Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

На правах рукописи

Зомот Насер Хасан Хуссейн

Общая линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1998

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В.И.Жегалов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.С.Хайруллин, кандидат физико-математических наук, доцент И.Е.Плещинская

Ведущая организация: Чувашский государственный университет

Защита диссертации состоится " " _1998 года

в ■/У—часов на заседании диссертационного совета КР 053.29.16 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан ". Ж - М-аЛ_1998 г.

Ученый секре а а^ъ дпссер ± ационко1 о совета, кандидат физико-математических

наук, доцент И.Е.Филиппов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Предлагаемая диссертация посвящена одному из аспектов теории систем уравнений вида

ди- "

-Б"1 = Е aik(x)uk +fk(x), { = 1, ...,n, (1)

OXi h=l

где x — (xi,.... xn) - точка n-мерного евклидова пространства. Результаты по исследованию таких систем находят применение в теории разрешимости краевых задач для важных в теоретическом и практическом отношении дифференциальных уравнений смешанного типа.

В случае п = 2 у системы (1) имеется тесная связь с уравнением второго порядка

"ни + a{x)uXl + b(x)uX2 + с(х)и = /(ж). (2)

Это уравнение хорошо известно в математической физике в связи с его приложениями в теории колебаний и при изучении динамики сорбции газов. Основные краевые задачи для (2) рассматриваются в областях, у которых хотя бы часть границы совпадает с характеристиками Х\ = const, а;2 = const этого уравнения: задачи Гурса, Коши и Дарбу. Для системы (1) изучались аналоги указанных задач, носящие те же названия. Им посвящали свои работы А.В.Бицадзе, Т.В.Чекмарев, И.Е.Плещинская, Б.Н.Вурмистров, О.М.Теут и другие

авторы. Наиболее основательные исследования проведены Т.В.Чекма-ревым. В его монографии 1 имеется обзор основных результатов в данной области.

Из названных выше задач наиболее близкой к теме представляемой диссертации является задача Гурса. В случае п = 2 она рассматривается в характеристическом прямоугольнике И = {хю < хх < •Ец.) 3*20 < х2 < ^21} и состоит в отыскании решения щ, щ системы (1) по известным значениям искомых функций на двух смежных сторонах £>:

"1(2=10,3:2) = Ф\{щ), иг{хихм) = ф2{хт). (3)

Коэффициенты системы и функции фх, ф2 предполагаются непрерывными. Наряду с термином "задача Гурса" часто употребляется название "характеристическая задача". Ее решение существует, единственно и может быть записано с помощью некоторых вспомогательных функций, определяемых через а^, в виде равномерно сходящихся рядов. Если ф\, Ф2 считать произвольными, то полученные формулы можно рассматривать в качестве общего представления решений системы уравнений.

При внимательном рассмотрении формул (1) и условий (3) нетрудно заметить некоторое несоответствие: их, щ входят в (1) равноправно, а в граничных условиях (3) каждая из эхах функций жестко

1Чекмаров Т.В. Системы уравнений смешанного типа. - Н.Новгород. Нижегородский гос. техн. университет. - 1995. - 199 с.

связана с определенной характеристикой. В связи с данным обстоятельством естественной представляется мысль о замене (3) на следующие соотношения

"п (22)^1(2:10, х2) + «^(^«гО^сь 2:2) =Ш1(х2), а21{х{)и1{х1, х20) + 022(^1)112(^1,х2о) = т2(хг), (4)

Очевидно, в .постановку задачи включается тогда частный случай, когда (1) имеет вид

щХ1 = 0, щХг = 0, (5)

а условия (4) -

щ(х1,х2о) = т2(х1), и2(х1о,х2) - гп1(х2). (6)

Из (5) следует, что г^ должна зависеть лишь от х2, а и2 - лишь от XI. Поэтому (6) не могут выполняться в своей общей форме: необходимо, чтобы 7711(12) и "12(21) были константами. Если они равны соответственно Л и /л, то

Щ=1Л + Фг(х2), «2 = А + Ф2(Х1)

с произвольными функциями ¿¡>1(2:2), $2(2:1)1 обращающимися в нуль при Х\ = £ю, Х'1 = Х2о> дадут решение задачи (5) - (6). Следовательно, в общей постановке (даже при п — 2) задача (1), (4) может быть как неразрешимой, так и разрешимой, причем во втором случае решение может быть как единственным (случай Гурса), так и содержащим произвольные функции. Таким образом, естественно возникает

вопрос об условиях, обеспечивающих тот или иной характер разрешимости задачи для системы (1) с дополнительными соотношениями типа (4). Исследование этого вопроса при п = 2,3,4 и составляет содержание предлагаемой диссертации.

Целью настоящей работы является выяснение ограничений на исходные данные (коэффициенты системы уравнений и краевых условий), обеспечивающих разрешимость рассматриваемой задачи либо в терминах резольвент интегральных уравнений, либо в явном виде.

Методы исследования. Используются результаты из теории интегральных уравнений, метод Римана решения дифференциальных уравнений гиперболического типа, метод каскадного интегрирования, некоторые сведения из теории специальных функций математической физики.

Научная новизна. Впервые исследована линейная характеристическая задача для системы (1) в столь общей постановке. Выяснено, что в смысле разрешимости эта задача качественно отличается от ранее изученной задачи этого типа - задачи Гурса. Получены достаточные условия алгебраического вида, обеспечивающие определенный характер разрешимости рассматриваемой задачи. Впервые выявлены определенные структурные представления коэффициентов системы уравнений, позволяющие записать решение задачи в явном виде.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автору представляется, что имеются возможности использования полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Например, можно ожидать, что разработанную методику удастся распространить на случаи систем уравнений с сингулярными коэффициентами, или использовать ее при рассмотрении более сложных задач, например, с нелокальными граничными условиями. Не исключена возможность и практических приложений.

Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета и на итоговых научных конференциях КГУ (1996 - 1997гг.). Также были сделаны доклады:

1. На VI и VII межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 и 1997гг.).

2. На научной конференции, посвященной 100-летию проф. Б.М.Га-гаева (Казань, 1997г.).

Публикации. Список публикаций, содержащий 9 работ, приводится в конце автореферата. Из них [2], [6] выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат здесь постановки

задач и общие указания о возможных путях их решения.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 113 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 38 наименований.

Содержание работы

Во введении даны обоснование темы диссертации и обзор работ, имеющих отношение к этой теме, а также кратко охарактеризованы результаты автора, изложенные в последующих главах.

Указанная в названии диссертации задача рассматривается в характеристическом параллелепипеде В = {х^о < Хк < Хк\,к = 1,...,п}. Через Е{ обозначается грань я; = ¡г,0 области П. В системе уравнений (1) мы считаем, что (^(е) = 0 (к = 1,...,п). Это не нарушает общности рассуждений.

Задача состоит в отыскании регулярного в £> решения системы (1), непрерывно продолжимого на дВ и удовлетворяющего условиям

п

£ оцк{ъ)ик{г>) =т<(г<), г = 1

к=1

ацьтгц € С(Д). (7)

В главах I - III частные ее случаи, относящиеся соответственно к п = 2,3,4 для удобства изложения материала обозначаются как "задача I", "задача II" и "задача III".

В первой главе применяются два подхода к исследованию данной задачи. Один из них (§2) основан на редукции к задаче Гурса для

той же самой системы (1) при п = 2. Для осуществления указанной редукции берутся выведенные Т.В.Чекмаревым формулы решения задачи Гурса и подставляются в краевые условия (7), которые в данном случае имеют вид (4). Очевидно, здесь реализуется указанная выше возможность рассматривать данные формулы в качестве общего представления решений системы уравнений. В результате для функций фг(хъ), ^2(^1)1 смысл которых отражен в (3), получаются интегральные уравнения. На основе исследования этих уравнений доказана

Теорема 1.1. Задача I при выполнении неравенств

+ «2! +022^0, ¿е4||а;к(11о,г2о)|| ф о (8)

однозначно разрешима, если к (8) добавляется любая из четырех групп условий:

V 011(2:2) • 022(2:1) ф 0;

2) 011(2:2) = 0; а21(хю,х2) ■ »22(2:1) Ф 0;

3) 022(2:1)^0, ап(г2)-012(2:1,2:20) Ф 0; (9)

4) 011(2:2) = 022(2:1) = 0, агДхю, х2) • 013(2;!, х2о) ф 0.

В первых двух формулах (8) ац, ах2 (021, «22) зависят соответственно от Х2 а в третьем неравенстве каждая из функций а^ рассматривается при фиксированном значении своего аргумента. И далее при отсутствии в формулах аргументов у а^ следует считать, что эти аргументы принимают все свои значения на Ei.

При другом подходе (§2) используется указанная выше связь между системой (1) и уравнением (2). Здесь тоже осуществляется редукция к задаче Гурса, но уже для уравнения (2). Этот способ рассуждений опирается, в частности, на некоторые результы В.И.Жегалова и на известную формулу решения задачи Гурса для (2), записываемую в терминах функции Римана этого уравнения. Доказаны утверждения:

Лемма 1. При условиях

ах2(2:1,2:2) • 021(2:10,2:2) ф 0, а 12, оии 6 Сф) (10)

задача I разрешима с точностью до одной произвольной постоянной, если ац-а22 ф 0 . В случаях ац = 0, с*22 Ф 0 и ац ф 0, «22 = 0 она разрешима безусловно и однозночно. В случае ац = 0:22 = 0 имеет место однозначная разрешимость при выполнении дополнительного условия согласования.

Лемма 2. В предположениях

012(^1,2:20) ■ 021(2:1,2:2) Ф 0, 021,021®! £ Сф) (11)

задача I разрешима при тех же комбинациях требований на ац, «22 , чт° и в лемме 1. Характер разрешимости тоже совподает с указанным в этой лемме .

Задача Гурса для (2) в ряде случаев допускает решение в яв-

ном виде. В §4 доказаны пять теорем о достаточных условиях явной разрешимости. Приведем две из них.

Теорема 1.2. При комбинациях требований на ац, а22, указанных в лемме 1, задача I разрешима в явном виде, если выполнен любой из двух наборов условий:

1)а12 ■ 021 - (Ьа12)1112 = 0 и (10);

2)а12 • а21 - (Ь а21)Х1Хг =О и (11).

Характер разрешимости-совпадает с сформулированным в лемме 1. Первое из этих тождеств обеспечивается, если коэффициенты имеют структуру:

а12 = р(х\) + д(аг2) 4- г(хг)з(х2),

г'з' (р' + г'з)(д' + га7)

а21 — 7-гх--7-Г5-

(р + Я + гву (р + Я + с произвольными непрерывно дифференцируемыми функциями р, г, я. Получены также аналогичные (12) представления, гарантирующие выполнение второго тождества теоремы.

Теорема 1.3. Если в условиях леммы 1 или леммы 2 коэффициенты системы (1) удовлетворяют соответственно тождеству

«12021 - (1па12)х,хг - {1па12[а12а21 - (1па12)Х112]}г112 = О,

или

«120.21 - 0,21)1112 ~ {1П0-21[012021 ~ (Ь а21)2:1х2]}х1з:2 = О,

то задача I разрешима в явном виде. При этом для выполнения первого тождества достаточно, чтобы ац, 0,21 имели структуру

( \ г \ 2Х'(х1)У'(х2)

а12 = Г{Х1)8(Х2), а21 - ———. —г^,

а для осуществления второго -

2Х[{х1)¥Цх2)

021=^1(2:1)51(12), 012 =

гх(хх)вх(х2)[Хх(хх) +Ух(х2)}2' Характер разрешимости, указанный в леммах 1-2, сохраняется.

Здесь г, в, X, У, 6'!, Хх, Ух - тоже произвольные функции класса С1.

В последующих главах дается распространение схемы исследования из главы I на случаи п — 3,*4. При этом рассуждения из §2 удается обобщить в полной мере, а аналогии с §§3 - 4 носят сравнительно ограниченный характер. Последнее обстоятельство объясняется существенно меньшей разработанностью теории для трех- и четырехмерного аналогов уравнения (2).

В главе II выведены три группы требований (с тремя альтернативными вариантами 1) -3) в каждой группе):

1) ац(х2,Хз) Ф 0, (13)

2) ап(х2,х3) = аз1(х10,2;2,хз) = 0, <212(2:2, ^3)^21(^10, х3) Ф О,

3) ац(х2, х3) = 021(0:10, х2, х3) = 0, «13(12, ®з)аз1(®10, ®2, ®з) Ф О;

1) а22{хихз)ф0, (14)

2) 022(2:1, ®з) = 032(2:1,2:20,3:3) = О, аг\{х\,хг)а.1г(х1,хчй,хл) Ф О,

3) 022(2:1, хз) = 012(2:1,х2о,а:з) = О, а2з(хьхз)аз2(х1,х20,хз) Ф О;

1) 033(2:1,2:2)^0, (15)

2) азз(х1,х2) = 023(2:1, Х2,Х30) = О, 031(11, Х2)а13(х1,Х2,Х3о) ф О,

3) азз(х1,х2) = о13(х1,х2,хзо) = О, аз2(х1,х2)а23(х1,х2,хз0) ф О.

При этом еще требуется, чтобы

<*ег||аг^(хо)|| Ф О, х0 = (хю,х20,х30), (16)

ац(х2о, хз)а22(хю, х3) - а12(х2о, 2:3)021(2:10, х3) Ф О,

011(2:2,2:30)033(хю,х2) - а13(х2, хзо)аз1(хю, х3) Ф 0, (17)

022(2:1, хза)азз(х1,х2о) - 02з(2=Ь'Хзо)аз2(Х1,Х2о) ф о,

а также выполнялись определенные условия гладкости для а^, и Доказана

Теорема 2.1. Трехмерная задача II однозначно разрешима при выполнении неравенств (16) - (17) с добавлением к ним любого из 27

вариантов условий, каждый из которых представляет собой объединение по одной из групп требований в (13) - (15).

Затем изучались возможности построения решения задачи II в явном виде. Рассуждения, аналогичные проведенным в §§3-4, удалось осуществить лишь, когда все аы в системе уравнений, кроме ai2, «23) язь отсутствуют (тождественно равны нулю), а граничные условия (7) сводятся к условиям задачи Гурса. Полученный результат можно считать дополнением к исследованиям Т.В.Чекмарева в том смысле, что указан для частного вида системы (1) еще один путь решения изученной им задачи. Кроме того, удалось выделить варианты структурных представлений для коэффициентов, играющих роль, аналогичную (12). В терминах этих представлений сформулированы три набора условий, достаточных для решения задачи Гурса в явном виде (Теорема 2.2).

В последнем §7 второй главы рассмотрены случаи расщепления задачи II на задачу I и некоторую задачу Коши. Указан путь (продемонстрированный на одном из примеров ) получения определенных аналогов теорем 1.1 - 1.6 для этих случаев.

Наконец, глава III посвящена задаче в четырехмерном пространстве. Выведены неравенства, играющие роль (16) - (17), и четыре группы условий, играющих роль (13) - (15): в каждой группе по четыре альтернативных набора типа 1) - 3). Сформулирован аналог теорем 1.1 и 2.1 (теорема 3.1), где указывается правило получения

256 вариантов условий однозначной разрешимости задачи.

В §9 рассмотрен частный случай системы, когда все коэффициенты, кроме 012, а23, яз4, а41, равны тождественно нулю. Здесь, подобно тому, как это сделано в главе II для тг — 3, указан путь решения задачи Гурса с помощью редукции ситуации к этой же задаче, но для четырехмерного аналога уравнения (2).

В этом же параграфе описаны варианты расщепления общей задачи на случаи, изученные в предыдущих главах.

Из характера изложения материала ясно, что разработанная в диссертации схема рассуждений в принципе применима и при п > 4. Это обстоятельство кратко разъяснено в "заключительных замечаниях". Там же из числа всех вариантов однозначной разрешимости задач I - III проведено выделение случаев, являющихся в определенном смысле представителями всех этих вариантов.

В заключение сформулируем основные положения, выносимые на защиту:

• Вывод достаточных условий однозначной разрешимости общей линейной характеристической задачи в пространствах двух, трех и четырех измерений в терминах резольвент интегральных уравнений.

• Выделение случаев разрешимости задачи в явном виде .

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю признательность мо-

ему научному руководителю Валентину Ивановичу Жегалову за помощь, оказанную мне при выполнении настоящей работы.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Зомот Н.Х.Х. Об одной плоской характеристической задаче для гиперболической системы уравнений / / Математическое моделирование и краевые задачи. - Труды шестой межвузовской конференции, часть 2. - Самара, 1996. - С. 43 -.44.

2. Зомот Н.Х.Х. Условия однозначной разрешимости одной характеристической задачи // Дифференциальные уравнения и их приложения. Тезисы докл. междунар. семинара, ч. I. - Самара, 1996. - С. 53 (в соавторстве с Жегаловым В.И.).

3. Зомот Н.Х.Х. Случаи разрешимости характеристической задачи в явном виде // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвузовской конференции, ч. III. - Самара, 1997. - С. 37 - 39.

4. Зомот Н.Х.Х. О решении одной задачи Гурса в квадратурах // Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М.Гагаева. - Казань. - 1997. - С. 97 - 98.

5. Зомот Н.Х.Х. Условия разрешимости одной характеристической задачи // Казанский ун-т. - Казань, 1997. - 17 с. Деп. в ВИНИТИ 4.04.97, N 1089-В97.

6. Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача для системы уравнений в частных производных первого порядка // Казанский ун-т. - Казань, 1997. - 20 с. Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, N 394-В98 (в соавторстве с Жегаловым В.И.).

7. Зомот Н.Х.Х. Случаи явного решения одной трехмерной задачи Гурса // Казанский ун-т. - Казань, 1997. - 9 с. Деп. в ВИНИТИ 10.02.98, N 393-В98

8. Зомот Н.Х.Х. Линейная характеристическая задача в четырехмерном евклидовом пространстве // Казанский ун-т. - Казань, 1997. - 43 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, N 900-В98.

9. Зомот Н.Х.Х. О построении решения одной трехмерной задачи Гурса в явном виде // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тез. докл. III международ, научн. конф. 19-21 мая 1998г. - Саранск, 1998.