Операторы композиции и обратные оценки в пространствах Блоха тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЕТРОВ Андрей Николаевич

Операторы композиции и обратные оценки в пространствах Блоха

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

5 ДЕК 2013

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

0055429^

2013

005542923

Методы исследования. Основной метод заключается в доказательстве и применении точных обратных оценок для рассматриваемых пространств голоморфных функций. Также используются общие методы многомерного комплексного анализа, классического анализа Фурье и линейного функционального анализа.

Основные результаты.

1. Получены интегральные обратные оценки для логарифмических пространств Блоха в комплексном шаре. Доказана точность этих оценок.

2. Получены новые количественные результаты о росте гиперболических градиентов голоморфных отображений.

3. Получены описания регулярных голоморфных символов, которые порождают ограниченные операторы композиции, действующие из пространства Блоха или пространства роста в заданное пространство Харди или весовое пространство Бергмана.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть применены в смежных областях теории функций и теории операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций СП6ГУ-П0МИ РАН в 2012-2013 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трёх статьях [П1-ПЗ] в научных журналах, включённых в Перечень ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Библиография содержит 33 наименования. Общий объём работы — 74 страницы.

2. Содержание работы

Во введении к диссертации даны основные определения, а также обоснован и сформулирован базовый вопрос об обратных оценках в пространствах голоморфных функций в круге и в комплексном шаре.

Пусть Н(Ш) обозначает пространство всех голоморфных функций в единичном круге И = {г е С : |г| < 1}. Неубывающую непрерывную и неограниченную функцию V : [0,1) —> (0, +оо) будем называть весовой функцией. Задача об обратных оценках естественным образом возникает для пространства роста ДИ(В), которое состоит из функций / е Н(Ш>), удовлетворяющих условию

(1) |/(,гЖ Су{\г\),

для некоторой константы С > 0. А именно, при изучении конкретных линейных операторов, заданных на пространстве Л"(О), часто оказываются полезными наборы тестовых функций, для которых в определённом смысле выполняется оценка, обратная к неравенству (1). Принцип максимума накладывает запрет на существование функции / € Н(И>) и весовой функции г>, для которых верна непосредственная обратная оценка |/(г)| ^ су(\г\) при всех ,г е В. Тем не менее, задача оказывается разрешимой, если рассмотреть сумму модулей 1/1(2)! + |/2(г)|. Действительно, если весовая функция г> обладает свойством удвоения, то в силу результатов статьи [1] существуют функции /г, /2 € Л"(В), такие что

Отметим, что первую теорему этого типа получили У. Рамей и Д. Ул-лрич в работе [10] для весовой функции «(£) = (1 — £2)-1.

Результаты для пространств роста порождают естественный вопрос об обратных оценках в иных пространствах голоморфных функций. Диссертация посвящена соответствующим оценкам и их приложениям

5

в том случае, когда функция / в неравенстве (1) заменена на производную /'. Для произвольной весовой функции w соответствующий аналог свойства (1) порождает весовое пространство Блоха Bw (U>), состоящее из функций / е Н(Щ, таких что

\\Пв-т = |/(0)|

zeB «HHJ

Если w(t) = (1 —i2)-1, то пространство совпадает с классическим

пространством Блоха £>(В), для которого известны интегральные обратные оценки. Чтобы найти подобные оценки в весовом случае, в диссертации изучаются логарифмические мультипликативные возмущения базовой функции w(t) = (1 — i2)-1. Более сильные возмущения не рассматриваются, так как они кардинально меняют основные свойства соответствующих весовых пространств.

Исследуемый вопрос об обратных оценках естественно распространяется на весовые пространства Блоха в единичном шаре Вт = {z G Cm : \z\ < 1}, m > 1. Отметим, что в зависимости от ситуации для единичного круга в диссертации используется обозначение В или В\.

Во введении также перечисляются и обсуждаются основные результаты диссертации, связанные с приложениями полученных обратных оценок к теории операторов композиции. Пусть Н(Вт) обозначает пространство всех голоморфных функций в шаре Вт. Для п, m ^ 1 каждое голоморфное отображение <р : Вп Вт порождает оператор композиции Cv : Н{Вт) —> Н(Вп) с помощью следующей формулы:

(Cvf)(z) = ПФ)), f€H(Bm), z € Вп.

Центральными объектами для диссертации являются операторы композиции Cv, заданные на логарифмических пространствах Блоха

LaB(Bm), m > 1. По определению, для а € M пространство LaB(Bm)

6

состоит из тех функций / е Н(Вт), для которых

\\f\\L-B(Bm) = 1/(0)1 + sup \TZf(z)\(l - И2) (log ) < С»,

z€Bm \ J- \Z\ /

где

т г, г

j=1 з

обозначает радиальную производную функции /. Отметим, что функ-1 ( е

ция wa (t) = -—р- I log -—) возрастает на промежутке [0,1) при

а ^ 1. Если а = 0, то LaB(Bm) — это классическое пространство Блоха В(Вт).

Основная цель главы 1 — предсказать и доказать точные обратные оценки в пространствах LaB(Bm) при а ^ т ^ 1. Отметим, что при а > | нетривиальные обратные оценки в пространстве LaB(Bm) отсутствуют для всех т ^ 1.

Пусть Т = сЮ =- {z £ С : \z\ = 1}. Предсказание точных обратных оценок в пространстве Ь^В(D) основано на следующем результате об операторах композиции.

Предложение 1 (предложение 1.1.3). Пусть ip : D —> П3> является голоморфным отображением. Тогда следующие свойства равносильны:

(2) оператор Cv действует из L^B(В) в Н2(Щ\

(3)

(4) о ZlJloglog^ШWd(7l{0<oo■

т

Доказательство сформулированного предложения проводится по схеме (2)ф>(3) и (3)о(4). С другой стороны, импликация (2) =>(4) немедленно следует из существования функций Рх е 0 ^ х < 1, таких что ||Л|| 1 < 1 и

11 ХМЬ5 В(О)

(5) J ¿X >т1(^1оё 1 _е , IV ев,

о

для некоторой константы г > 0.

При а < \ аналогичным образом можно использовать функции Г* 6 ЬаВ(В), 0 ^ х < 1, а < такие что \\Рх\\ь<,вт < 1 и

г / 1 \ :~2а

(6) J |FXH|2dx > ra [log Y^r^pJ , ^B,

о

для некоторой константы та > 0.

Объединяя возможные оценки (5) и (6) для a ^ приходим к следующим функциям от переменной t 6 [0,1):

(7) Фа(4) =

logrh)2 ;

loglog^) , а=\.

В главе 1 доказано, что оценки (5) и (6) действительно имеют место для подходящих тестовых функций в круге Р. Более того, следующая теорема (основной результат главы 1) гарантирует, что вид обратных оценок в пространствах ЬаВ(Вт) не зависит от размерности т ^ 1.

Теорема 2 (теорема 1.3.1). Пусть т 6 К, 0 < р < оо, а ^ Тогда существуют константа Тт^р^ > 0 и функции Рх е ЬаВ{Вгп), 0 < х < 1, такие что ||^ж||£,»в(вт) О "

(8)

У \Fx(w)\Pdx J ^гт,р,а Фа(|Н2). we Вт.

Точность обратной оценки (8) доказана в разделе 1.5 с помощью новых неравенств для интегральных средних.

Глава 2 содержит непосредственные приложения обратных оценок, доказанных в главе 1.

Во-первых, с помощью доказанных обратных оценок получены новые ограничения на символ порождающий непрерывный оператор С.- из ЬаВ(Щ в пространство ВМОА(В), состоящее из тех функций / 6 Я2 (©), граничные значения которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию.

Ещё одно непосредственное применение полученных обратных оценок — это количественная задача о росте гиперболических градиентов голоморфных отображений <р : Вп —> Вгп. Соответствующая задача мотивирована следующим эвристическим принципом:

если гиперболический градиент, отображения <р не растёт достаточно быстро, то отображение <р не является внутренним.

Следующая теорема количественным образом усиливает результаты, которые были получены в работах [3, 7, 12] для реализации сформулированного принципа.

Теорема 3 (теорема 2.2.3). Пусть п, т € М, а < \, голоморфное отображение у : Вп Вт таково, что

е

г е Вп,

где ш — неубывающая функция

о

Пусть функция Фа определена формулой (7). Тогда

дВп

для любого К > 0. В частности, \<р* \ < 1 ап-п.в.

9

Отметим, что условие a si | в теореме 3 является точным.

Результаты главы 3 показывают, что обратные оценки в классическом пространстве Блоха В{Вт) (т.е. теорема 2 для а = 0) оказываются действенным инструментом при решении задачи об описании тех регулярных символов tp, для которых оператор Cv переводит В(Вт) в пространство Харди Нр(Вп) для заданного параметра р > 0. Отметим, что при т = 1 соответствующие описания известны и могут быть получены иными методами. В частности, при т = 1 Е. Г. Квон решил рассматриваемую задачу в терминах гиперболических классов Харди Н Для п, т Е N и р > 0 гиперболический класс Харди Н^ = Н^(Вп, Вгп) по определению состоит из голоморфных отображений iр : Вп Вт, удовлетворяющих условию

sup [ ^,(^(гС),0)Ат„(С)<оо,

дВ„

где Ргп обозначает метрику Бергмана на единичном шаре Вгп.

При ш ^ 2 задача об операторах композиции между пространствами Блоха и Харди существенно усложняется (соответствующие трудности подробно обсуждаются в работе [4], где исследуется смежный вопрос об операторах композиции между пространствами Блоха и ВМОА). В диссертации рассматриваемая задача полностью решена для регулярных символов Ц).

По определению голоморфное отображение </?: Вп —> Вт называется регулярным, если существуют константы s G (0,1) и т > 0, такие что

\{ТЪр{г),ф))\ > т\Пф)Мг)\ при s < \<p(z)\ < 1.

Теорема 4 (теорема 3.4.10). Пусть 0 < р ^ 1 и голоморфное отображение <р : Вп Вт является регулярным. Тогда следующие свойства

ю

равносильны:

(11) /(/аВДрр(1-г)*| *.(0<=о;

эв„ \о

(12) оператор С^ : В(Вт) —> Н2р(Вп) ограничен;

(13) <^еЯР(Вп,Вт).

Отметим, что в работе [4] также рассматриваются регулярные символы </? при изучении ограниченных и компактных операторов композиции Су, : В(Вгп) —> ВМОА(В„), п, т € N. Однако доказательство теоремы 4 построено по совершенно иной схеме: используются обратные оценки и формула Грина. Именно такая схема приводит к явному условию (13), т.е. к описанию в терминах гиперболических классов Харди Н1 = Н1{Вп,Вт).

Утверждения, сходные с теоремой 4, получены в главе 3 для всех Р > О, & также для операторов композиции Сф : В{Вт) —> А1р(Вп), где А2/{Вп) — это достаточно малое весовое пространство Бергмана.

Для произвольного параметра р > 0 понятие регулярности будет модифицировано следующим образом:

голоморфное отображение ¡р : Вп —> Вт называется V-регулярным, если существуют константы в 6 (0,1) и г > 0 такие, что

&ММ*))

^ т\Уф)\\ф)\ при 5 < \ф)\ < 1.

Безусловно, все голоморфные отображения <р : Вп —> В\ являются У-регулярными. Также отметим, что голоморфное отображение <р : В\ —> Вт является У-регулярным тогда и только тогда, когда оно регулярно.

Следующий результат обобщает теорему 4.

Теорема 5 (теорема 3.4.13). Пусть 0<p<ocu(p:Bn—> Вт является V-регулярным голоморфным отображением. Тогда (11)ф> (12) <=>(13).

Естественным продолжением главы 3 является заключительная глава 4, в которой рассматривается смежный вопрос об операторах композиции, действующих из пространств роста А~'3(Вгп) в пространства Харди и Бергмана.

Для /3 > 0 пространство роста Л~13(Вт) по определению состоит из функций / € Н(Вт), удовлетворяющих условию

ll/IL-'(Bm) = sup |/И|(1 - иУ < 00.

weBm

В определённом смысле пространство Блоха В(Вт) можно считать продолжением шкалы {Л~13(Вт)}р>0 в крайнюю точку /3 = 0. В частности, в главе 4 доказан следующий аналог теоремы 4.

Предложение 6 (предложение 4.1.8). Пусть /3 > 0, 0 < р ^ 1 и голоморфное отображение : Вп —► Вт является регулярным. Тогда следующие свойства равносильны:

/

о

|7г^(гС)|2 Г(1 -r)dreI?(8Bn);

(1 - |<РЮ|2)2/3+

2 '

оператор С^ : Л 13{Вт) —> Н2р(Вп) ограничен; 8иР / -1 \ лмг! ^п(С) <

дВп

Среди результатов главы 4 отдельно отметим одно интересное следствие о голоморфных отображениях в круг.

Следствие 7 (следствие 4.2.3). Пусть К, а > 0 и отображение <р : Вп —> В1 голоморфно. Тогда справедливость свойства

не зависит от параметра 6^0.

Иными словами, следствие 7 гарантирует совпадение гиперболических классов Бергмана, задаваемых условием (14) при различных 5 ^ 0.

[1] E. Abakumov and E. Doubtsov, Reverse estimates in growth spaces, Math. Z. 271 (2012), no. 1-2, 399-413.

[2] P. Ahern and W. Rudin, Bloch functions, BMO, and boundary zeros, Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), no. 1, 131-148.

[3] A. B. Aleksandrov, J. M. Anderson, and A. Nicolau, Inner functions, Bloch spaces and symmetric measures, Proc. London Math. Soc. (3) 79 (1999), no. 2, 318-352.

[4] O. Blasco, M. Lindstrom, and J. Taskinen, Bloch-to-BMOA compositions in several complex variables, Complex Var. Theory Appl. 50 (2005), no. 14, 1061-1080.

[5] C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

[6] P. M. Gauthier and J. Xiao, BiBloch-type maps: existence and beyond, Complex Var. Theory Appl. 47 (2002), no. 8, 667-678.

[7] M. J. González and A. Nicolau, Multiplicative square functions, Rev. Mat. Iberoamericana 20 (2004), no. 3, 673-736.

[8] E. G. Kwon and M. Pavlovic, BiBloch mappings and composition operators from Bloch type spaces to BMOA, j. Math. Anal. Appl. 382 (2011), no. 1, 303-313.

[9] J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc. (2) 23 (1925), 481-519.

[10] W. Ramey and D. Ullrich, Bounded mean oscillation of Bloch pull-backs. Math. Ann. 291 (1991), no. 4, 591-606.

[11] J. H. Shapiro, The essential norm of a composition operator, Ann. of Math. (2) 127 (1987), 375-404.

[12] W. Smith, Inner functions in the hyperbolic little Bloch class, Michigan Math. J. 45 (1998), no. 1, 103-114.

(14)

в,

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

[П1] А. Н. Петров, Интегральные обратные оценки для логарифмических пространств Блоха в шаре, Зап. научн. семин. ПОМИ 416 (2013), 124 135. [П2] А. N. Petrov, Reverse estimates in logarithmic Block spaces, Arch.

Math. (Basel) 100 (2013), no. 6, 551-560. [ПЗ] E. Doubtsov, A. N. Petrov, Bloch-to-Hardy composition operators, Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), no. 6, 985-1003.

Подписано в печать «20» ноября 2013 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 127

Типография «Восстания — 1» 191036, Санкт-Петербург, Восстания, 1.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук (ПОМИ РАН)

На правах рукописи

04201453574

\ltni4-

ПЕТРОВ ¡Г 1

Андрей Николаевич

Операторы композиции и обратные оценки в пространствах Блоха

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент

Е. С. Дубцов

Санкт-Петербург 2013

Содержание

Работы автора по теме диссертации 4

Введение 5

0.1. Обратные оценки: постановка задачи 5

0.2. Операторы композиции 9

0.3. Организация работы 10

Глава 1. Обратные оценки в пространствах Блоха 11

1.1. Предсказание обратных оценок 11

1.2. Обратные оценки в пространствах ЬаВ{Ш>) 15

1.3. Обратные оценки в шаре 21

1.4. Обсуждение точности обратных оценок 23

1.5. Точность обратных оценок 24

Глава 2. Непосредственные приложения обратных оценок 27

2.1. Операторы композиции С^ : ЬаВ{Щ ВМОА(Р) 27

2.2. Гиперболические градиенты и внутренние отображения 30

Глава 3. Операторы композиции, заданные на пространстве

Блоха 35

3.1. Постановка и обсуждение задач 35

3.2. Предварительные результаты 37

3.3. Импликации общего характера 39

3.4. Регулярные операторы со значениями в пространствах

Харди 41

3.5. Операторы со значениями в пространствах Бергмана 58

Глава 4. Операторы композиции, заданные на пространствах роста 61

4.1. Операторы со значениями в пространствах Харди 61

4.2. Операторы со значениями в пространствах Бергмана 68

Литература 71

Работы автора по теме диссертации

• А. Н. Петров, Интегральные обратные оценки для логарифмических пространств Блоха в шаре, Зап. научн. семин. ПОМИ 416 (2013), 124-135.

• А. N. Pctrov, Reverse estimates in logarithmic Block spaces, Arch. Math. (Basel) 100 (2013), no. 6, 551-560.

• E. Doubtsov, A. N. Petrov, Bloch-to-Hardy composition operators, Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), no. 6, 985-1003.

Введение

Пусть Я" (В) обозначает пространство всех голоморфных функций в единичном круге В = {г £ С : \г\ < 1}.

0.1 Обратные оценки: постановка задачи 0.1.1 Пространства роста

Неубывающую непрерывную и неограниченную функцию V : [0,1) —► (0, +оо) будем называть весовой функцией. Задача об обратных оценках естественным образом возникает при изучении пространства роста ^(В), которое состоит из функций / Е Н(Ш), удовлетворяющих условию

для некоторой константы С > 0. Пространство ^(В) является банаховым относительно нормы

При изучении конкретных линейных операторов, заданных на пространстве роста Ди(В), часто оказываются полезными наборы тестовых функций, для которых в определенном смысле выполняется оценка, обратная к неравенству (0.1.1). Принцип максимума накладывает запрет на существование функции / 6 Н{В) и весовой функции г>, для которых верна

(0.1.1)

|/(*)|< СМИ), ^в,

непосредственная обратная оценка \f(z)\ ^ сг>(|;г|) при всех 2 £ В. Тем не менее, задача оказывается разрешимой, если рассмотреть сумму модулей |/i(2)| + |/2(2)|. Для достаточно широкого класса весовых функций г» соответствующие решения получены в работе [6]. А именно, по определению весовая функция v : [0,1) —> (0, +оо) обладает свойством удвоения, если

v(l - s/2) ^ Av(l - s), 0 < s ^ 1, для некоторой константы А > 1.

Теорема 0.1.1 ([6, лемма 1]). Предположим, что весовая функция у : [0,1) —> (0, +оо) обладает свойством удвоения. Тогда существуют функции /ь/2 Е такие что

(0-1.2) + ze В.

Для несколько менее широкого класса весовых функций аналог теоремы 0.1.1 был независимо доказан в статье [24]. Отметим, что первый результат рассматриваемого типа получили У. Рамей и Д. Уллрич [27] для весовой функции v(t) = (1 — t2)"1.

0.1.2 Весовые пространства Блоха

Настоящая работа посвящена обратным оценкам и их приложениям в том случае, когда функция / в неравенстве (0.1.1) заменена на производную /'. Классическим примером пространства, возникающего после такой замены, является класс Блоха £>(Ю>), который состоит из функций / G Н{р), удовлетворяющих условию

\\Л\в{щ = 1/(0)1 + sup 1/(2)1(1 - И2) < 00.

геЮ

Следующая интегральная обратная оценка хорошо известна в явном или неявном виде.

Теорема 0.1.2 (см., например, [22, лемма 2.1]). Пусть 0 < р < оо. Тогда существуют функции Ех Е ¿3(В)7 0 ^ х ^ 1, такие что ^ 1 и

(0.1.3) I J \Fx(z)\*^ гр (loS fZ^) 2 '

для некоторой константы тр > 0.

Известно, что показатель ^ в правой части неравенства (0.1.3) является точным. С другой стороны, если / Е ¿3(B), ||/||в(р) ^ 1, то

(0-1.4) \f(z)\ ^ Clog-—-¡—12? *€В,

1 — \z\z

для некоторой абсолютной константы С > 0. Простые примеры показывают, что оценка (0.1.4) также точна. Таким образом, точные обратные оценки для пространств роста и пространства Блоха имеют разный характер. Действительно, с одной стороны в теореме 0.1.1 для прямой и обратной оценки используется одна и та же функция v. С другой стороны, в оценках (0.1.4) и (0.1.3) присутствуют log и (log l-jz]2) 2 соответственно.

Для произвольной весовой функции w аналог свойства (0.1.1) порождает пространство ¿3W(B), состоящее из функций / Е Н(В), таких что

||/||b-(D) = 1/(0)1+sup Ц|Й|<СХ).

¿ею Щ\2\)

Если w{t) = (1 — i2)-1, то пространства Bw(В) и ¿3(B) совпадают. Таким образом, полагая wa(t) = (l — t2)~a, а > 0, можно рассмотреть пространства ¿3Wa(B) в качестве возможных аналогов пространства Блоха ¿3(B). Однако, при 0 < а < 1 пространство BWa(В) совпадает с голоморфным пространством Липшица А1_а(В) и, следовательно, в этом случае нетривиальных обратных оценок не существует. Если а > 1, то ¿3Wa(B) совпадает с пространством роста Диа(В), va(t) = (1 — i2)1-", следовательно, обратные оценки получаются с помощью теоремы 0.1.1. Таким

образом, чтобы найти аналоги пространства Блоха ¿3(D), следует рассматривать достаточно слабые, например, логарифмические мультипликативные возмущения весовой функции w(t) = (1 — t2)-1.

0.1.3 Логарифмические пространства Блоха в круге

Для а Е R логарифмическое пространство Блоха LaB(D) состоит из функций / Е Н(В), удовлетворяющих условию

II/IU-BCD) = 1/(0)1 + sup 1/(2)1(1 - \z\2) (log—< оо.

геО \ -L — \Z\ J

Отметим, что функция wa(t) = jr^s (log уг^) a возрастает на промежутке [0,1) при а ^ 1. Если а — 0, то ЬаВ(Щ — это пространство Блоха 5(D).

Основная цель главы 1 — предсказать и доказать точные обратные оценки в пространствах LaB(JD) при а ^ Отметим, что при а > ^ пространство LaB(JD>) является весьма малым, поэтому нетривиальные обратные оценки в нём отсутствуют (подробности приведены в главе 1).

0.1.4 Логарифмические пространства Блоха в шаре

Задача об обратных оценках естественным образом распространяется на пространства Блоха в единичном шаре Вт = {z Е Cm : \z\ < 1}, т ^ 1. Отметим, что в зависимости от ситуации в дальнейшем для единичного круга будет использоваться обозначение D или В\.

Пусть Н(Вт) обозначает пространство всех голоморфных функций в шаре Вт. Для а Е К логарифмическое пространство Блоха LaB(Bm) состоит из тех функций / Е Н{Вт), для которых

11/11 ь°в(вт) = 1/(0)1 + sup \nf(z)\(l - И2) Clog—< оо,

zeBm \ 1 - \z\-J

где

обозначает радиальную производную функции /. В главе 1 будет показано, что вид точных обратных оценок в пространствах ЬаВ(Вт) не зависит от размерности га ^ 1.

0.2 Операторы композиции

Пусть п, га ^ 1. Каждое голоморфное отображение (р : Вп —> Вт порождает оператор композиции С^ : Н(Вт) —■> Н{Вп) с помощью следующей формулы:

Ш)(г) = /(ф)), / Е Н(Вт),

Разнообразные свойства операторов С^ представлены в монографиях [12] и [28]. Центральными объектами настоящей работы являются операторы Ср, заданные на пространствах ЬаВ(Вт)1 га ^ 1.

Во-первых, с помощью известных обратных оценок в пространствах роста удаётся описать тс символы </?, для которых оператор С\р действует из ЬаВ(Ш) в классическое пространство Харди Я2 (О). Это описание позволяет предсказать точные обратные оценки в логарифмических пространствах Блоха (см. главу 1).

Во-вторых, обратные оценки в пространствах ЬаВ(©) непосредственно применимы при изучении операторов С^, действующих из ЬаВ(В) в пространство ВМОА(В), состоящее из тех функций / Е Я2(О), граничные значения которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию. Ещё одно непосредственное применение полученных обратных оценок — это количественная задача о росте гиперболических градиентов голоморфных отображений (см. главу 2).

В-третьих, обратные оценки в пространстве Блоха В(Вт) оказываются действенным инструментом при решении задачи об описании тех регулярных символов <£>, для которых оператор С^ действует из В(Вт) в пространство Харди Нр(Вп) для заданного показателя р > 0. Данному вопросу посвящена глава 3. Отметим, что при т = 1 соответствующие описания известны и могут быть получены иными методами. Также напомним, что П. Ахерн и У. Рудин сформулировали в работе [8] вопрос об описании операторов композиции действующих из пространства Блоха В{Вт) в пространство ВМОА(Дг). Так как ВМОА(£?п) является Мёбиус-инвариантным аналогом пространства Н2(Вп), то задача Ахер-на-Рудина тесно связана с рассматриваемым вопросом об операторах, действующих из В(Вт) в пространства Харди.

Естественным продолжением главы 3 является заключительная глава 4, в которой рассматривается смежный вопрос об операторах композиции, действующих из пространств роста в пространства Харди или Бергмана.

0.3 Организация работы

Диссертация разделена на четыре главы; результаты первой главы используются в последующих главах. Главы состоят из разделов и подразделов. Для нумерации утверждений и формул используются номера главы и раздела, а также номер по порядку.

Глава 1

Обратные оценки в пространствах Блоха

1.1 Предсказание обратных оценок

Как отмечалось во введении, поиск обратных оценок в пространствах голоморфных функций во многом мотивирован приложениями, связанными с исследованием конкретных линейных операторов на соответствующих пространствах. В случае операторов композиции данный подход был использован, например, в работах [6, 20, 22, 24, 27]. Рассуждения в настоящем разделе будут проведены в противоположном направлении: изучение подходящих операторов композиции позволяет предсказать точный вид обратных оценок в пространствах ЬаВ(Щ, а ^ 1/2. А именно, ниже рассматриваются операторы композиции со значениями в пространстве Харди Н2(Щ.

1.1.1 Пространства Харди и g-функции Литтлвуда-Пэли

Пусть cri обозначает меру Лебега на единичной окружности

Т={СеС: |С| = 1},

нормированную условием (Т) = 1.

При 0 < р < оо пространство Харди ЯР(В) по определению состоит из тех функций / € Я(В), для которых

р

яр (О)

8ПР [ |/К)|Р^1(С) <00.

0<г<1Ц

т

Для функции / £ //(О) д-функция Литтлвуда-Пэли задаётся равенством 1

дШ)= ^/'ЮГа-О^ , сет.

Теорема 1.1.1. Яусгаъ 0 < р < оо, / £ Я (В). Тогда / £ ЯР(В) в том и только в том случае, когда д(/) £ ЬР(Т).

При р > 1 сформулированный результат приведён, например, в теоремах 3.5 и 3.19 главы XIV монографии [3]. Для р > 0 теорема 1.1.1 и её обобщения доказаны в работе [7|.

1.1.2 Ограниченные операторы С^ : ЬаВ(Щ —»• Я2(В) Если / £ ЬаВ(Щ для некоторого а > то

1 -2а

з(ЛК) (ювз^з) < < 00

О

для всех С £ Т. В частности, д(/) £ Ь2(Т), поэтому / £ Я2(В). Иными словами, £а£(В) С Я2(В) при а >

В силу принципа подчинения Литтлвуда оператор С<р ограничен на пространстве Я2(В) для любого символа </? (см. [25] или [28]). Следовательно, при а > 7} оператор С^ : ЬаВ(Щ —> Я2(В) ограничен для всех (р. Поэтому обратимся к случаю а ^

Теорема 1 из работы [20] даёт описание ограниченных операторов Ср : ЬаВ(В) —> Я2 (В) при а = 0. Следующий результат решает рассматриваемую задачу при а <

Предложение 1.1.2. Пусть а < | и отображение </? : В —» В является голоморфным. Тогда следующие свойства равносильны:

ЛСМС) < 11/11|«В(П) / (1(1овгг^)"Л(1-г)<1г.

(1.1.1) оператор С\р действует из ЬаВ(В) в Н2(Щ; (ш) / (1о8 " -> *6

о

(1Л-3) 0^1 / (1ог 1 - июр) 4,1(0 <

т

Доказательство. Предположим, что выполнено условие (1.1.2). Для / Е ЬаВ(В) и С Е Т имеем

1

<Г(ЗД(С) < ||/|||аВД

о

Таким образом, д(С9/) Е Ь2{Т) в силу свойства (1.1.2). Следовательно, С^/ Е #2(В). Итак, (1.1.2) влечёт (1.1.1).

Для доказательства обратной импликации предположим, что имеет место свойство (1.1.1). Применяя теорему 0.1.1, выберем функции /1, /2 е ЬаВ(Щ, такие что

/ \ ~2а \т\2+\т\2>(1-и2г2, zEв.

В силу свойства (1.1.1) имеем Е Н2(Щ, / = 1,2. Поэтому,

ос > МСМ\\щт) + ШСМ\\Ъ(Т)

(1ЛМ<))12 + 1/М<))121) УШ^-^^йа^)

т о

* //гада (1оёт^Г(1'

т о

Таким образом, (1.1.1) влечёт (1.1.2).

Для завершения доказательства отметим, что в теореме З.б из работы [21] показана равносильность свойств (1.1.2) и (1.1.3). □

При а = | имеет место аналогичный результат.

Предложение 1.1.3. Пусть if : Ю) —» В является голоморфным отображением. Тогда следующие свойства равносильны:

(1.1.4) оператор Сv действует из Ь^В{В) в Н2{В); о

(1.1.6) sup / log log--1 дМС) <

T

Доказательство. С одной стороны, для проверки равносильности условий (1.1.4) и (1.1.5) достаточно повторить рассуждение, использованное в доказательстве предложения 1.1.2. С другой стороны, в статье [13] доказано, что свойства (1.1.5) и (1.1.6) равносильны. □

Теперь обратимся к возможным обратным оценкам, на которые указывают предложения 1.1.2 и 1.1.3. Заметим, что для доказательства импликации (1.1.4)=>(1.1.6) можно использовать функции Fx £ В), О ^ х ^ 1, такие что < 1 и

1

(1.1.7) J\Fx(w)\2 dx ^ г log log ^ о

для некоторой константы г > 0. Действительно, если выполнено свойст-

во (1.1.4), то с помощью оценки (1-1.7) получаем

1

о т

1

= 11 |^(гс)|2^садс)

т о

т

для всех г Е [0,1). Следовательно, имеет место свойство (1.1.6).

Для доказательства импликации (1.1.1)=^(1.1.3) можно аналогичным образом использовать функции Ех Е ЬаВ( В), такие

что \ЬаВ(р) ^ 1 и

(1-1.8) I ^ та 1 ) , ш Е В,

о

для некоторой константы та > 0.

Объединяя возможные оценки (1.1.7) и (1.1.8) для а ^ приходим к следующим функциям от переменной £ Е [0,1):

(1.1.9)

1 \

1

Ье log

1 - г

а

1.2 Обратные оценки в пространствах ЬаВ(В)

В данном разделе для пространств ЬаВ(Щ, а ^ 1, будут доказаны интегральные обратные оценки, соответствующие функциям из определения (1.1.9). А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 1.2.1. Пусть 0 < р < оо и а ^ Тогда существуют константа тР;а > 0 и функции Ех Е ЬаВ(О), 0 ^ х ^ 1, такие что \\Рх\\ьав(Щ ^ 1 и

(1-2-1) ^ \Рх(т)\» тр,аФа(|^|2), ■шЕО.

Для доказательства теоремы 1.2.1 нам понадобятся две технические леммы.

Лемма 1.2.2. Пусть ¡3 ^ 07 £ Е [0,1). Тогда существует константа С[з > 0, такая что

00

(1.2.2) У> + I)*"1*2*"1 ^ С^Ь^).

1' 2 к=0

Доказательство. Удобно отдельно рассмотреть случаи (3 > 0 и (3 = 0.

1. Пусть (3 > 0. Если £ Е [0, то имеем

оо

+ 1)/?-1£2'с-1 ^ 1

(1.2.3)

к=О

1 1 ^

^ =(1о§2)-^ 1о§

1 — / 4 ° ' V 1

Теперь предположим, что t Е 1). Выберем число п Е М, такое что 1 — — 2п+1- Тогда имеем

1 л 2к~1

5> + о'-1^-1 > +1)"-1 1

/г=0 к=О ^ '

(\ 2П —1 и

' /с=0

е , к=0

1 п

Положим Бп = - ^^{к + 1)/3_1. Продолжение оценки (1.2.4) зависит от 6 к=о

величины (3 и использует неравенство £ ^ 1 — ^тт, которое эквивалентно оценке

(1.2.5) Лое2 < (П + 1)0.

Если 0 < ¡3 ^ 1, то в силу (1.2.5) получаем

(1„) , М! , I (Юй^)' = 1(1082)""

Если (3 ^ 1, то в силу (1.2.5) имеем

к=О

1 ^(п + 2)"-1

^ 2е ^ 20-1 к=0

(1.2.7) . (п + 1)^

^ е2/з

1/1, 1

^ 7 о §2

е \2

= i(21og2)-^log 1

е ° у

Наконец, оценки (1.2.3), (1.2.6) и (1.2.7) влекут неравенство (1.2.2) с константой Ср = -(2к^2

2. Пусть (3 = 0. Для t Е [0,1] имеем

00 2 1 е

, .. . . 1 -г 1ог2 ° ° 1 -г

к=о ь

Если £ Е 1), то возьмем п Е К, такое что 1 — — ^тг- Тогда

к + 1 ^ к + 1\ 2п ) к=0 к=0 4 7

/ 1 Ч2""1 п

(I-2-9) ^ Е

) ^ к + 1 1 А 1 1, , ^ 1 , , е

> - V —— ^ - log(n + 2) ^ - к^

р < < к Л- Л р р

е к + 1 е е 1 — £

к=О

Таким образом, из (1.2.8) и (1.2.9) получаем оценку (1.2.2) с константой Ср = -. □

е

Следующую лемму можно вывести из результатов работы [26]. Для удобства читателя ниже приведено независимое доказательство.

Лемма 1.2.3. Пусть а Е И. Тогда существует константа Са > 07 такая что

00 9к — 1 / р \~а

к == 1

Доказательство. Положим

а оо ок — I к-1

£2 а€1, £ Е [0,1).

(\ а оо 7 ¿=1

(А; + 1)с

Для пЕМи£Е[1 — трг, 1 — зтгьг] имеем (1.2.11)

оо к=1

п оо / 1 \ —

п\а пк-п , (П\а пк-п ( 1__

2?г+1

/г=1 " /с=п+1

\/г=1 /с=п+1

где q = е « Е (0,1).

Продолжение оценки (1.2.11) зависит от величины а. Если а ^ 0, то ЙГ < < е~а{-к-п\ поэтому

/ тг оо

Ga(t)^ca (¿2*-»+ £ (2е-")*-"/-"

(1.2.12) V=1 fc=n+1 ч

4 7 / оо \

Если а > 0, то

. KJfc^f f^fc^n S=1

оо

(1.2.13)

^ CQ + 2Q+1 + 2V* J = cl

Остаётся отмстить, что неравенство (1.2.10) следует из оценок (1.2.12) и (1.2.13). □

Также напомним классический результат о рядах из функций Раде-махера Rk(x) = sign sin(2fc+17rx), 0 < х < 1, к = 0,1,... .

Теорема 1.2.4 (см. [3, глава V, теорема 8.4]). Пусть р > 07 Е С,

00

\ck\2 < оо. Полоо1сим

к=О

оо

fiX) = CbRk(X)i 0 < X ^ 1. к=О

Тогда

1

1 / 1 \ V / ч i

2//> \ /ОО \ 2

для некоторых констант Ар, Вр > 0.

Теперь всё готово для доказательства обратных оценок в логарифмических пространствах Блоха ЬаВ(Щ, а ^

Доказательство теоремы 1.2.1. Пусть Са > 0 - это константа, существование которой гарантирует лемма 1.2.3. Для х Е [0,1] рассмотрим следующие функции:

1 ^ Як(х) к=0

где Як(х) — это функции Радемахера. Во-первых, имеем Рх Е Н(Щ и

в силу леммы 1.2.3 ct= ¡ги] . Во-вторых,

к=1

— и,,|2

1 |г|;|2(2к-1)\ §

в силу теоремы 1.2.4. Применяя лемму 1.2.2 с ¡3 = 1 — 2а и I = |и>|2, получаем

00 |7,|2(2*-1) к —О

Следовательно,

1

IV ев,

о

что и требовалось доказать. □

1.3 Обратные оценки в шаре

Следующая теорема показывает, что за обратные оценки в шаре Вт, т ^ 2, также отвечают функции Фа. При а = 0 соответствующее наблюдение было сделано в статье [15].

Теорема 1.3.1. Пусть т Е М, 0 < р < ос, а ^ Тогда существуют константа > 0 и функции Ех Е ЬаВ(Вт), 0 ^ х ^ такие что

\\Рх\\ь°в{вт) < 1 и

(1.3.1)

/1 у

\Fx(w)\pdx\ ^ Tm^a(\w\2), weBm. \о /

Основным рабочим инструментом доказательства теоремы 1.3.1 является следующая теорема о полиномах Александрова-Рыля-Войтащика.

Теорема 1.3.2 ([1, теорема 4]). Пусть т Е N. Тогда существуют константы J = J(m) Е N7 S = 5(т) Е (0,1) со следующими свойствами: для каждого d Е N найдутся голоморфные однородные полиномы Wj\d\ степени d, 1 ^ j ^ J, такие что

(1-3-2) l|WiMllL«-(eBm)<l,

(1.3.3) max \Wj[d}^)\ > 6, £ Е дВт.

Доказа