Одновременная стабилизация линейных динамических объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕК.-И1Ь1 им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

Кудрицкнй Андрей Васильевич

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

004602952

Работа выполнена на кафедре нелинейных динамических систем и процессов управления Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор технических наук,

академик РАН, профессор Коровин Сергей Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Арутюнов Арам Владимирович

кандидат физико-математических наук,

доцент Ткачев Сергей Борисович

часов на заседании дис-

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится «. 2010 г.

сертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.В .Ломоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан « Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор '^л^Ср'^^у Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Проблема одновременной стабилизации возникает во многих практических задачах. Например, в случае, когда объект может работать в нескольких режимах, причем информация о переходе от одного режима к другому может отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента объекта. Цель управления - синтез регулятора, обеспечивающего устойчивость системы в любом из возможных режимов.

Как известно, для стабилизации одного объекта решение задачи всегда существует, более того, можно описать все стабилизующие регуляторы с помощью параметризации Уои1а.

Одновременная стабилизация двух динамических объектов, как показал Vidyasagar в 1982 г., сводится к задаче стабилизации одного объекта с помощью устойчивого регулятора и допускает полное решение в терминах перемежаемости действительных нулей и полюсов объекта.

Но уже в случае одновременной стабилизации трех объектов общее решение проблемы отсутствует. Более того, известны результаты о так называемой рациональной неразрешимости задачи одновременной стабилизации к ^ 3 объектов. В1опс1е1 в 1994 году установил следующий факт: невозможно построить алгоритм, который позволял бы за конечное число шагов ответить на вопрос об одновременной стабилизации трех и более объектов, используя только коэффициенты их передаточных функций, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), логические операции ("и", "или") и системы равенств или неравенств. Поэтому в виду сложности решения проблемы одновременной стабилизации в общем случае, в современных исследованиях но указанной тематике предлагается использовать следующие подходы:

— сужение классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации;

— получение общих необходимых условий одновременной стабилизации;

— расширение классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации;

— ограничение класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.

Важно отметить, что в общем случае все известные необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации трех и более объектов носят неконструктивный характер. Другими словами, в настоящее время нет алгоритмов, позволяющих в общем случае за конечное число шагов однозначно ответить на вопрос о существовании одновременно стабилизирующего регулятора для к ^ 3 объектов.

В случае, когда число стабилизируемых объектов больше двух, известные условия одновременной стабилизации могут быть разбиты на три типа:

1) необходимые и достаточные условия (Vidyasagar, Viswanadham, Ghosh, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - не являются конструктивными и фактически сводят одну нерешенную задачу к другой либо применимы к достаточно узким классам стабилизируемых объектов;

2) необходимые условия (Ghosh, Wei, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - в основном носят конструктивный характер, т.е. допускают численную реализацию и применимы к широким классам объектов;

3) достаточные условия (Maeda, Vidyasagar, Alos, Emre, Kwakemaak, Wei, Debowsky, Kurilowicz, Blondel, Campion, Gevers и другие) - как правило имеют конструктивный характер, но применимы к узким классам объектов.

Отметим также, что, помимо получения условий существования одновременно стабилизирующего регулятора, актуальной является и задача разработки конструктивного алгоритма его построения.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к решению задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов, позволяющего получить конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора для линейных динамических объектов, а также предложить конструктивные алгоритмы построения таких регуляторов. При этом ограничения, накладываемые на порядок и параметры стабилизируемых объектов, должны быть минимальными.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый подход к исследованию задачи одновременной стабилизации, основанный на изучении свойств аффинных преобразований пространства параметров регуляторов в пространство коэффициентов характеристических полиномов замкнутых объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.

2. Получены новые конструктивные условия одновременной стабилизации динамических объектов различных порядков.

3. Разработана общая схема исследования задач существования и нахождения одновременно стабилизирующего регулятора.

4. Предложена новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора.

Методы исследования В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости линейных динамических систем, теории робастной устойчивости систем управления, теории систем линейных неравенств, а также методы интервального анализа.

Практическая значимость

Предложенные в работе методы построения регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные динамические объекты имеют теоретическую и

практическую значимость и могут быть использованы для решения задач стабилизации в условиях параметрической неопределенности.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- новые конструктивные условия одновременной стабилизации конечного числа объектов произвольных порядков;

- общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации с заданной степенью устойчивости (а-стабилизации);

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов;

- критерий существования ^-стабилизирующего регулятора для случая одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Апробация работы

Основные результаты работы и отдельные её части докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1. На Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии "САИТ-2007 (Обнинск, Россия, 10-14 сентября 2007 г.);

2. На Третьей Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии"САИТ-2009 (Звенигород, Россия, 14-18 сентября 2009 г.);

3. На Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

4. На международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2006" (Москва, Россия, 2006 г.)

5. На научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и уцравление"под руководством академиков РАН C.B. Емельянова и С.К. Коровина (Москва, Россия, 2006-2009);

6. На научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 статей в ведущих рецензируемых журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 143 страниц текста, состоит из введения, пяти глав, четырех приложений, библиографии.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе представлены основные теоретические обоснования предложенного метода исследования задачи одновременной стабилизации линейных стационарных объектов.

В разделе 1.1 приведены основные обозначения и определения, использованные в работе.

В разделе 1.2 приведена общая постановка задачи одновременной стабилизации, представлен структурированный обзор основных идей и результатов работ различных авторов по данной тематике.

В разделе 1.3 приведена рассматриваемая в работе формулировка задачи одновременной стабилизации: рассматривается к линейных объектов различных порядков щ с передаточными функциями

= = (1.1) ai(s) ak(s)

где 0í(s) = bJli_i,isni_1 +----(- feo,n a¿(s) = sn< + a^-i^s"'-1 +----1- a0,¿, причем

полиномы Pi(s), a¿(s) взаимно просты.

Требуется установить существование регулятора 1-го порядка с передаточной функцией

} = РМ = ^ + + + ( }

w q(s) Sl + qi-lSn-1 + ... + qlS + q0 ' K '

одновременно стабилизирующего объекты (1.1), т.е. такого, что знаменатели

ipi{s) = ai(s)q(s) + Pi{s)p{s),i = 1,2,..к

всех передаточных функций замкнутых систем, - объектов (1.1), замкнутых отрицательной обратной связью регулятором (1.2), являются устойчивыми полиномами.

Далее в разделе 1.4 приведены вспомогательные утверждения и определения, на основе которых формулируется новый подход к решению поставленной задачи. Сформулирована теорема об однопараметрическом семействе полиномов. Введено понятие ш-устойчивого вектора.

Теорема 1.1. Пусть

L{u) = {p(s,w¿í) = uo¡j, + uif¿s+... -ftin-i/us"-1 + sn, ¡j, e К, щ > 0}, (1.3) u = (u0, ...,un-i) el",

однопараметрическое семейство полиномов в Рп, причем uq, щ, ..., ип-\ такие, что полином степени (п — 1)

u(s) — Uq + щ s + ... + Un-is"-1

устойчив. Тогда найдется таков значение параметра /^о > О, что при любом ¿и > цо полиномы семейства (1.3) устойчивы.

Вектор и = (щ,..., ип_!)т е К" называем и-устойчивым, если полином степени п — 1

Для каждого знаменателя передаточной функции системы И^в), замкнутой обратной связью регулятором 1-го порядка (1.2), т.е. для каждого полинома

^(а) = а4(в)д(в) + & (а)р(в) = уо,; + ч>цз +... + <рщ+1-иап,+1-1 + а**1 (1.4)

введем вектор коэффициентов = (<£>о,», ■ • ■, ¥>тц+г-1,0 • Тогда для каждого г = 1,..., к найдутся матрица Л (а,, I) е к("'+г)><(21+1) и столбец ^¿(а<1 Д, 0 6 К(п<+0 (однозначно построенные по коэффициентам передаточной функции И^(а)) такие, что выполняются равенства

и(а) = ий + щз + ... + ип_1з'

,п-1

устойчив.

/

\

Щг

= Аг(оч,Ри1)

41-1

+ Д(а*,А,/), ¿ = 1,...,Л. (1.5)

Ро

Для линейной системы неравенств

( \

Яо

+ В{(сц,&,1)>0, г = 1,...,к.

(1.6)

41-1 ро

\рЧ

определим вектор V = (до,... ,дг_1,ро, ■ • • ,Р1) как устойчивое решение , если

устойчив СООТВеТСТВуЮЩИЙ полином = уо,г ++ - • . + <ргц+1~

Г4+1-1.

сщ+1

1,..., к с коэффициентами (1.5).

В разделе 1.5 на основе понятий и утверждений, введенных в разделе 1.4, а также известных фактов о решении системы алгебраических неравенств, доказано конструктивное ранговое необходимое условие одновременной стабилизации к линейных стационарных объектов.

Теорема 1.2. Пусть линейные объекты (1.1) одновременно стабилизируемы некоторым регулятором 1-го порядка (1.2). Тогда в матрице

■А, V

А =

V

-Ак -Вк О -1

ранга г найдется такой отличный от нуля минор

Д =

г-го порядка, что выполняются соотношения

Д

......... -1

>0, 0 = 1) 2 ... ,п-1 + ...+ щ + к1)

а)гП ••• -1

°Л1 ■••

В разделах 1.6, 1.7 получено новое достаточное условие одновременной стабилизации к линейных стационарных объектов, не предполагающее ограничение на структуру объектов.

Теорема 1.3. Пусть для объектов (1.1) существует вектор параметров и = (?о, • • • ,41-1,Ра, ■ ■ ■ ,£>/) такой, что векторы

ш-устойчивы для всех г = 1 ,...,к, где (•, ■) — скалярное произведение, -2-я строка матрицы Тогда объекты (1.1) одновременно стаби-

лизируемы некоторым регулятором порядка I.

Вектор параметров у = (до,. ■ ■ ,дг-ъйъ • • • ,Рг)Т> удовлетворяющий теореме 1.3, назовем ш-стабилизирующим (соответствующие параметры - ш- стабилизирующими).

Регулятор (1.2) называем ш-стабилизирующим, если вектор его параметров V = (до, • ■ • ,41-1,Ра, ■ ■ ■ ,рОт — ^-стабилизирующий. Фактически, теорема 1.3 задает достаточное условие существования ^-стабилизирующего регулятора. Свойство (¿-стабилизирующих регуляторов описано в следующей теореме.

Теорема 1.4. Пусть для объектов (1.1) существует и-стабилизирующий регулятор с вектором параметров V = (до, • • • , д;-ъРо, • • • , Р;)Т- Тогда для

,т

(1.7)

pis)

любого г > 0 найдется такое ц* > О, что регулятор R*(s) — ■ с вектором параметров vfj,* также одновременно стабилизирует объекты (1.1) и при этом для радиусов устойчивости знаменателей

замкнутых систем справедливы оценки

Ыч>Ш > г.

В разделе 1.8 приведен алгоритм построения ш-стабилизирующего регулятора для объектов (1.1).

В заключительном разделе 1.9 главы 1 приведены результаты для частного случая рассматриваемой задачи - одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка. А именно, удалось получить представляющие практический интерес необходимые и достаточные условия, а также достаточное условие отсутствия одновременно стабилизирующего регулятора 1-го порядка.

Результаты первой главы опубликованы в работах [1-5].

Во второй главе приведена общая схема исследования задачи одновременной стабилизации, а также подробно описана процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора на основе методов интервального анализа а также алгоритма описанного в разделе 1.8 главы 1.

В разделе 2.1 представлены вспогательные определения и утверждения.

В разделе 2.2 приведена общая схема исследования задачи одновременной стабилизации. Схема включает в себя не только исследование поставленной задачи, но и процедуру построения одновременно стабилизирующего регулятора. Основные этапы этого исследования состоят в следующем.

1. Проверка совместности системы линейных неравенств (1.6):

- если несовместна: не существует стабилизирующего регулятора;

- если совместна: иереходим к п. 2.

2. Проверка ограниченности множества решений (1.6):

- если ограничено: переходим к п. За;

- если неограничено: переходим к н. 36.

За. Поиск параллелотопа содержащего ограниченное множество решений системы линейных неравенств (1.6) и определение точности интервального алгоритма Б1У1А, переход к п. 4а.

36. Выбор начальных условий и точности интервального алгоритма 5IV!А, переход к п. 46.

4а. Поиск стабилизирующих параметров регулятора с помощью интервального алгоритма 5IVIА:

- если найдены стабилизирующие параметры : найден и существует одновременно стабилизирующий регулятор;

- если не найден стабилизирующие параметры : уточнить параметры алгоритма Б1У1А и повторить п. 4а.

46. Поиск ш-стабилизирующих параметров регулятора с помощью интервального алгоритма Э1У1А:

- если найдены ^-стабилизирующие параметры: перейти к п. 4в;

- если не найден ^-стабилизирующие параметры : уточнить начальные условия и точность алгоритма БIV! А (повторить п. 36, 46).

4в. Расчет параметра [х перехода от ¡¿-стабилизирующих параметров к стабилизирующим параметрам.

В разделах 2.3, 2.4 описан способ выбора начальных условий и точности процедуры 5/У/А поиска стабилизирующих параметров регулятора, а также основные шаги самой процедуры 5IVIА.

Результаты второй главы опубликованы в работах [6-8].

В третьей главе рассмотрена задача одновременной а-стабилизации, т.е. задача одновременной стабилизации линейных стационарных объектов с заданной степенью устойчивости а = const > 0.

В разделах 3.1, 3.2 дана формулировка задачи одновременной а-стабилизации, вводятся определения оустойчивости, радиуса а-устойчивости, а также описан подход, основанный на взаимно-однозначном преобразовании областей а-устойчивости в пространстве коэффициентов полиномов.

В разделах 3.3 - 3.5 предложены проверяемые численно необходимые условия одновременной а-стабилизации, а также достаточное условие одновременной а-стабилизации линейных динамических объектов регулятором заданного порядка с указанием алгоритмов построения стабилизирующего регулятора. Также приведено определение (а,и))-стабилизирующего регулятора., который является аналогом ^-стабилизирующего регулятора, описанного в главе 1. При этом использованы методы, основанные на анализе структуры областей устойчивости пространств коэффициентов полиномов, линейно зависящих от параметров. Указанные методы были описаны ранее при решении задач одновременной стабилизации к ^ 3 линейных стационарных объектов в главе 1.

Приведенный в разделе 3.6 алгоритм также допускает эффективную численную реализацию с использованием прикладного интервального анализа, описанную в главе 2.

В разделе 3.7 приводится критерий существования (а, ¿^-стабилизирующего регулятор, полученный для частного случая - одновременной а-стабилизации линейных объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [9].

В четвертой главе рассмотрена задача одновременной стабилизации дискретных линейных стационарных объектов регулятором заданного порядка, для которых представлено легко проверяемое необходимое условие одно-

временной стабилизации, а также приведено достаточное условие одновременной стабилизации и построен конструктивный алгоритм поиска одновременно стабилизирующего регулятора. Подход к получению перечисленных результатов аналогичен подходу, используемому для а-стабилизации линейных стационарных объектов в главе 3. Задача одновременной стабилизации дискретных объектов сводится к задаче одновременной стабилизации непрерывных объектов, описанной в главе 1, используя конформное отображение единичного круга комплексной г-плоскости в левую полуплоскость комплексной s-плоскости.

В пятой главе приводятся результаты для некоторых частных задач по теме одновременной стабилизации.

Так, в разделах 5.1, 5.2, представлены результаты возможности расширения множества линейных стационарных объектов, одновременно стабилизируемых с помощью единого регулятора, а также расширения множества регуляторов, стабилизирующих одни и те же линейные стационарные объекты. Используя теорию построения радиусов устойчивости, были получены оценки упомянутых множеств.

В разделах 5.3, 5.4 рассмотрены задачи об одновременной сильной стабилизации и одновршенной биустойчивой стабилизации линейных стационарных объектов.

Известно (Blondel, Vidyasagar), что задача одновременной стабилизации (к + 1)-го линейного объекта в некоторых случаях может быть сведена к задаче сильной одновременной стабилизации к объектов, а задача одновременной стабилизации (к + 2)-ух линейных объектов в некоторых случаях может быть сведена к задаче одновременной биустойчивой стабилизации к объектов (Wei), что позволяет упростить решение и сократить объем вычислений для подобных задач. На основе подхода, описанного в главе 1, получены необходимые и достаточные условия одновременной сильной и биустойчивой стаби-

лизации.

Результаты пятой главы опубликованы в работах [10-12].

В Заключении приводятся основные результаты, полученные в ходе исследования задачи одновременной стабилизации:

- разработан новый подход к исследованию задачи одновременной стабилизации, основанный на изучении свойств аффинных преобразования пространства параметров регуляторов в пространство коэффициентов характеристических полиномов замкнутых объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств;

- получены новые конструктивные условия одновременной стабилизации конечного числа линейных динамических объектов произвольных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- разработана общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- разработана новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- получены конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной а-стабилизации конечного числа линейных динамических объектов произвольных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- получены конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена численно реализуемая процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной стабилизации конечного числа дискретных объектов произвольных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- для задач одновременной стабилизации, а-стабилизации в случае стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка получены крите-

рий существования единого w-стабилизирующего регулятора((а, ш)-стабили-зирующего регулятора);

- получены результаты о возможности расширения множества одновременно стабилизируемых объектов, а также результаты, позволяющие расширить множество регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные стационарные объекты.

В приложениях А,Б,В представлены используемые методы теории ро-бастной устойчивости, интервального анализа, теории систем линейных неравенств.

Основная процедура расчета одновременно стабилизирующего регулятора была численно проверена и реализована в среде математического моделирования MatLab. Результаты численного моделирования представлены в приложении Г.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Сергею Константиновичу Коровину за постановку задачи и постоянное внимание и ценные советы в работе над диссертацией, а также Фурсову Андрею Серафимовичу за помощь в исследовании тематики задачи одновременной стабилизации.

Список публикаций

[1] Фурсов A.C. Коровин С.К., Кудрицкий A.B. Об одновременной стабилизации линейных объектов произвольных порядков регулятором заданной структуры // Доклады академии наук,— 2008.— Т. 423, № 2.— С. 173-177.

[2] Фурсов A.C. Коровин С.К., Кудрицкий A.B. О некоторых подходах к

одновременной стабилизации линейных объектов регулятором заданной структуры // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45, № 4. — С. 597-608.

[3] Фурсов А. С. Кудрицкий A.B. Об одновременной стабилизации линейных объектов второго порядка // Дифференц. уравнения.— 2007.— Т. 43, №8. -С. 1144.

[4] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B. О существовании и конструктивных алгоритмах построения регуляторов, одновременно стабилизирующих объекты второго порядка // 2-я Международная конференция "Системный анализ и информационные технологии САИТ-2007 (10-Ц сентября, 2007 г., Обнинск, Россия): Труды конференции. — 2007. — Т. 1, № 2. — С. 76-78.

[5] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B. Одновременная стабилизация линейных объектов произвольных порядков регулятором заданной структуры // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 8. - С. 1150.

[6] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B., Носов А.П. Существование устойчивых решений линейных систем // Дифференц. уравнения, — 2006.— Т. 42, №8.-С. 1144-1145.

[7| Фурсов A.C. Кудрицкий A.B., Носов А.П. Алгоритмы построения регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные объекты второго порядка // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 5. — С. 619-625.

[8] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B., Носов А.П. К вопросу об одновременной стабилизации интервальных семейств линейных объектов // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 2. - С. 287-288.

[9] Фурсов A.C. Коровин С.К., Кудрицкий A.B. К вопросу об одновремен-

ной а-стабилизации линейных объектов // Дифференц. уравнения // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 5.- С. 698-705.

[10] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B. О множестве одновременно стабилизируемых линейных объектов заданным регулятором / / Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 8. - С. 1149.

[11] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B., Носов А.П. Оценка множества регуляторов заданного порядка, одновременно стабилизирующих линейные объекты // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 8. — С. 1150.

[12] Фурсов A.C. Кудрицкий A.B., Носов А.П. Одновременная сильная стабилизация линейных объектов произвольных порядков регулятором заданной структуры // Дифференц. уравнения,— 2009.— Т. 45, № 8.— С. 1214-1216.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от01.12.99 г. Подписано к печати 11.11.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 617. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение.

Глава 1. Одновременная стабилизация линейных объектов регулятором заданной структуры.

1.1. Основные обозначения и определения.

1.2. История задачи

1.3. Постановка задачи одновременной стабилизации линейных объектов регулятором заданного порядка.

1.4. Вспомогательные утверждения

1.5. Необходимые условия одновременной стабилизации.

1.6. Достаточное условие одновременной стабилизации регулятором заданного порядка.

1.7. ^-стабилизирующие регуляторы.

1.8. Алгоритм построения (^-стабилизирующего регулятора для одновременной стабилизации линейных объектов

1.9. Случай одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Глава 2. Алгоритм построения одновременно стабилизирующего регулятора

2.1. Постановка задачи, вспомогательные понятия и утверждения

2.2. Общая схема процедуры поиска одновременно стабилизирующего регулятора.

2.3. Применение методов интервального анализа для построения алгоритма поиска (^-стабилизирующих параметров

2.4. Определение начальных условий алгоритма SIVIA для поиска (^-стабилизируемых параметров

2.5. Построение регулятора, одновременно стабилизирующего конечное семейство объектов.

Глава 3. Одновременная а-стабилизация

3.1. Постановка задачи одновременной «-стабилизации линейных объектов регулятором заданного порядка.

3.2. Основные понятия и вспомогательные утверждения.

3.3. Необходимые условия одновременной а-стабилизации.

3.4. Достаточное условие одновременной а-стабилизации регулятором заданного порядка

3.5. (а, си)■-стабилизирующие регуляторы

3.6. Алгоритм построения (а, ^-стабилизирующего регулятора для одновременной а-стабилизации линейных объектов.

3.7. Случай одновременной а-стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Глава 4. Одновременная стабилизация дискретных объектов

4.1. Постановка задачи одновременной стабилизации дискретных объектов

4.2. Вспомогательные утверждения

4.3. Необходимые условия одновременной стабилизации дискретных объектов

4.4. Достаточные условия одновременной стабилизации дискретных объектов

4.5. Алгоритм построения регулятора, одновременно стабилизирующего дискретные линейные объекты.

Глава 5. Дополнительные результаты для задачи одновременной стабилизации

5.1. Расширение множества одновременно стабилизируемых объектов

5.2. Оценка множества одновременно стабилизирующих регуляторов

5.3. Одновременная сильная стабилизация

5.4. Одновременная биустойчивая стабилизация

Актуальность работы

Проблема одновременной стабилизации возникает во многих практических задачах. Например, в случае, когда объект может работать в нескольких режимах, причем информация о переходе от одного режима к другому может отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента объекта. Цель управления - синтез регулятора, обеспечивающего устойчивость системы в любом из возможных режимов.

Как известно, для стабилизации одного объекта решение задачи всегда существует, более того, можно описать все стабилизующие регуляторы с помощью параметризации Youla.

Одновременная стабилизация двух динамических объектов, как показал Vidyasagar в 1982 г., сводится к задаче стабилизации одного объекта с помощью устойчивого регулятора и допускает полное решение в терминах перемежаемости действительных нулей и полюсов объекта.

Но уже в случае одновременной стабилизации трех объектов общее решение проблемы отсутствует. Более того, известны результаты о так называемой рациональной неразрешимости задачи одновременной стабилизации к ^ 3 объектов. Blondel в 1994 году установил следующий факт: невозможно построить алгоритм, который позволял бы за конечное число шагов ответить на вопрос об одновременной стабилизации трех и более объектов, используя только коэффициенты их передаточных функций, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление), логические операции ("и", "или") и системы равенств или неравенств. Поэтому в виду сложности решения проблемы одновременной стабилизации в общем случае, в современных исследованиях по указанной тематике предлагается использовать следующие подходы: сужение классов объектов, для которых устанавливаются необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации; получение общих необходимых условий одновременной стабилизации; расширение классов объектов, для которых устанавливаются достаточные условия одновременной стабилизации; ограничение класса регуляторов, среди которых устанавливается существование одновременно стабилизирующего регулятора.

Важно отметить, что в общем случае все известные необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации трех и более объектов носят неконструктивный характер. Другими словами, в настоящее время нет алгоритмов, позволяющих в общем случае за конечное число шагов однозначно ответить на вопрос о существовании одновременно стабилизирующего регулятора для к ^ 3 объектов.

В случае, когда число стабилизируемых объектов больше двух, известные условия одновременной стабилизации могут быть разбиты на три типа:

1) необходимые и достаточные условия (Vidyasagar, Viswanadham, Ghosh, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - не являются конструктивными и фактически сводят одну нерешенную задачу к другой либо применимы к достаточно узким классам стабилизируемых объектов;

2) необходимые условия (Ghosh, Wei, Blondel, Gevers, Mortini, Rupp и другие) - в основном носят конструктивный характер, т.е. допускают численную реализацию и применимы к широким классам объектов;

3) достаточные условия (Maeda, Vidyasagar, Alos, Emre, Kwakernaak, Wei, Debowsky, Kurilowicz, Blondel, Campion, Gevers и другие) - как правило имеют конструктивный характер, но применимы к узким классам объектов.

Отметим также, что, помимо получения условий существования одновременно стабилизирующего регулятора, актуальной является и задача разработки конструктивного алгоритма его построения.

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к решению задачи одновременной стабилизации линейных динамических объектов, позволяющего получить конструктивные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора для линейных динамических объектов, а также предложить конструктивные алгоритмы построения таких регуляторов. При этом ограничения, накладываемые на порядок и параметры стабилизируемых объектов, должны быть минимальными.

Методы исследования В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости линейных динамических систем, теории робастной устойчивости систем управления, теории систем линейных неравенств, а также методы интервального анализа.

Научная новизна

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан новый подход к исследованию задачи одновременной стабилизации, основанный на изучении свойств аффинных преобразований пространства параметров регуляторов в пространство коэффициентов характеристических полиномов замкнутых объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.

2. Получены новые конструктивные условия одновременной стабилизации динамических объектов различных порядков.

3. Разработана общая схема исследования задач существования и нахождения одновременно стабилизирующего регулятора.

4. Предложена новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора.

Практическая значимость

Предложенные в работе методы построения регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные динамические объекты имеют теоретическую и практическую значимость и могут быть использованы для решения задач стабилизации в условиях параметрической неопределенности.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

- новые конструктивные условия одновременной стабилизации конечного числа объектов произвольных порядков;

- общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации с заданной степенью устойчивости (а-стабилизации);

- конструктивные условия и алгоритмы решения задачи одновременной стабилизации дискретных объектов;

- критерий существования ^-стабилизирующего регулятора для случая одновременной стабилизации объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка.

Апробация работы Основные результаты работы и отдельные её части докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах.

1. На Второй Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии "С АИТ-2007 (Обнинск, Россия, 10-14 сентября 2007 г.);

2. На Третьей Международной конференции "Системный анализ и информационные технологии"САИТ-2009 (Звенигород, Россия, 14-18 сентября 2009 г.);

3. На Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

4. На международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным паукам "Ломоносов-2006" (Москва, Россия, 2006 г.)

5. На научном семинаре "Нелинейная динамика: качественный анализ и управление"под руководством академиков РАН С.В. Емельянова и С.К. Коровина (Москва, Россия, 2006-2009);

6. На научных семинарах кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова (Москва, Россия, 2006-2009);

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 статей в ведущих рецензируемых журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 143 страниц текста, состоит из введения, пяти глав, четырех приложений, библиографии.

Заключение

Таким образом, в работе была исследована одна из нерешенных(в общем случае) задач теории управления - одновременная стабилизация линейных стационарных объектов регулятором заданной структуры. В результате были получены следующие результаты:

- разработан новый подход исследования задачи одновременной стабилизации, основанный на рассмотрении задачи в пространстве коэффициентов передаточных функций объектов с использованием методов теории робастной устойчивости и теории систем линейных неравенств.;

- получены новые необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации конечного числа линейных динамических объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- разработана общая схема исследования задачи нахождения одновременно стабилизирующего регулятора;

- разработана новая численно реализуемая процедура построения одновременно стабилизирующего регулятора;

- получены необходимые и достаточные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена конструктивная процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной «-стабилизации конечного числа линейных динамических объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- получены необходимые и достаточные условия существования одновременно стабилизирующего регулятора, а также приведена конструктивная процедура расчета параметров такого регулятора для задачи одновременной стабилизации конечного числа дискретных объектов различных порядков без существенных ограничений на параметры стабилизируемых объектов;

- для случая одновременной стабилизации («-стабилизации) объектов 2-го порядка регулятором 1-го порядка получен критерий существования единого ^-стабилизирующего регулятора;

- получены результаты о возможности расширения множества одновременно стабилизируемых объектов, а также результаты, позволяющие расширить множество регуляторов, одновременно стабилизирующих линейные стационарные объекты.

Основная процедура расчета одновременно стабилизирующего регулятора была численно проверена и реализована в среде математического моделирования MatLab.

1. Saeks R., Murray J. Fractional representation, algebraic geometry and the simultaneous stabilization problem // IEEE Trans. Automat. Control. — 1982. Vol. 27. - Pp. 895-903.

2. N. Viswanadham M. Vidyasagar. Algebraic design techniques for reliable stabilization // IEEE Transactions on Automatic Control. — October 1982. — Vol. 27, no. 5. Pp. 1085-1095.

3. Pernebo L. PhD Thesis. Sweden, 1978.

4. Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorization Approach. — Cambridge: The MIT Press, 1985.

5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление.— Москва: Наука, 2002.

6. Jabr Н. Bonjorno J., Youla D. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers, part I: the single input case // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 3-148.

7. Youla D.C. Bonjorno J.J. Single-loop feedback stabilization of linear mul-tivariable dynamical systems // Automatica. — March 1974. — Vol. 10. — Pp. 159-173.

8. В. Ghosh. Transcendental and interpolation methods in simultaneous stabilization and simultaneous partial pole placement problems // SIAM Journal of Control and Optimization. 1986. — Vol. 24, no. 6. - Pp. 1091-1109.

9. R. Mortini R. B,upp V. Blondel, M. Gevers. Stabilizable by a stable and by an inverse stable but not by a stable and inverse // 31th IEEE CDC. — 1991.-Pp. 834-839.

10. К Wei. The solution of a trancendental problem and its applications in simultaneous stabilization problems. — Oberpfaffenhofen: Institute for Flight Systems Dynamics, German Aerospace Research Establishment (BLR), 1991.

11. M. Vidyasayar H. Maeda. Some results on simultaneous stabilization // Systems and Control Letters. — 1984. Vol. 5, no. 3. — Pp. 205-208.

12. A. Alos. Stabilization of a class of plants with possible loss of outputs or actuator failures // IEEE Transactions on Automatic Control. — February 1983. Vol. 28. - Pp. 231-233.

13. E. Emre. Simultaneous stabilization with fixed closed-loop characteristic polynomial // IEEE Transactions on Automatic Control. — January 1983. — Vol. 28, no. 1. Pp. 103-104.

14. H. Kwakernaak. A condition for robust stability // Systems and Control Letters. 1982.- Vol. 2, no. 1. - Pp. 1-5.

15. A. Kurylowicz A. Debowski. Simultaneous stabilization of linear single-input single-output plants // Int. Jour. Control. — 1986. — Vol. 44, no. 5. — Pp. 1257-1266.

16. M. Gevers. V. Blondel, G. Campion. A sufficient condition for simultaneousstabilization // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1993. — Vol. 38, no. 8. Pp. 1264-1266.

17. M. Gevers V. Blondel Single-loop feedback stabilization of linear multivari-able dynamical systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS). June 1993. - Vol. 6, no. 2. - Pp. 135-145.

18. M. Gevers. V. Blondel, G. Campion. Avoidance and intersection in the complex plane: a tool for simultaneous stabilization // Proc. IEEE 30th Conf. on Decision and Control, Brighton, UK. — 1991. — Vol. 1.- Pp. 285-290.

19. Lu С Youla D., Bongiorno J. Interpolation with positive real functions. // J.Franklin Inst. 1987. - Vol. 284. - Pp. 77-108.

20. Mortini 11. Rupp R. Blondel V., Gevers M. Simultaneous stabilization of three or more plants: conditions on the real axis do not suffice // Control and Optimiz. — 1993.

21. Brockett R. Some geometric questions in the theory of linear systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 449-454.

22. Wei K. Stabilization of a linear plant via a stable compensator having no real unstable zeros // Systems and Control Left. — Vol. 15.

23. Постников M.M // Устойчивые полиномы,— Москва: Наука, 1981.— С. 176.

24. Черников С.Н. Линейные неравенства. — Москва: Наука, 1968.

25. Жолеп Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007.

26. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств.— Москва: Наука, 1977.

27. Ким Д.П. // Теория автоматического управления, Т.1 Линейные системы. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - С. 236-242.

28. Jabr Н. Bonjorno J., Youla D. Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers, part II: the multivariable case // IEEE Trans. Automat. Control. — 1976. Vol. 21. - Pp. 319-338.

29. Murray J. Sacks R. Desocr C., Liu R. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. - Vol. 28. - Pp. 399-412.

30. R. Rupp. Stable rank of subalgebras of the disc algebra // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. - Vol. 108. - Pp. 137-142.

31. R. Rupp. Uber den Bass-stable-rank komplexer funktionenalgebren // PhD Thesis. 1988.

32. Viswanadham N. Vidyasagar M. Reliable stabilization using a multi-controller configuration // Automatica. — 1985. —Vol. 21.— Pp. 599-602.

33. Levy B. Viswanadham N. Vidyasagar M. A note on the generecity of simultaneous stabilizability and pole assignability // Circuits Systems Signal Process. 1986. - Vol. 5. - Pp. 371-387.

34. Vidyasagar M. A state-space interpretation of simultaneous stabilization // IEEE Trans. Automat. Control. 1988. - Vol. 33. - Pp. 506-508.

35. C. Byrnes B. Ghosh. Simultaneous stabilization and pole placement by non-switching dynamic compensation // IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL Volume = 28, Pages = 735-741, Year =1983.

36. B. Ghosh. Some new results on the simultaneous stabilizability of a familyof single input single output systems // Systems Control Lett. — 1985. — Vol. 6. Pp. 39-45.

37. B. Ghosh. An approach to simultaneous system design. Part 1. I j SI AM Journal of Control and Optimization. — 1986. — Vol. 24. — Pp. 480-496.

38. B. Ghosh. An approach to simultaneous system design. Part 2. // SIAM Journal of Control and Optimization. — 1988. — Vol. 26. — Pp. 919-963.

39. X. A. Wang В. K. Ghosh. Sufficient Conditions for Generic Simultaneous Pole Assignment and Stabilization of Linear MIMO Dynamical Systems // IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL. APRIL 2000. -Vol. 45, no. 4.

40. E. Emre. On necessary and sufficient conditions for regulation of linear systems over rings // SIAM d. Control and Optimization. — 1982. — Vol. 20. — Pp. 155-160.

41. H. Kwakernaak. A condition for robust stabilizability // Systems and Control Letters. 1985. - Vol. 2. - Pp. 1005-1013.

42. H. Kwakernaak. Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1985. Vol. 30. - Pp. 994-1004.

43. Sivan R. Kwakemauk H. Linear optimal control systems. — New-York: Wiley, 1972.

44. Barmish B. Wei K. An iterative design procedure for simultaneous stabilization of MIMO systems // Automatica. — Vol. 24.

45. Yedavalli R. Wei K. Robust stabilizability for linear systems with both parameter variation and unstructured uncertainty // IEEE Trans. Automat. Control. Vol. 34.

46. Wei K. Simultaneous pole assignment for a class of linear time invariant siso systems // Proc. IEEE 28th Conf on Decision and Control. — Vol. 34.

47. M. Gevers. V. Blondel. Single-loop feedback stabilization of linear multivari-able dynamical systems // Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS). June 1993. - Vol. 6, no. 2. - Pp. 135-145.

48. V. Blondel. A counterexample to a simultaneous stabilization condition for systems with identical unstable poles and zeros // Systems and Control Letters.- 1991.- Vol. 17, no. 5. Pp. 339-341.

49. Mortini R. Blondel V., Gevers M., Rupp R. Stabilizable by a stable and by an inverse stable but not by a stable and inverse stable // Proc. IEEE 31st Conf. on Decision and Control, Tucson, USA. — 1992.

50. V. Blondel. Stabilization with respect to a general domain of stability // Proc. 2nd Int. Sympos. Implicit Robust Systems. — 1991. — Pp. 33-37.

51. V. Blondel. Simultaneous stabilization of linear systems: mathematical solutions, related problems and equivalent formulations // PhD Thesis. — 1992.

52. Li Y. Dorato P., Park H. An algorithm for interpolation with units in H-in-finity, with applications to feedback stabilization // Automatica. — 1989. — Vol. 25. Pp. 427-430.

53. Li Y. Dorato P., Park H. U-parameter design: feedback system design with guaranteed robust stability // Robustness in identification and control. — 1989. Pp. 321-327.

54. M. Bredemann С.Т. Abdallah, P. Dorato. New sufficient coditions for strong simultaneous stabilization // Automatica.— 1997.— Vol. 33.— Pp. 1193-1196.

55. F. W. Fairman S. Wang. Oil the simultaneous stabilization of three plants // International Journal of Control. — 1994. — Vol. 59. — Pp. 1095-1106.

56. Kabamba P., Yang C. Simultaneous controller design for linear time invariant systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1991.— Vol. 36,— Pp. 106-111.

57. С. В err tier- К a zan ts e v M. Darouach. C. Fonte, M. Zasadzinski. On the simultaneous stabilization of three or more plants // IEEE Transactions On Automatic Control. 2001. - Vol. 46, no. 7. - Pp. 1101-1107.

58. Xiaoming Xu Weidong Zhang. On minimal-order stabilization of minimum phase plants. — December 2001.

59. B. Xia-L. Yang W. Yu Z. Zeng. Q. Guan, L. Wang. Solution to the Generalized Champagne Problem on simultaneous stabilization of linear systems // Science in China Series F: Information Sciences. — october 2007. — Vol. 50, no. 5. Pp. 719-731.