Ограниченность L-индекса целой функции многих комплексных переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЬВШСЬКИЙ ЛЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1М. 1.ФРАНКА

РГ Б ОД

на правах рукопису

БОРЛУЛЯК МАРТА ТИМОФПВНА

ОВМЕЖЕШСТЬ Ь-ШДЕКСУ ЩЛ01 ФУНКЩ1 БАГАТЬОХ КОМПЛЕКСНИХ ЗМШНИХ

01.01.01 — ыатематичний анал1з

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

ЛЬВ1В -1995

Дисертащею е рукопис.

Робота виконала на кафедр1 теорп функцШ 1 теори ймов1рпостей Льв1вського державного ушверситету 1м. ¡.Франка.

Науковий кер!вник: доктор <|пзико-математичних наук, професор Шеремета М.М.

Офвдйш опоненти: доктор ф1зико-математичних наук, професор Кондратюк А.А: кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Винницький Б.В.

Пров1дна оргашзащя: Чершвецький державний ушверситет

1м. Ю.Федьковича

Захист вщбудеться " " 1995 р. о & ^год

на зааданш спешалпзовано! вчено! ради Д.04.04.01 при Льв1вському' державному ушверситет] 'ш. 1.Франка за адресою: 290602, м. Льв1в, вул. Ушверситетська, 1.

3 дисертащею можна ознайомитись у б]блютещ Льв1вського державного ушверситету 1м. ¡.Франка за адресою: м.Льв1в, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розклано " " 1995 р.

Вчений секретар

спещал]зовапоГ вчено! ради Ь^У^^л^уу Микитюк Я.В.

Заглльна характеристика роботи

Актуалыпсть темп. Одним з цептралышх об'ект1в у загальшй Teopiï аналтгапих функщй е клас щлих функ-цш, з яким так чи шакше мае справу кожний математик. В сучасних дослщженнях з Teopiï щлих функцш можна вхвдлпти дв1 основт тепдепцп : з одггого боку, до-водяться результати, що стосуються всього класу щлих

iKvjrwflîÎf, ft 1 jirrnnpo( ÏÏÎTTÎ.Tn^TÎ'i'fT nilu'ï''! -

шлих фуикцш 1 иинчаютьсл йою властивость Б Î0GS р. Б.Лепсон 13 загального класу щлих функщй видшив йо-го гцдклас — щл1 фупкци обмеженого индексу. Так нази-ваеться цша функщя /, для якох icnye число N € Z 4. таке, що для Bcix n € Z+ i z € С

ЛослЫжепшо властивостей щлих функщй обмеженого in-дексу та рЬним ix застосуванням в Teopiï розподшу зна-чень, диференщальних р1вияиь, характеристичних функщй iÎMOBipuociuix закошв та in. присвятили cboï npani тага видатш математики як У^Хейман, С.Шах, Г.Фрже та багато шших (огляд див. у Shah S.M. Entire functions of bounded index//Lect. Notes in Math.-1977.-v.589.-p.117-145). С.Шах та У. Хейман-показали, що кожпа щла функ-щя обмеженого шдексу е функщею експоненщалыюго типу. Щоб вийти за межт класу щлих функщй експоненщалыюго типу, А.Д.Кузик i М.М.Шеремета (Кузык А.Л., Шеремета M.II. Целые функции ограниченного /-распределения значений // Мат. заметки. - 198G. - t.39,N1. -с.3-13) для додатпо! неперервно! на [0, +оо) фупкцп I вве-

t

з

ли поняття щлсн функци обмеженого /-шдексу , замшивши в (1) W на ■ В ряда праць щ автори отрима-ли ряд аналоНв рашше вщомих теорем С.Шаха, Г.Фрше, У.Хеймана для випадку щлих функщй обмеженого /-ш-дексу та вказали ix застосування. Наявшсть в останньо-му озпачент функци / приводить, природньо, до нових задач, зокрема до задач1 про ¡снування для дано! функци I щло! трансцендентно1 функцп обмеженого /-шдексу. Без умови на зростання / ця задача була розв'язапа А.А.Гольдбергом та М.М.Шереметою (Гольдберг A.A., Шеремета М.Н. О существовании целой трансцендентной функции ограниченного /-индекса// Мат. заметки. -1995. - т.57, N1. - с.225-229). Актуальною стала задача про побудову щло1 функци обмеженого /-шдексу i зада-ного зростанпя.

3 шшого боку, щлком природним е питания про мо-жлив1сть введения поняття обмежепост! шдексу (L-in дек-су) щло1-в С'1 функци i отримання тих чи immix аналог1в вже В1домих теорем для щлих функцш одше? змтно1, по-будови щлих в С" функщй обмеженого L-шдексу i зада-ного зросташш, а також ix застосування в аналттчнш теорп диференщальних р1внянь.

Мета роботн полягае у вивчешп властивостей щлих в С функщй обмеженого шдексу, 'ix можливого зростання, iciiyBainm та застосування в анал1тичшй Teopi'i диференщальних ргвнянь.

Наукова новизна i теоретична цшшсть. В робо-ri 1) введене поняття щло1 в С" функци обмеженого L-iuдек-су. Вказаш критерй обмеженосп L-шдексу, серед яких е, KpiM аналопв вщомих теорем Г.Фрнсе, С.Шаха та

М.М.Шеремети 1 А.Д.Кузика, й нов1 твердження, зумо-влет спецификою простору Сп. Зокрема, вивчена локальна поведшка часткових похцщих щло! в Сп функци обме-жепого ¿-шдексу, деяю властивосп степеневого розви-нення такоК фупкци, одержат оцшки максимуму модуля щло1 в Сп функци обмеженого 2^-шдексу на деяких гастя-ках через максимум модуля на гастяках меншого рад1уса;

2) отримано результата про можливе зростання шло1 в Сп фу шиш обмеженого /Индексу. Доведено теоремтт 1С-нування для дапо1 функци Ь щло! трансцендентно1 функци / обмеженого Ь-шдексу 1 задапого зростання, яю е нови-ми 1 для випадку щлих функщй одте! змшног,

3) дослщжено властивосп простору щлих в С функщй обмеженого ¿-шдексу ; результата е новими 1 для С;

4) вивчено обмежешсть Х-шдексу добутку та деяких су-перпозицш щлих функцш, а також щлих розв'язюв деяких систем лшШних диференщалышх р1внянь.

Метода дослзджень. При доведенш наведених в робот! результат1в використовувались методи загально-! те-орц щлих функщй та деяю прийоми з праць Г.Фрше, С.Шаха, У.Хеймана, М.М.Шеремети та А.Д.Кузика.

Апробация роботп. Результата дисертацп детально доповщались на Льв1вському м1жвуз1вському семшар1 з теорй аналггичних функщй (кер1вник проф. А.А.Гольд-берг), а також на М1жпародтй математичшй конферен-цй', присвячетй пам'ят! Ганса Гана (м. Чершвщ), на Зи-мовШ Школ1 з абстрактного анал1зу (с.Льхота, Чеська республжа).

Пубшкацп. Основт результата дисертацп опублпсо-.

ваш в статтях [1-5]. В уох статтях, опублшопшптх у сшвавторств1 з М.М.Шереметою, М.М. Шеремета належать постановки задач. Крш того, в статп [2] йому на-лежить доведения достатностг в теорем1 4 про одну вла-стшпсть степеневого розвинення щло1 функцп обмежено-го Ь-'шдексу, а результата статта [5] належать обом авторам в однаковш М1р1.

Структура 1 об'ем ,цнсертаци. Лисертащйна робота складаеться 1з в ступу, трьох розд1Л1В, яы мштять 10 параграф1в, 1 списку л1тератури 13 23 назв. Загальшш обсяг роботи — 100 сторшок.

зм1ст роботи

Нехай 2 = С Сп, а f[Z) — щла функция.

Лля К = (Ач,..., кп) € 11х покладемо |)А')] = к1 + • • - + кп 1 • • □ = (0, • • •, 0), а / = (1,..., 1). Якщо А =

= (аь ..., ап), В = (Ьь ..., Ьп) I в € К (чи в € С), то за означениям О А = (0аь ..., 0ап), АВ = (а^!,..., апЬп), • А/В = = (01/61,..., ап/Ьп) 1 Ав = а'1 ... В1ДИОшення А ^ В означав, що а; ^ Ь{ (» = 1,п).

Через Щ позначатимемо замкнепий полшруг {2 : \г{ — г°\ ^ г;,» = 1, п}, його кгстяк {И : — = г,-, i = 1, о} — через П(2°,Я).

Для часткових пох1дних вживатимемо нозначення

Г .....^

Нарешта, для вектор-функцп Ь з додатними неперервни-ми на [0, +оо) компонентами /,• позначимо 1/(\2\) =

Функщя / називаеться [1] щлою функщею обмеженого ¿-шдексу, якщо iciiye число v € Z + таке, що для Bcix Z € С i J € Zr_{. викоиуеться iiepiBnicTb

Л) = (2)

Найменше з таких чисел и будемо називати ¿-¿ндексом фупкцп / i позпачатп,через г{/, ¿). .

Якщо n = 1, то з цього озпачеппя випливас озпачешш щлох функцй (одтег змшно\') обмежеиого /-шдексу (/ = ), введене А.Д.Кузиком та М.М.Шереметою, а якщо, Kpi\i цього, l(x) = 1, то отримуемо класичне означения щло1 функцй обмеженого шдексу.

Лещо шпп узагальнення на випадок Сп щло'] функцп обмеженого шдексу (але не ¿-шдексу) дат СЛсарчиком i Kpiimioro та Шахом (Sisarcick W.C. Variations of the definition of a function of bounded index// Doctoral dissertation, Univ. of Kentucky, Lexington. - 1971; Krishna J.G., Shah S.M. Functions of bounded indices in one and several complex variables// Macinture Memorial Volume, Athens, Ohio - 1970. -p.223-235).

Позначимо через Q клас додатних неперервних на [0,+со) функцш / таких, що 1(х + 0(\/1{х))) = 0(1(х)) при х —* -foo i будемо говоритн, що ¿ € Qn, якщо li 6 Q, i = 1, п.

Роздш I "Критерй обмеженост1 ¿-шдексу щло1 функцй" складаеться з 5-ти параграф1в. У §1.1 подаеться означен-ня та наводяться деяш imiinpocTiuii приклади. В §1.2 вив-чаеться новедшка деяких часткових похщних щло1 функцп обмеженого ¿-шдексу. Основною тут е наступна теорема.

Теорема 1.1. Нехай L € Qn. Для того щоб цыа функциг f була функцию обмеженого L-Ыдексу, необхгдно i доситъ, щоб для кожного R € гену вали числа п° = n°(R) € t р° = p°(R) ^ 1 так:, що для кожного Z° € Сп при деяхому К0 = K°{Z°) € Щ., ^ п°, виконуваласъ нфвнктъ

тах {ю1к{\г\) т ^ 6 E[z°> Фй]} <

K°\LK°(\Z°\y

§1.3 присвячеяий локальтй поведшщ щло*1 функцп об-меженого L-шдексу. Зокрема, доведена теорема, яка е аналогом вщпов1дно1 теореми Г.Фрже i дае оцшку максимуму модуля функцц обмеженого L-шдексу на дедкому юстяку через и максимум модуля на гастяку меншого рад1уса.

Покладемо M(R,Z°J) = max{|/(Z)| : Z € П(Z°,R)}.

ТЕОРЕМА 1.4. Исхай L <E Qn. Для того гцоб цига функцгя f(Z) мала обмежений L-iudexc, neobxiduo i досигпь, щоб для будь-яких R\R"yD < R' ^ R" < +оо, генувало число Pi = Pi(R',R") ^ 1 такс, що для кожного Z0 € Сп мала Mictje Hepienicmb

t

Настунний критерШ, доведений в §1.4, е аналогом вщо-мих теорем У.Хеймана (для випадку шдексу) та М.М.Ше-ремети (для випадку /-шдексу).

Теорема 1.5. Нехай L £ Qn. Для того щоб цйга фуикцхя f мала обмежеппй L-Ыдекс, neoöxidno i доснть, щоб icny-

аа.т числа р «Е Zj. г г £ maxi, що для ясгх Z <Е 'С7'" мала лисце nepienicmb

«с С ШсЬл Ч • iükii v* i> f •

l j

У §1.5 вивчаеться одна особливкть степеневого розви-нення щло1 функцп обмеженого Л-шдексу. Доведена там теорема icxorao враховуе специфшу простору Сп.

Нехай Z0 € С". Розвинемо щлу функщю f(Z) в запи-саний у д5агональтй формл степеневий ряд

оо оо

f{Z) = £ Pk(z -z°) = J2 Е - Z°)J, (3)

jfe=0 Jfe=0||J||=A

де, як видно, Pk - однорщш многочлени степеня k, bj = = ^( jf ^ ■ Многочлен к0 £ Z+, будемо називати го-^ ловним у степеневому розвиыент (3) на гастяку П(Z°,R), R 6 \ {□}, якщо для Bcix Z € \\(Z°, 11) мае м1сце nepiB-1псть

Y, - z°)

Кло.„ ^датних неперервних на (0,+со) функщй Т] таких, що 0 < т](х) < х для Bcix х € (0, +оо), позначимо через В.

теорема 1.6. Нехай L € Qn■ Для того щоб цила функцгя / була функцию обмеженого L-indexcy, пеобхгдно i documt, щоб »снували число р € Z+ s функцгя Т) В maxi, що для будъ-яких d > 0 t Z° € Сп при деяких г = r(d,Z°)y г € (ij(d),d), i k0 = k0(d,Z°) ^ p многочлен Pk0 буе головным у рядг (3) на чйстпяку П{Z0, ц\2с\)

Роздал II "Зростання та юнування щлих вС функцш обмеженого L-шдексу" складаеться з 3-х параграф1в. У §2.1 вивчаеться зростання таких функцш. За допомогою теореми 1.4 доводиться

Теорема 2.1. Hexan L € Qn. Якщо цгла функцгя / мае обмежений L-mdexc, то -

Ы M(R, /) = О jj ' Ш - (4)

Використовуючи методику У. Хеймана, цю оцшку можна уточнити, але при ¿нпшх умовах на функщю L.

Теорема 2.2. Нехай фунхцИ U (i = l,n) — dodamni ана-лхтичн: на [0, +оо) як фунхци diücnoi змЫноИ, maxi, що

b^lTL о (t +оо), де а+ = шах{а, 0}. Todi яхщо

цгла функцхя f(Z) мае обмежений L-indexc v(f, L), то при

PIH+oo

In M(R,OJ) < (1+о(1)) ^ J li(t)dt+i/(f, L) тfxjli№

У вказашй вшце ста-rri А.Д.Кузика та М.М.Шеремети було показано, що для того щоб для додатно! неперерв-Hoi на [0, +оо) функцн I ¿спувала щла в С трансцендентна

функщя / обмеженого Мндексу, пеобхщно, щоб г/(г) —* —v со, г —v со. Будем'о вважати, що цю умову задоволь-

пяе кожна з функшй /,-. Тодц J li{t)dt -foo (г —* оо) i

о

сшвв!Дношешш (4) можпа записати у вигляд1

п 7

lnluM(Ä,D,/) ^ (l+o(l))^ln / !,•(<) А, ||Д||—оо. (5)

о «

В §2.2 доведено ряд теорем про 1снування для певних клаав фупкщй I (i, отже, L) щлих функщй обмеженого I -шдексу (L-шдексу) i заданого зростання. Наведемо тут дв1 з таких теорем.

Теорема 2.3. Нехай кожна з функцхй /,• (» = 1,п) — до-

датпа, неперервна, монотонна па [0,+оо) t задовольпяс умови:

1) яхщо U спадна, то фунхц1я xli(x) вгпута, а яхщо зро-стаюна, то г/,(ж) опухла;

2) хснуютъ числа pi £ Z+ : щ > 0 maxi, що фунхцгя (xli(x))'/xPi незростаюча i

, , V» ^ dla Цх) ^ гц

Pi 1 + \ъ{х1;{х)) ^ dInx ^Pi In{xh{x))'X*X°-

Todi icnyc цхла в Cn фупхцгя f обмеженого L-indexcy ma-ica, що - -

n ri

lnln M(R,ö,f) > 1 + ^ln f k(t)dt, \\R\\ -+oo. (6)

П {

Якщо n = 1, нер1вностх (5) i (G) дають вщповхдну pie-шеть.

Теорема 2.7. Нехай р = (/>i,...,pn) > □, a LP(R) = = (гГ\• • • > rnn_l) г» ^ 1 (l = 1> n)- Todi icuye цма в С" функция обмеженого Ьр-Ыдехсу, для якоИ

1п М(Я, □, /) х rf'1 + • • • + Р|| - оо. (7)

Нехай f(Z) = £ ajZJ i g{Z) = £ — цЫ в <Cn j^a j^a

функци. Покладемо

d{f,g) = sup{|ao - 6a|, |aj - М1/,И1 : J € zy,

npocTip bcíx Ц1лих функцш з такою метрикою позначимо через Еп, i нехай Bn{L) С Е" — npocTip щлих функщй обмеженого L-шдексу. Основною в §2.4 е така

Теорема 2.12. Нехай L € Qn. Todi Bn(L) с простором neptuoi категорп.

Поняття щло1 в С функци обмеженого шдексу ввшшло в математичну л1тературу у зв'язку з вивченням шлих розв'язюв лшшних диференшальних р1внянь 3Í сталими коефхщентами. Шзтше С.Шах i Г.Фрше (випадок шдек-су), А.Л.Кузик i М.М.Шеремета (випадок /-шдексу) роз-глядали там ж р1вняння, але з полшомгальними коефщг-ентами i коефщдентами, яга е щлими функщями обмеженого шдексу (вщповщно /-шдексу.) В роздцл1 III "Обме-жешсть ¿-шдексу шлих функщй багатьох змпших, яы за-доволышють системи л1тйпих диференщальних р1вняпь" доведеш аналоги теорем КуЗика - Шеремети i Фрше. Л ля випадку щлих в С функщй одного лппйного диферен-щального р1вняння замало, щоб можна було отримати висновокпро обмежешсть Zr-шдексу його щлого розв'язку.

Будемо npimyскати, що щла пС фупкшя / е розв'язком деюлькох р1впянь виду

ai(Z)j(KV{Z) + 9K,i(Z)f(K](Z) = hi(z) "

(8)

am{Z)f^\Z) + Y, 9K.m(Z)JiK)(Z) = h~JZ\ де \\Kf || = kjtl + • • • + ft?n = а для Bcix j = T~m,

n

ai(Z) = TlaiÄ2i)> t=l n

9Kj(Z) = ]lgKj,i(zi)> (9)

i=i n

Ay СЮ = П л/ )» i =

»=i

де a^,-, .9a',/,,' i —nijii в € функцп, aj ф 0 (j = 1, m). Ilexaii cfc — пул! функцп a;-fl-. Позначлмо

(«,>■) = О € С : Iii - c*| < г,- > 0,

jfe n

= *f€Gr4(eifi)}, Я = (n,.. .,rn),

»=i m

оя(л) = (J^M-

J=1

Осповною в роздал! III е така

1

13

Теорема 3.1. Нехай L € Qn i виконуються uacmynui умови:

а) фунхци aj, gxj i hj (j = 1, m) маютъ вигляд (9), de eci фунхци ajtiy gKJ,i * € Ц*лими в С функц1ями обмеже-ного ¡{-тдексу, причому ^ 0(j = 1, m);

б) Kj I т maxi, що

т

U {(kl, +1, *;(2,..., А?п),..., (*;д>..., */,п_г, k]in +1)} Э

Э{ЗеЩ: ||J|| = * + l};

в) для кожного R £ R^. icnyc М > О таке, що для всгх Z е С" \ Gji(A), \\К\\ ^ s — 1 t j — l,rn виконуються Hepieuocmi

"____ \9кЛ2)\<щ<ч(тк?-к№)-

Todi, якщо цхла в С" функц{я / задовольняс хожне ргв-няння (8), то оопа мае обмежений L-хндехс.

Використовуючи теорему 3,1, неважно довести наступ-ний результат.

Теорема 3.2. Нехай виконустъся умова б) теореми 3.1, а хоефщшипи aj ф 0, gxj г hj маютъ вигляд (9), de ajti i 9Kj,i е многочленами такими, що

deS9KJ,i ^ deg aji + {k]{ - d{ € Z+,

для ecix i = 1, n, j = 1, m, ||if|| = jbi +----h kn ^ « — 1,

a hj e фунхцмми обмеженого L-indexcy з L(\Z\) =

= (|zi|dl + 1,..., jzn|Jn + 1). Todi, якщо цма в Cn фунхцхя f задоволъняс кожпе pienjruns (8), то вола мак обмеженпп L-iudexc з цгею ж вектор-фупкг^ею L.

Вибираючи певним чипом числа s i « з теорем 3.1 i 3.2, можна отримати вщповщш наслщки. Тут ми зупииимось тхльки на випадку, коли я = 1, п = 2 i L(\Z\) = I.

нлслгдок. Исх&'Х'фцнхцй' f{~. ¿адонольняе ргпнлння

+ gn(z)gl2(w)f = hn(z)hii(w)

a2i(z)a22(w)^ + g2i(z)g22(tu)f = h2l(z)h22(w)>

de ciij, gij i h{j — многочлепи i deg </t;- ^ degat;- (x = 1,2; j = 1,2). Todi / e обмежепого indexcy.

Основш результата дисертацп опублжоват в наступ-

них статтях.

1. Бордуляк М.Т., Шеремета М.М. Обмежешсть Х-шдек-су щло1 функцп багатьох змшних// Доп. АН Украши. Сер.А. - 1993 - N9 - С.10-13.

2. Бордуляк М.Т. Обмежешсть Х-шдексу щло'1 функцп багатьох комплексних змшних// Льв1в. ун-т. Льв1в, 1992. - 37с. - Деп. в Укр1НТЕ1 17.12.92, N 2006 - Ук-92.

3. Бордуляк М.Т. Про щл1 в С" функцп обмеженого 1г'тдексу// Льв1в. ун-т. - Льв1в, 1994. - 22с. - Укр. -Деп. в ДНТБ Украши 25.08.94, N 1790 - Ук-94.

4. Бордуляк М.Т. Прост1р щлих в С функщй обмеже-ногаХ-шдексу//Мат. студо. Пращ Льв1вського мат. т-ва. - 1995. - Вип.4. - С.53-58.

5. Шеремета М.М., Бордуляк М.Т. Про щл1 функцп об-межёНого /-шдексу 1 регулярного зростання // Тези до-повщей М1жнар. мат. конф., приев. пам'ят1 Ганса Гана (10-15 жовтня 1994р., Чершвщ). - Чершвщ: Рута -1994. - С.156.

Бордуляк М.Т. Ограниченность ¿-индекса целой функции мпогих комплексных переменных.

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук по специальности 01.01.01 — математический анализ, Львовский государственный университет, Львов, 1995.

Введено понятие целой в С функции ограниченного i-индекса. Изучены локальные свойства, возможный рост и'су шествование таких функций регулярного роста. Исследована ограниченность L-индекса целых в С решений систем дифференциальных уравнений.

Bordulyak М.Т. The ¿-index boundedness of an entire function in several complex variables.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 — mathematical analysis, Lviv State University, Lviv, 1995.

It is introduced the notion of an entire in Cn function of bounded ¿-index. The local properties, the possible growth and the existence of such functions of regular growth were studied. The ¿-index boundedness of entire in Cn solutions of differential equations systems was investigated*

Ключов! слова: щл1 функцп, ¿-шдекс, максимум модуля, головний многочлен степеневого розвинення на гастяку, регулярне зро-стання, лoгapифмiчнa похщна, диференшалып р£вняння.