Определяющие соотношения в двумерной группе кремоны над совершенным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИЙ II ОРДША ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

гоа?дш.шзмьй иявЕРсигЕТ 1-шш и.в.мсгжтоссм

> 1Га зразам рукописи

Ш>1 513,7

!С£ЩЗШ5РОВ •¿сщз? Пургтатовгл

I

сптслаетсз ксспсгпп а д^зго;!

ГЛ'ЛПЗ ЮР2Ш21 ШЩ Ш5НЯЖЖ1 П&ЗИ

01,01.05 - гатоматпчосгшя лотгпа, рягобра н теория -лсгд

Лзтсрзфэрат диссертация нз ссясхпккэ учвтаЗ степшги кандидата фпзшсо^атеивтиетстет ноук

Мспкт 199?,

\ / '

Работа выполнена на кафедре шсаей алгебры мэхашвсо-математического факультета Московского государственного университета вмени М.В.Ломоносова.

НАУЧШЙ РУКСвОДИТЕЛЬ: доктор 4изико-математических наук, профессор В.А.Псковских

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор 4Ы31Ш)-матемагических наук-С.Г.Танкеев кандидат физико-математических наук Н.П.Гувель

ВВДШЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Ярославбкий государственные педагогический институт

Защита состоится 9 УЛ." ./^Îr5.....1992 г. в 16.00 часов на заседании специализированного Совета 42 по математике (Д0Б3.05.06) при Московском государственном университете по адресу: 119699, г.Иосюза, Ленинские горн, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С дисертацив! моано ознакомиться в библиотека механико-математического факультета МГУ (14 aies). i- ■•

Автореферат разослав "/Л." f.fAff!^... .1992 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д.СБЗ.С6, при UI7

доктор физико-математических наук В.Н.ЧуСаратов

ОЩ*Я Х4Р/КТ2РИСТИКА РАЕ07Ц ЩУЭД^ЗТ П ВТСТУВЛЬВОСТЬ псслэдопрвия. Группой КрЭгГОНН (Р?) называется 1"руготэ бпрпцпонэлышх озтомор1измов прозктивпоЭ плоскос-Т'1 Рд над ПОЛОМ Л . ЙССЛ9ДОЗЕЕЯЛ СЗРОЦКОНЭЛЫЕК преобразований плосеооти била печати в 1053 году птальянсххм гэомотро:з Л .Кремоной, в касть которого к газзшга группа ьоох тагсзх прэсбргзовнниа. В 1053 году аптляИсхгй математик УЛСли-фФэрд прэдаолсгтл, что груши пэд олгоСргдчес;ш загяшутам полэм порождается

кпвдрэтошзш и стзовктяЕТОЛ хфаоврозсвекзяш. Пэдостзточпэ пол-еоо доказательство этого утверздзппя спублгжозал в 1871 году нэ-кзцкга М.Нэуэр, в честь которого это утвэрдцегата косит

н-зяк^э тзорзкз Нэтэра. Первое строгое доказательство теорема &?зра п 1501 году Бтальяюязгл госштрсм Г.Кастэлькусво

(ногоргя это'! ?эор;л подрсйг» азлозэна в" [153). Согромепноз яоасздтеямгам торрзгп Котора юаю паЗта в [12]. опзсаш» образу!^:« группа кл(р^) долге э сргуя гстрзчало трудности в сзязи с те:.?, что иг.е6стеыэ а то врзаа груша бшш конзчиошрсэдекЕша группе:,т!, т.о. болэе простоя! чем кремонсва.

В 70-х годах появляются ояксалня нетривиальных групп бираци-опальянх прзобргаовапкЗ алгебраических многообразий. Образугсиэ и соогЕС-сенЕЯ для группы Сщзац-гааалышх преобразований минимальной поворхности пвд совершенным полем описаны Ю.И.Маниным в 1939 ro.tr [10], а В.А.Псковских получил образующие и соотношения для некоторых грвхкоршя гягагообразий Фано [8].

Пусть ? - гладкая проективная поверхность над полем а .

V паз:;ваэтся ррциочалыюй, ес^гл повэрхкость р:= Р 0 3 ¡зирациональ-? _

но эккпгзгентко Рд над а , где а - алгэбрг.ическое звкшотпиз поля л . Группу бирацпоналышх автоморфизмов рационально* сст«рт-тюсти г обозначим через &(л р. Лгпбой бирзцшгалмщй - вгда.р-

физм а". V—► р'индуцирует изокорВггм —► поэ-

трыу для изучэния «1*др достаточно ограаг-шгьоя. л - - упг.'гаакн'ля •'.;•. поверхноетпа, ошсаюэвш в раСсяо ВД.КажзЕЗкаг [5} п C.*'sja C14J,, Это ЛЛбО ' ' ■ '' -

I. Поверхности Дзль-Пэцц,о у вндзкса £--=1,2,3 fi. г « з; цр~ - .'■ чем р « р^ гад когда г=3; Р - каздршга в р| еоп г4; вмазке г=1, то скоси товврзшоотя Дэдъ-Плдо csaaasa -a:«l,...,9; либо • ' ■ ' ■ .'."■' ■ ' '

II. Расслоения на йсиш2, т.е. с^всгзуат корЕззм • к: 3' —-» О на гладкую проективную юравуп рода пуль С, слой которого Г,. игл любой точкой tec Езокорфэа коаакэ з над полз*: внчзгов A(t) то'да t, при stom каждая кз коивк ^t^^it) иаврзгеодана над л(t) ( хотя над 5(t) мохет 'бить -призодиаа: рс:гт кокка (см. [3]) =2 или 3). Группы зАг р для рациональны поверхностей научались в работах Ю.И.Манина [9], В.А.Псковских [1]-[8], С.П.Трегуба [7], 1>.В.ВаЯнштейна [15J и М.Х.Гизатулгша [11].

Ы.Х.Гизатуллкн в 1982 году списал соошагззкя ucz^j сбраоу»-щшш в даукерноа группе Крзшш над звмкцутш подом. г&ораыз Ги-затуллила выглядит слвдуицам образом: вода i и Q - обюдшэ-1ше множества V - проективных пресбразоЕЕгшй плосг:ост>: н множества Q всех ее квадратичных преобразований',то за слррделшдео соотнсаокля mozho взять все трехчленные соотеоиэкая ¿¡^»-j *» где г , г-,, «3 ) с ? и q и кслшосация - тоедестзоаноо

преоСразезшпе.

Над незамкнутым полом образуэдиз били описани в работах с.Кантора в 1639 году и В.А.Исковскшс в 1984 году. Единственно открыли вопросом о строения я и ? рациональных поверхностей Р .

оставался вопрос о<5 определяющих соотношениях, между образующими

■ 2 * группы 8-1 ) над незамкнутым шлем а . Этому вопросу и посвзде-

на давкг'я рсЗота . ■' ■

fejbtSsc-oT»«, <teCajBH9 спродаггжгк соотшпая ksw сбрззувсзши ГруПЕН ЕВД К(ЗЙЗЖЗ?ТКМ ТОЖЛ ^ А . Зз ОСрЕЗЗГЙЩ^Э вкбрввы

обряз;ргдкэ кз работа 8.А.Псковских [1].

глйглзчп. бсноёноЗ. розультат диссертации: Tecçara Я. Вс«!. .cooÄCiisnii, оирсзггдага .группа е*(р|) ре-о'е?и цз ¿гёздатся га ссютпсгзгг! tril-lrSCJ. •-l-re^resœsîi п'таозэглческья псгаогЕГЬ Т!3цста. Дзосзртзпря нмвет ' теерэетгшсй зюргсстзр.. £э ровуяьтата иогуг еейтз хфаизкваяе в •• ооамт' рказналсЕз тагэрхаостоЗ л в галопа сарацн-

олгаззкг трэзизрапх я^обргялзшгаг. нпогообрегяа.

, ¿TTjsCsmu pagara. Оскязано рзвультаты дассвркздка докладавшясь. л ¿Озудал^сь пя сеистпзрэ цо аггебрсачвско2 гзсялвтрги под рук. BJl.B3SsnKSS.. а такт» на яг^одро еясзА ялтебрп Ш. R-áHüIBÜ'I; scî-Э ;?;сссртгцая гпгором еяубдшговаво 2 работа. Ctoc: Хгргзэдзи я повдэ еотарг^зрата.

д^сэргавта. йгссзрташ ccctchï ез ввояапйя, трох глав к crôaao хжзр&тура, еодергец'эго is raspeara. Сбъом дзссзртацпп .стр.

ОСНОЗЙОЕ СОДЕРйЧШЗ Р£Б0ТЫ

Во зт.'хиа зврасадгш бэтиецрозки. и дано краткоо оппсгашо or.:cr..t!7. р;::7плс1гз д'хсэртагг..

Б 51 г,::-тп I прягздаз cáseos сбразушзгк работа [1], Эта сб-резу"~::э ccïocïdohhki сбрагсз гоея£::вят алгорттпяпоски при упро-

р о

и:г"лсг.ольпого аптокорЗ^тага Рд —•» vf , исходя из дрй-стзч.ч но •ярэдожлгзЗ гр;тло ц~;.пса a*(P¿) [10]. Груяла

в*(г|) :?.'?ст встостьонкоэ точтсэ представление на продольной

- э -

груше циклов = 2^Рд) (см. [10]), поэтому все

бирационэлышо автоморфизмы из е*(р~) записываются в торгашах их действия на Z* (р|) . Есть только одно отлгчкэ: черэз 2,°(Y) обозначается свободная абелева группа, порожденная замкнутыми, а иэ геометрическими как в [10] точками пространства E(V) повэрхноо-

% *? О р

ти V над полем а . Пусть ¿с- г (Р£) = .wc р£ + ¿хр^) - класс прямой на плоскости . Если %'• —» - произвольное бира-циональное преобразование и %(*) = и - 2 п^ - образ'класса прямых t в группе , то при а=1 ишам ni=0 для всех * к

% - линейное проективное преобразование. Если се л>1, то по работе [1] найдутся максимальные точки Zj, и с каздоЯ звшну-той максимальной точкой xi найдется связанное с ней бирацио-нальное преобразование, применений которого к %[*) уменьшает коэффициент о. при г . Применяя эти бирациональные преобразования-образующие приходив к случаю «=1, т.е. к линейному проективному изоморфизму. Эти образущие обозначаются как 74 j д [x^.zgiXg...], при отом фундаментальные точки jtj ,х2«хз-• • этого преобразования кмэют соответственно степени

. !. Дается определение сцепления автоморфизмов 7, . , и правило записи композиции отображений в смысле сцепления.

§2 главы I описывает определяющие соотношения мевду. образующими этого списка. В §3 приведен список неравенств ^ д ), вог-чкахщих при условии «.'< а для кавдого 7, , . , где а' коэффициент при i - композиции преобразований ^ д•X » прицепной к г . Из этих неравенств видно, что список образущих может

ш

быть сокращен,так как во-первых, образующие выражаются через другие из списка, во-вторых, неравенства для них выводятся через другие, т.е., мы могли вообще не пользоваться этими образующими при уменьшении коэффициента а. "Лишними" образующими являются

^2,3,1* Т2,2,1» т2,5,1' T2,G,V

D 54 главы X дается опрэдолохгле специального слова для преобразований' 7¿ ( . • • • J о осли z=zn zj - слово из образуюсь, ирздотпалгпхео по'сотороэ соотношение, т.о. бирогуляр-шй автсгорфжи, дзЛствуизпЯ тоздэственно на z* (рд),

4(a)=^.a.-s{at/t ,...13} , В - TEItOñ 111153 КС i, ДЛЯ КОТОРОГО MeJ^ísíí)), гдо a(¿)=zí Яр то з - спзциальпо, если

«g Í < <гз+1 <... (*)

з строго специально, эсла a3_i< ав • и доказывается, что любое слово из обрззуксцп кото представить в ездэ произведения специальных слов. Si им определенном специального слова мл будем пользоваться во II главе, в III главе определение споциалыюго слова ¡гслсиияотся из-за того, что в III главе будут рассмотрена образуете ,...], у которых базисная точка Zj степени 1.

Глава II рассмотрит образущко ¿ д _ [х^...! с 5азЕскоЗ точкой xj степени ¿>1. Локмы i.j.а из главы IX рассматривают позыоетюсти для ss= ¿ д и для zQ+1 - неравенст-sa ^ д) и услов'ля (*) дао? сильные огрышчения на 1фатности ^ базисных точек x¿ преобразовании и zs+1. Перебор возможных • ¡арпантов z3 и zg+1 и возмомюсть замены Z,M.\"B па ДРЗ'ГК0> • [спользуя соотнесения (г1)-(г ) приводят к тому, что у получив-'-[егося слова а' эквивалентного z имеем либо А(з') < A(z), ибо z' - представило в виде произведения специальных слов П a¿, да A(ct¿) < A(z) для ¿ > 1, А(а^) = А(з), но а^ - строго яециолыюе.

Глава III рассматривает возмогнке варианты z3 и где

отя бы одно из них имеет точку степени 1, но ситуация не-колько иная. Для определения специального слова а понадобятся граничения на коэффициенты а.^ и при антиканоническом

- Б -

классе Ii и при штоса гаомэтрэтвсхого слов пучка козак, вообйз говоря, линейчатых nosapa&ocvsS Е образупцмэ Е^ (в cristo о? á¿p которые действуют ш ваюкдоя р| ) дейся&й.как ' i,.'

где р.- либо P:; , äsüj ässgSekcs тайараттв.

81 глаш ill хгасзщзн доказатеастеу того, чго явсйо апово. к!02°" быть продставлзно в еидэ проЕзпадеши.шоадшйь-кых слов (в смысла'определения главы III). /■

Прзобразования .Tg^Csj.a^l,' 73txtJi Тг^Ц,^],

рассматряваекпо . в- • главг .. И ..' хшаздкэг •; ооотаотсгсанно. О'-

§2. гласи ni pacci-iOi'piis ccó'f^cSDiEii'asas^ keü h дазебраэо-' ваниом 71 ,x¿l. Вэзкска:;?_ ссогожгшя дгаиз 600,1Й. В гягзо I есть сооташакия дагщ 6 ц 8 кезду" 7к'<» То '» < а „ , L' £3 главы in доказазао-гся» что Есз^уновдаута» сяогшясшз is: S3 ¡главы ill возмахевз? из кдаозх&га_¿да: ' па язад&хз a)í ксьятозидаи вязкедтаргвис npocopar,cí^jr.íi .(cu. Ц23) в «У-шй: стеао-нк 2, 4, и б к янвойг^й Ч» Лрмагядкззй шхзхада-кгаданз я б): комиуздшваоехк ftsrasnspo^a пгссСр^^овзайЗ, юра-, сгрэиваэдцл олш к вой' зч üysc.; разанааоПЕ; JUEsíSbíis; юверхкостях■

В S3 глет ill ¿jüxcsav^KKO о соотасаолжк. на

медрике. В качестве слад'Я-епЕ взеед? шэдаясл vacpoKs Гаоа^'л-

Г.йй.

В 04 глава III рассд:агриват-ся сдоушвш, нреоЗрглсга-Н'.-.я S являгооя jsköo раздогкэя Р"5, лабо cß: íj—> ig. Кры DTOV показывается как зг.?«шть i па ему вкваваявнгноэ 2', у

которого в^ fffi-moYcn уиэ «дели* из 7, T^s- "З' "Ú5,!'

7, г/ д-эяствукадс на пдоскэста Р5 :¡ рикьо рпссмочрзллшх.

l'£iCCMOTj>5H tarvo случай, когди » j - раэдутаз Р2, а 5В- 6 -

дао та яррбрззойгваяй '7^3, îîj4, Tt s, "73. ?5,i'ïi,?,7" 8

Tor-J агфлеэ cäjbo- i . txsso прэдстстать б спдэ прэхзводоняя cuaj яад&ошшг слез, у ' Г'с-тсрмх кос®{Ц2зпт либо А(с^) с: Л(5), либо .(ар «.А(5), no CTpûiX) cncrçraswioe, Л(а2) < Л(5).

'îï-oîcm ^ez^^înrpr^rr-iscTvOiî ira^ns^ по друк паритр&г« утдзгаг.г-тгэ яоЕчфптзоята псрэход сп-зщшшого олоза в строго iicu?;a.::'.nr.o.) кпглоссп

:еср*,уэ-Н, Всэ сооспсавнп кг'сэ? сЗрпзугарет гр'/ла" -»(if) рзбо-•н С i ] шгсд.11ся, тга ссатпгшкй (vi )-{r-S5).

Автор e:»p¿г-:с? 'бл1счдзрйя5?.ь asv^vuy ¡дасздау-элг» В.А.Ис-шзках sa. взявшая я pi-ftj-сз, -

Ц-Гофс пзакза ^эдгарагу за : Ис.чйвских Б. i, Сбр?,зугаще а двуморкой группе Дрсгэтз над совэр-ЮЕЕНМ ПОЛОМ. - ИсаЖДОЧаниа ПО ЗДГОЛг-Э, ÎC.LHKCSÏ, 1931» 0.88-114. !. йсяосскег В.". Рзцдоюльяг!? Ü0?spx30cra л пуч;-, сркьн*. - ;.'агем.. гС., 1007, ':.7-1Л1в/, c.«:C3-33Ö. !. :-i2:tOECKi£,í З.д. Угязонаяд'гю Tîoœprjocï'i с щъ'-ы рлцголэлкшх сритглх к с тола:."ж;1ьикм таэ.^с-см гелоптскэгэ к-тасса. -• Матал. ' 50., 1970, 83/1 КЗ/, ОЛ'0-ИЭ.

í. Рс-ковскях З.А. «ЭДедшалдога сгойтезз посэрхнойд; отсг^зн 4 в'1

- Мг.твм. ОЗ.. 13*72, Г.35/120/. Й1, 0,31-37: >. Псковских В.A. ítonciiaj^wis подола paiKcaawiis ггамрзпгестей 1ЗД лреазЕольянма ролями. - Иавсстяя АН CC0?, сер лга?.. 3979, Т.43, 51, 0.19-43. •

5. Иоковсках В.А. Оброзугадо я соотясзшшя ч группг.к барэциокаль-шк автоморфккоа двух кяесосз ргцяональкак поворлгоогэй. - тр. MÏ6M. ия-та им.В.А.Стеклова АН СССР, Т.165, с.67-78.

7. Исковских В.Л., Трегуб 6.Л. О бнрацнональшх автоморфизмах рациональных поаэрхностой. - Езкэстая All СССР, сер.ыат., 1991 Т.55, J52, с.254-281.

8. Псковских В.А. Бнрацпопалышэ авто:>:ор1<ивыа трехь:эрнах слгобра-кчоских многообразий. - Савремзнжо проблемы ¡.¡ятеыйетет, 1979, Т.12 /Итога науки к тохншш/, с.159-235.

9. Манин Ю.М. Роционалышо поверхности над соворвояяшп полями. -Матем.сб., 1967, Т.72/114/. £2. о.161-192. |

10. Манин Ю.М. Кубические йрргдд. - U.:Наука, 1972. ! И. Гизатуллин Н.Х. Оярэделякцкэ соотшкпая для крэг.кгаовой груп-ш плоскости. - Изаесакя Ali СССР, сор.:.;аг. ,15)32, Т.'16, Л5, с.БГО-Э1

12. Алгебреическкэ коз^жгссти / Под рад. И.Р.ШсфароЕша. - Тр.на1 кн-та ЛЯ СССР, 1S65, 75* 21Б С.(Ш кат., 1957, 5А323).

13.Kantor S. Kr.ticiible Zerlegung dar biratioiKJ.cn C-rtiaafcriistio-nen in ihre Friraiactcrsn. - Lionatch.. Kath. илб Ylsya., 1 S'JS'> Бй. 10 №1, р.54-74.

14. Mori S. Threefolde choos canonici:.! cv:idlo2 nr-a not rtaorical-ly eiiictive. - Ann. oi Math., 1SS2, T.116, р.133-176.

15. Weinstein P.W. On birational autctüorphitaa oi So?eri-2rauer . nuriaces. - Rept. Eep. iiat. Univ. Sicc!;V;olt.i, 195S, -Ol, p.l-U.

16. Hudson H.P. Сгеяопа trensioraaticnE in plens аг.й apr^c. -rii%e, 1927.

Р&боты автора по теме дчссэртацпп:

17.Кабдаканров O.K. О ссотпоеэкиях в двумерной групаз Кромош над совершенны,! полем. - Вестник f.iry, 1991, йЗ, c.iö-21.

38. 1<ьбдакаиров Ф.К. О соотношениях в яаууорззй группе Кремона иац ооьер'лошшм полом. - Веснах ЮТ, 1SS1, £4, с.81-8?

- е -