Определяющие соотношения в двумерной группе кремоны над совершенным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

о

YXPCI* t.

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РШЛЩШ Ш ОТМЕНА ТИТЛОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУЛШТГПЕНШЙ УНИВЕРСИТЕТ ¡МЕНИ Ы.В.ЛОМОНОСОВА

Кэз.гсшчвско-взтэао'гачасвгй факультет

ч

I Ял ярзвз! рукспнся

УДК 512.7

'ЛОШТ^ТСЗ ïapxaî Курда тогзп

шрздкшияя сосетвюяя в явтькгжй

ПТЗШЗ КИМОШ НАД соны иаши ЕПХЕН

01.01 -OG - математическая логпка, аагобра ж таорля чпсэл

Автореферат прссортеняи па соискание учрегоЗ cf?n;i ттшшчта {язпсо-матечаг?т?сгс"х нпук

Работа выполнена на кафедрэ высшей алгебра мвханшю-математического факультета Московского государствеиного университета имени к.В.Ломоносова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук, профессор В.А.Псковских

ОНЩИАЛЬШЕ ОППОНЕНТЫ: доктор {изико-математаческих наук-С.Г.Танкеев кандидат физико-математических наук Н.П.Гушель

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: ЯрослаабкиЯ государственной педагогический институт

/С ¿¿¿¿Л Защита состоится .............199В г.

в 16.00 часов на заседании специализированного Совета МП

по математика (Д053.05.05) при Московском государственном

университете по адресу: 119699, г.Косква, Ленинские горы,

МГУ, ыоханико-иатвиатическнй факультет, ауд. 14-08.

С дисертацией можно ознакомиться в библиотека шхеннко-катеыатического факультета ЫГУ (14 атех). ~ ■■

Автореферат разослан ".г.

Ученый секретарь

специализированного Совета Д.СбЗ.С5сО$" при ИГУ

доктор физико-математических наук В.Н.Чубариков

—ОБЩИ! ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Прог'зт и актуальность исследования. ГрушоЯ Кремона (р|) на-зшзаотся группа бироционалыих звтсморТнзмов проективной плоскости Рд пал полам л . Исслодозеиил бирационалыщх преобразований плоскости бит начаты в 1853 году итальянским геомотром Л.Кремоной, и честь которого и названа группа всэх таких преобразований. В 1053 году еиглийскиЯ математик У. Клиффорд предположил, что группа *МГд) над алгебраически зачхнутнм полом пороздается кзадрает™:;.::1. п прооктпвшял! пресбразованняш. Недостаточно полное доказательство этого утверждения опубликовал в 1871 году но-мзщсЛ глатонатик Н.Нэтэр, с часть которого это утворздопиэ носит нззвжггэ тсор.?1г1 Нэтора. Перзоо строгое доказательство теоремы Пзтерп дсно п 1501 году нтслышоюзл геометром Г.Кестэльнуово (пстор!'н яте! тоорв'з подрсО::о ззлогэна в' [15]). Соврэменноо Яохгз9ЭДС.вздэ теорема Нэтерэ мозно яаЗти з [13]. Описание озрсзупяс групп}} В1(р|) долгоэ вро?1я встречало трудности в связи с теп, что известие з то время группы бнли кокечнопороэденными грутшв-п, т.о. более простоях чем кремонова.

В 70-х годах появляется описания нетривиальных групп бираци-ональных преобразований алгебраических многообразий. Образующие и соотношения для группы бирационэлышх преобразований минимальной кубической поверхности над совериенннм полем описаны Ю.И.Маншшм в 1939 гогс; [10], а В.А.Исковских получил образуйте и соотноше-пия для нэггсгорах трохкэряых многообразий Фано [8].

Пуст1.. ? - гладкая прсохтганая поверхность над иолом д . 7 вззнлезгса ррцлочальюЛ, сс..гл попэрхпость р:= Р О » яироцис-иояь-

о _

но экгяг.-.—птпа ?д над л , где д - олгебрзтсскс. рпг-ггк'тпг поля л . '/ ггппу бгграиггана.чыпх гзто::ор£:зшо рацисн-т-иг' ' • т-у-кости I' с.Ссзначим через р. Лубо'Л бирзцкенэл» чпй :»• -р-

физм а". Р—► Р индуцирует изокорЗазм с : ■—♦ поэ-

тому для изучения ¡вм.&г достаточно огршшчжьсп а. - ■ 12зшкалькшл ••. поверхностями, описанными в работе Е.А.Исковекаг [б] с СЛ'дра [14],» • Это либо '.•'-.".•.•' :'. "• 1 '•■ " '-.;'-•■ .■'".'■ ' ■.•.'".••"/'."''.

I. Поверхности Дель-Пзццо Р индекса г-д,2,3 С. 1' « к; црг- , чем р р2 над л когда г=3; Р- кзздржа'в ?д еога зош же г=1, то шгеем поверхности Дедь-Пгццо 'сгепэка 1«... ,3;

либо ' ■ ■ ■ ' •'■■ ■ - '■ ■ ; ; 1 •"■.'...'•''

и. Расслоения на коеше, т.е. существует шрфязы ' и: г- ——» О на гладкую проективную 1ср:шуы рода куль С, слой которого над любой точкой * б С кзокорфон коагка в нод шчехоз

) точз$и 1;, при атом какдая из конек. ¿^с нэпрхгож;а ид ¿(1;) ( хотя над конэт бить -приводима: ргит кошка {си. [3]) =2 или 3). Группы аАг р для рациональных 1:евзрхностсй кьучаяксь в работах Ю.И.Ыанина [9], В.А.Исковстаа [1 )-[8], С.П.ТрзгуЗа [7], Ф.В.Вайнштейна [15] и Ы.Х.Гизвтуляина [11].

Ы.Х.Газатуллин в 1982 году ойисая соокгошея «вагу обраауэ-щиш1 б двумерной группе Кремона над з&икну'Ш! полей. Теорема Га-затуллина выглядит следующем образом: о ели Р и с) - ойьэдцкэ-1ше множества Р - проективных' преобразований шюс::ссгк и множества 0 есох ее квадратичных преобразований,то за с.тр^сляю'яш соотношения ыохаю взять все трогллбншэ соотношения = 1»

где г о-у, 02' 0з ^ € ? и 0 и композиция в? 23 - тзздаствепаое преобразование.

Над незамкнутым полом образующие были описаны в работах С.Кантора в 183э году и В.А.Псковских в 1934 году. Ддинствешо-открытым вопросом о строении ни Р рациональных поверхностей Р . оставался вопрос сс5 определяющих соотношениях между образующими

■о *

грушш над незамкнутым полем а . Этому вопросу и посвяще-

на данная работа .

Цель работа» описшшэ опрздэлящих соотнопенпи мэзду образующими

" V

группы 21(1^) над незамкнутым полем 'а . За образующие выбраны образущиэ из работы В.АЛТсковскиг. [1]. Нз7'ГТ.?г; Основной результат диссертации:

Тесрокз е. Вое соотйовэшя гк^ЛУ образукщгш:. группы ра-

бота {1} ЗПЬЭДЯТСЯ га COOTHOEeHT.il [г1 ]-[1-6с]. Пракггтаск'^я л тпоретичзстсая цейгссть работы. Дгтссартацпя пкэет тесрэггчоскнЗ харяхтзр. Еэ результаты могут найтл применение в сблвогя ¿?к5«зтшя1 рашгонплыЕй* исвэрхнсстэй и в каучэнии Сираця-снслш'Г. ез7-С!'.оргЕ31гов •грахкзрзгх алгебраических многообразий. АпрсСагТ'л работа. Осповкыэ результаты диссертации доклсдоеэлись л сСс^штсь кя сеюшарэ по алгебраической геометрии под рук. В.АЛйжовсхаг, □ тшоз на кафодро гнссой алгебр ЮТ. Игбгзсбщзи По тота дзсссртацап автора* опубликовало 2 реботн. Сш'.сок работ праведен в к ото вгтсрофэр ата.

Структура д.'-з-.с.ртецеч. ¿¿ссортгдил состоит иг введшим , трех глав и егкека литературы, сэдврзгзэго 18 названий. Объе?! диссзртзции стр.

ОСНОЗКОЕ СОДЕРЯАНЙЯ РАБОТЫ

Во Еподенка приведены нотпкфовки, и дало краткое описание основных результатов дпссортаигз.

В §1 главы I приводен список образующих работы [1], Эти образуемо есгзствэннш образом возникают алгоритмически при упро-

? ?

¡пенни прокЕ-сльного автоморфмвма %: Рд —■* Рд , исходя л? действия па предельной Г'оугао циклов [10]. Группа 2

«г(р~) !Р.:зэт естественное точное предстешшка на продольной

группе циклов = s-u ztp|) (см. [10]). поэтому все

бирационалыше автоморфизмы из записываются в терминах пх

действия на z*(Рд) . Есть только одно отлично: чзрзз 2°(v) обозначается свободная абелеза группа, пороздэныая замаутими, а нэ геометричесюши как в [10] точками пространства E(v) поьархкос-ти V над полем а . Пусть г & = з>*л Р^ + сЯРд) - класс

прямой на плоскости Р? . Если %: —► р® - произвольное ö;ipa-

ционалыюо преобразование и - ах - s - образ'класса

* о

прямых t в группе 2 (PJ) , то при «¿=1 кйоом лА=0 для всех г л % - JKiiüJjiioa проективное прообразсланне. Еслл i:e а>1, то по работе [1] наЯдутся максимальные точки г,,___и с гмэдоЛ аа'^шу-

той максимальной точкой s. наЦцотся связанное с ней биравдэ-налыюе преобразование, пру^.'.эисиыо которого к %(г) уненьдает кооф^щноит л при ' . Применяя эти бврацжшалышэ прообразоаа-шы-образуициа приходив к случаи о=1, т.о. к лишнему проективному изоа.эрфлзг.'у. Эти образущиа обозначайся как 7t [xj .Xgi-g • ■ • ]. при атом Сувдпзнтолыио точки

Xj .. атого преобразования имеют соответственно степени

«„/,•'<,... Дается определение сцеплзшт евтмот^изкоа 7. и правило записи ксшюзицш1 отображений и сг.шсле сцепления.

§2 главы I omicußaoT спределящтт соотносит межу, образующими атого списка. В §3 приведен список неравенств («•. , ), вог'чкаицих при условии о.' < а для каздого 7. . , где а' ■ коэффициент при t - композиции преобразований -j. . . % . прнмен-ной к * . Из этих неравенств видно, что список образующих ыохат быть сокращен,так как во-первых, образующие выражаются через другие из списка, во-вторых, неравенства для ши выводятся через

другие, т.е., мы могли вообще не пользоваться зтшлп образующими

«

при уменьшении коэффициента а. "Лишними" образующим! являются

2,3,1' Ъ,2,1' 5,1' т2,5,4-

В §4 главн I дается опрэдалепио специального слова для прео-

резовшшЯ' 4 ^[зг^,.. - ] с : если z=zlJ - слово з:з

бразузэдх, прэдстазля'зтзв некоторое соотношение, т.о. бирзгулпр-ай эзтоморгргсм, дзГ-огзущпЗ тоздостпэшю иа а"*СРд), (г)=.т^-г[а/г ,...!!} , в - топоД индекс (, для которого (а)---<^(а(0). гдо ар то г - ссэцчплыга, ослл

строго спзцхслтдго. если ^^ л , и дситшзпогся, что £1X503 лспэ 1тз образу;::;:;:: г:с:л:о прэ^отлезть з 'лтд') прсгсзг.одопия споцн-Л1П1Х с.'.ов. 5т: -Ч спрлдллзп'лсл.' сиепмадьпого слова будем поль-згатьсл по II гласз, з III глзпо спродо.'М!;':'} оплгпалллтого слава гюглшзтся из-за того, '¡то п III глгпз о/дут р'нлл^ллрлгл о^рлзу-цно ,,..], у лоторлх бпзшпя чотга стопопа I.

Глава II рассмотрит сорлзуслю . .. [х. о

**II■ • 1 ¿о О

ззвсвсл т0тк01 стопзнп <>1 . лслли i.:.'-- г:з глл.лн ii

латр'!гс:ат л:::л;с л:ости для г-,,- т; , и для - глрлг..злсг~

з :1 улгогал ("•) далт силытпэ ограпачония па кратности

£ базпснп:; ючлк гч прлсСразсгллп::! ¡1 Парс-Сор влгллтл:;:

зраантов а„ п а п восгло'лгасть зрг:з:ш на другие,

зпользуя соотношения (г1)-(г ) проводят тону, что у получив-' эгося слова ъ' эквивалентного з :т'еом хлСо А С з' ) < А(я), лбо ъ' - прэдстстаи.ю в виде произведения специальных слов И а., 50 А(<г) < Л (с) для <■ > 1, Мс^) = Л (к), по с^ - строго лзцпальноо.

Глава III рассматривает возмокш») вариант!; з„ и % ., гдэ этя Си одно из 1ппс имеет точку х^ степени 1, по ситуация но-галько иная. Для определения специального слова z понадобятся лрашнения на коэффициенты и 9 при снтикапоническом

класса h и при кдес.сэ геометрического слой пучка коник, вообще говоря, линейчатых поверхностей и образующие zl (в отличиэ от ¿¿, которые действуют на плоскости Р^ ) действуют как zt: I't—5, где либо F^ , либо линейчатые поверхности. *

§1 главы их посвящен доказательству того, что любое слово z^zjj^ij может быть представлено в надо произведения специальных слов (в смысле определения главы III).

Преобразования Tg,!^,^], Tgtxj], 74,1 f^ ,х2], 7г,1 Ц ,z2]• рассматриваемые в главе и совпадают ссогезтствзыко с

§2 глэеы га рассмотрит соотношения ыозду ним:: и преобразованном 71 j6[x1 ,х21. Возникавт соотношения длины 6,0,12- В главе ес-тъ соотношения длина 6 и 8 К25щу "'5,1' Т3 » 7gti £ Т^д» В §3 глави hi доказывается, что всэ■ упомянутые соотношекза lis §2. главы III возникают из композиции двух соотношений на квздркзсэ a)t композиции элементарных преобразований (см. [12}) в точша. съэпо-Ь'К 2, 4, и 6 и иньолкций Т. пврсстовлямцзе ик05ит£уп К8ЕДрй:Е и б): коммутативности ко,\шозицкк ало^злтарип преобразований, nops-страиващах одак к тот те кучок ри'датии&ни: Ktnm.-; па jKKafliatax поверхностях.

В §3 гльва III прЕэдоко дакоаательстао о соотнопшкях во ньэдрике. В качество следствия стсвдз вшзодогся теорема Гкзатул-

лнна.

Е 54 глаьы III рассматриваются ситуации, когда преобразовании Н3 являются либо раздуткэы Р2, либо 5е: у^ —* У0. При yrov. коказ-.шоотся как замоют» 2 но ему эквивалентное z', у чоторзго ■ язляотся уко одеюк из 71?2, 7lf4. 7i(g. Т3. 7r>,i' 7. ч допствугсдас пп плоскости Vм и уг:о раноо рассмотренных.

Ttt»"«о случай, когда Eß+1 - раздутие F', a £g-

ю ЕЗ гтзсбргзойшшй 7i,2» Ti,4» 7i,s» ?3- 75>1Л1г7,7- В

эы случае слово ' Е 'вясяо прэдс;гатить в еидэ произведения ot^oj эцгаяьпаг".отав, у'которых цоедфлиэнт либо A(aj < A(z), либо 3j.) ПО ^ бтрзго окдеалыюо, AÍOg) < А(5).

.Итогом.' глкстаогр£^зской: пццувцпя по двум порадетрвм «эггьч213Ев когф5'ш>:эотп ют шргжол югацзашюго слова в строго эцяяхьяоэ.) язлпэтж? •'''■.

opaua;R, Всэ соэшяэкм кэгяу образущккя группа ртбо-

[11 епводятся :гл соо"п!ог1ек^ (rl)-(гС,5).

- Автор aspasas? 'блЬгЪлпрнооеь пт-г-гло^у руководителю В.А.йс- ' взкгс: га.ЕЕмзгеа к работа..

Кскоескях В.А. Образующие в даухорной группе Кремона над совэр-кесзл полем. - Лссгдсговсная по алгебра. Тбилиси, 1934, с.£3-114. КСКС2СИЕ2 В..л. ГацкспйяькЕе погэргюста о яучкеа раччопплдоо: кннх. - í.'aTRM. сб», 1С37, 'Г.74/116/, с.еОЗ-ЗЗЗ. Ксесбских В.А. Ргцяснапжнз поЕпряюстп с пучг.см рсцг.онсгыза н с нологжолыкгл гевдр^тем к&пснйчоского iciccca. - Матом. : 1370, Т.83/125/, .51, C.&Q-H9. псковских З.А. сЕретио'-кльгаа свойства шьергнсста степчкя 4 в'' . - Мптем. сб., 1972, T.S8/1S0/, Ж, 0,31-37;

йсксвски* В.А. Ианпмашяэ модели рацдояашдо: поверхностей д цроизвольнкп нолями. - Иевзстиг. АН СССР, сер.мах. ,1979, Т.43, , с.13-43. ■

Псковских В.А. Образукщпэ а соотношения в группах бкрэциональ-х автоморфизмов двух классов ргционельных поверхностей. - Тр. леи. ш-та им.З.А.Стеклоза АН СССР, Т.165, с.67-78.

7. Псковских В.Л., Трогуб С.Л. О бирацяонаяьшх азтсиорфизмах рациональных поверхностей. - Известил ЛИ СССР, сер.пат., 1991 Т.55, JT2. С.254-281.

6. Псковских В.А. Бирациональные автоморфизмы трехг-эрных алгобра-ических многообразий. - Современные проблемы математики, 1S79, Т. 12 /Итоги наука и техники/, с. 159-235.

9. Панин D.M. Рацнопалыша поверхности над совершенными поляг.®. -Матем.сб., 1967, Т.72/114/, JE2, С.161-192,

10. Манин D.M. Кубические (Iop;.üi. - Ы.:Наука, 1972.

11. Гизатуллин М.Х. Определяющие соотношения для крэмоповой группы плоскости. - известия АН СССР, сэр.мат. ,1932, Т.46, Ä5, с.90S-;

12. Алгебраические Еозэрхьсстя / Под рад. П .РХгфзронл'ш. - Тр.:;£ »¡-та АН СССР, 1965, 75, 215 с. (РГ,: Иат., 1SS7, 5А320).

13.Kantor В. Rationale Zerlegung dor birationilcn TitnaiormtIonen in ihre Primiactoren. - Konatch. tlath. und Kiys., 1393, Bd. 1С Ä1, p.54-74.

14. Mori S. ThriseiclcUs \;Ьовс canonical bundles are not numerically offecfcive. - Ann. of math., 1S32, V.116, р. 133-176.

15. Via inet ein F.W. On birational autciaorphicina of Sevtiri-Eraucr nurfaces. - Rept, Dep. i'at. Univ. StccIdiolM, 1989, -Лp.l-K.

16. Hudeon H.P. Cremona trejiaforcaaticns in plane ana. upuca. - Caal ridge, 1927.

Работы автора по теме диссертации:

17.Кабдыкпиров Ф.К. 0 соотношениях в двумерной грутао Кремоны над совершенном полом. - Вестник МГУ, 1991, J¡3, c,iö-2i.

18. .-Сьбдикаиров Ф.К. 0 соотношениях в дз^тарзз'; группе Кремоны нач oosopsiDsoK'ii подэы. - Boctjüc: ;-Ti>\ 1v31-. с.Ol-8?