Целые функции ограниченного l-M-индекса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. ФРАНКО

На правах рукописи

АБУАРАБИ ШУКРИ

УДК 517.535.4 ЦЕ1ШЕ ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО I - И -ИНДЕКСА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Львов - 1992 г.

Райота выполнена на кафедре теории функций и теории вероятностей Львовского государственного университета им. И.Франко.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шеремета М.Н.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор Кондратюк А.А.

кандидат физико-математических наук доцент Сорокиоский В.М.

Ведущая организация: Черновицкий государственный уншзерсит

'V)

Защита состоится »21 .. мая 1933 в 15' Час. на заседании специализированного совета К 068.12.13 по присуждении, ученой степени кандидата физико-математических наук во Львовском государственном университете им. Ив. Франко /290602, г. Львов, ул. университетская, 1,

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Львовского госуниверситрта /г. Львов, ул. Драгоманова, 5/.

Автореферат разослан „¿С " апреля .1УЭ2 г.

Учении секретарь специализированного совета л К 068.12.13

Я.В.Микитмк

- „" \ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Согласно Б.Лопсону, целая функция называется функцией ограниченного индекса, если существует число А/б такое, что для всех не и ге С

/1/

Целые функции ограниченного индекса нашли применения в теории линейных дифференциальных уравнений, теории распределения значений целых функций и других разделах современной математики. Свойства этих функций изучали многие математики. Обширная библиография приведена в обзорной статье С.Шаха /

k ftH. ЕпИге Juh.ctionr of bounded index. // Leciuie noted ¿n tr^U . - 1977.- . 589. - P. 117 - 145/. Г.Фрике, С.Шах и В.Сисарчик ввели понятие целой функции ограниченного Н -индекса. Оно получается из определения целой Функции ограниченного индекса заменой в /1/ И " (г) 1 на

H(i,H t где = = ftl-ij.

Эти авторы показали, что класс целых функций ограниченного

М -индекса совпадает с классом целых функций экспоненциального типа.

Пусть £ - положительная непрерывная на функция. Понятие целой функции ограниченного индекса допускает следующее обобщение Дузык А.Д., Шеремета М.Н. Целые функции ограниченного I -индекса// Док. АН УССР. Сер. А.-1988. № 6. - С. 16-17/. Целая функция i называется функцией ограниченного £ -индекса, если существует число

такое, что для всех "Z+ и геС

выполняется неравенство /1/ но с m.'^flil) вместо

I У (Z)| /га!, те 2 + Естественным является синтез определений целой функции ограниченного Н -индекса и целой функции ограниченного -I -индекса, что приводит к следующему понятию. Целую функцию j будем называть функцией ограниченного £ - И -индегсса, если существует число а'с

такое, что доя всех *2+ и

¿^„„^ «и*):

Для таких целых функций актуальным является вопрос о возможном росте.

Цель работы. Для целых функций ограниченного - К -индекса получить различные аналоги /\ зависимости от поведения функции С / приведенного выше результата Фрике-Шаха-Сисарчика и с их помощью изучить ограниченность - Н -индекса целых функций, заданных степенными рядами и их обобщения;/:!.

Научная новизна и теоретическая ценность. Все полученные результаты являются новыми. В диссертации доказан ряд критериев ограниченности I - Н -индекса целой функции как в терминах роста М , так и в терминах убывания

тейлоровских коэффициентов функции 4

Методы исследования. В работе используются методы действительного и комплексного анализа, результаты И.Н.Шереметы,а также идеи работы Г.Фрике, С.Шаха и В.Сисарчпка.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Львовском ма«вузовсгсом семинаре по теории аналитических функций /рук. проф. А.Л.Гольдберг/.

Публикации. Основные результаты'диссертации опубликованы в статьях [1 - з] . М.Н.Шеремете принадлежат постановка задачи и в равной мере с автором диссертации доказательство теоремы 1.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 6 параграфов,н списка литературы. Общий объем работы - 91 страница.

Содержание работы

Глава 1 посвящена оценкам роста производной целой функции. С этой целью в § 1.1' вводятся некоторые классы функций

положительного переменного и изучаются их свойства. Через Ф обозначен класс положительных на =*>) функ-

ций Ф , имеющих на положительные возраста-

ющие к производние Ф' . Для Ф 6 ii функция

YM.x-fgl

называется ассоциированной с функцией Ф по Ньютону. Если

tim- , < 4 >

то скажем, что функция ф имеет правильно изменяющуюся относительно функции у производную.

Если i - целая функция и ф€ Q , то величина

т

называется Ф -типом функции f .

Наконец, через Q. обозначен класс положительных непрерывных возрастающих к на (-«=", t°° ) функций

(£ таких, что

для любого Q.£ (10,+ °°).

Основным в главе 1 является следующее доказанное в §1.2 утверждение.

Теорема 1. Пусть фб <5? , Ф'£ Q. и Ф' правильно изменяющаяся относительно ассоциированной по Ньютону с Ф функции ^ функция, a i - целая функция Ф -типа . Дня того, чтобы Тф <, необходимо и

достаточно, чтобы

ММФТМ

- G А

При этом, если Тф<: + °° такое, что для всех »г>1г0 неравенство

, то существует п„е "Z» и ^ ?/ i имеет место

ЯМ'1 Л к! ИМ Л i J

В главе 11 изучается рост целой функции ограниченного ¿-И -индекса. С этой целью обозначим

Lft) = ¡ í(t)di ,

О

положим а , если Q.<0 , и а'=0 , если

0.^0 и, следуя Е.Сенете /Правильно меняющиеся функции. М,: Наука. 1985. - 144 е./, функцию t будем лазьшать R0 -меняющейся, если для любого Q.€(¿,+ °°) существует Н = а НСа)е С 1.Q-] такое, что

± < < и

tí * 1М 4 к

для всех Dl€CJ,ü] и l£ÍO,i°°) . Па возможный рост целой функции ограниченного i - М -индекса указывает следующее доказанное в § 2.1 утверждение. ■

Теорема 2. Пусть положительная непрерывная на [0,+ о°) функция I удовлетворяет одному из следующих условий:

1. Функция L монотонная на [о,*<*).

2. Функция i непрерывно дифференцируемая на [°»+и

(e'wj" = 0 х-,4.

3. Функция £ является КО -меняющейся.

Если целая функция 5 имеет ограниченный 1-Й -индекс, то

&> ЯМ < + оо.

Используя теоремы 1 и 2 в § 2.2'получены различные /в зависимости от поведения функции I / критерии роста целых функций ограниченного -£ - И -индекса.

Теорема 3. Пусть функция Ф удовлетворяет условиям теоремы 1. Для того, чтобы целая функция I была функцией ограниченного ¿-И -индекса с ¿(ос)з^ф^а) сс> 1 | необходимо и достаточно, чтобы 5 имела конечный ф -тип.

Теорема 4. Пусть - ДО -меняющаяся на [о.+ о") функция и

Для того, чтобы целая функция 5 была функцией ограниченного I - И -индекса, необходимо и достаточно, чтобы

Взяв Цос.) 5 I , из теоремы 4 получаем цитируемый выше результат Фрике - Шаха - Сисарчика.

Отметим, что любой многочлен является целой функцией ограниченного I. - И -индекса, какова бы ни была положительная непрерывная на [0,+ о«) -функция ¿ . Если же § трансцендентная целая функция, а I - 9.0 -меняющаяся функция, то /как показано в § 2.2/ из ограниченности -И -индекса функции ^ вытекает справедливость соотношения

1 -¿(г) —■?+ оэ , ц ->+ оо .

Это обстоятельство указывает на некоторую существенность условия -4 > -1 в теореме 4. Однако, иногда можно получить аналог теоремы 4 и в случае, когда 4.

Теорема 5. Пусть -I - положительная непрерывная на [ о, + ) функция и 1{ос) = Л {ос)/ос

- fr-

при 'Х} (Х )>0 , где <£(ос)/+оо такая,

что ^ (г?) - НО -меняющаяся функция и

для ясех а . Тогда целая функция / имеет ограни-"енный I- И -индекс тогда и только тогда, когда

f~ AJihAl < + о» . «¿'(О«« г

Глава 111 посвящена исследованию ограниченности -Н -индекса целых функций, заданных степенными рялаш и их обобщениями. Используя полученные в § 2.2 критерии, для целой функции 5Г а„ в § 3.1 доказаны их

аналоги в терминах коэффициентов . Так, из приведенных выше теорем 3-5 вытекают, соответственно, следующий теоремы.

Теорема G. Пусть функция ф удовлетворяет ус пошит теоремы Для того, чтобы целая функция 5 имела ограниченный I - И -индекс, необходимо и достаточно, чтобы

Р,\~ ------—----< ч о°

Теорема 7. Пусть функция L - удовлетворяет условиям теоремы 4 и

As -m-s<4er ■

Для того, чтобы целая функция ^ была функцией ограниченного X - И -индекса, необходимо и достаточно, чтобы

и --Ч о"

Ф/^Л )

< ( о"

Теорема 8. Пусть функция удовлетворяет условиям еоремн 5. Для того, чтобы целая функция f была функцией граниченного Я - И -индекса, необходит и достаточно, .тобн

____Я.- < 4

Наконец, в § 3.2 изучается ограниченность £ - И пщекся целых функций, заданных регулярно сходящимися в С мщями но системе ( <¡1 **)} » т«0' рядами вида

•де V <".' ^ к —о + с3 (к-'^) , а 0 - целая функция юрпдка и типа Т < +

Интерес к таким рядам вызван исследованиями Л.Ф.Лвоптг,-и его учеников, подытоженными в известной монографии 1Д'.Леонтьева. С этой целью обозначим

о ¡Г-— ^у

к- ШОУ '

'мечт место следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть функция £ иоложительнал^непрерчвно итфферонцируемая на [о,1 ***•) , /10 -м«нягаиаясл и

с-.-).

Если А о < 1 11

то цалал функция { , заданная регулярно сходящимся в С рядом

, является функцией ограниченного I - Н -индекса.

Условие в этой теореме, вообще говоря,

существенно, однако теорема 9 допускает следующий аналог для случая Л =

Теорема 10. Пусть у - непрерывная положительная возрастающая на Со, + о») функция такая, что

, Ф \

эс ^ (х) / ~ , а-»+оо >

и

Пусть - положительная непрерывная возрастающая на ¡0,1 к ©« функция такая, что

Р 1

Пусть, наконец, £(х) = Х Л(х) . Если 10 < { и

И-М о» (. / ¡„к.

то цел пи функция г , заданная регулярно сходящимся в С рядом (г) = у является функцией ограни-

чош-ого ( - И -1"--,/юкса.

Доказан также следующий общий результат. Теорема 11. Пусть ФеЯ , О. и ф' _

правильно изменяющаяся относительно ассоциированной по Ньютон у с Ф функции 7 функция. Пусть

Пусть, наконец,

Если Ао<А , ¿(фФ'^ОД , , и для

любого ае (о,+ о°)

Эк ^(й^^»)

то целая функция ^, заданная регулярно сходящимся в С рядом Л*) = $ Г^*-2), является функцией огра-

ниченного Л! - Н -индекса.

В заключение автор выражает глубокую признательность гроф. Шеремете М.Н. за внимательное руководство и помощь.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях.

.. Дбуараби Ш., Шеремета М.Н. Целые функции ограниченного I - М -индекса //Док. АН УССР. - Сер. Л. - 1989. -К- И - С. 3 - 5.

Лбуараби Ш., Шеремета М.Н. Целые функции ограниченного £ - Н -индекса. - Львов, университет. - 1989. -

ит-

30 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 13.12.1989_г., № 2864 - Ук 89, 3. Adyapadl Ш. Про тейлор1вськ1 коеф1ц1енти u'Uoi фушсиДi оЬмеженого Л - М -1ндексу //Bleu. Льв. ун-ту. - Oej мех. - мат. - 1991.