Свойства ограниченности и устойчивости движений некоторых классов динамических процессов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Российский университет дружбы народов

-.....- На правах рукописи

I и , I

! I.

Щенникова Елена Владимировна

Свойства ограниченности и устойчивости движений

некоторых классов динамических процессов

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

ч.

Работа выполнена на математическом факультете Мордовскогс государственного университета имени Н.П.Огарева и на кафедре высшей математики Российского государственного открытого - технического университета путей сообщения

Научный руководитель - доктор физико -математически]

наук профессор А. А.ШестакоЕ

Официальные оппоненты: доктор физико -математических

наук профессор Р.Г.Мухарлямов. кандидат физико-математических наук доцент 0. В. Дунаева

Ведущая организация -Санкт-Штербургский государственный университет

Защита диссертации состоится " ЛС " ЛЬСл^ 1997 г. в " час. на заседании диссертационного совета К 053.22.03 по присуждэнио ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, г. Москва, ул.Орджоникидзе, 3

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов

Автореферат разослан " ¡5" 1897 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К 053.22.03 доцент / О.В.Волков

Общая характеристика работы

Актуальность теш. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости является одним из основных методов качественного исследования свойств ограниченности и устойчивости движений нелинейных динамических процессов, являющихся математическими моделями реальных процессов механики управляемого движения, физики и техники. Этот метод получил большое развитие в работах отечественных и зарубежных ученых.

Основной вклад в развитие прямого метода Ляпунова внесли Н.Г.Четаев, К.П.Персидский, Е.А.Бэрбашин, В.И.Зубов, Н.Н.Красов-ский, В.М.Матросов, А.А.Шестаков, Н.П.Еругин, И.Г.Малкин, Х.Л.Массера, Г.В.Каменков, Г.И.Мельников, Ж.П.Ла Салль, Т.йоси-дзава, А.Я.Савченко, С.И.Горшин, А.А.Тихонов, Л.Хатвани, К.Кор-дуняну и многие другие ученые.

В связи с запросами практики имеются разнообразные прило-ложения прямого метода Ляпунова. В частности, в теории ограниченности движений динамических процессов прямой метод Ляпунова является основным.методом исследования.

Прямой метод Ляпунова получил своё дальнейшее развитие как метод исследования ограниченности и устойчивости движений систем дифференциальных уравнений относительно части переменных (А.М.Ляпунов, В.В.Румянцэв, В.И.Зубов, В.М.Матросов, В.И.Воротников, А.С.Озиранер, К.Пзйфер, Н.Рут и др.).

Несмотря на обширные приложения прямого метода Ляпунова по зсем и.по части горемэнных к исследованию устоячивоподобных свойств движений нелинейных динамических процессов остаются недостаточно изученными многие его вопросы. Основная трудность заключается в построении функций Ляпунова.

- г -

В диссертационной работа с использованием прямого методг Ляпунова дается развитие теории ограниченности движений нелинейных динамических процессов по всем и по части переменных. С учетом, полученных в работе, теорем об ограниченности решена задачг стабилизации программного движения сложных процессов при наличии постоянно действующих возмущений, являющихся математической моделью систем управления манипуляционными роботами. Помимо указанных результатов в диссертации получены новые теоремы об асимптотической устойчивости в цэлом сложных систем по всем и по части переменных. Получены оцзнки погрешности линеаризации нелинейных систем.

Степвнь обоснованности научных результатов. Все утверждения диссертации строго доказаны на высоком математическом уровне. Доказательства теорем полные.

Объект исследования. Исследуются некоторые классы динамических процессов в конечномерном пространстве.

Целью диссертации является:

а) исследование свойств ограниченности движений и устойчивости движений нелинейных динамических процессов по всем и по части переменных;

б) исследование асимптотической устойчивости в целом и устойчивости при постоянно действующих возмущениях по всем и по части переменных сложных систем;

в) решение задачи оптимальной стабилизации динамических процессов, описываемых манипуляционными системами;

г) построение оценок погрешностей линеаризации указанных динамических процессов по всем и по части переменных.

Методы исследования. В диссертации использовались методы математического и функционального анализа, аппарат прямого метода Ляпунова, методы качественной теории и теории устойчивости динамических процессов, а также теория управления процэссами.

Научная новизна. В диссертации доказаны новые теоремы о равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в преде-, ле движений нелинейных динамических процессов, на основании которых при выполнении некоторых условий для уравнения Льенара доказано предложение о равномерной ограниченности в предела решений. Введены определения ограниченности, эквиограниченности и равномерной ограниченности в пределе относительно части переменных и доказаны соответствующие теоремы.

Для сложных систем (в том числе и с однородной главной частью) проведено исследование асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, равномерной ограниченности з предала и устойчивости при постоянно действующих возмущениях по всем и по части переменных.

Решена задача оптимальной стабилизации сложного динамического процесса. На основе развитой в работе теории ограниченности з пределе относительно части переменных и ныне существующей теории ограниченности в пределе по всем переменным, а также метода функций Ляпунова, разработан способ построения оценки погрешности линеаризации одного класса динамических процессов относительно части переменных и по всем переменным.

Практическая значимость. Результату диссертационной работы является дальнейшим развитием теории устойчивости и теории управления, поэтому могут быть использованы в теории устойчивости движения динамических процессов, в теории управления и в

механике управляомого движения.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докла давались:

. - на семинарах кафедры дифференциальных уравнения и кафедр механики и математического моделирования <1994 - 1996 г.) Мор довского государственного университета;

- на Огаревских чтениях (г. Саранск, 1994 и 1995 г.г.);

- на международной конференции по интервальному программи ровапию (г. Санкт-Петербург, 1994 г.); •

- на международной конференции по дифференциальным уравне ниям и их приложениям (г. Саранск, 1994 г.):

- на первой межвузовской научно-методической конференцю Российского государственного открытого технического университет; путей сообщения <РГОТУПС) (г. Москва, 1996 г.);

- на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов (г. Москва, 1995 и 1996 г.г. РГОТУПС);

- на XXXII научной конференции физико-математических ] естественных наук Российского университета дружбы народо1 (г. Москва, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах И] - [8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

четырёх глав, списка цитированной литературы, содержащего 121 наименование. Объем диссертационной работы составляет 112 страниц.

- 5 -

содержание и основные результаты работы

Во введении приводится обоснование актуальности теш исследования, указана даль работы, сформулированы основные положения, зьшосимые на защиту, дано краткое содержание диссертации.

Шрвая глава является вводной. В ной сформулированы задачи эй ограниченности и устойчивости движения, приведены необходимые определения, теоремы об устойчивости движения по всем и по части переменных, которые используются в последующих главах. Сформулированы также основные результаты об ограниченности движений нелинейных динамических процессов относительно всех и части переменных.

Вторая глава посвящена исследованию равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в пределе движений динамического процесса, описываемого системой дифференциальных уравнений X = X, у),

(1)

у = C(t, X, у),

где ®(t, х, у) : r+ x r* x r™ —» r", G(t, x, y) : r+ x r* x

x R" R* является непрерывными функциями. Теорема 1. Предположим, что

1) ДЛЯ любой тройки (t0, xg, у0) е R+ x RK x Rm СуЩвСТ-зует единственное движение (x(t, t0, Xg, у0), y(t, tQ, Xq, y0))

системы (1);

2) существует единственное движение системы

Ф = Ф», х, 0), ' x(t0) = Xç-, (2)

3) существуют непрерывные функции (fy & ) : R+ —» R+ такие, что

- 6 -

|®{t. x. у) - ®(t, x, 0)1 < (ЦхЦ)-1г>(||УВ)

при (t, X, у) e R+ x R* x Rm;

4) существуют постоянная . Lj > О и непрерывная функцш

V(t, х, у), определенная на множестве {Di ti flx|| < со, Цу|1 > Lj), такая, что

а(||У|1) i V(t, x, у) < Ь<ЙУ||),

V(t, x. у)| < - с(||у||), ууО > 1,. .

• ¡Ii

где а(г) и Ь(г) - непрерывные возрастающие функции, в(г) —► со, г —* со, с(г) - непрерывная функция, такая,

что с(г) > 0 при г > Lj;

5) существует постоянная Lj > О, непрерывная функция W(t, х), определенная на множестве { О i t i », flxfl > \ },

положительная непрерывная функция hg : R+ —> R+, такие, что a,(||x|I) i W(t, х) < b(flxg), |W(t, x) - W(t, у)I < h^x),

W(t, x)| s -с.(ЦхВ), ЦхЦ > т.'

'(2 I 1 Z

где at(г) и bj(г) - непрерывные возрастающие функции и Bj (г) —» +» при . г —» -к», Cj (г) - неотрицательная непрерывная функция и

. Ьз(г) > О, с, (г). г > L,, Ilm Cj (г) / hjisJhj (s) = о». .

г—МО

Тогда движения системы (1) равномерно ограничены и равномерно ограничены в пределе.

На основании теоремы 1 доказано, что уравнение Льенара

х + f(x)-x + g(x) = e(t) при ( Г(х) & g(x) & e(t)) непрерывных и удовлетворяющих условиям:

f(x) > 1 + d. xtg(x) - x(f(x) - 1)] i О;

X

J[g(x) - x(f(x> - 1)ldx fi q.

о

ie(t)| < q,,

где (d & q & qt) > О, обладает свойством равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в пределе решений.

В этой же главе введены новые определения следующих типов ограниченности движений в пределе динамических процессов относительно части переменных: а) ограниченности движения; О) экви-ограниченности; в) квазибграниченности; г) равномерной ограниченности. Доказаны теоремы об ограниченности в предала и равномерной ограниченности в пределе относительно части переменных.

При исследовании свойств движений нелинейных динамических процессов приходится сталкиваться с проблемой размерности систем дифференциальных уравнений. В таких случаях систему дифференциальных уравнений удобнее представлять в виде системы отдельных систем (подсистем), связанных между собой.

Третья глава посвящена исследованию асимптотических свойств (устойчивость, асимптотическая устойчивость, равномерная ограниченность в пределе по всем и по части геременных) динамических процессов, которые■описываются сложными системами обыкновенных дифференциальных уравнения.

Объектом исследований являются системы вида

сЬс <н) <к)

= X. + *-Х1в (х±, -, 0. хв+1. хк) +

+ ^Л*4» х1# хк), <2)

г> Г» П / I И П

5 1 К п (Р) Я в

где хз й , й « •• ® й = й , Х8 (х8): И И ,

. . П г« г» п

(р) 1 5-1 в-Н К

Х,3 <Х,- ' • •» ХК>: Н X -К И К Н ХЙ =

= Н , причем координаты векторов Хз (хз) и Х18 (х4, ■-, 0, х , ••, хк) суть положительные однородные формь порядка и = 2р + 1 (р = 1, 2, ), постоянно действующие

п г» г»

1 К Я

возмущения й3(1;, х>, -, хк) : й х й х -х й —»и таковы, что задача Коти для системы (2) имеет единственное решение при любых <х1о, хко> и го * О, хзо = х3(го) и

■ «ч '

- 1.(1. хв) + Х4, х^), (3)

ах >

п п п

я & &

где также хзе й , хя) : й х й И >

п п К

1 К п Г—,

И © -в й = й , \ пз= п, кроме того, предполагается.

1 к

что задача Коши для любых (1;0, х4о, -, хко) е йт х й х -х Н (х30= хз (^)) имеет единственное решение, определенное при всех

г > г > о, з = 1, к.

а=1

Исследование систем (2) и (3) проводится с помощью метода векторных функций Ляпунова. Функция Ляпунова для систем (2) и (3) выбирается в вида суммы функций Ляпунова для подсистем.

В результате доказаны новые теоремы об асимптотической устойчивости при х = о положения равновесия системы (2) по всем и по части переменных, а при х * О доказаны новые теоремы о равномерной ограниченности в пределе и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Для системы (3) проведено исследование асимптотической устойчивости в целом относительно части переменных.

В этой же главе решена задача оптимальной стабилизации в смысле В.В.Румянцева для манипуляциошшх управляемых систем. Решение задачи оптимальной стабилизации для сложных управляемых систем дано впервые.

Четвёртая глава посвящена отысканию оценок погрешности линеаризации, нелинейных систем дифференциальных уравнений относительно части и относительно всех переменных.

В частности рассматривается динамический управляемый про-цес, описываемый нелинейной системой дифференциальных уравнений

где ; е Н", г) е ит, ЛбН' (п & (т & р)), г е н+ =

Здесь г>Ш - помехи, - управляющая функция, и(?(1;),1;) - управление.

= х<?, г), г) + и(зс, г)

(5)

аг

В предположении, что система (5) с помощью преобразовани X = {(t) - *«(t) приводится к виду dy

— = A(t)y + Y(t, у, z) + Л (t), y(t ) = у (6

dt 1 oo,

dz

-- B(t)y + C(t)z + <D(t, z) + Z(t, y, z) + a (t),

dt 2

z(t0)=z0, (7;

построены оценки для |||y(t)||| = sup ||y(t)|| и |||z(t)||| »

= sup ||z(t)|| (норма вектора евклидова), а также для максималь-'-'о

ного уклонения решения системы (2)-(3) от соответствующего решения линеаризованной системы dy

— = A(t)y + д (t), y(t0) = у (8)

dt

dz

--B(t)y + C(t)z + ¿2(t), z(t0) = z . (9)

dt

Отметим, что вектор x =( (у, z)T (знак т означает транспонирование) характеризует отклонение решения к = ?(t) системы (5) от заданного программного режима ? = *>(t).

Полученные оценки линеаризации позволяют обосновать корректность метода линеаризации.

Оценки погрешности линеаризации для теории программного регулирования определяют оценки погрешности осуществления программного режима, а в теории самонастраивающихся систем и идентификации динамических систем с эталонной моделью определяют оценки фазового рассогласования.

На защиту быносятся следующие основные результаты:

- доказаны теоремы о равномерной ограниченности и равномер-ой ограниченности в пределе движении нелинейных динамических [рорессов;

- вторвые введены определения относительно части переменных (граниченности в предела, зквиограниченности в пределе и равно-юрной ограниченности в пределе и получены соответствующие тео-¡вмы;

- доказаны новые теоремы об асимптотической устойчивости и остойчивости при постоянно действующих возмущениях относительно гэсти и всех переменных для сложных систем с однородной главной [астыо;

- для сложных систем получены новые теоремы об асимптоти-юской устойчивости в целом относительно части переменных;

- решена задача В.В.Румянцева об оптимальной стабилизации Р1я манипуляционных управляемых систем;

- построены оцэнки погрешности линеаризации относительно 7асти и всех переменных.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Щенникова Е.В. Ограниченность решений систем обыкновен-аых даМеренциальных уравнений // Межвуз. сборник научных работ "Проблемы матем. обеспечения совершенствования технич. средств к/д транспорта". Ч. II. - М.: ВЗИИТ МПС, 1992. - С. 37-43.

.2. Щенникова Е.В. (совместно с Шестаковым A.A.). On program control problem solution // Abstracts International Conference on Interval end Computer-Algebraic Methods in Science and Engineering. Interval'94, March 7-10, 1994. St.-Petersburg, Russia. - P. 217.

3. Щенникова E.B. (совместно с Шестаковым A.A.). К теор» ограниченности решений относительно части гоременных нелинейнь систем дифференциальных уравнений // Тезисы докл. Межд. конфер "Дифференциальные уравнения и их приложение". Саранск, 1994

- С. 16.

4. Шестаков A.A., Щенникова Е.В. Об ограниченности решени системы дифференциальных уравнений // XXII Огаревские чтения

- Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1994. - С. 83-84..

5. Щенникова Е.В. (совместно с Шестаковым A.A.). К теори ограниченности решений относительно части переменных нелинейны систем дифференциальных уравнений // Математич. моделирование

- 1995. - Т. 5. - № 5. - С. 84.

6. Щенникова Е.В. (совместно с Шестаковым A.A.). Об огра ниченности решений относительно части шременных // Современны научн. аспекты функционирования транспортного комплекса и разви тио его кадрового потенциала: Тез. докл. межвуз. научно-мвтодич конф. М.: РГОТУПС. 1995. С.75.

7. Щенникова Е.В. Построение оценок приближения относите ль но части шременных в задаче программного регулирования // XXI' Огаревские чтения. Тез. докл. научн. конф.: В 3 ч. Ч. 3 Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 1995. - С. 51.

8. Щенникова Е.В. Об ограниченности движений динамическоп процзсса относительно части шременных // Тезисы докл. XXXI'. научн. конф. фак-та физ.-мат. и естеств. наук. Ч. 2. Матем секции. - М.: ЕУДН, 1996. - С. 24-25. .

9. Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость и устойчивость при постоянно действующих возмушэниях систем дифференциальных уравнений с однородной главной частью по всем переменны» и по части шременных // Вестник Мордов. ун-та. - 1996. - № 2.

- С. 33-35.