Целые функции ограниченного l-индекса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЖЛОБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ гол. И. ФРАНКО

На правах рукописи

КУЗЫК АНДРЕИ ДАНИЛОВИЧ

УДК 517.535.4

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ¿-ИНДЕКСА 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Львов - 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и теории вероятностей Львовского государственного университета 1-м. И.Франко.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Шеремета М.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Седлецклй A.M.

кандидат физико-математическю наук, доцент Винницкий Б.В.

Ведущая организация: Институт математики АН Украины

I'. Киев

Защита состоится " " & 1992 г. в 15 30

на заседании специализированного совета К 068.12.10 по прк суждению ученой степени кандидата физико-математических наук во Львовском государственном университете им. И.Франк / 290000, г. Львов, ул. Университетская, 1 /.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиот« Львовского госуниверситета'/г. Львов, ул. Драгоманова, 5 ,

Автореферат разослан *1Ч - Од 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета К 060.12.13

Я.В.Микитвж

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЙ

Актуальность теш. Одним из центральных объектов в общей теории аналитических функций является класс целых функций, с которыми в большей или меньшей мере соприкасался каждый математик. В современных исследованиях по теории целых функций можно выделить две основные тенденции: с одной стороны, доказываются результаты, пригодные для всего класса целых функций, а с другой, выделяется тот или иной подкласс целых функций и изучаются его свойства. В 1968 г. Б.Лепсон из общего класса целых функций выделил его подкласс - целые функции ограниченного индекса. Так называется целая функция f , для которой существует число N6 такое, что для всех neZ+ и ЖбС

Исследованию свойств целых функций ограниченного индекса и различным их приложениям в теории распределения значений, дифференциальных уравнений, характеристических функций вероятностных законов и др. посвятили свои работы такие выдающиеся математики как У.Хейман, С.Шах, Г.Фрикэ и многие другие /библ. см. в Shah S.M. Entire Junctions ot bounded Index ff Leclure Notes In Math. - 1977. - V. 569. - ?.\\T - 445 . /.

К этим работам следует прибавить статью.Ш.Стрелица / Strelits. %. Asymptotic properties of entire transcendental solutions of algebraic differential equations // Contemporary htaAh. - 198Ъ.- V.25.-P.474 - 21Л /,

в которой для изучения ограниченности индекса целой функции применен метод Вимана-Валирона. С.Шах и У.Хейман показали, что каждая целая функция ограниченного индекса является функцией экспоненциального типа. Естественно возникла проблема видоизменения определения целой функции ограниченного индбкса так, чтобы выйти за пределы класса целых функций экспоненциального типа с дальнейшим применением в теории ц!ВДОренцгл.л].ных уравнений н других разделах

современной математики. Такое обобщение целой функции ограниченного индекса штался дать Т.Лакшшшарасимхан / LakiWmarasimhan T. A noie on entire functions oí bounded índex//3. Indian Math. Soc. -V.38.- P.^5 49 /, a его приложению к дифференциальным уравнениям посвящена статья Д.Сомасундарана и Р.Земкчарази / Somasunderan Т)., Th&mizharsi R. A noie on the entire Junctions ot I- bounded "index and I- type // Indian 1. Pure and Appt. Math. -19&6. - \9, ma. - P.2M - 29i /. согласно Т.Лакш-минарасимхану для положительной непрерывной медленно возрастающей к на [о,*«*»") функции I целая функция f называется функцией ограниченного t-индекса, если существует число Ne Z+ такое, что для всех ne2ü+ и геС

I f *V>W omNl] ,

а наименьшее из таких чисел N называется t-индексом функции f . Т.Лакшминарасимхан также показал, что если целая функция f имеет ограниченный t-индекс р , то

~ tn M (г.О W- , л КР+З)

г Цг) (Р+О х^+г) '

где KA(r,î) = max. , причем утверждается,

что эта оценка точна. Однако, как показано в [<f}, последнее утверждение не верно, т.е. если f имеет ограниченный t -индекс в смысле Т.Лакшминарасимхана, то ее рост не превышает нормального типа.первого порядка. Таким образом, Т.Лакшмкнарасимхану не удалось выйти за пределы класса целых функций экспоненциального типа. Выйти за пределы указанного класса можно при помощи следующего обобщения понятия целой функции ограниченного индекса.

Пусть I - положительная непрерывная-на [о, + <») функция. Целая функция t называется [4"] функцией ограниченного I -индекса, если существует число Ne "Z+ такое, что для всех neZ+ и НбС

\СШ <тах[И^М-о<к<ы1 /Г/

4 тах [Шчио- % J' п/

Наименьшее из таких чисел N назовем I-индексом функции f и обозначил через N(f;l)

Цель работы. Изучить свойства целих функций огранп-ченного ^-индекса п их применений.

Научная новизна и теоретическая ценность. В раооте 1/ доказаны различные критерии ограниченности I-индекса целой функции, являющиеся или аналогами .известных теорем Г.Фршсе или ноиими результатами, вызванными в определении / 1 / наличием функции I . В -частности, изучено иокальное поведение производных функции ограниченного I -шдекса, получены оценки максимума модуля такой функции ja некоторых окружностях через минимум модуля па таких жрукностях и максимум модуля на окружностях меньшего ра-щуеа, доказан критерии ограниченности L-индекса функции f в терминах ее логарифмической производной и распределе-шя нулей;

11/ получены результаты о возможном росте целой фушешш ц'раниченного I -индекса;

1П/ исследована ограниченность L -¡шдекса произведений («злых пункций, некоторых суперпозиций целых функции и це • их решений линейных дифференциальных уравнений с нолино-талышми коэффициентами;

1У/ изучена ограниченность [-индекса шлих функций, редставлешшх бесконечными произведениями.

Метолн исследования. При доказательстве нркведпшшх | раооте результатов используются методы общей теории япа-итпчечжнх функции и некоторие приемы из рааот У.Хеймана, •М.Шаха и Г.^ркко.

Fricke Cr.W.ll Indien M»lb.-i972.-v.1'i,«il.-t».207 -zU.

Fricke b.Mlhw леамалнеа маимаги'т.З

Friede G-.H.// Math. Qnnalen. - <975.- Y.205.-v.2«-22ä ,

- С -

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Львовском межвузовском семинаре по теории аналитических функции /рук. проф. А.А.Гольдберг/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-?]. Во всех статьях, опубликования в соавторстве с М.Н.Швреметой, Ы.Н.Шеремете принадлежат постановки задач. Кроме того, в статьях [5, ему принадлежат результаты о нуллх целой функции ограниченного I -индекса, а результаты статьи [б-] принадлежат обоим авто- . рам в одинаковой мере. Из статьи [4] в диссоциации приведены только те результаты, которые получены ее автором.

В этой связи следует отметить, что изучении целых функций так называемого I-распределения значении, начатое М.Н.Шереыетой в [4], затем продолжено им же в

Структура и объем киосертаьии. Диссертационнаи работа состоит из введения, трех глав, содержании 11 параграфов и списка литературы, включающего 26 названий. Общий объем работы - 106 страниц машинописного текста.

Содержание работы

■ Через 0 обозначим класс положительных непрерывных на функций I таких, что

I (х + 0(4 /К*))) = О (№0) , х-**<*.

Глава 1 "Критерии ограниченности .V -индекса целой функции" состоит из трах параграфов. В § 1.1 изучается поведение некоторых производных целой функции ограниченного I -индекса. Основной здесь является следующая творога, являющаяся аналогом соответствующей теоремы Г.Фрике .

Теорема 1.1. Пусть 1с0 . Целая функция- ^ шиет' ограниченный I -индекс тогда и только тогда, когда для каждого гтО существует п0зпо(/)е!2| + и Ро^ВоОО'И такие, что для любого з,еС при некотором к^коСго),

* Шеремета М.1:./'/Л«зв.ьузовЛ.!атш.-1даО.~Л 2.-С. 94-50.

o-irkoimo . вн1голня0тся 'НвраВВНСТВО

гпйх

Кроме того, здесь доказан такко следующий критерий.

Теорема Пусть le Q , а 1> - непрерывная на [0, + ») фушация тикая, что ^-iW 6 £ 91(.*) / -U 0~ conîA , ,:.|ля всох у/О . Для того, чтобы целая Функция 4 имела ограниченный I*-индекс, необходимо и достаточно, чгсбн f имела ограниченный I -индекс.

Параграф 1.2 посвящен изучению локального поведения целой функции ограниченного |. -индекса. Здесь доказаны следующие две теоремы, одна из которых дает оценку максимума модуля целой функции ограниченного I -индекса в некотором круге через ее Максимум модуля в меньшем круге, а другая указывает на оценку максимума модуля через минимум мод;,'ля целой функции ограниченного [ -индекса на некоторых округлое гях. Ути тооренн является аналогами соотвег-отпутаих теорем Г.^рико .

Теорема l.-i. Пусть 1 p.Q . Целая функция { имеет ограниченный (.-индекс тогда и только тогда, когда для любых чисел О<г,<. гг < v о» -оу'аеотвует'число P<(ri такое, что для всех

Теорема 1,5. Пусть UQ . Целая функция f имоет ограниченный I -индекс -тогда и только тогда, когда для любого R?0 существуют Р2=Рг(Юз"1 п ^(Ю е такие, что для каждого ?„е<С л некоторого ге выполняется неравенство

tnax.

• loicoiieu, в § 1.3 доказан криторгД ограниченность t -индекса целой функции о терминах ее логарифмической

производной и распределения нулей. Чтобн его сформулировать, обозначим

«(г^о^л) = 1

1а,-г.Нг

и

ог -- &г (Г)»и {в: - а.и

где ак - нули функции | . Иыоет место

Теорема !.6. Пусть 1еО . Целая функция шлееч ограниченный I-индекс тогда и только тогда, когда:

1/ для любого г?0 существует Р1 = РЬ(.1\) такое, что ддя всех г0еС\&г выполняется неравенство

?.! для любого Г7О существует г(-Т1(г")£ такое, что пСг/КЦоО^^/О £ Я для всех г„е<Г .

Отметим, что при 100=4 из теоремы 1.0 вытекает леша и теорема из соответствующей статьи Г.<£рпке.

Глава 11 "Дальнейшие свойства целых функций ограниченного I-индекса"'состоит из четнрех параграфов,

В § 2.1 изучается рост целых функций ограниченного I -индекса. Доя .тобой непрерывной положительной па С0»*00') функции I полагается

о

Используя теорему 1.4, доказан следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть 1е(3 . Если фvшcция { имеет ограниченный I-индекс, то

+ 7 2/

г-»оо Кг)

Оценку / 2 / при дополнительных условиях на функцию I можно уточнить. С этой долью скажем, что lc.lL » если

функция I 'положительная непрерывная на [о,+» ) и удовлетворяет условию

^ тт {1(0: ^ $ и г] = (о<& ->о).

Теорема 2.3. Пусть - целая трансцендентная функция, 1еЦ!| . Если ЩЫ")*-*«» , то

Оцешса / 3 / точна.

Справедливость теоремы 2.3 нетрудно получить из теорем; 2.2, которая утверждает, что если й* и

, то

Бтгог5^'^'1' "Ч

где )(г,0 - центральны!} индекс степенного разложения Функции $ . Если { - целая трансцендентная функция, то К*"^)"*00 « Поэтому из / 4 / следует, что для

того, чтобы для данной Функции существовала це-

лая трансцендентная функция ограниченного I-индекса, необходимо, чтобы г 1(г)+ °° (г-»*0)-

Условие означает, что функция I не может

расти достаточно быстро. Например, функция 1(г) = ег классу К не принадлежит. Наличие условия в

теореме 2.3 вызвано методикой доказательства. От него можно избавиться, если-наложить дополнительные условия на гладкость фушсции I .

Для непрерывной на С0/'*'00) функции Ь положим

У0»=2 (ьы-ко^о),

где (ЗХк,Хк+£«. Ц") - последовательность интервалов,, на ' которых, функция Ц убывает, Х*н . Ясно, что

- ю -

, если Ь - неубывающая функция, и V -= Ь(о)-Ь(0 , если И - невозрастащая Функция.

Теорема 2.4. Пусть I - положительная аналитическая функщш переменного Ц°>+ос0 такая, что V Сг, IяО ~ = о (Ь(0) при г-»ч-си , Тогда, если целая функция 4 имеет ограниченный I-индекс , то имеет место

неравенство / 3 /. ■

В § 2.2 указано применение теоремы 1.6 к исследовании ограниченности I -индекса произведения целых функций. Имеет место следующая

Теорема 2.5. Пусть 1еО. , 4 - целая фушщпя ограниченного I -индекса, Ч> - целая функция и У («О = ^РСОК"2) . Для того, чтобы функция Ч- была функцией ограниченного I-индекса, необходимо и достаточно,, чтобц функция была функцией ограниченного |. -индекса.

В- приложениях теории целых функций ограниченного I -индекса определенный интерес представляет вопрос об ограниченности |, -индекса целого решения линойного дифференциального уравнения, коэффициентами которого явля- ■ ются целые функции, т.е. лилейного дифференциального уравнения вида

где д*. и Уд - цели о функции. Этому вопросу посвящен к 2.3, где основной является следующая теорема, дающая необходимые условия ограниченности I -индекса целого решети уравнения / 5 /. Эга теорема является обобщением соответствующей теоремы Г.Фрико и С.Шаха, а также более-слабой теоремы из статьи С.Шаха, доказанной для случая, когда ^0,^4,.../ дп и Ь - многочлены.

Теорема 2.6. Пусть 1еО , а д«»^,---» ^п и Ь - целые функции ограниченного I -индекса. Пусть для любого Кс(о,+-«>) существует М=М(К)е(такое, что дат всех ге<ГГ\Ои.(,3<0 и ^ = л, г, ...,п выполняется неравенство 1 6 . Тогда целая

функция f , удовлетворяющая уравнению / 5 /, является Функцией ограниченного I -индекса.

Выбирая определенным образом функцию К , из теоремы 2.6 получшл ряд следствий, Используя теорему 2.G, ь § 2.4 изучается ограниченность I -индекса целых функции вида f00=<j(2m)/mT/i>- и f(?> exf> дф. .

Наконец, в главе 1П "Ограниченность I -индекса целых функции, представлении:-: бесконечными произведениями" изучается ограниченность I -индекса функций

к-м "к кП

и

К=4 км ^

где Е (£,р) - первичный множитель Вейерштраоса, а + (к.-»«»3) . Положил U= и U»Xk-A*-4

. Результаты теорем ¿.I и З.Й можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3.1 /й.П/. Если 1Лн» (к-»«») , то Функция / "4Та / имеет (.-индекс N G) 0 - 1 с

так-^е, , где ~ге. - некоторая положитель-

ная постоянная.

Условие + п теоремах 3.1 и З.Ь су-

щественно. Существует последовательность О <• >.<t+

такая, что I* -» «> С*"400) • но утверждение теоремы b.l не верно. То не самое можно сказать н о теореме З.о.

Ji зг«иш»ченио отьютш, что из тоореш 13,1 и теоремы 3.3 при р-Л. внтокавт известный результат Г.Фрикв.

Автор шра:габт глубокую признательность проф. Шеремете Ы.Н. sa вндалателиюо руководство и помощь.

Основше результаты диссертации опубликованы в следующих

статьях.

1. Кузик А.Л. Про обмежешсть 1 -хндёксу щлого розв"язку лпшшого диференщалыюго рявшшня // Bica. JIlbib. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1990. - Вил. 34. - С. 46-4?.

2. Кузык А.Д. Об ограниченности I -индекса одного канонического произведения // Львов, ун-т. - Львов, 1992. -29 С. - библиогр. 8 назв. - Рус. - Два.- в УкрШИНТП

S. Кузык А.Д. Об ограниченности I -индекса канонического прризведения с положительными нулями // Львов, ун-т. -Львов, IS92. - 82 С. - биСигаогр. 5 назв. - Рус. - Деп. в УкрШШШМ 1 3 2 , [J'l^ll- 11*32..

4. Кузык А.Д., Шеремета М.Н. Целые функции ограниченного I -распределения значении // War. заметки. - 1986. -Т. 39, JK I. - С. 3-18.

5. Кузык А.Д.-, Шеремета М.Н. Целые функции ограниченного

t -индекса // Докл. АН УССР. - Сер. А. - I9&S. - Д 6. -

• С. 16-17.

6. Кузык А.Д., Шеремета М.Н. О целых функциях, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям // Днф. . уривн. - 1990.- Т. 26, И 10. - С. IV!6-1722.

7. Шеремета М.Н., Кузык А.Д. О логарифмической производной и нулях целой функции ограниченного .1 -индекса // Оио. мат. жури. - 1992. - Т. 33, & 2. - С. 142-150.