Одномерные конечные упругопластические деформации несжимаемой среды при всестороннем сжатии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



Л

Ь' . :

На правах рукописи

I з о:;т •

Коптагпок Лариса Валентиновка

одномерные конечные упругопластические деформации несжимаемой среды при всестороннем сжатии

01.02.04 - механика деформируемого тсзрдого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

/

Владивосток-1998

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления дво ран

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Александрович Буренин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александр Игоревич Хромов, кандидат технических наук Евгений Геннадьевич' Краснов

Ведущая организация: Дальневорточный государственный

технический университет, г.Владивосток

. Защита состоится О^ /и-г^_1998 года

в _часов на заседании диссертационного совета Д 002.06.07 в

Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН при Президиуме ДВО РАН по адресу: 690041, г.Владивосток, ул. Радио, 5, ИАПУ ДВО РАЯ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан " ^ Ч " О^^^^р^- 1998 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

I

М.А.] у к-и

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Общеизвестны фундаментальные и прикладные результаты в моделировании процессов накопления материалами значительных необратимых деформаций, полученные в середине нашего века. Главным образом их теоретической основой оказалась модель идеального несжимаемого пластического тела. Успехи в развитии теории идеальной пластичности неизбежно выводили на последующую фундаментальную проблему механики деформируемого твердого тела - на проблему моделирования конечных упруго пластических деформаций. Проблемные моменты при построении модели упругопластического тела, допускающего большие деформации, как необратимые (пластические), так и обратимые (упругие), были четко обозначены в первых, теперь уже классических, работах В. Прагера (1962 п), Л.И. Седова (1962 г.), Ли (1969 г.) и В.И. Кондаурова и В.Н. Кукуджанова (1978 г.). Основными из них оказались две следующие:

- Каким способом разделить экспериментально наблюдаемые полные деформации на обратимые и необратимые? По существу при построении теории следует ввести их определения. Из каких положений или гипотез?

-При построении теории течения упругопластической среды а классическом ее варианте участвует тензор скоростей пластических деформаций. Что назвать скоростью пластических деформаций, когда последние не являются малыми?

Многочисленные предложенные модели отличаются главным образом способом разрешения этих основных проблем теории. В настоящей работе при построении модели используется предложение Г.И. Быковцева • и A.B. Шишкова об определении обратимых и необратимых деформаций дифференциальными зависимостями. В этом случае законы термодинамики позволяют снять вторую из обозначенных проблем. Если же принять гипотезу о независимости свободной энергии от уровня необратимых деформаций, то определяющие соотношения теории становятся достаточно обозримыми и позволяют поставить и решить простейшие модельные краевые задачи. Последнее и определяет актуальность темы исследований, предпринятых в работе.

Целью работы является разработка модели упруго пластических материалов, способных допускать конечные 'упругопластические деформации, с введением дополнительных упрощающих гипотез, постановка и решение в рамках простейших моделей таких материалов некоторых краевых задач теории, включающих в себя как процессы активного нагруже-. ния, так и разгрузки, разработка методов расчета Остаточных деформаций и остаточных напряжений.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:

-построена математическая модель, описывающая большие деформации, как обратимые, так и необратимые, упругопластических материалов, в основу которой положена теория течения идеальной пластичности и дифференциальные определения для обратимых и необратимых деформаций;

-исходя из гипотезы о независимости свободной энергии от необратимых деформаций, получены определяющие зависимости простейшего варианта теории, включая случай несжимаемого деформирования;

-поставлена и решена краевая задача предложенной теории конечных упругопластических деформаций о пластическом течении среды около сферической каверны при всестороннем сжатии материала; .

-получено решение задачи Ламе о деформировании толстостенной трубы, нагружаемой внешним давлением с учетом конечных упругопластических деформаций у ее внутренней поверхности;

-вычислен характер распределения остаточных деформаций и остаточных напряжений в окре.стносга сферической полости и в полом упру-голластическом цилиндре после снятия внешней сжимающей нагрузки;

-показано, что в' рамках построенной модели остаточные деформации, а, следовательно, н остаточные напряжения не зависят от особенностей процесса разгрузки, а определяются видом исходного упругопласти-ческого состояния в момент начала процесса разгрузки, что является отличительной особенностью предложенной модели упругопластического тела.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на использовании классических подходов механики сплошных сред, строгостью математических выкладок, обоснованностью и внутренней непротиворечивостью принятых гипотез в упрощающих положений, позволивших построить замкнутую систему дифференциальных зависимостей принятой модели. При переходе к малым деформациям полученные в работе модельные соотношения переходят в соответствующие уравнения классической модели Прандтля-Рейса. Решение кошгретных краевых задач основано на общепршытых численно-аналитических процедурах и не содержит дополнительных упрощающих гипотез постановочного или методического характера.

Применение и практическая ценность работы. Реальные конструкционные материалы необходимо содержат в себе микродефекты сплошности. В условиях работы элементов конструкций, изготовленных из таких материалов, они могут испытывать значительные нагрузки. Это может привести к эффеггу "залечивания" внутренних дефектов в материале за счет необратимого деформирования их окрестностей с одной стороны, а с другой стороны, может вызывать разрушение за счет значительных растя-

гавающнх усилий, вызываемых остаточными деформациями. Разработка подходов к изучению такого противоречивого явления. вызываемого не-сбратимым деформированием, может оказаться полезной в практике использования технологгпесхпх приемов упрочнения изделий с целыо повышения длительной прочности и износостойкости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: - на международной конференции "Mathematical modeling and cryptography", Владивосток, 1995 r.

-на всероссийской шжоле-конферетгин "Золотоес-.-лс чтеш:;Владивосток, 1997, 1998 it.

-на международной конференции "Second Intimation::! Students' Congress of the Asia-Pacific Region Countries", Влодтсисто;:, 1997 г.

-на научно-технических конференциях в Дальневосточном государственном техническом университете (1994,1996, 1993 гт.) .

-на семинарах в НАЛУ ДВО РАН иод рукородстпом «пдемкка В.П.Мястпссза.

Структура и сбт.ем работы, Дггссертацня состоит из введения,. тр?ч глзп, заключения и списка литературы (122 наименования). Общ::и oov: : работы- 144 страниц:,;, з т.ч. 45 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к работе приведен краткий обзор литературы по проблемам моделирования конечных упругоплЕспгтаеких дефоргзци"«. Обсуждаются разные подходы в определениях дал обратимых (упруги;.) и необратимых (пластических) деформаций. Вта'г; я разрешение дашиЕ! проблемы внесли В.Ф. Астгдсз, Г. И. Бьлсозц.:?, В. И. Копдауров, 3. Н. Кукудясааов, Ли, B.II. Лгзнтес, Мгцдель, А.Л. Мгр*а?и, В Л. Млснигов. Кахди, Н.Э. Ногихоз, IO.H. Кяшии, Б.Е. Йобедрт, А.А. Поздгез, 3. Пвг.-гер, Д.Д. Реботсгоп, Л.И. Седев, ОЛ. Тологоллшгоз, П.В. Тг-у~св, А.Д. Чсрнмшов, А. В. Шитихоз, Ю.Н. Шевченко и др.

Перпая г,пазя днссгргшгоигюЛ рзботы посвящена выводу сско:-н:~\-соотношений тгорин тсчлпм упругегкг.стачеегсоД среды, ког;л тгарлд} с 1:гс0р.тшмы№! (ш^стичесхнмм) полгггдотся хокгчгымп и обрати:.--;« <,;■ : ругне) деформации. В основу прячтгых построен;'?! положено предлбг:':-ивг Г. И. Бмпспцега и А. 3. Шптсгага (ДАН, 19?:) г.) ч зпЛфсг'екакъ.. •

определяющим является трсбозлпис к соотпотспьям теозин, .то-; ■::.-jucrecn ч том, чтобы они были зозмаляо бол?'; оЗе-р:гмш'«1, т. >:. ¡:-чяол: л) прсс-m? ;и, nicGf t похенл.зст- козможногть постояе-г-кн н р-чг?:;*-': ••• ■<-f пик кряезп:: згд-.ч в рамка;: такой теории.

В червем зяед-.'ом пзр^грзфя гглггкг.пы исход-п/• ун:т •■'■ с

соотно:иги:>л Пси-капе с!;;:о::;п.*--Ч гр-л1' з.чдг.етчл .•счсш»'" '•. ••

X],Х2,Хз в виде а; = о/(Х1»*2,*з), где Я;- материальные координаты точек среды (переменные Лагранжа). Следствием уравнения изменения тензора дисторснн

с!й1

^ (1) да: Л/ 4 д д

С!) ; =-V; =•-— = — -.

г'} дху 7 Й Л 3/ 7 Заявляются уравнения изменения метрического тензора ду и тензора деформаций Альманси ¿у

Рёу.угу

т а

о с! ц (¡¿ц

ы = + = Еу' (2)

Символом в (2) обозначена коБарнантная производная от

тензора по времени в смысле Котгера-Ривлина, 5у - компоненты единичного тензора, Уравнения (2) являются исходными кинематическими зависимостями; из данных уравнений следуют при соответствующих предпосылках соотношении кинематики упругопластической среды.

' Во втором п^гграфе рассмотрены возможные подходы для разделения полных деформаций на обратимые и необратимые. Следующие три параграфа поейящеиы построение кинематики упругопластической среды. .

Для метрического тензора и тензора дисторсии принимаются представления

при требовании, чтобы тензоры еу и е^ были симметричными.

Согласно (1) и (3) получены дифференциальные уравнения измене-е р

пия тензоров еу ь е^ .

I. г , е

= ~ Ьу ~ + ЬНеИ '

с!е?,

^^(Ъу+Ъ^-еРЬу-Ь^е? №

Л 2

у г1 л

Требование симметрии тензоров е,у и егу может быть выполнено только при жестком ограничении на тензор Ьу, а, следовательно, и на тензор . Это ограничение следует из первого уравнения (4)и имеет смысл

тензорного уравнения

/•<; „С

относительно тензора 6(у. Решением данного тензорного уравнения является тензор с компонентами

Ьу 4

1 ( Л:2 (5 й е{. - 4 с ^ ) + В (в а 4, - е<к еек( еу ) +

Гу = Пу + А'

„е _ ■ е „г „с „г

•"'У =|К; "••'/,/). ».з-зяг + з^2 -е2-\Е1, '

В = 2-Ех, Е\ = гуу, £2 = еуее]кеекг

Тензор ty в (б) является произвольным симметричным тензором. Когда = 0 согласно (4) нмзем

=¿у+^ - еЬ.гк] - у - ^40.

и Р Р

Если пренебречь в зависимости (б) для тензора Гу нелинейными слагаемыми, ю второе из соотношений (7) оказывается эквивалентным уравнению изменения компонент тензора гц , когда бы тело не деформн-

росалось, а совершало жесткое вращсннс, то есть когда ¿'у = 0 и

ВсЦ / ¿)/ - 0. Следовательно, с таком случае тензор еЦ не изменялся^бы,

а изменение его компонент связывалось бы с вращением координатных осей. Но он остается неизменным и при учете нелинейностей в г у. С тем

только отличием, что такое вращение системы координат зависит от характера деформирования. Поэтому процесс деформирования тела в усло-г ;и.х, когда ¡у ^ 0, следует отождествщъ с процессами разгрузки или де-

аормирования в упругой области, а тензор С у определить в качества тензора необратимых (пластических) деформаций. Дифференциальные соотношения (7) следует рассматривать б таком случае в качестве определения

обратимых с,7 и необратимых Су деформаций для процессов деформиро-

иания, в которых не происходит накопления необратимых деформации. Более того, в работе показано, что определения (7) позволяют вычислить

еу и С-- независимо от пути разгрузки в пространстве напряжений по их

начальным значениям в момент, начала такого процесса. Напряжения в теле также являются функциями состояния, б из процесса. Отметим еще раз,

■по несмотря па то, что все изменение тензора сЦ при з 0 согласно

(7) сводится к его чистому вращению, изменение его компонент в таком процессе, следуя (6), зависит от-уроми обратимых деформаций и скоростей их нзменеши. Из (2) и (3) получаем разбиение тензора'полных деформации Альманси (1у на упруги« н пластические^ деформации в

виде

• <8>

Б случае активного нагрукения, когда прси:сход5гг процесс накопле-необратимых деформаций, кинематические завис¡¡мости могут оире-С Р

делать тензоры <?/; и СЦ только с точное; но до произвольного симметричного тензора ¡у. Такие определения мо^аю получить из (4) с учетом (о):

~ = е(/ '+ "у ~ П] ~ + 4 ('*/ " )+

Б

с!еР.

Таким образом, тензор в рамках кинематики остается неопределенным.

Шестой, седьмой и восьмой параграфы посвящены выводу определяющих соотношений между напряжениями и деформациями на основе законов термодинамики в областях разгрузки, активного деформирования и в упругой области соответственно. Следуя закону сохранения энергии, имеем'

( ЮЩ. ^ ^ | т<£

¿е§,сЬ ¿еР. * Л

(10)

В (Ю) р -плотность среды,-а у компоненты тензора напряжений Эйлера-Коши.^у- компоненты вектора потока тепла, 5"-энтропия, Г- абсолютная температура, F = Р(еу,еЦ,Т)- свободная энергия. Следствием

выбора такой функции состояния будут соотношения: в< области разгрузки .

0"«У = Р

дР е г

~ ле

\д4к \ (

-(1 -В)

дР

(1-Я)

дР

е дР е

4—

-в. „в „е

де1к де1к

е е ЗР ее е ^ ее в +е1кеЬ ~ПГе1пеп) - е1к —Гехсте1у

с дР дР е&

*41

рёЕ.

(П)

¿7F

деЪ де1 *

дек] де1к

рТТ1 4" '

в области активного деформирования

р7§

а^ а? с е а^ в дг е др

■ е£ - е?.-+ е?.-е%, - -

Ц- Цк * *0е« *8еЪ де?

1 8Р е 1 е дР дР р р дР +--еГ. +-с.,-+-сг.+сг,--

2деР Ъ 2}кЪер 8ер 1 дер ае1к к] ¡к СеЦ

\

дР р е е. р дР

--сг„е.?> —г-

р Ь SJ л к

°е1к ае5] у

Первое из соотношений (11) является аналогом известной в нелинейной теории упругости формулы Мурнагана. Второе соотношение из (11) является дополнительным условием на процесс обратимого деформирования при наличии остаточных деформаций. Таким образом, роль необратимых'деформаций, которые были приобретены средой, сводится к наличию данного ограничения, что отличает упругопЛастическую среду от нелинейно упругой. Третье соотношение (11)- уравнение баланса знтро-. пии. В силу необратимости процесса пластического течения в правой части такого уравнения, записанного для процесса необратимого деформирования (первого нз соотношений (12)) стоит источник энтропии £>. В иде-. альнон пластичности производство энтропии называют диссипативной

функцией и определяют зависимостыо В = сГу£Р-, где симметричный тензор^ называют скоростью пластических деформаций. Принятие данного положения позволяет определить смысл до енх пор неопределенного тензора соотношением

= (13)

Замыкание системы определяющих соотношений в зоне пластического течения теперь можно провести обычным способом. Для этого следует постулировать существование функции нагружения

/(ау,еЦ,%{) = к. илн се кусочно-гладкого аналога

(оу— к; ввести кинетические уравнения для параметров

истории принять условия принципа максимума Мизеса и выписать соотношения ассоциированного закона пластического течения.

В девятом параграфе приводятся соотношения простейшей теории конечных упругопластических деформаций. Наиболее простыми они получаются, если принять гипотезу о независимости свободной энергии от пластических деформаций и условия изотсрмичноспгпли адиабатнчности процесса деформирования. В этом случае свободная энергия принимает

смысл упругого потенциала ¡V = где - плотность Материала

в свободном состоянии. Тогда из (11), (12) и (13) следует

о",

_ р а\У е

4 РЪде%

(14)

¡к ~4к)<!д-

Вторым соотношением (14) устанавливаете:! однозначная связь тензора /;у с тензором, скоростей пластических деформаций Су, то есть до

сих пор неопределенная кинематическая характеристика необратимого деформирования, какой является тензор приобретает вполне ясный кинематический смысл. Когда необратимые деформации отсутствуют, вместо тензора упругих деформаций ¿у следует использовать тензор полных деформаций Альманси. Первое из соотношений (14) перепишется в таком случае в виде

(15)

■ РоЩк

Сразнивая второе равенство нз (14) с зависимостью (6), имеем, что

ьа=ги+4- об)

Исключая тензор Ьу из второго равенства (4), полагаем

с!еР.

Зависимостью (17) определена однозначная с г язь тензора пластических деформаций с тензором скоростей пластических деформаций. Данную зависимость- можно записать в вида

ВсЦ р ррр

и1 ш (18)

йеК

Левая часть соотношения (18) напоминает оператор ковариантного дифференцирования по времени в. смысле Коттера-Ривлина, где роль тензора У^у играет тензор Ьу, Иными словами, соотношением (18) вводится

определение объективной производной по времени, связывающей необратимые деформации со скоростью их изменения. Таким образом, в рамках настоящего подхода естественно и однозначно разрешается проблема определения тензора скоростей пластических деформаций (выбора объективной производной).

Тарке как и в классических теориях, проблема сведена к определению по данным экспериментов двух функций IV = Ще?)

«Дор. */) = *•

Определяющие соотношения для несжимаемой упругопластнческоЙ среды выписаны в десятом параграфе.

Для несжимаемой, среды формула Мурнагана (11) перепишется в виде:

при присузгствии необратимых деформаций

дш

<Гу = -р5у + -~{8ц-еек])у . (19)

д<Чк

в случае отсутствия пластических деформаций

ят

ау = -рду + " Щ) • (20)

В (19) и (20) функция р - добавочное неизвестное гидростатическое давление. Функцию полагая среду изотропной, примем в виде

Ш = {а- * а12 + - к1х1г - 61\>

IV = (а-^Ц +е^ - в1?1,

= » = <21)

Ае 1 с е •

= екк~2емек>

т ее е ее. ^ е е е е П = %% ~ + 4еИетепкек5

с00тветстве1Ш0 при присутствии и отсутствии 'необратимых деформаций. В соотношениях (21) упругие модули среды. Зависимости

(21) являются обобщениями потенциалов Трелоара и Муни для несжимаемой среды. Когда \} = К = 9 = 0, получаем аналог потенциала Муни в переменных Эйлера. Когда еще и а = 0, то из (21) следует одноконстантный

потенциал Трелоара. Следствием зависимостей (19) и (20) с использованием (21) являются соотношения

сг/у = -Р8у + 2(М ~(к + 2Ь)с!кк + Ыьс15к + 3&4 )с1у -

Ж (22)

-4(а-ка^^ф Р = р-—-,

а у = -Р5у + 2{ц-(кл-2Ь)1\ +к12+ Зв1\)еу -(4а -

-(5к + 26)/, +к12+ Ъв1Ъе%4} + - ~ (23)

~ (в - «Г1 >4^44' Р = Р - Цт-

При выборе инвариантов /| и/2 в виде (21). соотношение (22) является предельным для (23) при стремлении пластических деформаций к нулю.

Во второй главе рассмотрены простейшие однрмерные модельные задачи о конечных деформациях упруго пластического тела около цилиндрической и сферической полостей, возникающих при действии всестороннего давления. Простейшими задачи являются в силу того, что дефект в материале представляется одиночной цилиндрической или сферической полостью, а свойства материала моделируются простейшими соотношениями,указанными в первой главе.

В силу принятия условия несжимаемости среды одномерное ее деформирование оказывается кинематически определенными, так как в случае цилиндрической и сферической симметрии единственную не равную нулю компоненту перемещения иг можно определить интегрированием ' обыкновенных дифференциальных уравнений- уравнений неразрывности соответственно в Цилиндрических и сферических координатах:

о-^г^Г1»1- (24)

Здесь н далее п — 2 для цилиндрической задачи, п = 3 для сферической задачи.

Решением уравнений (24) является функция

г/г =г-(гл+р(0)!/". (25)

где <£>(?)- функция времени.

р(/) = д£-ли(0 = /о"-зи(0. (26)

В (26) Лд и 1) " радиусы внешних и внутренних цилиндрических и сферических поверхностей в недеформированном состоянии, /?(г) и 5(1)

- их последующие радиусы. Эти функции времени могут быть определены в каждой конкретной краевой задаче, исходя из сформулированных граничных условии.

Первоначально рассмотрены задачи равновесия при конечных обратимых деформациях при следующих граничных условиях

-оее|г=50 =2к> <27)

сггг|г=5'о =°-

Согласно постановке задачи (27) деформированное состояние, вызываемое внешним давлением Рд, не приводит к пластическому течению. Условие пластичности Треска выполнено лишь на внутренней поверхности г = ^о и граница г = 5о полагается свободной от напряжений. В условиях равновесия

$>(/) = - Л" = - = го = сотг.

Напряжения определяются формулой Мурнагана (22) по известному полю перемещений (25). ПодстаноБха напряжений в уравнение равновесия и его интегрирование при третьем условии (27) позволяет получить уравнение для вычисления добавочного гидростатического давления Р(г).

Используя первое условие (27), найдено дсаление /у, при котором на внутренней граница Бц выполнится условие пластичности Треска.

Подстановка давлання Р{г) и компонент напряжений в условие пластичности Треска приводит к елгсбранчесхому уравнению для нахох-

гА1

да пня величины -- X, при которой реализуется полученное дсборми-¿0

рованное состояние. •

Рассмотренные задачи равновесия являются вспомогательными для изучен»!.-! пласпньеского течения в окрестностях цилиндрической и сфе-' ричэскои полостей. Положи»!, что из состояния равновесия с внешним давлением Рд производится дальнейшее нагруженкс по закону: Р = Р$+си, а ~ сом.

Выбор исследующего иагружения пропорциональным времени здесь ' не принципиален.

При увеличении нагрузки условие пластичности Треска будет выполнено не только на внутренней граничной поверхности г = но и в некоторой примыкающей к ней области 5(/) < г < /}(/). Функция Г[(/) задает движение граничной поверхности пластической области.

В этом случае решается задача

Кг-Оее||5(0<г5/! =2к>

°гг|г=5(Г) =0> (2В)

-стее|г=5(/) =2к-

Учитывая, что в области пластического течения [агг — <тдо| = 2к, ' интегрированием выполняющегося во всей области уравнения движения соответственно в цилиндрических н сферических координатах с ислопъзо-ваннем второго условия (28) получим уразнения для определения компонент напряжений в пластической области.

На границе упругой и пластической областей г —- г\ напряжения можно вычислить кате формулой Муриагана (22) так н формулами для пластической области. Приравнивая напряжения при г ~ г\, получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для определения функции £>(/).

Для решения уравнений в цнлнпдрпческнх и сферических координатах введена функция /(г) = ^ ^ , где Г = — / - безразмерное гре-

V Р

тля.

При заданных упругих иодул.та, постоянной нзгруження, пределе ' Л)

текучести и отношении рздиусоз- джррсреяцнальные уравнения оылн

П'Ч

решены численно при начальных условиях

/Чг)|г=0-0.

х Ао

По найденной фунхщт /*,(&) определяются функции движения

т . , г т о

границ полости —— и плг.стк'гссад:! сипаетп ——:

#0 Яо

5(0

д

( п V"1 / г Го

о

Я

ко г./ л

Особый теоретический и практический -пггерес представляет задача разгрузхи, а именно вычисление остаточных деформаций и напряжений после снятия внешнего давленая, чему и посвящена третья глат.

Для решения этой задачи в первом парахрафе третьей главы рассматривается задача равновесия с необратимыми деформациями при граничных условиях

агг\г=Я1

0«г|г-51 =0, (29)

I °гг -^ееА^сг^

где - некоторый радиус, до которого уменьшились радиусы т^ внутренних цилиндрической и сферической поверхностей в процессе деформирования, - радиусы внешних поверхностей, - давление на внешней поверхности К[. При 5} Г 5 /} в среде присутствуют необратимые деформации, область т\ г ^ Л1 - область упругого деформирования.

Перемещения в этом случае определяются зависимостью

Ц. = г-(ГИ+П)1/И.

где

Аналогично тому, как это было сделано во- второй главе, найдены напряжения в упругой и пластической областях, давления» » , а также значение '

Во втором параграфе рассмотрена задача о вычислен«» деформаций в пластической области. Для этой цели введен параметру, аналогичный параметрам Т'д я

п^'-то-л

где г^о - начальные координаты точек в недеформированном состояни», которые при изменении давления до /}) имеют значение /¿¡о, при текущем давлении РТ £ • гт ив конечном состоянии при Р\ имеют значение г (5} £ £> 5£ <, Я).

При изменении давлена от Рд до /} в каждый текущий момент времен!! граница пластической области имеет радиус гт, который определяется из условия пластичности Треска, учитывая, что напряжения на границе упругой и пластической областей могут быть вычислены формулой Мурнагана для упругой области.

ий) •

По изп• TI;!ону радиусу гт согласно (30) оиргретяются рх-'ну, л >-tq

•и"*-**.

Соотмои::;нш (31) сг;Л2ыпа!от началт.нуго (Лт^.пхсчу) ro'Vfi"'" точки, в окрестности которой осуществлено iiwO-Jpni»;ne до' срмпроча-ние, с ее те::ун:-.и (Эйлеровой.) координатой.

Полипе д.-формации drr и d$g по insecmu?: нсремгс>.-.'>п«г.ч ?.:огуг быть вычислен м а любой. гсмег.т цречвнп. Для !!.;'Л111ирическсГ1 ?.'дпн

,

Для с | еской зал пи

drr(r = = dc,,(r = /V)").

До т; v достихгеллт ic/'лгл с :r -. упругг-ч-пс;.:' ... /.:

пластические rr- формации з от'ой то-псз ргг л;; пупо, а по-ш.;.- ; с;: /-.т.: совпадают о упругими, 1с~?ш:сишлгл :-лг: ¡: -и •:'.*г? .". si-.-y .л у. Согласно .у?;.чу.;::; (3) раздел-:!.<л полных д-j.i cpr . i г:<; у:.руп>: ;::!>

етнческие м.г г.ычнсль.-п- :.'0МП1:.;гтгг:; ¿¡уу.т,:". /:■"j', .

cl^ir) -•-1 - JI - V/-

Зна.т ":ir . r :••„• ,:сфс-;.' T.^xynr-x'::^^. ttr.i ■ in v.-'i : о -у. (8) "

... ..... - '

где полнг:с ...... • -. :' "- ■ .i-rv,: г -.■:

. — .

"V" i'o; "' "V

-б цнлиндрическои системе координат,

drr = — rr 2

(33)

( ( з -4/3" . ¿ео = \ ( ( -х \ 2/3"

1- г +у 1 3 1- Г +У\ 3

V К г J / V \ Г ) У

-в сферической системе координат.

При заданном параметра у т из промежутка у о < ут < у\ учитывая, что радиус г определяется формулой (31), найдены распределения упругих и пластических деформаций в любой точке пластической области.

В третьем, четвертом и пятом параграфах рассматривается задача разгрузки, когда спешнее давление полагается равным нулю. Радиусы £[, /?[, г и принимают значения 5р. Ир, Гр и и

Ур ~ ~ Кр = - Бр = г^- г'р. (34)

Согласно (30) и (34)

гр=(г" ^ .

В области Г[р £Гр<, Яр, где пластические деформации равны нулю, напряжения определяются интегрированием уравнения равновесия при граничном условии

'rr

а деформации, согласно (8)

4 = 1-^1-2^),

^^ = 1—v1 ~

Полные деформации (1гг{Гр) н С^дд(Гр) вычисляются формулами

(33), в которых параметр У\ следует заменить на ур-

В области >^Трй пластические деформации -имеют те же

значения, что и до разгрузки и могут быть вычислены формулами (32).

Упругие деформации согласно (8) определяются следующим обра-

зом

4-1- mik 49=1- р^ Vl-2 еР

(35)

По нзвсстиым деформациям (35) остаточные ки-чрлжоши; в области Sp < Гр < г\р определяются формулой Мурнагана (23), где неизвестную

функцию Р(г) можно нскшоч1ггь подстановкой напряжений в уравнение равновесия и его интегрированием при граничном условии

'гг

Отметим некоторые особенности численного интегрирования дифференциального уравнения, следующего из уравнения равновесия. Краевая задача по определеншо напряженно-дефсрмировзнного состояния в области накопленных необратимых деформаций решалась методом пристрелки, когда значение 5'р задавалось, а затем подбиралось из условия

равенства напряжений на границе пластической области. Характерный

а гг

график остаточных напряжений (компонента ) для цилиндрической

и

задачи приведен на рис.1. Максимальные напряжения агг достигаются з окрестности внутренних цилиндрической н сферической поверхностей.

■рнс.Г

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБ'ОТЫ

1. Предложена математическая модель конечных упругопластических деформаций, основанная на дифференциальных определениях для тензороа обратимых и необратимых деформаций.

2. Построена простейшая модель теории несжимаемого упругопластиче-ского тела при конечных деформациях.

3. Пололо, что отяйч:и;;л»ко5 особслаоса'о построенной модели явла-с гс.:! иеуилисжости |^прл^£ии&-дгфйрмироьашшх состоя,;;:.'. а процессах рззгруза: от характера дг.:г:аго процесса. Деформации, а, следовательно, и 1;.:пр-та..и>!г. опреде.таотс:. то:;ы;о параметрами, соответствующими началу ироцсеса разгрузи.

4. Усгспоьл?<гг опткпа~и:& свлзь тензора необратимых деформаций с таяоро-а cKopoortii шзсппесхих деформации, следующая из •i :kwhoi: термодинамики. Тезах связь коя;ег трактоваться как некоторая

:.о-ari'.-iiincji. ст тензор .г пластических дефо,-.. и ций по вре-

D г.: f с-лг-пы:; соэгиэшснпВ поста<«п лял и решены

!';■-:-"riun-iC; каоsjjy-iii о деформациях и пластическом те-

'.'ггирлгга полого »игра и -огетссгеткой трубы.

6. ilr.r росте ¡:r. рисашеЛ гюьерхьостн, пропори;;скальном вре-иенл, пышсяслы сикслд ¿и-^здод грлпнчпих поверхностей и границы гагсети-;ес!:ой с пласта и р^сирсдглсю:.'.. ¡;брелт;мых и необратимых дефор-

7. Получена состьлскуюод'-х зедзя о разгрузке полого шара и -шютсгтшэК трубг-з. Пс<птоит графическое зависима л и остаточных / .-.-фор. l '■¡¡■'й I. я.-с р^д^уса.

ПО MA?I2H2AXiAM 'ДИССБРТА1Л Hi

1. AAMjpodMi, О пр злейшей мода;г. упругопла-

гьпсспол ергды ср:; дсфсрм.чс'.им // Сб. тезисов докладов

...XXIV 1гбнлгГ.;:с.1 :.о:.ференции ДВГТУ. Владиво-

сток ihn-'i? ДВПУ, lf.,4-C.I21-12.?. .

2. Л.Л.. Burcrin, L.V. i*-3vl. То tfes Construction of the Ehstic-n,„;L: LiriiUi-a M •c.'Uct Flr-v-i DcfonKT/Jons // Matoematica! modelling

c:yp;c,:ibp;;y. KiciGs irur.T;.,.:o;«u ссзГслч.с«.- Vladivostok-.-1995-P.25. j. /„A. Л.ВлГсгп!3:»йк. ОС едким варианте модели нссжи-

л г о,допускающего большие деформации//

• '-.зСг.-яг сг;с'.':т». и й^,с;.т;;ггаг..-Е.1адавос10к: Изд-вэ ДВГТУ,

:

. . .4; ; Г-i'., К^гтс-аок JI.B. Об i>-jiofi простой

'' д t-. ' cdc.'.'л 5.:r-i> конечных ;.-:-'л>рмациях. //

J. . V. -- vcv, Merlin Y. Gci-cl-arova. The fn:;ic deformation :.-.-- t- r .- c-1 erica! cavity ir. iomprehei:.i%e

с •: rrcj-L. . с.,!!:йл. // ir*-:;:: 1Students' Ccnrrc^ of the Asia-¡v:!:'.c Kc;-km Cc::..>tri >,., j -i::.,;:; *'itenr.ical Univers:i/.-Vladivosiok,

6. Л.В.Ковтанюк. О "залечивании" цилиндрического концентратора напряжений // Сб. тезисов докладов XXXVII научно-технической конференции ДВГТУ. Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1997-С.21-23.

7. Л.В.Ковтанюк, М.В.Полоник. Задача Ламе о равновесии толстостенной трубы, изготовленной из несжимаемого упрутопластического материала // Проблемы механики сплошной среды. Владивосток, 1998-С.94-113.

8. А.А.Буреннн, Л.В.Ковтанюк. Об остаточных напряжениях в деформируемых телах после приобретения ими конечных обратимых и необратимых деформаций // Тезисы докладов дальневосточной математической школы-семннара имени академика Е.В.Золотова. Владивосток, 1998-С. 16.

Личный вклад автора. Все результаты исследований, представленных в диссертации, получены Л.В.Ковтанюк самостоятельно. В работах 1,2,3 и 4 автор участвовала в постановке проблемы и провела необходимые вычисления. В работе 5 автору принадлежит решение задачи о конечных деформациях в окрестностях сферической полости, а в работах б, 7, 8-решение задачи Ламе о деформировании толстостенной трубы у ее внутренней поверхности под действием всестороннего давления с учетом конечных упругопластическнх деформаций.