Одноточечные продолжения марковских процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

мдеш НАУК УНРАШЫ .

иняотт цлтштики акадши наук унраиш

На правах рукописи

ШШИЧИНОШ Прнна Богдановна

ОДПСТОЧЕЖК ПРСД0ДЖВ1Л МАРКОВСКИХ ПРОШХСВ

Ol,Gl.Ob - теория Гйроятносте': и натена!!»чрс«пя статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискания учэноЯ степенп яяищтдэта физико-мят^магических яауя

Гтрч - Î602

Работа шшсллбна. в отяелэ случайных процзсоос Шогатутс ■ -Зтс:.71Хпке АН Укропан.

'Научный руководитель! доктор'■?из лко-штз:.атглес,-газг паул, праТссиор Ш7РЕНК0В В.П.

ОТвдааясниз оигонерл'-м доктор (Т-лзико-тат'гетшчз.окк наук, проТбосор ИОРТИКО Н.Н.

чгидидят. ^изпг.о-уатем-тптчсзЕзз юзу»-доцент КОГШКО ЕЛ'.

Ведудая српшкчадгя: Донецкий мста-гут вриглаляо!! натч-гат-ят и -^ханг.кч 1Н »раянн.

:гга состоится <■'/ ^г. в ч.

ата:??. ос

на засегякки сп<*!шиг;13врогп,,Р',г-) оог'тг! Д 0IC.50.0i ирг: Инатктутр гики АН Уехт.Я:ч> но ,т,.кг;у: Гпяр--!.

ТС;!, у. , й.

Ает-уичтт рн всеяв« ' Яс'"?^-?

тр.г'ь

серета П'САГ.

.... Г' ОПСАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Данная работа посвящена проблемам одноточечных продолжений марковского процесса и получению характеристик продолженного процесса. Задача продолжения обривающегося однородного стохастически непрерывного строго марковского процесса до необрнвающегося. однородного. стохастически непрерывного феллеровского строго, марковакодо процесса состоит в нахождении вши резольвенты продолженного; процесса и свойств основных характеристик продолженного процесоа..

Проблема!® продолжения марковских процессов, занимались Данкш Е.Б., /Дцнкин Е.Б. О продолжениях марковского процесса// Теория вероятностей и её применения. - I9SQ. г Т. 13. - * 4.9, 708 - 713.Д М.Мотоо/ Ш ОПо^оо . ûpfiéo «a ¿¿on cidctLLrt f^Kcticnai-s tkt, ¿W-n-cio^ jpoiC&n

4- РЬм&оГ ir^tLü^ (àeuy'ti ц-tU* *f-

r-pvoM«) '1 p™ 4rry

fliM. Яо-Ufi. /W /. », Mb

p IS'ifO/.

Е.Б. Дынкин я A.A. Юшкевэт показали, что характеристический оператор процесса размнождния и гибели в граничной точке

хярактэрвэируется некоторой постоянной 8 - коэффициентом йб-i« ' Глощения, № - мерой скачков й коэффициентом отображения

/Теоремы и задачи о процессах 1йрйова. - Ms Наука. - 1967. -

232 е./.

Вторая задача, которая раеоматрййалаоь й.диссертаций, -применение общих результатов od однбтбчечтт предолненм* к процесс?« 5 нвзамйймумн прйращэнпймй на полуми.

Для процессов е односторонним* cfafvs%ÎK ПреЗстяап°ниэ fw-

зольвенты обрывающегося процесса било получено в работа В.Н.Супруна и В.М. Шуренкова "О резольвенте npouecca с независимыми приращениями, обрывающегося в момент выхода на отрицательную полуось // Исследования по теории случайных процессов. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1976. - С. 170-174 . В более обпем виде эта задача решена Н.С. Братийчуком /Н.С. Брятайчуи, Д.В. Гусак, Граничные задачи для процессов с независимыми приращениями. -К: Наук, думка, 1990.-260 с/.

Частным случаем задачи об одноточечном продолжении является задача о склейке двух процессов броуновского движения, которую рассматривали Б.И. Копытко и Н.И. Портенко /Замечание о склеива-» нии из двух процессов броуновского лвЕжония//Некотсриэ вопросы теории случайных процессов : Сб. каучн. тр. - Киев: Ин-т математики АК УССР, 1982. - С. 67-78/.

В данной диссертации рассматривается задача продолжения обрывающегося процесса путам присоединения к пространству одной точки. Далее рассматривается процесс, полученный обрывом некоторого заданного процесса с независимыми приращениями, fia основании полученных ранее результатов строится продолжение обрывамгв-гося процесса.

Цель работы,

- Нахождение характеристик продолженного процесса, а такяе изучение их свойств.

- Применение общих розультатов к процессам с независимыми приращениями.

Общая методика выполнения исследований, в работе используются теория марковских процессов и теория процессов с независимыми прирадениями, а также элементы теории меры и функционально-

го анализа.

Новизна результатов.

1. Показано, что одноточечные продолжения в общем случае харак-теризируютия неотрицательной постоянной I $ 0 ,6"' -конечной мерой на пространстве £ и конечной мерой М/с^) на пространстве входов .

2. Показано, что найденные характеристики однозначно определяют резольвенту необрывающегося однородного стохастически непрерывного феллэровского строго гарксвского процесса.

3. Примечание полученных результатов к продолкению марковского • процесса, который получен обрывом некоторого процесса с независимыми приращениями.

4. Скле1:ка двух процессов с независимыми приращениями.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в ряде вопросов теории случайных процессов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на оешшаре по теории вероятностей Института математики АН Украины, на семинаре по теории вероятностей и математической статистике Львовского университета, а также на Международной конференция, посвященной 100-летив Стерна Еаияха /Львов, 1992 г./.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [I - 4].

Структура и.объем работы. Диссертация состоит из ргзедестя, двух глав я списка цитированной литература, содержащей 22 названия. Обдай объем работы 73 страниш машинописного текста 4

СОДЕРВДШЕ РАБОТЫ.

Во введении приведены основные определения и утверждения, которые используются в работе, а такяе изложены основные результаты.

В первой главе рассматривается некоторый метрический компакт Е . Пусть (Г€ £ . Обзначим £ 1 С \ / (Г | .

В Е ц- рассматриваем обрывавшийся однородный стохастически

^ 5*

непрерывный строго марковский процесс Л ^ . Резэльвенту этого процесса обозначим через (г,\ Р (х)/ £ £ С / здесь С -пространство непрерывных функций/.

v о"

Задача состоит в построении продолжения А^ до необрываю-щегося однородного стохастически непрерывного строго марковско-

пп сТл ттттаплпптггтл пплпалла X п Р гт лттттлштгта чгот^тгфаг^тгл'гтп?

резольвенту продолженного процесса. Если ? - момент первого

рл/КуЬ 1КлМ" МЫ1' А> о , С;

£ е С.

о

Рассматриваем семейство псепцометрш?

здесь

Сл

л

п пусть £ - пополнеете £ р по этой системе псевдомэтрик, а Ъё = В N Е г.

Суть нижеприведенных теорем состоит з том, что пскомыо всевозмояхшо продолжения полностью опроделяются постоянной I >, 0 , б" -конечной корой К'(сИ) на £ и конечной

А

мерой М (<4 у) на Т) Б

Обозначил £}, (сс) г 1 " е"

г

Теорема 1.1. Любому продолжению процесса л ^ до кеобрыва-

зцегося однородного стохастически непрерывного феллеровского

строго марковского процесса %. , Ь ? О соответствуют поото-

/ \ А

янная £ ? О , конечная мера щс£.ь) на 'Э с , мера иа Ег о -- 0 ,

[ Ку) ^(¿у) < + -

е

такие, что

К А ( Ы -- * { И,

ОС- £

ф*) ♦ ¡ьЦу)^)*

Е 1Е

МИ -- -:-

Л 0 А

£ €

s

e ' о £

при этом, если i = 0 и М(?е) = 0 , то N {Е) * + ** .

Теорема 1.2. В условиях теоремы Г.1 R д ^ (ж) определяет резольвенту однородного стохастически непрерывного во обрывавшегося феллероЕского строго марковского процесса Xt .

Во второй главе рассматривается примейение теорем I.I и 1.2 к процессам с независимыми приращениями. Пусть X однородный необрывающийся стохастически непрерывный процесс с независимым! приращениями. Он является феллеровским и строго марковским. Пусть а - коэффициент сноса /переноса/ процесса, ê >, О -коэффициент диффузии, П ( Ах)- спектральная мера процесса. Напомним, что эти величины определяются из соотнопеяяя

* « I 2

Ш -- i tb. И е ~ I г + ^ +

. j ( eUx_ 0 nid-) * Jfe'^ Г-£«)Л|*г\

1x1 м O^'XUI

feU

называется кумулянтой процесса А, . Предположим, что в начальный момент времени процрсс находится на положительной полуоси в т. ОС и справедливо одно из двух условий:

V ( Уол, х* -- + -) Л ((б * 0) V

V ( 5 х п/сы = ♦ »о));

а/ ( Чал, Х^1 < -о) Л ( а - ( х Л (¿х) < 0).

О < /х| £ <

Условия I/ и 2/ гарантируют то, что при X ■* 0. момент первого достижения ( - -о. 0} также стремится к нулю.

Ог процесса пароходам к обрывающемуся однородному

у 0

стохастически непрорывному строго марковскому процессу д ^ , причем л ^ * х^ в { о i •* -а) .

Здось момент первого попадания процесса Х^ з

( - - ; о].

I/ о

Теорема 2.1. Существует продолжение А^ до однородного стохастически непрерывного иеобравалцвгося феллэровскосо строго (.арновсного произсса Х^. , заданного в [0/ * ®о это продолжение характеризуется неотрицательными поотояннкмя -С . С . п также мерой

на Г о; 1 ^ ) с

¿- f

о

Резольвента продолженного процессе пмеет вид

«> л {(*). £а ¿И ♦

ОСл £

с ^

Здось С-д^(эс) -резольвента Х(. • Существенным моментом приведенной выше теоремы является то, что пополнение по псевдометрике К д f ( Х-) ( 0) + -<*) состоит из одной точки, которую ш обозначим чорез 0 * . Это следует из того, что при ос О предел

СчИ»)

п " п 1 1 ~> существует

сс -» о

Существование продела следует из представления резольвента обрывающегося процесса.

Лдлее рассматриваем склейху двух процессов с независимыми прирэденияма, причем одан ез них без положительных скачков.

Пусть заданы два несбывающихся марковские процессы о независимыми приршцениямп X £ , X ' , которые являются однородна.!!!, стохастически непрерывными и, значит, (¡еллеровокнмя, строго триовсками.

йс кумулянты ■ , &,.(*) соответственно равны

г ( ( - < " [ Iе -

0С |ЭС к I |Х|>У1

¿х2

1 Л л О Р 9

у») - А^не - .

' И»1*- <

«»в

Если Х^ -процесс неограниченной вариации, то должно выполняться хотя бы одно из приведенных ниже условий: I/ * , * О , о

2/ | Л П,( <£*-) * +

- I

Когда ке вариация Х^ ограничена, то

. [а. пЛ^х) < 0 .

О < 1X1 ь 1

Для процесса Х^ при условии неограниченной вариации необходимо, чтобы 8г ? О , когда та вариация ограничена

а г - ] *Па(Л-х) > 0 о< 1« <

Приьедвнные вшие условия гарантируют, что момент первого попадания в т. 0 стремится к нулю, при условии, что в начальный момент времени находится вт.эси X •* 0 , )( оаре-

С X»

деляотоя следующим образом:

V0

д^ - обрывающийся однородный стохастически непрерывный строго марковский процесс, определенны/) в ( - V) V ( О', » , причем

Х° - X* , если X ^ < 0, и пусть С-л Р ( зО - резольвента процесса X .

V 0

Теорсш 2.2. Существует продолжение А^ до однородного необрывающегося стохастически непрерывного феллеровского отро-го маркошкого процесса X ^ , заданного в | - «') ' "о] , и вто продолжение характерязируется мерой N I ) и неотрицательными постоянными I , с ^ ( с ^ , а резольвента продолженного процесса имеет вид

Ял { Ы * { (») « ( 1 -Л<?л •

( е с

В этом случае пополнение по системе поеъдометрип К д ^(х) состоит из двух точек 0 , 0 - . Этот результат следует из того, что оуществуют пределы

^ Сл ^ о. ^ 1Ы

¿->0, С, <И . ^ 0_ &<4Ы ,

которые в общем случае не совпадают.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах: ,

I. Шуренков В.М., Ккричинсиая И.Б. Одноточечные продолжения марковского процесса // Стохастический агализ и его приложения: Сб. науч .тр. - Киев: Ин-т математики АН ТССР, 1389.-С. ИЗ - 120.

2. Киричинская И.В. Продолжения полунепрерывных процессов с независимыми прираданиями // Уйр.мат.яурн. - 1991. - г.43. -

№ 9. - с. 1269 - 1272.

3. Кирячинская И.Б. Склеиваниэ двух полунепрерывных процессов

с независимыми иряраиениями // Укр.мат.курн. - 1991. - т.43. * ® 5. * С. 596 - 600