вир ва куп узгарувчила Оогламли термоэласткклик масалаларининг ягона ечими мавкудлига исботланган.

3.Бир ва куп узгарувччли богламли термоэластиклик тескари масала-ларининг ягона ечими иавжудлиги ва шу ечимшшг туррунлилик .ба^оси топилган.

Irverse ргоЫешз of binding theгт?.оe L131 ic 1 ty and emission tomography.

Su®maxy

In this thesis roe study the emission tomography promlem for determlnasion of source function and also the problem for determi-naslon absorption coefficient and source function. When absorption coefficient is smooth with finite support and diameter of the domain is small. Moreover we study direct and lnverce problem of binding themoelastlclty with special boundary conditions.

The main results obtained in the thesis are:

1. The existence and uniqueness and stability theorems are proved.

2. Existence of unique solution for direct one-dimentional and mllti-dimentional binding thermoelastlcity problems is proved.

3. Solvability, uniqueness and stability theorems for lnverce blnulng thermoelastlcity problems are proved.

Подписано в печать 1 ^ 195? г„ форма! 60x84'/ie. оперативная печать, буш era № Jl усл. п. л. X уч. изд. л., тираж /СС , гакаэ № Отпечатано в типографии ТашГТУ. Ташкент, Вузгороьж, ул. Талавллар, 54.