Определение и учет сингулярных составляющих в задачах теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1. Основные определения и постановка задач

1.1. Уравнения и граничные условия

1.2. Сингулярность линейно-упругих решений и обобщенная постановка

2. Сведение к граничным интегральным уравнениям

2.1. Матрица фундаментальных решений

2.2. Общий вид решения краевых задач через поверхностные интегралы

2.3. Интегральные уравнения

2.4. Плоский и осесимметричный случаи

2.5. Граничные интегральные уравнения для составных тел, обобщенные условия стыковки

3. Интегральные уравнения для сред с плоскопараллельными поверхностями .:.

3.1. Матрица Грина полупространства и слоя

3.2. Дискретный и непрерывный спектры

3.3. Интегральные уравнения Винера-Хопфа

ГЛАВА II. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА ВЫДЕЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ

СОСТАВЛЯЮЩИХ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ УГЛОВЫХ ТОЧЕК

4. Обзор методов выделения сингулярных составляющих

5. Общая схема метода преобразования Меллина в двумерном случае

5.1. Интегральное преобразование Меллина и поведение решения при г

5.2. Модельный пример: антиплоская деформация упругого клина

5.3. Плоская деформация упругого клина

6. Составной упругий клин

7. Общая схема метода для трехмерных случаев, сводящихся к чисто разностным ГИУ

7.1. Представление ядер в виде рядов

7.2. Выбор базиса и ускорение сходимости рядов

7.3. Сингулярность решения в вершине клиновидных штампов и трещин

ГЛАВА III. ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ДЛЯ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ УГЛОВЫХ ТОЧЕК РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

8. Метод суперпозиции

9. Подход, основанный на использовании ГИУ общего вида

10. Угловые точки упругих разномодульных соединений

10.1. Прямоугольный трехгранник, приклеенный к недеформируемому основанию

10.2. Соединение разномодульных прямоугольных трехгранников

11. Особенность напряжений в точке выхода трещины на поверхность

ГЛАВА IV. УЧЕТ ИНФОРМАЦИИ О СИНГУЛЯРНОСТИ ДЛЯ

РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

12. Регуляризация динамических контактных задач для слоистых оснований

12.1. Скалярный случай (гладкий контакт)

12.2. Векторный случай (контакт со сцеплением)

13. Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых волноводах

14. О характере локализации энергии в условиях высокочастотного резонанса

15. О блокирующих свойствах энергетических вихрей в упругих волноводах с препятствиями

ГЛАВА V. ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРЕЩИНАХ.

16. Вариационно-разностный метод решения интегральных уравнений для трещин

17. Рассеяние упругих волн пространственными трещинами; резонансные частоты

Диссертация посвящена разработке новых математических методов исследования напряженно-деформированного состояния упругих тел и возбуждаемых в них волновых полей в ситуациях, когда границы тел имеют ребра, острые кромки и угловые точки. Главная идея развиваемого подхода состоит в создании полуаналитических методов выделения сингулярных составляющих решения в явном виде с последующим прямым или косвенным учетом этой информации для регуляризации рассматриваемых краевых задач и повышения эффективности численных схем.

Как известно, применение прямых численных методов таких, как метод конечных или граничных элементов (МКЭ/МГЭ), конечных разностей (МКР) и других для решения краевых задач эллиптического типа в областях с негладкими границами связано с трудоемкой сеточной аппроксимацией в окрестности точек геометрической сингулярности и большими вычислительными затратами из-за необходимости сильно уменьшать шаг сетки для достижения требуемой точности. Более того, в некоторых случаях сильная градиентность решения около сингулярных точек приводит к общей численной неустойчивости обычных методов или к большим погрешностям даже в удаленных от них внутренних точках (эффект распространения погрешности по сетке).

Такое поведение присуще не только решениям уравнений линейной теории упругости, поэтому предлагаемый в работе подход и развитая техника применимы для более широкого круга проблем, например, для анализа дифракции электромагнитных волн, при расчете параметров оптоэлектронных устройств и т.п.

Существует мнение, что проблемой сингулярности решения можно пренебречь, так как она является следствием использования линейных моделей, а в реальных материалах рост напряжений в зоне сингулярности приводит к нелинейному поведению. Однако многие физические процессы, такие как распространение и дифракция упругих волн, вполне адекватно описываются в рамках линейных моделей и для их описания необходимо строгое решение соответствующих линейных краевых задач. Пренебрежение же сингулярными составляющими решения нередко приводит не только к потере точности и численной неустойчивости, но и к качественно неверным результатам. Например, описание поля отраженных волн будет неполным без учета вклада дифракции на негладких участках границы. Таким образом, учет сингулярных составляющих не только повышает эффективность численных схем, но во многих случаях является и необходимым условием получения корректного решения в целом.

Определение сингулярных составляющих линейного решения имеет определенное значение и для решения задач прочности. Хотя процесс разрушения существенно нелинеен, используемые в настоящее время критерии хрупкого разрушения часто формулируются в терминах степени концентрации напряжений, которая описывается показателями сингулярности и коэффициентами интенсивности этих составляющих.

В плоском случае (ребра двугранных углов) показатели сингулярного разложения являются корнями трансцендентных алгебраических уравнений, а угловые функции могут быть выписаны в явном виде. Однако для пространственных угловых точек (вершин М-гранников при М > 3) они являются собственными решениями двумерных эталонных спектральных задач на сферическом сечении канонической М-гранной области. Для их определения используются методы, основанные на двумерной сеточной аппроксимации, которые требуют сравнительно больших вычислительных затрат, сопоставимых с затратами, необходимыми для решения исходной задачи в целом. Поэтому круг полученных здесь результатов до последнего времени был сравнительно узким, а главное такой подход не дает ощутимых преимуществ с точки зрения повышения общей эффективности решения и снижения численных затрат.

В диссертационной работе предлагается новый метод определения сингулярных составляющих упругих решений в окрестности многогранных углов, основанный на сведении эталонной спектральной задачи к одномерной с помощью применения преобразования Меллина к двумерным граничным интегральным уравнениям (ГИУ). В результате значительно сокращаются вычислительные затраты, что позволяет работать с искомыми разложениями как с аналитическими представлениями, в частности, использовать их в качестве специальных угловых сингулярных элементов МКЭ/МГЭ или для выбора оптимального изменения шага адаптивных сеток.

Методы учета полученной информации при решении конкретных краевых задач описываются во второй части работы на примере анализа сложных волновых явлений и энергетических потоков в составных и ступенчатых упругих волноводах, их импедансных и резонансных характеристик, а также характеристик рассеяния упругих волн на пространственных трещинах.

Таким образом, целью работы является

1) развитие полуаналитических методов определения сингулярных составляющих упругих решений в окрестности многогранных угловых точек произвольной пространственной геометрии, в том числе и в зоне соединения разномодульных составных тел;

2) разработка прямых и косвенных методов их учета для регуляризации соответствующих краевых задач теории упругости и повышения эффективности численных схем;

3) создание на их основе эффективных компьютерных моделей для быстрого параметрического анализа рассматриваемых задач и исследования сложных волновых, резонансных и энергетических явлений, недоступных при использовании стандартных подходов;

4) проведение численного анализа для ряда конкретных моделей, представляющих самостоятельный теоретический и практический интерес.

В соответствии с указанными целями в первой главе, которая носит вспомогательный для последующего изложения характер, дается постановка рассматриваемых задач и описание математического аппарата, используемого для их решения. Систематическому изложению этих вопросов уделяется сравнительно большое внимание в связи с тем, что в работе зачастую используется нетрадиционная математическая техника. Во многих случаях это оказалось существенным для получения основных результатов.

Во второй главе дается общая схема разрабатываемого метода выделения сингулярных составляющих решения. В начале главы приводится обзор существующих подходов к построению асимптотического разложения в окрестности М-гранной вершины угловой точки.

Общая схема метода использования преобразования Меллина для выделения сингулярных составляющих дается первоначально для двумерного случая. Это представляет не только методический интерес, как введение в описание реализации метода в пространственном случае, но имеет и самостоятельное практическое значение с точки зрения разработки быстрых методов параметрического анализа прочности соединений. В качестве примера приводятся результаты совместных исследований с учеными университета Карлсруэ, Германия по анализу температурных напряжений на кромках металлокерамических соединений.

В плоском случае преобразование Меллина сводит двумерную краевую задачу к одномерной, а в пространственном случае дает двумерную (по сферическим переменным ч9) краевую задачу с параметром. Но пространственные задачи могут быть сведены и к одномерным, если их предварительно привести к форме двумерных ГИУ, техника вывода которых дана в первой главе. С помощью преобразования Меллина они сводятся в свою очередь к одномерным интегральным уравнениям с параметром. В этом состоит главное отличие развиваемого метода от традиционных подходов.

Общая схема выделения особенности для пространственных угловых точек дается первоначально для уравнений Винера-Хопфа, которые получаются из ГИУ общего вида, когда многогранник вырождается в тело, все грани которого лежат в одной плоскости (контактные задачи для упругого полупространства, трещины и плоские включения).

Особенности реализации метода в пространственном случае подробно рассматриваются в третьей главе. Подчеркивается, что ключевую роль в обеспечении высокой эффективности играет представление ядер интегральных уравнений в виде рядов с разделенными радиальными и угловыми переменными, ускорение их сходимости, а также правильный выбор базисных функций при дискретизации одномерных интегральных уравнений.

В качестве приложения развитого метода рассматриваются угловые точки трещин, выходящих на поверхность, трехгранников и соединений разномодульных материалов. Впервые получены численные результаты для широкого диапазона изменения геометрии угловых точек; дается их сопоставление с результатами других авторов для известных частных случаев.

Пути использования сингулярных разложений для регуляризации краевых задач и повышения эффективности методов их решения обсуждаются в четвертой главе. Возможен прямой или косвенный учет этой информации.

К прямому относится введение специальных базисных функций, несущих особенность требуемого типа. Это могут быть весовые функции ортогональных полиномов Якоби или специальные угловые элементы в МКЭ или МГЭ. Следует подчеркнуть, что развитый метод позволяет строить трехмерные сингулярные конечные или граничные элементы для угловых точек произвольной геометрии, а точность и быстродействие разработанных на основе предлагаемого подхода программ расчета показателей и угловых функций такова, что с ними можно работать как с аналитическими выражениями.

Основным методом косвенного учета сингулярностей является их использование для сведения бесконечных алгебраических систем к асимптотически эквивалентным конечным. Этот метод дан в применении к динамическим контактным задачам для слоистого упругого основания и к задачам дифракции нормальных мод на поверхностных ступеньках и/или вертикальных границах соединения упругих слоистых волноводов, рассматриваемым в четвертой главе.

Высокая эффективность развитых методов позволяет легко получать такие характеристики как коэффициенты прохождения и отражения нормальных мод, энергетический баланс системы и структуру линий тока энергии в дальнем и ближнем поле и динамические коэффициенты интенсивности напряжений в угловых точках. На их основе вскрыт ряд достаточно тонких эффектов, ускользающих обычно при использовании более грубой сеточной аппроксимации. Практические возможности подхода иллюстрируются анализом импедансных свойств органических тканей и исследованием роли энергетических вихрей в возникновении высокочастотных резонансов и в явлении запирания волновода.

В задачах трехмерной дифракции, рассматриваемых в пятой главе, косвенный учет через вклад в асимптотику соответствующих двумерных интегральных операторов становится, как правило, более трудоемким, чем прямой. Более удобным здесь является косвенный учет с помощью изменения шага сетки в соответствии с поведением решения в окрестности особых точек. Дается детальное описание разработанного метода, особенностей его компьютерной реализации и полученных численных результатов, показывающих влияние формы трещины и угла падения Р и Б волн на характеристики рассеянного поля.

Одной из интересных характеристик здесь являются собственные частоты рассеяния или комплексные резонансные полюса, положение которых в комплексной плоскости частоты зависит только от размеров и формы трещины. Приводятся результаты расчетов, показывающие траекторию движения полюсов в комплексной плоскости при постепенном изменении формы трещины. Обсуждается возможность использования этих данных при решении обратных задач ультразвуковой дефектоскопии, т.е. при восстановлении формы трещины по отраженному сигналу.

В заключении дается сводка основных результатов, указывается их теоретическая и практическая значимость, приводится список научно-исследовательских тем и грантов, в ходе выполнения которых были получены и использованы представленные результаты, а также указан творческий вклад каждого из авторов в работы, выполненные в соавторстве.

На защиту выносятся новый метод определения сингулярных составляющих пространственных упругих решений и методы их прямого и косвенного учета при решении статических и динамических краевых задач и граничных интегральных уравнений теории упругости, а также впервые полученные на их основе характеристики сингулярности для ряда классических канонических областей, неизвестные ранее волновые явления и эффекты и представляющие самостоятельный теоретический и практический интерес новые результаты решения задач дифракции упругих волн на объектах с негладкой границей.

Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения государственных научно-технических программ и/или при поддержке грантов отечественных и международных научных фондов. В частности, за последние пять лет по теме диссертационной работы под руководством или при участии автора в Кубанском госуниверситете выполнялись работы по НИР:

1. Математическое моделирование процессов возбуждения и распространения волн в составных упругих волноводах и в средах с внутренними дефектами. 1993-1997 (НИР 2.22.93, рук. В.А.Бабешко, Н.В.Глушкова);

2. Волноводные свойства и динамическая реакция слоистых упругих материалов. 1993-1997 (НИР 2.21.93, рук. В.А.Бабешко, Е.В.Глушков)

3. Создание теоретических основ и методов использования новейших результатов теории волн, динамической прочности и моделирования сложных природных процессов. 1998-2002 (НИР 1.7.98, рук. В.А.Бабешко); и велись исследования по грантам:

1. Энергетические вихри и резонансные явления в упругих волноводах. 1994-1995 (РФФИ 94-01-01620, рук. Е.В.Глушков);

2. Определение сингулярности напряжений в угловых точках трехмерных упругих тел. 1995-1996 (РФФИ 95-01-00266, рук. Н.В.Глушкова);

3. Three-dimensional stress singularities in solids; wave energy vortices and backward fluxes in elastic media. 1995 (ISF J5P100 - Soros foundation, рук. Е.В.Глушков);

4. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной формы; резонансные полюса в комплексной плоскости частоты. 1996-1997 (РФФИ 96-01-00457, рук. Е.В.Глушков);

5. Сингулярность напряжений в зоне соединения разномодульных материалов при действии тепловых и механических нагрузок. 19971998 (РФФИ 97-01-00429, рук. Н.В.Глушкова);

6. Royal Society Ex-quota Fellowships. 1997 (грант Королевского научного общества, Англия, Н.В.Глушкова);

7. Проблемы прочности соединений разнородных материалов при действии тепловых и механических нагрузок. 1998-1999 (российско-германский проект РФФИ-ННИО 98-01-04091, рук. В.А.Бабешко);

8. Дифракция упругих волн на приповерхностных трещинах и в клиновидных областях. 1999-2001 (РФФИ 99-01-00908, рук. Е.В.Глушков)

9. Грант REC-004 американского фонда гражданских исследований и развития для независимых государств бывшего Советского Союза (CRDF BRHE) (1999-2001, научн. рук. В.А.Бабешко).

2. Справка о творческом вкладе в работы, выполненные в соавторстве

В диссертацию вошли результаты, опубликованные в работах [11, 17, 18, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 45, 48, 49, 112, 142, 144, 145, 146, 148, 154]. В публикациях, выполненных в соавторстве, Н.В.Глушковой принадлежит разработка новых методов решения рассматриваемых задач, участие в их компьютерной реализации и в проведении численного анализа, позволившего вскрыть новые механические и волновые явления.

В.А.Бабешко принадлежит идея применения преобразования Мелли-на к интегральным уравнениям в клиновидных областях, реализованная в работах [11, 16, 17], а также предположение о локализации энергии колебаний в условиях высокочастотного резонанса, проверенного в [18].

Е.В.Глушков участвовал в обсуждении различных аспектов разрабатываемых методов и создании компьютерных программ, а также в обсуждении полученных результатов.

Е.В.Кириллова участвовала в обобщении развитого метода регуляризации бесконечных систем на случай контакта штампов со сцеплением и в построении линий тока энергии [18, 39, 142, 145].

О.Н.Лапиной под руководством Е.В.Глушкова и Н.В.Глушковой был реализован один из первых вариантов выделения особенности, что нашло отражение в работах [17, 146]. Кроме того, она участвовала в проведении расчетов для трещин, выходящих на поверхность [45, 146], и ступенчатых волноводов [42], используя предоставленные ей программы.

Е.М.Тиманин участвовал в постановке задачи для моделирования импедансных свойств живых тканей и провел экспериментальные измерения, сопоставленные с результатами расчетов в [40].

Р.Хофф с помощью стандартного пакета МГЭ получил тестовые результаты для сопоставления с численными результатами полуаналитического метода [49, 148, 154], а Д.Мунц, И.Янг и И.Ли - результаты конечноэлементного анализа двумерных соединений [154].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной диссертационной работе 1. Развит новый подход к определению сингулярных характеристик решения в произвольных многогранных угловых точках, основанный на сведении с помощью преобразования Меллина пространственных эталонных краевых задач теории упругости к одномерным спектральным задачам. Проведена эффективная компьютерная реализация развитого метода, позволяющая работать с полученными разложениями как с аналитическими представлениями, в частности, использовать их в качестве специальных угловых сингулярных элементов в пакетах МКЭ/МГЭ.

2. На основе разработанного метода впервые получены конкретные численные значения характеристик сингулярного разложения для ряда классических канонических областей (клиновидные трещины, трещины, выходящие на поверхность, многогранные вершины разномодульных соединений).

3. Разработаны новые методы решения краевых смешанных задач эластодинамики, эффективность которых базируется на использовании Фурье-символов рассматриваемых операторов (работа в комплексной плоскости волновых чисел и частоты с использованием техники контурных интегралов и теории вычетов) и на учете информации о сингулярном поведении решения. Высокая эффективность и точность методов позволяет проводить анализ таких тонких волновых явлений как структура энергетических потоков в упругом волноводе, причем не только в дальней, но и в ближней, вплоть до дифрагирующего объекта, зоне.

4. Проведен детальный анализ импедансных свойств и характеристик прохождения и отражения сигналов в слоистых, ступенчатых и составных упругих волноводах, позволивший, в частности, оценить границы применимости традиционных упрощенных инженерных подходов и моделей и выявить ряд неизвестных ранее эффектов. В первую очередь здесь следует отметить эффект полного блокирования волновода энергетическими вихрями, объясняющий природу частот запирания и механизм возникновения неограниченных резонансов массивных штампов в диапазоне возбуждения бегущих волн.

5. В задаче о дифракции упругих волн на планарных пространственных трещинах произвольной формы для широкого диапазона изменения параметров проанализирована зависимость характеристик отраженного поля (коэффициенты рассеяния, диаграммы направленности и резонансные частоты рассеяния) от формы трещины, угла падения приходящих волн, упругих свойств материалов и частоты. Полученные впервые зависимости положения резонансных полюсов рассеяния в комплексной плоскости частоты от формы трещины имеют большое практическое значение для развития резонансного метода решения обратных задач ультразвуковой дефектоскопии (определение размеров и формы трещин по характеристикам отраженного поля).

Научная значимость результатов диссертации обусловлена разработкой нового подхода к решению эластодинамических дифракционных и контактных задач, а также задач прочности и разрушения. Развитые методы создают основу для их эффективного численного решения, в том числе и путем качественного усовершенствования традиционных конечно-элементных и конечно-разностных аппроксимаций для тел с острыми кромками и угловыми точками. Самостоятельное значение для общей теории колебаний и волн в твердых телах имеют установленные в работе новые волновые, энергетические и резонансные эффекты.

Практическая значимость результатов связана с возможностью их использования при решении широкого круга актуальных проблем сейсмологии и сейсмостойкого строительства, дефектоскопии, акустоэлек-троники, прочности материалов и конструкций, проектирования твердотельных волноводных структур и устройств, таких как генераторы и фильтры с активными пьезокерамическими элементами, устройства прецезионного волнового привода, активного виброгашения и т.п.

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: Теория и методы. Т. 1. М.: Мир, 1983. 520 с.

2. Александров В.М., Бабешко В.А. О давлении на упругое полупространство штампа клиновидной в плане формы // ПММ. 1972. Т. 36. С. 88-93.

3. Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Изд-во "Факториал", 1998. 288 с.

4. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Решение задачи Лэмба для вертикально-неоднородного упругого полупространства // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. № 12.

5. Бабешко В.А. О единственности решения интегральных уравнений динамических контактных задач // ДАН СССР. 1973. Т. 210. № 6.

6. Бабешко В .А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

7. Бабешко В.А. Высокочастотный резонанс массивного штампа // ДАН СССР. 1989. Т. 306. № 6. С. 1328-1332.

8. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел // ДАН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 324-328.

9. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных средах с неоднородностя-ми // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 3. С. 74-83.

10. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проблеме динамических контактных задач в произвольных областях / / Известия АН СССР МТТ. 1978. № 3. С. 61-67.

11. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об особенностях в угловых точках пространственных штампов в контактных задачах // ДАН СССР. 1981. Т. 257. № 2. С. 289-294.

12. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Анализ волновых полей, возбуждаемых в упругом стратифицированном полупространстве, поверхностными источниками // Акустический журнал. 1986. Т. 32. Вып. 3. С. 366-371.

13. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Зинченко Ж.Ф. Резонансные явления в многослойном полупространстве // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. № 4. С. 860-863.

14. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Методы построения матрицы Грина стратифицированного упругого полупространства / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. Т. 27. № 1. С. 93-101.

15. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

16. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К определению особенности поля напряжений в окрестности вершин упругих многогранников. Кубанский гос.ун-т. Краснодар, 1988. 21с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.89, N428-B89.

17. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Особенность напряжений в окрестности вершины упругого трехгранника // ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 5. С. 1113-1116.

18. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. О характере локализации энергии в условиях высокочастотного резонанса // ДАН СССР. 1992. Т. 325. № 5. С. 940-943.

19. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. II т. М.: Наука, 1974. 296 с.

20. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. М.: Наука, 1969. 332 с.

21. Ватульян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости / / Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 462-469.

22. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979. 320 с.

23. Ворович Е.И., Пряхина О.Д. Аналитический метод определения В-резонансов // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1987. № 3. С. 101-106.

24. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы // ДАН СССР. 1979. Т. 245. № 5. С. 1076-1079.

25. Ворович И.И. Постановка краевых задач теории упругости при бесконечном интеграле энергии и базисные свойства однородных решений / В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975.

26. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

27. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

28. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, 1980. 304 с.

29. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 439 с.

30. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. Об отражении изгибных волн Лэмба от границы раздела двух состыкованных полуполос // Прикл. мех. (Киев). 1991. 27. № 8. С. 54-59.

31. Глушков Е.В. Распределение энергии поверхностного источника в неоднородном полупространстве // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 1. С. 94-100.

32. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об одной динамической контактной задаче для упругого слоя // Изв. СКНЦ ВШ. 1976. № 4. С. 106-107.

33. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. О линиях тока акустической энергии в упругом слое // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 3. С. 405-409.

34. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Учебное пособие, Кубанский госуниверситет, Краснодар, 1990. 72 с.

35. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об особенности решения в угловых точках составных упругих волноводов. Кубанский гос.ун-т., Краснодар, 1990. Деп. в ВИНИТИ 19.02.91, N824-691.

36. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К проверке существования явления высокочастотного резонанса в полуограниченных областях // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1990. № 3. С. 208-209.

37. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. К определению динамической контактной жесткости упругого слоя // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54. № 3. С. 474-479.

38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Об особенностях поля напряжений в окрестности вершины клиновидной пространственной трещины / / Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1992. № 4. С. 82-86.

39. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кириллова Е.В. Динамическая контактная задача для кругового штампа, сцепленного с упругим слоем // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 5. С. 780-785.

40. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тиманин Е.М. Определение импе-дансных и волноводных свойств биоматериалов // Акуст. журнал. 1993. Т. 39. Вып. 6. С. 1043-1049.

41. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы / / Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60, Вып. 2. С. 282-289.

42. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н., Дифракция нормальных мод в составных и ступенчатых упругих волноводах // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 298-304.

43. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 3. С. 455-461.

44. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами / / Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 866-870.

45. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на поверхность // Изв. РАН. Мех. твердого тела. 1998. № 5. С. 146-153.

46. Глушков Е.В., Никитин Ю.Г. Распространение энергии в системе состыкованных упругих полуполос разной толщины // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 2. С. 248-254.

47. Глушкова Н.В. Распространение упругих волн в стратифицированных средах и их взаимодействие с поверхностными объектами. Канд. диссертация, Ростов-на-Дону, Ростовский госуниверситет, 1981.

48. Глушкова Н.В. Асимптотическое представление термоупругих напряжений в угловых точках разномодульных соединений // Изв. РАН. Мех. твердого тела. 1998. № 2. С. 69-77.

49. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений // Докл. РАН. 1999. Т. 370. № 2.

50. Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегродифферен-циальных уравнений трехмерных задач теории упругости / / Препринт 33. ИПМ АН СССР. М. 1973. 55 с.

51. Гомилко A.M., Гринченко В.Т. Метод однородных решений в случае негладких нагрузок // Теор. И прикл. Мех. (Харьков). 1988. № 19. С. 111-116.

52. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Асимптотика неизвестных при решении методом суперпозиции плоской задачи о продольной деформации упругой полуполосы // Прикладная механика (Киев). 1988. Т. 24. № 7. С. 77-83.

53. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

54. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. Отражение волн Лэмба от границы раздела в составном волноводе // Прикладная механика (Киев). 1985. Т.21. № 5. С. 121- 125.

55. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 294 с.

56. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

57. Дьяконов М.Б., Устинов Ю.А. Сдвиговые волны в упругом полубесконечном слое с разрезами // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 3. С. 421-426.

58. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. 472 с.

59. Журавлев В.А., Кобозев И.К., Кравцов Ю.А. Потоки энергии в окрестности дислокаций фазового поля волнового фронта // ЖЭТФ. 1993. Т. 104. Вып. 5(11). С. 3769-3783.

60. Захарова C.B., Пельц С.П. Решение смешанной задачи теории упругости для полуполосы // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 5. С. 1077-1081.

61. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

62. Зильберглейт A.C., Копилевич Ю.И. Спектральная теория регулярных волноводов. Д.: из-во ФТИ им. А.Ф.Иоффе АН СССР, 1983. 302 с.

63. Зильберглейт A.C., Нуллер Б.М. Обобщенная ортогональность однородных решений в динамических задачах теории упругости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234. № 2. С. 333-335.

64. Иванников А.Н., Кравченко Д.И. Классификация особых точек линий тока активной и реактивной интенсивности ближнего поля источников звука // Вестн. моек, ун-та. 1988. Сер. 3. Физика. Астрономия. Т. 29. № 6. С. 87-90.

65. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

66. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Решение динамических задач об эллиптической трещине в упругом пространстве с помощью аппроксимаций Паде // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 511-519.

67. Колдоркина В.А. О трехмерных задачах теории упругости в кусочно-гладких областях / Изв. вузов. Математика. № 1. 1973.

68. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками / Труды Моск. ма-тем. Об-ва, 16, 1967.

69. Купрадзе В.Д. Теоремы единственности в краевых задачах теории упругости / Труды Тбилисского ун-та, 2. Изд. АН Груз. ССР, 1936.

70. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз. 1963.

71. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976.

72. Лаврентьев М.А., Шабат Б.Г. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

73. Лапина О.Н. Анализ особенности напряжений в окрестности угловых точек упругих многогранников. Канд. диссертация, Краснодар, Кубанский госуниверситет, 1992.

74. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935.

75. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра / / ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 1.

76. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972.

77. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул). Минск "Наука и техника", 1978. 312 с.

78. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

79. Матвеенко В.П., Минакова С.Г. Всес. конф.: Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации / Тез. докл. Тула, 1988. С. 38-42.

80. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 327 с.

81. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с.

82. Мовчан Н.В., Назаров С.А. Асимптотика показателей сингулярно-стей для угловых в плане трещин // Вестник ЛГУ. 1990. Сер. 1. Вып. 3. С. 34-38.

83. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

84. Нобл Б. Метод Винера-Хопфа. М.: ИЛ, 1962.

85. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральнае уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

86. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

87. Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Уч. Зап. ЛГУ, Л., 1952.

88. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

89. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

90. Рвачев В.JI., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова думка, 1977. 235 с.

91. Сегё Г. Ортогональные многочлены. Физматгиз, 1962.

92. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ. Ленинград, 1950.

93. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М. Л.: Гостехиз-дат, 1950.

94. Справочник по специальным функциям / Под ред М.Абрамовича, И.Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

95. Стренг Г. Дж., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 360 с.

96. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

97. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

98. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. 360 с.

99. Умов H.A. Избранные сочинения. М.: Л.: Гостехиздат, 1950.

100. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

101. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

102. Фильтры на поверхностных акустических волнах: Пер. с англ./ Под ред. Г.Мэттьза. М.: Радио и связь, 1981. 472 с.

103. Шифрин Е.И. О приближенном решении уравнений некоторых смешанных задач теории упругости / В кн. Механика деформируемого твердого тела. Сер. Прочность и вязко-упругопластичность. Ред. А.Ю.Ишлинский, М.: Наука, 1986. С. 154-164.

104. Штернберг Э., Юбанкс Р. О понятии сосредоточенных нагрузок и расширении области применения теоремы единственности в линейной теории упругости. Механика, 1966. № 5 (39).

105. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. 280 с.

106. Abdei-Messiei Y.S., Thatcher R.W. Estimating the form of some three-dimensional singularities // Commun. Appl. Numer. Meth. 1990. V. 6. P. 333-341.

107. Achenbach J.D., Gautesen A.K., McMaken H. Ray methods for waves in elastic solids (with application to scattering by cracks). Pitman Advances Publishing Program. 1982.

108. Alves C.J.S., Ha Duong T. Numerical resolution of the boundary integral equations for elastic scattering by a plane crack // Int. J. Num. Mech. Eng. 1995. V. 38. P. 2347-2371.

109. Alves C. Étude numérique de la diffraction d'ondes acoustiques et élastiques par une fissure plane de forme quelconque. Problèmes directs et inverses // These de doctorat de L'ecole Polytechnique, Compiegne, France. 1995.

110. Auld B.A. General electromechanical reciprocity relations applied to the calculation of elastic wave scattering coefficients // Wave Motion. 1979. Vol. 1. P. 3-10.

111. Babeshko V.A., Glushkov E.V., Glushkova N.V. Energy vortices and backward fluxes in elastic waveguides // Wave Motion. 1992. No 16. P. 183-192.

112. Baum C.E. The singularity expansion method // Transient Electromagnetic Fields / Ed. L.E.Felsen. N.Y.: Springer-Verlag, 1976. P. 129-179.

113. Bazant Z.J. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method // Int. J. Engng Sci. 1974. 12. No 3. P. 221-243.

114. Bazant Z.P., Estenssoro L.F. Surface singularity and crack propagation // Int. J. of Solids and Structures. 1979. V. 15. P. 405-426.

115. Becker I., Schnack E. Numerical calculation of singularities at reentrant edges and corners for three dimensional crack problems // Z.angew. Math, und Mech. 1990. 70, No 11. P. 529-530.

116. Benthem J.P. State of stress at the vertex of a quarter-infinite crack in a half-space // Int. J. of Solids and Structures. 1977. V. 13. P. 479-492.

117. Benthem J.P. The quarter-infinite crack in a half space; alternative and additional solutions // Int. J. of Solids and Structures. 1980. V. 16. P. 119-130.

118. Bogy D.B. Edge-bonded dissimilar orthogonal elastic wedges under normal and shearing loading //J Appl. Mech. 1968. V. 35. P. 460466.

119. Bogy D.B. On the problem of edge-bonded elastic quarter-places loaded at the boundary // Int. J. Solids and Structures. 1970. V. 6. P. 12871313.

120. Bollig G., Langenberg K.J. The singularity expansion method as applied to the elastodynamic scattering problem // Wave Motion. 1983. V. 5. No 4. P. 331-354.

121. Bostrom A. Acoustic scattering by a sound-hard rectangle //J. Acoust. Soc. Am. 1991. 90(6). P. 3344-3347.

122. Bostrom A., Bovick P., Olsson P. A comparison of exact first order and spring boundary conditions for scattering by thin layers // Journal of Nondestructive Evaluation. 1992. V. 11, Nos. 3/4. P. 175-184.

123. Bostrom A., Eriksson A.S. Scattering by two penny-shaped cracks with spring boundary conditions // Proc. R. Soc. Lond. A. 1993. V. 443. P. 183-201.

124. Bostrôm A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modelling and nondestructive crack detection // J. Acoust. Soc. Am. 1995. 97. P. 2836-2848.

125. Budreck D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method // Journal of Applied Mechanics. 1988. V. 55. P. 405-412.

126. Chapman R.K. A system model for the ultrasonic inspection of smooth planar cracks // J. Nondestr.Eval. 1990. V. 9. P. 197-211.

127. Ciarletta M., Passarella F., Sumbatyan M.A. Scattering of a horizontally polarized oblique wave by a surface-breaking cracks //J. Acoust. Soc. Am. 1996. 100(5). P. 2937-2941.

128. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. Berlin, etc.: Springer, 1992. 305 p.

129. Chien C.F., Waterhouse R.V. Singular points of intensity streamlines in two-dimensional sound fields //J. Acoust. Soc. Am. 1997. 101(2). P. 705-712.

130. Delale F. Stress singularities in bonded anisotropic materials // Int. J. Solids Structures. 1984. V. 20. No 1. P. 31-40.

131. Destuynder P., Stackler C., Ousset Y. Calcul des singularités de contraintes d'effets de bords // Annales de Composites. 1987. No 1. P. 81-96.

132. Dimitrov A. Institute of Solid Mechanics, Karlsruhe University, Germany, 1999 (private communication).

133. Dundurs J. Stress concentration at sharp edge in contact problems // Journal of Elasticity. V. 2. No 2. P. 109-112.

134. England A.H. On stress singularities in linear elasticity // Int. J. Eng. Sci. 1971. V. 9. P. 571-585.

135. Eriksson A.S. Natural frequencies of a penny-shaped crack with spring boundary condition // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1995. V. 62. No 1. P. 59-63.

136. Eriksson K., Estep D., Hansbo P. and Johnson C. Introduction to adaptive methods for differential equations // Acta Numerica. 1995.

137. Fellinger P., Marklein R., Langerberg K.J. and Klaholz S. Numerical modeling of elastic wave propagation and scattering with EFIT-elastodynamic finite integration technique // Wave Motion. 1995. V. 21. P. 47-66.

138. Folias E.S. On the three-dimensional theory of cracked plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1975. Sept. P. 663-674.

139. Ghahremani F. A numerical variational method for extracting 3D singularities // Int. J. Solids Structures. 1991. V. 27. No 11. P. 13711386.

140. Ghahremani F., Shih C.F. Corner singularities of three-dimensional planar interface cracks // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. V. 59. No 1. P. 61-68.

141. Glushkov E., Glushkova N. Low cost computer models in elastodynamics. IMA Conference on Boundary Integral Methods: Theory and Applications, 15-18 September, 1997, University of Salford, UK.

142. Glushkov E., Glushkova N. Blocking property of energy vortices in elastic waveguides //J. Acoust. Soc. Am. 1997. 102(3). P. 1356-1360.

143. Glushkov E., Glushkova N. and Kirillowa Je. Semi-analytical methods for solving integral equations of elastodynamics / Computational Methods in Contact Mechanics IV. Editors: L. Gaul, C.A. Brebbia; Wessex Institute of Technology, UK, 1999. P. 241-250.

144. Glushkov E., Glushkova N., Lapina 0. 3D Elastic stress singularity at polyhedral corner points // Int. Journal of Solids and Structures. 1999. V. 36. P. 1105-1128.

145. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Munz D.and Yang Y.Y. Analytical solution for the stresses near the corner points of dissimilar material joints subjected to thermal loading (submitted to Int. J. Fracture).

146. Guan L., Norris A. Elastic wave scattering by rectangular cracks // Int.J.Solids Structures. 1992. V. 29. No 12. P. 1549-1565.

147. Guiggiani M., Krishnasamy J., Rudolphi T.J. and Rizzo F.J. A general algorithm for the numerical solution of hypersingular boundary integral equations //J. Appl. Mech. ASME. 1992. V. 59. P. 604-614.

148. Harumi K., Uchida M. Computer simulation of ultrasonics and its applications //J. Nondestr. Eval. 1990. V. 9. P. 81-99.

149. Haskell N.A. The dispersion of surface waves on multilayered media // Bull. Seism. Soc. Amer. 1953. V. 43. P. 17-34.

150. Hein V.L., Erdogan F. Stress singularities in a two-material wedge // Int.J. Fracture Mechanics. V. 7. P. 317-330.

151. HofF R., Glushkov E., Glushkova N.,.Li Y.L, Munz D., and Yang Y.Y. Singular stress fields at 3D corner points of Material joints under mechanical loading. In: 31. Tagung des DVM-Arbeitskreises Bruchvorgange, Berlin, DVM, 1999. P. 349-358.

152. Kazys R.J., Mazeika L. Transients in piezoelectric transducers of finite dimensions //J. Acoust. Soc. Am. 1990. 88. P. 12-18.

153. Krenk S., Schmidt H. Elastic wave scattering by a circular crack // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1982, A 308. P. 167-198.

154. Koguchi H. Stress singularity analysis in three-dimensional bonded structure // Int. J. Solids Structures. 1997. V. 34. No. 4. P. 461-480.

155. Kozlov, V., Wendland, W.L., Goldberg H. The behaviour of elastic fields and boundary integral Mellin techniques near conical points // Math. Nachr. 1996. 179. P. 95-133.

156. Krishnappa G., McDougall J.M. Sound intensity distribution and energy flow in the nearfield of a clamped circular plate //J. Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design. 1989. V. 111. P. 465-471.

157. Kristiansen U.R. A numerical study of acoustic intensity distribution close to a vibrating membrane // Journal of Sound and Vibration. 1981. 76. P. 305-309.

158. Kuo M.C., Bogy, D.B. Plane solutions for the displacement and traction-displacement problems for anisotropic elastic wedges // ASME. J.Appl.Mech. 1974. P. 197-202.

159. Labreuche C. Inverse obstacle scattering based on resonant frequencies / INRIA Conference on inverse problems of wave propagation and diffraction, Aix-les-Bains, France, Sept. 23 27, 1996.

160. Leguillon D., Sanchez-Palencia E. Calcul des singularités de bord dans les composites / Comptes Rendus des Cinquièmes Journées Nationales sur les Composites, Editions Pluralis, Paris. 1986. P. 133-146.

161. Leguillon D. Computation of 3D-singularities in elasticity // Boundary Value Problems and Integral Equations in Nonsmooth Domains / Eds. M. Costabel, et all. New-York: M. Dekker, 1995. P. 161-170.

162. Lin W., Keer L.M. Scattering by a planar three-dimensional crack // J. Acoust. Soc. Am. 1987. 82(4) P. 1442-1448.

163. Liu S.W., Datta S.K. Scattering of ultrasonic wave by cracks in a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1993. V. 60. June. P. 352-357.

164. Liu S.W., Rizzo F.J. A weakly singular form of the hypersingular boundary integral equations for radiation and scattering of elastic waves in three dimensions // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1993. V. 10. P. 131-144.

165. Lord W., Ludwig R. And You'Z. Developments in ultrasonic modeling with finite element analysis //J. Nondestr. Eval. 1990. V. 9. P. 129-143.

166. Mann J.A.,Ill, Tichy J., and Romano A.J. Instantaneous and time-averaged energy transfer in acoustic fields //J. Acoust. Soc. Am. 1987. 82(1). P. 17-29.

167. Martin P.A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks: shear loadings // J. Mech. Phys. Solids. 1995. V. 43. No. 2. P. 272-294.

168. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion. 1980. V. 2. P. 277292.

169. Mizuno K., Miyazawa K., Suga T. Characterization of thermal stress in ceramic/metal-joint // J. Faculty Engng, Univ. Tokyo (B). 1988. 39(4). P. 401-412.

170. Munz D., Fett T., Yang Y.Y. The regular stress term in bonded dissimilar materials after a change in temperature // Eng. Fract. Mech. 1993. V. 44. No. 2. P. 185-194.

171. Munz D., Yang Y.Y. Stresses near the edge of bonded dissimilar materials described by two stress intensity factors // Intern. J. Fracture. 1993. V. 60. No. 2. P. 169-177.

172. Parihar K.S., Keer L.M. The singularity at the apex of a bounded wedge-shaped stamp //J. Appl. Mech. 1979. V. 46.

173. Pesonen K., Uosukainen S. On rotationality of acoustic intensity fields // Proceedings of the Int. Conf. on Noise Control Eng., Internoise 84. Honolulu. 1984. P. 1125-1128.

174. Press W.H. et al. Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. 1986. 818 p.

175. Rokhlin S.I., Wang Y.J. Analysis of boundary conditions for elastic wave interaction with an interface between two solids // J. Acoust. Soc. Am. 1991. 89(2). P. 503-515.

176. Scarpetta E., Sumbatyan M.À. On wave propagation in elastic solids with a doubly periodic array of cracks // Wave Motion. 1997. No 25. P. 61-72.

177. Schmitz H., Volk K. and Wendland W. Three-dimensional singularities of elastic fields near vertices // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 1993. 9. P. 323-337.

178. Schultz T.J., Smith Jr., P.W., Malme C.I. Measurements in nearfields and reverberant spaces. Bolt Beranek and Newman Inc. 1964. Rep. No. 1135.

179. Schultz T., Smith Jr., P.W., Malme C.I. Measurement of acoustic intensity in a reactive sound field //J. Acoust. Soc. Am. 1975. V. 57, No. 6. P. 1263-1268.

180. Schwartz L. Theorie des distributions, I-II, Paris, 1950-1951.

181. Skelton E.A., Waterhouse R.V. Energy streamlines for a cpherical shell scattering plane waves // J. Acoust. Soc. Am. 1985. 80. P. 1473-1478.

182. Sobolev S.L. Métode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales, Math. Collection. 1936. 1 (43). P. 39-72.

183. Sommerfeld A. Speziele Lösungen des Problems der Eigenschwingung beim Quader und Würfel. Bayer Akad. Wiss. Abhand. 1945. Math. Naturwiss klasse, s. 81-88.

184. Theocaris P.S. The order of singularity at a multi-wedge corner of a composite plate // Int. J. Eng. Sei. 1974. V. 12. P. 107-120.

185. Thomson W.T. Transmission of elastic waves throuth a stratified medium //J. Appl. Phys. 1950. V. 21. P. 89-93.

186. Visscher W.M. Theory of scattering of elastic waves from flat cracks of arbitrary shape // Wave Motion.1983. V. 5. No. 1. P. 15-32.

187. Waterhouse R.V., Crighton D.G., and Ffowcs-Williams J.E. A criterion for an energy vortex in a sound field //J. Acoust. Soc. Am. 1987. 81. P. 1323-1326.

188. Waterhouse R.V., Feit D. Equal energy streamlines //J. Acoust. Soc. Am. 1986. 80. P. 681-684.

189. Waterhouse R.V., Yates T.W., Feit D., and Liu Y.N. Energy streamlines of a sound source //J. Acoust. Soc. Am. 1985. 78. P. 758762.

190. Weizman R.J.and Zinoviev E.V. On sound energy flow caused by plate vibration //J. Sound and Vibration. 1994. 173(3). P. 429-432.

191. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corner of plates in extension //J. Appl. Mech. ASME. 1952. V. 19. P. 526-528.

192. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра / / Прикладная математика и механика. 1967. Т; 31. Вып. 1.

193. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

194. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

195. Дьяконов М.В., Устинов Ю.А. Дифракция сдвиговых волн на бесконечной и конечной периодических системах разрезов в упругом слое // Акустический журнал. 1997. Т. 43. № 2. С. 176-181.

196. Лущик О., Устинов Ю.А. Распространение волн в неоднородной полосе с наклонной границей раздела / Фундаментальные и прикладные проблемы. Нижний Новгород. 1995. Вып. 2. С. 133-139.

197. Karp S.N., Karal F.C.J. The elastic field behaviour in the neighbourhood of a crack of arbitrary angle // Commun. Pure Appl. Math. 1962. V. 15. P. 413-421.