Одноинвариантные линейные группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет -

На правах рукописи

¿С-

Кушпель Надежда Николаевна ОДНОИНВАРИАНТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006 г.

Работа выполнена на кафедре алгебры факультета математики Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гордеев Николай Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вавилов Николай Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Степанов Алексей Владимирович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится ..... 2006г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет.

Защита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении математического института РАН но адресу: Санкт-Петербург, набережная Фонтаикн, 27, ауд. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

№. т.М/

Автореферат разослав Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212,232.29 доктор физ.-мат, наук, профессор

2006г.

Нежинский В, М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации вводится понятие одноинвариантлых линейных групп. Это един из вариантов обобщения групп действующих без неподвижных точек. Комплексные и вещественные группы действующие без неподвижных точек были классифицированы в середине XX века Цассенхаузом и Винсентом [IV]. Линейные группы без неподвижных точек имеют важное значение в геометрии, а именно, в классификации полных связных римаиовых многообразий постоянной кривизны.

В 70-ые гсды прошлого столетия группы действующие без неподвижных точек нашли также применение в теории инвариантов. Здесь интерес к ним был Вызван следующим. Развилась теория, позволяющая дать оценки "сложности" алгебры инвариантов без непосредственного вычисления образующих и соотношений (под "сложностью" здесь мы понимаем набор численных параметров алгебры инвариантов, таких как, коразмерность, гомологическая размерность, числа Беги, дефект, глубина и так далее.) Суть этого подхода, так называемого "слайс-метода", состоит в замене алгебры инвариантов всей группы на алгебру инвариантов некоторых подгрупп, у которых такие алгебры устроены не "хуже", чем вся алгебра инвариантов. Д ля маленьких подгрупп удается вычислить параметры алгебр инвариантов и, таким образом, оценить сложность изначальной алгебры [ВП].

Однако, если порядок группы б делится на р, то группа О не может действовать без неподвижных точек. Действительно, в группе С? рассмотрим р-подгруппу, она триангулизируется над полем характеристики р и при этом собственные значения элементов равны 1, поскольку в поле К характеристики р нет корней степени из единицы.

Одвим из обобщений групп без неподвижных точек стали так называемые полурегулярные. группы, рассматриваемые в работах Гуральника-Вайговда и Флейшмана-Лемпкена-Тьеппа [С№1, [FZ.nl. Полурегулярной называется группа, у которой все полупростые, не единичные элементы действуют без неподвижных точек.

Обобщение групп действующих без неподвижных точек, рассматриваемое в данной

работе, более естественно с точки зрения, скажем, задач теории инвариантов,

з

поскольку одноиявариантные линейные- группы являются минимальными нетривиальными стабилизаторами векторов линейных яе реугуктивных групп.

Заметим, что если С одвоинвари&нтиа, то естественный образ <7 в ОЪ{у/\'а) является полурегулярной группой. Коыечвьге полурегуляриые группы классифицированы в .выше перечисленных рабом« [6\У], Некоторые

свойства однокадаркантных групп могут быть выведены из свойств полурегулярных, но 1ш доказывали ях независимо.

В диссертаций рассматривались однокивариаитные группы нескольких типов. А именно, конечные группы, содержащие унипотентные элементы, соответствующие локально-конечные группы и группы точек линейных алгебраических групп, также содержащие унвпотентные элемепты. Получены общие описания структуры таких групп.

Цепь работы. Целью - диссертации является изучение структурных свойств одноинвариантных подгрупп, решение вопроса о возможности классификации одпоинвариантных групп конечного порядка, в случае, когда порядок группы делит порядок основного поля.

Методы исследований. В диссертации используются методы теории конечных групп, теории алгебр, теории алгебраических групп, теории модулей. Активно используются различные способы решения довольно сложных матричных задач. Основные результаты:

— Сформулированы и доказаны общие факты о строении конечных одноинвариантных групп. . ..

— Сформулированы и доказаны структурные теоремы о строении некоторых типов бесконечных одиоинвариантных групп, содержащих унипотеятный элемент (локально конечных, связных).

— Дана классификация неразложимых одноиивариантных групп порядка рд и рг (/ег-дяины 1).

— Получены сведения о строении неразложимых одиоинвариантных групп порядков р3 (/с—длины 1).

— Показана певозможвость "полной класснфикациинодноинвараантньск конечных групп /(г-дггины больше 1.

Достоверность и обоснованность. Все положения диссертации являются достоверными научными фактами, получавшими в работе математически строгие доказательства.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты получены в период с 2002 по 2006 год и все они являются новыми. Работа носит теоретический характер.

Теоретическая и практическая ценность. Практическая значимость работы определяется возможностью применения получеаных результатов в теории инвариантов. Теоретический вклад состоит в доказательстве основных Структурных свойств одпоинвариантных групп, классификации некоторых типов одноинвариантных групп. Показано также, что в случае групп /д-длины больше единицы не существует конечной классификации одно инвариантных групп.

Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на городском алгебраическом семинаре в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.А, Стекдова. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3], Структура и объем, работы. Диссертация объемом 72 страницы состоит из введения, 3 глав, разбитых на 11 параграфов и списка литературы, содержащего 15 наименований.

Содержание диссертации В диссертационной работе исследуются одноннварвантные линейные группы. В первой главе работы рассмотрены общие свойства одаоиавариантных групп. Дадим определение исследуемых групп.

Определение 1.1 Будем называть группу в < одноттариантной, если

V* = Vе =, для есех д€в,дф 1,

Под Vй мы понимаем множество {« е V] = V Чд € С} и, соответственно, V» = {и е V) д{к) = V} В первом параграфе этой главы рассматриваются общие свойства одноинвариантных групп, содержащих унипотентный элемент. В частности, доказаны следующие свойства таких групп,

1, Пусть С? < бДУ) одноинеариаптнал группа, где V конечномерное векторное пространство над полем К. Я пусть и < С максимальная унипотентная подгруппа С. Тогда и является коммутативной группой.

2. Пусть U Ф 1 а М < G максимальная абелева нормальная подгруппа. Предположим, М ^ 1. Тогда М = V.

Следующий параграф лосипцен конечным одноипвариантным группам, сформулирована н доказана следующая теорема. ' ■ "

Теорема 1,1 Пусть V линейное пространство над полем К характеристики р, G < GL(V) конечная одноинвариантпная группа. Порядок группы G делится на р. Тогда:

a. G полупрямое произведение V • D, gde V нормальная сьлавская р-подгругта группы G;

b. U элементарная абелева р-группа;

c. группа D действует н aU \ {1} (сопряжением) без неподвижных точек. Для конечных одноинварвавтных груди а этой главе будет сформулирована и

доказана ещё одна важная теорема (параграф 5).

Пусть G = U ■ D < GL[V) конечная одноинвариантная группа над полем К Характеристики р и при этом р делит порядок группы G. 6 параграфе 4 этой главы, введены отображения А я Л, действующие следующим образом.

Отображение А. Рассмотрим действие группы G иа V = V/VG. Положим F0 = V^ и пусть Ц, с V подпространство в V такое, что Vе С VJ и Vq = Va/Va>

Так как D нормализует U, получаем d(V0) — Vq для всех d € D. Действительно, пусть х € Го,d € D,u е U, тогда имеем wrf(i) = = rf(z)> дня некоторого

Iii е U. Таким образом, Vo - G-подмодуль V. Пусть «i,...Жь^ч+ь. ■ • xm базис Vo такой, что Va = {i(t+i,...,Из определения VJ получаем , что любой элемент v € U представляется в этом базисе матрицей вида

( 1 О

О О

0 о

1 о

о о о о

<tl*+l

1 ад+u+j О 1

си*.

Olm Dtm

о

(6)

0 0 - 0 0 ••• I J

Обозначим Л(и) матрицу размером к х (т — к) , которая расположена в верхнем правом углу (6).

Отображение Л.Теперь, изменяя базис ль... хт, но при этом сохраняя вид (6), мы вделаем так, чтобы для всех ¿ей матрица имела вид:

¿11 0 ... 0

¿21 ¿2 к 0 0 0

¿И (¡и 0 0 0

0 ... 0 1 0 ... 0

0 0 0 1 0

0 0 0 1;

Это возможно, так как группа £> линейно редуктнвиая. Значит, существует Р -модуль Уф такой, что Ц = ф Теперь, если выбрать базнс У1, • * • , у к в VI и №+11 • ■ • I Уш в =■ Уа, то оба условия (6) н (11)будут выполнены.

Обозначим Д(^) матрицу к х к, которая расположена в левом верхнем углу (11), Таким образом получаем представление

К : О —► в^К). (12)

Нетрудно проверять, что

А(ёи<Г1) П(<1)А(и) (13}

для всех йе В, и 6 и.

Рассмотрим ® — ^[й] групповая алгебра П над и пусть

естественный гомоморфизм, индуцированный представлением Л : О —> С Положим С = ф(3?). Далее, пусть

7 = Л<*1 + Ь<к + ■ • • + /.<*« € где /¡еР, ¿¡6 1). Получаем

¿(7) = ЛЖ«У + /*Д№) + ■ ■ ■ + /.*(<*.) е с

Можно определить следующее действие С на используя технические Леммы 8, 9 этого параграфа и равенство (13):

= ЛД^ММ + • • • + ЛЛ&ММ = = Л л^ш^1) + ■ ■ ■• + /.<4<<WT1) = = /1.4(111) + ■ •. + /И(ы.) = АЮ + - + А{и\) =

= лкг--и;)ел{с/) (к)

Далее показало, что £ = С = является алгеброй с делением над полем Гр.

Следовательно, Ь конечное расширение поля

Далее рассмотрим группу II как Fp¡^?] модуль. Так как порядок д группы О взаимно прост с р, получаем и вполне приводимый Рт[0}~ модуль. Получаем

1/ = |> (19),

1=1

где 1!1 неприводимые ^[Р]-модули к каждый ^[¿?|-мояуль можно рассматривать как Лсмодуль. Теорема 1.2. При обозначениях, данных выше:

а. группа О циклическая группа, П = (а);

б. алгебра с делением Ь = Рр(е), где е = УГ и при этом ф[а) = е; с. модуль Ц — Ь+ «ах Ь-модуль для всех ¿;

¿. все неприводимые компоненты в (19) изоморфны как Рр[В]-модули.

Аналогичный результат получен и для связных линейных алгебраических групп: Теорема 1.3. Пусть 6 < Оъ ееяэяая линейная алгебраическая группа, определённая над полем К характеристики ымь, и пуст* й = й(К) < ОЬп(К) одноинвариантная линейная группа. Тогда

1. Группа С является полупрямым произведением групп и и О, где О К ¿>{К) для некоторой связной редуктивной К-группы О и и = ЛЫ(<3)(А');

3. группа О действует (сопряжением ) на II без неподвижных точек.

Во второй и третьей главах работы решается вопрос о возможности

классификации конечных одиоин вариантных групп.

в

Будем рассматривать лишь неразложимые G-модули. Напомним, что G-модуль V называется разложимым, если V = VI $ Ц, при этом Vi, Vj — это (Г-модули.

Простейшим случаем является, очевидно, случай ]G| = р . В этом случае G =.U = (и) циклическая группа порядка р, при этом и — жордапов блок размера не более, чем р.

Во второй главе работы первый параграф посвящен классификации одноннвариантных групп порядка pq, где (g,p) = 1. Это следующий шей1 после жордановых блоков. Получен следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики р, V — линейное пространство над полем К, dim V = n, G < GL(V) одиоинвариангпная неразложимая группа, тогда

1, Число п не превосходит минимального из чисел pug', где д' наименьший простой делитель q;

S. Группа G является полупрямым произведением групп U и D, где U = (ti), D = (i), при этом в некотором базисе

/о

О

и = ехр

1 О О 1

ООО

V 0 0 0

о\

0

1

8 =

/V-1 о

о о

о ... 0..

о

о о

о о

V

где к некоторый первообразный корень из единицы степени q.

Во втором параграфе этой главы работы дана классификация одноннвариантных групп порядка р2, при дополнительном условии /с-длины един. В этом случае, получаем, что группа G - унипотентна. Здесь и далее нам понадобится понятие 1а—длины группы.

Определение 2.1. Пусть V — G модуль. Пусть такте

V> < Vi < .» < К. = V,

еде Vo = Vе, Vi+l = {v € V | g(v) s и (mod Ц) для любого g € G}. Даме обозначим

= 1ь(У) и назовем la -длиной группы G число т.

а

Заметим, что если С? действует одноинвариантно на V, то и на V! тоже. Поэтому сначала естественно поставить задачу классифицировать группы /<г~длины 1.

Теорема 2.2. Пусть К— поле характеристики р. Пусть группа в = (<г,г), где ар = т* = 1, от = то. Далее, пусть V — кереилоэкяьмыа одноттеариашпиый С—модуль 1а—длимы I. Пусть также коразмерность Кс равна й. ТЪг<Эа размерность V либо 2к + 1, либо 2к. Более того, для любого т = 2к + 1 существует единственный такой в—модуль. Для любого т = 2к существует такой С—модуль, при этом, если К бесконечное поле, то число неизоморфнмх неразложимых К [О]—модулей бесконечно.

Идея доказательства этой теоремы, а также общий метод решения дальнейших вопросов заключаются в следующем.

Пусть в = 1/ < ОЦу) ,С—одноинварн антная группа /ц-длины Тогда в некотором базисе все элементы группы а € С? имеют вид:

9 =

10 0 0 10

ООО ООО

о tti*+1

0 ttät+i

0 1

0 0

Olm

02m

akm 0

\0 0 0

где m = dimV, m —fc = dimV».

Более того если обозначить A{g) 6 матрицу в верхнем правом утлу, то

ranfe ¿4(7) = k для всех д е G, д Ф1 к

= -ACffi) + Мзъ)

для любых gi,3i € G. Таким образом, задача сводится к классификация матриц стоящих в верхнем правом углу. Заметим также, что если

( В | X \

ю

то = ВА^С'1. То есть мы можем проделывать элементарные операции с

матрицей Л(<г), Таким образом, задача классификации одноиивариалтных линейных групп порядка р2 сводится к задаче классификации орбит пар матриц (Л^Ла), удовлетворяющих некоторому дополнительному условию.

Следует отметить, что единственный £т— модуль, который получается в случае т = 2к +1 в точности совпадает с примером Хеллера- Райнера неразложимого С-модуля для группы типа (р,р) [Кй|.

Следующий случай, когда порядок группы (7 равен р®, рассматривается в третьей главе работы. Мы опять предполагаем, что /о-дайка группы С равна 1. Здесь получены следующие результаты.

Теорема 3.1. Пусть К — поле характеристики р. Пусть группа С? = (с?1,сг2,&з), где о? = 1, а ¡О] — Далее, пусть V — одноинвариантный в— модуль

1а— Алины 1. Пусть также коразмерность Vе равна к, а размерность V равна 2к + т. Тогда

1. при 0 <т < к число таких неизоморфных неразложимых К [С]— модулей V бесконечно.

5, при т > у + £ любой модуль V— разложим.

Случай к < т. < ~ + к остается открытым. По видимому, он требует очень большой технической работы.

При доказательстве (1) построены следующие примеры неизоморфных модулей.

а. при т — 0 подходит пример построенный для ыучая порядок группы б равен

р*;

б. при 1 < 171 < £

где

< а 1 0 ••• (О О « 1 О

О 0 ••• а 1

^ 0 0 ••• О а ; II

Заметим, что в случае т = к аналогичное представление разложимо. Поэтому нужен другой пример, в. при т = к

^Ы - (Я* 1 о) , А(ъ) = (о | Еь) , А(а3) = (мг | Ма) ,

где

М, =

ОТ! О • • •

О а2 О

о\

> 0 •** 0 «*/ при этом ф щ для всех I ф ] и оч £ ^ при любом 1,

М3 =

/о

О

О V 1

(Л

0

1

<>У

Последний параграф работы посвящен вопросу возможности классификации групп длины больше 2, Построим цепочку Уй, V}, Уз,14, такую , что

< V, < ... <Ут = У,

где — Vе, 1^+1 = {и е V ( = у(тпое1 Ц) для любого д € С}. Нами доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. Если порядок еиловекой подгруппы группы С хотя бы р2 ы при этом р ф 2, то существует бесконечно много неизоморфных одноинвар1лантных представлений группы С 1 (¡-длины 2, таких, что первые два элемента соответствующих цепочек совпадают.

Из этого следует, что в случае групп /й-длины больше единицы не существует конечной классификации едноннвари&втвых групп.

и

Список цитированной литературы.

[Вг 1 W.Bruns. Hie Eisenbud-Evans generalized prmciopal theorem and determinants! ideals, Proc. Amer.Matb.Soc,83(t981), 81-105.

|GW ] R. Guralnick, R. Wiegand. Galois groups and the multiplicative structure of field extensions. Trans. Amer. Math. Soc. 331 (1992), no. 2, 563-584.

[FLT1 ] P. Pleischraann, W, Lempkcn, P.H, Tiep. The p-intereection subgroups in quasisimple and almost simple finite groups. J. Algebra 207 (1998), no. 1,1-42.

1FLT2 JP.Fleischmann, W. Lempken, P.H. Tiep. The primitive p-Frobenius groups. Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), no. 5, 1337-1343.

(W i J-Wolf. Space of constant curvature. University of California, Berkley, California, 1972.

[ВП ) Э.Б. Винберг, В.Л. Попов. Теория инвариантов, вт Итоги Науки и Техники. Современные Проблемы Математики. Фундаментальные направления. Том 55. ВИНИТИ. Москва 1389.

[КР ) Ч.Кэртис, И.РаПнер. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. Москва, 1969,

Работы автора по теме диссертации.

1. Гордеев НЛ., Кушпель Н.Н, , Об одноинварнаятпых лкнеВаых группах. Зап. научн. семил. ПОМИ 289 (2002), с. 134-148.

2. Кушпель Н.Н., О конечных сдноянварпаатяых шиейньгх группвх. Зап. научи, семин. ПОМИ 321 (2005), с. 224-239.

3. Кушпель Н.Н., Об ещпойпвАрваптвых конечных группах. В сб ."Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования" СПб ВАН (март 2006), с. 189-198.

Подписано в печать 13,11.2006. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО « Коп и Сервис». Печать ризографическая. Заказ№ 1/1311. П. л, 0.75, Уч,-изд. л, 0,75, Тираж 100 экз.

ЗАО «Коп и Сервис» Адрес юр.: ¡94017, Санкт-Петербург, Скобелевский пр., д. 16. Адрес факт.: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (813) 327 5093

ВВЕДЕНИЕ

глава 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОИНВАРИАНТНЫХ

ГРУПП

§1. Общие свойства одноиивариантных групп, содержащих унипотентный элемент

§2. Конечные одноинвариантные группы.

§3. Связные одноинвариантные алгебраические группы I

§4. Отображения А и Я

§5. Конечные одноинвариантные группы II

§0. Случай локально конечных одноиивариантных групп.

§7. Связные одноинвариантные алгебраические группы II

глава 2. КОНЕЧНЫЕ ОДНОИНВАРИАНТНЫЕ ГРУППЫ

ПОРЯДКА рд И ПОРЯДКА р2.

§1. Классификация одноиивариантных групп порядка/?^

§2. Классификация одноинвариаптпых групп с—длины 1, порядка р

Глава 3. КОНЕЧНЫЕ ОДНОИНВАРИАНТНЫЕ ГРУППЫ

ПОРЯДКА р'

§1. Группы длины 1 порядка р

§2. О группах /с?—длины больше

Определение 1. Пусть У линейное пространство над полем К и (3 < СЬ(У), будем говорить, что С действует на линейном пространстве V без неподвиэ/сных точек, если для любых д £ (2, д ф 1, уо = {у е у |д{у) = V} = 0.

Если К = Е или К — С, а группа О—конечна, то классификация таких групп это классический результат Цассеихауза-Винсента. Такая классификация, как известно, решает проблему классификации полных связных римановых многообразий постоянной кривизны, то есть проблему Клиффорда-Клейна о сферических пространственных формах (см. [\¥]). Для произвольного ноля характеристики ноль, задача классификации конечных групп, сводится, но крайней мере теоретически, к случаю К = С. Также можно описывать и конечные линейные группы, действующие без неподвижных точек и для произвольных полей, характеристика, которых не делит порядок группы, "поднимая представления в характеристику ноль".

Интерес к конечным линейным группам, действующим без неподвижных точек, вызван еще и следующим методом, используемым в теории инвариантов. Рассмотрим алгебру многочленов К[У] пространства V. Главная задача теории инвариантов описать алгебру инвариантов К[У]С. Однако описание алгебры в виде базисных инвариантных многочленов и соотношений между ними - довольно трудоемкая задача. Кроме того, даже явный вид образующих и соотношений не всегда сразу дает ответ на некоторые качественные вопросы о строении алгебры инвариантов. В последние 20-25 лет прошлого века, развилась теория, позволяющая дать оценки сложности"алгебры инвариантов без непосредственного вычисления образующих и соотношений (под "сложностыо"здесь мы понимаем набор численных параметров алгебры инвариантов, таких как, коразмерность, гомологическая размерность, числа Бети, дефект, глубина и так далее). Суть этого подхода, так называемого "слайс-метода", состоит в замене алгебры инвариантов всей группы на алгебру инвариантов некоторых подгрупп, у которых такие алгебры устроены не "хуже", чем вся алгебра инвариантов. Для маленьких подгрупп удается вычислить параметры алгебр инвариантов и, таким образом, оценить сложность изначальной алгебры [см. ВП]. В случае конечных групп метод состоит в следующем. Пусть = {д Е С? |д(у) = у], < С? - стабилизатор вектора у. Оказывается, что сложность алгебры инвариантов К[У]Сь не меньше сложности алгебры инвариантов К[У]а. Теперь посмотрим, что таким образом мы можем действовать (упрощать задачу) до тех пор, пока не окажется, что для всех у ф 0 € V имеем = е, это и есть группа действующая без неподвижных точек. Однако, такая схема не всегда работает, если характеристика поля делит порядок группы.

Пусть теперь поле К конечной характеристики р и нас интересуют конечные группы действующие без неподвижных точек на множестве У/{0}. Если порядок группы не делится на р, то этот случай сводится к случаю нулевой характеристики и может быть получен из результатов Цассенхауза-Винсента .

Однако, если порядок группы С делится па р, то группа (2 не может действовать без неподвижных точек. Поскольку 15 группе в можно рассмотреть р—подгруппу, она триангулизируется над нолем характеристики р и при этом собственные значения элементов равны 1, так как в иоле К характеристики р нет корней степени р из 1.

Один из способов обобщения действия без неподвижных точек в этом случае рассматривается в работах Л. Сига1шск, Л. \Viegaiid, [С\У] и Р. РкчйсЬтапп, \У. Ьешркеп, Р.Н. ТЛср [ИЛ!] . А именно,

Определение 2. Группа С? называется полурегулярной, если для всех полупростых элементов д, V9 = О

В этой работе мы ввели другое обобщение.

Определение 3. Будем называть группу (7 < СЬ(У) одиоипвариаптной, если V9 = Vе, для всех д Е (7, д Ф 1.

Одпоипвариантность является естественным аналогом действия без неподвижных точек. Действительно, пусть С < ОЬ(у) одноинвариантна, тогда определенная выше подгруппа Су тривиальна (либо совпадает с С, либо с 1). То есть тоже является последним шагом в "упрощении"группы С для указанных выше целей теории инвариантов.

Заметим, что если (3 одноинвариантна, то естественный образ (3 в СЬ(У/У°) является полурегулярной группой. Конечные полурегулярные группы классифицированы в выше перечисленных работах. Некоторые свойства одноинвариаитпых групп могут быть выведены из свойств полурегулярных, но мы доказывали их независимо.

В первой главе работы рассмотрены общие свойства одноинвариаитпых групп. Для конечных групп получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть конечная группа С < СЬ(У), V линейное пространство над полем К характеристики р, и порядок С? делится па р, тогда (7 = IIИ полупрямое произведение, где

1. и - нормальная элементарная абелева р— подгр\)ппа,

2. И действует на II сопря'жением без неподвижных точек

3. И циклическая группа (порядка д)

4-1/ ~ Ь+ ф . 0 а В < Ь*, где Ь - некоторое поле Ь = Рр(е),е = </1.

Основные свойства конечных одноинвариантных групп обобщаются и для бесконечных групп с некоторыми дополнительными условиями.

Например, для групп содержащих унипотеитный элемент имеем.

Пусть С? < СЬ{у) однот ¿вариантная группа, где V конечномерное векторное пространство над полем К. И пусть и < (7 максимальная унипотентная подгруппа С, тогда

1. 11—коммутативная группа.

2. Пусть II ф 1 и М < (7 максимальная абелева нормальная подгруппа. Предполоэюим, М ф 1. Тогда М = II.

Так же рассмотрен случай связных алгебраических групп над полем пулевой характеристики. Получен следующий результат.

Пусть С < ОЬТ1 связная линейная алгебраическая группа, определённая над полем К характеристики ноль и пусть С = 0{К) < СЬп(К)-одноинваршитиая линейная группа. Тогда

1. С = II • И, где В = О(К) для некоторой связной редуктивной К-группы Б и и = 11и(С)(К);

2. и = Кт;

3. группа Б действует (сопряэюением ) на и без неподвижных точек.

В данной работе, однако, мы делаем акцент на описании конечных одноинвариантных групп, порядок которых делится на char /Г = р ф 0. Разумеется трудно предположить, что возможна полная классификация таких групп. Поэтому, мы рассматриваем здесь лишь Пмалеиькие"группы. Как показывает опыт теории линейных групп, у ,,сложных"линейиых групп, скажем у неприводимых, как правило встречаются именно маленькие группы в качестве наименьших стабилизаторов точек (см. А. Залесский). Поэтому такая стратегия представляется оправданной, скажем, с точки зрения теории инвариантов.

Будем рассматривать лишь неразложимые G-модул и. Напомним, что G-модуль V называется разложимым если V = V\ ф V2, при этом V\, V2 ~ это G-модули.

Простейшим случаем, очевидно, является случай: |С?| = р . В этом случае G=U=<u> циклическая группа порядка р, при этом и — жорданов блок размера < р.

Во второй главе работы классифицированы одноипвариантные группы порядка pq, где (q,p) = 1. Это следующий шаг после жордановых блоков. Получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики р, V - линейное пространство над полем К, dimV = п, G < GL(V) одиоипваршитная неразлоэюимая группа, тогда

1. п < min(p, (/), где q' наименьший простой делитель q

2. (7 = 11 Б, где и =< и >, Б =< 8 > при этом в некотором базисе и = ехр

1 0 . 0\

О 0 1 . О

О 0 0 . 1 у 0 0 0 . о/ 5 = к"-1 0 . О

О кп~2 0. О О

О 0 . к О 0 0 0 . 1/ где к некоторый первообразный корень из единицы степени д.

В третьей главе работы дана классификация одноинвариантных групп порядка р2, то есть 0=11, при дополнительном условии Ю—длина 1. Здесь и далее нам понадобится понятие Ю—длины группы.

Определение 4. Пусть V - й модуль. Пусть также

У0 < VI < . < Ут = V, где Уо = Vе,У{+\ = {у Е V | д(у) = г;(тосЩ) для любого д Е С?}. Далее обозначим т = 1/с(К) и назовем -длиной группы (? число т.

Заметим, что если О действует одноинвариантпо на V, то и на У\ тоже. Поэтому сначала естественно поставить задачу классифицировать группы /с длины 1.

Вопрос классификации неразложимых представлений групп типа (р,р) над нолем характеристики р (без условий одноинвариантности и длины один) исследован в работах В. А. Башева [Б] и С. А. Кругляка [К]. В работе [Б] дана полная классификация представлений групп типа (2,2) над нолем характеристики 2. При условии одноинвариантности группы мы получаем в случае характеристики 2 ту же классификацию. В этой работе мы решили вопрос классификации представлений групп типа (р,р) над полем характеристики р при дополнительных условиях одноинвариантпости и /<?—длины один, а также показали (глава 3), что случае длины больше 1 характеристики поля больше 2, пет конечной классификации таких групп.

Теорема 3. Пусть К— поле характеристики р. Пусть группа (7 = (сг, г), , где ар = тр = 1, от = та. Далее, пусть V — иеразлоэ/симый одпоипвариаитпый С—модуль Ю—длины 1. Пусть такэюе коразмерность Vе равна к. Тогда размерность V либо 2к + 1, либо 2к. Более того, для любого т = 2к + 1 существует единственный такой С—модуль. Для любого т = 2к существует такой С—модуль, при этом, если К бесконечное поле, то число исизоморфпых неразлоэ1симых К[0\—модулей бесконечно.

Идея доказательства этой теоремы, а также общий метод решения дальнейших вопросов заключается в следующем.

Пусть сейчас С = С/ < (71/(У) и однойнвариантпа. Тогда в некотором базисе все элементы группы д Е С имеют вид: где т = dim V, т - k = diml^. Более того если обозначить А(д) Е Mkx.m-k{K) матрицу в верхнем правом углу, то rank Л (7) = к для всех 1 0 0 ••• 0 aik+i ••• aim\ О 1 0 ••• 0 а2к+1 ••• а2т д= 0 0 0 ••• 1 акш •• О 0 0 ••• 0 1 •• к т О О О О ••• 0 0 ••• 1/

A(gl92) = A{gi) + А(д2) для любых 01, д2 £ С?. Таким образом, задача сводится к классификации матриц стоящих в верхнем правом углу. Заметим также, что если то A(SgS~l) = £А(7)С-1. То есть мы можем проделывать элементарные операции с матрицей Л(д). Таким образом, задача классификаци групп одиоиивариантиых линейных групп порядка р2 сводиться к задаче классификации орбит пар матриц (Ai,^), удовлетворяющих некоторому дополнительному условию.

Следует отметить, что единственный G— модуль, который получается в случае m = 2к + 1 в точности совпадает с примером Хеллера- Райнера неразложимого G-модуля для группы типа |KR]. У

Следующий случай, когда |(т| = р3, рассматривается в четвёртой главе работы. Мы опять предполагаем, что 1д—длина группы G равна 1. Здесь получены следующие результаты.

Теорема 5. Пусть К — поле характеристики р. Пусть группа G = (<Ji,<J2, сгз), где af = 1, aicrj = (JjUi. Далее, пусть V — неразложимый одиоиивариантиый G— модуль IG— длины 1. Пусть также коразмерность VG равна k, а размерность V равна 2к + т. Тогда

1. при 0 < m < к число неизоморфных неразлоэ/симых K[G]— модулей бесконечно.

2. при m > у + к модуль V— разложим.

Случай к < т < у + к остается открытым. По-видимому, он требует очень большой технической работы.

При доказательстве (1) построены следующие примеры неизоморфиых модулей. а. при И1=0 уже в случае р2 построены; б. при 1 < т < к

А(а1) = (Ек Окхш)} А{а2) = (М1 0кхт), = (0кхт Ек), где а 1 0 ••• 0 \ 0 а 1 ••• 0

Мх =

0 0 • • • а 1 \ 0 0 ••• 0 а ]

Заметим, что в случае т = к аналогичное представление разложимо. Поэтому нужен другой пример, в. при т = к

А(а,) = (Ек | 0), А(а2) = (0 | Ек), А(а3) = | М2), где

М\ =

0 ••• 0 0\ О а2 0 • • • О 0 0 • • • 0 ак) при этом аг- ф а.] для всех г ф ] и аг- ^ Рр при любом г,

О 1 о •■■ о \

0 0 1 ••• о м2 = о О ••• О 1

У 1 о о--- о о у

Последняя глава работы посвящена вопросу возможности классификации групп длины больше 2. Построим цепочку

Ц) = Vе, У2,.,Ц как показано выше. Нами доказано, что если порядок силовской подгруппы группы С? хотя бы р2 и при ЭТОМ р Ф 2, то существует бесконечно много неизоморфных представлений группы (7 /д-длины 2, таких, что первые два элемента соответствующих цепочек совпадают. Из этого следует, что в случае групп 1с~длины больше единицы не существует конечной классификации одноинвариантных групп.