Операторные методы исследования краевых задач линейной теории упругости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Аэ О

'о ^

На правах рукописи

ВЕНЕВИТИНА СВЕТЛАНА СЕМЕНОВНА

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1997

Работа выполнена в Воронежской государственной лесотехнической академии.

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор Крейн С.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Сапронов Ю.И., кандидат физико-математических наук Агранович Ю.Я.

Ведущая организация - Самарский государственный

университет

Защита диссертации состоится 18 марта 1997 года, ауд. в 15.20 на заседании диссертационного совета К 063.48.09 по суждению ученой степени кандидата физико-математических ш Воронежском государственном университете по адресу: 394* Воронеж, Университетская площадь 1,ВГУ, математический факул:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронеже, государственного университета.

Автореферат разослан " 1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор —^г-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вторая половина двадцатого столетия характеризовалась бурным развитием применений функционального анализа к исследованию краевых задач математической физики. Наиболее интенсивно изучались гидродинамические задачи. В частности, была разработана абстрактная схема исследования краевых задач, связанных с теорией колебаний жидкостей, в открытых и замкнутых сосудах. Значительное развитие результатов этого направления изложено в книге Н.Д. Копачевского, С.Г.Крейна, Нго Зуй Кана " Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи ". Изучению вопроса о движении жидкой массы с некоторыми упругими элементами посвящен ряд недавно выполненных работ A.B. Андронова, Ю.С.Пашковой, Нго Зуй Кана, А.Н. Кожевникова.

Цель работы. Применение абстрактной схемы к нахождению обобщенных решений краевых задач линеаризованной теории упругости.

Методы исследования. В работе применяются методы функционального анализа, в частности, теория линейных операторов в гильбертовых пространствах, теоремы вложения для Соболевских пространств и теория абстрактных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах.

Научная новизна. В работе рассмотрен новый класс задач теории упругости. Доказаны теоремы о существовании обобщенных и слабых решений начально-краевых задач для стационарного и нестационарного случаев. Исследован один класс задач Коши для дифференциально-операторных уравнений второго порядка специального вида.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования малых движений упругой среды при различных граничных условиях. А также для расчетов совместных движений жестких контейнеров, содержащих упругую среду.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского лесотехнического института ( Воронеж, 1990- 1996г.г. .), на III научной межвузовской конференции "Математическое моделиро-

вание и краевые задачи" (Самара, 1993 г. ), на Воронежских зимних математических школах ( Воронеж, 1994,1995 г.г. ), на конференции "Современные проблемы механики и математической физики" ( Воронеж, 1994 г. )

Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата. В двух совместных работах профессору С.Г. Крейну принадлежат только постановки задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, вводной части, двух глав, приложения и списка литературы. Объем работы - 105 страниц. Библиография содержит 31 наименование работ отечественных и зарубежных математиков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава диссертационной работы посвящена применению абстрактной схемы к некоторым стационарным задачам теории упругости.

Линеаризованные уравнения движения однородной упругой среды для стационарной задачи имеют вид:

-jiÁü, -(JL+ jU^graddúrtZ"^,

где U. - вектор перемещения, J • - поле объемных сил, X и JX -коэффициенты Ламе.

Уравнения рассматриваются в ограниченной области пространства IR/ .обладающей липшицевой границей, состоящей из конечного числа гладких поверхностей.

В задачах теории упругости с операторами обобщенного напряжения вводится квадратичная форма относительно частных производных от функции перемещения^

№,l) = fe(dir¡l)z+

где Jb - Я +JH-.

Доказывается, что квадратичная форма £.(\L,iL) является неот-

рицательной при уь^с* > О . В дальнейшем всегда предполагается, ««•о условие ^и. ^сЛ >0 вьшолнено. Причем, £(и.,й-1)^0 только при ^^-О ( 1,1,2,3 ). На любом подпространстве V пространства Соболева Н^/ОД , не содержащем константы, форма |£(й.,Т1')с£(э2 является квадратом нормы. &

С формой £{й.,й,) естественно связаны дифференциальные операторы. Доказывается, что система этих дифференциальных операторов И1 -козрцитивна относительно , а также, что она

коэрцитивна в V . _^

В качестве V выбирается подпространство Н0 (Й) , являющееся замыканием совокупности всех финитных полей в • Доказывается, что норма на пространстве эквивалентна стандартной норме пространства И * {£>) .

Изучается первая краевая задача теории упругости. Доказывается _ Теорема 1.1.1. Для всякого(поля

{а задача

в Q , V-О на д£2 ,

о перемещениях упругой среды,_ жестко закрепленной на границе Эй, под действием объемных сил ^ , имеет единственное обобщенное решение "¡Те (А)с. Н^ (£2) . При любом поле ^(Н^/Й)*существует единственное слабое решение (Г задачи.

Исследуется вторая краевая задача. _Рассматривается гильбертова пара ( Н* ; (£2) ), где (&) - подпространство

пространства

, состоящее из всех полей из , ор-

тогональных подпространству постоянных_полей ; а Н^ [52) -

пересечение с пространством . Доказывается

&■

Теорема 1.1.2. Для всякого поля £ е

существует

единственное обобщенное решение 1г^Т)(А]с задачи

-¿1А\Г-(Л±^^га^сй'Г I? = | в О. ,

о перемещениях упругой среды под действием объемных сил J и свободной от обобщенных напряжений на границе .

Изучается третья краевая задача ( смешанная ) Рассматривается гильбертова пара ( Н*., (Q) ; £Z (Q) ), где Н* (Q) - подпространство пространства И1 (Set) , состоящее из всех функций из Н ^(¿2.) , анулирующихся на части $ границы 3Q с meg S > 0 . Через I обозначается дополнение в

3Q к множеству о . Доказывается _ — £

Теорема 1.1.3. Для любого поля jC iQ) существует единственное обобщенное решение задачи

-ju.AV--(A+jL)qrixi(kirV'- £ bQ , = 0 на Г . 3=1,2,3, \Г-0 на В

о перемещениях упругой среды, жестко закрепленной на части ¿> границы 3Q , свободной от_обобщенных напряжений на части Г , под действием объемных сил £ .Для слабых решений поле должно принадлежать пространству, сопряженному к пространству H^IQ).

О,S

Далее рассматриваются задачи, в которых граница области c)Q состоит из части плоскости Г и поверхности $ . Вводится в рассмотрение оператор нормального следа, определенный на пространстве F = HqS(^ . Исследуется ядро N (Q) оператора . Доказывается 1 _

Теорема 1.1.4. Для всякого поля ^ G. L (О) существует един._ — ±

ственное обобщенное решение ireMfQ') с H0g (£2) задачи

Q ,

г.^Ь^Цг^О, ' на Г

о перемещениях упругой среды, жестко закрепленной на части р , границы BS) , имеющей нулевые касательные напряжения и нормальную составляющую перемещения на плоской границе Г . При любом поле рб. (М(£2УУ* существует_единственное слабое решение задачи, которое также принадлежит N (£2) . Каждое поле Ire N (Q) является слабым решением задачи при некотором поле (NfO-Y)*" .

___ Изучение ортогонального дополнения М (О) к подпространству N(2) и построение оператора д , обратного к оператору Т , сопряженному к , приводят к следующим задачам теории упругости с неоднородными краевыми условиями:

Теорема 1.2.1. Для любого поля б Н ^ существует единственное обобщенное решение 1/£- задачи

1Г=0 на £ , ^¡ГУЦ/ГЬО, 1Г3=1р на Г о перемещениях упругой среды, жестко закрепленной на части £ границы дЯ2 , под действием заданных нормальных, перемещений и с нулевыми касательными обобщенного напряжения на части Г

Теорема 1.2.2. _При.любом у в Н"^2, существует единственное обобщенное решение й?б. М/ЗД задачи

^ + (йи-йг ^ О в £2 ,

иг^О на £ , = 1на Г о перемещениях упругой среды, жестко закрепленной на части 5 границу ЭФ , под действием заданного нормального и нулевых касательных обобщенного напряжения на части Г ■— 4 /

Далее рассматриваются задачи на подпространстве Н р (&) пространства , состоящем из всех полей 1Л- , для кото-

рых |Пс1&=0

Г .

Вводится оператор уг , который является композициеи оператора следа на Эй и оператора сужения на Г_ . Доказывается

Теорема 1.2.3. Для любого поля_Уу из Н ^ (П существует единственное обобщенное решение задачи

^АГ + и+^угмАМл-Г^О в £2 , Ъь (&)= О _ на £ , 3=1,2,3,

у на Г

о движении упругой среды под действием заданных перемещений на части Г границы Э^ и свободной от обобщенных напряжений на части £ . При любом поле существует единственное

слабое решение задачи.

С помощью оператора ^Т , сопряженного к , в смысле скалярного произведения в /(Г) ' ( которое строится аналогично пространству Н *(£2) ), решается задача:

Теорема 1.2.4. При любом поле у , принадлежащему пространству , существует единственное обобщенное решение задачи о перемещениях упругой среды под действием заданных обобщенных напряжений на части Г границы Э£2 и свободной от обобщеннных напряжений на части $

в О. ,

= 0 на £ , 3=1,2,3, на Г , 3-1,2,3,

принадлежащее пространству М

В главе II диссертационной работы исследуются нестационарные задачи теории упругости.

Линеаризованные уравнения движения однородной упругой среды имеют вид:

где И- - вектор перемещений, £ - поле объемных сил, X и

¿А. - коэффициенты Ламе, р-р (1,2:)- плотность среды.

В § 1 исследуется задача о движении упругой среды, целиком заполняющей полость неподвижного контейнера. К выше написанным уравнениям движения прибавляются граничные и начальные условия:

= О на 5

(ПЛ=0 3=1,2,3 на Г ,

В линейной, теории перемещения и скорости, считаются бесконечно малыми первого порядка малости, поэтому

У (ь,х.) - р (0,ос.) а ро Гос.)

Решение этой задачи адекватно решению операторного уравнения

Ь^АИ.},

М_ц/4-'ч-\_ ,■птиа Л\/Н1ПТНЯ СП ЗНЯЧЙНИЯМИ В , Д

ч

порождающий оператор гильбертовой пары (Нд^й) ; ), а

В - оператор умножения на ро .

С использованием неравенства Гайнца получено решение задачи: Теорема 2.1.1. Если граница области О. и плотность достаточно гладкие и объемные силы таковы, что_функция 4:,ос) непрерывна по ^ , как функция со значениями в Ц~ , то линеаризованная задача о движении упругой среды, целиком заполняющей полость неподвижного контейнера, имеет при начальных условиях

единственное обобщенное решение, удовлетворяющее энергитическому- тождеству: ^

о

В § 2 исследуется задача о малых движениях упругой среды в открытом неподвижном контейнере. Считается, что упругая среда плотности р частично заполняет неподвижный жесткий контейнер и занимает в состоянии покоя область О. , ограниченную твердой стенкой $ и плоской свободной поверхностью Г . К линеаризованным уравнениям Ламе добавляются граничные условия

Ц.-0 на $ ,

уравнение свободной движущейся поверхности.Г:

На поверхности ГШ выполняется кинематическое условие:

Вводятся начальные данные: __

Решение поставленной задачи адекватно решению задачи Коши для уравнений в операторной форме:

5(0) = ио+^Т]>Со=и.о1 ^О^ТрС^О,

II

__3десь +

где ^^-Ь- есть решение третьей краевой задачи (см. Т.1.1.3.) с правой частью равной ^ - > а "\л//£,х) - решение другой

краевой задачи (см. Т.1.2.2.) с функцией

Доказывается _/ ^д ц

Теорема 2.2.2. При -начальных условиях (1+^&)А ).

^-Д^Ур^Д ^ ) существует решение задачи о малых движениях упругой среды в открытом неподвижном контейнере, которое при ^каждом 4: , вместе с производной, принадлежит пространству ¿/"А и непрерывно по ^ в норме этого пространства.

Выводится уравнение баланса энергии.

В § 3 исследуется задача о малых движениях упругой среды во вращающемся контейнере. Считается, что жесткий контейнер с полостью целиком заполнен упругой средой и равномерно вращается вокруг вертикальной оси Озс^ с угловой скоростью Ш0 - Ш0 • Рассматриваются малые движения упругой среды в полости, близкие к равномерному вращению. В системе координат {Ъс^х^сс^ , жестко связанной с контейнером и вращающейся вместе с ним с постоянной угловой скоростью 600 , линеаризованные уравнения Ламе имеют вид:

На стенке Э© полости £2 для урпугой среды должно выполняться условие закрепления:

И=0 на д£2 ,

а начальные условия имеют вид:

Предполагается, что ^ = 1 , и получается уравнение в операторной форме: ^

где А - как и прежде, порождающий оператор гильбертовой пары ; 0.^(0) ) - положительно определенный , самосопряженный оператор; а оператор Ъ имеет вид: е>7:= V

Эта задача исследуется методом Дж. Голдстейна. В результате получается

Теорема 2.3.2. Задача о малых движениях упругой_среды, заполняющей вращающийся с постоянной угловой скоростью и)0 контейнер, близких к_ равномерному вращению, корректно разрешима при условиях, что ]■(■!:) - непрерывно дифференцируема по -Ь е С.0;Т] в

пространстве 1г(0) ЛдеШ) и И^Ш^Н^Я) .

В § 4 исследуется задача о малых совместных движениях контейнера и упругой среды. Также как и в § 3, считается, что жесткий контейнер с полостью целиком заполнен упругой средой. Полюс 0 подвижной системы координат Охрс^х^ , жестко связанный с контейнером, выбирается в центре масс С ' всей системы. Считается, что в невозмущенном состоянии вся система покоится, а затем под действием малых внешних сил и начальных данных она начинает совершать малые движения вокруг неподвижного центра масс.

Движение упругой среды в полости £2 и краевые условия в подвижной системе координат описываются уравнениями:

И = 0 _ на . Здесь £. - угловое ускорение тела, - радиус-вектор, отсчитываемый от полюса 0 .

Движение контейнера, заполненного упругой средой, описывает уравнение кинетического момента всей системы:

где 3 - тензор инерции всей системы, а Я - главный момент относительно центра масс С малых' внешних сил , действующих на систему.

Начальные условия задаются следующим образом:

Из уравнения кинетического момента системы находится угловое ускорение £ и подставляется в уравнение движения упругой

среды. После чего получается операторное уравнение:

г»е А - порождающий оператор гильбертовой пары ( Яд (<«!) ; ¿ (Й) ); оператор £> имеет вид:

В итоге получается _

Теорема. При Ц.п<=

и непрерывно дифференцируемой по "I функцией существует единственное решение И(Ь,эс.) задачи о малых совместных движениях контейнера и упругой среды; и. а,ос.) является обобщенным, решением задачи при любых 1Л0, и. 0 принадлежащих пространству и непрерывной функции 11(^,30) является единственным обобщенным решением с непрерывной полной энергией_при Ц-0£ ОМ^^Н*^ , \Х'0 е. и непрерывной функцией | .

При доказательстве этой теоремы существенно используется неравенство Гайнца.

Выводится уравнение баланса полной энергии.

В приложении рассматривается решение краевой задачи теории малых деформаций несжимаемой упругой среды. Некоторые задачи такого типа исследовались 0.6.ЕЫп. Такие задачи имеют физический смысл.Условие несжимаемости неверно для большинства упругих сред, но всетаки встречается ( резина ).

Применяя абстрактную схему_, приходим к следующей задаче:

Теорема. При любом поле З^Й) существует единственное обобщенное решение задачи ' _ _

-^дТг+ур^, еЦдг1г=0 вР ,

Р1=2<|.Г> «Г .

ЬО на $ ,

о перемещениях упругой несжимаемой среды, жестко закрепленной на части £ границы , свободной от обобщенных напряжений на

части _ Г , под действием объемных сил ^ . Для слабых решений поле £ __ должно принадлежать пространству, сопряженному к пространству (О.) .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.Г. Крейну за доброжелательное отношение и помощь в

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Веневитина С.С. Применение абстрактной схемы к решению краевой задачи теории малых деформаций несжимаемой упругой среды / Воронежский лесотехн. ин-т. Воронеж, 1992.-Деп. в ВИНИТИ 7.04.92 N 1252-В92. '

2. Веневитина С.С. Применение абстрактной схемы к решению краевых задач теории малых деформаций однородной упругой среды / Воронежский лесотехн. ин-т. Воронеж, 1993.- Деп. В ВИНИТИ 27.01.93 N 172-В93.

3. Веневитина С.С. Об одной смешанной краевой задаче для уравнений теории упругости в обобщенных напряжениях // Тез. докл. XXVI Воронежской зимней математической школы, 28 января-3 февраля 1994 г.- Воронеж, 1994.- С.34.

4. Веневитина С.С. Об обобщенных решениях смешанной краевой нестационарной задачи теории упругости // Тез. докл. школы "Современные проблемы механики и математической Физики", 21-28 января 1994 г.- Воронеж, 1994.- С.22.

5. Веневитина С.С., Крейн С.Г. Малые совместные движения контейнера и упругой среды // Тез. докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики", 25 января- 1 февраля 1995 г.- Воронеж, 1995.- С.58.

6. Веневитина С.С., Крейн С.Г. Малые движения упругой среды в открытом неподвижном контейнере // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. N 7. С. 1095-1107.

работе.