Дробно-аналитический метод решения линейных функциональных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

р і* 8 ' Ф!ЇВСЬШ?Ї ДОЖАВШІЙ УНІВЕРСИТЕТ ЇМ. ІВАНА ФРАНКА

1 З ШОН Ш5

Щ правах рукопису

.РШЩЬКЛ ОЛЬГА МАР’ЯКІВНА

ДРОБОВО-АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ -■ ЛШІІШХ - ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ' '

Спеціальність 01.01.07 - обчислювальна математика

■ ' А В ТО Р Е Ф Е Р А Т ■

' дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата і фізико-математичних наук ■

'.Л Ь'В І В 19 9 5

Дисертація в рукописом

Робота виконана на кафедрі прикладної /математики Держаного університету . "Львівська політехніка". .

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, профэсор • • ' . , • ' СЛОНЬОВСЬКИИРОМАН ВОЛОДИМИРОВИЧ. : -

- Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,- професор , ■ МАКАРОВ 'ВОЛОДИМИР ЛЕОНІДОВИЧ, '

• доктор фізико-математичних наук, професор

, ШИНКАРЕНКО ГЕОРГІЙ АНДРІЙОВИЧ. ‘ ' '

Ведуча організація: Фізико-механічний інститут імені Г.В.Кар-1 пенка Національної академії наук України.

Захист відбудеться ..." 1995 р. о-------- годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради К 04.04:05 у Львівському державному університеті їм. І. Франка за адресбю: 290602,. м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд, 261. '• -

З дисертацією можна ^ознайомитись в- бібліотеці Львівського державного університету. 1 -

Автореферат розіслано "........../.....77..,." 1995 р.

Вчений секретар - 1 ’/У ' - Б.А. Остудін

спеціалізованої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність проблеми. Незважаючи на численність публікацій, присвячених проблемі дослідження 1 наближеного розв’язування лінійки* некоректних задач, вважається за. доцільне для вирішення даного питання використання методу -апроксимацій Паде або її часткового випадку ■ апарату неперервних дробів, підхідні дроби яких утворюють діагональні або.парадіагональні нпроксимгнта Паде.

Можливість подання розв’язку лінійного рівняння.у вигляді неперервного дробу пояснюється хоча б тим, що у багатьох випадках розв’язок лінійних інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду е мероморфною функцією параметра цього рівняння. Очевидно, 'до в цьому випадку запис такого розв’язку у вигляді формального ряду Ліувілля-Неймана є штучним і.недоречним. Крім того, мероморфний розв’язок регуляризованого рівняння Ейлера-Тіхонова (рівняння другого роду) дозволяй здійснити асимптотику при прямуванні параметра цього рівняння до нуля. Таким чином, дробово-аналітичний запис розв’язку ретуляризованого рівняння дав можливість встановити у замкненому вигляді нормальний розв’язок лінійних рівнянь першого роду. .

Застосування. неперервних дробів в обчислювальному процесі в більшості випадків розширює область збіжності класичних ітерацій-них методів, особливо для тих задач, у. яких в неефективною полі-номіальна апроксимація. - Крім того, умови збіжності дробово-аналітичних методів 'суттєво відрізняються від умов збіжності звичайних лінійних Ітерацій, слід відзначити і ту обставину, що перші підхідні дроби неперервних дробів дають добрі початкові наближення і оскільки основна Інформація про значення досліджуваної функції зосереджена, на перших, поверхах дробу.' Це дозволяє робити

З

розумні висновки на основі небагатьох відомих коефіцієнтів ряду Ліувілля-Неймана, але вимагав точного обчислення цих коефіцієнтів.

Мабуть, доречним буде, нагадати висловлювання геніального вченого Ейлера, який ще у XVIII сторіччі писав: „Буде незайвим, додати дещо про.третій тип не скінчених виразів, які зображуються неперервними дробами або діленнями. Хоча цей тип віфазів у наш час розроблений мало, проте, не сумніваюсь, що коли-небугь застосування його дуже поширяться в аналізі нескінчених". Сьогодні цю думку підтверджують відомі спеціалісти в теорії методу апроксимацій Паде Дк. Бейкер та П. Грейвс-Морріс: «Практично ми не знаємо жодного випадку, коли при правильному застосуванні апроксимацій Паде не вдалося б одержати розв’язок природнього інтегрального рівняння". '

Метою даної роботи е:

- використання апарату Д-дробів для покомпонентного подання'роз-

в’язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь як з квадратними, так 1 прямокутними та виродженими матрицями; .

- побудова дробово-аналітичного алгоритму знаходження, псевдо-

обернених матриць Мура-Пенроуза і Дразіна; _ ' ,

- дослідження мероморфних розв’язків лінійних .інтегральних рів-'

нянь Фредгольма другого роду; ^ ,

- знаходження нормальной' розв’язку'лінійного інтегрального рів-

няння _фредгольма першого роду як граничного випадку мероморфного розв’язку регуляризованого рівняння. ' ' '

Методика поглинань: математичне доведення теорем,' розробка алгоритму, програмна реалізація. 1

Наукова новизна роботи полягає & таких основних положеннях, які виносяться на захист: . '

1 . У дисертації вперше використаний апарат неперервних дробів до задачі'знаходження нормальних розв’язків некоректних рівнянь, а саме Інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду 1 його дискретного випадку - системи лінійних алгебраїчних' рівнянь.

2. Здійснено перёнормування' функціональних рядів Ліувілля -Неймана,-що в формальними розв’язками лінійних алгебраїчних та інтегральйих рівнянь, у відповідні 3-дроби.

3. Побудовано новий метод регуляризації для систем лінійних

алгебраїчних та-інтегральних рівнянь. ' '

вітюгіттість основних наукових результатів забезпечена: '

- строгим математичним доведенням теорем, які підтверджують за-

стосовність дробово-аналітичних методів до задач, що розглядаються; . ’ . , . .

- використанням апробованих теорій та гіпотез, які підтвердили свою адекватність 'в аналогічних наукових дослідженнях;

- добрим узгодженням результатів з аналітичними та чисельними

розв’язками, одержаними за' Іншими відомими методами, які наведені у літературі. .

Практична■цінність роботи.■ . 1 ■ ■ ■

Одержані в. роботі теоретичні результати можуть використовува-

. X - ; ' •

тись при розв’язуванні лінійних некоректних задач у просторах неперервних та Інтегрованих за Лебеґом функцій. - .

Розроблено новий,, а саме дробово-аналітичний, метод регуляризації, який успішно себе оправдав при практичній реалізації. . .

Ціннісїь роботи полягає й у тому, ло подана в роботі дробово -аналітична методика розв’язування некоректних задач застосовна й до задач комп’ютерної томографії, що на нових засадах створює математичну основу для побудови українських, томдграфів. ,

Апробація результатів. Результати доповідались на міжнародній

конференції, присвяченій пам'яті академіка М.П.Кравчука (Київ-Луцьк, 1992 р.), міжнародній конференції з Інформаційних технологій 1 систем (Львів, 1993 р.), міжнародному стшвзїумі „Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1993 р.), Всеукраїнській конференції „Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях" (Львів, 1994 р.). міжнародній пжолі-семінарі „Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування" (Львів, с.Верхнє Синьоввдне, 1994 р.) е також,на наукових семінарах кафедри прикладної математики університету „Львівська політехніка" та на науковому семінарі кафедри обчислювальної математики Львівського державного університету імені І.Я.Франка.

Публікації. Зміст дисертаційної роботи відображений у 8 стат-гях і тезах доповідей наукових конференцій. ' .

Структура й обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Робота .містить - сторінок машинописного тексту, в тому числі 5 таблиць та 14 прикладів. Бібліографічний список складається з 57 назв. ■ '

. ' КОРОТКИЙ ЗМІСТ РОБОТИ.' - .

У вступі обгрунтована важливість та актуальність питань, вирішенню, яких присвячена дисертація. Наведено короткий огляд літератури по вибраній темі. Сформульована мета дослідкень, наукова по-визна, а також основні положення, які виносяться на захист. Дане короткий зміст, усіх глав дисертації.

У першому розділі зібрані основні матеріали з теорії псевдообе- . рнених. операторів і класичних - методів їх обчислення. В першому параграфі цього розділу вводиться відоме понятія матриці Мура і-

І

Пенроуза і розглядається метод гісевдообертання за допомогою граничного переходу ' • _ .

, ' ' А*=1Іи(аІ+А*А)'1А*. , (1)

' . а+о

де А*- матриця, спряжена до прямокутної матриці А, І - одинична матриця, а>0 - числовий параметр. Обернена матриця Дразіна, що будується лише для квадратних матриць, може бути знайдена з умови

~ ' А®= 1іт(аІ + АІ£+1)'1Ак, (2)

■ ■ , - - - а-ю

де к - індекс матриці А. ' - (

Знаходженню найкращого наближеного розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛА?) за методом найменших квадратів присвячений третій"параграф першого розділу. Питання розв'язальності операторних рівнянь першого роду вивчається у двох наступних параграфах. У § 6 проведено аналіз некоректно поставлених задач в гільбертовому просторі. На сучасному етапі розвитку математичної науки основними методами регуляризації некоректно поставлених задач е зрізаний сингулярний.метод, метод регуляризації Тіхонова -Філліпса, ітераційні метода. Ці класичні методи регуляризації

ч аналізуються в останньому параграфі першого розділу. Якість цих , методів істотно залежить від вибору параметра регуляризації, знаходження якого ,е складною самостійною задачею. Крім того, основний метод регуляризації - зрізаний сингулярний розклад - вимагав знання сингулярних чисел матриці' А, & метод скелетного розкладу та Гревіля для знаходження псе вдооберненнх матриць Мура-Пенроуза

- рангу цієї матриці. Тому природньою4в задача побудови методів регуляризації некоректних задач 1 методів знаходження псевдообер-нених матриць, які не володіють цими' недоліками або полегшують знаходження відповідних параметрів. - ' ' '

У другому розділі дисертації для Находження розв’язків системи

лінійних алгебраїчних рівнянь (СДАР) використовується апарат неперервних дробів.

Основними типами неперервних дробів, які використовуються в роботі, е регулярні С - дроби

а. а,2 а.г

С(в)-—і- _2_ -і- ... (3)

1 + ■ 1 + 1 + 1 +

1 .1-дроби

,Г(а>= .... (4)

1,+в - 12+г - 13+г -

де а1,к1,11- деякі константи, г - числовий параметр.

Р_(г) а, аг

Скінчені дроби —------------- = ——ь— ... —2— назвемо

ОцСг) 1 + 1 + + 1

п-ними підхідними дробами дробу (3).

)С Уг. ]г

Аналогічно дріб —!— - ... е п-ним підхідним

І.+г + 1„+г + .+ 1„-іа '

■ 1 2 П

дробом дробу (4).

В роботі показано, що псбудовані на апараті С 1 J - дробів алгоритми розв'язку лінійних рівнянь у просторах С[а,Ь) 1 Ьг(а,Ь) е стійкими відносно збурень коефіцієнтів вихідної задачі 1 відносно похибок заокруглень, які виникають при обчисленні дробу.

Основним результатом розділу є знаходження нормального розв'язку лінійного алгебраїчного рівняння

Ьг=и, и€Е8, (5)

де ^ 1 Е6 - евклідові простори відповідних розмірів.

Побудова цього розв'язку здійснюється на основі реалізації співвідношення

г4= ІІпКаІ+Е'ЬГ’і.'и, (6)

а-*о . .

!■*- матриця, спряжена до матриці Ь, г*- узагальнений нормальний

розв’язок задачі (5).

Спочатку розглядається система

<

02

“= іЛі-Лг“. (7)

Після введення позначень

Я = - — , ух = <иа , Ь=Ь*и, А=Ь*Ь а

система (7) у розгорненій формі набуде вигляду

■ Уі = ьі + . 1=1 ,ш , ^ ^

де А={ац)1^і1— . ь=(ь1,ь2,...,ьт)т, у =(у,, ... .уи)т. .

Рівнянню (8) відповідав формальний степеневий по X ряд

п ш ш

Ьі+ХІаиЬі + І І + ... ’ (9)

І,1!- 32=1

який при рівномірній збіжності в розв’язком рівняння (8).

Означення. Неперервний дріб

р;1»

(10)

1 + 1 + +1 + для якого розклад його довільного п-го підхідного дробу в степеневий ряд співпадав з вихідним степеневим рядом (9) до члена \п включно, називають відповідним даному ряду (9).

Для ряду (9) будується відповідний неперервний дріб. р«1)

Нехай —ут-. - п-ий підхідний дріб дробу (10). Тоді при умові існування розв’язку системи (8), маємо

Л"- - (-«"ХХ“- <">

Чі .

д<1> д<1> _-

де (ї‘и= ------!—^-3---------- . і=1,т .

?*'= Рі а,««-' Лрк*і к:гт ' ,

- 1 '* (її * “ . -(і* * К—1 ,со , .

1 1 "Мр| ,, 1+<РІ*І ч ' . '

Коефіцієнти шукатимемо, .підставивши (11) в рівняння

(8) . ' ■ ' ' ' ‘ -

т» - . 3-1. ті - .3-І • '

Використавши запис , ' . ' '

, [0/21 '

■ ки X °й“хі' 1 ■

“ТГ) ■ [¿¿1/21—:--------' • да 1x3 - «іла частина і

' °а 2 и(і> .

(12)

прирівняємо в , (12) коефіцієнти при \п до нуляї Тоді -

С-?і}^КК5*Г^;--Ч!и*Г^1- "3)

Р1 • *' рп . -

де А* - 1- ий рядок матриці Ак. Ъ± 1 • , .

П(1> Л(1> . п(і) я(і) і_п' Г п+1 1

°п*и= °п.З + °п-иАм* ^°* [~Г 1 •

(14)

Причому ДЛЯ ВСІХ П ' • '

(-ЛІ) < п(1) _ А<І)А(1) ПШ ' ■ '

Чі.о-1, °аиі- "* Ргп’ , _ '

Теорема 1. Для СДАР (8) відповідний Оо безлежного рябу (9) дріб

(10) є скінченій І точний розв’язок рівняння (?) лав вигляд '

■ ‘ ' я(1) д(1>д<П > . я'(1)-й(1)

' Р1 Рг Рз - ' Рга-гРгш-і М5)

1_ а-^1’ - аЧР^’.+РІ1*) Г"’- а-Цш-ґРг»’) *' '

Наступний, крок дослідкення - це здійснення граничного переходу

, (6)* , ' -'ч '

Теорема 2. Корлалькил разв’язкол.рівняння (5) є дріб

1 ßr - РГ+С' - -

причому при вІдМнності вІО нуля виразів а£|ш і R^u(a), де

' ^(a)=ci»-cP^1+... -К-1)“^ , (17)

справедливою є фортула '

z! - zN а Л — , і»1~ш’ (18)ч-

: 1 1 . «СЛ (а> , '

Ork-vZtf*- <Сн-<Г Оі^2 + <ОС'

" O^X"3“ • • •+("1

Наслідок 1. Дробовий розклав (16) дає лохливіапь знайти в-ісй

стовбець псевдооберненої лакриці Мура-Пенроуза &*. Дійсно,

А*= 11ш(аІ + А*А)"'А,І(_, (19)

8 0*0 8 t

до 1 =(0...О 1 О...О) .

. 8-та позиція ■ . - ' ■

Наслідок 2. Ястрии/о Мразіт згідно (2) I (16) лажна обчислити наступиш чинол'

. \ А»= lim V .

О*О ,

де Хд задовільтє j^mpmnaiy рівнянню ..

- , ' . 0^= А* + А*%, (20)

бе k - індекс лакриці А. ' ‘ _

Терема 3. 7, полінола (а) коефіцієнти. 0^ , де 3=1 ,т, ке залежать від 1,, а корені рівняння .

\(a)* с^'а^+ О^а“-2- ...+ МЛ^^О.

0е Орте,п>= ^4'* ,Рга* е полосаш-розв'язку системи (7). -

Таким чином здійснено аналітичне продовження розв.’ азку системи ' (7),' оскільки в той час, коли рад (9) в збіжним в крузі, радіус якого визначається віддаллю до найближчого полюса, 1-е розбіжної

зовні цього круга, то скінчений дріб (15) в збіжним в усій комплексній площині, 8а внйнятком нулів полінома ^(а).

У третьою розділі вивчається дробово-аналітичний метод розв'язування лінійних, інтегральних рівнянь.

Ітераційний метод розв'язування лінійних інтегральних рівнянь Оредгольма другого роду

ь '

2і (ж) = и(х) + х|к(х,г)2Х(х)(1х (21)

а

приводить до розкладу Ліувілля-Нвймана

_ ь

z*‘{x) = ц(х) + £х» | ^(х.вШв)^, . п<1 а

де К,(х.в) = К(Х,8), _

(22)

к^х.в) = |к(х.г)^а,в)ав, п=2,

п-ні Ітеровані ядра рівняння. (21). Розклад (22) формально задо-вільняз (21 ),1 у випадку рігіномірної збіжності дає розв’язок цього рівняння. .

Для знаходження розв’язку інтегрального рівняння (21) в дисертаційній роботі використовується правильний С-дріб

Л_. Мх> - ' (23)

в \д; в ••• *• " " ••• і

і + і + ■ +і + -

дв , р,=и(х). ^(х) » -

ь _

, ^(х.ттсОйг

а________■ ■

Ц(Х)

Р4(х) = ь г ь гь і2 Г

/К, (х,'с)ц(т)<і'с|ц(х)/К^(х,т:)іі('г)<1'г - /К(х,'Г)и(т)сИ а а . а ■* -*

Рпи<*>= , . ,т,[ Яп(їЛ)и(х)(і'Г +^»)Л5м(х,т)и(а)(1т+

Р1(2)...РП(2)1 а а

|р К(хл)и(х)<п| - и(х)^(ї,'с)и(‘с)<іт рз(Х) = іа__------------------------5----------------- ,

иіхУ^К, (х,'с)и(т)й': .

- а

г ^ Ь ' \2 Ь Ь -і

и(х) / К2(ХІ'І)Ч(1)Й1 -[ К, (х,х)и(т)сІгД3(х,т)и('с)йі;

!■ *■ « ''а а -»

•+ °ш^(ї) /К^яз^.-оїхсола]Ї (24)

°.и{І)=0п-и(х) + + Рп.(х)ап-г^(х,: °п.о = к

Розглянемо випадок, коли в рівнянні (21) функції и(х) 1 Х(хд> е неперервними в Іа,Ь) 1 Га,Ь]? відповідно. Тоді в силу теореми Вейерштраса, для довільного є>0 існує поліном Зп (хл), степінь п якого залекить від є, такий, що •

. ' - НЗо(х,'с)-К(х,'0|£0< є- •

Таким чином, . .

К(х,г) = З^х.т) + Т(х.т) . де залишок Т(хл) задовільняє умові |Т|а < є. Цієї умови достатньо щоб стверджувати Ісгіування для всіх |Х|<єм оберненого опера, тора, (І-ХТ)Н. Тоді рівняння,(21) еквівалентне рівнянню ' - . • - г* = (ІгА-Т)"^ + МІ-ЯТГ^г*. ' (25)

, ядро якого йироджоне 1 в крузі |А.| < є'1 функція т!" б раціонально» по Х ,1 мас но більше, ніж п полюсів.

Теорема 3. Ящо Оля всіх кІа.ЬІ 0^ і Чгая-вЮМннІ 610 нуля, тоді абсолют в’язкої рівняння

ля, тоді айсолхшп тихшОка А(2)=гл'(г)-гх(і) ліж ювлижеки роз-

■ . ■ ь * ' а (і) = и(х) + \рзп(х,т)а (-Шг

■ ’ * а . ; ■ ,

І точним розв'язкам гк(х) рівняння І21), визначається форлулаю

Л = — 3_— , (26)

®2п*Ап»1

а п_______ . , _. '

да ^а* 2 ( 5 ргп*иЯгп*и-к ~ ргп*із^гп+и-к +

З-о к-о

а а _____ _. •

- Г[2 ?гші.і£^гп»ц»з-и ^’гпч.Апчшз-к)*' ^

3-і к»з . *

п п

ргпи X *гп' Ссин= І 9гп+и^’

_ 3*°п _ _і*° „ __

ргпн= 2 ’ ^гпп = І • .

3*о з-о . ■

а ^гпм 1 ^гпи * відповідно чисельник і знаменник (2п+1) - гс підхідного дробу (23). ' .

Для рівняння Фредгольма першого роду .

Ь . '

і К(х,шт<и = 8(х) . (27>

• 6 . ' • • де К(х.ї) € СІа.Ь) X СІа.Ь), і(і),ї(і)._£ уа.ЬІ. .

регуляризуюче рівняння мав вигляд .

- ' ь - . • "

аЛ“(г) = ь<г> - і'н(г,в)иа(в)(ія, (28>

. ' а - . .

де а - додатне число, а . .

Ь ' b

R(t,s) e JK(x,B)K(x,t)dx, b(t) = JK(x,t)g(x)dx. (29)

• _ . 8 - * ' ’

Зауважимо, що рівнянню (28) формально задовільняв розклад ь ь ь

w“(t)= -1 b(t)-~2|R(t.s1)b(3])(la1+-lJ jRit.s^RiB^SjJbOjJdflgdfl,-

- а а а

,. ' ь ь _ „ . ■ -

'”"'^*^♦1 1J (іifij).■ . Н )b(SQ)dfl^«..dBj+ .. .» -

■ . a a . . ■ ' ■ . -

, Теорема 5. Розклав розв'язку регулариаованого рівняння (28) б J-Оріб наступний • ,

rfW-ML P2(t)P3tt)

a-p2(t) - a-(p3(t)+p4(t)) - - e-(fa.1(t)+Pi,(t)) -

- ... , (30)

0e коефіцієнт P^it) визнаються вгІОно (24), комі в осяанньо-jy K(t,B)=R(t,s), a u(t)=b(t).

Виходячи з того, що нормальний розв’язок задачі (27) - це граничне значення розв'язку рвгуляризованого рівняная (28) ща пря-куванні параметра а до нуля, одержується наступна Теорема 6.

•• ьтт ... .¡зч

, P,(i) - - - Рг.-.ОМи.В) -

. У загальному випадку псевдообернений оператор К* не е неперервним. З метою переходу , до неперервної задачі вводиться наступна регуляризація оператора К*. В якості сім’ї, неперервних лінійних . операторів (Та)о>0 пропонується сім’я підхідних дробів 8(а)-го порядку дробу (31),. де s(a) - найбільший індекс, для якого добуток 1 - , ’ ’ . • . 1 • - ■ /

^(x^ujpgW.-.^u) . .

відмінний від нуля. Очевидно, ідо s(a)-œ 1 для всіх х раЦ -» при прямуванні а до нуля. Таким чином, оператор Та s регуляризатором оператора К*. За допомогою такої регуляризації можна знайти наближений розв'язок задачі (2Т) в наступному розумінні. Нехай gj апроксимуе g, тобто fige-gj^^e. Тоді

І!тод8Е-К,вІІ0>< Втсчс(€«-в)Ва> + P^el^i^ÿe + ,

+1V* - ¿ëlœ ^0 , •

Іігп п И^а(£)вйш

да РедВ= sup —¿J------------- .

44 geia.bl UgO«, g*0

Тобто, елемент є близьким до K*g, якщо елемент близь-

кий до g.

При'знаходженні розв’язку рівняння Волі-терри '

X

z(x) = u(x) + JK(x,T;)z('c)cn: (32)

Р_(Х) -S-

підхідні дроби ----------- , n=1,<D , дробу (21) дають можливість

встановити формули різних порядків то'шості. Вони мають вигляд

________________¿м_______________________ (33)

U1M‘ ,1U1+ Kiil .i+tUlH ^

z;r. = -----------:----------—------------------------- + 0(1Ç)

1 ■ '

П) иі*і+ ^Ач.Л ' . (33)

гі*і - 1 + оо^). V

1 " ^¥ім.ім Для встановлення цих формул була використана формула трапецій. Для знаходаення наступних значень г^г використане співвідношення *і*г хі+1, .

2иг = “їв + ХК(х1)2,а)2('і)1і: = 1^+ /К(хІ4г,'і)а(а)<П +

хі*г

+ / К(х1іг,'с)г(,с)(і,с . хім \ .

Нехай рівняння Вольтерри 8 векторно-матричним. Тоді фундаментальна матриця Коші системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерри другого роду задовільняе матричному рівняннв

X

0(Х,Т) = І + ХК(2,3)0(3,Т)СІЗ т

Для знаходження розв’язку такого рівняння використано матричний аналог дробу (21), в якому під символом — розуміють АВ-1.

В

Зауважимо, що у випадку, коли К(х,а)=А(а) не залежить від х, фундаментальна матриця 0(х,т) перетворюється в матрицант Ф(х,т) системи лінійних диференціальних рівнянь

' /-^=А(х)у ’

<іх

Відомо, що матрицант Ф(і,т) задовільняе матричному рівняння

' # X

Ф(х,т) = І + ХА(з)Ф(з,х)сіа-

У цьому випадку формули (33), (34) набудуть відповідно вигляду ф(х1и,х1) = (І - уИ1(А1+ *И»'1+ 0(^} і -Ф^.х^ = (І + -¿-ІДНІ - осф.

де . .

' ф(х,з)ф(8,г) = Ф(х,г>.

У висновках сформульовані основні результати, отримані в дисертаційній- роботі : ■ , ' ' ‘ ,

1. Для СЛАР з невиродженою матрицею і для СЛАР з прямокутною або

виродженою матрицями знайдено точний, відповідно єдиний або

нормальній розв’язок, який зображено скінченим J-дробом. .

2. Розроблена дробово-аналітична методика побудови псевдооберне-

них матриць Мура-Пенроуза та Дразіна. . -

3. За допомогою апарату неперервних J-дробів знайдено нормальний

розв’язок лінійного Інтегрального рівняння першого роду, який у випадку виродкеності ядра є точним розв’язком. і

4. Пропонується новий метод регуляризації псевдообернених

операторів. - - _

5. Виведені нелінійні числові формули різних порядків точності

розв'язку систем лінійних' Інтегральних рівнянь , Вольтерри другого роду. Як частковий - випадок одержано числові

раціональні формули обчислення матрицанту і матричної експоненти. .

Основні результата дисертації викладені в роботах:

1 .Рибицька О.Ы., Сявавк^ U.C. Застосування інтегральних ланцетових дробів до розв’язування лінійних рівнянь другого

' РОДУ 11 Ыат- метода и 4из.-мех. по ля.-Київ: Наук, думка, 1992

- Вип.Зб.-С.З-Э. . . ' '

2.йМицьха O.k. ^нтегральні ланцюгові дроби, 'поєднані '8 . функціональними рядами Вольтерра-Вінера ц Вісник .Львів, ло-

літех. Ін-ту. Диференц. рівняння і їх saoT.-1993.-N 269.- -С.1БЗ-160. ' . . ’ '

3. Рибицька о.ІІ. Неперервні ланцетові дроби 1 опера горні

рівняння первого і другого родів л Міжнародний симпозіум ' -Питання оптамізації обчислень". Тез. доп.-Київ, 1993/-С.141-144. ‘ Г ; '■ ' .

4.ГМНЦЫС8 О.М. Про ноші нелінійний метод розв'язку інтв- -

гральних рівнянь н Міжнародна конференція, присвячена пам’яті академіка М.П.Кравчука. Тез. доп.- Київ-Луцьк, 1992.-С.28.

5.Рибицька о.М. Мероморфний розв’язок лінійних Інтегральних рівнянь другого роду і мероморфна регуляризація рівнянь першого роду І Додаток до монографії Сявавко М.С. Інтегральні ланцюгові дроби. -К.:Наук. думка,1994.-205 с.|-С. 190194.

6.Рибицька О.М. Використання неперервних дробів для обчислення псевдообернених матриць і матриць'Дразіна ц Міжнародна школа-семінар „Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування". Тез. доп.-Львів, 1994. -С.11.

7.Сявавко М.С., Пасечник Т.В., Рыбыцька О.М. Псевдообратннй оператор и рациональные алгоритмы нормального решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода ц Электрон, мо-делиров.- 1995.' N 1-2. С.71- 75.

8.M.S;Javavko, T.Pasitschnylc, O.Hybytska. The fractlon-analy-tycal method of ill-posed tasks solving and the task of re-atoration of fuzzy images.g Pattern recognition and Image analysis. Adv. in Math. Theory and Appl. Interperiodica pu' blishlng. Birmingham, USA. -1994.-, v.4, N3. -P. 312-314.

Особистий внесок: Покомпонентно представлення розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь у вигляді скінчених С - 1 J-дробів. Встановлення та дослідження дробово-аналітичних розв’язків дискретного 'аналогу некоректних систем першого порядку. Знайдено новий метод відшукання обернених матриць Мура-Пенроуза і ,Дразіна. Виведені дробово-раціональні алгоритми наближеного обчислення розв’язків 1нтёграш>них рівнянь Вольтерри другого роду, в

тому числі обчислення фундаментальної матриці Коші, матрицанта системи лінійних диференціальних рівнянь. Проведено числові екс- ■ перименти. У роботі [її на основі континуального аналогу методу Гауса, який приводить до диференціально-функціонального рівняння для резольвентного ядра інтегрального рівняння Фредгольма 2-го роду, побудовано за допомогою апарату неперервних дробів, метод розв’язування інтегральних рівнянь. Для систем лінійних алгебраїчних рівнянь в [71 розв’язок подано у вигляді скінченого дробу. Для дискретного випадку моделі розмитого зображення розроблено дробово-аналітичний метод відновлення [81.

Olga Rybytska. The fraction-analytical method for linear func- . tlonal equations solving. .

Ph.D. Thesis (phislcs and mathematics), 01.01.07 -numerical -mathematics.' ' . ,

Ivan Franko Lviv State University, Lviv, 1995. - ,

A method of eolutlon oi linear ill-posed equations in iuflctio-nal spaces Cla.b], I2(a,b) is being exposed on the background of the c, J-fractions framework. The meromorphlc solutionof the re- 1 - ^ gularizid equations Is-obtained. Some cases of the rational function representation of, the solution are singled out.1 , • ,

Рыбыцька Ольга Марьяновна. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по ~ специальноск 01.01.07 - вычислительная математйка. , .

Львовский государственный ушверситет имени Ивана Франко. Львов, 1995. ' . - , .

- Изложен метод решения- линейных некорректных уравнений'В пространствах Cta.bl и. l^(a,b) на основании аппарата непрерывных С и .

Д-дробей. Найдено мероморфное решение регуляризированных уравнений. Выделены случаи представления решений рациональными функциями.

Ключові слова: Некоректні задачі, регуляризація, апроксиманти Паде, мероморфіість, дробово-аналітиичні розв’язки, неперервні дроби, узагальнені розв’язки, матриці Мура-Пенроуза, Дразіна, нормальний розв’язок, ряд Діувілля-Нвйкана, матрицанг.