Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа

Лебедев, Владимир Владимирович

Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Лебедев, Владимир Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа»

Автореферат диссертации на тему "Операторы суперпозиции в некоторых пространствах гармонического анализа"

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики"

Общеинститутская кафедра высшей математики

На правах рукописи УДК 517.5

Лебедев Владимир Владимирович

ОПЕРАТОРЫ СУПЕРПОЗИЦИИ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

1 7 ОКТ 2013

005534899

Москва 2013

005534899

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского института электроники и математики Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики".

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Холщевникова Наталья Николаевна, профессор кафедры прикладной математики МГТУ "Станкин",

доктор физико-математических наук Асташкин Сергей Владимирович, профессор, зав. кафедрой функционального анализа и теории функций механико-математического факультета Самарского государственного университета,

доктор физико-математических наук Шкредов Илья Дмитриевич, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и теории чисел, ФГБУН Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

Ведущая организация: ФГБУН Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ)

Защита диссертации состоится 14 ноября 2013 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8, конференц-зал (9-й этаж).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МИ АН.

Автореферат разослан "_"_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН, доктор физико-математических наук, профессор

В. А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В диссертации исследуются свойства операторов суперпозиции (замены переменной)

/->• / °¥>

в некоторых пространствах функций, естественно возникающих в гармоническом анализе. (Как обычно (/ о — /(<р^)).)

Для интегрируемых функций / на окружности Т рассмотрим их разложения в ряд Фурье

ДО ~ £/(*)«''*•

кеЪ

С рядами Фурье связаны многие часто встречающиеся в анализе пространства "хороших" функций. Примерами служат: пространство непрерывных функций с условием

£1Ж)1<0° к

(алгебра Винера), его обобщение — пространство функций, преобразование Фурье которых / суммируемо со степенью р, пространства Соболева, пространства функций с заданной скоростью убывания коэффициентов Фурье или с заданным их распределением и другие.

Для различных пространств X такого типа (по большей части в работе рассматриваются банаховы пространства) естественно рассматривать следующие три вопроса.

1. Можно ли произвольную непрерывную функцию на Т привести в X при помощи гомеоморфной замены переменной, т.е. верно ли, что для любой непрерывной функции / найдется гомеоморфизм И окружности Т на себя такой, что / о /г е X?

2. Какие отображения окружности ц> в себя (важным частным случаем являются гомеоморфизмы) допустимы в X (или действуют в X), т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / € X мы имеем / о <р £ X?

3. Какие функции / устойчивы в X, т.е. обладают тем свойством, что для любого гомеоморфизма /г окружности Т мы имеем / о к € X?

Второй вопрос допускает следующую модификацию. Имея два пространства X и У функций на Т мы можем спросить, какие отображения <р окружности действуют из X в ¥, т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / 6 X мы имеем / о <р е ¥. Резонно также рассматривать многомерный случай т.е. пространства функций на торе ТГ", а также, не ограничиваясь периодическим случаем, рассматривать классы функций на прямой К или на К", естественным образом характеризуемые поведением преобразования Фурье.

Начало исследований в направлении, связанном с приводимостью, было положено Г. Бором, который в 1935 г., улучшив более давний результат Ж. Пала,

показал, что для любой вещественной непрерывной функции / на Т существует гомеоморфизм к : Т —* Т такой, что / о к имеет равномерно сходящийся ряд Фурье. По-видимому следует считать, что этот результат Бора в целом положил начало изучению операторов суперпозиции в теории рядов Фурье. В дальнейшем задача о приводимости для различных пространств рассматривалась А. М. Олевским, Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсоном, А. А. Саакяном, Б. С. Кашиным, Д. Ватерманом. Обзор результатов по этой тематике содержится в работе Олев-ского 1 (см. также его работу 2). Позже некоторые поставленные там проблемы рассматривались автором настоящей работы в 3 и 4.

Значительно менее изучено направление, связанное с допустимыми заменами переменной. Первым значительным результатом явилась теорема А. Верлинга и Г. Хелсона (при дополнительном предположении гладкости одновременно полученная 3. Л. Лейбензоном). Согласно этой теореме в пространстве абсолютно сходящихся рядов Фурье нет нетривиальных допустимых замен. В дальнейшем для разных пространств функций вопрос об операторах суперпозиции, действующих в этих пространствах, рассматривался Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсоном, Н. Лебла-ном, Л. Алпаром, Р. Кауфманом, И. Домаром, Л. Хермандером. Обзор некоторых из этих результатов имеется в работе Кахана5. Ряд результатов о допустимых заменах в пространствах функций с последовательностью коэффициентов Фурье из 1Р и в пространстве 1Р -мультипликаторов Фурье был получен совместно автором и А. М. Олевским 6'7<8'9.

Еще менее изученным является направление, связанное с устойчивостью. Первые результаты получены К. Гоффманом и Д. Ватерманом для пространства функций на окружности Т, имеющих сходящийся всюду ряд Фурье, а также А. Бернстайном и Д. Ватерманом для пространства функций, имеющих равномерно сходящийся ряд Фурье. Вопрос об устойчивости в пространствах функций на Т с заданной скоростью убывания преобразования Фурье рассматривался Ватерманом. Этот вопрос рассматривал также Г. Т. Ониани.

'Олевский А. М., "Модификации функций и ряды Фурье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

2Олевский А. М., "Гомеоморфизмы окружности, модификации функций и ряды Фурье", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.

3 Лебедев В. В., "Замена переменной и скорость убывания коэффициентов Фурье", Матем. сб., 181:8 (1990), 1099-1113.

4 Лебедев В. В., "Гомеоморфизмы тора, коэффициенты Фурье и интегральная гладкость", Изв. вузов. Машем., 12, 1992, 37-^2.

sKahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, 1st. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

6Lebedev V., Olevskiï A., "C1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

7Lebedev V., Olevskiï A., "Idempotents of Fourier multiplier algebra", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:5 (1994), 540-544.

sLebedev V., Olevskiï A., "Bounded groups of translation invariant operators", C. R. Acad. Set. Paris, Ser. I, 322 (1996), 143-147.

9Лебедев В. В., Олевский A. M., " L1' -мультипликаторы Фурье с ограниченными степенями", Изв. РАН. Сер. матем., 70:3 (2006), 129-166.

Цель работы.

В диссертации, в основном, исследуется ряд вопросов, связанных с допустимыми заменами и с устойчивостью. Многие свойства операторов суперпозиции / —> / о (р в различных пространствах проявляются в том, как при больших частотах п£2 ведут себя в этих пространствах экспоненты еИзучению таких экспонент мы уделяем особое внимание. Получение оценок их норм в различных пространствах — одна из целей работы. Отметим, что некоторые вопросы, на первый взгляд не относящиеся к указанной тематике, в действительности могут быть сведены к задачам, связанным с операторами суперпозиции. В первую очередь это касается поведения преобразования Фурье характеристических функций (индикаторов) областей в К". Выяснить, для каких областей преобразование Фурье характеристической функции принадлежит 17 — вторая цель работы. В том, что касается устойчивости — цель работы получить инвариантные условия устойчивости в различных пространствах.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Получено принципиальное усилении теоремы Берлинга-Хелсона, тем самым получено частичное решение известной проблемы Кахана, сформулированной им на Всемирном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 г.

2. Получены оценки норм экспонент егА^ в пространствах функций с последовательностью коэффициентов Фурье из V для С1 -гладких фазовых функций (р.

3. Получены условия, при которых преобразование Фурье характеристической функции области с С1 -гладкой границей принадлежит 17. В случае плоских областей показано, что эти условия неулучшаемы.

4. В общем случае линейных нормированных пространств функций на Т получено необходимое инвариантное условие устойчивости. При помощи этого результата для различных конкретных пространств функций на окружности получены инвариантные условия устойчивости непрерывных функций в этих пространствах. Для некоторых пространств получено полное описание соответствующих классов устойчивых функций.

Методы исследования.

В работе используются методы гармонического анализа, а также общие методы теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут найти применения в гармоническом анализе.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались автором на следующих семинарах:

- по теории функций действительного переменного кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ (в течении ряда лет);

- математического института им. В. А. Стеклова;

- Санкт-Петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова;

- кафедры теории функций и функционального анализа Самарского государственного университета;

- отдела функционального анализа института математики Польской Академии Наук, Варшава, Польша;

- отделения математики технологического института штата Джорджия, Атланта,

США;

- отделения математики Тель-Авивского университета, Тель-Авив, Израиль;

- отделения математики Варшавского университета, Варшава, Польша;

и на следующих конференциях:

- British-Russian Workshop in Functional Analysis; Эйлеровский международный математический институт, Санкт-Петербург, 13-17 октября, 1996;

- 9-ая Саратовская зимняя школа, Современные проблемы теории функций и их приложения; Саратов, 26 января-1 февраля, 1998;

- 7th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Эйлеровский международный математический институт, Санкт-Петербург, 17-20 июня, 1998;

- International Conference on Harmonie Analysis and Approximation; Нор-Амберд, Армения, 18-25 сентября, 1998;

- II международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения; Дюрсо, 27 мая-2 июня, 2002;

- llth Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Эйлеровский международный математический институт, Санкт-Петербург, 15-20 августа, 2002;

- International Conference on Harmonie Analysis and Approximation III; Цахкадзор, Армения, 20-27 сентября, 2005;

- 14th Summer St.-Petersburg Meeting in Mathematical Analysis; Эйлеровский международный математический институт, Санкт-Петербург, 6-11 июня, 2005;

- Harmonie Analysis and Related Problems (HARP), Зарос, Крит, Греция, 19-23 июня, 2006;

- ICREA Conference on Approximation Theory and Fourier Analysis; Центр математических исследований (CRM), Барселона, Испания, 12-16 декабря 2011;

- Spring School on Banach Algebras (прочитано 4 лекции); Бедлево, Польша, 28-31 марта, 2012.

Публикации.

Результаты диссертации полностью опубликованы в 10-ти статьях автора, список которых приведен в конце автореферата. Все работы опубликованы в изданиях, входящих в действующий перечень ВАК.

Непосредственное отношение к теме диссертации имеют результаты, полученные автором совместно с А. М. Олевским в работах 10Д1Д2ДЗ Эти результаты в диссертацию не включены.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, замечаний об обозначениях, четырех глав, дополнения и списка литературы, содержащего 86 наименований. Объем диссертации 173 стр.

Краткое содержание диссертации

Содержание введения.

Во введении приводится краткий обзор ранее известных результатов и результатов диссертации.

Содержание главы 1.

Мы рассматриваем ряды Фурье

ке Z

(интегрируемых) функций / на окружности Т = R/27tZ, где К — вещественная прямая, Z — аддитивная группа целых чисел.

Пусть Л(Т) — пространство непрерывных функций / на Т таких, что последовательность коэффициентов Фурье / = {/(к), к Е Z} принадлежит I1. Снабженное естественной нормой

плит = №(£) = £ lim

fcez

пространство Л(Т) является банаховым пространством. Хорошо известно, что j4(T) является банаховой алгеброй (с обычным умножением функций).

10Lebedev V., Olevskil А., "С1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hörmander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

11 Lebcdcv V., Olevskii A., "Idempotents of Fourier multiplier algebra", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:5 (1994), 540-544.

12Lebedev V., Olevskil A., "Bounded groups of translation invariant operators", C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. I, 322 (1996), 143-147.

13Лебедев В. В., Олевский А. М., " U' -мультипликаторы Фурье с ограниченными степенями", Изв. РАН. Сер. матем., 70:3 (2006), 129-166.

Естественными расширениями пространства Л (Т) являются пространства ЛР(Т), 1 < р < 2, интегрируемых функций / на Т таких, что / принадлежит 1Р. Снабженные естественными нормами

пространства ЛР(Т), 1 < р < 2, являются банаховыми пространствами. Прир = 1 мы полагаем А\ = А.

Пусть имеется непрерывное отображение окружности в себя, т.е. непрерывная функция такая, что

Согласно известной теореме Берлинга-Хелсона 14 (см. также 15ЛС); если ||e^|U(T) = 0(1), n S Z, то отображение <р линейно (аффинно) с целым угловым коэффициентом: <p(í) = vt + </з(0), и G Z. Эта теорема дает решение проблемы П. Леви об описании эндоморфизмов алгебры Д(Т): все эти эндоморфизмы тривиальны, т.е. имеют вид f(t) -s- f(vt + t0). Другими словами, лишь тривиальные замены переменной допустимы в Л(Т). В самом деле, если отображение <р> таково, что для любой функции / S j4(T) мы имеем / о <р е ^4(Т), то, пользуясь стандартными рассуждениями (теоремой о замкнутом графике), видим, что оператор суперпозиции / —» / о <р является ограниченным оператором в Л(Т) и, поскольку экспонента emi с любой частотой n G Z имеет норму в Л(Т), равную 1, получаем ||e¿^|U(T) = 0(1), откуда в силу теоремы Берлинга-Хелсона следует линейность отображения ip.

Отметим также еще одну версию теоремы Берлинга-Хелсона: если U — ограниченный коммутирующий со сдвигами оператор в 11 такой, что ||{7"||¡i_,¡i = 0(1), п s Z, то U = ÇS, где £ — постоянная, |£| = 1, и S — оператор сдвига.

Вместе с тем, хотя теорема Берлинга-Хелсона устанавливает неограниченность норм Це'^Цд для нелинейных отображений ip : Т —»■ Т, характер роста этих норм при \п\ -> ос во многом неясен. То же касается поведения норм ||em¥,|U,,, Р > 1-Глава 1 посвящена изучению этих вопросов.

Отметим, что если отображение ip : Т —> Т непрерывно, то ip(t + 2тг) = íp{t) + 2ттк, где к G Z не зависит от t. Заменяя отображение <р на ¡po(t) = <f{t) — kt, мы получим вещественную функцию ipo на Т. При этом |]егтг!^0= Та-

ким образом, вместо нелинейных непрерывных отображений ip : Т —» Т можно рассматривать непостоянные непрерывные функции <р : Т —>• R. В этом случае нет надобности ограничиваться экспонентами с целыми частотами и можно равным образом изучать поведение экспонент е,Л¥> с вещественными частотами А.

14Beurling A., Helson H., "Fourier-Stieltjes transforms with bounded powers", Math. Scand., 1 (1953), 120-126.

15Кахан Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, M., 1976.

16Kahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, 1st. Naz. Alta Mat. Firancesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

1 /р

<p(t + 2тг) = ip(t) (mod 2тг).

Соответствующие результаты о поведении экспонент emv для нелинейных отображений ip : Т —> Т и целых частот п немедленно получаются в качестве простых следствий.

Приведем ранее известные результаты о поведении экспонент егХ{р в пространствах Ар.

Пусть С6(Т) — класс (комплекснозначных) функций наТ, имеющих непрерывную производную порядка ,s. Имеем С!(Т) С Л(Т) С ЛР(Т).

Нетрудно показать, что для любой вещественной функции ip £ С^Т) (и более того, для любой абсолютно непрерывной вещественной функции <р с производной из L2(T)) при 1 < р < 2 справедлива оценка

ll^|Up(T) = 0(|A|H), |А| —» оо, A SM (1)

(см.17 в случаер = 1; общий случай немедленно получается интерполяцией между I1 и I2).

С другой стороны, давно известны оценки снизу норм экспонент егА^ для функций класса С2. Предположим, что ip £ С2(Т) — вещественная непостоянная функция и 1 < р < 2. Тогда

||eiA1Up(T) > с|А|И, А е К, (2)

где с = с(р, <р) не зависит от А. При р = 1 эта оценка неявно содержится в работе 3. Л. Лейбензона 18 и в явном виде была получена Ж.-П. Каханом19 с использованием метода Лейбензона. В общем случае оценка (2) получена с использованием того же метода Л. Алпаром 20. Простое и короткое доказательство для случая р = 1 имеется в 21 и в общем случае — в 22.

Таким образом, если ip £ С2(Т) вещественная функция, tp ^ const, то

Не'^Нлдт) - |А|И, |А| -> оо, А € М, (3)

при всех р, 1 < р < 2. В частности

ii^ium ^ т

Отметим, что доказательство оценки Лейбензона-Кахана-Алпара (2) основано на лемме ван дер Корпута и существенно использует отделенность от нуля кривизны дуги графика функции ip, т.е. условие \<p"(t)| > р > 0, t £ I, где I — некоторый

17Кахал Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976; гл VI, § 3.

18Лейбензон 3. Л., "О кольце функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье", УМН, 9:3(61) (1954), 157-162.

19Kahane J.-P., "Sur certaines classes de séries de Fourier absolument convergentes", J. de Mathématiques Purés et Appliquées, 35:3 (1956), 249-259.

20Alpár L., "Sur une classe partiquliere de séries de Fourier á certaines puissances absolument convergentes", Studia Sci. Math. Hungarica, 3 (1968), 279-286.

21Кахан Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976; гл. VI, § 3.

22Lebedev V., Olevskií А., "С1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

интервал. Этот подход не позволяет рассматривать функции гладкости меньшей чем С2.

В общем случае (без предположений гладкости) рост норм ||elA^|U(T) может быть довольно медленным. Кахан показал (см.23), что если непостоянная непрерывная функция ip : Т —» R кусочно линейна, то

||e"*|U~log|A|. (4)

При р > 1 нормы ||e,A¥!|U (т) могут вовсе не расти; известно (см., например,24), что для любой кусочно линейной вещественной функции на Т имеем = 0( 1)

при всех р > 1. Таким образом, случай р > 1 отличается от случая р = 1.

Укажем теперь известные результаты в С1 -гладком случае (помимо оценки (1)). В работе 25 (совместная работа автора и А. М. Олевского) построена вещественная функция ср е С^Т), <р ф const, такая, что ||егЛ¥,||лр = O(l) при всех р > 1. Кроме того, эта функция нигде не линейна, т.е. не является линейной ни на каком интервале (и, таким образом, в определенном смысле, существенно отличается от кусочно линейных функций). Используя близкий метод, автор показал в 26, что для С1 -гладких функций нормы Це'^Цлт могут расти довольно медленно, а именно, если 7(A) > 0 и 7(A) —> оо, то существует нигде не линейная вещественная функция ip £ СХ(Т) такая, что

l|eiA*IUm = 0(7(|A|)log|A|). (5)

Таким образом, случай С1 -гладкой фазы ip существенно отличается от С2 -гладкого случая (см. (3)).

Приведем еще результат М. Н. Леблана 27: если вещественная функция <р € С:(Т) непостоянна и ее производная ip' удовлетворяет условию Липшица с показателем а, 0 < а < 1, то

i|eiV|U(T) - соШг (6)

Насколько нам известно — это единственная, ранее полученная, оценка снизу норм ||elAv:|U в случае, когда ip € С1, но дважды дифференцируемость функции tp не п ред п ол агается.

Особый интерес при исследовании поведения норм ||eiA^IUp представляет, на наш взгляд, случай р = 1. Напомним, что согласно теореме Берлинга-Хелсона, приведенной выше, если ip — непрерывное отображение окружности в себя, такое, что ||einv||^(T) = 0(l)i то V линейно. В связи с этой теоремой Каханом бы-

23Кахан Ж.-ГГ., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976; гл. VI, § 2.

24Lebedev V., Olevskil А., "С1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

25Lebedev V., Olevskil A., "C1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

26Лебедев В. В., "Диффеоморфизмы окружности и теорема Берлинга-Хелсона", Функц. анализ и его прил., 36:1 (2002), 30-35.

"Leblanc M. N., 'Sur la réciproque de l'inégalité de Carlson", C.R. Acad. Sci. Paris, Série A, 267 (1968), 332-334.

ла поставлена следующая проблема: выяснить, для каких последовательностей ui„, стремящихся к бесконечности, условие ||em¥!|U(T) = 0(шп) влечет линейность отображения <р. Отметим, что априори существование такой последовательности и, тем самым, возможное, принципиальное усиление теоремы Берлинга-Хелсона, — не очевидно. Никаких результатов на этот счет ранее не было. Для непрерывных кусочно линейных но не линейных отображений ip : Т —>■ Т имеем llemv:|U(T) — l°gM (см. (4)). Может ли (для нелинейных непрерывных*^) рост норм ||ет^||л(т) быть медленнее логарифмического — неизвестно. Кахану принадлежит гипотеза о том, что из условия ||ет^||л(т) = °(bg|n|), \п\ оо, следует, что <р линейно. Насколько известно автору, впервые проблема об усилении теоремы Берлинга-Хелсона и гипотеза о минимальности логарифмического роста были сформулированы Каханом в докладе на Международном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 г. 28 Позднее они отмечались Каханом в 29 и 30.

В § 1 получено частичное решение проблемы Кахана. А именно, мы получаем следующее усиление теоремы Берлинга-Хелсона.

ТЕОРЕМА 1. Пусть <р : Т —t Т — непрерывное отображение. Предположим, что

nez' |пИо°' (7)

Тогда ip — линейно, т.е. (p(t) = ut + <р(0). и £ Z.

Идеологически доказательство нашей теоремы до некоторой степени близко к доказательству теоремы Берлинга-Хелсона, изложенному Каханом в 31 (доказательство в 31 основано на совершенно другой идее нежели оригинальное доказательство Берлинга и Хелсона 32>33). Мы модифицируем рассуждения Кахана и применяем их не к группе Т, а к циклической группе IV при больших ./V и не к самому отображению (р, а к отображению (pN, которое на хорошо приближает отображение ip, и значения которого — рациональные числа "с малым общим знаменателем". Такое отображение строится при помощи теоремы Дирихле о совместных диофантовых приближениях. В доказательстве используется теорема Грина -Конягина 34, точнее ее важный частный случай, который для простых N дает оценку количества элементов произвольного множества Е С Тдг через 11

28Kahane J.-P., "Transformées de Fourier des fonctions sommables", Proceedings of the Int. Congr. Math., 15-22 Aug., 1962, Stockholm, Sweden, Inst. Mittag-Leffler, Djursholm, Sweden, 1963, pp. 114-131.

29Kaxan Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, M-, 1976.

30Kahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, 1st. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

31Kahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, 1st. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

32Beurling A., Helson H., "Fourier-Stieltjes transforms with bounded powers", Math. Scand., 1 (1953), 120-126.

33Кахан Ж.-П., Абсолютно сходящиеся ряди Фурье, Мир, М., 1976.

34Green В., Konyagin S., "On the Littlewood problem modulo a prime", Canad. J. Math., 61:1 (2009), 141-164; теорема 1.3.

-норму преобразования Фурье (на IV) его характеристической функции.

В конце параграфа указана соответствующая операторная версия полученной теоремы и обсуждаются некоторые открытые проблемы.

В дальнейшей части главы изучается поведение экспонент с С1 -гладкой фазой в общем случае пространств Ар, 1 < р < 2.

В § 2 получены оценки снизу норм Це'^Щ,, для С1 -гладких вещественных функций <р на Т. Пусть задана непрерывная неубывающая функциям на [0, +ос) такая, что ш(0) = 0. Через С1:Ш(Т) обозначим класс непрерывно дифференцируемых функций д на Т таких, что = 0(ш(5)), 5 —>■ +0, где

со(д',5)= sup \д'(и) - g'(t2)\, 6> 0, \ti-t3\<S

— модуль непрерывности производной д' функции д. В случае uj(S) = 5а, мы пишем просто С1-" вместо С*'5'.

Мы показываем, что справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2. Пусть 1 < р < 2. Пусть <р — вещественная функция на Т. Предположим, что ip непостоянна и €Е С1,Ы(Т). Тогда

> «1Л11/Р X"1 (щ), A6R, |А|>1, (8)

где х-1 — функция, обратная к х(<5) = <5w(<5), и с = с(р, ф) > 0 не зависит от А.

Для фазовых функций, производная которых удовлетворяет условию Липшица с показателем а, из теоремы 2 немедленно получаем

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть 0 < а < 1. Если ip — вещественная непостоянная функция на Т и £ С1,а(Т), то при всех р, 1 < р < 1 4- а, имеем

А € К. (9)

В частности, ||е1Л¥!||^(Т) > с|А|т+^.

Отметим, что это следствие дает, в частности, усиление оценки Леблана (6). Ясно также, что для (р € С2 имеем а = 1, и оценка (9) влечет оценку Лейбензона-Кахана-Алпара (2).

Отметим также, что оценка Лейбензона-Кахана-Алпара имеет локальный характер; грубо говоря, она остается в силе, если предположить, что f нелинейна на некотором интервале и имеет на этом интервале требуемую гладкость. Наши оценки снизу также носят локальный характер (теорема 2').

Наконец отметим, что метод доказательства теоремы 2 не имеет ничего общего с методом, использованным для доказательства теоремы 1; в С1 -гладком случае

мы используем метод, который уместно назвать методом концентрации больших значений преобразования Фурье.

В § 3 для каждого класса С1" мы строим нетривиальную функцию <*р € дающую медленный рост норм Це'^Цл , тем самым мы показываем, что оценка (8) теоремы 2 близка к окончательной, а в некоторых случаях является окончательной, а именно, мы показываем, что верна следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть и(26) < 2ы(6) при всех достаточно малых 6 > 0. Существует нигде не линейная вещественная функция <£> 6 С1:Ш(Т) такая, что

« и«

(¡У < -=р(/1Л1 (Х"'(|))Р Ле«. 1Л1 й2>

при всех р, 1 < р < 2. Положительные константы с, ср не зависят от А.

Полагая ш(6) = 6а, 0 < о- < 1, в теореме 3 и пользуясь следствием 1, а также тривиальной оценкой Не'^Цл >1, 1 < р < 2, немедленно получаем

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть 0 < а < 1. Существует нигде не линейная вещественная функция <р € С1'а(Т) такая, что

(и) ||ез<Л¥,||лр(Т) ^ при 1<р<1 + а,

||^||ар(т) - 1 при 1 + а < р <2, ||е*"1к(Т) = 0((1о8 |Л|)1/р) при р=1 + а.

Таким образом, при р ф 1 оценка следствия 1 окончательна; среди нетривиальных функций класса С1'", функция <р из следствия 2 дает минимально возможный рост норм ||е,Л¥,|]л при I < р < 2, р ^ 1 + а.

Другим следствием теоремы 3 является приведенный выше результат автора о существовании нетривиальных С1 -гладких функций <р с крайне медленным (как угодно близким к логарифмическому) ростом норм (см. (5)), а именно мы

получаем

СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть 7(Л) > 0 и 7(Л) —> +оо при А +оо. Существует нигде не линейная вещественная функция £ С'(Т) такая, что

||е^|и(Т) = 0(7(|Л|)^|Л|), |А| —» оо, АеК.

Отметим, что наш метод построения нелинейных функций заданной гладкости, дающих медленный рост, является развитием метода, использованного в совместной работе автора и А. М. Олевского 35 при построении уже указанного выше примера (нигде не линейной) С1 -гладкой фазовой функции <р> такой, что l|eiAi3|Up(T) = 0(1) при всех р > 1.

В § 4 рассмотрены С1 -гладкие отображения окружности в себя и даны соответствующие версии результатов, полученных в §§ 2, 3. Эти версии (теоремы 4, 5) имеют естественные приложения к изучению операторов суперпозиции f —У f °<р в пространствах Ар. В частности, мы указываем гладкость, которой может обладать нелинейное отображение v? : Т —Т такое, что / о ip £ ПР>1 ^р Для любой функции / 6 А.

Отметим, что, как было показано ранее автором совместно с А. М. Олевским, если С1 -гладкое отображение <р порождает ограниченный оператор суперпозиции в Ар{Т) при каком либо р, р ф 2, то <р линейно 36.

В § 5 мы распространяем, полученные в §§ 2, 3 результаты о поведении норм Ik^lUp на многомерный случай. Пусть Л(Тт) — пространство непрерывных функций / наш -мерном торе Tm таких, что последовательность коэффициентов Фурье / = {/(£), k £ Zm} принадлежит 11{Ът). При 1 < р < 2 пусть Ар{Тт) -пространство интегрируемых функций / на Тт таких, что / £ 1р(Хт). При р = 1 полагаем А\ = А. Снабженные естественными нормами

/ ^ \ 1/Р

Ikcr») = WfWm = ( £ 1Я*)П

^ kezm '

пространства Ар(Тт) являются банаховыми (1 < р < 2), причем А(Тт) — банахова алгебра (с обычным умножением функций).

Пусть С8(Тт) — класс (комплекснозначных) функций на торе Тт таких, что все частные производные порядка я непрерывны.

В многомерном случае для фазовых функций <р гладкости С2 (и выше) поведение норм ||егА^||А ранее рассматривал Хедстром 37. Как и в одномерном случае, легко получить оценку сверху, так, например 38, если <р € С8(Тт), я >

35Lebedev V., Olevskii А., "С1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

36Lebedev V., Olevskii A., "C1 changes of variable: Beurling-Helson type theorem and Hormander conjecture on Fourier multipliers", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:2 (1994), 213-235.

37Hedstrom G. W., "Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables", Michigan Math. J., 14:4 (1967), 493-495.

38Чтобы убедиться в этом, достаточно повторить, с очевидными изменениями, рассуждения, использованные при т = 1 в гл. VI, § 3 книги Кахана Абсолютно сходящиеся ряды Фурье, Мир, М., 1976.

m/2, то > 2, то Не^Нлст™) = 0(|A|m/2) (в 39 эта оценка, являющаяся многомерным аналогом оценки (1) для р = 1, получена при несколько иных предположениях гладкости). В той же работе Хедстрома 40 получена следующая оценка снизу: если <р £ С2(Тт) — вещественная функция такая, что матрица ее вторых производных имеет определитель, не равный тождественно нулю, то

||е<А1Ц(Т") > ФГ/2- (Ю)

Этот результат является многомерным вариантом результата Лейбензона-Кахана, т.е. оценки (2) при р = 1. Доказательство заключается в сведении к одномерному случаю.

Основным результатом § 5 является теорема 6, являющаяся многомерным аналогом теоремы 2. Мы получаем многомерный вариант нашей оценки (8), т.е. оценку снизу норм ||егА^||лр(т™) Для С1 -гладких вещественных функций ip на торе Тт. При этом мы предполагаем, что множество значений V(/p(Tm) градиента 'Vip функции <р имеет положительную (лебегову) меру; в этом случае мы говорим, что градиент функции <р невырожден. Это условие является заменой условия нелинейности (непостоянства) в многомерном случае. Основой доказательства теоремы является естественная модификация метода концентрации больших значений преобразования Фурье, использованного в § 2 для одномерного случая.

Отметим, что для С2 -гладких функций р наше условие невырожденности градиента равносильно условию det(d2ip/dtidtj) ф 0. Это следует из теоремы Сарда о критических значениях (см., например,41) и теоремы об обратном отображении, примененных к отображению V<p.

Для фазовых функций с градиентом, удовлетворяющим условию Липшица с показателем а, теорема 6 влечет следствие 4, являющееся многомерным вариантом следствия 1. Частный случай следствия 4 при а = 1 (следствие 5) немедленно влечет результат Хедстрома (10).

Далее, для каждого класса фазовых функций заданной гладкости мы строим фазу р, имеющую нигде не вырожденный градиент, такую, что нормы ||егА^|и (тт) растут очень медленно (теорема 7 и ее следствия 6, 7). Для одномерного случая это сделано в § 3. Общий случай легко получить из одномерного, т.е. из теоремы 3.

Отметим еще, что, пользуясь вполне стандартными методами, мы получаем многомерный аналог оценки (1) (теорема 8) и с учетом нашей оценки снизу получаем многомерный аналог соотношения (3) (теорема 9).

Содержание главы 2.

Пусть D — ограниченная область (открытое связное множество) в К", п > 2. Рассмотрим ее характеристическую функцию т.е. функцию на М", принима-

39Hedstrom G. W., "Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables", Michigan Math. J., 14:4 (1967), 493-495.

40Hedstrom G. W., "Norms of powers of absolutely convergent Fourier series in several variables", Michigan Math. J., 14:4 (1967), 493-495.

41Ниренберг Л., Лекции no нелинейному функциональному анализу, Мир, М., 1977; гл. 1, § 2.

ющую значение 1d(í) = 1 при ígDh значение 1d(í) = 0 при t ф D. Рассмотрим преобразование Фурье 1ц этой функции. В главе 2 изучается следующий вопрос: для каких областей D мы имеем 1ц S 1^(МП)? Интерес представляет лишь случай 1 < р < 2.

Удобно иметь дело с пространствами j4p(R"), 1 < р < со, умеренных распределений / на R" таких, что преобразование Фурье / принадлежит LP(M"). Норма в j4p(R") определяется естественным образом: ||/|UP(R") — |¡/||lp(R")-

Прямое вычисление показывает, что если D — куб в Rn, то 1д £ Лр(Мп) при всехр > 1. То же верно в случае, когда D — многогранник (т.е. конечное объединение симплексов). С другой стороны, пользуясь хорошо известной ассимптотикой функций Бесселя, можно убедиться, что если D С R" — шар, то € j4p(R") при р > 2п/(п+1) и 1 d при р < 2п/(п+1). Такой же результат имеет место

в общем случае для ограниченных областей с дважды гладкой границей. (Это вытекает из теорем 1, 2 главы 2.) Таким образом, для ограниченных областей с С2 -гладкой границей 2п/(п + 1) является критическим значением показателя интегрируемости преобразования Фурье характеристической функции.

Мы получаем ряд результатов о поведении преобразования Фурье характеристических функций ограниченных областей с С1 -гладкой границей. Этот случай, вообще говоря, существенно отличается от дважды гладкого; в § 3 мы строим пример области D С R2, граница которой С1 -гладкая, и вместе с тем S j4p(R2) при всех р > 1. (Критическое значение для плоских областей с дважды гладкой границей равно 4/3.)

Отметим, что различные вопросы о поведении на бесконечности (порядке убывания к нулю) преобразования Фурье характеристических функций областей и близкие вопросы о поведении преобразования Фурье (гладких) мер, сосредоточенных на поверхностях, исследовались многими авторами и относятся к классической тематике гармонического анализа, см. обзорную статью И. Стейна 42, где имеется обширная библиография, а также его книгу 43 (гл. VIII). Основными инструментами для получения асимптотических оценок в этих исследованиях являются метод стационарной фазы и лемма ван дер Корпута. Применение этих методов требует значительной гладкости границы области, как минимум равной двум уже в плоском случае. Важнейшую роль при таком подходе играет кривизна поверхности (границы области). Наш подход не использует никаких соображений, связанных с кривизной, и позволяет рассматривать области с С1 -гладкой границей.

Мы обозначаем границу области D С R" через 3D. Говоря, что граница области D является С1 -гладкой или С2 -гладкой, мы имеем ввиду, что в окрестности

42Стейн И. М., "Некоторые проблемы гармонического анализа, связанные с понятием кривизны и осцилля-торными интегралами", в кн. Международный конгресс математиков в Беркли, 1986. Обзорные доклады, Мир, М., 1991, 297-332.

43Stein Е. М., Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1993.

каждой своей точки граница 3D является графиком некоторой (вещественной) функции класса С1 или С соответственно (т.е. функции, у которой все частные производные первого или второго порядка соответственно — непрерывны).

Для всякой области D С R" с С1 -гладкой границей пусть vd{x) — единичная внешняя нормаль к 3D в точке х £ 3D. Возникающее таким образом отображение ъ*п : 3D —> Sn~l границы области D в единичную сферу Sn~] с центром в начале координат мы называем нормальным отображением. Через S) обозначим модуль непрерывности отображения vjy\

u(i/d,5)= sup \vD(x) - uD{y)\, 5 > 0,

x,y edD; |x-j/|<i

где |u| — длина вектора и £ Kn. Пусть далее w(ö) — произвольная неубывающая непрерывная функция на [0, оо) такая, что ш(0) = 0. В случае, когда w{vd,ö) = 0(w((5)), S —» +0, мы говорим, что граница 3D является С1,ш -гладкой 44.

Если граница 3D области D является С1 -гладкой, С2 -гладкой или С1ш -гладкой, то мы пишем 3D £ С1, 3D £ С2, 3D £ С1'", соответственно. Если w(£) = öa, 0 < а < 1, то мы пишем просто С1,а вместо С1'*5".

В § 1 мы получаем следующую простую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Пусть D — ограниченная область в М", п > 2, такая, что 3D £ С\ Тогда Id £ при всех р > 2п/(п + 1).

Для выпуклых областей (без предположения гладкости границы) такое утверждение было ранее получено К. Герцем 45.

В § 2 получен основной результат главы 2. А именно, мы показываем, что справедлива следующая

ТЕОРЕМА 2. Пусть Б — ограниченная область в М", п > 2, такая, что дБ £ С1'". Если

<■1 ¿п(р-1)-1

<15 = оо, (11)

J о

/о И<5))"-р

то \г>£ Ap{Rn).

Из теоремы 2 немедленно получаем

44 Для ограниченных областей это условие эквивалентно тому, что в окрестности каждой своей точки граница области D является графиком некоторой функции класса С1,ш. Другими словами — для каждой точки х с 3D можно найти окрестность В, содержащую х. и область V С R"-1 такую, что В П OD является графиком некоторой (вещественной) функции <р е C1,UI(V), т.е. функции с условием w(V, Viр, S) = 0(u(i)), ö -> +0, где

u{V,Vtp,S)= sup |Vip(i) - i>0,

\x-y\<5

— модуль непрерывности градиента функции <p.

45Herz С. S., "Fourier transforms related to convex sets", Ann. of Math., 75:1(1962), 81-92.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть 0 < а < 1. Пусть В — ограниченная область в К", п > 2, такая, что дБ £ С1,а. Если

то 1п ф АР(ЯГ).

В свою очередь, отсюда, полагая а = 1 и учитывая теорему 1, получаем уже упомянутое утверждение о критическом показателе для областей с дважды гладкой границей, более того — эффект критического показателя имеет место в С1,1 -гладком случае, а именно, мы получаем

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть О — ограниченная область в М", п > 2, такая, что дБ € с1'1. Тогда 10 е при р > 2п/(п + 1) и 1П $ при р <

2п/{п+1). В частности, это так для ограниченных областей с дважды гладкой

В § 3 рассматриваются плоские области. В соответствии с теоремой 2 видим (см. (11)), что если для области £) С М2 мы имеем сШ е С1,ш и

то £ ЛР(М2). В частности, если дБ € С1'0, то 1с £ Лр(М2) при р< 1+а/(2+а). Мы показываем, что (при некотором простом условии, наложенном на ш) этот результат является точным, а именно справедлива

ТЕОРЕМА 3. Пусть ш(25) < 2ш(5) при всех достаточно малых 8 > 0. Существует ограниченная область ЙС12с С1'ш -гладкой границей такая, что 1д £ Лр(К2) при всехр, 1 < р < 2, для которых

Кроме того, граница области I) не содержит отрезков.

Условие отсутствия отрезков на границе означает, что построенная область существенно отличается от многоугольников.

Из этой теоремы немедленно вытекают приведенные ниже следствия.

СЛЕДСТВИЕ 3. Для любого а, 0 < а < 1, существует ограниченная область Б С М2 с С1'" -гладкой границей такая, что 1д £ ЛР(К2) при всех р > 1 + а/(2 + а). Граница области И не содержит отрезков.

границей.

СЛЕДСТВИЕ 4. Существует ограниченная область В С К2 с С1 -гладкой границей такая, что Id S ПР>1 А>(®2). Граница области D не содержит отрезков.

Результаты главы 2 существенным образом опираются на результаты главы 1. Простые соображения (лемма 1 главы 2) позволяют свести изучение характеристических функций областей к изучению поведения экспонент.

Содержание главы 3.

Пусть С(Т) — класс непрерывных (комплекснозначных) функций на окружности Т. Мы рассматриваем некоторые пространствах функций на Т, естественным образом связанные с разложением в ряд Фурье, и изучаем следующий вопрос об устойчивости непрерывных функций в этих пространствах: какие функции / G С(Т) обладают тем свойством, что для любого гомеоморфизма h окружности Т на себя суперпозиция / о h принадлежит X?

Первые результаты в этом направлении получены К. Гоффманом и Д. Ватер-маном 46, а также А. Бернстайном и Д. Ватерманом 47 в случаях, когда X — это соответственно пространство функций, имеющих сходящийся всюду ряд Фурье, и пространство функций, имеющих равномерно сходящийся ряд Фурье. Д. Ватер-ман 48 рассматривал пространства функций, имеющих заданную скорость убывания коэффициентов Фурье, и показал, что для произвольной функции / € С(Т) следующие условия эквивалентны:

(i) / о h(n) = 0(7(М)/М)) M —> оо, для любого гомеоморфизма h; (H) V(f,n) = Ofr(n)). Здесь 7 — заданная функция, удовлетворяющая некоторым простым условиям, и V(f:п) — модуль вариации функции /, введенный 3. А. Чантурией 49 (см. также 50'51) и позже, независимо, Е. А. Севастьяновым 52, а именно:

п j=i

где п фиксировано и верхняя грань берется по всевозможным наборам попарно непересекающихся интервалов (a.j, bj) С Т, j = 1, 2,..., п. В частности, / о h(n) =

46GofFman С., Waterman D., "Functions whose Fourier series converge for every change of variable", Proc. Amer. Math. Soc., 19:1 (1968), 80-86.

47Baernstein A., Waterman D., "Functions whose Fourier series converge uniformly for every change of variable", Indiana Univ. Math. J., 22 (1972), 569-576.

48 Waterman D., "On the preservation of the order of magnitude of Fourier coefficients under every change of variable", Analysis, 6:2-3 (1986), 255-264.

49Чантурия 3. A-, ''Модуль изменения функции и его применения в теории рядов Фурье'', ДАН СССР, 214:1 (1974), 63-66.

50Чантурия 3. А., "Об абсолютной сходимости рядов Фурье", Матем. заметки, 18:2 (1975), 185-192.

51Чантурия 3. А., "О равномерной сходимости рядов Фурье:", Матем. сб., 100(142):4(8) (1976), 534-554.

Севастьянов Б. А., "Кусочно монотонная аппроксимация и Ф -вариация", Arial. Math., 1:2 (1975), 141-164.

0(1/|п|) для любого гомеоморфизма к тогда и только тогда, когда / — функция ограниченной вариации.

Отметим, что нетривиальная часть теоремы Ватермана — это утверждение (¿)=>(н). Импликация (п)=>0) доказывается следующим образом. Пользуясь хорошо известной оценкой |д(п)| < сш\(д, 1/|п|) коэффициентов Фурье через Ь1 -модуль непрерывности (см. о3) и оценкой со\{д, 1/гс) < сУ{д,п)/п, полученной в 54, мы имеем |з(п)| < сУ(д, |гг|)/|п|, тг 6 Ъ, п ф 0, и остается лишь заметить, что модуль вариации функции инвариантен относительно замен переменной, т.е. У(/, п) = V{f о Н, п) для любого гомеоморфизма /г : Т —> Т. Подобная ситуация является типичной для ряда пространств. В вопросе устойчивости нетривиальным является получение необходимого условия устойчивости. Достаточное условие обычно получается сравнительно просто.

Наши результаты об устойчивости формулируются в основном в терминах модуля квадратичной вариации. Напомним, что квадратичная вариацияфункции / на Т определяется соотношением

¿=1

где верхняя грань берется по всем п и всем наборам попарно непересекающихся интервалов (а^, Ь^) С Т, ] — 1,2,..., п. Определим модуль квадратичной вариации Х^/, п), п= 1, 2,..., функции /, полагая

¿=1

где п фиксировано и верхняя грань берется по всевозможным наборам из п попарно непересекающихся интервалов (aj, С Т, 7 = 1,2,..., п.

В § 1 получены две общие теоремы об устойчивости. В дальнейшем (в §§ 2, 3) эти теоремы используются при описании классов устойчивых функций в ряде конкретных пространств. Основным результатом является теорема 1, которая дает необходимое инвариантное условие устойчивости для достаточно широкого класса пространств функций на окружности.

Изложим результаты § 1 подробнее. Мы рассматриваем линейные нормированные пространства X функций на окружности Т, обладающие следующими свойствами:

(a)ХС^(Т);

(b) если д е X, / 6 !'(Т) и |/(А;)| < \д{к)\ при всех к е 2, то / € X и

И/Их < ПзНх;

(c) если последовательность функций /„ € X, п = 1,2,..., сходится в Ь](Т) к функции / и ||/п||х < с, п = 1,2,..., то / € X и ||/||х < с:

53Бари Н. К., Тригонометрические ряди, Физматгиз, Мм 1961.

54Чантурия 3. А., "Об абсолютной сходимости рядов Фурье", Магпем. заметки, 18:2 (1975), 185-192.

(а) при любом пей оператор £)п : / —Iу е„/ умножения на экспоненту е„(£) = егп4 € Т, является ограниченным оператором в X, и существует о > 0 такое, что ||д„|| = 0(|п|ст), |п| оо;

(е) характеристическая функция 1 / любого интервала 7 С Т принадлежит X. Простым примером таких пространств являются пространства Лр(Т), 1 < р < 2. Другим примером служат пространства Соболева ТУ2Л(Т). О < Л < 1/2, состоящие из функций / € ¿5(Т) таких, что

Для произвольного пространства X со свойствами (а)-(е) положим

ах(£) = ||1(-г, г) ||х , 0 < 5 < тт.

Отметим, что для многих пространств получить оценку величины ах(<5) не представляет труда.

Нами получена следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть линейное нормированное пространство X функций на окружности Т обладает свойствами (а)-(е). Пусть / 6 С(Т). Предположим, что для любого гомеоморфизма к окружности Т на себя суперпозиция / о Н принадлежит X. Тогда

Отметим особую роль свойства (е). Как оказалось, если пространство X обладает свойствами (a)-(d), но не обладает свойством (е), то всякая непрерывная функция, остающаяся в X после любой замены переменной, постоянна. При этом вместо свойства (Ь) достаточно потребовать, чтобы X обладало следующим более слабым свойством:

(Ь') если / G X, то при любом в & Т функция f$(t) = f(t + в) принадлежит X.

Справедлива

ТЕОРЕМА 2. Пусть линейное нормированное пространство X функций на Т обладает свойствами (а), (Ь'), (с), (d), но не обладает свойством (е). Пусть f S С(Т). Предположим, что для любого гомеоморфизма h окружности Т на себя суперпозиция f о h принадлежит X. Тогда / = const.

В частности, отсюда получаем, что в пространстве Л(Т) устойчивы лишь постоянные. Последний факт был впервые отмечен А. М. Олевским 55,°6.

55Олевский А. М., "Модификации функций и ряды Ф>фье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

56 О поиски й А. М., "Гомеоморфизмы окружности, модификации функций и ряды Фурье", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.

1/2

n —> oo.

В §§ 2, 3 мы рассматриваем ряд конкретных пространств функций и описываем функции устойчивые в этих пространствах. Необходимые условия устойчивости получаются применением общей теоремы 1 (или теоремы 2). Достаточные условия получены вполне стандартными методами (см. лемму 5 гл. 3). Для некоторых пространств нам удалось получить полное описание соответствующих классов устойчивых функций.

Напомним, что слабое пространство lp, 1 < р < оо, — это пространство последовательностей комплексных чисел х = {х^, к £ Z} таких, что

card{fc 6 Z : |х*| > Л} = 0(1/Ар), Л —> +0,

где card Е — число элементов (конечного) множества Е. Класс функций с последовательностью коэффициентов Фурье из слабого 1Р уместно называть слабым Ар.

В § 2 рассматриваются пространства функций наТ с заданным распределением преобразования Фурье. Пусть задана непрерывная строго возрастающая функция ip на некотором отрезке [0, Л0] (Ао > 0) такая, что ¡¿(0) == 0. Рассмотрим пространство (интегрируемых) функций / на Т таких, что

card{& е Z :\f(k)\ > А} = 0( 1/<р(Л)), А -5- +0.

При некоторых дополнительных предположениях относительно <р мы показываем (теорема 3), что для устойчивости функции / € С(Т) в этом пространстве необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие V2(/, п) = 0(гар~1(1/п)), тг —> оо (где ip— функция, обратная к ip).

Из этого результата, полагая <^(А) = Ар, немедленно получаем описание класса функций устойчивых в слабом Ар. А именно, справедливы следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА 4. Пусть f £ С(Т). Следующие условия эквивалентны:

(i) для любого гомеоморфизма h окружности Т на себя имеем

card{fceZ: \T°h(k)\ > A} = oQ^, А -> +0;

(ii) функция f имеет ограниченную квадратичную вариацию.

ТЕОРЕМА 5. Пусть 1 < р < 2. Пусть f £ С(Т). Следующие условия эквивалентны:

(i) для любого гомеоморфизма h окружности Т на себя имеем

card{fceZ: \f7h{k)\>\} = o(J^j, А->+0;

(ii) V2{f,n) = 0{nlli), n -> оо, где 1/p+l/q = 1.

Отметим, что в некоторых случаях условия устойчивости, сформулированные в терминах роста модуля квадратичной вариации п), можно эквивалентным образом дать в терминах роста модуля вариации V(f,n). Ясно, что V(f,n) < nll2V2{f,n). Между тем, можно оценить V2{f,n) через V(f,n). В частности, при 7 > 0 имеем п) = 0(п7) тогда и только тогда, когда V(f,n) = 0(п1/2+7) (лемма 7 и следствие 1).

В § 3 рассматриваются пространства ЛР(Т), пространства Соболева И/2Л(Т) и некоторые другие пространства функций на Т. Несложно показать, что (мы считаем функцию / непрерывной) при 1 < р < 2 условие Yl'^LiiViif, п)/п)р < оо влечет / S Ар. Поскольку указанное условие инвариантно относительно суперпозиций функции / с гомеоморфизмами, из него следует, что / о h € Ар для любого гомеоморфизма h. С другой стороны, из теоремы 5 немедленно получаем, что (при 1 < р < 2) если / о h € Ар для любого гомеоморфизма h, то V<z{f, п) = 0{nllq). (Это также легко получить напрямую, применяя общую теорему 1 к пространству X = Ар, достаточно лишь заметить, что при р > 1 имеем а^р(Т)((5) ~ 5l!q.) Таким образом верна

ТЕОРЕМА 6. Пусть 1<р<2и/е С(Т). Тогда:

то / о Н £ Лр(ТГ) для любого гомеоморфизма Н : Т —> Т; в частности это так,

если \/2(/,п) = 0(п1''?_е) при некотором е > 0 (1 /р+ 1/<? = 1);

2) если /оН € ^4р(ТГ) для любого гомеоморфизма И : Т —¥ Т, то п) = 0(п1^).

Тем самым, нами получен частичный ответ на поставленный А. М. Олев-ским а7,°8 вопрос об описании функций, устойчивых в Ар. Отметим еще, что из теоремы 6 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть / € С(Т). Следующие условия эквивалентны: (¡) / о К € Пр>1 АрС^) для любого гомеоморфизма И : Т —> Т; (и) при любом е > 0 имеем п) — 0(пе), п —> оо.

Результат подобный теореме 6 имеет место для пространств ТУ2Л; 0 < А < 1/2, а именно верна

570левский А. М., "Модификации функций и ряды Фурье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

580левский А. М., "Гомеоморфизмы окружности, модификации функций и ряды Фурье", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976989.

1) если

ТЕОРЕМА 7. Пусть 0 < А < 1/2 и f £ С(Т). Тогда:

1) если

п=1 4 '

то / о h £ (Т) для любого гомеоморфизма h : Т —Т; в частности это так, если V2(f,n) = 0(п1/2_А_£) при некотором е > 0;

2) если f oh £ И^(Т) для любого гомеоморфизма h : Т —» Т, то V2{f,n) = 0{пУ2-х).

Доказательство "сложной части" этой теоремы, т.е. утверждения 2) немедленно получается применением теоремы 1 к пространству X = Вопрос о точном описании непрерывных функций, устойчивых в Ар, 1 < р < 2, и в W0 < Л < 1/2, остается открытым. Что касается пространств А > 1/2, то соответствующий класс устойчивых непрерывных функций содержит лишь постоянные (это вытекает из теоремы 2).

Мы также рассматриваем класс функций / таких, что соответствующая сопряженная функция (преобразование Гильберта) / принадлежит L°°. Хорошо известно, что существуют непрерывные функции на Т, сопряженные к которым не принадлежат L°° Мы показываем, что (теорема 8) если / е С(Т) и для любого гомеоморфизма h окружности Т функция / о h, сопряженная к f oh, принадлежит L°°(Т), то / = const. Этот результат получается применением теоремы 2.

Отметим еще, что из нашего результата о функциях, устойчивых в Ар, вытекает (теорема 9) усиление полученного в 59 результата о функциях, устойчивых в пространствах 1Р -мультипликаторов Фурье.

В § 4 рассматривается вопрос об устойчивости в многомерном случае. Этот случай существенно отличается от одномерного. Мы показываем (теорема 10), что при некоторых предположениях (аналогичных условиям (а), (К), (с), (d)) относительно пространства X функций на торе Td, d > 2, либо L°°(Td) С X, и, следовательно, всякая непрерывная функция устойчива в X, либо устойчивы лишь постоянные. Причина этого в том, что группа гомеоморфизмов тора Td при d > 2 слишком массивна. Из этой теоремы немедленно следует, что, в отличие от одномерного случая, при d > 2 в пространствах Ap(Td) = {/ S L^T^) : / S lp(Zd)}, 1 < p < 2, нет непостоянных непрерывных устойчивых функций. Более того, при помощи этой теоремы мы получаем следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 11. Пусть f — непрерывная функция на Td, d > 2, такая, что f°h€{Ji<p<2Ap(Td) для любого гомеоморфизма h mopaTd на себя. Тогда f = const.

5901evskii V., "Variation, homeomorphisms, and Fourier multipliers", C. R. Acad. Sci. Paris Sir. I Math., 325:6 (1997), 639-644.

Содержание главы 4.

В этой главе рассматриваются операторы суперпозиции в пространстве С/(Т) непрерывных функций на окружности Т, имеющих равномерно сходящийся ряд Фурье, и операторы суперпозиции в классах Пэли-Винера РИ/(М") функций из 1/2(Мп), преобразование Фурье которых имеет ограниченный носитель.

В § 1 рассматривается пространство II (Т). Это пространство, снабженное нормой

Н/Нщт) =5пр ИйИЛПесг),

где означает N -ую частичную сумму ряда Фурье функции / (и || ■ ||с(Т)

— обычная яир -норма в пространстве С(Т) непрерывных функций на Т), является банаховым пространством. Неизвестно, существуют ли нетривиальные (т.е. нелинейные) отображения окружности, действующие в£/(Т). А. М. Олевским 60 высказано предположение, что ответ на этот вопрос — отрицательный. Следуя обзорам А. М. Олевского 61,62 и Ж.-П. Кахана 63, приведем известные результаты. Алпар показал, что нетривиальные аналитические отображения не действуют в £/(Т). С другой стороны, всякий гомеоморфизм окружности, действующий в и (Т), должен быть абсолютно непрерывным — это немедленно вытекает из следующих двух результатов. Один из них — результат Д. М. Оберлина (см. 64), заключающийся в том, что всякая непрерывная функция, заданная на компакте ^ С Т нулевой меры, продолжается на Т до функции из С/(Т). Другой — (значительно более ранний) результат Д. Е. Меньшова, из которого следует, что никакой компакт положительной меры таким интерполяционным свойством не обладает (см. 65). Отметим, что вместе с тем, существуют нетривиальные отображения 1р такие, что ||еШ¥,||£/(т) = 0(1) (всякое такое отображение действует из -А(Т) в Е7(Т)). Так, например, Р. Кауфман, усилив один результат Алпара, показал, что это верно для любого отображения <р гладкости С3 и выше без точек одновременного вырождения производных порядка большего 1 (см.66).

Мы рассматриваем простой случай кусочно линейных отображений. Как оказалось верна следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть <р — кусочно линейное но нелинейное непрерывное отображение окружностиТ в себя. Тогда ||ет1|:!||с/(Т) — ^йМ)

60Олевский А. М., "Модификации функций и ряды Фурье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

61 Олевский А. М., "Модификации функций и ряды Фурье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

620левский А. М., "Гомеоморфизмы окружности, модификации функций и ряды Фурье", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, CA, USA, 1986), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 976 -989.

e3Kahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

64Олевский A. M., "Модификации функций и ряды Фурье", УМН, 40:3(243) (1985), 157-193.

65Бари Н. К., Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961; гл. VI, § 6.

66Kahane J.-P., "Quatre leçons sur les homéomorphismes du circle et les séries de Fourier", in: Topics in Modem Harmonie Analysis, Vol. II, Ist. Naz. Alta Mat. Francesco Severi, Roma, 1983, 955-990.

Разумеется, оценка сверху в этой теореме вытекает из уже указанной (в связи с результатами главы 1) оценки Кахана Не'^Нлрг) — l°g|nl- Мы лишь получаем оценку снизу. Из полученного результата следует, что кусочно линейные отображения не действуют из Л(Т) в £/(Т). Более того (это — немедленное следствие полученной оценки и теоремы о замкнутом графике, примененной к оператору / —> / о у), если <р — нетривиальная кусочно линейная замена переменной, то для любой последовательности w(n), п = 0,1,2,... неотрицательных вещественных чисел с условием w(n) = o(logn) найдется непрерывная функция / такая, что < оо, но / о ip £ U{Т). Разумеется, отсюда вытекает, что

такие замены переменной, вообще говоря, разрушают равномерную сходимость ряда Фурье.

В § 2 мы рассматриваем пространство PW(U.n) функций из L2(К"), преобразование Фурье которых имеет компактный носитель. При п — 1 соответствующий класс изучался Н. Винером и Р. Пэли 67. Отметим, что функции класса PW возникают в задачах обработки сигналов (в этой связи см., например, библиографию работы 68) и часто называются сигналами в ограниченном диапазоне (bandlimited signals). Очевидно, что линейные (аффинные) отображения R" действуют в РИ/(М"). Как показали Ш. Азизи, Д. Кокрэйн и Дж. Н. Макдо-нальд 69, если <р — гомеоморфизм прямой R на себя такой, что для любой функции / € PW(IR) мы имеем / о <р g Р1У(М), то отображение <р аффинно. Эти же авторы поставили вопрос 70 о том, верно ли аналогичное утверждение в многомерном случае.

Мы даем полное описание непрерывных отображений <р : Rm —* М", действующих из PW(К") в PW(Rm). Лишь инъективные аффинные отображения^ обладают этим свойством, а именно, справедлива

ТЕОРЕМА 2. Пусть tp — непрерывное отображением."1 в R". Следующие условия эквивалентны:

(i) для любой функции / £ Р1У(М") суперпозиция J о tp принадлежит PW(M.m);

(ii) ip — инъективное аффинное отображение.

В частности, отсюда получаем положительный ответ на указанный выше вопрос работы 71, более того, мы не предполагаем, что <р является гомеоморфизмом,

67Винер Н., Пэли Р., Преобразование Фурье в комплексной области, Наука, М., 1964.

68Azizi S., Cochian D., and McDonald J. N., "On the preservation of bandlimitedness under non-affine time warping", Proc. of the 1999 Int. Workshop on Sampling Theory and Applications (SAMPTA), Aug. 11-14, 1999, Loen, Norway, The Norwegian University of Science and Technology, pp. 37-40.

69Azizi S., Cochran D., and McDonald J. N., "On the preservation of bandlimitedness under non-affine time warping", Proc. of the 1999 Int. Workshop on Sampling Theory and Applications (SAMPTA), Aug. 11-14, 1999, Loen, Norway, The Norwegian University of Science and Technology, pp. 37-40.

<0Azizi S., McDonald J. N., and Cochran D., "Preservation of bandlimitedness under non-affine time warping for multi-dimensional functions", In: 20th Century Harmonic Analysis - A Celebration, J. S. Byrnes, ed., NATO Science Series, II Mathematics, Physics and Chemistry, 2001, V. 33, Kluwer, p. 369.

nAzizi S., McDonald J. N., and Cochran D., "Preservation of bandlimitedness under non-affine time warping for

и, таким образом, наш результат является новым даже в одномерном случае. Содержание добавления.

Пусть Ар (D) (1 < р < оо) — пространство функций

оо 72=0

аналитических в единичном круге .D = {z6<C:|z|<l} комплексной плоскости С таких, что последовательность коэффициентов Тейлора / = {/(«); п = 0,1,2,...} принадлежит 1Р. Для / € A+(D) положим ||/IU+(£>) = ||/||г»-

Аналитическая в D функция т называется 1Р -мультипликатором, если для всякой функции / 6 Ар (D) произведение т ■ f принадлежит Ар (D). Семейство всех таких мультипликаторов мы обозначаем через М+(D). Снабженное естественной нормой

1И1 M}(D) = SUP llm ' /IU+(D). 11/IU+tD)^1

M+(D) является банаховой алгеброй (с обычным умножением функций).

Нас интересует следующий вопрос: какие внутренние функции принадлежат M+(D)? Напомним, что аналитическая в D функция I называется внутренней, если \I{z)\ <1, z £ D, и |/(е'')| = 1 почти всюду. Обзор ряда результатов о внутренних функциях и мультипликаторах имеется в статье С. А. Виноградова 72. (Мы употребляем обозначаения A+(D) и M+(D) вместо использованных Виноградовым обозначений 1РА и MjJ.)

Хорошо известно 73, что M£(D) = M+(D) при 1 /р + 1 /q = 1, и

A+(D) = M+(D) = M+(D) С M+(D) С M+(D) = H°°(D), (12)

где H°°(D) — пространство Харди ограниченных аналитических функций в D.

Отметим, что поскольку M^(D) = M^{D) = A^(D) (см. (12)), внутренние функции в Mp(D) при р = 1, оо — это лишь конечные произведения Бляшке с точностью до множителя А £ С (только такие внутренние функции непрерывны в D вплоть до границы 74). Случай р = 2 тривиален, так как М^ {D) совпадает с пространством Харди H°°(D) (см. (12)). Таким образом, изучаемый нами вопрос интересен лишь в случае р ф 1, оо, 2.

В § 1 мы рассматриваем сингулярные внутренние функции, т.е. внутренние функции S, не имеющие нулей в D, такие, что 5(0) > 0. Всякая такая функция

multi-dimensional functions", In: 20th Century Harmonic Analysis - A Celebration, J. S. Byrnes, ed., NATO Science Series, II Mathematics, Physics and Chemistry, 2001, V. 33, Kluwer, p. 369.

72Виноградов С. А., "Мультипликативные свойства степенных рядов с последовательностью коэффициентов из ДАН СССР, 254:6 (1980), 1301-1306.

^Никольский Н. К., "О пространствах и алгебрах теплицевых матриц действующих в VСиб. матем. ж., 7 (1966), 146-158.

74Гарнет Дж., Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

имеет вид

S(z) = exp ( - [

V JdD £ — z

где ц — положительная сингулярная мера на окружности дБ — {г £ С : |г| = 1}. Мера ¡1 называется представляющей мерой функции 5. Замкнутый носитель этой меры называется спектром функции 5.

Как показал И. Э. Вербицкий 7о, сингулярная внутренняя функция

= ехр ^ — а^ ^, а > О

(спектр которой — одноточечное множество {1}), принадлежит М+(£>) лишь в тривиальном случае р = 2. Существуют ли вообще сингулярные внутренние функции 5 ф 1 в Мр(О), р ф 2? Ответ на этот вопрос, поставленный С. А. Виноградовым в 76, нам не известен. Тем не менее мы указываем ряд условий, характеризующих массивность замкнутых множеств на окружности, выполнение которых для произвольно взятого множества Е С сШ означает, что Е не может служить спектром никакой сингулярной внутренней функции из М+(.0) при р ф 2 (теоремы 1, 2 и их следствия 1, 2, 3). Грубо говоря, это имеет место, если Е недостаточно массивно. В частности, из этих условий следует, что если спектр сингулярной внутренней функции Я является непустым пористым множеством, то 5 принадлежит Мр (Л) лишь при р = 2.

В § 2 мы рассматриваем произведения Бляшке, т.е. функции вида

B(z) = zm П

- Zr, z- Zn

,n -il 1 znz

с нулями {zn} С D, удовлетворяющими условию

£(1 - knl) < ОО п=1

(всякая такая функция является внутренней). Известно, что если нули произведения Бляшке В имеют единственную предельную точку (на 3D) и накапливаются к ней очень быстро, то В £ Mp{D). Точнее, пусть В - произведение Бляшке с нулями {zn}, zn —» 1, такими, что

£ \l-zn\ = 0(e), (13)

п:|1-г„|<£

тогда В £ Пкр<ос Mp{D). Это теорема Виноградова-Вербицкого (первоначально она была доказана Виноградовым 77 в случае, когда zn стремятся к 1 некасатель-

75Вербицкий И. Э., "О мультипликаторах пространств 1РА ". Функц. анализ и его прил., 14:3 (1980), 67-68.

76Vinogradov S. A., "Multiplicative properties of ¡д". In: Linear and Complex Analysis Problem Book, Lect. Notes in Math., Vol. 1034, Springer-Verlag, 1984, pp. 572-574.

77Виноградов С. А., "Мультипликаторы степенных рядов с последовательностью коэффициентов из Zp". Зап. наунн. сем. ЛОМИ, 39(1974), 30-39.

но, и впоследствии распространена на общий случай независимо Виноградовым78 и Вербицким 79). Мы рассматриваем произведения Бляшке В с единственной предельной точкой нулей и при некотором дополнительном предположении о расположении нулей получаем условие, необходимое для включения В £ М* (D) (теорема 3). Пользуясь этим условием, мы показываем (теорема 4), что если нули произведения Бляшке стремятся к 1 некасательным образом, оставаясь в замкнутой верхней полуплоскости, то верно утверждение обратное к теореме Виноградова-Вербицкого: в этом случае, если В £ Mp{D) при каком-либо р ф 2, то выполняется (13).

Неясно, к каким множествам на dD могут накапливаться нули произведений Бляшке, принадлежащих Mp{D), р ф 2. Мы строим (теорема 5) произведение Бляшке, принадлежащее ПкР<оо такое, что множество предельных точек

его нулей совершенно.

Напомним, что в общем случае спектром внутренней функции I называется множество ст (7) всех £ £ С таких, что 1/1 не может быть аналитически продолжена в окрестность точки Как известно 80, всякая внутренняя функция I допускает факторизацию I = XBS, где А £ С, |Л| = 1, — постоянная, В — произведение Бляшке, и S — сингулярная внутренняя функция. При этом имеем a(I) = {zn} UsTTpp/i, где {zn} — замыкание множества нулей {zn} множителя Бляшке В и supp /i — замкнутый носитель представляющей меры сингулярного множителя S (см. 81). Отметим, что, как показано в 82, если спектр а(1) внутренней функции I в пересечении с граничной окружностью имеет положительную меру, то I ф Mp(D), каково бы ни было р ф 2. Этот результат следует из свойства существенной непрерывности 1Р -мультипликаторов Фурье, полученного автором совместно с А. М. Олевским в 83, см. также 84-8°. В частности, если нули произведения Бляшке В накапливаются к множеству положительной меры, то В £ Mp(D) при р Ф 2. По той же причине, если S — сингулярная внутренняя функция такая, что ее спектр имеет положительную меру, то S £ M+(D) при р ф 2. Если же взять внутреннюю функцию I такую, что ее спектр в пересечении с граничной окружностью OD имеет нулевую меру и рассмотреть граничное значение функции I как функцию на окружности Т, то имеем 1(егЬ) = егд^\ где д

78Виноградов С. А., "Мультипликативные свойства степенных рядов с последовательностью коэффициентов из ДАН СССР, 254:6 (1980), 1301-1306.

79Вербицкий И. Э., "О мультипликаторах пространств 1РА ". Функц. анализ и его прил., 14:3 (1980), 67-68.

80Гарнет Дж., Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

81 Никольский Н. К., Лекции об операторе сдвига, Наука, М., 1980.

82Lebedev V. V., "Spectra of Inner functions and f -Multipliers", in: Complex Analysis, Operators, and Related Topics: The S. A. Vinogradov Memorial Volume, Operator Theory: Advances and Application, 113, eds.: V. P. Havin, N. K. Nikolski; Birkhäuser, Basel-Boston-Berlin, 2000, 205-212.

83Lebedev V., Olevsldi A., "Bounded groups of translation invariant operators", C. R. Acad. Sei. Paris, Ser. I, 322 (1996), 143-147.

84Lebedev V., Olevskil A., 'Idempotents of Fourier multiplier algebra", Geometric and Functional Analysis (GAFA), 4:5 (1994), 540-544.

85Лебедев В. В., Олевский А. М., "Lp -мультипликаторы Фурье с ограниченными степенями", Изв. РАН. Сер. матем., 70:3 (2006), 129-166.

— вещественная функция, гладкая на всяком интервале, дополнительном к множеству F, которое определяется соотношением а(I) П dD ~ {elt, t £ F}. При этом, если J — интервал, содержащийся в Т \ F и находящийся близко от F, то д сильно осциллирует на J, и поведение функции I(elt) напоминает поведение экспоненты elXr(i) с большой частотой Л. Это обстоятельство позволяет использовать при исследовании внутренних функций из Mp{D) соображения, используемые при исследовании экспонент

Благодарность

Я благодарен А. М. Олевскому. Мой интерес к теории функций и гармоническому анализу сформировался под его влиянием.

Я благодарен Е. А. Горину за неизменную моральную поддержку и за замечания, способствовавшие улучшению стиля изложения и организации текста диссертации.

Первоначально теорема 1 главы 1 была получена автором в более слабой форме (правая часть условия (7) имела вид o((logloglogn)1/16)). В доказательстве использовалась теорема Грина-Сандерса 86. Я благодарен С. В. Конягину, указавшему мне на полученную им совместно с Б. Грином теорему 1.3 работы 87. Использование этой теоремы вместо теоремы Грина-Сандерса позволило улучшить результат.

Я благодарен: Ю. Н. Кузнецовой за помощь в доказательстве леммы 3 главы 1; М. В. Коробкову за обсуждение его результата88 о множестве значений градиента и М. JI. Гольдману за полезное замечание о вложении слабого пространства/1 в подходящее пространство Марцинкевича, что позволило сократить доказательство теоремы 3 главы 3.

Часть результатов была получена автором во время работы в отделе функционального анализа института математики Польской академии наук, Варшава, Польша, в 1999 г.. Я благодарен М. Войцеховскому, организовавшему мой визит. Ряд результатов был получен автором во время работы на математическом отделении технологического института штата Джорджия, Атланта, США, в 1999/2000 академическом году. Я благодарен М. Лэйси, организовавшему мой визит.

Работа набрана в МеХ2£ с использованием редактора WinEdt. Я благодарен И. А. Синелобову за техническую помощь.

Я благодарен следующим частным лицам, в течение некоторого времени совместно оказывавшим мне регулярную бескорыстную финансовую помощь: И. А. Синелобову, А. Б. Сивкову и А. А. Маркову. Я благодарен В. А. Овсянникову, спонсировавшего мою поездку на конференцию Geometric Methods in Fourier

86Green В., Sanders Т., "A quantitative version of the idempotent theorem in harmonic analysis", Ann. Math., 168:3 (2008), 1025-1054.

87Green В., Konyagin S., "On the Littlewood problem modulo a prime", Canad. J. Math., 61:1 (2009), 141-164.

Коробков M. В., "Свойства О1 -гладких функций, множество значений градиента которых топологически одномерно", Докл. РАН, 430:1 (2010), 18-20.

and Functional Analysis, Киль, Германия, 10-14 августа, 1998. Я благодарен А. В. Белову, изыскавшему средства для моего участия в конференции Approximation Theory and Fourier Analysis, Барселона, Испания, 12-16 декабря 2011.

Ряд результатов диссертации был получен при частичной поддержке РФФИ; гранты №96-01-01438, №98-01-00529, №02-01-00997, №04-01-00169.

Работы автора по теме диссертации

1. Лебедев В. В., "Внутренние функции и V -мультипликаторы", Функц. анализ и его прил., 32:4 (1998), 10-21.

2. Lebedev V. V., "Spectra of inner functions and lp -multipliers", in: Complex Analysis, Operators, and Related Topics: The S. A. Vinogradov Memorial Volume, Operator Theory: Advances and Applications, 113, eds.: V. P. Havin, N. K. Nikolski; Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 2000, 205-212.

3. Лебедев В. В., "Диффеоморфизмы окружности и теорема Берлинга-Хелсона", Функц. анализ и его прил., 36:1 (2002), 30-35.

4. Лебедев В. В., "О топологической устойчивости непрерывных функций в некоторых пространствах, связанных с рядами Фурье", Изв. РАН. Сер. машем., 74:2 (2010), 131-164.

5. Лебедев В. В., "Количественные оценки в теоремах типа теоремы Берлинга-Хелсона", Матем. сб., 201:12 (2010), 103-130.

6. Лебедев В. В., "Оценки в теоремах типа теоремы Берлинга-Хелсона. Многомерный случай", Матем. заметки, 90:3 (2011), 394-407.

7. Лебедев В. В., "Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. Усиление теоремы Берлинга-Хелсона", Функц. анализ и его прил., 46:2 (2012), 52-65.

8. Лебедев В. В., "О равномерной сходимости рядов Фурье", Матем. заметки, 91:6 (2012), 946-949.

9. Лебедев В. В., "О функциях из L2 с ограниченным спектром", Матем. сб., 203:11 (2012), 121-128.

10. Лебедев В. В., "О преобразовании Фурье характеристических функций областей с С1 -гладкой границей", Функц. анализ и его прил., 47:1 (2013), 33-46.

Подписано в печать 13.06.2013 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул.Губкина, 8.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Лебедев, Владимир Владимирович, Москва

Общеинститутская кафедра высшей математики

На правах рукописи

05201351355 УДК 517.5

Лебедев Владимир Владимирович

ОПЕРАТОРЫ СУПЕРПОЗИЦИИ В НЕКОТОРЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2013

Оглавление

Введение........................................................................................................3

Замечания об обозначениях........................................................................28

Глава 1. Оценки норм экспонент в пространствах Ар.................29

§ 1. Пространство Л(Т). Гипотеза Кахана. Усиление

теоремы Берлинга-Хелсона..............................................................31

§ 2. Пространства Ар. Оценки снизу норм Це^Щ в случае

С1 -гладкой фазы ср...........................................................................46

§ 3. Медленный рост...............................................................................51

§ 4. Операторы суперпозиции в пространствах Ар..................................70

§ 5. Многомерный случай.......................................................................73

Глава 2. Преобразование Фурье характеристических

функций областей с С1 -гладкой границей..................................87

§ 1. Общий случай. Области с С1 -гладкой границей..............................88

§ 2. Области с С1,ш -гладкой границей....................................................90

§ 3. Области в Е2....................................................................................97

Глава 3. Устойчивость непрерывных функций в

некоторых пространствах, связанных с рядами Фурье.........102

§ 1. Необходимое условие устойчивости.................................................103

§ 2. Устойчивое распределение коэффициентов Фурье.......................114

§ 3. Устойчивость в пространствах ЛР(Т), И^(Т) и некоторых

других пространствах....................................................................124

§ 4. Устойчивость в пространствах функций на торе Т*, й > 2............132

Глава 4. Операторы суперпозиции в пространствах и и РУ/......................................................................................139

§ 1. О равномерной сходимости рядов Фурье.......................................139

§ 2. О функциях из Ь2(М.п) с ограниченным спектром..........................144

Добавление. Функции аналитические в круге.

Внутренние функции и 1Р -мультипликаторы.............................152

§ 1. Сингулярные внутренние функции.................................................154

§ 2. Произведения Бляшке...................................................................161

Список литературы....................................................................................167

Введение

В диссертации исследуются свойства операторов суперпозиции (замены переменной)

/->/°<£

в некоторых пространствах функций, естественно возникающих в гармоническом анализе. (Как обычно (/ о = /(<^(£)).)

Для интегрируемых функций / на окружности Т рассмотрим их разложения в ряд Фурье

£|/№1<°°

1. Можно ли произвольную непрерывную функцию на Т привести в X при помощи гомеоморфной замены переменной, т.е. верно ли, что для любой непрерывной функции / найдется гомеоморфизм к окружности Т на себя такой, что / о Н е X?

2. Какие отображения окружности <р в себя (важным частным случаем являются гомеоморфизмы) допустимы в X (или действуют в X), т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / е X мы имеем / о ср е X?

3. Какие функции / устойчивы в X, т.е. обладают тем свойством, что для любого гомеоморфизма /г окружности Т мы имеем / о /г £ X?

Второй вопрос допускает следующую модификацию. Имея два пространства X и ¥ функций на Т мы можем спросить, какие отображения <р окружности действуют из X в У, т.е. обладают тем свойством, что для любой функции / Е X мы имеем / о <р е ¥. Резонно также рассматривать многомерный случай т.е. пространства функций на торе Тп, а также, не ограничиваясь периодическим случаем, рассматривать классы функций на

прямой М или на Кп, естественным образом характеризуемые поведением преобразования Фурье.

Начало исследований в направлении, связанном с приводимостью, было положено Г. Бором, который в 1935 г., улучшив более давний результат Ж. Пала, показал, что для любой вещественной непрерывной функции / на Т существует гомеоморфизм к : Т —>• Т такой, что / о К имеет равномерно сходящийся ряд Фурье. По-видимому следует считать, что этот результат Бора в целом положил начало изучению операторов суперпозиции в теории рядов Фурье. В дальнейшем задача о приводимости для различных пространств рассматривалась А. М. Олевским, Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсо-ном, А. А. Саакяном, Б. С. Кашиным, Д. Ватерманом. Обзор результатов по этой тематике содержится в работе Олевского [58] (см. также его работу [59]). Позже некоторые поставленные там проблемы рассматривались автором настоящей работы в [34] и [35].

Значительно менее изучено направление, связанное с допустимыми заменами переменной. Первым значительным результатом явилась теорема А. Берлинга и Г. Хелсона (при дополнительном предположении гладкости одновременно полученная 3. Л. Лейбензоном). Согласно этой теореме в пространстве абсолютно сходящихся рядов Фурье нет нетривиальных допустимых замен. В дальнейшем для разных пространств функций вопрос об операторах суперпозиции, действующих в этих пространствах, рассматривался Ж.-П. Каханом, И. Кацнельсоном, Н. Лебланом, Л. Алпаром, Р. Кауфманом, И. Домаром, Л. Хермандером. Обзор некоторых из этих результатов имеется в работе Кахана [28]. Ряд результатов о допустимых заменах в пространствах функций с последовательностью коэффициентов Фурье из 1Р, и в пространстве 1Р -мультипликаторов Фурье был получен совместно автором и А. М. Олевским [46]—[49].

В диссертации, в основном, исследуется ряд вопросов, связанных с допустимыми заменами и с устойчивостью.

Отметим, что многие свойства операторов суперпозиции / —> / о ср в различных пространствах проявляются в том, как при больших частотах

n £ Z ведут себя в этих пространствах экспоненты emip^. Изучению таких экспонент мы уделяем особое внимание. Отметим также, что некоторые вопросы, на первый взгляд не относящиеся к указанной тематике, в действительности могут быть сведены к задачам, связанным с операторами суперпозиции. В первую очередь это касается исследования поведения преобразования Фурье характеристических функций (индикаторов) областей в Rn.

I. Обзор ранее известных результатов и краткое изложение

результатов диссертации

Содержание главы 1.

Мы рассматриваем ряды Фурье

ке z

(интегрируемых) функций / на окружности Т = R/2-7TZ, где К. — вещественная прямая, Z — аддитивная группа целых чисел.

Пусть А(Т) — пространство непрерывных функций / на Т таких, что последовательность коэффициентов Фурье / = {/(&), к G Z} принадлежит I1. Снабженное естественной нормой

ii/iu(T) = ii/ihz) = Ei/wi'

fee z

пространство Л(Т) является банаховым пространством. Хорошо известно, что А(Т) является банаховой алгеброй (с обычным умножением функций).

Естественными расширениями пространства А(Т) являются пространства ЛР(Т), 1 < р < 2, интегрируемых функций / на Т таких, что / принадлежит 1Р. Снабженные естественными нормами

- / л \ 1/р

ll/lkm = II/IM = >

^ fcez '

пространства ЛР(Т), 1 < р < 2, являются банаховыми пространствами. При р = 1 мы полагаем А\ = А.

Пусть имеется непрерывное отображение окружности в себя, т.е. непрерывная функция ср : К. —Ш такая, что

ip(t + 2тг) = tp(t) (mod 2тг).

Согласно известной теореме Берлинга-Хелсона [6] (см. также [27], [28]), если Це^Н^цт) = 0(1), пей, то отображение ср линейно (аффинно) с целым угловым коэффициентом: <£>(£) = + <£>(0), и е Ъ. Эта теорема дает решение проблемы П. Леви об описании эндоморфизмов алгебры А(Т): все эти эндоморфизмы тривиальны, т.е. имеют вид/(£) —> f(vt+to). Другими словами, лишь тривиальные замены переменной допустимы в Л(Т). В самом деле, если отображение (р таково, что для любой функции / е А(ТГ) мы имеем /о<р £ Л(Т), то, пользуясь стандартными рассуждениями (теоремой о замкнутом графике), видим, что оператор суперпозиции / —» / о (р является ограниченным оператором в А(Т) и, поскольку экспонента етг с любой частотой п ей имеет норму в А(Т), равную 1, получаем Це^Ц^т) = 0(1), откуда в силу теоремы Берлинга-Хелсона следует линейность отображения <р.

Отметим также еще одну версию теоремы Берлинга-Хелсона: если и — ограниченный коммутирующий со сдвигами оператор в 11 такой, что ||С/П||г1^1 = 0(1), п е Ъ, то и — £5, где £ — постоянная, |£| = 1, и Б — оператор сдвига.

Вместе с тем, хотя теорема Берлинга-Хелсона устанавливает неограниченность норм ||еШ!рЩ для нелинейных отображений : Т —>• Т, характер роста этих норм при |п| —> оо во многом неясен. То же касается поведения норм Це^Щр, р > 1. Глава 1 посвящена изучению этих вопросов.

Отметим, что если отображение <р : Т —у Т непрерывно, то <р{Ь + 27г) = <р(Ь) + 27гА;, где к е Ъ не зависит от Заменяя отображение <р на (р0(г) = (р(£) — Ы, мы получим вещественную функцию сро на Т. При этом ||е^°||Лр = ||ет</?||у1р. Таким образом, вместо нелинейных непрерывных отображений (р : Т —Т можно рассматривать непостоянные непрерывные функции (р : Т —М. В этом случае нет надобности ограничиваться экспонентами с целыми частотами и можно равным образом изучать поведение экспонент егХ(р с вещественными частотами А. Соответствующие результаты о поведении экспонент егпч> для нелинейных отображений целых частот п немедленно получаются в качестве простых следствий.

Приведем ранее известные результаты о поведении экспонент егХ(р в пространствах Ар.

Пусть Св(Т) — класс (комплекснозначных) функций на Т, имеющих непрерывную производную порядка 5. Имеем С1(Т) С А(Т) С ЛР(Т).

Нетрудно показать, что для любой вещественной функции </? € СХ(Т) (и более того, для любой абсолютно непрерывной вещественной функции (р с производной из Ь2( Т)) при 1 < р <2 справедлива оценка

Це^|Цр(т) = 0(|А|И), |А|-юо, А е М. (1)

(см. [27, гл VI, § 3] в случае р — 1; общий случай немедленно получается интерполяцией между I1 и 12).

С другой стороны, давно известны оценки снизу норм экспонент егХ<р для функций класса С2. Предположим, что <р & С2(Т) — вещественная непостоянная функция и 1 < р < 2. Тогда

Це^|к(Т)>с|А|И, А <Е R, (2)

где с = с(р, ф) не зависит от А. При р — 1 эта оценка неявно содержится в работе 3. Л. Лейбензона [51] и в явном виде была получена Ж.-П. Ка-ханом [25] с использованием метода Лейбензона. В общем случае оценка (2) получена с использованием того же метода Л. Алпаром [3]. Простое и короткое доказательство для случая р — 1 имеется в [27, гл. VI, § 3] и в общем случае — в [46].

Таким образом, если (р 6 С2(Т) вещественная функция, ip ф const, то

при всех p: 1 < p < 2. В частности

1|е<А*|Ц(т) ^ VW-

Отметим, что доказательство оценки Лейбензона-Кахана-Алпара (2) основано на лемме ван дер Корпута и существенно использует отделен-ность от нуля кривизны дуги графика функции ip, т.е. условие \ip"(t)\ > р > 0, t G I, где I — некоторый интервал. Этот подход не позволяет рассматривать функции гладкости меньшей чем С2.

В общем случае (без предположений гладкости) рост норм Ие^Н^т) может быть довольно медленным. Кахан показал (см. [27, гл. VI, § 2]), что если непостоянная непрерывная функция ip : Т —>• Ш кусочно линейна, то

||e^|U^log|A|. (4)

При р > 1 нормы (т) могут вовсе не расти; известно (см., например,

[46]), что для любой кусочно линейной вещественной функции <р на Т имеем ||ег^|Цр = O(l) при всехр > 1. Таким образом, случай р > 1 отличается от случая р — 1.

Укажем теперь известные результаты в

С1 -гладком случае (помимо оценки (1)). В работе [46] (совместная работа автора и А. М. Олевско-го) построена вещественная функция ср £ СХ(Т), (р ф const, такая, что Це^Цлр = 0(1) при вс ехр > 1. Кроме того, эта функция нигде не линейна, т.е. не является линейной ни на каком интервале (и, таким образом, в

определенном смысле, существенно отличается от кусочно линейных функций). Используя близкий метод, автор показал в [38], что для С1 -гладких функций нормы Це^Ц^т) могут расти довольно медленно, а именно, если 7(A) > 0 и 7(A) —> оо, то существует нигде не линейная вещественная функция (р е С1(Т) такая, что

||e^|U(T) = 0(7(|A|)log|A|). (5)

Таким образом, случай С1 -гладкой фазы (р существенно отличается от С2 -гладкого случая (см. (3)).

Приведем еще результат М. Н. Леблана [50]: если вещественная функция ip G С2(Т) непостоянна и ее производная <р' удовлетворяет условию Липшица с показателем о;, 0 < а < 1, то

l|e^|U(T) > W > 2- (6)

Насколько нам известно — это единственная, ранее полученная, оценка снизу норм ||егЛ<^Щ в случае, когда ср € С1, но дважды дифференцируемость функции (р не предполагается.

Особый интерес при исследовании поведения норм Ие^Цд, представляет, на наш взгляд, случай р = 1. Напомним, что согласно теореме Берлинга-Хелсона, приведенной выше, если — непрерывное отображение окружности в себя, такое, что = 0(1), Т0 У линейно. В связи с этой теоремой Каханом была поставлена следующая проблема: выяснить для каких последовательностей ип, стремящихся к бесконечности, условие ||егП¥,Щ(т) = 0(шп) влечет линейность отображения (р. Отметим, что априори существование такой последовательности и, тем самым, возможное, принципиальное усиление теоремы Берлинга-Хелсона, — не очевидно. Никаких результатов на этот счет ранее не было. Для непрерывных кусочно линейных но не линейных отображений ip : Т —> Т имеем Це^Ц^х) — log |п| (см. (4)). Может ли (для нелинейных непрерывных ф) рост норм быть медленнее логарифмического — неизвестно. Кахану принадлежит гипотеза о том, что из условия Це^Ц^т) — °(l°g М)? М —> 00> следует, что <р линейно. Насколько известно автору, впервые проблема об усилении теоремы Берлинга-Хелсона и гипотеза о минимальности логарифмического роста были сформулированы Каханом в докладе на Международном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 г. [26]. Позднее они отмечались Каханом в [27] и [28].

В § 1 получено частичное решение проблемы Кахана. А именно, мы получаем (теорема 1) следующее усиление теоремы Берлинга-Хелсона: если

ср — непрерывное отображение окружности в себя такое, что

log log I п

1/12

1|егп1л(т) = о

log log log |n|

то cp — линейно.

Идеологически доказательство нашей теоремы до некоторой степени близко к доказательству теоремы Берлинга-Хелсона, изложенному Каха-ном в [28] (доказательство в [28], основано на совершенно другой идее нежели оригинальное доказательство Берлинга и Хелсона [6], [27]). Мы модифицируем рассуждения Кахана и применяем их не к группе Т, а к циклической группе Тдг при больших N и не к самому отображению </?, а к отображению (р^, которое на Tjv хорошо приближает отображение и значения которого — рациональные числа "с малым общим знаменателем". Такое отображение строится при помощи теоремы Дирихле о совместных диофантовых приближениях. В доказательстве используется теорема Грина-Конягина [20, теорема 1.3], точнее ее важный частный случай, который для простых N дает оценку количества элементов произвольного множества Е С Тдг через 11 -норму преобразования Фурье (на Tjv) его характеристической функции.

В § 2 получены оценки снизу норм Це^Щ для С1 -гладких вещественных функций ср на Т. Пусть задана непрерывная неубывающая функция ш на [0, +оо) такая, что о;(0) = 0. Через С1,а;(Т) обозначим класс непрерывно дифференцируемых функций д на Т таких, что ш(д', <5) = 0(си(5)), 6 —> +0, где

— модуль непрерывности производной д' функции д. В случае а;(£) = 5а, мы пишем просто С1,а вместо С1,5".

Мы показываем, что (теорема 2) если 1 < р < 2 и </? 6 С1,Ш(Т) — вещественная непостоянная функция, то

где х 1 — функция, обратная к %(£) = £и;(<5), и константа с = с(р, ср) > 0 не зависит от Л.

ш(д',6)= sup |i/(ti) - </(*2)¿>0,

\h-t2\<5

Л G R, |Л| > 1,

(8)

Отсюда немедленно получаем оценки норм экспонент для фазовых функций, производная которых удовлетворяет условию Липшица с показателем а. Мы видим, что (следствие 1) если 0 < а < 1 и вещественная функция <р G Сг'а{Т) непостоянна, то

l|e^|Up(T)>cp|A|^^, Л eR, (9)

при всех р, 1<р<1 + о;.В частности, полагая здесь р = 1, получаем более сильный результат, чем оценка Леблана (6), а именно,

||е^|Ц(т) > с|А|^, AGE.

Для ср G С2 имеем а = 1 и из (9) получаем оценку Лейбензона-Кахана-Алпара (2).

�