Оптимальнi за точнiстю алгоритми обчислення iнтегралiв вiд швидкоосцилюючих функцiй тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Ки1вський уи1верситет г, Г 6 0#н/ ^аРвса Шевченка

Я 1333

На правах рукопису

Непьник Катерина Никола!вна

УЖ 519.64

ОПТИКАЛЫИ ЗА ТОЧН1СТВ АЛГОРИТМ ОБЧИСЛЕННЯ 1НТЕГРАЛ1В В1Д 0ВИДКООСЦЙЛШМ ФУНКЦ1И

01.01.07 - обчиспъвапьна математика

Автореферат писертаиН на эпобуття вченого стуленя ■ каНЬиаата Ф1 эико-математтних наук

Шв - ¡993

- г -

Робота виконана в Ки!вському ун1верситет1 1мен1 Тараса Шевченка та 1нститут1 к1<5ернетики 1мен1 В.И.Глушкова АН Укра!ни

Науковий кер1вник: 0ф1ц1йн1 0п0н9нти:

доктор ф1зико-математичних наук, профвсор Задирака В. К.

доктор ф1зико-математичних наук, профвсор Слоньовський Р. В.

кандидат ф1зико-математичних наук, старший науковий спхвро-<51тник Х1м1ч 0. М.

Пров1дна орган1зац1я; , 1нститут математики АН Укра1ни

Захист Ыдйу деться £ К АН С Т&ПАДА 1993 р. о Й- годин1 на зас!данн1 спец1ал!эовано1 учено! ради Д 068.18.16 при Ки!вському ун1верситвт1 1мен1 Тараса Шевченка за адресов: 252127, Ки1в-127, проспект Академ1ка Глушкова. 6, факультет к1<3ернетики, ауд.40.

3 дисертаилсс мохна оэнайомитися в 01бл1отец1 Ки1вського ун!верситету.

Автореферат роэ!слано $ К ЯгС&ТНД 1993 р.

Учений секретар спец1ал1эовано! учено! ради

А.В.Кузьм!н

ЛКТУАЛ1Ч1С11' ТЕМИ. Гз зростанням окладност! заДАч, то висува-сться пра'.тиксо, п)двищуеться необх!дн1сть подальшого розвитку гаккх розд1.-'1в обчисле^ально! математики як створення оптима-лыих метод1В ртав'яэку стандартних задач обчислювально! т& прик;-.адно1 »'ите^атики, порхвняльчий анал1з точност1 та ефек-.явное л обчислювальних аягоритм1В, жо використовуються, вдо-сконаленнл т&орП похибок обчислень. Ш проблема ст.шулюють пошук нови:: чисельних методов та опособ1в 1х реал1зац11.

Розв'язування задач цифрово! обробки сигнал1в.розп1знава-ння образ1в, моделсвання оптичних систем, синтезованкх голог-рам та систем автоматичного регулювання, статистично! обробга експериментальних даних, крайових задач для р1внянь ъ частин-них пох!дних та ряду 1нших клас1в задач пов'язано а в!дновлен-ням функц!й та обчисленням 1нтеграл1в в1д цих фунхц1й, як1 у багатьох практично ваасливих випадках е швидкоосцилвючими. У зв'язку з цим побудова оптимальних за точн1стю 1 оптимальних за порядком точност1 квадратурних та кубатурних формул, анал1э 1х точност! та ефективност! е актуальними задачами, но мавть широке практичне застосування.

Р1зн1 п!дходи до розв'язку таких задач в1добра»ен1 в роботах багатьох в!тчизняних та заруб1жних автор1в: Бахвалова М. С., Вожьняковського X. , Ейнарсона Б. , Жилейк1на Я. М. , Зади-раки В. К., 1ванова В. В., 1сра1лова МЛ., Коллатца Л., Колмогорова А. Ц., Корн1Йчука М. П., КриловаВ.1., Н1колаево1 М. В. , Школьського С. М. ,' Рвачова В. Л., Трауба Дж., Файлояа Л. та багатьох 1нших.

МЕТА РОБОТИ.

Метою дисертац1йно1 роботи е:

- конструктивно розв'язати задачу оптимального эа точн1отв в!д-новлення функцИ двох зм1нних Аля деяких клас1в функЩй, ао эадов1льняють умов1 Л1пшиця, а тако* побудуватя у цих класах оптимальн1 за ,точн1стю кубатурн1 формули;

- побудувати оптимальн1 за порядком точност1 (з константоп, но не перевищуе дв1йки) квад*ратурн1 та кубатурн1 формули об-числення 1нтеграл1в в1д швидкоосцилссчих

Функц1й для ряду 1нтерполяц1йних клас!в Л1пшиця при р1зних способах задания апр!орно1 1иформацИ;

- узагальнити одержан1 'результата на випадок с1ток, що лозволяють-зменшиткГоб'ем апр1орно1 !нформац!1, необх!дно! для розв'язку поставлених задач;

- одержати оц1нки похибок методу во1х побудованих квадратурних 1 кубатурних формул;

- розробити в1дпов1дне программе эабезпечення.

МЕТОДИ ДОС/ПДХЕННЯ. У дан!й робот! досл1дження проводились з використанням .методу ' граничних функц1Я„ який . полягае в побудов! найкращого алгоритму для найб1льш несприятливо! ФункцН класу. Цей напрямок воображений в роботах багатьох в!тчиэняних та заруб!хних автор1в: М. С. Бахвалова, X. Вожняковського, В.К.Задираки, В. В. 1ванова, А.Г.Сухарева, Дж,Ф. Трауба та 1н. У перш1й глав! квадратурн1 та кубатурн1 • формули наближеного !нтегрування швидкоосцилвючих функц!й розроблен! на основ1 метод1в нев'язки та квазирозв'яэк1в. У друг1й та трет!6 главах оптимальн1 за точн1стс оптимальн! за порядком точност! Сз константою, що не перевищуе дв!йки) кубатурн! формула побудован! з використанням результат1в розв'язування задач оптимального за точн1стю в1дновлення функШй.

НАУКОВА НОВИЗНА. В дисертац!! конструктивно розв'язана задача оптимального за точн1стю в1дновлення функц!й двох зм1нних I-оптимального за точн!стю 1х 1нтегрування для ряду 1нтерполяц1-йних клас1в Л!пшиця. Для вс1х розглянутих клао!в побудован! оптимальн! за порядком точност! Сз константов, до не перевищуе дв1йки) квадратурн1 та кубатурн! формули обчислення 1нтегра-л1в в!д швидкоосцилсвчих функц!й при р!зних способах задания апр!орно! !нформац!1 у випадках, коли застосування вже в1яомих формул 1нтег|>ування таких фунШй'не е доЩльним, а в багатьох випадках 1 не можливе у зв'яэку з великою фактичное похибкою обчислень.. Одержан! оц!нки. похибок методу вс1х лобудованих квадратурних та кубатурних формул. Для ряду !нтерполяц1йних клас!в Л!пшиця зд!йснено виб1р с1ток, який дозволяв зменшити об'ем апр1орно1 !нформац!1, во необхШа для розв'язку поставлених задач, !з збереженням точност! побудованих формул.

ПРАКТИЧНА ЦШПСТЬ. На основ! запропонованих, 1 обгрунтованих в дисертацП алгоритм1в розроблен1 в1дпов1дн1 програми роэв '■ язування задач та програми отчисления 1х основних характеристик (точности, часу, пам'ят!)', як! входять до пакету про-грам цифрово! обробки сигнал!в СЦОС-1), розробленого у в1дд1-л! 0птим!зац11 чисельннх методХв 1нституту к!бернетики 1м. В. М. Глушкова АН Укра1ни.

АПР0БАЦ1Я РЕЗУЛЬТАТА РОБОТИ. Основн! результата ро<5отн допов1дались та обговорсвались на ■ Республ1канських школах-сем!нарах "Питания оптом!зацII обчислень" См.Ки1в, 1986р.; м. Одеса, 1989 р.), конференциях ыолодих вчених !нституту к1бернетики 1м. В. М.Глушкова АН Укра1ни (м.Ки!в, 1987, 1988) зас1даннях сем!нару "Оптим!зац!я обчислень" науково! ради АН Укра1ни по проблем1 "К1(3ернвтика" С1988-1990), сем1нару кафедри чисельних метод1в иатематично! ф!эики Швського державного ун!верситету !и. Т.Г. Еовчепко С1990 р., 1993 р.), :,Р«спу0л1кансько1 конференц! I "Екетрекальн! задач! теорП наближень та 1х застоеування" См. Ки1в, 1990 р.), в 1нститут! математики АН Укра1ни С 1993р.).

ПР результатам дисертацЦ опубл1коваяо 7 роб1Т.

СТРУКТУРА ДИСЕРТАЦП. Дисертац1я складаеться з вступу. ,Трьох глав, висновк!в, б!бл1ограф11 э 115 найменувань та до-, датку.

КОРОТКИЙ ЗИ1СГГ ДИСЕРТАЦ11.

У вступ1 даетьея огляд л1тератури по тематиц1 дисер-тацШно! роботи, обгрунтовуеться актуальн1сть вибраяо! тема, наводяться основн! постановки задач 1 коротко викладаеться эм1ст дисертацП по главам.

Розв'язування багатьох клас!в задач прикладноГ математики 0 пов'язано з отчислениям 1нтеграл1в вигляду

Ь1 Ьп

ГСП= ГСх,.....хп) ф1Сх1)-... •1рпСхп)йх1..^хп (1)

де q^Cx^), к=Г7й - BinoMi iHTerpoBHi функц!!, a 1Чх) належить деяхому эаданому кпасу функцхй F, Х=Сх}.... хп ) € п , пп = ={ak<xk¿bk,k=l,n> за припущенням, то íH$opMauiH про fCX) задаешься не <5!льше н!ж N П значениями у вузлових точках. Важли-вим частинним випадком поставлено! эадач1 е задача оц1кки ík-теграл!в вигляду:

г1 >

1[ЧП= J...I f(x,,...,xn)dx1...dxn (2)

*i % ь» ьп

I"(f)= Г... Г fCx,.....х ) -Sino), х, •... -sin» х dx,.. .dx (3)

£ j j * n * * пп1 п

»1 % "i bn

lD(f)= f... I f(x,.....x ) •cosw.x, ■... -coso x dx,.. dx C4)

3 j j * п 11 nnl n

je вк - дов!лън! д1йсн1 числа. |wkl- 2n/Cbfc-afc3 , к=ГТп при n=l 1 п-2. Дана дисертац1йна робота присвячена побудов! опти-мальних аа точн!стс i оптимальних за порядком точност! (з константос, во не перевищуе дв1Яки) квадратурних i кубатурних формул отчисления 1нтеграл1в С1Э-С4Э для ряду 1нтерполяц1йних клас1в Л1пшиця,

НехаЯ <рункц1я f налетать деякому класу F, a M - деяка шюжина алгоритм1в 1нтегрування. Точн1сть vCf.A) !нтегрування деяко! функцП f алгоритмом А на к лас! вибираеться як критер1й, за якиы можна оц!нввати як!сть алгоритму. Для пойудови квадратурних i кубатурних формул в робот1 використовуеться метод граничних функц!й. який полягае в побудов1 найкращого алгоритму для найПршо! функцП класу. Як найПрша функд1я э класу F приймаеться функц1я, по реал1зуе sup vCf.A) для даного алгоритму. Оптималъним на множив!

f 6 F

алгоритм1в 1нтегрування M наэиваеться алгоритм А, який MiHiMi-зуе функд!»

vCA)-sup vCf.A) CS)

f € F

no bcIm алгоритмам э M. При побудбв! метод!в наближеного 1н-

тегрування, як правило, розглядаються досить широк! класи фун-кц1й. В данШ робот! скрхзь припусхаеться, во ФунмЦя ПХ) е Р задана ф1ксованос таблицею сво!х значень 1", в Н ф!ксо-

ваних точках ' Ц з II облает! визначення. Такий спосхб задания вих1дно! 1Н?юрмац1Л веде до значного эвуження в!дпо-в1дного класу Г. Роэгляд нового, б!льш вузького класуТм , то називаеться ¿нтерполяидйник, дозволяе максимально використову-вати наявну 1нформацш про функцхс, покращити як!сть эапропо-нованих квадратурних та кубатурних формул обчислення ГШ i наближае нас до реально! ситуацП, то виникае при розв'язуваи-н! конкретно! задач!.

На практиц!. як правила, запасть точних вх1дних даних

ыдсм! !х наближен! значения зв'язку з цим в

робот! розглянутий також випадок наближеного задания вх^дних

даних, коли значения <Г4 >[<_1 беруться з облает! |Г( - Г11< е1,

1=0, ГСХ)6 Е де е=(е,..... ен) - деякий ф!ксований

вектор. В дисертацП розглянут! так1 класи функц1й:

- с} ь м - клао визначених на в!др1зку (а,Ы неперервних ФункцШ Г(х). по мапть обмежен! коистантов Ь перш! пох!дн1 1 приймають в ф1ксован*х вузлах дов1льно! с1тки х,.....хн в1дпов1дно ф1ксован1 значения Г(х, )=Г,..... ГСхмЭ =ГН;

- С}111((|(Е~ кяас визначених на в!др!зку 1а,Ь) неперервних функц1Я ГСхЗ, ко маоть обмежен! константою Ь перо! пох1дн! 1 прхймають у ф!ксоваинх*вузлах дов1лыю1 с1тхя х||... ,хн значения э 1нтервал1в I Гд .Г4 ), 20. !=Г7Й, е=Се,".....ен) -

деяки* ф1ксований вектор;

" ^.иним " клас визначених на (Ma.bMc.dl функШй двох ЭЫ1ННИХ, ко задан! ф1ксоЬшюш значениям Г у вузлах (х, |;ха ^3 дов!льно1 с1тк* на 0, 1»Г7Н', J=ГTH. *о задо-в1ЛЪняоть уков!;

" , ь, и " клас вхзначея! вобласП г^,

пг»<Х»Сх, ,*г): о< х^ I, 1=1.2), эадов1одшггь унов1 Л1 птиц* э константою I

If(X)-fCY)| & L| |Х-У11 = l-max |x-y( | С7)

Ul,2 J '

i приймавть у ф1ксованих вузлах р!вном1рно! с!тки X,.. ,XN -в1дпов!дно ф1ксован1 значения fСXj)=f,.... , f(XN)=fN;

- С2 - клас функций, як! визяачен! в области п,,

г, L ,,L г. N

n2=<X=CXj ,хгЭ: OS XjS 1, i=l,2), задовольнясть умов i Л!пшиця з константами L , 1 Ь г по кожн!й зм1нн!й:

jf(i, .XjJ-fCXj .хг)-Ч lij-Xj |. IfCx, ,¿2)-fCx, ,x2}SL2 |it2-x2| (8)

i приймають у ф1ксованих вузлах ^.....в1дпов1дно ф1ксова-

н1 значения fíXj)®^......f£XN)=fH;

- CÍj L L N - клас функц1й, як1 визначен1 в облает i п2 , .n2=<X=CXj',*!,)': Oá х^ J,t,í=l,2>, эадовольнявть умов!Л1пшиця з

константою L по о<Зом зм1нним:

IfCij .xjj-fcxj ,x23<L jij-xj |, |f(xj ,x2)-f(x1 ,xa)<L |x2-x¿ I C9)

1 приймавть у фасован их вузлах X,,., .,XN в!ддов!дно ф!ксова-и1 значения fCXjJ-fj.. .. .'ft^N)=fN.

Припускаеться, то да^1 класи функц1йне пуст!. Розглянемо таку характеристику

• 5CFH)= inf : sufí ylt.M СЮ)

" *€ M í¡6 rH

я» ' ■ ■ .

v(f ,A)=|In(f)-rCA,f) cm

rCA,f) - результат застоеування алгоритму А до функцИ f, М -вс1 алгоритми 1нтегрування, «о використовуить 1нформац1с, яка полягаб у визначенн! класу функц!й FH. Алгоритм, на якому до-сягаеться 6CFH). якцо в1н !снуе, наэиваеться оптимальним за точнЮт» для даного класу.

Якко для квадратурно! (куйатурнoD фермули А0

v(f,Á°)< 5СГ„) ♦ п. П * 0, (12)

то А° називаеться оптимально» квадратурное С кубатурнос) формулой на клас! FH а трчн!стю до г)- Якцо п = oCBCF^)) або п = =0C6CFH)), то А називаетъея в!дпов!дно асимптотично оптималь-

- э -

ноо або оптимальною за порядком точност1 квадратурною Скуба-турнос) формулою. '

В1домо, но для розглянутих клас1в. функШй як оптикальне за точн1стю значения 1нтегралу ГСП приймаеться величина ■

l'(FN)=l/2(l4FN)+rCFN))t С13)

де

rCFM) = sup ГСП. I"CFH) = 1п/ ГСП СН)

" f€ fh " 16 г„

- верхня I+CF N) i нихня I'CF N) границ1 множини можливих зна-чень 1нтеграл1в виду С1)-С4) з облает! !нтегрування на функ-Щях класу FN. Тод!

6CFn)=1/2CI4Fn) - TCFN)): С15)

У глав! 1 дано! . робота побудован! оптимальн! за порядком точност! Сз конотаптов, со но поровпауе дв!йки) квадратурн! формули обчислення !нтеграл!в в1д аэидкоосцилвпчих функЩй в класах Cj L н i С| L „ е та оптимальн! за порядком точност! Сз константою, то' не' перевиауе дв!йки) кубатурн1 формули обчислення 1нтеграл1в в1д ювидкоосцилюючях фупкц1Я в

В роботах В. К.Задираки. С. С. Мельникове!, С.Касенова побудован! оптимальн! за точн!стю квадратурн! формула обчислення lifrerpanlB взгляду СЗ),C4J при п=1 за пряпуаенням, во значения Lie, як! безпосередньо використовуються в цих формулах, задаз1 точно. Однак на практиц1 в б1льшост! випадг ках в1дом! не сам1 11 е, а лише деяк1 1х щ1нки, тобто к!ль-. к1сна апр!орна 1нформац!я,.яка бере участь у визначенн1 класу, . е неточною 1 завищеною. Для обчислення зазначених 1нтеграл!в у випадку неточно задано! anplopnol 1нформац11 про задачу в да-н!Я робот! запропонован! квадратурн1 формули, побудован! на основ! метод!® нев'язки та квазироэв'язк1в.'

В { 1 приводиться постановка эалач1 1 вихладен1 метода нев'язки та квазирозв'язк1в _ стосовно до задач !нтегрування. . При побулов1 квадратурних i кубатурних формул використан! результата роб!т А.I.Березовського, В.А. Жэлудева, В.В.1ванова.

В квадратурн1й формул1, побудован1й за методом квазирозв'язк!в, п!д!нтегральна функц!я fCx) апроксимуеться

ФунШер, яка с розв'язкомтако! задач!:

min fliax ■ С16)

t€ fn » .!tn

Метод квазирозв'язк!в полягае в знаходженн! функцП, »о

найменше ухапяеться Bis заданого набору точок (xt,fj), i-ГТЯ-В1домо. во розв'язком задач! С16) для класу Cj L N е .е лШйний сплайн S(x,L), у якого максииальний ухил ' в!д' зада-

них точок (Xj ,^3.1=17^ М1н1иальний:

S(x,D=f4 + Cfitl-ft), х е (х,. xiti). i=OTT. (17)

f.= (f.* + f*)/2, ff « t max (t(f.+ Цх,- x, j)), 1=ГГЯ. (18) * 1 . . iSJ<M } * 1

Часто к1льк1сна апр1орна 1аформац1я. яка бере участь у

визначенн! класу F, задастъая у вигляд! обмеження на деякий

ФункШонал ФШ. Для клас!в Cj L н i Cj L N e таким функц1о-

налом <Kf) с р1вном1рна норма по'х1дно1. В квадратур» 1й форму-

л1, по<!удован1Я за методом нев'язки, пШнтегральна функц1я

fix) апрохсимувться фунхц1ею, яка е розв'язкомтако! эадач1:

*

ffltn 9Ш. (18)

*егн

Розв'язком задач1 (19) е лШйниЯ сплайн SCx,M), якяй визначаеться за формулами (17)-С18) з урахуванням эам1ни константа L на константу М, де

М = шах (0, пах С ff. - f. | - е, - е. )/(х,- х.)) (20)

iSi<N j>i J * J 1 J 1

Для класу C{ u'„ роэв'язка эахач(16) i (10) сШвпадавть l л1н1йниа сплайн SCx.i) е ламанов, ко сполучав точки ,fj), i«0 :

SC«.LMt* ¡¿bj«}.trrt). xmh i-0=T. (21)

Квадратурн1 форму ля, побудован! за методами квазирозв'яэк!® та нев'язки для 1нтегралу

l'(f) = j" f(x) <*(x)dx, (22)

де ipCx) - в1дома 1нтегрозна функШя, мають в!дпов1дно вигляд: ь

RCip.S) = J S(x,D <p(x)dx, (23)

a b

RCtp.S) = J S(x,H)-ф(х)йхГ (24)

«

Формули (23), (24) с оптимальними за порядком точност1 э константою, ао не перевивуе дв1йкя, нав1ть якцо пор1внювати э випадком точно заданих Lie. Одяак основним призначеннян цих квадратурних формул g наближено одчхелеяня 1нтеграл!» вягляду (22) у випадку неточно задано! anplopHoI iwpopuaui ï, ос*1яыш пошук розв'язк!в за методами нев'язхи ado квазирозв'яэк1в направлений саме на уточнения апр!орно1 1нформац11 про задачу.

В § 2 для 1нтеграл!в (16), (17) за методам* нев'язки ta квазирозв'язк1в побудовая! квадратурн1 формули, як! мають в!дпов!дно вигляд:

N-1 J.'

R,(a,S) = С Cs'71 axiti" sin их ,) ) -

" 4" С Vcos W*M " fi cos ^l) •

H-J f-

R^a.S) = ( ~Ccos ^i + j" cos MX»3 ) +

izl и

+ CfN sln " frstn BXi) •

(33)

(é»>

. f<

де fj= (fjtj- fj)/Cx1+l- x,) (f,, i=!TÏÏ внзначаеться за формулой (18)). Ill формула к оптимальна ни за порядком точност1 з хоястантос, яо не перезмауз дв!йкя 1 застооовн1 практично для будь-яко! осциляцП пШнтвгрально! футсцП а хлас! c}>UI(.

- 12В ^ 2 одержан! також оц!нки зверху похибок квадратурних формул С23), (24). При побудов1 цих оц!нок розглянут! два принципово р1зних випадки - випадок с лайка I осциляцИ 1 випадок сильно! осциляцП п!д1нтегрально! функц!!. Припускаеться, по сладка осциляц!я мае Mlcue при виконанн!

умови У1: Ц l|J<b-a)j + lj нул!в функц1й sincaxCcoswx) входять

в число вузл!в х,,!=Т7Н, а сильна осциляц1я - при виконанн! умови У2: вузли Xj, !=Г7Н входять в число нул!в функиП

sin wxCcos ад), тобто N « [Г ■l|i(b-a)j + l]. Аналог!чн! ои!нки одержан! в 5 3 для формул С25), (26)в клас! cj L н е

В 5 4 розглянутИй б!лыл складний для досл'1джень двоы!рний випадок. Нехай ГСх, ,х,)€ С? , ., „ 1 в1доме не точне значения

12 1, L, NxH

L, а лише деяка його оц1нка. Для обчислення !нтеграл1в виду (3),(4) при п=2 в робот! запропонований п1дх!д, який полягае в замш пШнтегрально! функиН . f(xj,x2)<: С* L NxM л!н!й-ним сплайном. Побудован! нов1 кубатурн! формули, в яких значения L не використовусться. Вони в оптимальними за порядком точност1 Сз константою, до не перевиауе дв!йки) ! придатн! для практично будь-яко! осциляцП п1д!нтегрально1 функцП. Питания побудовй оптимальних за точн1стю 1 оптимальних за порядком точност1 кубатурних формул в !Нтерполяц1йних класах Л!пшиця для двом1рного випадку за прйпущенням, во в!доме точне значения константи Л!пшиця, розглянут1 для клас!в С^ L N,

l, l, n * сг. ц.ц, n •

В глав1 2 досл!джуються класи С| L l h1c2lln-b55 наведен! постановки задач, розглянутих у дан!й глав!. Очевидно,во задача оптимального за точн1стс !итегрування на клас! Fn пов'язаиа а задачею оптимального за точн!стю в!дновлення f*(X) в точц! X функи!й з FN. В!домо, по

f*(X)« ( (X) + A¿ (X) ) . (27)

н м

де А' (X) 1 Al (X) - в1дпов!дно мажоранта ! ийноранта класу FM

n 'н _ . . "

При цьому похибка в1двовлення Г(Х) на клас1 FN ,Х) в точц1 X буде мати вигляд:

ÍCFn .Х)= -| С AJ, СХ).- Л" СХ) ) . • (28)

Тод1 оптимальна за точнЮтю кубатурна формула обчислення 1нтегралу

Ifen = Jf

fCX) dX (29)

мае вигляд

I*CFn) = J| f*(X) dX C30J

"z

i

6CFn) = |J 6CFH.X) dX (31)

пг

Таким чином, для конструктивного розв'язку задач (27)-(28) 1 (30)-(31), а також для побудови кубагуряих формул обчислення 1нтеграл1в (3), (4) при п=2 необх1дно вивчити вигляд 1 деяк1 властивост1 мажоранта 1 (аноранти кла<Яв, то досл!джуються. Ц1 досл1дження проведен1 в 5 6.

Очевидно, ао якао 1снуе функц1я g.(X) = max f(X)

f6FN

(д2(Х) = min f(X)) з класу F„ , то вона буде сп1впадати з

мажорантою (м!норантов) класу, що досл1джуеться. В1домо, то

AI СХ) = sup f(X) = min_ (f, + L ||X - X, И), (32)

N te fn 1st. n 1 1

w

Al (X) = inf Г(Х) = max_ (f. - L ||X - X. II). (33)

N f€ rN t=;, m 1

дв Х=(х,,хг), D =п2. У випадку F = C| L L N

I tx11 = IIXMi * + JXgl, C34)'

а у випадку F„ = L L N -

11X11 = ||X||a = IxJ M*2I C35)

У 56 показано, mo функцП А* (X) I А" (X), то визначавгьоя за

'n ' N

- и -

формулами (32) 1 (33), д1йсно эадовольнясть виэначенню мажоранта 1 м1норанти класу FN для клас!в N 1 с) L iL,K

Проведен! досл1дження, в результат! яких вид!лен! облает! я1яШост1 мажорант i м!норант wiaciB с| ь i- м 1 l , l n В теорем! в.1 1 насл1дках з не! одержано представления граничных функцШ клас!в C|LLNiCgL LH » областях лШй-

ност!, ко дозволило конструктивно розв'язати задачу оптимального за точн1стю в1дновлення функши з цих клас1в.

В S 7 розглянута задача побудови оптимальних кубатурних формул обчяслеяня Иггегралу I2(f) в класах С* , , „ 1

^ L.L jr ® теорем! 7.1 доведено, во у випадку. коли ф( Cxt ). ^jCXj), не м1нясть знаку при xt, хге [0,11, оптимальн! за точн!стю кубатурн! формулй обчислення !нтеграл1в виду I2Cf) магть вигляд:

Ié(F„) = Г f С А; СХ) + /Ç (X)) -ч»1Сх1 Э -tp2Cx2>dX (36)

* • h n

«г

причому

6(F„) = 4" Г f С К СХ) " *т (5°) " } W сз7)

• * N M

В1льв складню! для досл1джень е вападок, коля добуток Î,(x,) -9г(«г) не знакоПост!йний в п£. У цьому випадку длА розв'яэу^ання практичних задач ДоШльно застосовуватя блиэьк1 |о оптимальних методи розв'яэування поставлено! задач!. У яасШдку 7.1.1 з теореми 7.1 доведено, «о у випадку, коля ft(zl3-t2(xz) м1нявть знак при xt. *г« [0,1). похибка формула (36) я« б1льше як у два раза перевияуе оптимальну. Таким чином.' в $ 7 побудована кубатурна формула (36) обчислення 1нтегралу Аду 1г(П, яка е оптимальное за точн1стю у випадку, холи добуток tpjCXj) fjCXj) звакопост1йний в «г, 1 оптимальною эа порядком точиост1 э константою, яо я» йеревицув шйкя у »япадку, холя ц(^)-^С^) н1ям знак при ^ .t^s to.il. Kpik того. ц«й п1дх1д жоэволяс одяочаеяо будумтя ощику оптямально! похибки 6CFH):

- IS -

5CFn) < 4- J I ( A* (X) - A" CXJ) ■ IVjiXjD|dX Г38) n2

В 5 8 виконуе-ьс>. undip citkh в клаох , , .,, який

i., l< l* n

доз?оляе суттево зменшити обе'м anpiopHoi 1НформаиЛ, то необх^дна для конструктивного розв'яэування задач, поставочных в глав1 2. Важливос осЗставинсв при робот 1 з !н?ерполяц!йн>.чи к пасами функций е те, що в обчислювальн!й практ!'.! зуотр!чаеться велике число задач з функциями аосить складни структури. Для обчислення кожно! функц!онально! характеристика Снаприклад, значения фуккцШ може бути необх!дною постановка коштовного ф1зичного ado чисельного е/сперименту. Тому при побудовх оптимальних за точнхстю 1 оптимальних за порядком точности кубатурних формул обчислення интеграл¡в if с г d -в клас1 С2 L L N виникас необх!дн1сть роэгляду в п2 оптимальних в деякому posyMiHHi ciTOK, до дозволяе обчислювати значения функцП саме у вузлах тако! с1тки. Для реал1эац11 п!дходу, викладеного в § 6,7 побудована нова с!тка, к1льк1сть вузл1в яко! менше к!лькоот1 вузл!в с!тки, що роэглянута в попередн1х параграфах.

В § 9 побудован! оптимальн1 за точн!стю кубатурн1 формули обчислення 1нтегралу I^Cf), а в § 10 - оптимальн1 за порядком точност! Сз константоп, що не перевищуе дв!йки) куба-TypHi формули обчислення 1нтеграл1в в1д швидкоосцилсючих фун-юий виду IjCf), IgCf) в класах L n1c|Lln-

Ш. кубатурн! формули одержан! у зручному для 1х,безпосередньо1 реал1зацП на ЕОМ внгляд1. Одночасно з обчисленням наближених значень хнтегралхв ifCD-I^Cn побудован! оц!нки оптимальних

похибок 5CFn> i 6CFn) в1дпов!дно.

У глав! 3, як i в попередн1й, розглядаеться задача побу-дови оптимальних за точн1стю i оптимальних за порядком точное^ т1 Сз константою, що не перевищуе дв1йки) кубатурних формул обчислення iHTerpaJiiB вигляду С15-С4) при п=2 в клас1 С* L м.

Необх!дн!сть досл1дяення цих задач в окрем1й глав! зумовлена тим, ао област1 л1н1йност! граничних функц1й класу С^ L N принципово в!др1з!!ясться в!д областей л!н1йност! грани-чнях' функШй клас!в ^ L L< N 1 ^ L L(H тому питания вибору

с! ток 1 конструктивного роэв'яэку задач оптимального за точн1-ств в!дновлення функцП в клас1 С^ м потребують специального розгляду.

В § 11 наведен! постановки задач, яким присвячена глава 3 1 описаний метод !х розв'язку. В § 11 досл!джуеться деякий допом1жний клас функций С^ ь ¡^ . Для класу С^ ь - видглен! облает! ЛШйност! ¡граничних' функций класу ¿держаний !х конструктивна виг.ляд в цих областях'.'В 512 досл1д*уеться ви-гляд ! деяк1- -властивост! мажоранти А*г СХ) ! м!норанти

'."" - 1, ь, n

А_г СХ) класу С? , м з урахуваиням результат!в, що одержан!

• 1.1-, N • '

для допом!жного класу С^ ь . Теорема 12.1 ! насл!дки з не! дозвЬляють.вид!лити облает! л!н!йност1 А*г СХ) ! А1г СХ)

- , ' n 1, и, n

визначити виг^яд цих функц!й в цих областях лШйност! 1, як насл!док, розв'язати задачу оптимального за точн!стю в1дновле-ння! Т'Ш* в точцГХ е пг функций з ^ Кр1м того, доведено, що виб!р ехтки в клас! С* н можна ' зд!йснити таким-чином, ш.об зменшити об'ем апр!орно! 1нформац!1, то необх1дна для зас-тосування п!дходу, викладеного в { И.

Питания побудови оптимальних за точн!ств ! оптимальних за порядком тоЧност! кубатурних формул обчислення 1гСП ро°ГЩУГ1 | 1Для расу С^ ^.--одержан! результату, зд}

жюйчй т „нМ'1^им1 ^^2,

Для зменщення оО'.ему необх1дних обчислень використо-

. "1 'йян А)'."«у ■ -л-./: •.- ¡■•.■' с.:.-- Е.ьпз*

вуеться переход до ново! системи координат, а саме

5НЙсййетьШл'йЬ1оройт по'&п1ово1,! системи косфЛинат. 1» кут

• .

, , ¡:-В §14 "Показано, що оптимальна за точн1стю кубатурна формула для !нтегралу Г^ С Г) в клас! С^ ъ м може бути представлена у вигляд!, що аналог!чний вигляду оптимальних за точн!ств кубатурних формул в класах С* ^ ь н 1 ^ ь ^ для

С ГЭ, В §15 одержан! оптимальн! за порядком точност! Сз кон-

стантов, що не перевищуе двойки) кубатурн1 формули обчислення

1нтеграл!в в!д швидкоосцилюючих функцМ виду ^СИ, 1|СГ) для

випадку, коли 1^= ы2= и, |>2п. При поворот! початково!

системи координат на кут а=-45"задача обчислення 1нтеграл1в

1|СГЭ, 1дСО в клас! С^ ь |4 зводиться до задач! обчислення

двох б!льш простих !нтеррал!в„,р!эн(щя 1 сума яких дорхвнссть

«

)

, , • ' ч

I2(f) i I|Cf) в1дпов1дно, що дае можлив1сть особливо ефективно

розв'язувати т1 практичн1-задач1, де необхШо обчислювата 1н-

теграли як вигляду IjjCf), ^ак 1 l|Cfi.

Основн! результата дисертац1йно1 робота перел1чен1 у вис-

новках.

У додатку наведено призначення, короткий опио розроблених програм 1 результату чйсельного експерименту.

0CH0BHI РЕЗУЛЬТАТА РОБОТИ.

В дисертац1йн1й робот1 отримал! так1 ochobhI результата;

1. Конструктивно розв'язана задача оптимального за точн!ств в1дновлення функц11 двох зм1нних для ряду 1нтерполяц1йних клас!в Л1пшиця CfCx^xJe cf_ L N . С*^^ . Cjj>L>-UH ).

2. Побудован! оптимальн1 за to4h!ctd кубатурн! формули iHTer-

рувэння функц1й 3 клэс1в ci l ц • ^ l l mic2lun'

3. Побудован1 оптимальн1 за порядком точност1 Сз константой, ко не перевищуе дв!йки) квадратурн1 1 кубатурн1 формули обчис-лення 1нтеграл1в в1д швидкоосцилпвчих функц1й для ряду 1нтер-поляц1йних клас1в Л1пшиця при р!зних способах задания anplop-но1 ШформаШХ CfCx)6C}>L N. C|UNe; fCX, ,Х2)б Cf L NxM,

l, n' c2. ljjlj, n' l, l, n^'

4. Для клас1в Cf L N, ^ l l h эД*йснено виб!р cItok, який дозволяе зменшити обе'м anpiopHoI 1нформац11, що необхШа для розв'язку поставлених задач, збер1гасчи при цьому точн!сть по-.будованих формул.

5. 0держан1 оц1нки похибок методу Bcix побудованих квадратур-них 1 кубатурних формул.

6. На ochobI запропонованих алгоритм!в розроблене в1дпов!дне програмне забезлечення.

0сновн1 положения дисертацИ опубл1коеан1 у таких роботах: 1.- Мельник E.H. К'оптимальному по точности вычислит» интегралов от быстроосциллиругшх функций в классе Липшица // Пакеты прикладных программ и численные методы: Сб.науч.тр.-Киев; Ин-т кибернетики им. В. М.Глушкова, 1988.-С.76-79.

Ib -

2. Мельник E.H. Оптимизация квадратурных формул вычисления интегралов от быстроосцйллирующих фуны'.ий при неточно заданной априорной информации // Материалы конф молодых ученых и специалистов Ин-та кибернетики им. В. М. Глуикоьэ.-Киев, 1988.-С Si-97.

- Деп. в ВИНИТИ 21.02.19S9 г. ,N1120-B89.

а Мельник Е. Н., Остапенко 0. С. Оптимальные по точности и б.:иэ-киь к ним кубатурные формулы вычисления интегралов для i.eKoio-рых классов функций двух переменных// Нн-r кибернетики им. ¿3 М.Гкушкова. - Киев, 1990.-28с. - Деп. в ВИНИТИ 03.08.90, N 4479-590.

4. копьник E.H. .Остапенко О.С. Оптимальные кубатурные формулы вычисления некоторых интегралов для одного класса функций двух переменно // Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова.-Киев, 1990. -29с,- Деп. в ВИКЭТИ 03.08.90, N 4480-В90.

5. Мельнчк Е.н .Остапенко О.С. Об оптимальном п:> точности восстановлении функций некоторых классов и его изменении для построения кубатурных формул // Экстремальные задачи теории приближения И их приложения. Тез. докл.республ.науч. конф. (Киев,29-31 мая 1990 г ).-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990. -С. 92.

6. 1<е\ьник E.H. .Остапенко О.С. О выборе сетки для оптимальных куйатурных формул вычисления интегралов в классе С* LL N//Hc-пользование математических методов и ЭВМ в системах' управления И проектирования: Сб. науч. тр. -Киев: Ин-т кибернетики им.

В. М. Глушкова, 1991. - С. 135-139.

7. Мельник Е.Н. Об оптимальном интегрировании быстроосциллиру-ювдх функций из интерполяционных классов Липшица// Киев. 1993.

- 11с,- Деп. в ПГГБ Украины 07.06.93. N 1116 - Ук93.

«

Подписано к пэчати'/У

размножано 1БЦ Минстата Украины—ТКЛГ